矩阵多项式
线性代数期末题库矩阵的特征多项式与最小多项式
线性代数期末题库矩阵的特征多项式与最小多项式矩阵的特征多项式和最小多项式是线性代数中重要的概念，它们在矩阵理论和应用中起到了关键的作用。
本文将深入探讨特征多项式和最小多项式的定义、性质以及它们之间的关系。
一、特征多项式在矩阵理论中，给定一个n阶矩阵A，特征多项式是通过将矩阵A 与单位矩阵I进行相减，然后求得行列式的方式得出的。
特征多项式的定义如下：特征多项式：f(λ) = |A - λI|,其中λ是一个未知数。
特征多项式的求解过程如下：1. 计算矩阵 A - λI；2. 求得行列式 |A - λI|；3. 将行列式表示成特征多项式f(λ) 的形式。
特征多项式的定义简单明了，它是一个关于λ的多项式函数。
特征多项式中的每个根都被称为特征值，这些特征值对应了矩阵A的特征向量。
特征多项式的性质：1. 特征多项式的次数等于矩阵的阶数；2. 特征多项式的根（特征值）是矩阵的特征向量的特征值；3. 特征多项式的系数是与矩阵A有关的。
二、最小多项式在矩阵理论中，最小多项式是指能够使得多项式取零的最低次数的多项式。
最小多项式的定义如下：最小多项式：m(λ) 是满足 m(A) = 0 的最低次数的多项式。
最小多项式的求解过程如下：1. 确定最小多项式的次数；2. 找到一个关于λ的多项式P(λ) ，使得 P(A) = 0；3. 通过找到P(λ) 的最低次数即为最小多项式。
最小多项式的性质：1. 最小多项式的次数小于等于矩阵的阶数；2. 最小多项式的根是矩阵的特征值。
特征多项式与最小多项式的关系：特征多项式和最小多项式有着密切的联系。
事实上，最小多项式可以通过特征多项式的因子分解得到。
具体而言，特征多项式的最高次幂的因子就是最小多项式。
特征多项式等于最小多项式乘以一系列的一次多项式。
总结：特征多项式和最小多项式是线性代数中重要的概念，它们能够描述矩阵的特征值、特征向量和特征空间等重要信息。
通过研究特征多项式和最小多项式，我们可以更好地理解和应用矩阵理论。
矩阵多项式
一、 矩阵的概念 数域的概念:如果数集 F 包含 0 和 1,并且 F 中任何
两个数的和,差,积,商(除数不为零)仍在 F 中,那么, 就称 F 是一个数域.. 例如,全体有理数之集 Q, 全体实数之集 R, 全体复数 之集 C 都是数域.分别称为有理数域, 实数域和复数 域.
a11, a22 , , ann 叫做 A 的主对角线元素.
几种特殊的 n 阶方阵:
(1)上(下)三角形矩阵: 主对角线下(上)方
元素全部为零的 n 阶方阵.
1
例如，
A
0
0
2 3 0
0 4 8
;
B
1 2 3 4
0 5 6 3
0 0 2 5
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
；
0
8
A 为上三角形矩阵，B 为下三角形矩阵
ann
, ann )
例如，
1 0 0
A
0
3
0
diag
(1,
3,
8);
0 0 8
1 0 0 0
B
0
0
0
0
diag
(1,
0,
2,
8) ;
0 0 2 0
0
0
0
8
1 0
C
0
2
diag
(1,
2)
均为对角形矩阵.
(3) n 阶单位阵:主对角线外的元素全部为零且 主对角线上的元素全部为 1 的 n 阶方阵( 即主对 角线上的元素全部为 1 的 n 阶对角形矩阵) 称为 n 阶单位阵,记作 En 或 In 或 E.
矩阵 特征多项式
矩阵特征多项式
矩阵特征多项式是指对于一个n阶方阵A，其特征多项式p(λ)的形式是p(λ)=det(λI-A)，其中I是n阶单位矩阵，det表示矩阵的行列式。
特征多项式是一个重要的概念，在线性代数中具有广泛的应用。
其根（特征值）可以用来计算矩阵的特征向量，并进一步应用到各种工程和科学领域中。
此外，特征多项式还有一些重要的性质，如它的次数等于矩阵的阶数，它的根包含在矩阵的特征值中等。
矩阵特征多项式的研究是线性代数的基础，并且对于各种高级学科的发展也具有至关重要的作用。
第九章__多项式矩阵
例3 ：求下列矩阵的最小多项式
(1)
3 2 2 B=1 8 2 −2 −14 −3
−1 −2 6 (3) C = −1 0 3 −1 −1 4
n
n −1
+ L + a1 A + a 0 I
−1= an (ຫໍສະໝຸດ PJP = P (an Jn
−1
) + a n −1 ( P J P
n −1
)
n −1
+
−1
L + a1 ( P J P = Pf (J )P
−1
) + a0I
n −1
+ a n −1 J
+ L + a1 J + a 0 I ) P
−1
di
例2 ：已知对角块矩阵 A = diag( A1 , A2 ,L , Ar ) ,而 而
m1 (λ ), m2 ( λ ),L , mr ( λ ) 分别为子块 A1 , A2 ,L , Ar
的最小多项式， 的最小多项式，则 A 的最小多项式为
[m1 ( λ ), m2 (λ ),L , mr (λ )] 的最小公倍数。 即为 m1 ( λ ), m2 ( λ ),L , mr ( λ ) 的最小公倍数。
3 0 (4) D = 0 0
1 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 5
解： （1）首先求出其 ）首先求出其Jordan标准形为 标准形为
−1 J =0 0 所以其最小多项式为
0 −1 1 0 −1 0
( λ + 1) 。
矩阵多项式秩的几个恒等式及其应用
矩阵多项式秩的几个恒等式及其应用
矩阵多项式秩是研究矩阵的几何结构的一个重要的参数。
它的值有助于表示矩阵的结构，
并且用于分析矩阵特征。
矩阵多项式秩是研究矩阵结构的重要概念，下面给出一些恒等式，并对这些恒等式及其应用进行介绍。
首先，如果一个 $n\times n$ 矩阵A的rank(A)等于n，则它具有一个恒等式：
rank(A$^{-1}$)=$n$ 。
另外，如果是一个$N\times N$矩阵A，rank(A)=N-1，则有
rank(A)=$N-1$ 。
其次，如果$A$ 是一个n阶方阵，rank(A)=$n-1$时，具有一个恒等性：一列对应
rank(A)=$n-1$ 的恒等式。
再次，当$A$ 是n阶方阵，rank(A)=$n-1$时，满足下列恒等式：rank(A$^{+}$)=$N-1$，
其中A$^{+}$ 是A的Moore-Penrose逆矩阵。
最后，如果$A$ 是一个$N\times N$ 矩阵，rank(A)<$N$时，有恒等式：
rank(A$^{T}$A)=$N$ 。
综上所述，矩阵多项式秩的恒等式对研究矩阵的几何结构非常重要，可以用来分析矩阵的
特征和行列式。
此外，还可以用来获得非方阵的逆矩阵和Moore-Penrose逆矩阵，以及矩
阵乘积的值。
此外，矩阵多项式秩的恒等式还可以帮助我们解决线性方程组的解，以及唯
一可解性和矩阵特征的求解。
矩阵特征多项式的求法
矩阵特征多项式的求法就这个东西看了好久才看懂，我在想啥啊结论：相似矩阵的特征多项式相同。
证明：代⼊定义式即可。
A与B相似也就是存在可逆矩阵P使得A=P−1BP。
只要在对A做初等⾏变换的时候，同时左乘上它的逆，就可以维持相似性。
具体实现背代码然后就可以得到⼀个 Hessenberg 矩阵，也就是i≥j+2 时a i,j=0。
设f m表⽰规模为m的顺序主⼦式的特征多项式，则有f k=(x−a k,k)f k−1−a k,k−1a k−1,k f k−2−a k,k−1a k−1,k−2a k−2,k f k−3−⋯直接递推求即可。
两部分的时间复杂度均为O(n3)。
