2019-2020学年甘肃省平凉市静宁县第一中学高二上学期期中考试数学(理)试题

静宁一中2019-2020学年度第一学期高二级第二次考试数学（理科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.命题“若α=4π，则tanα=1”的逆否命题是 A. 若α≠4π，则tanα≠1 B. 若α=4π，则tanα≠1 C. 若tanα≠1，则α≠4πD. 若tanα≠1，则α=4π【答案】C 【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若α=4π，则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠4π”. 【点评】本题考查了“若p ，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.2.如图是容量为150的样本的频率分布直方图，则样本数据落在[)6,10内的频数为（ ）A. 12B. 48C. 60D. 80【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图，可得样本数据落在[6，10）内的频率，从而可得频数．【详解】解：根据频率分布直方图，样本数据落在[6，10）内的频数为0.08×4×150＝48 故选B ．【点睛】本题考查频率分布直方图，考查学生的读图能力，属于基础题． 3.下列说法中正确的是（ ）A. “a b >”是“22a b >”成立的充分不必要条件B. 命题:,20xp x R ∀∈>，则00:,20xp x R ⌝∃∈<C. 为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为40D. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为^ 1.230.08y x =+.【答案】D 【解析】对于A ，取1a =-，2b =时，不能推出22a b >，故错误；对于B ，命题:,20xp x R ∀∈>的否定为00,20x x R ∃∈≤，故错误；对于C ，为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为8004020÷=，故错误；对于D ，因为回归直线的斜率的估计值为 1.23，所以回归直线方程可写成1.23y x a =+$，根据回归直线方程过样本点的中心()4,5，则0.08a =，所以回归直线方程为 1.2308ˆ.0yx =+，故正确. 故选D.4.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P （A ）=0.65 ,P(B)=0.2，,P(C)=0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.65 C. 0.7 D. 0.3 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据对立事件的概率公式求解即可.【详解】因为事件“抽到的不是一等品”是事件A=｛抽到一等品｝的对立事件A ， 而P （A ）=0.65 ,所以()()110.650.35P A P A =-=-=， 故选A.【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式，属于基础题. 5.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】本题首先可以根据程序框图得出程序框图中所包含的关系式为1i i =+以及1a a i =?，然后根据程序框图进行运算，即可得出结果． 【详解】由程序框图可知：0i =，1a =，第一次运算：011i =+=，1112a =?=，50a <； 第二次运算：112i =+=，2215a =?=，50a <； 第三次运算：213i =+=，35116a =?=，50a <； 第四次运算：314i =+=，416165a =?=，50a >； 输出结果为4i =， 综上所述，故选C ．【点睛】本题考查根据程序框图进行运算并得出结果，能否明确程序框图中所包含的关系式以及程序框图中结果的输出条件是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题．6.已知线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ，则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为( ) A34B.23C.12D.13【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形即可得出结论． 【详解】如图所示，线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ， 则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为2163P ==． 故选D ．【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．7.已知命题:p 直线5x y -=与直线3x y +=-垂直，:q 原点到直线210x y --=的距离） A. p q ∨为假 B. p q ⌝∨为真 C. p q ∨⌝为真D.p q ⌝∨⌝为真【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可以判断出命题p 以及命题q 是真命题还是假命题，然后根据逻辑联结词“或”、“且”、“非”的相关性质即可得出结果．