内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
三角形四心及其性质总结
三角形四心及其性质总结三角形的四心是三角形内部以及外部的四个特殊点，它们是重心、垂心、外心和内心。
这四个特殊点在三角形的性质研究中起到了重要的作用。
下面我们对这四个特殊点及其性质进行详细总结。
一、重心：重心是三角形内部最重要的特殊点之一，也是最容易计算的一个点。
重心是由三角形的三条中线的交点确定的，其中中线是三角形的两个顶点与对边中点之间的线段。
重心的性质：1.重心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于中线的一半。
2.重心将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的重心都与大三角形的重心重合。
3.重心所在的直线与三角形的垂心所在的直线相交于三角形内部的其中一点。
4.重心到三角形的顶点的距离等于重心到该顶点所在直线上任一点的距离之和的二倍。
二、垂心：垂心是三角形内部的一个重要特殊点，它是由三角形的三条高的交点确定的，其中高是三角形的顶点与对边垂直的线段。
垂心的性质：1.垂心到三角形的三个顶点以及对边的距离互相相等。
2.垂心的连线与三角形的顶点构成的线段组成的三角形与原三角形形成的角互补。
3.垂心到三角形的边的垂直距离之和是最小的，也就是说垂心到三角形的边的距离最短。
三、外心：外心是三角形外接圆的圆心，它是由三角形的三个顶点的垂直平分线的交点确定的。
外心的性质：1.外心到三角形的三个顶点的距离相等，且这个距离等于外心到三角形的任一边的垂直距离。
2.外心是垂心与三角形的三个顶点的中垂线的交点所确定的，也就是说外心是垂心、重心和媒心的垂线交点。
3.外心到三角形的每条边的距离等于外心到该边所在直线上任一点的距离之和的二倍。
4.外心是连接三角形顶点与对边上等腰三角形顶点的线段的垂直平分线的交点所确定的。
四、内心：内心是三角形内切圆的圆心，它是由三条三角形的角的平分线的交点确定的。
内心的性质：1.内心到三角形的每条边的距离相等，且等于内切圆的半径。
2.内心是连接三角形的每个顶点与对边上切点的线段的垂直平分线的交点所确定的。
三角形的内心,外心,重心,垂心,旁心及性质分别是指什么？
三角形的内心，外心，重心，垂心，旁心及性质分别是指什么？1.垂心：〈1〉定义：是三角形三条高的交点。
〈2〉性质：[性质1]锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
[性质2]三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
[性质3]垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
[性质4]△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，。
[性质5]O、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为--垂心组)。
[性质6]△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
[性质7]三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
[性质8]设O、H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA.[性质9]锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍，即AH+BH+CH=2（r+R）。
[性质10]锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
[性质11]设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA,AB.上的射影，H1,H2，H3分别为△AEF,△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3.[性质12]三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
2.内心〈1〉定义：是三角形三条内角平分线的交点即内接圆的圆心。
交于点O，点O即为△ABC的内心。
〈2〉性质：[性质1]三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r. [性质2]∠BOC=90°+∠BAC/2。
[性质3]在Rt△ABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BDxCD3.重心：〈1〉重心的定义：重心是三角形三条中线的交点。
三角形“四心”定义与性质
三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC的重心一般用字母O表示。
性质：1.外心到三顶点等距，即OA OB OC。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即OD BC,OE AC,OF AB.3. A 1BOC,B1AOC,C1AOB。
2 2 2二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝1三角形的周长内切圆的半径．23. AEAF,BF BD,CD CE；AE BF CD三角形的周长的一半。
4. BIC1A,CIA1B，AIB1C。
90 90 902 2 2三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC的重心一般用字母H表示。
性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AHBC,BHAC,CH AB。
2.△ABH的垂心为C，△BHC的垂心为A，△ACH的垂心为B。
四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC 的重心一般用字母G 表示。
性质：1. 顶点与重心G 的连线必平分对边。
2. 重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GA2GD,GB2GE,GC2GF3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即x G x A x B xC,y Gy A y B yC .334.向量性质：（1）GAGB GC0 ；（2）PG 1(PAPB PC)，31S5.S BGC SCGASAGBABC 。
3五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为 ABC 所在的平面内一点，满足OAOB OBOC OCOA ，则点O 为 ABC 的垂心。
三角形“四心”定义与性质
三角形“四心”定义与性质-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心 定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。
