2008年考研数学三真题及解析a
2008年考研数学三真题及解析
2008年考研数学（三）真题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（）()A 跳跃间断点.()B 可去间断点.()C 无穷间断点.()D 振荡间断点.（2）曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()at af x dx ⎰等于（）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）已知(,)f x y =（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在（B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在（C ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在（D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在（4）设函数f连续，若22(,)uvD f u v =⎰⎰，其中uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂（）（A ）2()vf u （B ）2()vf u u（C ）()vf u （D ）()vf u u（5）设A 为阶非0矩阵E 为阶单位矩阵若30A =，则（）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭则在实数域上域与A 合同矩阵为（）()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.（7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（）()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（）()A {}211P Y X =--=.()B {}211P Y X =-=.()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c =.（10）设341()1x x f x x x ++=+，则2()______f x dx =⎰.（11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则2()Dx y dxdy -=⎰⎰ .（12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则14_____A E --=.（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX== .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限21sin limln x xx x→.(16)（本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时.（1）求dz （2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求ux∂∂.(17)（本题满分11分）计算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.(18)（本题满分10分）设()f x 是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数t ，有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰；（2）证明()()()202xt t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．(19)（本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？(20)（本题满分12分）设矩阵2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+;（2）a 为何值，方程组有唯一解;（3）a 为何值，方程组有无穷多解.（21）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3a 满足323Aa a a =+，证明（1）123,,a a a 线性无关；（2）令()123,,P a a a =，求1P AP -.（22）（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭；（2）求Z 的概率密度．（23）（本题满分11分）12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑，21T X S n=-.（1）证T 是2μ的无偏估计量.（2）当0,1μσ==时，求DT .2008年考研数学（三）真题解析一、选择题(1)【答案】B 【详解】()()0()lim ()limlim 0xx x x f t dt g x f x f x→→→===⎰，所以0x =是函数()g x 的可去间断点．(2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx'==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．(3)【答案】B【详解】000(,0)(0,0)11(0,0)lim lim lim 0xxx x x f x f e e f x xx→→→---'===-0011lim lim 1xx x x e e x x ++→→--==，0011lim lim 1xx x x e e x x---→→--==-故(0,0)x f '不存在．220000(0,)(0,0)11(0,0)lim limlim lim 00y y y y y y f y f e y f y yy y→→→→---'=====-所以(0,0)y f '存在．故选B .(4)【答案】A 【详解】用极坐标得()222()2011,()v uuf r rDf u v F u v dv rdr v f r dr+===⎰⎰⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂.(5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=.故,E A E A -+均可逆．(6)【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----，所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确.(7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2m ax ,Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==.(8)【答案】D【详解】用排除法.设Y aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,EX EY ==所以()()E Y E aX b aEX b =+=+01,a b =⨯+=所以1b =.排除()B .故选择()D .二、填空题(9)【答案】1【详解】由题设知||0c x ≥≥，所以22,()1,2,x x c f x x c x cx x c >⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-<-⎩因为()22lim lim(1)1x cx cf x x c --→→=+=+，()22lim lim x cx cf x x c++→→==又因为()f x 在(,)-∞+∞内连续，()f x 必在x c =处连续所以()()lim lim ()x cx cf x f x f c +-→→==，即2211c c c+=⇒=.(10)【答案】1ln 32【详解】222111112x xx x f x x x x x x ++⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭，令1t x x =+，得()22t f t t =-所以()()()22222111ln 2ln 6ln 2ln 32222x f x dx dx x x ==-=-=-⎰⎰.(11)【答案】4π【详解】()22221()2DDDx y dxdy x dxdy x y dxdy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰利用函数奇偶性21200124d r rdr ππθ==⎰⎰.(12)【答案】1y x=【详解】由dy y dx x -=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1x C y=+，又(1)1y =，所以1y x =.(13)【答案】3【详解】A 的特征值为1,2,2，所以1A -的特征值为1,12,12，所以14A E --的特征值为4113⨯-=，41211⨯-=，41211⨯-=所以143113BE --=⨯⨯=.(14)【答案】112e -【详解】由22()DX EX EX =-，得22()EX DX EX =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1DX EX ==，所以2112EX =+=，所以{}21111222P X e e --===！.三、解答题(15)【详解】方法一：22001sin 1sin limln lim ln 11x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--===-=-方法二：2230001sin cos sin cos sin lim ln lim lim2sin 2x x x x x x x x x xx x x x x →→→--=洛必达法则20sin 1lim 66x x x x →-=-洛必达法则(16)【详解】(I)()()22xdx ydy dz x y z dx dy dz ϕ'+-=++⋅++()()()122dz x dx y dy ϕϕϕ'''⇒+=-++-+()()221x dx y dydz ϕϕϕ''-++-+⇒='+()1ϕ'≠- (II)由上一问可知22,11z x z yx y ϕϕϕϕ''∂-+∂-+==''∂+∂+，所以()11221222,((1111z z x y y x u x y x y x y x y x y ϕϕϕϕϕϕ''∂∂-+-+-+=-=-=⋅=''''-∂∂-++-++所以()()()()223322(1)2(12(12)2(12)11111x z u x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ'-∂''+''-+'''''''∂++-++∂==-=-=-∂''''++++.(17)【详解】曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰11222221110221x xdx dy dx dy dx xydy=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+(18)【详解】方法一：(I)由积分的性质知对任意的实数t ，()()()()202202t t ttf x dx f x dx f x dx f x dx++=++⎰⎰⎰⎰令2x u =+，则()()()()222t tttf x dx f u du f u du f x dx+=+==-⎰⎰⎰⎰所以()()()()()222t tttf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰(II)由(1)知，对任意的t 有()()222t f x dx f x dx +=⎰⎰，记()2a f x dx =⎰，则()0()2xG x f u du ax =-⎰.所以，对任意的x ，()()2(2)()2(2)2x xG x G x f u du a x f u du ax++-=-+-+⎰⎰()()22022220x xf u du a f u du a +=-=-=⎰⎰所以()G x 是周期为2的周期函数.方法二：(I)设2()()t tF t f x dx +=⎰，由于()(2)()0F t f t f t '=+-=，所以()F t 为常数，从而有()(0)F t F =.而2(0)()F f x dx =⎰，所以2()()F t f x dx =⎰，即220()()t tf x dx f x dx +=⎰⎰.(II)由(I)知，对任意的t 有()()222t f x dx f x dx +=⎰⎰，记()20a f x dx =⎰，则O 0.52xD 1D 3D 2()0()2xG x f u du ax =-⎰，()2(2)2(2)x G x f u du a x ++=-+⎰由于对任意x ，()(2)2(2)2()G x f x a f x a '+=+-=-，()()2()G x f x a '=-所以()(2)()0G x G x '+-=，从而(2)()G x G x +-是常数即有(2)()(2)(0)0G x G x G G +-=-=所以()G x 是周期为2的周期函数.(19)【详解】方法一：设n A 为用于第n 年提取(109)n +万元的贴现值，则(1)(109)n n A r n -=++故1111110919102009(1)(1)(1)(1)n n n n nn n n n n n n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑设1()(1,1)n n S x nx x ∞== ∈-∑因为21()()()(1,1)1(1)n n x xS x x x x x x x ∞=''=== ∈---∑所以11()()4201 1.05S S r ==+(万元)故20094203980A =+⨯=(万元)，即至少应存入3980万元.方法二：设第t 年取款后的余款是t y ，由题意知t y 满足方程1(10.05)(109)t t y y t -=+-+，即11.05(109)t t y y t --=-+(1)(1)对应的齐次方程11.050t t y y --=的通解为(1.05)tt y C =设(1)的通解为*t y at b =+，代入(1)解得180a =，3980b =所以(1)的通解为(1.05)1803980t t y C t =++由0y A =，0t y ≥得3980A C =+0C ≥故A 至少为3980万元．(20)【详解】(I)证法一：2222122121213210122122112221301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a aa a a a a a A r ar aaa aa a an a a n a r ar a n a nnn a n-=-=-+-=⋅⋅⋅=++证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得221221221210212121222(1)(1)n n n n nn n a a a aD aD a aaD a D ana a n a n a -----=-=-=--=+故||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得2122n n n D aD a D --=-，所以211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n nn n a D aD a D aD a ---=-==-=即12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+ 1(1)2(1)n n nn a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)1121021********n n n nn n a a a aa a a a D na a a a a--⨯-⨯-===所以11(1)n n D nx D n a-==+(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k + 为任意常数．(21)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾.