反函数和复合函数的求导法则
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二、反函数的导数法则
定理1：设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且)
(1
)(00y x f ϕ'=
'。 证明：0
0000)()(1
lim
)()(lim )()(lim
000
y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→ϕϕϕϕ )(1
)()(lim 100
00y y y y y y y ϕϕϕ'=--=
→
所以 )
(1
)(00y x f ϕ'='。
注1：00
y y x x →⇔
→，因为)(y ϕ在0y 点附近连续，严格单调；
2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ϕ'=
'或)(1
dy
dx dx dy =，其中dy
dx dx dy ,
均为整体记号，各代表不同的意义；
3：)(x f '和)(y ϕ'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。 【例1】
求x y arcsin =的导数，
解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2
,2[,sin π
π-
∈=y y x 的反函数，由定理1
得：
2211
sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x
y y y x -=
-=='='。
注1：同理可证：2
22
11
)tan (,11)(arctan ,11)(arccos x x arcc x x x x +-='+=
'--
='；
2：2
tan arctan arccos arcsin π
=+=+x arcc x x x 。
【例2】
求x y a log =的导数)1,0(≠>a a 。
解：利用指数函数的导数，自己做。
三、初等函数的求导公式
1、常数和基本初等函数的求导公式：
（1）0)(='c （2）1)(-='μμμx x （3）x x cos )(sin =' （4）x x sin )(cos -=' （5）x x 2sec )(tan =' （6）x x 2csc )(cot -=' （7）x x x tan sec )(sec ⋅=' （8）x x x cot csc )(csc ⋅-=' （9）a a a x x ln )(=' （10）x x e e =')( （11）a x x a ln 1)(log =
' （12）x
x 1
)(ln =' （13）2
11)(arcsin x
x -=' （14）2
11)(arccos x
x --
='
（15）211)(arctan x x +=
' （16）2
11
)cot (x
x arc +-=' （17）chx shx =')( （18）shx chx =')( （19）x
ch thx 2
1)(=
' （20）11))1(ln()(2
2+=
'++='x x x arcshx
（21）1
1))1(ln()(22-=
'-+='x x x arcchx
（22）2
11
)11ln 21()(x
x x arcthx -='-+='
四、复合函数的求导法则
复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：
1.是否可导？
2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。
定理2（复合函数求导法则）：如果)(x u ϕ=在0x x =点可导，且)(u f y =在
)(00x u u ϕ== 点也可导，那么，以)(u f y =为外函数，以)(x u ϕ=为内函
数，所复合的复合函数))((x f y ϕ=在0x x =点可导，且
)()(000
x u f dx
dy
x x ϕ''==，或)()(]))(([000x u f x f x x ϕϕ''='=
证明： 000000)
()()()(lim ))(())((lim
00
x x x x u u u f u f x x x f x f x x x x --⋅--=--→→ϕϕϕϕ =0
000)
()(lim )()(lim
00
x x x x u u u f u f x x u u --⋅--→→ϕϕ=)()(00x u f ϕ'⋅' 所以)()(,]))(([00x u f x f ϕϕ''=∃'。
注 1：若视0x 为任意，并用x 代替，便得导函数：
)())(())
((x x f dx
x df ϕϕϕ'⋅'=，或)())((]))(([x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' 或dx du
du dy dx dy ⋅
=。 2：))((x f ϕ'与]))((['x f ϕ不同，前者是对变量)(x u ϕ=求导，后者是对变量x 求导，注意区别。
3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。
4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如： )())(()))(((])))((([x h x h g x h g f x h g f '⋅'⋅'='等。
【例3】
求x
y 1
arctan =的导数。
解：x y 1arctan =可看成u arctan 与x u 1
=复合而成，
211)(arctan u u +=
'，2
1
)1(x x -='， 22211)1()1(11)1(arctan x x x
x y +-=-⋅+='='⇒。 【例4】
求μx y =（μ为常数）的导数。