三角形“四心”定义与性质
三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC 的重心一般用字母O 表示。
性质：1. 外心到三顶点等距，即OA OB OC 。
2. 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即OD BC ,OE AC ,OF AB .1 1 13. A BOC B AOC C AOB, ,2 2 2二、三角形的内心。
定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC 的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质：1. 内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2. 三角形的面积＝12三角形的周长内切圆的半径．3. AE AF ,BF BD ,CD CE ；AE BF CD 三角形的周长的一半。
1 1 14. , 90 ，AIB C5.BIC 90 A CIA B 90 。
2 2 2三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC 的重心一般用字母H 表示。
性质：1. 顶点与垂心连线必垂直对边，即AH BC ,BH AC ,CH AB。
2. △ABH 的垂心为 C ，△BHC 的垂心为 A ，△ACH 的垂心为 B 。
1四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC 的重心一般用字母G 表示。
性质：4.顶点与重心G 的连线必平分对边。
5.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 2 倍。
即GA 2GD , GB 2GE , GC 2GF6.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即x x x y y yA B C A B Cx , y .G G3 37.向量性质：（1）G A GB GC 0；1（2）( )PG PA PB PC ，38.S1BGC S S SCGA AGB3A BC。
五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为ABC 所在的平面内一点，满足OA OB OB OC OC OA，则点O 为ABC 的垂心。
(完整版)三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。
重心：ABC ∆中、每条边上所对应的中线的交点； 垂心:ABC ∆中、每条边上所对应的垂线上的交点;内心:ABC ∆中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）; 外心:ABC ∆中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。
一、重心1、O 是ABC ∆的重心⇔0=++OC OB OA若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC ∆=∆=∆=∆31故0=++OC OB OA ，)(31PC PB PA PG ++=⇔G 为ABC ∆的重心。
2、 P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明：CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心∴0=++GC GB GA ⇒0=++CG BG AG ，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））3、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++,(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心。
例1 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ,则O 是ABC ∆ 的( ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心二、垂心1、O 是ABC ∆的垂心⇔OC OA OC OB OB OA •=•=• 若O 是ABC ∆(非直角三角形）的垂心，则 故0tan tan tan =++OC C OB B OA A2、H 是面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心。
由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(， 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥。
三角形四心及其性质
引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，它有四个特殊的点，被称为四心，分别是三角形的重心、外心、内心和垂心。
这四个点分别具有不同的性质和应用，对于理解三角形的性质和计算其相关参数非常重要。
本文将详细介绍三角形四心及其性质，包括它们的定义、构造方法和几何性质。
正文内容：一、重心重心是三角形内部的一个点，它由三条中线的交点确定。
中线是连接三角形的顶点和对边中点的线段。
下面是重心的几个性质和应用：1.重心的性质重心将三角形的每一条中线分成两段，其中一段的长度等于另一段的2倍。
重心到三角形的顶点的距离与到对边中点的距离成比例。
2.重心的构造方法通过连接三角形的任意两个顶点和对边中点，可以构造两条中线。
两条中线的交点即为重心。
3.重心的应用在力学中，重心是一个重要的概念。
对于平衡物体的平衡条件，就是通过重心来描述的。
重心还可以用于求解三角形的面积和其他参数。
二、外心外心是三角形外接圆的圆心，外接圆是与三角形的三条边都相切的圆。
下面是外心的几个性质和应用：1.外心的性质外心到三角形的每个顶点的距离相等。
外心是三角形顶点和两条边的垂直平分线的交点。
外心到三角形的顶点的距离等于外接圆的半径。
2.外心的构造方法可以通过三角形的垂直平分线的交点来构造外心。
任取两条垂直平分线，它们的交点即为外心。
3.外心的应用外心是三角形的一个重要几何特征，可以用于判断三角形的形状和相关性质。
外接圆的半径和外心的位置可以用于计算三角形的面积和周长。
三、内心内心是三角形内切圆的圆心，内切圆是与三角形的三条边都相切的圆。
下面是内心的几个性质和应用：1.内心的性质内心到三角形的每条边的距离相等。
内心是三角形的角平分线的交点。
内心到三角形的边的距离等于内切圆的半径。
2.内心的构造方法可以通过三角形的角平分线的交点来构造内心。
连接三角形的一个顶点和内切圆的切点，这条线即为角平分线。
3.内心的应用内心是三角形的一个关键特征，可以用于判断三角形的形状和相关性质。
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结[借鉴]