所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=(1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++=(2)(1)—(2)得113220k k αα-=(3)因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II)记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭所以1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(22)【详解】(I)1201(0,)11112(0)(0)()22(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X =≤≤==+≤===≤===⎰(II)(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤={1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-={1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=[]1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤-[]1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++-所以[]1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它(23)【详解】(I)因为2(,)X N μσ ，所以2(,X N n σμ ，从而2,E X D X nσμ= =．因为221()()E T E X S n =-221()E X E S n =-221()()D X E X E S n =+-222211n nσμσμ=+-=所以，T 是2μ的无偏估计(II)方法一：22()()D T ET ET =-，()0E T =，22()1E S σ==所以2()D T ET =44222()S E X X S n n=-⋅+424221()()()()E X E X E S E S n n=-+因为(0,1)X N ，所以1(0,)X N n，有10,E X D X n ==，()221E X D X E X n=+=所以22422()()()()()E X D X E X D D X E X ⎡⎤=+=++⎣⎦2221()D D X n⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭()2422222()1ES E S DS ES DS ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦因为2222(1)(1)(1)n S W n S n χσ-==-- ，所以2(1)DW n =-，又因为22(1)DW n DS =-，所以22(1)DS n =-,所以4211(1)1n ES n n +=+=--所以2223211111n ET n n n n n +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-.方法二：当0,1μσ==时221()()D T D X S n =-(注意X 和2S 独立)222222221111(1)(1)DX DS DD n S n nn n ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦-。
2008考研数农真题及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出一项最符合题目要求的. (1) 设函数2sin(1)()1x f x x -=-,则 ( )(A) 1x =-为可去间断点,1x =为无穷间断点. (B) 1x =-为无穷间断点,1x =为可去间断点. (C) 1x =-和1x =均为可去间断点. (D) 1x =-和1x =均为无穷间断点.(2) 设函数()f x 可微,则(1)x y f e -=-的微分dy = ( )(A) (1)(1)x x e f e dx --'+-. (B) (1)(1)x x e f e dx --'--. (C) (1)x x e f e dx --'--.(D) (1)x x e f e dx --'-.(3) 设函数()f x 连续,2()()x F x f t dt =⎰,则()F x '= ( )(A) 2()f x -. (B) 2()f x . (C) 22()xf x -. (D) 22()xf x .(4) 设函数(,)f x y 连续,交换二次积分次序得1022(,)y dy f x y dx -=⎰⎰( )(A)122(,)x dx f x y dy +-⎰⎰.(B)0212(,)x dx f x y dy -+⎰⎰.(C)212(,)x dx f x y dy -⎰⎰.(D)20012(,)xdx f x y dy -⎰⎰.(5) 设123,,ααα为3维列向量,矩阵1232123(,,),(,2,)A B ααααααα==+ ,若行列式3A =,则行列式B = ( )(A) 6.(B) 3.(C) 3-. (D) 6-.(6) 已知向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组中线性无关的是 ( )(A) 1223312,2,αααααα++-. (B) 1223312,,2αααααα---. (C) 1223312,2,αααααα-+-. (D) 122331,2,2αααααα-++.(7) 设123,,A A A 为3个随机事件,下列结论中正确的是 ( )(A) 若123,,A A A 相互独立,则123,,A A A 两两独立. (B) 若123,,A A A 两两独立,则123,,A A A 相互独立.(C) 若123123()()()()P A A A P A P A P A =,则123,,A A A 相互独立. (D) 若1A 与2A 独立,2A 与3A 独立,则1A 与3A 独立.(8) 设随机变量X 服从参数为,n p 的二项分布,则 ( )(A) (21)2E X np -=.(B) (21)4E X np +=.(C) (21)2(1)D X np p -=-. (D) (21)4(1)D X np p +=-.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分. (9) 函数()2xf x e ex =--的极小值为______________. (10)2||2(1)x e x dx -+=⎰______________.(11) 曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)处的切线方程是______________. (12) 设22{(,)|1,0}D x y x y y x =+≤≤≤,则22x y De dxdy +=⎰⎰______________.(13) 设3阶矩阵A 的特征值为1,2,3,则行列式12A -=______________.(14) 设1234,,,X X X X 为来自正态总体(2,4)N 的简单随机样本,X 为其样本均值,则2()E X =______________.三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限21cos(sin )lim1x x x e →--.(16)(本题满分10分)计算不定积分.(17)(本题满分10分)求微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=满足初始条件1|0x y ==的特解.(18)(本题满分11分)证明：当0x >时,2(1)1x x e x -+>-.(19)(本题满分11分)设sin(2)xyz e y =+,求z x ∂∂,z y ∂∂及2zx y∂∂∂.(20)(本题满分9分)设3阶矩阵X 满足等式2AX B X =+,其中311012004A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,110102202B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求矩阵X .(21)(本题满分12分)对于线性方程组123123122,21,23.x x x x x ax x x b ++=⎧⎪++=-⎨⎪+=⎩讨论,a b 取何值时,方程组无解、有唯一解和无穷多解,并在方程组有无穷多解时,求出通解.(22)(本题满分11分)设随机变量X 的概率密度为,01,(),12,0,ax x f x b x <≤⎧⎪=<<⎨⎪⎩其他,且X 的数学期望1312EX =,(I) 求常数,a b ；XY 00.10.20 101- 20.30.10.3(II) 求X 的分布函数()F x .(23)(本题满分10分)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为(I) 分别求(,)X Y 关于,X Y 的边缘分布； (II) 求{2}P X Y +≤； (III) 求{0|0}P Y X ==.2008年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出一项最符合题目要求的. (1)【答案】(B) 【解析】函数2sin(1)()1x f x x -=-在点1x =±没有定义,而 21sin(1)lim1x x x →--=∞-,所以1x =-为无穷间断点；211sin(1)sin(1)1limlim 1(1)(1)2x x x x x x x →→--==--+,所以1x =为可去间断点.故选(B).(2)【答案】(D)【解析】(1)(1)(1)(1)x x x x x dy df e f e e dx f e e dx -----'''=-=--=-, 故选(D).(3)【答案】(C) 【解析】由于2()()x F x f t dt =⎰,则()222220()()()()()2()x x F x f t dt f t dt f x x xf x ''⎛⎫''==-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰⎰, 故选(C).(4)【答案】(A)【解析】积分区域D 如右图所示.由于{}(,)|01,220(,)|20,01,2D x y y y x x x y x y =≤≤-≤≤⎧⎫=-≤≤≤≤+⎨⎬⎩⎭ 所以,10012222(,)(,)x y dy f x y dx dx f x y dy +--=⎰⎰⎰⎰,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】根据行列式的性质,有2123213223123223,2,,2,,,2,,02,,2 6.B A αααααααααααααααα=+=+=-+=-=-=-故选(D).(6)【答案】(C)【解析】对于A 、B 、D 选项,由于122331(2)(2)()0αααααα+-++-=； 122331(2)2()(2)0αααααα-+-+-=； 122331()(2)(2)0αααααα-++-+=,根据线性相关的定义可知,A 、B 、D 选项中的向量组都是线性相关的.由排除法可得C 正确.事实上,可以根据定义证明选项C 正确.设 112223331(2)(2)()0k k k αααααα-+++-=, 整理得 131122233(2)()(2)0k k k k k k ααα-+-+++=.由于向量组123,,ααα线性无关,所以13122320,0,20,k k k k k k -=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩此线性方程组的系数矩阵201110021A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.由于 20122022110110401121021A -=-=-==≠-,所以方程组13122320,0,20,k k k k k k -=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩只有零解,即1230k k k ===.由线性无关的定义可知,向量组1223312,2,αααααα-+-线性无关. (7)【答案】(A)【解析】若123,,A A A 相互独立,由相互独立的定义可知,121223231313123123()()(),()()(),()()(),()()()(),P A A P A P A P A A P A P A P A A P A P A P A A A P A P A P A ====由此可得123,,A A A 两两独立,故(A)正确；对于选项(B),若123,,A A A 两两独立,则121223231313()()(),()()(),()()(),P A A P A P A P A A P A P A P A A P A P A === 但123123()()()()P A A A P A P A P A =不一定成立,即123,,A A A 不一定相互独立,(B)不正确；根据相互独立的定义可知,选项(C)显然不正确；对于选项(D),令事件2A =∅,则1A 与2A 独立,2A 与3A 独立,但1A 与3A 不一定独立.故选项(D)不正确. (8)【答案】(D)【解析】X 服从参数为,n p 的二项分布,则(),()(1)E X np D X np p ==-.由期望和方差的性质,可得(21)(2)(1)2()121;(21)(2)(1)2()121;(21)(2)4()4(1);(21)(2)4()4(1).E X E X E E X np E X E X E E X np D X D X D X np p D X D X D X np p -=-=-=-+=+=+=+-===-+===-故选项(D)正确,应选(D).二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分. (9)【答案】2-【解析】令()0x f x e e '=-=,可得1x =.()xf x e ''=,(1)0f e ''=>,根据极值的第二充分条件,可得1x =为函数()2xf x e ex =--的极小值点,极小值为(1)2f =-.(10)【答案】222e -【解析】22222||||||20222(1)2222x x x x x e x dx e dx xe dx e dx e e ---+=+===-⎰⎰⎰⎰.(11)【答案】1y x =+【解析】首先求(0,1)y '.方程sin()ln()xy y x x +-=两边对x 求导,得1cos()()(1)1xy y xy y y x''⋅++⋅-=-, 将0,1x y ==代入上式,得(0,1)1y '=,即切线的斜率为1,所以,切线方程为1y x =+. (12)【答案】(1)8e π-【解析】作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,则{}22(,)|1,0(,)|01,04D x y x y y x r r πθθ⎧⎫=+≤≤≤=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭,2222214011201(1).4288x y r Dr redxdy d e rdre dr e e πθπππ+=⋅=⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰(13)【答案】43【解析】由于A 的特征值为1,2,3,所以1236A =⨯⨯=,1131422863A A--==⨯=. (14)【答案】5【解析】由于1234,,,X X X X 为来自正态总体(2,4)N 的简单随机样本,所以()2,()4,1,2,3,4.i i E X D X i ===又由于22()()()E X D X E X =+,而442114411111()()()()1,44411()()()()2,44i i i i i i i i i i D X D X D X D X E X E X E X E X ============∑∑∑∑所以 222()()()125E X D X E X =+=+=.