反函数和复合函数的求导法则
第二节 反函数与复合函数的导数(本科)
e x tan(e x )
13
例8 解：
求函数 y ( x 2 1)10 的导数 .
10( x 2 1)9 ( x 2 1) y
10( x 1) 2 x
2 9
20 x( x 1) .
2 9
14
例9 求函数 y ln x 1 ( x 2) 的导数. 3 x2 1 1 2 解： y ln( x 1) ln( x 2), 2 3 1 1 1 x 1 2 y 2x 2 2 x 1 3( x 2) x 1 3( x 2)
1. 常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (sec x ) sec x tan x
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc x cot x
18
2. 函数的线性组合、积、商的求导法则
设u u( x ), v v( x ) 都可导, 则
( 1 ) ( u v ) u v , , R. ( 2) (u . v ) u v uv .
u u v uv ( 3) (v 0). 2 v v
6
二、复合函数的求导法则
复合函数 y f [ ( x)] 在 x0 处可导，且
链导法则
如果 u (x) 在 x0 处可导，而y f (u ) 在u0 ( x0 )点可导，则
dy dx
x x0
dy dy du f (u 0 ) ( x0 ) ， 简记为 dx du dx 。
3复合函数的求导法则,反函数的求导法则
例5
y
1
x
3
,
求 y.
1 x
河海大学理学院《高等数学》
例7 求函 y数 ln3xx2 21(x2)的导 . 数
解 y1ln x2(1 )1ln x (2),
2
3
y1 2x2112x3(x12)
x2x13(x12)
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且
dy f(u)(x) 或
dx
dy dy du dx du dx
f[(x )] f[(x ) ] (x )
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推广 设 y f ( u )u ,( v )v ,( x ),
则复合y函 f数 {[(x)]的 } 导数为
f[g(x) ]2ln x
f[g (x )]f[g (x ) ]g (x ) 2 ln x x
g[f(x)]x12
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例11 设 f (x) 可导,且 yf(s2ixn )f(c2o x),s
求
dy d cos 2 x
解 令 u c2 o x ， sy f则 ( 1 u ) f( u )
dy
dy
d cos 2 x du
f(1u)f(u)
f(s2x i)n f(c2x o ) s
把 cos2 x 整体看作一个自变量
河海大学理学院《高等数学》
二、反函数的求导法则
定理2 如果函数 x(y)在某区间 I y 上
单调、可导且 (y)0,则它的反函数 yf(x)
siyn coy s0
因此，在对应区间 Ix 1 , 1 内有
arcxsi nsi1n y
1
第三节反函数的导数复合函数的求导法则
第三节反函数的导数复合函数的求导法则
反函数的导数：
反函数的导数定义是：如果y=f(x)是一个单调函数，且f-1(x)是
y=f(x)的反函数，那么f-1(x)的导数就被定义为[f-1′(x)=1/f′(f-
1(x))]。
即反函数的导数等于其原函数的导数的倒数。
反函数的导数是研究函数及其变化规律的重要工具，在微积分中应用很广泛。
比如，探究定积分的导数，由定积分定义可知，定积分的导数是原函数反函数的导数，计算定积分的导数，就可以利用反函数的导数的公式来解决。
复合函数的求导法则：
复合函数的求导法则是指利用复合函数的性质计算复合函数（含有两个或以上的单函数）的导数的技术，它可以把多函数的求导问题化简为只有单个函数的求导问题。
这里把它简单概括成三条：（1）链式法则（即欧拉公式）：如果函数Z=f(g(x))，那么Z的导数是
dZ/dx=dZ/dg(x)*dg(x)/dx。
（2）链式法则2：如果函数Z=f(g(h(x)))，那么Z的导数为dZ/dx=dZ/dg(h(x))*dg(h(x))/dh(x)*dh(x)/dx。
（3）分部积分法则：如果函数Z=f(x,y)，其中y=g(x)，那么Z的导数是