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内心、外心、重心、垂心定义及性质总结[借鉴]内心、外心、重心、垂心是几何学中与三角形相关的四个重要概念。
以下是它们的定义及性质总结：1.内心（Incenter）定义：内心是三角形内切圆的圆心。
性质：o内心到三角形三个顶点的距离相等。
o内心与三角形各边之间的距离等于三角形半周长与内切圆半径之差的一半。
o在内心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的负值。
2.外心（Excenter）定义：外心是三角形外接圆的圆心。
性质：o外心到三角形三个顶点的距离相等。
o外心与三角形各顶点连线所成的角等于三角形内角和的一半。
o在外心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的值。
3.重心（Centroid）定义：重心是三角形三条中线的交点。
性质：o重心到三角形三个顶点的距离与到三条中线的距离相等。
o重心与三角形各边之间的距离等于三角形半周长与外接圆半径之差的一半。
o在重心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的值。
4.垂心（Hypotenuse）定义：垂心是三角形各边上的高线的交点。
性质：o垂心到三角形三个顶点的距离与到三条高的距离相等。
o垂心与三角形各顶点连线所成的角等于三角形内角和的一半。
o在垂心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的负值。
总结：内心、外心、重心和垂心在几何学中具有特殊的性质和重要性。
这些概念之间的关系可以用于证明定理和解决问题。
对于内心和外心，它们分别与三角形的内切圆和外接圆相关，而重心和垂心则分别与三角形的中线和高的交点相关。
这些概念及其性质在几何学中具有广泛的应用，例如在解决几何问题、绘制图形和证明定理等方面都有重要的应用价值。
三角形外心内心重心垂心与向量性质
三 角 形 “四 心”所谓三角形“四心”是指三角形重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形中心。
一、三角形外心定 义：三角形三条中垂线交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心及三角形边中点连线垂直于三角形这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在平面内一点，满足⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆外心。
二、三角形内心定 义：三角形三条角平分线交点叫做三角形内心，即内切圆圆心。
ABC ∆内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点及内心连线平分顶角。
2.三角形面积＝⨯21三角形周长⨯内切圆半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量，则动点P 轨迹过ABC ∆内心。
三、三角形垂心定 义：三角形三条高交点叫重心。
ABC ∆重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点及垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在平面内一点，满足⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆垂心。
结论2：若点O 为△ABC所在平面内一点，满足222222+=+=+，则点O 为ABC ∆垂心。
四、三角形“重心”：定 义：三角形三条中线交点叫重心。
ABC ∆重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点及重心G 连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心及顶点距离等于它及对边中点距离2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心坐标是三顶点坐标平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31++=。
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心、垂心1、内心（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
（2）三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③s=(r是内切圆半径)④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/22、外心（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
（2）三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合④OA=OB=OC=R⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA⑥S△ABC=abc/4R3、重心（1）三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
（2）三角形的重心的性质①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
4、垂心（1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
（2）三角形的垂心的性质①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上④△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
三角形外心内心重心垂心与向量性质
三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心;当三角形是正三角形时,四心重合为一点,统称为三角形的中心;一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心,即外接圆圆心;ABC ∆的重心一般用字母O 表示;性 质：1.