三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分) 【解析】 2200001cos(sin )1cos(sin )sin(sin )cos sin 1limlimlim lim 2221x x x x x x x x x x x x x e →→→→--====-.(16)(本题满分10分)【解析】令2,2t x t dx tdt ===2ln(1)2ln(1)2112ln(1)2(1)12ln(1)22ln(1)1).t dt tt t dt t t t dtt t t t t C C =+=+-+=+--+=+-+++=-⎰⎰⎰(17)(本题满分10分) 【解析】原方程可化为1x y y xe x-'-=,则 11.dx dx x xx x x y e e xe dx C x e dx C xe Cx ----⎡⎤⎰⎰⎡⎤=⋅+=+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 将10x y ==代入得1C e =,故所求特解为x x y xe e-=-.(18)(本题满分11分)【解析】设 2()(1)1x f x x e x -=++-,则 22()(12)1,()4x x f x x e f x xe --'''=-++=.当0x >时,()0f x ''>,则()f x '单调增加,故()(0)0,()f x f f x ''>=单调增加.于是()(0)0f x f >=,即2(1)1x x e x -+>-.(19)(本题满分11分) 【解析】cos(2)xy xy zye e y x∂=+∂, (2)cos(2)xy xy zxe e y y∂=++∂, 2cos(2)cos(2)sin(2)(2)[(1)cos(2)(2)sin(2)].xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy ze e y xye e y ye e y xe x ye xy e y y xe e y ∂=+++-+⋅+∂∂=++-++(20)(本题满分9分)【解析】由2AX B X =+,得(2)A E X B -=,其中E 为单位矩阵.1112012002A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭.因为220A E -=-≠,所以2A E -可逆,1(2)X A E B -=-.而13112(2)0111002A E -⎛⎫- ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则 1111(2)100101X A E B ---⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭.(21)(本题满分12分)【解析】解法1 方程组系数行列式111121230D a a ==--. 当0D ≠时,即1a ≠-时,由克莱姆法则知方程组有唯一解；当1a =-时,方程组的系数矩阵111121230A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,对方程组的增广矩阵施行初等行变换得11121112121101232300001B b b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 当1b ≠时,()2,()3,()()r A r B r A r B ==≠,线性方程组无解； 当1b =时,()()23r A r B ==<,线性方程组有无穷多解,其通解为123533201x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中k 为任意常数.解法2 方程组的系数矩阵11112230A a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,对方程组的增广矩阵施行初等行变换得1112111212101132300011B aa b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭.当1,1a b =-≠时,()2,()3,()()r A r B r A r B = =≠,线性方程组无解；当1,a b ≠-任意时,()()3r A r B ==,线性方程组有唯一解； 当1,1a b =-=时,()()23r A r B ==<,线性方程组有无穷多解,其通解为123533201x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中k 为任意常数.(22)(本题满分11分)【解析】(I) 由()1f x dx +∞-∞=⎰知120112a axdx bdx b +=+=⎰⎰, 而由1312EX =知122013133212a b ax dx bxdx +=+=⎰⎰, 解得11,2a b ==. (II) 当0x ≤时,()()0xF x f t dt -∞==⎰；当01x <≤时,20()2x x F x tdt ==⎰； 当12x <≤时,1011()22x x F x tdt dt =+=⎰⎰； 当2x >时,()1F x =；即 20,0,,01,2(),12,21, 2.x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<≤⎪=⎨⎪<≤⎪⎪>⎩(23)(本题满分10分)【解析】(I)关于X 的边缘分布为 020.30.7XP ,关于Y 的边缘分布 1010.40.30.3Y P - .(II) {2}{0,1}{0,0}P X Y P X Y P X Y +≤===-+=={2,1}{2,0}P X Y P X Y +==-+== 0.10.20.30.10.7=+++=. 或 {2}1{2,1}10.30.7P X Y P X Y +≤=-===-=. (III) {0,0}0.22{0|0}{0}0.33P X Y P Y X P X ========.。
考研数学三历年真题答案与解析-模拟试题
考研数学三历年真题答案与解析|模拟试题展开全文第一部分历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解详解2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2015年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2016年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2017年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2018年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2019年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解（2）模拟试题及详解部分：精选了3套模拟试题，且附有详尽解析。
考生可通过模拟试题部分的练习，掌握最新考试动态，提前感受考场实战。
第二部分模拟试题及详解全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（一）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（二）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（三）第一部分历年真题及详解解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（）。
A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．振荡间断点【答案】B查看答案【考点】函数间断点的类型【解析】首先利用间断点的定义确定该点为间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断。
第一类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与均存在，则称x＝x0为函数f（x）的第一类间断点，其中：①跳跃型间断点：②可去型间断点：第二类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与之中至少有一个不存在，则称x＝x0为函数f（x）的第二类间断点，其中：①无穷型间断点：与至少有一个为∞；②振荡型间断点：或为振荡型，极限不存在。
2008年考研数学三真题及全面解析
1 / 122008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=ò的（的（） ()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷间断点.()D 振荡间断点.解：B分析：()()0()lim ()lim lim 0x x x xf t dtg x f x f x®®®===ò，所以0x =是函数()g x 的可去间断点。
的可去间断点。
（2）设f 连续，221x y +=，222x y u +=，1u >，则()()2222,Df u v F u v dudv u v+=+òò，则Fu ¶=¶（） ()A ()2vf u ()B ()v f u()C ()2v f u u ()D ()vf u u解：选A分析；用极坐标得()()222()22211,()v uuf r rDf u v F u v dudv dv rdr vf r dr uv+===+òòòòò()2F vf u u¶=¶ （3）设24(,),x y f x y e+=则函数在原点偏导数存在的情况是() ()A (0,0),(0,0)x y f f ¢¢存在存在 ()B (0,0),(0,0)x y f f ¢¢存在不存在 ()C (0,0),(0,0)x y f f ¢¢不存在存在 ()D (0,0),(0,0)x y f f ¢¢不存在不存在解：C分析：2400011(0,0)lim lim 00xx xx xe ef x x +®®--¢==--00011lim lim 100x x x x e e x x ®+®+--==--， 001lim10x x e x -®--=--故000011lim lim 00x x x x e e x x -®+®---¹--，所以偏导数不存在。
考研数学十年真题 数三
(D)
v u
f
(u
)
（5） 设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵若 A3 = 0 ，则（ ）
（A） E − A 不可逆， E + A 不可逆 .
（B） E − A 不可逆， E + A 可逆 .
（C） E − A 可逆， E + A 可逆 .
（D） E − A 可逆， E + A 不可逆 .
求极限
lim
x→0
1 x2
ln
sin x
x
（16）（本题满分 10 分）
设 z = z (x, y) 是由方程 x2 + y2 − z= ϕ ( x + y + z ) 所确定的函数，其中ϕ 具有 2 阶导数且ϕ′ ≠ −1，
求 ：（1） dz ；（2）记= u ( x, y)
x
1 −
y
∂z ∂x
(Xi
−
X
)2
，
=T X 2 − 1 S 2 n
（1）证 T 是 µ 2 的无偏估计量 . （2）当=µ 0= ,σ 1时 ，求 D(T).
8
2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、 选择题 : 本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 . 下列每题给出的四个选项中，只有一个 选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .
三、 解答题 : 本题共 9 小题，共 94 分 . 请将解答写在答题纸指定的位置上 . 解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 .
（15）（本题满分 9 分）
( ) 求二元函数 f (x, y) = x2 2 + y2 + y ln y 的极值
2008年考研数学三答案解析
2008年考研数学（三）真题解析一、选择题 (1)【答案】B 【详解】()()0()lim ()limlim 0x x x x f t dt g x fx f x→→→===⎰，所以0x =是函数()g x 的可去间断点． (2)【答案】C【详解】0()()()()()()aaa aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()a f x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()a xf x dx '⎰为曲边三角形的面积．(3)【答案】B【详解】24(,0)(0,0)11(0,0)limlimlimxx x x x x f x f eef x xx+→→→---'===-11lim lim 1xxx x ee xx++→→--==，011lim lim 1xxx x e exx---→→--==-故(0,0)x f '不存在．24202(0,)(0,0)11(0,0)limlimlimlim00yyy y y y y f y f eeyf y yyy+→→→→---'=====-所以(0,0)y f '存在．故选B . (4)【答案】A【详解】用极坐标得 ()()222()22211,()v uuf r rDf u vF u v dudv dv rdr v f r dr u v+===+⎰⎰⎰⎰⎰所以()2F v f u u∂=∂.(5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=. 故,E A E A -+均可逆． (6)【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----，所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. (7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2m ax ,Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==.(8)【答案】D【详解】 用排除法. 设Y aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,EX EY == 所以 ()()E Y E a X b a E X b =+=+01,a b =⨯+= 所以1b =. 排除()B . 故选择()D .二、填空题 (9)【答案】1【详解】由题设知||0c x ≥≥，所以22,()1,2,x x c f x x c x c x x c>⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-<-⎩因为 ()22lim lim (1)1x cx cf x x c --→→=+=+，()22lim limx cx cf x x c++→→==又因为()f x 在(,)-∞+∞内连续，()f x 必在x c =处连续 所以 ()()l i m l i m ()x cxcf x f x f c +-→→==，即2211c c c+=⇒=.(10)【答案】1ln 32【详解】222111112xxx x f x x x x x x ++⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭，令1t x x =+，得()22t f t t =- 所以()()()22222222222111ln 2ln 6ln 2ln 32222x fx dx dx x x ==-=-=-⎰⎰.(11)【答案】4π【详解】()22221()2DDDx y dxdy x dxdy xydxdy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰利用函数奇偶性212124d r rdr ππθ==⎰⎰.(12)【答案】1y x=【详解】由dy y dxx-=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1x C y=+，又(1)1y =，所以1y x=.(13)【答案】3【详解】A 的特征值为1,2,2，所以1A -的特征值为1,12,12， 所以14A E --的特征值为4113⨯-=，41211⨯-=，41211⨯-= 所以143113B E --=⨯⨯=. (14)【答案】112e-【详解】由22()D X EX EX =-，得22()EXD X EX =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1D X EX ==，所以2112EX=+=，所以 {}21111222P X e e--===！.