dZ/dx=dZ/dx，y=g(x)+dZ/dy，x=g(x)*dg(x)/dx。
复合函数的求导法则是利用复合函数的性质，将复合函数的求导问题转化为只有单个函数的求导问题。
反函数和复合函数的求导法则
反函数和复合函数的求导法则在微积分中，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的方式。
在函数的研究中，反函数和复合函数是两个重要的概念。
本文将介绍反函数和复合函数的求导法则。
1.反函数反函数是指一个函数的输入和输出对调的函数。
如果函数f将集合A的元素映射到集合B的元素，那么反函数f^(-1)就将集合B的元素映射到集合A的元素。
设函数f的定义域为A，值域为B，则对于任意y∈B，如果存在x∈A，使得f(x)=y，那么函数f的反函数f^(-1)将满足f^(-1)(y)=x。
反函数的求导法则可以通过链式法则来推导。
设函数y=f(x)在区间I上是可导的，且f'(x)≠0。
若函数f在点x处可导，且f'(x)≠0，那么f^(-1)在点y=f(x)处也可导，且有反函数的导数公式：(f^(-1))'(y)=1/f'(x)其中x是f^(-1)(y)=x的解。
这个公式意味着反函数的导数是通过将函数的导数取倒数得到的。
这是因为反函数的定义是将函数的输入和输出对调，因此反函数的斜率应该是原函数斜率的倒数。
2.复合函数复合函数是指由两个或多个函数组合起来形成的新的函数。
设有函数f(x)和g(x)，那么f(g(x))就是一个由两个函数复合而成的函数。
复合函数的求导法则可以通过链式法则来推导。
设函数y=f(g(x))，其中f和g都是可导函数。
那么复合函数y的导数dy/dx可以通过链式法则表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中u=g(x)是变量x经过函数g变换后的结果。
这个公式意味着复合函数的导数是由两部分组成的。
第一部分是外层函数对内层函数的导数，第二部分是内层函数对变量的导数。
通过链式法则，我们可以将复合函数的求导问题转化为求两个简单函数的导数问题。
需要注意的是，如果函数f和g都是可导函数，那么复合函数f(g(x))不一定是可导函数。
复合函数的可导性依赖于函数f和g的可导性。
反函数复合函数求导法则和基本求导公式
反函数复合函数求导法则和基本求导公式一、反函数求导法则：设函数y=f(x)在[a,b]上连续可导，且f'(x)≠0，设F(x)是f(x)在[a,b]上的反函数，则F'(x)=1/f'(F(x))。
证明：对于函数y=f(x)在区间[a,b]上的其中一点x，设其反函数为y=F(x)。
则根据反函数的定义可知：f(F(x))=x两边同时对x求导，则有：f'(F(x))*F'(x)=1由此可得：F'(x)=1/f'(F(x))这即为反函数求导法则。
二、复合函数求导法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由函数u=g(x)和函数y=f(u)复合而成的复合函数，则其导函数为：dy/dx = f'(u) * g'(x)证明：根据链式法则，设y=f(u)，u=g(x)，则由复合函数求导法则可知：dy/du = f'(u)du/dx = g'(x)将以上两个导数代入复合函数的导数公式中，则有：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)这即为复合函数求导法则。
三、基本求导公式：1.常数函数的导数：(c)'=0，其中c为常数。
证明：设y=c，其中c为常数，则有：Δy/Δx=0当Δx趋近于0时，上式可进一步得到：dy/dx = 0因此，常数函数的导数为0。
2.变量的幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)，其中n为常数。
证明：设y=x^n，其中n为常数，则有：Δy/Δx=[(x+Δx)^n-x^n]/Δx根据二项式定理展开(x+Δx)^n，这里不再赘述，从展开后的表达式中可以看出，除了形如x^n的一项，其他各项都含有Δx。
因此当Δx趋近于0时，可以将这些含有Δx的项直接忽略，只剩下一项：dy/dx = n*x^(n-1)这就是变量的幂函数的导数公式。
3.e^x的导数：(e^x)'=e^x。
反函数的导数 复合函数的求导法则
证
∆y = f ′( u0 ) 由y = f ( u)在点 u0可导 , ∴ lim ∆ u→ 0 ∆ u ∆y 故 = f ′( u0 ) + α ( lim α = 0) ∆ u→ 0 ∆u