// Gym102984K#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 503, mod = 998244353;template<typename T>void read(T &x){int ch = getchar(); x = 0;for(;ch < '0' || ch > '9';ch = getchar());for(;ch >= '0' && ch <= '9';ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';}int n, q, x, a[N][N], p[N][N];int ksm(int a, int b){int res = 1;for(;b;b >>= 1, a = (LL)a * a % mod)if(b & 1) res = (LL)res * a % mod;return res;} void qmo(int &x){x += x >> 31 & mod;}int main(){read(n); read(q);for(int i = 1;i <= n;++ i)for(int j = 1;j <= n;++ j)read(a[i][j]);for(int i = 1;i < n-1;++ i){if(!a[i+1][i])for(int j = i+2;j <= n;++ j) if(a[j][i]){for(int k = 1;k <= n;++ k) swap(a[i+1][k], a[j][k]);for(int k = 1;k <= n;++ k) swap(a[k][i+1], a[k][j]);break;}if(!a[i+1][i]) continue;int inv = ksm(a[i+1][i], mod-2);for(int j = i+2;j <= n;++ j) if(a[j][i]){int tmp = (LL)a[j][i] * inv % mod;for(int k = i;k <= n;++ k) qmo(a[j][k] -= (LL)tmp * a[i+1][k] % mod);for(int k = 1;k <= n;++ k) a[k][i+1] = (a[k][i+1] + (LL)tmp * a[k][j]) % mod;}} p[0][0] = 1;for(int k = 1;k <= n;++ k){for(int i = 1;i <= k;++ i) p[k][i] = p[k-1][i-1];for(int i = 0;i <= k;++ i) qmo(p[k][i] -= (LL)a[k][k] * p[k-1][i] % mod);int now = 1, tmp;for(int i = k-1;i;-- i){now = (LL)now * a[i+1][i] % mod;tmp = (mod - (LL)now) * a[i][k] % mod;for(int j = 0;j <= i;++ j) p[k][j] = (p[k][j] + (LL)tmp * p[i-1][j]) % mod;}} while(q --){read(x); int ans = 0;for(int i = n;~i;-- i) ans = ((LL)ans * x + p[n][i]) % mod;if(ans && (n & 1)) ans = mod - ans; printf("%d ", ans);}}SZOJ2651【模板】给定两个简单⽆向图G1,G2和正整数p，求G1◻G2的⽣成树个数模p的值。
矩阵的多项式
矩阵的多项式在数学中，矩阵的多项式是指由矩阵构成的多项式。
它在矩阵论、线性代数和数值计算中都有广泛的应用。
本文将从以下几个方面介绍矩阵的多项式：定义、特征值、Jordan标准型、求解和应用。
一、定义设A为n阶方阵，多项式f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+···+am*x^m(a0,a1,a2,···,am属于数域)。
则f(A)= a0*In+ a1*A+ a2*A^2+ ··· + am*A^m 矩阵称为A的多项式。
其中，In是n阶单位矩阵。
二、特征值对于矩阵A的特征多项式f(x) = |x*In - A|，当f(x)的根为λ1，λ2，...，λn时，λi称为矩阵A的特征值，且它们是n次多项式f(x)的根。
特征值可以帮助我们判断矩阵的性质。
例如：若A的特征值均大于零，则A为正定矩阵。
若A的特征值均小于零，则A为负定矩阵。
若A的特征值均不为零，则A为非退化矩阵。
三、Jordan标准型矩阵的Jordan标准型是指将特定类型的矩阵转化为一种更易于研究的标准形式，主要用于计算矩阵的幂和指数函数等高阶函数值，是矩阵多项式求解的一个必要步骤。
矩阵A的Jordan标准型是指存在一个可逆矩阵P，使得 P^-1 * A * P = J其中，J是Jordan矩阵，具有如下形式：J(d, k) = [λ1, 1, 0, ···, 0][0, λ1, 1, ···, 0][0, 0, λ2, 1, 0][···, ···, ···, ···, ···][0, 0, 0, ···, λn]其中，λi是A的第i个特征值，d1,d2,···，dr 分别是λ1，λ2，···λr的重数。
矩阵多项式的逆矩阵求法
矩阵多项式的逆矩阵求法李春来（玉溪师范学院理学院数学系 2008级2班 2008011215 ）指导教师：张丰硕摘 要 矩阵多项式的知识在很多线性代数教材中的都有所涉及，但是对于矩阵多项式的逆矩阵的计算都没有给出一般的计算方法，本文结合多项式的最大公因式理论与矩阵的相关知识，得到了求解一般的矩阵多项式逆矩阵的方法。
关键词 矩阵；多项式；逆矩阵一、引言矩阵多项式的定义：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 是关于未知数x 的n 次多项式，A 是方阵，E 是A 的同阶单位矩阵，则称E a A a A a A a A f n n n n ++++=--1110)( 为由多项式n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 形成的矩阵A 的多项式，记作)(A f 。
例如523)(23++-=x x x x f ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011A , 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=5015523)(23E A A A A f ，)(A f 就是矩阵A 的多项式。
当然矩阵多项式也是矩阵。
矩阵多项式的逆矩阵的定义：设A 是数域P 上的一个n 阶方阵，)(A f 是矩阵A 的多项式，如果存在矩阵多项式][)(x P A g ∈，使得()()()()f A g A g A f A =E =，则称矩阵多项式)(A f 是可逆的，又称矩阵多项式)(A g 为矩阵多项式)(A f 的逆矩阵。
当矩阵多项式)(A f 可逆时，逆矩阵)(A g 由矩阵多项式)(A f 唯一确定，记为1)]([-A f 。
二、矩阵多项式的逆矩阵求法1.对于一些比较容易化解或形式比较简单的矩阵多项式的逆矩阵求法，可以先尝试用待定系数法或分解因子法求其逆矩阵。
例如分解因子法：例1 若B A ,是两个n 阶方阵，且有E B A AB 532-=--成立，证明E A 3-是可逆的，并求E A 3-的逆矩阵。
多项式矩阵
rank
D(s) N (s)
rankU
(s)
D(s) N (s)
rank
R(s)
0
rankR(s)
所以,当条件(2.7)成立时,必有 rankR(s)= p,即 R(s)为非奇异.性质2.2知 所有gcrd都是非奇异的.