三、解答题 (15) 【详解】 方法一：2201sin 1sin limlnlimln 11x x x x xxx x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 32sin cos 1sin 1limlimlim366x x x x xx x xxx→→→--===-=-方法二：2231sin cos sin cos sin limlnlim lim2sin 2x x x x x x x x x xxxx xx→→→--=洛必达法则2sin 1lim66x x x x→-=-洛必达法则(16) 【详解】(I) ()()22xdx ydy dz x y z dx dy dz ϕ'+-=++⋅++()()()122dz x dx y dy ϕϕϕ'''⇒+=-++-+()()221x dx y dydz ϕϕϕ''-++-+⇒='+()1ϕ'≠-(II) 由上一问可知22,11z x z yx y ϕϕϕϕ''∂-+∂-+==''∂+∂+， 所以 ()11221222,()()1111zz xyy xu x y x y xyx yx yϕϕϕϕϕϕ''∂∂-+-+-+=-=-=⋅=''''-∂∂-++-++所以()()()()223322(1)2(1)2(12)2(12)11111x zu x x x xϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ'-∂''+''-+'''''''∂++-++∂==-=-=-∂''''++++. (17) 【详解】 曲线1xy =将区域分成两 个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()m ax ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰11222221110002211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+(18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数t ，()()()()22202t t ttf x dx f x dx f x dx f x dx ++=++⎰⎰⎰⎰令2x u =+，则()()()()2022t tttf x dx f u du f u du f x dx +=+==-⎰⎰⎰⎰所以()()()()()2220t tttf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +=+-=⎰⎰⎰⎰⎰(II) 由(1)知，对任意的t 有()()222t f x dx f x d x +=⎰⎰，记()2a f x d x =⎰，则()0()2x G x f u du ax =-⎰. 所以，对任意的x ，()()2(2)()2(2)2x xG x G x f u du a x f u du ax ++-=-+-+⎰⎰()()22022220x xf u du a f u du a +=-=-=⎰⎰所以()G x 是周期为2的周期函数.方法二：(I) 设2()()t tF t f x dx +=⎰，由于()(2)()0F t f t f t '=+-=，所以()F t 为常数，从而有()(0)F t F =.而2(0)()F f x dx =⎰，所以2()()F t f x dx =⎰，即22()()t tf x dx f x dx +=⎰⎰.(II) 由(I)知，对任意的t 有()()222t f x dx f x d x +=⎰⎰，记()2a f x d x =⎰，则O 0.5 2 xD 1D 3 D 2()0()2x G x f u du ax =-⎰ ， ()2(2)2(2)x G x f u d u a x ++=-+⎰ 由于对任意x ，()(2)2(2)2()G x f x a f x a '+=+-=-，()()2()G x f x a '=-所以 ()(2)()0G x G x '+-=，从而 (2)()G x G x +-是常数 即有 (2)()(2)(0)G x G x G G +-=-= 所以()G x 是周期为2的周期函数.(19) 【详解】方法一：设n A 为用于第n 年提取(109)n +万元的贴现值，则(1)(109)nn A r n -=++故 1111110919102009(1)(1)(1)(1)nnnnnn n n n n nn n A Arr r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑设 1()(1,1)nn S x n x x ∞==∈-∑因为 21()()()(1,1)1(1)nn x xS x x x xx x x ∞=''=== ∈---∑ 所以 11()()4201 1.05S S r==+(万元)故 2009420398A =+⨯=(万元)，即至少应存入3980万元. 方法二：设第t 年取款后的余款是t y ，由题意知t y 满足方程1(10.05)(109)t t y y t -=+-+， 即 11.05(109)t t y y t --=-+ (1)(1)对应的齐次方程 11.050t t y y --=的通解为 (1.05)tt y C = 设(1)的通解为 *t y at b =+，代入(1)解得 180a =，3980b =所以(1)的通解为 (1.05)18039tt y C t =++ 由0y A =，0t y ≥得 3980A C =+ 0C ≥ 故A 至少为3980万元．(20) 【详解】(I) 证法一：2222122121213210122122112221301240134(1)2(1)3231(1)0nn n aa a a a aa aa A r ar aaaaa a a n a a n a r ar a n a nnn a n-=-=-+-=⋅⋅⋅=++证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得221221221210212121222(1)(1)n n n n nn n aa aa D aD aaaD a D ana a n a n a-----=-=-=--=+故 ||(1)nA n a =+ 证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=- 222321()()n nn n a D aD aD aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)nn n n n a aD n a aD --==-+=-+1(1)2(1)n n nn a aa n a -=-+⋅=+(II) 因为方程组有唯一解，所以由A x B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n aa a a aa aa D naaaaa--⨯-⨯-===所以 11(1)n nD nx D n a-==+(III) 方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为1210110101000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()100100,TTk k +为任意常数．(21)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3) 因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001PA P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. (22)【详解】(I) 1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X =≤≤==+≤===≤===⎰(II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-= []1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤-[]1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++-所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它 (23) 【详解】(I) 因为2(,)X N μσ ，所以2(,)X N nσμ ，从而2,E X D X nσμ= =．因为 221()()E T E X S n =-221()E X E S n=-221()()D X E X E S n=+-222211nnσμσμ=+-=所以，T 是2μ的无偏估计(II)方法一：22()()D T ET ET =-，()0E T =，22()1E S σ==所以2()D T ET =442222()S E X X S nn=-⋅+4224221()()()()E X E X E S E S nn=-+因为(0,1)X N ，所以1(0,)X N n，有10,E X D X n==，()221E XD XE Xn=+=所以22422221()()()()()E X D X E X D n X D X E X n ⎛⎫⎡⎤=+=⋅++ ⎪⎣⎦⎝⎭()2221()Dn XD X n⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭()2422222()1ES E S DS ES DS ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦因为2222(1)(1)(1)n SW n S n χσ-==-- ，所以2(1)DW n =-，又因为22(1)D W n D S =-，所以22(1)D S n =-,所以4211(1)1n ES n n +=+=--所以 2223211111n E T nn n n n +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-. 方法二：当0,1μσ==时221()()D T D XS n=-(注意X 和2S 独立)()222222221111(1)(1)DX DS Dn XD n S nnnn ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦-。
考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三2008真题
考研数学三2008真题一、选择题1. 一块土地上要建设一座塔，塔上有一个标志，标志离地面的高度是50米。
建塔共有两种方法，即两种建筑的顺序可以不同。
第一种方法是先建立一个高度为30米的架子，再在上面建塔，架子上不放标志。
第二种方法是地面上直接建塔。
布方程表示整个塔的高度，已知第二种方法所建塔的高度等于第一种方法所建塔的高度加10米，试求出第一种方法所建塔的高度。
2. 函数f(x)满足条件，对于任意的非负实数x，f(f(x))=x。
已知f(2)=-1，求f(25)。
二、解答题1. 设A、B为非空集合，f：A→B为满射。
若f(A)为B，证明f是单射。
解：由题意知f是满射，即对于B中的任意元素y，存在A中的元素x使得f(x)=y。
假设存在A中的两个不同元素x1和x2，使得f(x1)=f(x2)=y。
由于f是满射，所以x1和x2都属于A，且x1≠x2。
但根据等式f(x1)=f(x2)，可以得出y只对应一个元素x，即f不是单射，与题目所要证明的结论矛盾。
因此，f是单射。
2. 设函数f(x)满足条件f(3x-2)=2x+1，则求f(2008)的值。
解：将x=670代入f(3x-2)=2x+1得f(670)=2001，则f(2008)=f(3*670-2)=2*670+1=1341。
三、计算题1. 设S为等差数列的前n项和，已知S的公式为S=n²+3n，则求该等差数列的首项。
解：设等差数列的首项为a，公差为d，根据等差数列求和的公式S=n/2(2a+(n-1)d)，代入已知条件S=n²+3n可得a=n+2。
因此，该等差数列的首项为n+2。
2. 已知两个正整数x和y满足x²+xy+y²=29，求x和y的所有可能取值。
解：将已知条件改写为(x+y)²-xy=29，令a=x+y，b=xy，可将方程改写为a²-b=29。
因为a和b均为正整数，所以可以先找出所有满足a²-29=b条件的正整数对(a,b)，再判断是否存在正整数x和y使得x+y=a和xy=b成立。
数三08年真题答案解析
数三08年真题答案解析2008年的数学三真题是高考数学试卷中的一部分，对于考生来说是非常重要的一次考试。
“数学三”是指数学科目的第三部分，通常是高难度题目。
正因为如此，许多考生都对2008年数学三真题的答案解析非常感兴趣。
下面将对该份真题进行一定的解析，以帮助考生更好地理解和掌握。
首先我们来看看第一道题目，该题目是关于平面向量的问题。
题目给出了两个向量a和b，要求求解三个未知变量x、y、z的值，从而使得向量a + x向量b与向量a - z向量b之间的夹角等于120度。
这道题目主要考察了对向量的运算和夹角的概念的理解。
考生需要根据向量加法和向量的夹角公式来进行求解。
具体的计算过程可以通过解方程组的方法得出。
这个题目的解答过程相对较长，需要考生有较强的计算能力和耐心。
接下来是第二道题目，该题目是关于排列组合的问题。
题目给出了一个有特殊条件的排列，要求求解这个排列中有多少个数字是奇数。
这个题目的解答相对简单，只需要根据给定的条件，采用排列组合的技巧进行计算即可。
考生需要注意理解题目的要求，分析问题，得出解题的思路。
通过排列组合的公式和技巧来进行计算，得到最终的答案。
第三道题目是关于导数的问题。
题目给出了一个函数和其导数的性质，要求求解该函数的一个特定点。
这个题目主要考察了对导数概念和性质的理解。
考生需要根据导数的定义和性质来进行计算，得出函数的特定点。
这个题目要求考生对导数的基本概念和定理有较好的掌握，对函数的性质和图像有一定的理解。
第四道题目是关于不等式的问题。
题目给出了两个复杂的不等式，要求求解不等式的解集。
这个题目主要考察了对不等式的运算和求解的能力。
考生需要通过分析不等式的特点，采用恒不等式和推论的方法，对不等式进行简化和求解。
这个题目要求考生对不等式的性质和运算技巧有一定的掌握。
最后是第五道题目，该题目是关于立体几何的问题。
题目给出了一个立方体，要求求解其两个对角线的夹角。
这个题目主要考察了对立体几何的理解和运用。
2008年数学三_考研数学真题及解析