则 ∆y = f ′( u0 )∆u + α∆u
∆y ∆u ∆u ∴ lim = lim [ f ′( u0 ) +α ] ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x ∆x ∆u ∆u ′( u0 ) lim + lim α lim = f ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x
dy ∴ = f ′( u)(sin x )′ dx = f ′(sin x ) cos x
例9：y = x 2 f (sin x ), 求
请动手做一做
解： dy = ( x 2 )′ f (sin x ) + x 2 ( f (sin x ))′
dy dx
dx
= 2 xf (sin x ) + x f ′(sin x ) cos x
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
二、复合函数的求导法则
定理
如果函数 u = ϕ ( x )在点 x0可导 , 而y = f ( u) 在点 u0 = ϕ ( x0 )可导 , 则复合函数 y = f [ϕ ( x )]在点 x0可导, 且其导数为 dy dy dy du ′ ′ x = x0 = f ( u0 ) ⋅ ϕ ( x0 ).或 x = x0 = u = u0 . dx dx du dx 因变量对自变量求导, 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) .(链式法则 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
反函数与复合函数的运算与求导法则
商式法则：对 两个函数的商 求导，先将分 子和分母分别 求导，再将结
果相除
反函数法则： 对反函数求导， 先将原函数求 导，再将结果
取倒数
复合函数的运算规则
乘法运算： f(g(x)h(x))=f(g (x))h(g(x))
加法运算： f(g(x)+h(x))=f (g(x))+f(h(x))
幂运算： f(g(x)^n)=f(g( x))^n
定义域：复合函 数中各个函数的 定义域的交集
值域：复合函数 中各个函数的值 域的并集
复合函数的求导 法则：链式法则 和乘积法则
复合函数的求导法则
链式法则：对 复合函数求导， 需要将外层函 数的导数与内 层函数的导数 相乘，再对内
层函数求导
乘积法则：对 两个函数的乘 积求导，先将 两个函数分别 求导，再将结
复合函数的导数： d/dx[f(g(x))]=( u'v'f')/(u'v')
复合函数的应用场景
物理问题：解决物理中的运动学、热力学等问题
经济问题：研究经济变量之间的相互影响，如供需关系、价格形成等
计算机科学：处理数据、图像、信号等，实现数据变换和算法优化
工程领域：在机械、航空、化工等领域中，复合函数的应用非常广泛，如控制系统的设 计、流体动力学的研究等
反函数与复合函数的运 算与求导法则
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汇报人：XX
目录
01 添 加 目 录 项 标 题 03 复 合 函 数 的 运 算 与
求导法则
02 反 函 数 的 运 算 与 求
导法则
04 反 函 数 与 复 合 函 数
关于反函数及复合函数求导法则的证明
关于反函数及复合函数求导法则的证明反函数和复合函数的求导法则是微积分的重要概念，可以用来证明一些复杂的函数的求导过程。
本文将证明反函数和复合函数的求导法则，首先介绍反函数的定义和证明过程，然后再介绍复合函数的证明过程。
关于反函数的求导反函数是指在给定的一个函数y=f(x)的情况下，存在另一个函数y=g(x)，使得f(g(x))=g(f(x))=x。
反函数可以用来求解有关函数的极值和极点问题。
在证明反函数求导法则时，可以运用反函数的性质：若y=f(x)是可微的函数，则dy/ dx=f′(x)，其中f′(x)表示函数f(x)的导函数。
那么可以根据反函数的性质推得：若y=g(x)是f(x)的反函数，则dg/dx=1/f′(g(x))其中f′(g(x))是函数f(g(x))的导函数。
从上式可以看出，当反函数以某点为参数进行求导时，求导结果就是函数f(x)在该点上的导数的倒数，从而可以证明反函数求导法则，即可以通过求反函数的导数来求f(x)函数的极值点。
关于复合函数的求导复合函数是指将两个函数连接起来，组成一个新的函数。