性质2.4 设 R(s)是p p和q p 的多项式矩阵 D(s)和N(s)
(2.6)
将(2.5)代入(2.6),即得
R(s) [U11(s)D1(s) U12 (s)N1(s)]R1(s) W (s)R1(s) 其中W (s)为多项式矩阵， R1(s)为R(s)的右乘因子
R(s)为D(s)和N (s)一个右公因子
例2.1 求多项式矩阵
D(s)
s 1
3s 1 S2 s 2, N(s) [1
N (s)和D(s) ,使得 N (s) N (s)R(s), D(s) D(s)R(s)
则称多项式方阵 R(s)是N (s)和D(s) 的右公因子.
易得：N(s)和D(s) 有相同的列数.行数可以不同. 定义2.4 若多项式方阵 R(s)是N (s)和D(s) 的右公因子 ,并且是
N (s)和D(s) 的任一右公因子 R1(s)的左倍式（即R(s) W (s)R1(s)）
有U
(s)
D(s) N (s)
U11(s) U21(s)
U12 U 22
(s) (s)
D(s) N(s)
R(s)
0
(2.4)
则 p×p的多项式矩阵 R(s)是D(s)和N (s) 的一个gcrd.
证 1)先证 R(s)是D(s)和N (s) 的一个gcrd 令
V
(s)
U
矩阵的特征多项式与特征值
矩阵的特征多项式与特征值矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，它在各个领域都有广泛的应用。
在矩阵理论中，矩阵的特征多项式与特征值是两个重要的概念，它们之间有着密切的联系。
一、特征多项式在讨论矩阵的特征多项式之前，首先要了解什么是特征向量。
对于一个n阶矩阵A，若存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为常数，那么X就是A的一个特征向量，k就是该特征向量所对应的特征值。
特征向量反映了矩阵A的某种变化规律，而特征值则表示了这种变化的幅度大小。
根据特征向量的定义，我们可以得到特征方程AX=kX，将特征方程改写为(λI-A)X=0，其中I是单位矩阵，λ是一个特征值。
进一步推导可得到特征多项式的定义：特征多项式是一个关于λ的多项式，它是由矩阵A的特征值所确定的，记作|λI-A|。
特征多项式可以表示为P(λ)=|λI-A|=λ^n+c_1λ^(n-1)+...+c_(n-1)λ+c_n，其中c_1，c_2，...，c_n为常数。
特征多项式的次数为n，与矩阵A的阶数相同。
二、特征值与特征多项式的关系特征值与特征多项式之间存在着紧密的联系。
我们通过特征多项式可以求解矩阵A的特征值，而矩阵A的特征值则是特征多项式的根。
设λ是特征多项式P(λ)=|λI-A|的一个根，即P(λ)=0，则有(λI-A)X=0，其中X为非零向量。
这意味着(λI-A)是一个奇异矩阵，即它的行列式为0，因此得到|λI-A|=0。
所以特征值λ是特征多项式P(λ)=|λI-A|的一个根。
特征值与特征多项式之间的关系在实际问题中起到了重要的作用。
通过求解特征多项式，我们可以得到矩阵A的全部特征值，进而进一步分析矩阵A的性质和特点。
三、应用举例矩阵的特征多项式与特征值在多个领域都有广泛的应用，下面以线性代数和物理学领域为例进行说明。
1. 线性代数中的应用特征多项式和特征值是线性代数中一个重要的概念。
在解线性方程组、矩阵相似问题以及求矩阵的幂等等问题时，特征多项式和特征值的计算都是十分有用的工具。
2016矩阵分析-第1章多项式矩阵与矩阵多项式-1.4(讲)
A1 0 A 0 A 2 并设 A1 , A2 的最小多项式分别为 g1 ( x ), g2 ( x ).
则A的最小多项式为 g1 ( x ), g2 ( x )的最小公倍式.
2016级矩阵分析
1.4 矩阵的零化问题
推广： 若A是一个准对角矩阵
A1 A2 A s 且 Ai 的最小多项式为 gi ( x ), i 1,2,..., s 则A的最小多项式是为 [ g1 ( x ), g2 ( x ),..., gs ( x )].
A 的最小多项式没有重根.