2008年考研数学（三）真题一、选择题：（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x =⎰的（ ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷间断点. ()D 振荡间断点.（2）曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分0()a taf x dx ⎰等于（） ()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积.（3）已知(,)f x y =，则（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在 （B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在（C ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在 （D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在（4）设函数f连续，若22(,)uv D f u v =⎰⎰，其中uv D 为图中阴影部分，则F u ∂=∂（ ）（A ）2()vf u （B ）2()vf u u （C ）()vf u （D ）()vf u u（5）设A 为阶非0矩阵E 为阶单位矩阵若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则在实数域上域与A 合同矩阵为（ ）()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭. ()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭. ()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.（7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）()A ()2F x . ()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦. ()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）()A {}211P Y X =--=.()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=. ()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x c f x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = . （10）设341()1x x f x x x ++=+，则2()______f x dx =⎰.（11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则2()D xy dxdy -=⎰⎰ .（12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则14_____A E --=.（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本题满分10分） 求极限201sin lim ln x x x x→. (16) （本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时. （1）求dz（2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂. (17) （本题满分11分）计算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.(18) （本题满分10分）设()f x 是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数t ，有()()220t t f x dx f x dx +=⎰⎰；（2）证明()()()202xt t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数． (19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？(20) （本题满分12分）设矩阵2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，()1,0,,0B =，（1）求证()1n A n a =+;（2）a 为何值，方程组有唯一解;（3）a 为何值，方程组有无穷多解.（21）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3a 满足323Aa a a =+，证明（1）123,,a a a 线性无关；（2）令()123,,P a a a =，求1P AP -. （22）（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭； （2）求Z 的概率密度．（23） （本题满分11分）12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑，221T X S n=-. （1）证 T 是2μ的无偏估计量.（2）当0,1μσ==时 ，求DT .卖炭翁白居易(唐) 字乐天号香山居士卖炭翁，伐薪烧炭南山中。
2008年考研数学三真题及解析(非常详细)
2008年考研数学（三）真题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（ ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷间断点.()D 振荡间断点.（2）曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()at af x dx ⎰等于（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）已知24(,)x y f x y e+=，则（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在 （B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 （C ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在 （D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在 （4）设函数f 连续，若2222()(,)uvD f x y f u v dxdy x y +=+⎰⎰，其中uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂（ ） （A ）2()vf u （B ）2()v f u u（C ）()vf u （D ）()vf u u（5）设A 为阶非0矩阵E 为阶单位矩阵若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭则在实数域上域与A 合同矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.（7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）设341()1x x f x x x ++=+，则222()______f x dx =⎰.（11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则2()Dx y dxdy -=⎰⎰ . （12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则14_____A E --=. （14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX== .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本题满分10分）求极限21sin limln x xx x→. (16) （本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时. （1）求dz （2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求ux∂∂. (17) （本题满分11分）计算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.(18) （本题满分10分）设()f x 是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数t ，有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰；（2）证明()()()202xt t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？(20) （本题满分12分）设矩阵2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程A X B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+;（2）a 为何值，方程组有唯一解;（3）a 为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3a 满足323Aa a a =+， 证明（1）123,,a a a 线性无关；（2）令()123,,P a a a =，求1P AP -.（22）（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭； （2）求Z 的概率密度．（23） （本题满分11分）12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑，221T X S n=-.（1）证 T 是2μ的无偏估计量.（2）当0,1μσ==时 ，求DT .2008年考研数学（三）真题解析一、选择题 (1)【答案】B【详解】 ()()0()lim ()limlim 0xx x x f t dt g x f x f x→→→===⎰，所以0x =是函数()g x 的可去间断点． (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．(3)【答案】B【详解】240000(,0)(0,0)11(0,0)lim lim lim 0xx xx x x f x f e e f x xx+→→→---'===- 0011lim lim 1xx x x e e x x ++→→--==，0011lim lim 1xx x x e e x x---→→--==- 故(0,0)x f '不存在．242020000(0,)(0,0)11(0,0)lim limlim lim 00y y y y y y y f y f e e y f y yyy +→→→→---'=====- 所以(0,0)y f '存在．故选B . (4)【答案】A【详解】用极坐标得 ()()222()22211,()vuuf r r Df u v F u v dudv dv rdr v f r dr u v +===+⎰⎰⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂. (5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=. 故,E A E A -+均可逆． (6)【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----，所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. (7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2max ,Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==.(8)【答案】D【详解】 用排除法. 设Y aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,EX EY ==所以 ()()E Y E aX b aEX b =+=+01,a b =⨯+= 所以1b =. 排除()B . 故选择()D . 二、填空题 (9)【答案】1【详解】由题设知||0c x ≥≥，所以22,()1,2,x x c f x x c x c x x c >⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-<-⎩因为 ()22lim lim(1)1x cx cf x x c --→→=+=+，()22lim lim x c x cf x x c++→→== 又因为()f x 在(,)-∞+∞内连续，()f x 必在x c =处连续所以 ()()lim lim ()x cx cf x f x f c +-→→==，即2211c c c+=⇒=. (10)【答案】1ln 32【详解】222111112x xx x f x x x x x x ++⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭，令1t x x =+，得()22t f t t =- 所以()()()22222222222111ln 2ln 6ln 2ln 32222x f x dx dx x x ==-=-=-⎰⎰. (11)【答案】4π【详解】()22221()2DDDx y dxdy x dxdy x y dxdy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰利用函数奇偶性 21200124d r rdr ππθ==⎰⎰.(12)【答案】1y x= 【详解】由dy y dx x-=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1x C y =+，又(1)1y =，所以1y x =. (13)【答案】3【详解】A 的特征值为1,2,2，所以1A -的特征值为1,12,12， 所以14A E --的特征值为4113⨯-=，41211⨯-=，41211⨯-= 所以143113B E --=⨯⨯=. (14)【答案】112e - 【详解】由22()DX EX EX =-，得22()EX DX EX =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1DX EX ==，所以2112EX =+=，所以 {}21111222P X e e --===！.三、解答题(15) 【详解】 方法一：22001sin 1sin limln lim ln 11x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--===-=- 方法二：2230001sin cos sin cos sin lim ln lim lim2sin 2x x x x x x x x x xx x x x x →→→--=洛必达法则 20sin 1lim 66x x x x →-=-洛必达法则 (16) 【详解】(I) ()()22xdx ydy dz x y z dx dy dz ϕ'+-=++⋅++()()()122dz x dx y dy ϕϕϕ'''⇒+=-++-+()()221x dx y dydz ϕϕϕ''-++-+⇒='+()1ϕ'≠-(II) 由上一问可知22,11z x z yx y ϕϕϕϕ''∂-+∂-+==''∂+∂+， 所以 ()11221222,()()1111z z x y y x u x y x y x y x y x y ϕϕϕϕϕϕ''∂∂-+-+-+=-=-=⋅=''''-∂∂-++-++所以 ()()()()223322(1)2(1)2(12)2(12)11111x z u x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ'-∂''+''-+'''''''∂++-++∂==-=-=-∂''''++++. (17) 【详解】 曲线1xy =将区域分成两 个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++- 19ln 24=+ (18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数t ，()()()()20222t t ttf x dx f x dx f x dx f x dx ++=++⎰⎰⎰⎰令2x u =+，则()()()()222t tttf x dx f u du f u du f x dx +=+==-⎰⎰⎰⎰所以()()()()()222t tttf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +=+-=⎰⎰⎰⎰⎰(II) 由(1)知，对任意的t 有()()222t f x dx f x dx +=⎰⎰，记()2a f x dx =⎰，则()0()2xG x f u du ax =-⎰. 所以，对任意的x ，()()2(2)()2(2)2x xG x G x f u du a x f u du ax ++-=-+-+⎰⎰()()22022220x xf u du a f u du a +=-=-=⎰⎰所以()G x 是周期为2的周期函数.方法二：(I) 设2()()t tF t f x dx +=⎰，由于()(2)()0F t f t f t '=+-=，所以()F t 为常数，从而有()(0)F t F =. 而2(0)()F f x dx =⎰，所以2()()F t f x dx =⎰，即220()()t tf x dx f x dx +=⎰⎰.