在求导复合函数时，需要使用复合函数求导法则，即链式法则，它表明：若f(x)是可微的函数，而g(x)是f(x)的可微的函数，则复合函数h(x)=g(f(x))的导函数h′(x)=g′(f(x))*f′(x)。
由以上可以得出，复合函数的求导等于复合函数中每个函数的导函数相乘，所以可以证明复合函数求导法则，并且由此也可以求出函数h(x)的极值点。
结论本文介绍了反函数和复合函数的求导法则，以及它们的证明过程。
根据以上推论，可以得出结论，即可以利用反函数和复合函数的求导法则来求出某个复杂函数的极值点。
反函数和复合函数的求导法则的证明过程对于理解微积分的概念具有重要的意义。
关于反函数及复合函数求导法则的证明
关于反函数及复合函数求导法则的证明反函数与复合函数求导法则是高等数学中重要的内容，其中反函数求导法则是指如果y=f(x)为单调函数，则可以定义其反函数记作x=f(y)，并且可以求得x关于y的导数：$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f'(y)}$，而复合函数求导法则则是指当y=h(x)为单调函数、z=g(y)也为单调函数时，则z关于x的导数为：$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=g'(y)\cdoth'(x)$。
本文旨在证明这两种法则所提出的结论是正确的。
首先讨论反函数求导法则，我们设随机变量x为原函数y的函数参数，不断增加（或者减少）直到y的值等于某一特定的$y_0$,此时变量x的值记作$x_0$,由于y为函数参数，因此可同时视x及y作性质相同的函数参数，此时有$y=f(x)$与$x=f(y)$，即反函数，设有$x_0=f(y_0)$，同时为$y_0$构造一个微增量$\Delta y$，此时有：$$x_0+\Delta x=f(y_0+\Delta y)$$将其分解成函数y与x的两个函数，有：$$\Delta x=f(y_0+\Delta y)-f(y_0)$$由于$\Delta y$与$\Delta x$非常微小，可以认为$\Delta x$等于函数f的导数：$$\Delta x=f'(y_0)\cdot \Delta y$$将其整理，有：$$\frac{\Delta x}{\Delta y}=f'(y_0)$$令$\Delta y$趋0，得：$$\frac{dx}{dy}=f'(y_0)$$即已证明反函数求导法则：$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f'(y)}$ 接下来讨论复合函数求导法则，设z为y的函数参数，即$z=g(y)$，由反函数的求导法则有：$$\frac{dz}{dy}=g'(y)$$又有z为x的函数参数：$$z=h(x)$$再应用反函数求导法则得：$$\frac{dz}{dx}=h'(x)$$将上面两式相乘，得：$$\frac{dz}{dx}=g'(y)\cdot h'(x)$$即已证明复合函数求导法则：$\frac{dz}{dx}=g'(y)\cdoth'(x)$经过上述分析，可以看出反函数与复合函数求导法则都是基于单调函数求导的性质所推导出的一种有效的求导方法。
反函数、复合函数求导法则和基本求导公式
2. ( x ) x 1
3. (a x ) a xln a
4. (loga
x)
1 x lna
5. (sin x) cos x
(tan x) sec2x
(secx) secx tan x 6. (arcsin x) 1
1 x2
(arctan x )
1
1 x2
(e x ) e x
(ln x) 1 x
.
2、 设 y sin2 x,则 y=
sin 2x
.
2x
3、 设 y arctan(x 2 ),则 y= 1 x 4
.
4、 设 y ln cos x ,则 y= tan x
.
10xtan2x ln 10
5、 设 y 10x tan 2x ，则 y= (tan 2x 2x sec2 2x) .
课内练习
求下列函数的导数：
(1) y ln x ,
(3) y sin2( x cos x) (5) y ln(x x2 1)
(2)
y
x2 tan 2
x
x2 (4) y ( x2 2)3
x
(6) y 2 ln x .
(1) y ln x ,
ln x
ln x ln( x)
x 0, x 0.
dy
利用arcsin x arccos x 以及arctan x arc cot x ,
2
2
得
(arccos x) 1 1 x2
(arc cot
x)
1 1 x2
.
例：求函数 y a x (a 0,a 1)的导数.
