2.2直接证明与间接证明
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求证：1 x , 1 y 中至少有一个小于2。 yx
注:“至少”、“至多” 型命题常用反证法
分析：所谓至少有一个,就是有1个或多个,要证
“至少有一个” 成立的反面“所有都”不成立.
归纳总结：
哪些命题适宜用反证法加以证明？ （1）直接证明有困难 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多，至少型命题
(D) 假设三内角至多有两个大于 60 度。
复习
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
Leabharlann Baidu
归纳
(特殊到一般）
类比
三段论
（特殊到特殊） （一般到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体 系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合 情推理.
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明:因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
2B = A + C b2 = a c
练习、课本P89：第1题 练习、课本P91：B组 第2题
二、直接证明法（二）：分析法
从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至 最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立 的条件。
要证：
只要证：
格 只需证： 式 显然成立
例: 证明：
3 72 5
上述各步均可逆
所以 结论成立
分析法 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
反证法
阅读下面的故事, 体会其中的推理: 《路边苦李》
古时候有个人叫王戎，7 岁那年的某一天和小伙伴 在路边玩， 看见一棵李子树上的果 实多得把树枝都快压 断了，小伙 伴们都跑去摘，只有王 戎站着没动。他说： “李子是苦 的,我不吃。”小伙伴摘 来一尝，李子果然苦 的没法吃。小伙伴问王 戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么 知道李子是苦的啊 ?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在 路边,李子早就没 了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李 子是苦的，不好吃 !”
2．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是 ( )
（A）有一个解
（B）有两个解
（C）至少有三个解
（D）至少有两个解
3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个
不大于 60 度”时，反设正确的是
（）
(A)假设三内角都不大于 60 度；
(B) 假设三内角都大于 60 度；
(C) 假设三内角至多有一个大于 60 度；
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数，这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
P91 练习1,2
练习、 2, 3, 5 不可能成等差数列
例2. 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
证：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，
```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 )是 方程的两个根.
练习1：P89：T2
2、已知 a 5，求证： a 5 a 3 a 2 a.
例2：已知， k (k Z)，且
2
sin cos 2sin, sin cos sin2
求证：1 tan2 1 tan2
1 tan2 2(1 tan2 )
Q P1
P1 P2
P2 P3
得到一个明显
一、间接法证明的概念
把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题 成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法.
例1.求证： 2 是无理数.
证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ， n
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
∴m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
变式1： 已知a,b, c 0,且不全相等，求证 a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
一、直接证明法：综合法
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为 依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种 证明方法叫做综合法(顺推证法)
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面 = > 是
都是
至多有 至少有 任 一个 一个 意
的
否定 ≠ ≤ 不是 不都是 至少有 没有一 某
两个 个
个
所有 的
某些
练习、
1.用反证法证明命题“如果 a b, 那么 3 a 3 b ”时， 假设的内容应为_____________.
则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
特点:“由因导果”
例2、在ΔABC中，三个内角A , B , C对应的边 分别是a , b , c ，且 A , B , C 成等差数列， a , b , c 成等比数列。 求证： ΔABC是等边三角形。
【分析】 条件是什么？
A , B , C 成等差数列 a , b , c 成等比数列
则ax1 = b，ax2 = b ∴ax1 = ax2
∴ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2）= 0
∵a ≠ 0
∴x 1
-
x 2
0,即x1
=
x 2
与x 1
x 矛盾 2
故假设不成立，结论成立。
注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
例3：已知x>0,y>0，x+y>2，
… 成立的结论
也可以是经过 证明的结论
练习3：P89：T3
4、已知A, B都是锐角，且A B ,
2 (1 tan A)(1 tan B) 2,
求证：A B
4
复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果
注:“至少”、“至多” 型命题常用反证法
分析：所谓至少有一个,就是有1个或多个,要证
“至少有一个” 成立的反面“所有都”不成立.
归纳总结：
哪些命题适宜用反证法加以证明？ （1）直接证明有困难 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多，至少型命题
(D) 假设三内角至多有两个大于 60 度。
复习
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
Leabharlann Baidu
归纳
(特殊到一般）
类比
三段论
（特殊到特殊） （一般到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体 系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合 情推理.
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明:因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
2B = A + C b2 = a c
练习、课本P89：第1题 练习、课本P91：B组 第2题
二、直接证明法（二）：分析法
从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至 最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立 的条件。
要证：
只要证：
格 只需证： 式 显然成立
例: 证明：
3 72 5
上述各步均可逆
所以 结论成立
分析法 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
反证法
阅读下面的故事, 体会其中的推理: 《路边苦李》
古时候有个人叫王戎，7 岁那年的某一天和小伙伴 在路边玩， 看见一棵李子树上的果 实多得把树枝都快压 断了，小伙 伴们都跑去摘，只有王 戎站着没动。他说： “李子是苦 的,我不吃。”小伙伴摘 来一尝，李子果然苦 的没法吃。小伙伴问王 戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么 知道李子是苦的啊 ?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在 路边,李子早就没 了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李 子是苦的，不好吃 !”
2．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是 ( )
（A）有一个解
（B）有两个解
（C）至少有三个解
（D）至少有两个解
3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个
不大于 60 度”时，反设正确的是
（）
(A)假设三内角都不大于 60 度；
(B) 假设三内角都大于 60 度；
(C) 假设三内角至多有一个大于 60 度；
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数，这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
P91 练习1,2
练习、 2, 3, 5 不可能成等差数列
例2. 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
证：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，
```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 )是 方程的两个根.
练习1：P89：T2
2、已知 a 5，求证： a 5 a 3 a 2 a.
例2：已知， k (k Z)，且
2
sin cos 2sin, sin cos sin2
求证：1 tan2 1 tan2
1 tan2 2(1 tan2 )
Q P1
P1 P2
P2 P3
得到一个明显
一、间接法证明的概念
把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题 成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法.
例1.求证： 2 是无理数.
证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ， n
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
∴m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
变式1： 已知a,b, c 0,且不全相等，求证 a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
一、直接证明法：综合法
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为 依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种 证明方法叫做综合法(顺推证法)
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面 = > 是
都是
至多有 至少有 任 一个 一个 意
的
否定 ≠ ≤ 不是 不都是 至少有 没有一 某
两个 个
个
所有 的
某些
练习、
1.用反证法证明命题“如果 a b, 那么 3 a 3 b ”时， 假设的内容应为_____________.
则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
特点:“由因导果”
例2、在ΔABC中，三个内角A , B , C对应的边 分别是a , b , c ，且 A , B , C 成等差数列， a , b , c 成等比数列。 求证： ΔABC是等边三角形。
【分析】 条件是什么？
A , B , C 成等差数列 a , b , c 成等比数列
则ax1 = b，ax2 = b ∴ax1 = ax2
∴ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2）= 0
∵a ≠ 0
∴x 1
-
x 2
0,即x1
=
x 2
与x 1
x 矛盾 2
故假设不成立，结论成立。
注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
例3：已知x>0,y>0，x+y>2，
… 成立的结论
也可以是经过 证明的结论
练习3：P89：T3
4、已知A, B都是锐角，且A B ,
2 (1 tan A)(1 tan B) 2,
求证：A B
4
复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果