【详解】命题p ：因为直线5x y -=的斜率为1，直线3x y +=-的斜率为1-， 所以()111⨯-=-，两直线垂直，故p 为真命题， 命题q ：因为原点到直线210x x --=的距离5d ==， 所以q 为真命题，综上所述，p q -∨为真，故选B ．【点睛】本题主要考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的相关性质，主要考查了逻辑联结词“或”、“且”、“非”的相关命题的真假性判断，考查推理能力，是中档题．8.已知E 、F 分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，倾斜角为60o 的直线l 过点E ，且与椭圆交于A ，B 两点，则FAB V 的周长为( ) A. 10 B. 12C. 16D. 20【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的定义即可得到结果．【详解】椭圆221259x y +=，可得5a =，三角形2AF B 的周长22AF BF AB =++，11AB AF BF =+，所以：周长1212AF AF BF BF =+++，由椭圆的第一定义，1212210AF AF BF BF a +=+==， 所以，周长420a ==． 故选D ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查．9.与双曲线221164x y -=共焦点，且过点（2）的双曲线方程为（ ）A 221812x y -= B. 221812x y -+=C. 221128x y -+=D.221128x y -= 【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以根据双曲线221164x y -=求出220c =，再设双曲线方程为22221x y a b-=，带入点()2以及220c =，即可通过计算得出结果。

【详解】由题意可知双曲线221164x y -=有：216420c =+=，设双曲线方程为22221x y a b-=，因为双曲线与双曲线221164x y -=共焦点，且过点()2，所以2220a b +=，且221841a b-=，解得212a =，28b =， 所以双曲线方程为221128x y -=，综上所述，故选D 。

【点睛】本题考查共焦点的双曲线的方程的求法，当双曲线共焦点时，双曲线的c 的值是相同的，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题。

10.若命题2000:,10p x R x ax ∃∈-+≤是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. []22-,B. (][),22,-∞-+∞UC. ()2,2-D. ()(),22,-∞-+∞U【答案】B 【解析】 【分析】根据题干得到需满足240a ∆=-≥，解出不等式即可.【详解】命题2000:,10p x R x ax ∃∈-+≤是真命题，则需满足240a ∆=-≥，解得2a ≥或2a ≤-.故选B .【点睛】这个题目考查了已知命题的真假，求参的问题.涉及二次函数在R 上有解的问题，开口向上，只需要判别式大于等于0即可.11.已知P 是椭圆上一定点，12,F F 是椭圆两个焦点，若01260PF F ∠=，21PF =，则椭圆离心率为（ ）A.B.1 C.2 D. 1-【答案】B 【解析】在12PF F ∆中，122F F c =，21PF =，1260PF F o ∠=，根据余弦定理，22221121122cos60PF PF F F PF F F =+-o ，所以1PF c =，2PF ，根据椭圆定义)12c a =，则离心率1ce a==，故选择B.点睛：椭圆几何性质内容丰富，往往是命题的热点，而离心率又是几何性质中的核心，因此离心率问题一直成为考查的重点.求离心率的值及离心率的取值范围常用的方法有（1）求,,a b c 的值，由22222221c a b b e a a a -⎛⎫===- ⎪⎝⎭直接求；（2）列出含有,,a b c 的方程或不等式，借助于222b a c =-，消去b ，然后转化为关于e 的方程或不等式求解.应用平面几何知识是解决这类问题的关键.12.椭圆221259x y +=的焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，已知12PF PF ⊥，则12F PF △的面积为 A. 9 B. 12 C. 10 D. 8【答案】A 【解析】 【分析】先设出|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，利用椭圆的定义求得n +m 的值，平方后求得mn 和m 2+n 2的关系，代入△F 1PF 2的勾股定理中求得mn 的值，即可求出△F 1PF 2的面积． 【详解】由椭圆定义知1210PF PF +=，又12PF PF ⊥，所以()2212425964PF PF +=⨯-=，从而得1218PF PF ⋅=，所以12F PF V 的面积为9，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．二、填空题13.以y x =±为渐近线且经过点()2,0的双曲线方程为______．【答案】22144x y -=【解析】以y x =±为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为()220x y λλ-=≠，代入点()2,0得4λ=22224144x y x y ∴-=∴-=.