2016级矩阵分析
1.4 矩阵的零化问题
练习：
1 1 求矩阵 A 1 1 1 1 1 1 的最小多项式. 1
2016级矩阵分析
1.4 矩阵的零化问题
解： A的特征多项式
x 1 1 f ( x ) | E AE | 1
1.4 矩阵的零化问题
1 0 2 8 5 4 2 A 0 1 1 , 2 A 3 A A A 4E . 例1. 设 求 0 1 0
3 f ( ) E A 2 1 解：A的特征多项式
用 f ( )去除 2 8 3 5 4 2 4 g( ), 得
g( ) f ( )(2 5 4 3 5 2 9 14) (24 2 37 10)
2016级矩阵分析
1.4 矩阵的零化问题
f ( A) 0,
2 A8 3 A5 A4 A2 4 E 24 A2 37 A 10 E
3 48 26 0 95 61 0 61 34
2016级矩阵分析
矩阵特征多项式求解技巧
矩阵特征多项式求解技巧矩阵的特征多项式是一个重要的数学概念，对于矩阵的各种性质和特点都有着重要的作用。
特征多项式的求解可以帮助我们判断矩阵的特征值和特征向量，从而进一步分析矩阵的性质和行为。
本文将介绍一些矩阵特征多项式求解的常见技巧。
一、特征多项式的定义和性质在介绍特征多项式求解方法之前，先来回顾一下特征多项式的定义和性质。
对于一个n阶方阵A，其特征多项式定义为：f(t) = det(A - tI)其中，det表示矩阵的行列式，t是一个未知数，I是n 阶单位矩阵。
特征多项式的性质有：1. 特征多项式的次数为n，即f(t)是一个n次多项式。
2. 特征多项式的根（零点）就是矩阵A的特征值。
3. 特征多项式的系数与特征值的关系为：f(t) = (-1)^n * (t^n - (a1 * t^(n-1) + a2 * t^(n-2) + ... + an))其中，a1, a2, ..., an是矩阵A的n个特征值。
二、求解特征多项式的技巧1. 代数余子式法代数余子式法是求解特征多项式的一种常用技巧。
具体步骤如下：（1）设A是一个n阶矩阵。
对于每一个特征值λ，构造矩阵B = A - λI。
（2）计算矩阵B的行列式det(B)。
（3）得到f(λ) = det(B)。
这种方法的优点是比较直接，但是对于高阶矩阵，计算行列式的时间复杂度较高。
2. 特征值推导法特征值推导法是求解特征多项式的另一种常用技巧。
具体步骤如下：（1）设A是一个n阶矩阵。
对于每一个特征值λ，设特征向量为x，即Ax = λx。
（2）将方程化简为(A - λI)x = 0，求解方程组。
（3）由于方程组有非零解，所以系数矩阵(A - λI)的行列式det(A - λI)必为0。
（4）得到特征多项式f(λ) = det(A - λI)。
这种方法的优点是对于高阶矩阵的计算相对较快，但需要注意方程组有非零解这一前提条件。
3. Cayley-Hamilton定理Cayley-Hamilton定理是求解特征多项式的另一个重要技巧。
矩阵的特征多项式与对角化认识矩阵的特征多项式与对角化的计算方法
矩阵的特征多项式与对角化认识矩阵的特征多项式与对角化的计算方法矩阵是线性代数中重要的概念，我们经常会遇到矩阵的特征多项式与对角化的计算问题。
本文将从理论与计算两个方面对矩阵的特征多项式和对角化进行深入探讨。
一、特征多项式特征多项式是矩阵的一个重要性质，它能帮助我们求解矩阵的特征值和特征向量。
给定一个n阶矩阵A，我们可以定义其特征多项式为：P(λ) = |A - λI|其中，λ是一个变量，I为n阶单位矩阵。
我们可以将特征多项式展开，得到一个关于λ的多项式，通常称之为特征方程。
特征多项式的计算方法有很多种，最常用的是行列式的方法。
我们可以将矩阵A减去λI，然后求其行列式，得到特征多项式。
特征多项式的阶数为n，根据代数基本定理，特征多项式总共有n个根，也就是说特征多项式的所有根就是矩阵的特征值。
二、对角化对角化是线性代数中一个重要的概念，对角化能够将一个矩阵转化为一个对角矩阵，从而简化矩阵的计算。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1 * A * P = D，其中D为对角矩阵，那么我们称矩阵A是可对角化的。
对角化的计算方法有很多种，其中最常用的是特征向量的方法。
当一个矩阵A是可对角化的时候，我们可以通过求解特征向量来计算对角矩阵D和可逆矩阵P。
首先，我们需要求解矩阵A的特征向量，然后将特征向量组成一个矩阵P，特征向量按列排列成矩阵P的列向量。
接着，我们将特征向量按照特征值的顺序排列，组成对角矩阵D。
最后，我们可以得到可逆矩阵P = [v1, v2, ..., vn]，使得P^-1 * A * P = D。
需要注意的是，并非所有的矩阵都可以被对角化，只有满足一定条件的矩阵才能进行对角化操作。
对角化的条件主要包括：矩阵可逆、矩阵特征值互不相等、特征向量线性无关等。
结论本文详细介绍了矩阵的特征多项式与对角化的认识以及计算方法。
特征多项式是矩阵特征值和特征向量的关键，通过计算特征多项式可以获得矩阵的特征值。
第二章多项式矩阵
第二章多项式矩阵本章主要讲授多项式矩阵的基本概念和理论, 包括多项式矩阵的余数定理、Smith标准型定理和多项式矩阵的理想、互质等。
多项式矩阵的理论也是讲授第三章的重要基础。
§2.1 多项式矩阵记号：实数域R ，复数域C 。
记[]m nR λ×为n m ×的实系数多项式矩阵全体，[]m nC λ×为n m ×的复系数多项式矩阵全体。
容易验证,[]m nC λ×和[]m nR λ×分别为域C 和R 上的线性空间，[][]nn nn R C ××λλ分别为域C 和R 上的线性代数。
[]nm C A ×∈∀λλ)(,有[]λλC a ij ∈)(N N ijij ijij a a a a λλλ)()1()0()(L ++=其中令[]{})(deg max λij a N =. 则有()NNA A A A A λλλλ++++=L 2210, 其中()mxnl ijl Ca A ∈=)(。
多项式矩阵)(λA 可以看成为系数矩阵的多项式, N 称为是)(λA 的次数, 记为()[]λA N deg =注意：如果0)(=λA 则称)(λA 没有次数定义1（正则）若[]nn NN C A A A A ×∈+++=λλλλ01)(L , 且[]0det ≠N A , 则称)(λA 是正则的。
()λA 正则⇒[]n N A ×=))(det(deg λ 其中, det[()]A λ的n N ×次项系数即)det(N A定理1若)()(),(λλλA C B A nn 且×∈正则, 则∃唯一的)(1λQ 和)(1λR , 使)()()()(11λλλλR A Q B += (*)且[][]0)()(deg )(deg 11=<λλλR A R 或, 同样, ∃唯一的)(2λQ 和)(2λR 使()())()(22λλλλR Q A B += (**)且[][]0)()(deg )(deg 22=<λλλR A R 或.证明： 若[][])(deg )(deg λλA B <, 则令01=Q , B R =1, 定理得证.若[][]N A B M =≥=)(deg )(deg λλ 记N M p −=, 然后令[]nn p p pp C QQQ Q ×−−∈+++=λλλλ)0(1)1()(1)(L由（*）式可以推出[][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=−−−−=−==−−+−−−−−−−−−)()()()(1111)1(1)1()()0(11)(1)1(1)(λλλλA Q B R A A Q A Q A Q B Q A A Q B QA B Q N N p N p p N p p M N N p M p N M p L L可以验证Q 1(λ)和R 1(λ)满足定理要求.