三角形命题证明专题
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优翼微课
初中数学知识点精讲课程
三角形边角关系常用定理、推论及几条重要线段：
(1)三角形三个内角的和为180°；
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； (3)直角三角形两个锐角互余； (4)三角形角平分线、中线、高。
典例精解
类型一：八字模型
证明：∠A＋∠B＝∠C＋∠D
证明：∵∠A＋∠B ＋ ∠AOB ＝∠C＋∠D ＋∠COD=180° ∠AOB ＝∠COD ∴∠A＋∠B ＝∠C＋∠D
典例精解
类型二：八字模型的应用
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D； （2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD， 猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系，并说明理由。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD= BC， ∵S△ABD= BD×AM，S△ACD= CD×AM ∴S△ABD=S△ACD；
△ABC三边的中线AD、BE、CF交于一点G，若S△ABC=60，求图中阴影部 分的面积． （2）解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴S△CGE=S△AGE=S△BGF=S△BGD=S△BDG=S△CDG，
如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD， 猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系，并说明理由。 解：由8字模型数量关系，得 ∠BAM+∠B=∠BCP+∠P； ∠PAN+∠P=∠NCD+∠D ∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD ∴ ∠BAM=∠ PAN ；∠BCP=∠NCD ∴ ∠B- ∠P=∠P- ∠D ∴ 2∠P =∠B+∠D
M O
N
典例精解
类型三：利用三角形中线证明面积 （1）如图1，AD是△ABC的一条中线，求证：S△ABD=S△ACD； （2）请运用第（1）题的结论解答下列问题：
如图2，△ABC三边的中线AD、BE、CF交于一点G，若S△ABC=60，
求图中阴影部分的面积．
证明：（1）如图1，过点A作AM⊥BC，
∵S△ABC=60 ∴S△CGE=S△BGF= ×60=10，
wk.baidu.com∴S阴影=S△CGE+S△BGF=20．
课堂小结 证明题要注意解题步骤要规范，解题思路要清晰；三角 形内角和定理、外角性质，三角形中几条重要的线段的特点 ，相关各个知识点要综合起来灵活应用，且整体思想的利用 也是解题的关键.
谢谢！
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三角形边角关系常用定理、推论及几条重要线段：
(1)三角形三个内角的和为180°；
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； (3)直角三角形两个锐角互余； (4)三角形角平分线、中线、高。
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类型一：八字模型
证明：∠A＋∠B＝∠C＋∠D
证明：∵∠A＋∠B ＋ ∠AOB ＝∠C＋∠D ＋∠COD=180° ∠AOB ＝∠COD ∴∠A＋∠B ＝∠C＋∠D
典例精解
类型二：八字模型的应用
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D； （2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD， 猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系，并说明理由。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD= BC， ∵S△ABD= BD×AM，S△ACD= CD×AM ∴S△ABD=S△ACD；
△ABC三边的中线AD、BE、CF交于一点G，若S△ABC=60，求图中阴影部 分的面积． （2）解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴S△CGE=S△AGE=S△BGF=S△BGD=S△BDG=S△CDG，
如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD， 猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系，并说明理由。 解：由8字模型数量关系，得 ∠BAM+∠B=∠BCP+∠P； ∠PAN+∠P=∠NCD+∠D ∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD ∴ ∠BAM=∠ PAN ；∠BCP=∠NCD ∴ ∠B- ∠P=∠P- ∠D ∴ 2∠P =∠B+∠D
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类型三：利用三角形中线证明面积 （1）如图1，AD是△ABC的一条中线，求证：S△ABD=S△ACD； （2）请运用第（1）题的结论解答下列问题：
如图2，△ABC三边的中线AD、BE、CF交于一点G，若S△ABC=60，
求图中阴影部分的面积．
证明：（1）如图1，过点A作AM⊥BC，
∵S△ABC=60 ∴S△CGE=S△BGF= ×60=10，
wk.baidu.com∴S阴影=S△CGE+S△BGF=20．
课堂小结 证明题要注意解题步骤要规范，解题思路要清晰；三角 形内角和定理、外角性质，三角形中几条重要的线段的特点 ，相关各个知识点要综合起来灵活应用，且整体思想的利用 也是解题的关键.
谢谢！