(II) 由(I)知，对任意的t 有()()222t f x dx f x dx +=⎰⎰，记()20a f x dx =⎰，则O 0.5 2 xD 1D 3 D 2()0()2x G x f u du ax =-⎰ ， ()2(2)2(2)x G x f u du a x ++=-+⎰由于对任意x ，()(2)2(2)2()G x f x a f x a '+=+-=-，()()2()G x f x a '=- 所以 ()(2)()0G x G x '+-=，从而 (2)()G x G x +-是常数 即有 (2)()(2)(0)0G x G x G G +-=-= 所以()G x 是周期为2的周期函数.(19) 【详解】方法一：设n A 为用于第n 年提取(109)n +万元的贴现值，则(1)(109)n n A r n -=++故 1111110919102009(1)(1)(1)(1)n n n nnn n n n nn n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑设 1()(1,1)n n S x n x x ∞==∈-∑因为 21()()()(1,1)1(1)nn x xS x x x xx x x ∞=''=== ∈---∑所以 11()()4201 1.05S S r ==+(万元) 故 2009420398A =+⨯=(万元)，即至少应存入3980万元.方法二：设第t 年取款后的余款是t y ，由题意知t y 满足方程1(10.05)(109)t t y y t -=+-+， 即 11.05(109)t t y y t --=-+ (1)(1)对应的齐次方程 11.050t t y y --=的通解为 (1.05)tt y C = 设(1)的通解为 *t y at b =+，代入(1)解得 180a =，3980b = 所以(1)的通解为 (1.05)1803980tt y C t =++ 由0y A =，0t y ≥得 3980A C =+ 0C ≥ 故A 至少为3980万元．(20) 【详解】(I) 证法一：2222122121213210122122112221301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a aa a a a a a A r ar aaa aa a an a a n a r ar a n a nnn a n-=-=-+-=⋅⋅⋅=++证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得221221221210212121222(1)(1)n n n n nn n a a a aD aD a aaD a D ana a n a n a -----=-=-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a aaD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II) 因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a a a a D na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III) 方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k + 为任意常数．(21)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(22)【详解】(I) 1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X =≤≤==+≤===≤===⎰(II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=[]1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤- []1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++-所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它(23) 【详解】(I) 因为2(,)X N μσ ，所以2(,)X N nσμ ，从而2,E X DX nσμ= =．因为 221()()E T E X S n =-221()E X E S n =-221()()DX E X E S n =+-222211n nσμσμ=+-=所以，T 是2μ的无偏估计(II)方法一：22()()D T ET ET =-，()0E T =，22()1E S σ==所以2()D T ET =442222()S E X X S n n=-⋅+4224221()()()()E X E X E S E S n n=-+因为(0,1)X N ，所以1(0,)X N n，有10,E X DX n ==，()221E X DX E X n=+=所以22422221()()()()()E X D X E X D n X D X E X n ⎛⎫⎡⎤=+=⋅++⎪⎣⎦⎝⎭()2221()D n XD X n⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭()2422222()1ES E S DS ES DS ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦因为2222(1)(1)(1)n S W n S n χσ-==-- ，所以2(1)DW n =-，又因为22(1)DW n DS =-，所以22(1)DS n =-,所以4211(1)1n ES n n +=+=--所以 2223211111n ET n n n n n +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-. 方法二：当0,1μσ==时221()()D T D X S n =- (注意X 和2S 独立)()222222221111(1)(1)DX DS DnXD n S n nn n ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦-。
2008数学考研真题答案
2008数学考研真题答案2008年的数学考研真题涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个部分，每个部分都包含了一定数量的题目。
由于这是一个非常广泛的话题，我将提供一些典型的题型和解题方法，而不是提供完整的真题答案。
# 高等数学部分1. 极限问题：通常涉及求函数在某一点的极限，或者无穷远处的极限。
解决这类问题时，需要掌握洛必达法则、夹逼定理等基本极限求解技巧。
2. 导数与微分：考查导数的定义、几何意义以及导数的应用，如求曲线的切线斜率、函数的单调性、极值和最值等。
3. 积分问题：包括不定积分和定积分的计算，以及积分的应用，如计算面积、体积等。
4. 级数问题：考查数列和函数的级数收敛性，以及级数求和。
5. 微分方程：包括一阶微分方程和高阶微分方程的求解。
# 线性代数部分1. 矩阵运算：涉及矩阵的加法、乘法、转置、求逆等基本运算。
2. 向量空间：考查向量组的线性相关性、基和维数，以及向量空间的子空间。
3. 特征值和特征向量：求解矩阵的特征值和特征向量，以及利用它们进行矩阵对角化。
4. 二次型：包括二次型的规范型和惯性指数的计算。
# 概率论与数理统计部分1. 随机事件的概率：涉及古典概型、条件概率、全概率公式和贝叶斯公式。
2. 随机变量及其分布：包括离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布，以及它们的期望值和方差。
3. 大数定律和中心极限定理：考查这两个定理的表述和应用。
4. 统计量的分布：涉及样本均值、样本方差等统计量的分布。
5. 参数估计：包括点估计和区间估计，以及假设检验。
由于考研真题涉及的题目类型和内容非常广泛，这里只是简要概述了一些常见的题型和解题思路。
如果需要具体的题目和答案，建议参考相关的考研辅导书籍或历年真题解析。
同时，考研复习时，理解概念、掌握方法、多做练习是提高解题能力的关键。
希望这些信息对你有所帮助。
2008年考研数学(三)真题答案与解析
2008年考研数学(三)真题答案与解析一、选择题(1)【答案】B【详解】 ()()0()lim ()limlim 0xx x x f t dt g x f x f x→→→===⎰，所以0x =是函数()g x 的可去间断点． (2)【答案】C 【详解】()()()()()()aaa aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．(3)【答案】B【详解】240000(,0)(0,0)11(0,0)limlim lim 0xx x x x x f x f ee f x xx+→→→---'===- 0011lim lim 1xx x x e e x x ++→→--==，0011lim lim 1xx x x e e x x---→→--==- 故(0,0)x f '不存在．242020000(0,)(0,0)11(0,0)lim limlim lim 00y y y y y y y f y f e e y f y yyy +→→→→---'=====- 所以(0,0)y f '存在．故选B . (4)【答案】A【详解】用极坐标得 ()()222()22211,()vu uf r r Df u v F u v dudv dv rdr v f r dr u v +===+⎰⎰⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂. (5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=. 故,E A E A -+均可逆． (6)【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---， 又()2121421E A λλλλ---==----， 所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. (7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2max ,Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==.(8)【答案】D【详解】 用排除法. 设Y aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,EX EY ==所以 ()()E Y E aX b aEX b =+=+01,a b =⨯+= 所以1b =. 排除()B . 故选择()D . 二、填空题(9)【答案】1【详解】由题设知||0c x ≥≥，所以22,()1,2,x x c f x x c x c x x c >⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-<-⎩因为 ()22lim lim(1)1x cx cf x x c --→→=+=+，()22lim lim x c x cf x x c++→→== 又因为()f x 在(,)-∞+∞内连续，()f x 必在x c =处连续所以 ()()l i m l i m ()x cxcf x f x f c +-→→==，即2211c c c+=⇒=. (10)【答案】1ln 32【详解】222111112x xx x f x x x x x x ++⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭，令1t x x =+，得()22t f t t =- 所以()()()22222222222111ln 2ln 6ln 2ln 32222x f x dx dx x x ==-=-=-⎰⎰. (11)【答案】4π【详解】()22221()2DDDx y dxdy x dxdy x y dxdy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰利用函数奇偶性 21200124d r rdr ππθ==⎰⎰. (12)【答案】1y x=【详解】由dy y dx x -=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1x C y=+，又(1)1y =，所以1y x =. (13)【答案】3【详解】A 的特征值为1,2,2，所以1A -的特征值为1,12,12， 所以14A E --的特征值为4113⨯-=，41211⨯-=，41211⨯-=所以143113B E --=⨯⨯=.(14)【答案】112e - 【详解】由22()DX EX EX =-，得22()EX DX EX =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1DX EX ==，所以2112EX =+=，所以 {}21111222P X e e --===！.三、解答题(15) 【详解】 方法一：22001sin 1sin limln lim ln 11x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--===-=- 方法二：2230001sin cos sin cos sin lim ln lim lim 2sin 2x x x x x x x x x xx x x x x →→→--=洛必达法则20sin 1lim 66x x x x →-=-洛必达法则(16) 【详解】(I) ()()22xdx ydy dz x y z dx dy dz ϕ'+-=++⋅++()()()122dz x dx y dy ϕϕϕ'''⇒+=-++-+ ()()221x dx y dy dz ϕϕϕ''-++-+⇒='+()1ϕ'≠-(II) 由上一问可知22,11z x z yx y ϕϕϕϕ''∂-+∂-+==''∂+∂+， 所以 ()11221222,()()1111z z x y y x u x y x y x y x y x y ϕϕϕϕϕϕ''∂∂-+-+-+=-=-=⋅=''''-∂∂-++-++ 所以 ()()()()223322(1)2(1)2(12)2(12)11111x z u x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ'-∂''+''-+'''''''∂++-++∂==-=-=-∂''''++++. (17) 【详解】 曲线1xy =将区域分成两 个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++- 19ln 24=+ (18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数t ，()()()()20222t t ttf x dx f x dx f x dx f x dx ++=++⎰⎰⎰⎰令2x u =+，则()()()()222t tttf x dx f u du f u du f x dx +=+==-⎰⎰⎰⎰所以()()()()()222t tttf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +=+-=⎰⎰⎰⎰⎰(II) 由(1)知，对任意的t 有()()222t f x dx f x dx +=⎰⎰，记()2a f x dx =⎰，则()0()2xG x f u du ax =-⎰. 所以，对任意的x ，()()2(2)()2(2)2x xG x G x f u du a x f u du ax ++-=-+-+⎰⎰()()22022220x xf u du a f u du a +=-=-=⎰⎰所以()G x 是周期为2的周期函数.O 0.5 2 xD 1D 3 D 2方法二：(I) 设2()()t tF t f x dx +=⎰，由于()(2)()0F t f t f t '=+-=，所以()F t 为常数，从而有()(0)F t F =. 而2(0)()F f x dx =⎰，所以2()()F t f x dx =⎰，即220()()t tf x dx f x dx +=⎰⎰.(II) 由(I)知，对任意的t 有()()222t f x dx f x dx +=⎰⎰，记()20a f x dx =⎰，则()0()2xG x f u du ax =-⎰ ， ()20(2)2(2)x G x f u du a x ++=-+⎰由于对任意x ，()(2)2(2)2()G x f x a f x a '+=+-=-，()()2()G x f x a '=- 所以 ()(2)()0G x G x '+-=，从而 (2)()G x G x +-是常数 即有 (2)()(2)(0)0G x G x G G +-=-= 所以()G x 是周期为2的周期函数.