【此处有视频，请去附件查看】14.如果椭圆221369x y +=的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________【答案】 y=-0.5x+4 【解析】【详解】设弦为AB ，且()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程得222211221,1369369x y x y +=+=，两式作差并化简得2112211212y y x x x x y y -+=-=--+，即弦的斜率为12-，由点斜式得()1242y x -=--，化简得0.54y x =-+. 15.已知:44p x a -<-<，:(2)(3)0q x x -->，若p ⌝是q ⌝的充分条件，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[1,6]- 【解析】 【分析】对命题进行化简，将p q ⌝⇒⌝转化为等价命题q p ⇒，即可求解. 【详解】:4444p x a a x a -<-<⇔-<<+:(2)(3)023q x x x -->⇔<<又p ⌝是q ⌝的充分条件，即p q ⌝⇒⌝，它的等价命题是q p ⇒4243a a -≤⎧∴⎨+≥⎩ ，解得16a -≤≤ 【点睛】本题主要考查了四种命题的关系，注意原命题与逆否命题的真假相同是解题的关键. 16.下列结论：①“直线l 与平面α平行”是“直线l 在平面α外”的充分不必要条件；②若p ：0x ∃>，220x x -+<，则p ⌝：0x ∀≤，2220x x -+≥； ③命题“设a ，b R ∈，若2a b +≠，则1a ≠或1b ≠”为真命题；④“3a <”是“函数()3f x x ax =-在[)1,+∞上单调递增”的充要条件．其中所有正确结论的序号为______．【答案】①③ 【解析】 【分析】由线面的位置关系，结合充分必要条件的定义可判断①；由特称命题的否定为全称命题，可判断②；由原命题和逆否命题互为等价命题，可判断③；由导数大于等于0恒成立，结合充分必要条件的定义，可判断④．【详解】①“直线l 与平面α平行”可推得“直线l 在平面α外”，反之，不成立，直线l 可能与平面α相交，故“直线l 与平面α平行”是“直线l 在平面α外”的充分不必要条件，故①正确；②若p ：0x ∃>，220x x -+<，则p ￢：0x ∀>，2220x x -+≥，故②错误； ③命题“设a ，b R ∈，若2a b +≠，则1a ≠或1b ≠”的逆否命题为“设a ，b R ∈，若1a =且1b =，则2a b +=”，即为真命题，故③正确；④函数()3f x x ax =-在[)1,+∞上单调递增，可得()2'30f x x a =-≥在[)1,+∞恒成立，即有23a x ≤的最小值，可得3a ≤，“3a <”是“函数()3f x x ax =-在[)1,+∞上单调递增”的充分不必要条件，故④错误． 故答案为①③．【点睛】本题考查命题的否定和四种命题的真假判断，考查充分必要条件的判断，属于基础题．三、解答题17.某市准备引进优秀企业进行城市建设． 城市的甲地、乙地分别对5个企业（共10个企业）进行综合评估，得分情况如茎叶图所示．（1）根据茎叶图，求乙地对企业评估得分的平均值和方差；（2）规定得分在85分以上为优秀企业，若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率.(参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦L ，其中x 为样本平均数)【答案】（Ⅰ）88，48.4.（Ⅱ）2.3【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用茎叶图求解乙地对企业评估得分的平均值和方差即可． （Ⅱ）甲区优秀企业得分为88，89，93，95共4个，乙区优秀企业得分为86，95，96共3个．列出从两个区各选一个优秀企业，所有基本事件，求出得分的绝对值的差不超过5分的个数．即可求解概率．试题解析：（Ⅰ）乙地对企业评估得分的平均值是()19794888378885⨯++++=，方差是()()()()()2222219788948888888388788848.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦.（Ⅱ）从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，有()96,97，()96,94，()96,88，()93,97，()93,94，()93,88，()89,97，()89,94，()89,88，()86,97，()86,94，()86,88共12组， 设“得分的差的绝对值不超过5分”为事件A ，则事件A 包含有()96,97，()96,94，()93,97，()93,94，()93,88，()89,94，()89,88，()86,88共8组. 所以()82.123P A == 所以得分的差的绝对值不超过5分的概率是2.318.已知命题p ：2,10x R ax ax ∀∈++>，命题q:|2a -1|<3． (1)若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．【答案】(1)[]0,4 (2)[)(]1,02,4-⋃ 【解析】 【分析】（1）根据命题为真命题，分类讨论a 是否为0；再根据开口及判别式即可求得a 的取值范围．