解：y a x 的反函数是 x log a y (0 y ).
反函数、复合函数求导法则及基本求导公式
2.4.5 基本求导数公式 0 1（ . C） 2. ( x ) x 1
1 4. (loga x ) x ln a 5. (sinx ) cos x (tan x ) sec2x (se cx ) se cx tan x 1 6. (arcsinx ) 1 x2 1 (arctanx ) 1 x2
则 f [ g( x )] | x 4 | x 4 在x 0处可导.
故选（ 3 ）。
(2) 错
16. ( x ) x 1
y x e
ln x
e ln x
令 t ln x 则y x 可看成由 y e t 与 t ln x复合而成。
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
例如： y ln(sin( 2 x 1))， 则 1 y cos(2 x 1) ( 2 x 1) sin( 2 x 1) 2 cos(2 x 1) sin( 2 x 1)
双曲双曲与反双曲函数的导数公式
(sh x ) ch x
(ch x ) sh x
(cth x )
1
(arch x )
1 (th x ) 2 ch x
(arshx ) x 1
2
1 sh2 x
1 x2 1
1 (arth x ) 1 x2
(arcth x )
(1)必可导； ( 2)必不可导； ( 3)不一定可导
解： 已知 f (u) | u | 在u 0处不可导，
a . 若u g ( x ) sin x , u在x 0处可导，
反函数的导数复合函数的求导法则
反函数的导数复合函数的求导法则
反函数的导数复合函数是指由一个反函数和一个普通函数复合而成的函数，通常被写作f（g（x））。
求反函数的导数复合函数的求导法则就是链式法则。
链式法则可以让我们求解复杂函数的导数，它可以将复杂的函数分解成一些简单的函数，然后利用其中的一些简单函数的已知导数计算出整个函数的导数。
首先了解几个基本概念：
1、定义域：定义域指变量的取值范围，所有在定义域内的取值，对应的函数值都是定义的。
2、域：函数的取值范围就叫域，也就是实际上函数所取得的真实数值范围。
3、反函数：如果一个函数f（x）的反函数是g（x），那么g（x）的定义域就是f（x）的域，而f（x）的定义域就是g（x）的域。
4、导数：导数表示函数的变化率，是描述函数单调性的概念。
基于上文所说的基本概念，可以提出反函数的导数复合函数的求导法则：
即反函数的导数复合函数f（g（x））的求导法则是：
f（g（x））的导数等于f（g（x））在g（x）处的导数乘以g（x）在x处的导数。
即：
f（g（x））′=f（g（x））′g（x）′
举例说明：
如果f（x）和g（x）分别如下定义：
f（x）=x2+1
g（x）=ln（x）。
反函数和复合函数的求导法则
二、反函数的导数法则定理1：设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且)(1)(00y x f ϕ'='。
证明：00000)()(1lim)()(lim )()(lim000y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→ϕϕ )(1)()(l i m 10000y y y y y y y ϕϕϕ'=--=→所以 )(1)(00y x f ϕ'='。
注1：00y y x x →⇔→，因为)(y ϕ在0y 点附近连续，严格单调；2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ϕ'='或)(1dydx dx dy =，其中dydx dx dy ,均为整体记号，各代表不同的意义；3：)(x f '和)(y ϕ'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。
【例1】求x y arcsin =的导数，解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2,2[,sin ππ-∈=y y x 的反函数，由定理1得：2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin xy y y x -=-=='='。
注1：同理可证：22211)tan (,11)(arctan ,11)(arccos xx arcc x x x x +-='+='--='；2：2tan arctan arccos arcsin π=+=+x arcc x x x 。
【例2】求x y a log =的导数)1,0(≠>a a 。
课件：复合函数的求导法则,反函数的求导法则
dy
即：反函数的导数等于原函数的导数的倒数.
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x ) 由y f ( x)的单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
,
f ( x)连续,
y
当x 0时，必有 y 0.又知 ( y) 0
f ( x) lim y x0 x
lim 1 y0 x
例1
y lntan x，求
dy dx
.