(19) 【详解】方法一：设n A 为用于第n 年提取(109)n +万元的贴现值，则(1)(109)n n A r n -=++故 1111110919102009(1)(1)(1)(1)n n n nnn n n n nn n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑设 1()(1,1)n n S x n x x ∞==∈-∑因为 21()()()(1,1)1(1)nn x xS x x x xx x x ∞=''=== ∈---∑所以 11()()4201 1.05S S r ==+(万元) 故 2009420398A =+⨯=(万元)，即至少应存入3980万元. 方法二：设第t 年取款后的余款是t y ，由题意知t y 满足方程1(10.05)(109)t t y y t -=+-+， 即 11.05(109)t t y y t --=-+ (1)(1)对应的齐次方程 11.050t t y y --=的通解为 (1.05)tt y C = 设(1)的通解为 *t y at b =+，代入(1)解得 180a =，3980b =所以(1)的通解为 (1.05)1803980tt y C t =++ 由0y A =，0t y ≥得 3980A C =+ 0C ≥故A 至少为3980万元．(20) 【详解】(I) 证法一：2222122121213210122122112221301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a aa a a a a a A r ar aaa aa a an a a n a r ar a n a n nn a n-=-=-+-=⋅⋅⋅=++证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)n n D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得221221221210212121222(1)(1)n n n n nn n a a a a D aD a aaD a D ana a n a n a -----=-=-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+ 1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II) 因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)n A n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a a a a D na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III) 方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k + 为任意常数．(21)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(22)【详解】(I) 1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X =≤≤==+≤===≤===⎰ (II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=[]1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤- []1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++- 所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它(23) 【详解】(I) 因为2(,)X N μσ ，所以2(,)X N nσμ ，从而2,E X DX nσμ= =．因为 221()()E T E X S n =-221()E X E S n =- 221()()DX E X E S n =+-222211n nσμσμ=+-=所以，T 是2μ的无偏估计(II)方法一：22()()D T ET ET =-，()0E T =，22()1E S σ==所以2()D T ET =442222()S E X X S n n=-⋅+4224221()()()()E X E X E S E S n n=-+ 因为(0,1)X N ，所以1(0,)X N n，有10,E X D X n ==，()221E X DX E X n=+=所以22422221()()()()()E X D X E X D n X D X E X n ⎛⎫⎡⎤=+=⋅++ ⎪⎣⎦⎝⎭()2221()D n XD X n⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭ ()2422222()1ES E S DS ES DS ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦因为2222(1)(1)(1)n S W n S n χσ-==-- ，所以2(1)DW n =-，又因为22(1)DW n DS =-，所以22(1)DS n =-,所以4211(1)1n ES n n +=+=--所以 2223211111n ET n n n n n +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-. 方法二：当0,1μσ==时221()()D T D X S n=- (注意X 和2S 独立)()222222221111(1)(1)DX DS DnXD n S n nn n ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦-。
2008数学三答案解析
类似， z 对 y 在 P(x0 , y0 ) 点处的偏导数定义为：
∂z ∂y
P
= lim ∆y →0
f (x0 , y0 + ∆y) − ∆y
f (x0 , y0 ) = lim y→ y0
f (x0 , y) − f (x0 , y0 ) y − y0
—2—
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∆x→0
f
(∆x, 0) −
∆x
f
( 0, 0)
= lim e ∆x −1 = ∆x→0 ∆x
lim
∆x→0
∆x ∆x
不存在，
f
′
y
(
0,
0
)
=
lim
∆y →0
f
(0, ∆y) −
∆y
f
( 0, 0)
= lim e(∆y)2 −1 = ∆y→0 ∆y
( ∆y )2
lim ∆x→0 ∆y
= 0 存在，
（C） E − A 可逆， E + A 可逆
（D） E − A 可逆， E + A 不可逆 [ ]
【分析】从 A3 = O 入手.
( ) 【详解】 A3 = O ⇒ A3 + E = E ⇒ ( A + E ) A2 − A + E = E ，所以 A + E 可逆，
( ) A3 = O ⇒ A3 − E = −E ⇒ ( E − A) A2 + A + E = E ，所以 E − A 可逆，
【详解】因为
A
=
⎡1 ⎢⎣2
2⎤ 1⎥⎦
为实对称矩阵，
A
的特征值为
−1,
2008数三考研真题
2008数三考研真题2008年的数学三考研真题是考生们备战考研的重要参考资料之一。
这套试题涵盖了数学三科目的各个知识点，并且难度适中，能够帮助考生们更好地了解自己的数学水平和应试能力。
在本文中，我们将对这套真题进行分析和解读，帮助考生们更好地应对考试。
首先，我们来看看这套真题的整体难度水平。
根据考生们的反馈和评价，2008年的数学三考研真题整体难度适中，与往年相比没有明显的变化。
这对考生们来说是一个好消息，因为他们可以通过认真复习和练习，有信心在考试中取得好成绩。
然而，考生们也不能掉以轻心，因为数学三科目的知识点相对较多，需要细致入微的复习和掌握。
接下来，我们来分析这套真题的各个知识点。
这套真题主要涵盖了线性代数、概率论与数理统计、数值分析和常微分方程等几个重要的数学知识点。
其中，线性代数的部分包括了矩阵的特征值、特征向量和对角化等内容；概率论与数理统计的部分涉及了概率分布、参数估计和假设检验等内容；数值分析的部分主要包括数值积分和数值解常微分方程等内容。
通过对这些知识点的深入学习和理解，考生们可以更好地应对考试中的各种题型。
在备考过程中，考生们可以采取一些有效的复习方法。
首先，他们可以通过查阅教材和参考书籍，对每个知识点进行系统的学习和掌握。
其次，考生们可以通过做题来加深对知识点的理解和记忆。
可以选择做一些经典的例题和习题，也可以通过做真题来检验自己的学习成果。
此外，考生们还可以参加一些模拟考试和讲座，提高自己的应试能力和解题技巧。
除了以上的复习方法，考生们还需要注意一些细节。
首先，他们需要合理安排时间，确保每个知识点都有足够的复习时间。
其次，考生们需要保持良好的心态，不要过分紧张或放松，保持自信和冷静的状态。
最后，考生们需要注重练习和总结，通过不断地做题和总结，提高自己的解题能力和应试技巧。
总之，2008年的数学三考研真题是考生们备战考研的重要参考资料。
通过对这套真题的分析和解读，考生们可以更好地了解考试的难度和知识点，制定合理的复习计划，并采取有效的复习方法。
2008年考研数学三真题及解析
2008年考研数学（三）真题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（ ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷间断点.()D 振荡间断点.（2）曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()at af x dx ⎰等于（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）已知24(,)x y f x y e+=，则（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在 （B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 （C ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在 （D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在 （4）设函数f 连续，若2222()(,)uvD f x y f u v dxdy x y +=+⎰⎰，其中uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂（ ） （A ）2()vf u （B ）2()v f u u（C ）()vf u （D ）()vf u u（5）设A 为阶非0矩阵E 为阶单位矩阵若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭则在实数域上域与A 合同矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.（7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）设341()1x x f x x x ++=+，则222()______f x dx =⎰.（11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则2()Dxy dxdy -=⎰⎰ .（12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则14_____A E --=.（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本题满分10分）求极限201sin limln x x x x→. (16) （本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时. （1）求dz （2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂. (17) （本题满分11分）计算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.(18) （本题满分10分）设()f x 是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数t ，有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰；（2）证明()()()202xt t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？(20) （本题满分12分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程A X B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+;（2）a 为何值，方程组有唯一解;（3）a 为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3a 满足323Aa a a =+， 证明（1）123,,a a a 线性无关；（2）令()123,,P a a a =，求1P AP -.（22）（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+ （1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭； （2）求Z 的概率密度．（23） （本题满分11分）12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑，221T X S n=-. （1）证 T 是2μ的无偏估计量.（2）当0,1μσ==时 ，求DT .2008年考研数学（三）真题解析一、选择题 (1)【答案】B【详解】 ()()0()lim ()limlim 0xx x x f t dt g x f x f x→→→===⎰，所以0x =是函数()g x 的可去间断点． (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．(3)【答案】B【详解】240000(,0)(0,0)11(0,0)lim lim lim 0xx xx x x f x f e e f x xx+→→→---'===- 0011lim lim 1xx x x e e x x ++→→--==，0011lim lim 1xx x x e e x x---→→--==- 故(0,0)x f '不存在．242020000(0,)(0,0)11(0,0)lim limlim lim 00y y y y y y y f y f e e y f y yyy +→→→→---'=====- 所以(0,0)y f '存在．故选B . (4)【答案】A【详解】用极坐标得 ()()222()22211,()vu uf r r Df u v F u v dudv dv rdr v f r dr u v +===+⎰⎰⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂. (5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=. 故,E A E A -+均可逆． (6)【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----， 所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. (7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2max ,Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==.(8)【答案】D【详解】 用排除法. 设Y aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,EX EY ==所以 ()()E Y E aX b aEX b =+=+01,a b =⨯+= 所以1b =. 排除()B . 故选择()D . 