唯一性：即只需证0)(0)(0)()()()(1111==⇒=+=λλλλλλR Q R A Q B 时 假设Q 1(λ)≠00)()(1)0(1)1(1)(11≠+++=L L L Q Q Q Q Q λλλLL +=++NL N L A QR A Q λλλλ)(111)()()(由[]00det )(1≠⇒≠N L N A Q A 此时)()()(11λλλR A Q +不可能=0⇒矛盾 同理可证(**)式 #定理 2 nn C A ×∈][)(λλ正则, []nm C B ×∈λλ)(,则∃唯一的[]nm C R Q ×∈λλλ)(),(11使（*）成立, 且[][]0)()(deg )(deg 11=<λλλR A R 或；m m C A ×∈][)(λλ正则, []n m C B ×∈λλ)(, 则∃唯一的[]n m C R Q ×∈λλλ)(),(22使（**）成立, 且[][]0)()(deg )(deg 22=<λλλR A R 或.证明：仿定理1 #以上两个定理可以叫作多项式矩阵的余数定理.定义2（多项式矩阵的秩）nm C A ×∈][)(λλ, r 称为A （λ）的秩并记)]([λA rank r =,系指)(λA 的任何k ≥ r +1阶子式均为C （λ）中的零, 而A (λ)至少存在一个r 阶子式是C [λ]中的非零多项式.例：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=112)(22λλλλA 非正则但r = 2 ⇒ 非奇异 {一般多项式矩阵}⊃{满行秩或满列秩多项式矩阵}⊃{非奇异多项式矩阵}⊃{正则多项式方阵}⊃{}A I n −λ§2.2 Smith 标准型定义3（单模态矩阵）mxmC M )()(λλ∈称为单模态的, 系指0)](det[≠∈=ααλCM 常数定义4（初等矩阵）mm C ×][λ中三类[][]mj i j i j i ij m i i i i e e e e e e e e K C e e e e e K L L L L L ,,,,,,,,0,,,,,,,)(11111111+−+−+−=≠∈=αααα[][]][)(,,)(,,,,)(11λλαλαλαC e e e e e e K m i j j i ij ∈+=−L L L对A (λ)左乘相当于作行初等变换, 右乘相当于作列初等变换, 其中第3类不同于mm C ×中的初等矩阵初等矩阵的性质： 1 它的逆仍为初等矩阵2初等矩阵与单模态矩阵的关系：初等矩阵是单模态矩阵, 多个初等矩阵之积也是单模态矩阵.定义5（等价）nm C B A ×∈][)(),(λλλ称为是等价的, 系指存在m m sC M M ×∈][,1λL , nn t C N N ×∈][,1λL 均初等矩阵, 使t s N N N A M M B L L 211)()(λλ=容易证明：1．反身性：任何A (λ)与自身等价2．对称性：B (λ)与A (λ)等价⇔ A (λ)与B (λ)等价3．传递性：C (λ)与B (λ)等价, B (λ)与A (λ)等价⇒ C (λ)与A (λ)等价.定义6（行列式因子）nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则对自然数j ≤ r , A (λ)中必有非零j 阶子式, A (λ)中全部j 阶子式的（首一）最大公因式d j (λ)称为A (λ)的j 阶行列式因子.定理3nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则其各阶行列式因子d j (λ), j ≤r 有 r j d d j j ≤−)()(1λλ其中1)(0=λd证明：A (λ)的j 阶子式可以写成j -1阶子式以多项式为系数的线性组合, 因此, )()(1λλA d j −任一j 阶子式)()(1λλj j d d −⇒#定义7（不变因子） nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则称)(/)()(1λλλσ−=i i i d d , r i ≤为A (λ)的不变因子.定理4 在nm C ×][λ中)()(.λλB A ⎯→←, 以)(),(λλ∧k k d d 分别表示A （λ）和B （λ）的k 阶行列式因子, 则1 [][])()(λλB rank A rank =2 [])()()(λλλA rank r k d d k k =≤=∧3 )(λA 和)(λB 有相同的不变因子.证明：容易验证初等矩阵左乘和右乘均不改变)(λA 的行列式因子, 所以结论1、2、3易证. #下面来证上述定理的逆命题.引理 1 nm ijC A ×∈=][))(()(λλαλ, 若0)(11≠λα又)(11λα不能除尽某个)(λαij , 则)()(λλA B ↔∃且[][])(deg )(deg 1111λαλβ<证明：根据不能为)(11λα除尽的元)(λαij 所处位置分为三种情形. (1) 设)(1λαi 不能为)(11λα除尽, 则有 [])](deg[)(deg )()()()(11111λαλδλδλγλαλα<+=i考虑初等矩阵[])(1λγ−i k[]))(~()(~)()(1λαλλλγiji A A K ==−其中)()(~1λδλα=i令)(~)(1λλA K B i = 则)()(.λλA B ⎯→← 且)(11λδβ=即[][])(deg )(deg 1111λαλβ< (2)设)(1λαj 不能为)(11λα除尽,证明与(1)相仿. (3) 若)(1λαi 和)(1λαj 都可被)(11λα除尽, 其中n j mi ≤≤但kl α∃不能为)(11λα除尽, 令[])()(1)(~1λλγλA K A k −=,其中)(λγ是1k α除以11α的商, 即)()()(111λαλγλα=k .此时 )(~λA 元)(~λαij 有111~αα=k , )1(~1γααα−⋅+=l kl kl . 令))(()(~)(1λγλλij k A K C =⋅=于是11111~ααγ==k ,)1(~11γαααγ−⋅+==l kl kl l . 于是l 1γ不能为11γ除尽, ⇒（2） #引理2 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−01)(001)(1212n n mm I N I M M L ML δδλγγλ 均为初等矩阵之积, 其中γi , δj 为多项式 证明：[][][])()()()(1331221λγλγλγλm m K K K M L =[][][])()()()(21211,11λδλδλδλK K K N n n n n L −−= [][][])()()(1313212λδλδλδn n K K K L = #引理3 nm C A ×∈][)(λλ,若 n j m i ij ≤≤αα11, 则有)(00)(.'11λαλA B B ⎯→←⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=, 且B’的元均能被11α除尽. 证明：因为 n j m i ij ≤≤αα11, 所以)()()(11λλαλC A ⋅=.记⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D gf C T 1)(λ, 其中1)1(][)(×−∈m C g λλ,)1(1][)(−×∈n C f λλ,)1()1(][)(−×−∈n m C D λλ.