【精品】第三章函数逼近及最小二乘法
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第三章函数逼近及最
小二乘法
第三章 函数逼近及最小二乘法 §1 内积空间及函数的范数
定义1 设)(x ρ是定义在(a,b)上的非负函数，且满足：
1）dx x x n
b
a )(ρ⎰存在 （n=0,1,2,…） 2）对非负的连续函数g(x)，若
0)()(=⎰dx x x g b a ρ
则在(a,b)上有g(x)=0，则称)(x ρ为(a,b)上的权函数。
定义2 设f(x),g(x)为[a,b]上的连续函数，)(x ρ为(a,b)上的权函数，称
),(g f = dx x x g x f b
a )()()(ρ⎰
为函数f(x)与g(x)在[a,b]的内积。特别当)(x ρ=1时，上式变为
),(g f = dx x g x f b a ⎰)()(
设],[b a C 表示在区间[a,b]上连续函数的全体，那么定义了内积之后，],[b a C 就变成了一个内积空间。显然有
),(f f = dx x x f b
a )()(2ρ⎰
为一个非负值，因此我们有
定义3 对],[)(b a C x f ∈，称
),()(2f f x f =
为)(x f 的欧氏范数（又称2-范数）。
其实，我们还经常用到函数的其他范数。比如，
)
(
max
)
(x
f
x
f
b
x
a≤
≤
∞
=dx
x
x
f
x
f b
a
)
(
)
(
)
(
1
ρ
⎰=
n维向量空间中两个向量正交的定义也可以推广到连续内积空间]
,
[b
a
C中.
定义4 若]
,
[
)
(
),
(b
a
C
x
g
x
f∈,满足
)
,
(g
f = dx
x
x
g
x
f b
a
)
(
)
(
)
(ρ
⎰=0
则称函数f(x)与g(x)在[a,b]上带权)
(x
ρ正交.
若函数族
),
(
,
),
(
),
(
1
x
x
x
n
ϕ
ϕ
ϕ满足
⎰
⎩
⎨
⎧
=
>
≠
=
=b
a
k
k
j
k
j k
j
A
k
j
dx
x
x
x
)
(
)
(
)
(
)
,
(ϕ
ϕ
ρ
ϕ
ϕ
则称函数族{})(x kϕ是[a,b]上带权)(x
ρ的正交函数族.特别地,若1
=
k
A ,就称之为标准正交函数族.
由高等数学的知识，我们知道, Foureir级数展开中函数族 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……即为]
,
[π
π
-上带权)
(x
ρ=1的正交函数族.
如同线性代数中的向量组线性无关概念一样,在此也有函数组的线性无关概念.
定义5设函数组)
(
,
),
(
),
(
1
1
x
x
x
n-
ϕ
ϕ
ϕ 在[a,b]上连续,若
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
=
+
+
+
-
-
x
a
x
a
x
a
n
n
ϕ
ϕ
ϕ
当且仅当0
1
1
=
=
=
=
-
n
a
a
a 时成立,则称函数族
)
(
,
),
(
),
(
1
1
x
x
x
n-
ϕ
ϕ
ϕ 在[a,b]上是线性无关的.否则称为线性相关函数组。