积分变换习题解答1-4
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1－4
1.证明下列各式：
2）()1f t ()()()()()23123f t f t f t f t f t ⎡⎤⎡⎤
=⎣⎦⎣⎦；
6）
()()()
()()
()1
21212
d d
d
;d d d f t f t f t
f t f t f t t t t ⎡
⎤==⎣⎦ 10)()
()()d t f t u t f ττ-∞
=⎰
分析：根据卷积的定义证明. 证明： 2) ()
()()12
3f t f t f t ⎡⎤⎣⎦()()()123d f f t f t ττττ+∞
-∞⎡⎤=--⎣
⎦
⎰ ()()()132d f f u f t u du τττ+∞+∞
-∞
-∞⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰ ()()()132d d f f u f t u u τττ+∞+∞
-∞-∞=--⎰⎰
()()()123
d d f f t u f u u
τττ+∞+∞-∞
-∞⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰
⎰ (
)()()123d f t u f t u f u u +∞
-∞⎡⎤=--⎣⎦
⎰ ()()()123f t f t f t ⎡⎤=⎣
⎦
6）
()()()()1212d d d d d f t f t f f t t t τττ+∞
-∞⎡⎤⎡
⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎰ ()()()()1212
d
d
d
d d
f
f t f t f t t t τττ+∞
-∞
⎡⎤=⋅-=⎣⎦⎰
, ()()()()1212d d d d d f t f t f t f t t τττ+∞
-∞⎡⎤⎡
⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎰ ()()()()12
12d d d d d f t f f t f t t t τττ+∞
-∞
⎡⎤
=-⋅=⎢⎥⎣⎦
⎰
.
10) ()()()()d f t u t f u t τττ+∞
-∞=-⎰
()1,0,t u t t τττ⎛⎫
⎧<⎪-= ⎪⎨ ⎪>⎪⎩⎝
⎭()d t f ττ-∞=⎰. 2．若()()()()12e ,sin t f t u t f t tu t α-==，求()()12f t f t .
注意：不能随意调换()1f t 和()2f t 的位置.
解：由()()1e ,0e 0,0t t
t f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩，()()2sin ,0sin 0,0
t t f t tu t t >⎧==⎨<⎩，
所以 ()
()()
()1221f t f t f t f t =()()21d f f t τττ+∞
-∞
=-⎰
要确定()()210f f t ττ-≠的区间，采用解不等式组的方法.因为
()()210,0;0,0f t f t ττττ>≠->-≠.即必须满足 0
0t ττ>⎧⎨
->⎩
, 即0
t ττ>⎧⎨<⎩
, 因此
()
()()
()1221f t f t f t f t =
()()21d f f t τττ+∞
-∞
=-⎰
()
sin e
d t t ατττ--=⎰
e sin e d t t αατττ-=⎰
（分部积分法）()2
e sin cos e
10
t
t
ατααττα-⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦ ()2
2e sin cos 1e
11t
αταατταα-⎡⎤
-=+⎢⎥++⎣⎦
2sin cos e 1
t
ααττα--+=+
4 .若()()()()1122,F f t F f t ωω⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F ，证明:
()()()()11221
*2πF f t t F f ωω⎡⎤⋅=⎣⎦F
证明:()
()()()121
21
1d 2π
2πF F F u F u u ωωω+∞
-∞=⋅-⎰
()()j 211e d d 2πut
F u f t t u ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=
-⋅⋅⎢⎥⎣
⎦⎰⎰ ()()j 211e d d 2πut F u f t t u ω+∞+∞
--∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j 211e d d 2πut
F u f t u t ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=
-⎢⎥⎣
⎦⎰⎰
()()j 121e d d 2πut f t F u u t ω+∞+∞--∞-∞⎡
⎤=-⎢
⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j j 121e e d d 2πst t
f t F s s t ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=
⋅⎢⎥⎣
⎦⎰⎰ ()()()()j 1212e d t f t f t t f t f t ω+∞
--∞
⎡⎤=⋅⋅=⋅⎣⎦⎰
F
5.求下列函数的Fourier 变换： 1）()()0sin f t t u t ω=⋅； 2）()()0e sin t f t t u t βω-=⋅； 5）()()0
j 0e t f t u t t ω=-；
解: 1）已知()()1
πδj u t ωω
⎡⎤=+
⎣⎦F ,又 ()()()()()
00j j 01sin e e 2j
t
t f t t u t u t u t ωωω-=⋅=
-. 由位移性质有
()()()()()0000111
πδπδ2j j j f t ωωωωωωωω⎛⎫⎡⎤=-+-+- ⎪⎣⎦ ⎪-+⎝
⎭F ()()000220
π
δδ2j ωωωωωωω⎡⎤=
--+-⎣⎦-. 2）由Fourier 变换的定义，有
()()j 00e sin e sin e d t t t
t u t t u t t ββωωω+∞
----∞
⎡⎤⋅=⋅⎣⎦⎰F ()j 00
sin e
d t
t t βωω+∞
-+=⎰
()()()j 0002
2
0e
j sin cos 0j t
t t βωβωωωωβωω-+⎡⎤-+-+∞⎣⎦=
++
()
2
2
j ωβωω=
++
5）利用位移性质及()u t 的Fourier 变换，有