解 令 u tan x ，则 y ln u
故 dy ln utan x 1 sec2 x
dx
u
1 sec2 x tan x
1 sin x cos x
例2
y 3 1 2x2 ，求 dy
dx
.
解
dy
1 2x2
1 3
dx
1
1 2x2
证 由 y f (u)在u处可导,可得
f (u) lim y u0 u
则有 y f (u) o(1),其中lim o(1) 0
u
u0
即 y f (u)u o(1)u
所以 y f (u) u o(1) u
x
x
x
注意到:当x 0时, 由u (x) 的连续性
可得 u 0,从而 lim o(1) lim o(1) 0
2 3
1 2x2
3
1
1 2x2
2 3
4x
3
4x
33 (1 2x2 )2
例3 y sin nx sinn x ,求y. nsinn1 x sin(n 1)x
例4 y ln( x x2 1), 求 yy. 1
例5
y
1
09 反函数与复合函数的导数,隐函数的导数
dy 1.
dx x0
注 隐函数的导数的表达式中一般同时含有变量 x, y,
这是与显函数求导不同的地方.
21
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铃
例8 求由方程 ey xy e 0 所确定的隐函数
y f x的导数 y.
解 方程两边对 x 求导, 并注意到 y是 x 的函数, 利用
28
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铃
小结
反函数的求导法则
f (x) 1
( y)
复合函数的求导法则
dy dy du dx du dx
隐函数的导数
方程两边分别关于自变量求导
幂指函数 y (x) (x) 的导数
对数求导法
29
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结束
铃
课后练习
P72-73 习题2-3 1-6
解 y ln cos x 可以看成由 y ln u,u cos x 复合
而成, 故此由复合函数的求导公式, 得
dy dy du 1 sin x
dx du dx u
1 sin x tan x.
cos x
13
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铃
例5 求函数 y arcsin x2 1的导数.
y x3 3x y x2 5x3 27,
方程两端求导, 得到:
3y2 dy 3y2 6xy dy 15x2 0,
dx
dx
20
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铃
整理后得:
2.3-反函数的导数-复合函数的求导法则
§2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则一、反函数的导数设)(y x ϕ=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ϕ=在I y 内单调、可导，而且0)(≠'y ϕ，则反函数)(x f y =在间},)(|{y x I y y x x I ∈==ϕ内也是单调、可导的，而且)(1)(y x f ϕ'='(1)证明： ∀∈x I x ，给x 以增量x ∆),0(x I x x x ∈∆+≠∆由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知0)()(≠-∆+=∆x f x x f y于是y xx y ∆∆=∆∆1因直接函数)(y x ϕ=在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的，当0→∆x 时，必有0→∆y)(11lim lim00y y x x y y x ϕ'=∆∆=∆∆→∆→∆ 即：)(1)(y x f ϕ'='【例1】试证明下列基本导数公式().(arcsin )().()().(log )ln 1112113122x x arctgx x a x a x '=-'=+'=证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数函数 y x sin =在)2,2(ππ-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0因此，在 )1,1(-=x I 上， 有y x cos 1)arcsin (='注意到，当)2,2(ππ-∈y 时，0cos >y ，221sin 1cos x y y -=-=因此，211)arcsin (x x -='证2 设x tgy =，)2,2(ππ-=y I则yarctgx =，I x =-∞+∞(,)tgy x = 在 I y 上单调、可导且0cos 12>='y x故2221111cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='='证3a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (=='='类似地，我们可以证明下列导数公式：(arccos )()(ln )x x arcctgx x x x '=--'=-+'=1111122二、复合函数的求导法则如果)(x u ϕ=在点x 0可导，而)(u f y =在点)(00x u ϕ=可导，则复合函数])([x f y ϕ=在点x 0可导，且导数为)()(000x u f dx dyx x ϕ'⋅'==证明：因)(lim00u f x yu '=∆∆→∆，由极限与无穷小的关系，有)0,0()(0→→∆∆⋅+∆'=∆αα时当u u u u f y用0≠∆x 去除上式两边得：x u x u u f x y ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆α)(0由)(x u ϕ=在x 0的可导性有：00→∆⇔→∆u x ， 0lim lim 0==→∆→∆ααu x])([lim lim000x ux u u f x y x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆→∆→∆αx ux u u f x x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=→∆→∆→∆0000limlim lim )(α)()(00x u f ϕ'⋅'=即)()(000x u f dx dyx x ϕ'⋅'==上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述： 若u x =ϕ()在开区间I x 可导，yf u =()在开区间I u 可导，且∀∈x I x 时，对应的 u I u ∈，则复合函数])([x f y ϕ=在I x 内可导，且dx du du dy dx dy ⋅= (2)复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。
第二节二.复合函数和反函数的求导法
的导数.