二、填空题 (9)【答案】1【详解】由题设知||0c x ≥≥，所以22,()1,2,x x c f x x c x c x x c >⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-<-⎩因为 ()22lim lim(1)1x cx cf x x c --→→=+=+，()22lim lim x c x cf x x c++→→== 又因为()f x 在(,)-∞+∞内连续，()f x 必在x c =处连续所以 ()()lim lim ()x cx cf x f x f c +-→→==，即2211c c c+=⇒=. (10)【答案】1ln 32【详解】222111112x xx x f x x x x x x ++⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭，令1t x x =+，得()22t f t t =- 所以()()()22222222222111ln 2ln 6ln 2ln 32222x f x dx dx x x ==-=-=-⎰⎰. (11)【答案】4π【详解】()22221()2DDDx y dxdy x dxdy x y dxdy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰利用函数奇偶性 21200124d r rdr ππθ==⎰⎰.(12)【答案】1y x= 【详解】由dy y dx x -=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1x C y=+，又(1)1y =，所以1y x =.(13)【答案】3【详解】A 的特征值为1,2,2，所以1A -的特征值为1,12,12， 所以14A E --的特征值为4113⨯-=，41211⨯-=，41211⨯-=所以143113B E --=⨯⨯=.(14)【答案】112e - 【详解】由22()DX EX EX =-，得22()EX DX EX =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1DX EX ==，所以2112EX =+=，所以 {}21111222P X e e --===！.三、解答题(15) 【详解】 方法一：22001sin 1sin limln lim ln 11x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--===-=-方法二：2230001sin cos sin cos sin lim ln lim lim 2sin 2x x x x x x x x x xx x x x x →→→--=洛必达法则20sin 1lim 66x x x x →-=-洛必达法则 (16) 【详解】(I) ()()22xdx ydy dz x y z dx dy dz ϕ'+-=++⋅++()()()122dz x dx y dy ϕϕϕ'''⇒+=-++-+ ()()221x dx y dy dz ϕϕϕ''-++-+⇒='+()1ϕ'≠-(II) 由上一问可知22,11z x z yx y ϕϕϕϕ''∂-+∂-+==''∂+∂+， 所以 ()11221222,()()1111z z x y y x u x y x y x y x y x y ϕϕϕϕϕϕ''∂∂-+-+-+=-=-=⋅=''''-∂∂-++-++所以 ()()()()223322(1)2(1)2(12)2(12)11111x z u x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ'-∂''+''-+'''''''∂++-++∂==-=-=-∂''''++++. (17) 【详解】 曲线1xy =将区域分成两 个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++- 19ln 24=+ (18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数t ，()()()()20222t t ttf x dx f x dx f x dx f x dx ++=++⎰⎰⎰⎰令2x u =+，则()()()()222t tttf x dx f u du f u du f x dx +=+==-⎰⎰⎰⎰所以()()()()()222t tttf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +=+-=⎰⎰⎰⎰⎰(II) 由(1)知，对任意的t 有()()222t f x dx f x dx +=⎰⎰，记()2a f x dx =⎰，则()0()2xG x f u du ax =-⎰. 所以，对任意的x ，()()2(2)()2(2)2x xG x G x f u du a x f u du ax ++-=-+-+⎰⎰()()22022220x xf u du a f u du a +=-=-=⎰⎰所以()G x 是周期为2的周期函数.方法二：(I) 设2()()t tF t f x dx +=⎰，由于()(2)()0F t f t f t '=+-=，所以()F t 为常数，从而有()(0)F t F =.而2(0)()F f x dx =⎰，所以2()()F t f x dx =⎰，即220()()t tf x dx f x dx +=⎰⎰.(II) 由(I)知，对任意的t 有()()222t f x dx f x dx +=⎰⎰，记()20a f x dx =⎰，则O 0.5 2 xD 1D 3 D 2()0()2x G x f u du ax =-⎰ ， ()2(2)2(2)x G x f u du a x ++=-+⎰由于对任意x ，()(2)2(2)2()G x f x a f x a '+=+-=-，()()2()G x f x a '=- 所以 ()(2)()0G x G x '+-=，从而 (2)()G x G x +-是常数 即有 (2)()(2)(0)0G x G x G G +-=-= 所以()G x 是周期为2的周期函数.(19) 【详解】方法一：设n A 为用于第n 年提取(109)n +万元的贴现值，则(1)(109)n n A r n -=++故 1111110919102009(1)(1)(1)(1)n n n nnn n n n nn n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑设 1()(1,1)n n S x n x x ∞==∈-∑因为 21()()()(1,1)1(1)nn x xS x x x xx x x ∞=''=== ∈---∑所以 11()()4201 1.05S S r ==+(万元) 故 2009420398A =+⨯=(万元)，即至少应存入3980万元. 方法二：设第t 年取款后的余款是t y ，由题意知t y 满足方程1(10.05)(109)t t y y t -=+-+， 即 11.05(109)t t y y t --=-+ (1)(1)对应的齐次方程 11.050t t y y --=的通解为 (1.05)t t y C = 设(1)的通解为 *t y at b =+，代入(1)解得 180a =，3980b = 所以(1)的通解为 (1.05)1803980tt y C t =++ 由0y A =，0t y ≥得 3980A C =+ 0C ≥ 故A 至少为3980万元．(20) 【详解】(I) 证法一：2222122121213210122122112221301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a aa a a a a a A r ar aaa aa a an a a n a r ar a n a n nn a n-=-=-+-=⋅⋅⋅=++证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)n n D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得221221221210212121222(1)(1)n n n n nn n a a a a D aD a aaD a D ana a n a n a -----=-=-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+ 1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II) 因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)n A n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a a a a D na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III) 方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k + 为任意常数．(21)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(22)【详解】(I) 1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X =≤≤==+≤===≤===⎰ (II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-= []1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤- []1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++-所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它(23) 【详解】(I) 因为2(,)X N μσ ，所以2(,)X N nσμ ，从而2,E X DX nσμ= =．因为 221()()E T E X S n =-221()E X E S n =-221()()DX E X E S n =+-222211n nσμσμ=+-=所以，T 是2μ的无偏估计(II)方法一：22()()D T ET ET =-，()0E T =，22()1E S σ==所以2()D T ET =442222()S E X X S n n=-⋅+4224221()()()()E X E X E S E S n n=-+ 因为(0,1)X N ，所以1(0,)X N n，有10,E X D X n ==，()221E X DX E X n=+=所以22422221()()()()()E X D X E X D n X D X E X n ⎛⎫⎡⎤=+=⋅++⎪⎣⎦⎝⎭()2221()D n XD X n⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭()2422222()1ES E S DS ES DS ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦因为2222(1)(1)(1)n S W n S n χσ-==-- ，所以2(1)DW n =-，又因为22(1)DW n DS =-，所以22(1)DS n =-,所以4211(1)1n ES n n +=+=--所以 2223211111n ET n n n n n +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-. 方法二：当0,1μσ==时221()()D T D X S n=- (注意X 和2S 独立)()222222221111(1)(1)DX DS DnXD n S n nn n ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦-。
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一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个
选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号
内.
（1）设函数在区间上连续，则是函数的（ ）
跳跃间断点.
可去间断点.
无穷间断点.
振荡间断点.
（2）曲线段方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于（ ）
可逆，不可逆.
（6）设则在实数域上域与合同矩阵为（ ）
.
.
.
.
（7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ）
.
.
.
（8）随机变量，且相关系数，则（ ）
.
.
.
.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指
定位置上.
（9）设函数在内连续，则 .
（10）设，则.
（11）设，则.
曲边梯形面积.
梯形面积.
曲边三角形面积.
三角形面积.
（3）已知，则
（A），都存在 （B）不存在，存在
（C）不存在，不存在 （D），都不存在
（4）设函数连续，若，其中为图中阴影部分，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）设为阶非0矩阵为阶单位矩阵若，则（ ）
不可逆，不可逆.
不可逆，可逆.
可逆，可逆.
（12）微分方程满足条件的解.
（13）设3阶矩阵的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则.
（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分10分）
求极限. (16) （本题满分10分）
2008年考研数学（三）真题解析
一、选择题 (1)【答案】 【详解】 ， 所以是函数的可去间断点． (2)【答案】 【详解】 其中是矩形ABOC面积，为曲边梯形ABOD的面积，所以为曲边三角形 的面积． (3)【答案】 【详解】
， 故不存在． 所以存在．故选. (4)【答案】 【详解】用极坐标得 所以 . (5)【答案】 【详解】，. 故均可逆． (6)【答案】
设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足， 证明（1）线性无关；
（2）令，求. （22）（本题满分11分）
设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记
（1）求； （2）求的概率密度． （23） （本题满分11分） 是总体为的简单随机样本.记，，. （1）证 是的无偏估计量. （2）当时 ，求.
设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时. （1）求 （2）记，求. (17) （本题满分11分） 计算其中. (18) （本题满分10分） 设是周期为2的连续函数， （1）证明对任意实数，有； （2）证明是周期为2的周期函数． (19) （本题满分10分） 设银行存款的年利率为，并依年复利计算，某基金会希望通过存款
【详解】记，则，
又，
所以和有相同的特征多项式，所以和有相同的特征值.
又和为同阶实对称矩阵，所以和相似．由于实对称矩阵相似必合同，故 正确. (7)【答案】 【详解】. (8)【答案】 【详解】 用排除法. 设，由，知道正相关，得，排除、 由，得 所以 所以. 排除. 故选择. 二、填空题 (9)【答案】1 【详解】由题设知，所以
因为 ， 又因为在内连续，必在处连续 所以 ，即. (10)【答案】 【详解】，令，得 所以 . (11)【答案】 【详解】
. (12)【答案】 【详解】由，两端积分得，所以，又，所以. (13)【答案】3 【详解】的特征值为，所以的特征值为， 所以的特征值为，， 所以. (14)【答案】 【详解】由，得，又因为服从参数为1的泊松分布，所以，所以，所以 .
A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取 （10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万 元？
(20) （本题满分12分） 设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，
（1）求证; （2）为何值，方程组有唯一解; （3）为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分10分）