导数在经济中的应用

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
• 平均成本是生产一定量产品,平均每 单位产品的成本。
• 边际成本是总成本的变化率,即总成本函 数的导数

• 设 C为总成本, 为固定成本, 为可变 •成本, 为平均成本, 为边际成本,Q为 产 •量,则有
•总成Fra Baidu bibliotek函数
•平均成本函数
•边际成本函数

•例1 已知某产品的成本函数为
• 求:当Q=10时的总成本、平均成本及边际 成本。
。 •(该函数称为不变弹性函数)

5、需求函数与供给函数
•(1)需求函数 • “需求”指在一定价格条件下,消费者愿意购买 并且有支付能力购买的商品量。
• 消费者对某种商品的需求是多种因素决定的,商品 的价格是影响需求的一个主要因素,但还有许多其他因 素,如消费者收入的增减,其它代用品的价格等都会影响 需求。我们现在不考虑价格以外的其它因素(把其它 因素对需求的影响看作不变的),只研究需求与价格 的关系。
处可导, ,与
•变量的相对改变量
之比
,称为函数
•从

•率,或称为两点间的弹性。
两点间的相对变化

•当
时,
的极限称为

• 处的相对变化率,也就是相对导数,或称弹性 。
•记作
,或
•即
=

•对一般的x,若f(x)可导,则有
•是x的函数,称为f(x)的弹性函数。
•函数f(x)在点x的弹性
反映随x的变化
f(x)变化幅度的大小,也就是f(x)对x变化反应的强
• L(Q)取得最大值的必要条件为:

,即
• 于是可取得最大利润的必要条件是:边际收 益等于边际成本。

• L(Q)取得最大值的充分条件为:


• 于是可取得最大利润的充分条件是:边际 收益的变化率小于边际成本的变化率。

• 例2 已知某产品的需求函数为P=10-Q/5 ,成本函数为C=50+2Q,求产量为多少时总利 润L最大?并验证是否符合最大利润原则。 •

• 例3 某工厂生产某产品,固定成本为 20000元,每生产一单位产品,成本增加100 元。 • 已知总收益R是年产量Q的函数
• 问每年生产多少产品时,总利润最大?此时 总利润是多少?

4、函数的相关变化率----函数的弹性
• 前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变 量与绝对变化率,但是从实践中可看到,仅仅研究此 是不够的。
•需求函数 P=P(Q) •总收益函数 R=R(Q) •平均收益函数 •边际收益函数

•需求与收益的关系有:

• 总收益与平均收益 的关系为: •总收益与边际收益的关系为:

• 例1 设某产品的价格与销售量的关系 为P=10 -Q/5,求销售量为30时的总收益、平 均收益与边际收益。

•下面讨论最大利润原则: • 设总利润为L,则 L=L(Q)=R(Q)-C(Q)
• 例2 例1中的商品,当产量Q为多少时 ,平均成本最小?

3、收益
• 总收益是生产者出售一定量产品所得到 的全部收入。 • 平均收益是生产者出售一定量的产品, 平均每单位产品所得到的收入。即单位商品的 售价。
•边际收益为总收益的变化率。

•总收益,平均收益,边际收益均为产量的函数 • 设P为商品价格,Q为商品量,R为总收益, • 为边际收益。则有
•设P表示商品价格,Q表示供给量,那么有 •(P为自变量,Q为因变量)称为供给函 数.

• 一般说来,商品价格低,生产者不愿意生产,供给
少;商品价格高,供给多。因此一般供给函数为单调
应改变的真值应为
。但当x改变的
•“单位”很小时,或 x 的“一个单位”与
•值相对来比很小时,则有

•当
时,标志着 由 减少一个单


• 这说明 在点
处,当 产生一个
单位的改变时, 近似改变 个单位。在
应用问题中解释边际函数值的具体意义时我
们略去“近似”二字

• 例1函数
,在点
处的
边际函数值
,它表示当
时,
改变一个单位, (近似)改变20个单位。

• 例2 设某产品成本函数C= C(Q) (C为总成
本,Q为产量),其变化率
称为边
际成本。
称为当产量达到 时的边际
成本 。
• 西方经济学家对它的解释是:当产 量达到 时,生产 前最后一个单位产 品所增添的成本。

2、成本 • 某产品的总成本是指生产一定数量的产 品所需的全部经济资源投入(劳力、原料、 设备等)的价格或费用总额。它由固定成本 与可变成本组成。
烈程度或灵敏度。


表示在点 处,当x产生1%的改变时
,f(x)近似改变
%。在应用问题中解释弹
性的具体意义时,我们也略去“近似”二字。
•注意: 两点间的弹性是有方向性的,因为“相对性” 是对初始值而言的。

•例1 求函数 •例2 求函数

处的弹性。
的弹性函数 及
•例3 求幂函数
( 为常数)的弹性函数
的 边际函数
• 例 若已知需求函数为 •则边际需求函数为
• 当P=4时,
称为P=4时的边际需求,
它的经济含义表示:当价格P=4时,价格上涨(或下
跌)1个单位时,需求将减少(或增加)4个单位。

•(2)供给函数 • “供给”指在一定条价格条件下,生产者愿意出 售并且有可供出售的商品量。
• 供给也是由多种因素决定的,这里略去价格以 外的其它因素,只讨论供给与价格的关系。
导数在经济中的应用
2020年5月30日星期六
•1、边际函数
• 设函数 为边际函数。
可导,导函数

称为 在
•内的平均变化率,它表示在
•的平均变化速度。


也称 内
• 在点
处的导数
称为 在点

处的变化率,也称为 在点

的边际函数值。它表示 在点
处的变化
速度。

• 在点 处, 从 改变一个单位, 相
• 比如,商品a每单位价格10元,涨价1元;商品 b每单位价格是1000元,也涨价1元,两种商品价格 的绝对改变量都是1元,但各自与其原价相比,两 者涨价的百分比却有很大的不同,商品a涨了10% ,而商品b涨了0.1%。因此有必要研究函数的相对 改变量与相对变化率。

• 定义4.5 设函数
在点
•函数的相对改变量 自

•设P表示商品价格,Q表示需求量,那么有 •Q=f(P) (P为自变量, Q为因变量) 称为需求函 数
• 一般说来,商品价格低,需求大;商品价高, 需求小。因此需求函数Q=f(P) 是单调减少函数。
• 因Q=f(P) 单调减少,所以有反函数 •,也称为需求函数。

•用D来表示需求曲线

• 需求函数 称为边际需求。
相关文档
最新文档