解
y 2sin 3x cos3 x 3 cos3 2 x sin 2 3x 3cos 2 2 x ( sin 2 x) 2 sec 2 2 x 2
3sin 6 x cos3 2 x 6sin 2 x sin 2 3 x cos 2 2 x 2sec 2 2 x
设 y f (u ) 对 u 可导， u ( x ) 对 x 可导， 则复合函数 y f ( ( x)) 也可导， 且有
dy dy du y y u 或 y f (u) ( x) 或 。 dx du dx
' x ' ' u x
' x
'
'
' ' ' ' ' yu uvvx 或 yx 推广： yx f ' (u) ' (v) ' ( x)
二. 复合函数求导法
1. 复合函数求导法
y sin 2 x
' y 错误解答： (sin 2 x)' cos2 x ' ' y (sin 2 x )' (2sin x cos x ) 正确解答：
2(cos2 x sin 2 x)
2cos 2 x
复合函数求导的链式法则:
x e x 的导数. .
(x e )
x /
例2.2.8 求函数 y
解
y
1 2 xe
x
1 e x 2 x e x
对于初等函数，若既有四则运算又有复合运算， 则应利用相应的求导法则.
2 3 y sin 3 x cos 2 x tan 2 x 例2.2.10 求函数
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二、反函数的导数法则定理1：设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且)(1)(00y x f ϕ'='。
证明：00000)()(1lim)()(lim )()(lim000y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→ϕϕϕϕ )(1)()(lim 10000y y y y y y y ϕϕϕ'=--=→所以 )(1)(00y x f ϕ'='。
注1：00y y x x →⇔→，因为)(y ϕ在0y 点附近连续，严格单调；2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ϕ'='或)(1dydx dx dy =，其中dydx dx dy ,均为整体记号，各代表不同的意义；3：)(x f '和)(y ϕ'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。
【例1】求x y arcsin =的导数，解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2,2[,sin ππ-∈=y y x 的反函数，由定理1得：2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin xy y y x -=-=='='。
注1：同理可证：22211)tan (,11)(arctan ,11)(arccos x x arcc x x x x +-='+='--='；2：2tan arctan arccos arcsin π=+=+x arcc x x x 。
【例2】求x y a log =的导数)1,0(≠>a a 。
解：利用指数函数的导数，自己做。
三、初等函数的求导公式1、常数和基本初等函数的求导公式：（1）0)(='c （2）1)(-='μμμx x （3）x x cos )(sin =' （4）x x sin )(cos -=' （5）x x 2sec )(tan =' （6）x x 2csc )(cot -=' （7）x x x tan sec )(sec ⋅=' （8）x x x cot csc )(csc ⋅-=' （9）a a a x x ln )(=' （10）x x e e =')( （11）a x x a ln 1)(log =' （12）xx 1)(ln =' （13）211)(arcsin xx -=' （14）211)(arccos xx --='（15）211)(arctan x x +=' （16）211)cot (xx arc +-=' （17）chx shx =')( （18）shx chx =')( （19）xch thx 21)(=' （20）11))1(ln()(22+='++='x x x arcshx（21）11))1(ln()(22-='-+='x x x arcchx（22）211)11ln 21()(xx x arcthx -='-+='四、复合函数的求导法则复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。
定理2（复合函数求导法则）：如果)(x u ϕ=在0x x =点可导，且)(u f y =在)(00x u u ϕ== 点也可导，那么，以)(u f y =为外函数，以)(x u ϕ=为内函数，所复合的复合函数))((x f y ϕ=在0x x =点可导，且)()(000x u f dxdyx x ϕ''==，或)()(]))(([000x u f x f x x ϕϕ''='=证明： 000000)()()()(lim ))(())((lim00x x x x u u u f u f x x x f x f x x x x --⋅--=--→→ϕϕϕϕ =0000)()(lim )()(lim00x x x x u u u f u f x x u u --⋅--→→ϕϕ=)()(00x u f ϕ'⋅' 所以)()(,]))(([00x u f x f ϕϕ''=∃'。