令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−101)(m I g M λ, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−101)(n TI f N λ. 由引理2可知, M 、N 为初等矩阵之积.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−='111100001)(B gf D MAN T αλα, 其中])[(11'Tgf D B −=λα, 且B ’的元均能被11α除尽. #定理5（Smith 标准型定理）nm C A ×∈)()(λλ,[]r A rank =)(λ 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡↔000)()(λλS A (Smith 标准形)其中[])(),(),()(21λσλσλσλr diag S L =, 且1),()(1−≤+r i i i λσλσ 证明：假设m ≥ n , 对A (λ)的列数n 用归纳法 (Ⅰ) n=1时,令[]Tm A )(),()(1λαλαλL =,则1 若m i i ≤≤2)()(1λαλα则由引理3[]TA 0,0,)(11.L αλ⎯→←2 若有i α不能为1α除尽,由引理1可知有[][])(deg )(deg )()(1111.λαλβλλ<⎯→←A B若)(λB 满足条件1则结论成立, 否则又可有[][])(deg )(deg )()()(11)1(11..1λβλβλλλ<⎯→←⎯→←A B B这样重复下去, 就能有矩阵与A （λ）等价且满足条件1 所以, n =1时定理成立 (Ⅱ)假设n = l -1时定理成立 (Ⅲ)当n = l 时 1 若lj mi ij ≤≤αα11则由引理3有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎯→←'00)(11.B A αλ其中B ’的元均能被11α除尽, 由于B ’之列数l -1且[]1'−=r B rank , 按(Ⅱ)有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎯→←000'1.S B[][])1()1(321,,−×−∈=r r r C diag S λσσσL且1,2|1−=+r i i i L σσ显然2σ是B ’的一阶行列式因子, 而行列式因子对于等价矩阵是不变量, 这表明2σ是B '各元的最大公因子, 同此211|σα, 令111ασ=则定理得证.2 若存在ij α不能为11α除尽, 则由引理1可知,存在)()(.λλA B ⎯→←且[][]1111deg deg αβ<, 仿照n=1情形中条件2, 总能找到)()(~.λλA A ⎯→←使l j m i ij ≤≤,,~)(~11αλα.这就归结到条件1. #推论 1 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡000)(λS 是nm C A ×∈][)(λλ的Smith 标准形, 则)(),(),(21λσλσλσr L 是 A （λ）的不变因子, )()()(21λσλσλσk L 是A （λ）的k 阶行列式因子.推论2 对nm C A ×∈][)(λλ，则其Smith 标准形唯一. 推论 3 若n m C A ×∈][)(λλ和nm C B ×∈][)(λλ的行列式因子或不变因子相同，则)()(.λλB A ⎯→←定理6 在n n C ×][λ中下述提法等价1 mm C M ×∈][)(λλ是单模态2 m I M ↔&)(λ 3 M (λ)是初等矩阵之积4 []mm C M M ×−∈][)()(1λλλ和证明: 1°⇒2°: 由于[]m M rark =)(λ则有],,,[)(21.m diag M σσσλL ⎯→← 由det[M (λ)]为常数, []{}m diag σσσL ,,det 21=m σσσL 21为常数（非零）m σσσL ,,21⇒均非零常数（首一）⇒2°2°⇒3° 显然3°⇒4° 初等矩阵之逆仍为初等矩阵4°⇒1° [][]1)(det )(det 1=⋅−λλM M[]=⇒)(det λM 非零常数 #§2.3 多项式矩阵的理想与互质（自学） 定义8（理想） 设nn C M ×⊂][λ是nn C ×][λ的子空间, 又具性质nn C B M A MA B ×∈∈∀∈][)(,)()()(λλλλλ则称M是nn C ×][λ的一个左理想.若M 具性质nn C B M A MB A ×∈∈∀∈][)(,)()()(λλλλλ则称M 是nn C ×][λ的一个右理想例：{}nn LC B A B X X A ×∈∀==][)(),()()()())((λλλλλλλ（其中n n C A ×∈][)(λλ）是nn C ×][λ的一个左理想.{}nn R C B B A X X A ×∈∀==][)(),()()()())((λλλλλλλ是nn C ×][λ的一个右理想.其中A (λ)称为它们的生成元.定理7 若nn C M ×∈][)(λλ是单模态, 则1° n n LL C A A M A ×∈∀=][)())()(())((λλλλλ2° n n R R C A M A A ×∈∀=][)())()(())((λλλλλ证明：1°L L L A M A M M A A M L))()(())()()(())(())()((1λλλλλλλλ⊂=⊂− ()()L L A M A )()()(λλλ=⇒ 2° 同上可证 # 定理8 n n C M ×∈][)(λλ则M 是单模态当且仅当()()R L n n M M C )()(][λλλ==×证明：n n Rn L n C I I ×==][)()(λ 当：()L n n nM C I )(][λλ=∈×()()1)(det )(det )()(=⇒=∴λλλλM N M N I n())(det λM ⇒为非零常数)(λM ⇒单模态“仅当”：由定理7, 令n I A =)(λ即可 #定义9（多项式矩阵生成的理想）若,,][)(r i C A nn i≤∈×λλ则 ()()()L r L L A A A M )()()(21λλλ+++=L 称为r i A i ≤),(λ生成的左理想, 而()()()R r R R A A A N )()()(21λλλ+++=L 称为由r i A i ≤),(λ生成的右理想定义10（互质）r i A i ≤),(λ称为左互质, 是指()()()n n Rr R R C A A A ×=+++][)()()(21λλλλL而r i A i ≤),(λ称为右互质, 是指()()()n n Lr L L C A A A ×=+++][)()()(21λλλλL定理9 r i A i ≤),(λ左互质当且仅当多项式矩阵方程n r r I X A X A X A =+++)()()()()()(2211λλλλλλL 有解.右互质当且仅当n r r I A Y A Y A Y =+++)()()()()()(2211λλλλλλL 有解.