《高中数学：直线的两点式、截距式方程-王禾》进阶练习(二)

《高中数学：直线的两点式、截距式方程-王禾》进阶练

一、选择题

1. 已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分

别为( )

A.4 和3

B.-4 和3

C.-4 和-3

D.4 和-3

2. 求经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为()

A.x+y-5=0

B.2x-3y=0

C.2x-3y=0或x+y-5=0

D.以上都不对

3. 过点P(3，4)在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条？( )

A.4

B.5

C.6

D.7

二、解答题

4. 已知函数f (x)=aln (x+1) + ( x+1)2在x=1处有极值.

(1)求实数a值；

(2)求函数f (x)的单调区间；

(3)令g (x) =f'( x)，若曲线g (x)在(1, g (1))处的切线与两坐标轴分别交于

A, B两点(0为坐标原点)，求△ AOB的面积.

5. 已知直线I 1为曲线y=f (x) =x2-x+2在点(1, 2)处的切线，l 2为该曲线的另外一条切线，且I 1丄I 2.

求(1)直线I 1, I 2的方程;

2）求由直线l 1、l 2及x 轴所围成的三角形的面积．

(川)由于• ' ,

x 4- 1 所以 ，当 x=1 时，g '( 1) =4, g

(1) =0.

山+ 1)

所以切线斜率为 4,切点为(1 , 0),

所以切线方程为 y=4 (x-1 ),即4x-y-4=0 .

令 x=0，得 y=-4，令 y=0,得 x=1 .

所以△ AOB 的面积 _

2 5.解：(1)： y=f ( x ) =x -x+2 ,

••• f '( x ) =2x-1 ,

当x=1时，直线11的斜率为

k 1=f '( 1) =2X1 -1=1 ；

•直线l 1的方程为y-2=1x( x-1 ),

即 x-y+1=0 ;

又T1 1丄l , • k 2=2X -1=-1 ,

解得x=0,

•-y=f ( 0) =2,

直线I 2的方程为y-2=- 1 X( x-0 ),

即 x+y-2=0 ; 【参考答

案】 参考答案

1.C

2.C

3.D

4.解：(I)因为 f (x ) =aln (x+1) + (x+1) 2

,

所以

’

T + I

由 f '( 1) =0，可得 h 」—：i', a=-8 •

经检验a=-8时，函数f (x )在x=1处取得极值,

所以a=-8 •

(H) f (x ) =-8In (x+1) + (x+1) 2, F ⑴-. ------------------ — j + 1

+」打+ 2=生|也

士！1

J +1

而函数f (x ) 当x 变化时， A

的定义域为(-1，+s), f '( x ), f (x )的变化情况如

下表:

1

(71) 极小值

由表可知，f 分)

/

(X )的单调减区间为(-1 , 1), f (x )的单调增区间为(1 , +8).

(10

(2)由直线11、12及x轴所围成的三角形如图所示;

3.解：当直线经过原点时满足条件，直线方程为:

当直线不经过原点时，设直线方程为

』对 * I = n

| ；? 由 .得A (,),

[序卜劭 2=0 2 2

[T 站 * | = |) 由 得 B (-1 , 0),

\ r. \ y 2 = 11 由 得 C (2, 0)；

] ] X q • S △ABC = — |BC|?y A = , x |2 - (-1 ) | x [ = j .

【解析】

1 1 一

1.解：由题意得 一=,n=-3，直线 mx+ny+1=0平行于直线 4x+3y+5=0, it 3 /• m 二4 .

故选C .

由直线在y 轴上的截距为

，可得 =気，解出 n ,再由直线平行可得一= 工，求 j

a 』 -1 3

出m .

本题考查直线在y 轴上的截距的定义，两直线平行的性质.

2.解：当直线经过原点时，设方程为 y=kx , 2

•••直线经过点 P(3 , 2) ,••• 2=3k ，解之得k=:,

2

此时的直线方程为 y=.：x ,即2x-3y=0 ;

当直线不经过原点时，设方程为

x+y+c=O , 将点P(3 , 2)代入，得3+2+c=0,解之得c=-5，此时的直线方程为 x+y-5=0 . 综上所述，满足条

件的直线方程为：

2x-3y=0或x+y-5=0 . 故选：C 把点P ( 3, 4)代入可得： ,

a b

满足条件的a, b 有(6, 8), (4, 16), (5, 10) ( 9, 6), (15, 5), (7, 7).

综上可得：满足条件的直线共有7条.

故选：D.

当直线经过原点时满足条件，直线方程为：’.当直线不经过原点时，设直线方

3

程为. I ,把点P (3, 4)代入可得、.，对a, b取非负整数即可得出.

« o N b

本题考查了直线的截距式、整数的性质，考查了推理能力，属于基础题.

4.

(1)先对f (x)求导，由题意可得，f'( 1) =0,代入求a

(2)求函数f (x)的定义域，令f '( x) > 0, f '( x)v 0分别解出函数的单调增区间、减区间

(3)求g (1) =f'( 1)及g'( x),然后求切线的斜率k=g'( 1),写出切线方程，求出A, B,进

一步求结果.

本题考查了导数的应用：极值在X。存在的性质，f (X o) =0;求函数的单调区间：即解f ' (x)> 0, f'( x)v 0;导数的几何意义：函数在X0处的导数f ( x o)为该点的切线斜率.属于基础知识的综合运用.

5.

(1)由y=f (x),求出f'( x)，得出直线l 1的斜率k1,求出直线l 1的方程，再求出直线12的方程；

(2)画出直线丨1、丨2及x轴所围成的三角形图形，结合图形，求出三角形的面积.

本题考查了直线方程的应用问题，也考查了利用导数求曲线的切线问题，是综合性题目.