注 1：若视0x 为任意，并用x 代替，便得导函数：)())(())((x x f dxx df ϕϕϕ'⋅'=，或)())((]))(([x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' 或dx dudu dy dx dy ⋅=。
2：))((x f ϕ'与]))((['x f ϕ不同，前者是对变量)(x u ϕ=求导，后者是对变量x 求导，注意区别。
3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。
4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如： )())(()))(((])))((([x h x h g x h g f x h g f '⋅'⋅'='等。
【例3】求xy 1arctan =的导数。
解：x y 1arctan =可看成u arctan 与x u 1=复合而成，211)(arctan u u +='，21)1(x x -='， 22211)1()1(11)1(arctan x x xx y +-=-⋅+='='⇒。
【例4】求μx y =（μ为常数）的导数。
解：x e x y ln μμ==是u e y =，x v v u ln ,=⋅=μ复合而成的。
所以111)(ln )()()(-⋅=⋅⋅=⋅⋅='⋅'⋅'='='μμμμμμμμx x xx e x v e x y u 。
这就验证了前面§2、1的[例4]。
由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。
在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。
【例5】21x y -=，求y '。
解：22221221)1(1121])1[()1(xxx x x x y --='-⋅-⋅='-='-='。
【例6】x e y sin 1-=，求y '。
解： xx e x eey xxxsin 1)sin 1(21)sin 1()(sin 1sin 1sin 1-'-⋅⋅='-⋅='='--- xxexx xx e sin 1sin 1sin 1cos 21sin 1cos 21----=--⋅=。
【例7】))1cos(2arcsin(2-=x y ，求y '。
解：))1cos(2()]1cos(2[11))1cos(2(arcsin(2222'---='-='x x x y=)1()]1sin([2)1(cos 4112222'-⋅--⋅--x x x=)1(cos 41)1sin(42)1(cos 41)1sin(2222222----=⋅----x x x x x x 。
【例8】))2tan ln(ln(ln xy =，求y '。
解：)2tan (ln 2tanln 1)2tan ln(ln 1))2tan (ln(ln )2tan ln(ln 1'⋅='⋅='xx x x x y)2(2cos 12tan 12tan ln 1)2tan ln(ln 1)2(tan 2tan 12tan ln 1)2tan ln(ln 12'⋅⋅⋅⋅='⋅⋅⋅=x x x x x x x x x2tanln ln 12tan ln 1sin 12tanln ln 12tan ln 12tan 12cos 1212xx xx x x x ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=。
【例9】])()[(21)(21)2('-'='-='-='---x x x x x x e e e e e e x h s ][21)]1([21xx xx e e e e --+=--=， 即chx x h s ='。
同理，shx x h c ='。
【例10】)1ln(2x x y ++=，求y '。
解：)1(11])1[ln(222'++⋅++='++='x x x x x x y)1(11211[11222'+++++=x x x x)(11)12211(11222'=+=++++=arshx xx x x x 。
同理： )(11)1(ln(22'=-='-+archx x x x 。
小结：1 、函数的四则运算的求导法则： 设)(),(x v v x u u ==，则(i)v u v u '±'='±)( (ii)u c cu '=')((iii)v u v u uv '+'=')( (iv)2)(vv u v u v u '-'=' )0(≠v2、复合函数的求导法则：设))(()(),(x f y x u u f y ϕϕ=⇒==的导数为： dxdudu dy dx dy ⋅= 或)())((]))(([x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' 或dxx d duu df dx x df x u )()())(()(ϕϕϕ⋅==。