证明：r i A i ≤),(λ左互质()()()R r R R n n A A A C )()()(][21λλλλ+++=⇔×L)()()()()()(2211λλλλλλr r n X A X A X A I +++=⇔L 有解同理可证右互质情形. #定理10 r i C A nn i ≤∈×][)(λλ, 则下面各条件等价1° r i A i ≤),(λ是左互质的2°若[]rnn r C A A A A ×∈=][)()(),()(21λλλλλL则[]C nA rank ∈∀=00)(λλ3°[][]0,0,)()(),(),(21L L n rI A A A A ⎯→←=⋅λλλλ 证明:1°⇒2°⇒3°⇒1°1°⇒2° 由定理9可知有n r r I X A X A X A =+++)()()()()()(2211λλλλλλL记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=)()()()(21λλλλr X X X X 则有n i I X A =)()(λλn I X A C =∈∀)()(o o o λλλ2°⇒3° 由[]C n A rank ∈∀=o o λλ)([]0,0),()(L λλS A ⎯→←⇒⋅其中[])(),(),()(21λσλσλσλn diag S L = 且[]n S rank =)(0λn i i ≤⇒)(λσ均无任何根(在C 中))(λσi ⇒均为非零常数 ⇒考虑首一 n I S =)(λ3°⇒1° 存在单模态矩阵nn C M ×∈][)(λλ和rnrn C N ×∈][)(λλ, 使 [][]0,,0,)()()(),(),(21L L n r I M N A A A λλλλλ=记⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=)(,),()(,),()(,),()(1221111λλλλλλλrr r r r N N N N N N N L LL L nn ij C N ×∈][)(λλ则)()(),()(111111λλλλ−−==M N X M N X r r L 可使n r r I X A X A =++)()()()(11λλλλL#同理可以证明下面定理定理11 r i C A n n i ≤∈×][)(λλ,则下述条件等价:1 r i A i ≤),(λ是右互质的2 C n A rank A A A r ∈∀=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=00~1~)()()()(λλλλλM3 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎯→←00)(.~M n I A λ定义11 (公因子) n n C A ×∈][)(λλ,若存在nn C C B ×∈][)(),(λλλ,使)()()(λλλC B A =,则B (λ)称为A (λ)的一个左因子, C (λ)称为A (λ)的一个右因子.若B (λ)同为A i (λ)r i ≤的左因子, 则B (λ)称为A i (λ)r i ≤的左公因子. 若F(λ)为A i (λ)r i ≤的左公因子且A i (λ)的任意左公因子都是F (λ)的左因子, 则F (λ)称为)(λi A 的最大左公因子.相似的可以有右公因子和最大右公因子的概念.定理12 n n i C A ×∈][)(λλr i ≤为左互质当且仅当其最大左公因子是单模态矩阵,而右互质当且仅当其最大右公因子是单模态矩阵.证明：左互质情形“当”：设D(λ)是单模态矩阵且为A i (λ),r i ≤的最大左公因子, 则有r i C B n n i ≤∈×][)(λλ使)()()(λλλi i B D A =令[]rn n r C A A A ×∈=][)(),()(1λλλλL 则[]n A rank ≤)(λ无妨记A(λ)的Smith 标准形为[]0,0),(L λS , 于是有单模态矩阵n n C M ×∈][)(λλ和rn rn C N ×∈][)(λλ, 使[])(0,0),()()(λλλλN S M A L =.记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=rr r r r r N N N N N N N N N N L L L 212221211211)(λ,则有()()r r N N N MS A A A 1121121,,,,L L =⇒MS 是)(λi A 的左公因子⇒n n C F ×∈∃][)(λλ使MSF=D因为 det(D )为非零常数所以 det(S(λ))也为非零常数n I S ⎯→←⇒⋅)(λ [][]0,0,)(),(1L L n rI A A ⎯→←⋅λλ 由定理10 )(λi A ⇒左互质“仅当”：由n n iC A ×∈][)(λλr i ≤为左互质 可以推出 r i C X nn i ≤∈∃×][)(λλ使n r r I X A X A X A =++L 2211设D 是)(λi A 的最大左公因子, A i =DB i则上式变成[][]1det ))(det(1111=++⋅=++r r nr r X B X B D I X B X B DL L λ())(det λD ⇒为非零常数)(λD ⇒单模态.类似地可证右互质情形.#作业：1．求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−20012021λλλλ和的不变因子和Smith 标准形。
已知生成矩阵求生成多项式
已知生成矩阵求生成多项式生成矩阵是代数编码理论中重要的工具，尤其在码的解码中。
但生成矩阵本身不能完全描述一个码，同时生成多项式则是描述一个码的另一种方式。
因此，已知生成矩阵求生成多项式具有重要的理论和应用价值。
本文将从理论和应用两个方面，探讨已知生成矩阵求生成多项式的方法。
一、理论方面一个(q，k)线性码C，可以用k维向量空间中的一组基来表示。
构造一个q×k的矩阵G=(g1, g2, ...,gk)，其中每一个列向量均为C的基向量，则C可以表示为：C= {cG = c1g1+c2g2+...+ckgk | c=(c1,c2,...,ck) ∈ Fq^k }这里，Fq表示有限域，c表示码C中的一个码字。
矩阵G称为C的生成矩阵，其是一个k×q的矩阵，也称为传输矩阵，可以用来编码（实现从信息字符串到编码后的码字）。
与生成矩阵相似，生成多项式也是描述一个码的方法。
设有一个长度为n的二元(q，n-k)线性码C，若C的生成矩阵为G，则C的生成多项式为：g(x)=g1x1+g2x2+...+gkxk其中，{g1, g2, ...,gk}是生成矩阵G的一个基。
生成多项式常用于译码中，可以用来纠错错误的信息，因此生成多项式也是描述一个码的重要依据。
2. 关于求解生成多项式的基本思想已知一个生成矩阵G，求解C的生成多项式g(x)有很多种方法，其中应用最为广泛的有两种：高斯消元法和伽罗瓦消元法。
高斯消元法是一种简单有效的方法，其基本思想是通过行初等变换将G化为一个简化的矩阵，然后通过变换得到生成多项式。
具体地，对矩阵G进行初等行变换，使其化成阶梯形矩阵，例如：G=[11 22 33 00 44 55 66 77]---在上述矩阵中，除第一列为行首元素外，其余列的行首元素均为0，且其下面各行的元素必须均为0。
上面的矩阵经过高斯消元法处理后，转换为阶梯形矩阵。
接下来，将阶梯形矩阵化简成行最简矩阵，即将矩阵中的每个非零行的行首元素设为1。
对角矩阵的矩阵多项式
我们要找出对角矩阵的矩阵多项式。
首先，我们需要了解对角矩阵和矩阵多项式的定义。
对角矩阵是一个矩阵，其非对角线上的元素都为0。
矩阵多项式则是一个矩阵的表示，其中每个元素都是一个关于某些变量的多项式。
假设我们有一个对角矩阵D，其元素为d1, d2, ..., dn。
那么，对角矩阵D的矩阵多项式可以表示为：
P(D) = [p1(d1) p2(d1) ... pn(d1)]
[p1(d2) p2(d2) ... pn(d2)]
...