（2）【详解】根据复合命题真假，讨论p 真q 假，p 假q 真两种情况下a 的取值范围． （1）命题p 是真命题时，210ax ax ++≥在R 范围内恒成立， ∴①当0a =时，有10≥恒成立；②当0a ≠时，有2040a a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得：04a <≤； ∴a 的取值范围为：[]0,4.（2）∵p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，∴p .q 一真一假， 由q 为真时得：14a -≤≤，故有：①p 真q 假时，有0412a a a ≤≤⎧⎨-⎩或得：24a <≤；②p 假q 真时，有0412a a a ⎧⎨-≤≤⎩或得：10a -≤< ；∴a 的取值范围为：[)(]1,02,4-⋃.【点睛】本题考查了命题真假及复合命题真假的简单应用，求参数的取值范围，属于基础题． 19. 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）（I ） 求x,y ;（II ） 若从高校B 、C 抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C 的概率． 【答案】x=1,y=3,3/10 【解析】试题分析：(Ⅰ)利用分层抽样的特点（等比例抽样）进行求解；(Ⅱ)利用列举法得到所有和符合题意的基本事件和基本事件个数，再利用古典概型的概率公式进行求解． 试题解析：（Ⅰ）由题意可得，∴，.（Ⅱ）记从高校抽取的2人为，从高校抽取的3人为，则从高校抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有，共10种.设选中的2人都来自高校的事件为，则包含的基本事件有，共3种， 因此，故选中的2人都来自高校的概率为.考点：1.分层抽样；2.古典概型． 【此处有视频，请去附件查看】20.过原点O 作圆x 2+y 2-8x=0的弦OA ． (1)求弦OA 中点M 的轨迹方程；(2)延长OA 到N ，使|OA|=|AN|，求N 点的轨迹方程. 【答案】(1)x 2+y 2-4x="0;" (2)x 2+y 2-16x=0 【解析】试题分析：（1）设M 点坐标为（x ，y ），那么A 点坐标是（2x ，2y ）， A 点坐标满足圆x 2+y 2-8x=0的方程，所以， （2x ）2+（2y ）2-16x=0， 化简得M 点轨迹方程为x 2+y 2-4x=0．（2）设N 点坐标为（x ，y ），那么A 点坐标是（,22x y）， A 点坐标满足圆x 2+y 2-8x=0的方程， 得到：（2x ）2+（y 2）2-4x=0，N 点轨迹方程为：x 2+y 2-16x=0． 考点：轨迹方程点评：中档题，本题利用“相关点法”（“代入法”），较方便的使问题得解．21.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)标准煤的几组对照数据x3 4 5 6(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y b x a =+$$； (2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?参考公式：()1122211()()nni i i i i i n n ii i i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx====⎧---⎪==⎪⎨--⎪=-⎪⎩∑∑∑∑【答案】(1) y =0.7x +0.35；(2) 19.65吨． 【解析】 【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）令100x =，求得改造后的能耗，用原来的能耗减去改造后的能耗，求得生产能耗比技改前降低的标准煤吨数. 【详解】（1）由对照数据，计算得2441186,66.5i i i i i x x y ====∑∑，x =4.5，y =3.5，∴回归方程的系数为^266.54 4.5 3.5864 4.5b -⨯⨯=-⨯=0.7，^^a y b x =-=3.5-0.7×4.5=0.35，∴所求线性回归方程为y =0.7x +0.35； （2）由（1）求出的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35（吨）， 由90-70.35=19.65，∴生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨．【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于基础题.22.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，A为短轴的一个端点且OA OF ==O 为坐标原点）.（1）求椭圆的方程;（2）若C 、D 分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在,说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在定点()0,0Q ，理由见解析 【解析】 【分析】(1)本题首先可以根据OA OF ==b 、c 的值，然后通过b 、c 的值即可计算得出a 的值并得出椭圆方程；(2)本题首先可以根据(1)中结论得出C 、D 两点坐标，然后设出直线CM的方程以及P 点坐标，再然后联立椭圆以及直线CM 方程得出21228412k x x k -=+以及222244,1212k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，最后根据0MQ DP ⋅=u u u u r u u u r即可得出结果。