矩阵多项式

证明 将A的特征多项式改写为
f () ( 1)m1 ( 2 )m2 ( s )ms 设A的Jordan标准形为J diag(J1, J2 , , Jt )
其中，Ji为Jordan块
且设 A PJP1
则有 f (A) Pf (J )P1
pdiag( f (J1), f (J2 ), , f (Jt )) P1
证明
0 1
J
0 I
0
1 0
C
nn
0
(J
0I )2
0 0
1 0 0
1
0
0
,,
0 0 0 0 0 0
(J
0I )n
0
0
0
0
0
Hamilton-Cayley定理
• 设A是n阶矩阵，f（）是A的特征多项式，则 f(A)=0
该定理表明任何方阵的特征多项式是该矩阵的化零多项式
O
例设
A 10 31
由A的特征多项式为
1 f () I A
3 2 1
0 1
则一定有 A2 I 0
Hamilton-Cayley定理
设A是n阶矩阵，f（）是A的特征多项式，则f(A)=0
例：设 f 24 123 192 29 37, 求 f A,
证明A可逆,并将其逆表示为A的多项式，其中 A 1 1 2 5
2 0 5 • 由于A的特征多项式与最小多项式有相同的根 • 故A的最小多项式具有下列形式为
（ ）= (+1)k , k =1或2或3
经验证可得(A+I)2=0,且A+I不为零，所以A的最小多项式 为
（ ）= (+1)2
解3 矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵为
( 1)( 5) B() 3( 1)
提示：矩阵A的特征多项式为 2 6 7,
则由带余除法得 f g 2,
又由 A 0 从而 f A A 2I 3 1
2 7
由 A 0 知， A2 6A 7I 0,Fra Baidu bibliotek
则 1 A6I A I
7
最小多项式
•设A是n阶矩阵，称A的首项系数为1，次数最小的化零多
项式为A的最小多项式。
则A的最小多项式为
() ( 1)d1 ( 2 )d2 ( s )ds
di
max k
nik
推论
1·设A是n阶矩阵，A 的谱为{1, 2，…, s }
A的相应于特征值i 的次数最大的初等因子为 ( i )di 则A的最小多项式为 () ( 1)d1 ( 2 )d2 ( s )ds
2·分块对角矩阵A=diag(A1,A2,…,AS)的最小多项式等于其 诸 对角块的最小多项式的最小公倍数。 3·设A C则nnA, 的最小多项式为A的第n个不变因子。
4.设A是n阶矩阵，B()是特征矩阵I-A的伴随矩阵，d()是 B()中各元素的最高公因式，则A的最小多项式为
() I A Dn( ) d ( ) Dn1( )
项式与最小多项式相同。
定理 设A是n阶矩阵，A的特征多项式为
f () ( 1)m1 ( 2 )m2 ( s )ms
A的Jordan 标准形为 J= diag (J1, J2, …, Js ) 其中Ji= diag (Ji1, Ji2, …, Jini ) 是特征值为i 的Jordan 形，n ik是J ik的阶数
2( 1)
0
( 1)2
0
8( 1) 6( 1) ( 1)( 3)
例：主对角元为0 的n阶Jordan 块J的最小多项式为 P( ) = (- 0 )n
例：主对角元为0 的n阶Jordan形 J=diag (J1, J2, …, Js )的最小多项式为
P( ) = (- 0 ) k 其中k是J的Jordan块 Ji 的最大阶数。
最小多项式的性质
（1）矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。 （2）相似矩阵有相同的最小多项式。 （3）矩阵A的特征多项式与最小多项式有相同的根。 证明
3 0 8
例 求A的最小多项式
A
3
1
6
并求 A100
2 0 5
解1 矩阵A的特征矩阵为
3 0 8 1
I A 3 1 6 1
2
0 5
( 1)2
A的第3个不变因子为(+1)2 ,则A的最小多项式为(+1)2
解2 矩阵A的特征多项式为
3 0 8 f () I A 3 1 6 ( 1)3
由于 (A) O, p(A) O ，则 r(A) O
又 () 是矩阵A的最小多项式，而
0[r()] 0[ ()]
因此 r() 0 ，即 () | p()
矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。
推论
（1）矩阵A的最小多项式是唯一的。 （2）如果矩阵A的特征多项式无重根，则矩阵A的特征多
称p(A)为矩阵多项式, am是首项系数，m是次数.
性质 设 p（z)是复数域上的多项式， (1)若B T 1AT ,则p(B) T 1 p( A)T (2)若A diag( A1, A2 , , As ), 则 p( A) diag( p( A1), p( A2 ), , p( As ))
第五节 矩阵的最小多项式
主要内容：
1·矩阵多项式及其性质 2·化零多项式与Hamilton-Cayley定理 3·矩阵的最小多项式及求法
定义 设p（z）是复数域上的多项式 p(z) am zm a1z a0 (am 0)
则 p( A) am Am a1 A a0 I ( A C nn , am 0)
（1）设 (), p() 分别是矩阵A的最小多项式和化零多项式， 由最小多项式的定义可知 0[ ()] 0[ p()]
利用多项式的带余除法知，存在多项式 q() ,r ()
使得
p() ()q() r(), 0[r()] 0[ ()]
p() ()q() r(), 0[r()] 0[ ()]
(3)若Ax x,则p(A)x p()x
即：若 为矩阵A的特征值，则 p为 的p特A征 值。
化零多项式
• 设p（z）是复数域上的多项式，A是n阶矩阵，如
果
p(A)=0,
• 则称p（z）是矩阵A的化零多项式 例 设J是n阶Jordan 块矩阵，主对角元为0
0
J
1
0
1
0
C
nn
则J的化零多项式为 P( ) = (- 0 )n