[p1(dn) p2(dn) ... pn(dn)]
其中，pj(di)表示多项式pj在点di的值。
为了求解这个问题，我们需要知道每个元素的多项式形式。
例如，如果我们知道p1(x) = x^2 + 2x + 3，p2(x) = x^3 - 5x + 7，...，pn(x) = x^5 + 2x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 6，
那么我们就可以将这些多项式分别代入di，得到P(D)。
计算结果为：
P(D) = [[11 10]
[2 -1]
[-1 6]]
所以，对角矩阵D的矩阵多项式为：P(D) = [[11 10]
[2 -1]
[-1 6]]。
多项式矩阵等价的充要条件
多项式矩阵等价的充要条件在矩阵理论中，我们经常会遇到多项式矩阵的问题。
多项式矩阵是指矩阵的元素是多项式的情况。
那么，如何判断两个多项式矩阵是否等价呢？下面我们将介绍多项式矩阵等价的充要条件。
我们需要明确多项式矩阵的定义。
一个多项式矩阵是一个矩阵，其每个元素都是一个多项式。
多项式是由常数和变量的乘积以及加法运算组成的表达式。
在多项式矩阵中，我们可以使用多项式的系数构成一个矩阵，从而得到一个多项式矩阵。
接下来，我们来介绍多项式矩阵等价的充要条件。
对于两个多项式矩阵A和B，它们是等价的充要条件是存在一个可逆矩阵P，使得PA = BP。
换句话说，如果可以通过对A进行一系列的行变换和列变换，得到矩阵B，那么A和B就是等价的。
那么，具体如何判断两个多项式矩阵是否等价呢？我们可以通过以下步骤来完成：1. 首先，我们需要将矩阵A和矩阵B写成增广矩阵的形式，即[A|B]。
2. 然后，我们对增广矩阵进行一系列的行变换，直到得到一个上三角矩阵。
3. 接下来，我们再对上三角矩阵进行一系列的列变换，直到得到一个对角矩阵。
4. 最后，我们判断对角矩阵中的每个元素是否相等。
如果相等，则矩阵A和矩阵B是等价的；如果不相等，则矩阵A和矩阵B不等价。
通过以上步骤，我们可以判断两个多项式矩阵是否等价。
这个方法可以确保我们得到的结果是准确无误的。
多项式矩阵等价的充要条件是存在一个可逆矩阵P，使得PA = BP。
判断两个多项式矩阵是否等价，我们可以通过对增广矩阵进行一系列的行变换和列变换，最终得到一个对角矩阵，然后判断对角矩阵中的每个元素是否相等。
这个方法可以确保我们得到的结果是准确无误的。
多项式矩阵等价的概念在矩阵理论中有着重要的应用，对于深入理解矩阵的性质和结构具有重要意义。
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定理 设A是n阶矩阵，A的特征多项式为
f () ( 1)m1 ( 2 )m2 ( s )ms
A的Jordan 标准形为 J= diag (J1, J2, …, Js ) 其中Ji= diag (Ji1, Ji2, …, Jini ) 是特征值为i 的Jordan 形，n ik是J ik的阶数
提示：矩阵A的特征多项式为 2 6 7,
则由带余除法得 f g 2,
又由 A 0 从而 f A A 2I 3 1
2 7
由 A 0 知， A2 6A 7I 0,
则 1 A6I A I
7
最小多项式
•设A是n阶矩阵，称A的首项系数为1，次数最小的化零多
项式为A的最小多项式。
则A的最小多项式为
() ( 1)d1 ( 2 )d2 ( s )ds
di
max k
nik
推论
1·设A是n阶矩阵，A 的谱为{1, 2，…, s }
A的相应于特征值i 的次数最大的初等因子为 ( i )di 则A的最小多项式为 () ( 1)d1 ( 2 )d2 ( s )ds
（1）设 (), p() 分别是矩阵A的最小多项式和化零多项式， 由最小多项式的定义可知 0[ ()] 0[ p()]
利用多项式的带余除法知，存在多项式 q() ,r ()
使得
p() ()q() r(), 0[r()] 0[ ()]
p() ()q() r(), 0[r()] 0[ ()]
2( 1)
0
( 1)2
0
8( 1) 6( 1) ( 1)( 3)
证明 将A的特征多项式改写为
f () ( 1)m1 ( 2 )m2 ( s )ms 设A的Jordan标准形为J diag(J1, J2 , , Jt )
其中，Ji为Jordan块
且设 A PJP1
则有 f (A) Pf (J )P1
pdiag( f (J1), f (J2 ), , f (Jt )) P1
3 0 8
例 求A的最小多项式
A
3
1
6
并求 A100
2 0 5
解1 矩阵A的特征矩阵为
3 0 8 1
I A 3 1 6 1
2
0 5
( 1)2
A的第3个不变因子为(+1)2 ,则A的最小多项式为(+1)2
解2 矩阵A的特征多项式为
3 0 8 f () I A 3 1 6 ( 1)3
(3)若Ax x,则p(A)x p()x
即：若 为矩阵A的特征值，则 p为 的p特A征 值。
化零多项式
• 设p（z）是复数域上的多项式，A是n阶矩阵，如
果
p(A)=0,
• 则称p（z）是矩阵A的化零多项式 例 设J是n阶Jordan 块矩阵，主对角元为0
0
J
1
0
1
0
C
nn
则J的化零多项式为 P( ) = (- 0 )n
第五节 矩阵的最小多项式
主要内容：
1·矩阵多项式及其性质 2·化零多项式与Hamilton-Cayley定理 3·矩阵的最小多项式及求法
定义 设p（z）是复数域上的多项式 p(z) am zm a1z a0 (am 0)
则 p( A) am Am a1 A a0 I ( A C nn , am 0)
2·分块对角矩阵A=diag(A1,A2,…,AS)的最小多项式等于其 诸 对角块的最小多项式的最小公倍数。 3·设A C则nnA, 的最小多项式为A的第n个不变因子。
4.设A是n阶矩阵，B()是特征矩阵I-A的伴随矩阵，d()是 B()中各元素的最高公因式，则A的最小多项式为
() I A Dn( ) d ( ) Dn1( )
O
例设
A 10 31
由A的特征多项式为
1 f () I A
3 2 1
0 1
则一定有 A2 I 0
Hamilton-Cayley定理
设A是n阶矩阵，f（）是A的特征多项式，则f(A)=0
例：设 f 24 123 192 29 37, 求 f A,
证明A可逆,并将其逆表示为A的多项式，其中 A 1 1 2 5
2 0 5 • 由于A的特征多项式与最小多项式有相同的根 • 故A的最小多项式具有下列形式为
（ ）= (+1)k , k =1或2或3
经验证可得(A+I)2=0,且A+I不为零，所以A的最小多项式 为
（ ）= (+1)2
解3 矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵为
( 1)( 5) B() 3( 1)
证明
0 1
J
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 I
0
1 0
C
nn
0
(J
0I )2
0 0
1 0 0
1
0
0
,,
0 0 0 0 0 0
(J
0I )n
0
0
0
0
0
Hamilton-Cayley定理
• 设A是n阶矩阵，f（）是A的特征多项式，则 f(A)=0
该定理表明任何方阵的特征多项式是该矩阵的化零多项式
称p(A)为矩阵多项式, am是首项系数，m是次数.
性质 设 p（z)是复数域上的多项式， (1)若B T 1AT ,则p(B) T 1 p( A)T (2)若A diag( A1, A2 , , As ), 则 p( A) diag( p( A1), p( A2 ), , p( As ))
由于 (A) O, p(A) O ，则 r(A) O
又 () 是矩阵A的最小多项式，而
0[r()] 0[ ()]
因此 r() 0 ，即 () | p()
矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。
推论
（1）矩阵A的最小多项式是唯一的。 （2）如果矩阵A的特征多项式无重根，则矩阵A的特征多
例：主对角元为0 的n阶Jordan 块J的最小多项式为 P( ) = (- 0 )n
例：主对角元为0 的n阶Jordan形 J=diag (J1, J2, …, Js )的最小多项式为
P( ) = (- 0 ) k 其中k是J的Jordan块 Ji 的最大阶数。
最小多项式的性质
（1）矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。 （2）相似矩阵有相同的最小多项式。 （3）矩阵A的特征多项式与最小多项式有相同的根。 证明