外心到三顶点等距,即OC OB OA ==;2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边,即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(,则点O 为ABC ∆的外心;二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心;ABC ∆的内心一般用字母I 表示,它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角;2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ,则向量||||(AC AB AP =λ,则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心;三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心;ABC ∆的重心一般用字母H 表示;性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边,即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,;2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点,满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则点O 为ABC ∆的垂心;结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点,满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+, 则点O 为ABC ∆的垂心; 四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心;ABC ∆的重心一般用字母G 表示;性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边;2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍;即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：10=++GC GB GA ； 2)(31PC PB PA PG ++=;。
三角形“四心”定义与性质
三角形“四心”定义与性质 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。
重心：ABC 中、每条边上所对应的中线的交点；垂心：ABC 中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：ABC 中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）；外心：ABC 中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。
一、重心1、 O 是 ABC 的重心OA OB OC 0若 O 是 ABC 的重心，则BOC AOC AOB 1 ABC 故 OA OB OC 0 ,1 (PA 3PG PB PC) G 为 ABC 的重心 .3、 P 是△ ABC所在平面内任一点. G是△ ABC的重心 1 (PA) .2 PG PB PC3证明：PG PA AG PB BG PC CG 3PG ( AG BG CG) (PA PB PC) ∵ G是△ ABC的重心∴ GA GB GC 0 AG BG CG 0，即 3PG PA PB PC由此可得 PG 1 (PA PB PC ) . （反之亦然（证略））33、已知 O 是平面上一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP OA ( AB AC) ，(0，) ，则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的重心 .例 1 若 O 为ABC 内一点， OA OB OC 0 ，则 O 是ABC 的（）A．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心第 1 页共 10 页二、垂心1、 O 是 ABC 的垂心OA OB OB OC OA OC若 O 是 ABC ( 非直角三角形 ) 的垂心，则故 tan AOA tan BOB tanCOC 02、H是面内任一点，HA HB HB HC HC HA 点 H 是△ ABC的垂心 .由 HA HB HB HC HB ( HC HA) 0 HB AC 0 HB AC ,同理 HC AB ， HA BC . 故 H 是 ABC 的垂心 . （反之亦然（证略））3、 P 是△ ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是△ ABC 的垂心．由 PA PB PB PC ，得 PB (PA PC ) 0 ，即 PB CA 0 ，所以 PB⊥ CA ．同理可证 PC ⊥ AB ， PA ⊥ BC ．∴ P 是△ ABC 的垂心．如图 1.A CCB PEMHPA FB图 1 O 图⑷4、已知 O 是平面上一定点，A， B， C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC，(0，) ，则动点 P 的轨迹一定通过OP OAAC cos CAB cos B△ ABC 的垂心．例 2 P 是△ ABC所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ，则 P 是△ ABC 的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心第 2 页共 10 页三、内心1、 O 是ABC 的内心的充要条件是OA AB ACOBBA BC CA CBOCAB AC BA BC CA CB Ae1e2B引进单位向量，使条件变得更简洁。
(完整版)三角形“四心”定义与性质
三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时, 四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、 三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
MBC 的重心一般用字母O 表示。
性质：1. 外心到三顶点等距，即Q4 = OB = OC 。
2. 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一 边，即OD 丄BCQE 丄AC,OF 丄A3.3. ZA = -ZBOC^B = -ZAOC,ZC = -ZAOB 02 2 2二、 三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
AABC 的内心一 般用字母/表示，它具有如下性质：性质：1. 内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2. 三角形的面积=丄＞＜三角形的周长x 内切圆的半径. 23. AE=AF 、BF = BD 、CD = CE ；AE+BF+CD =三角形的周长的一半。
4. ZB/C = 9(T + 1zA ZC/A = 9(T+丄ZB, ZAIB = W +-ZC o 2 2 2三、 三角形的垂心 定 义：三角形三条髙的交点叫重心。
AABC 的重心一般用字母H 表示。
性质：1. 顶点与垂心连线必垂直对边，即 丄 BC 、BH 丄 AC,CH 丄 AB.2. A ABH 的垂心为C, ABHC 的 垂心为A ♦ △ ACH 的垂心为B °D A四.三角形的“重心I定义：三角形三条中线的交点叫重心。
A4BC的重心一般用字母G表示。
性质：1.顶点与重心G的连线必平分对边。
2. 重心左理：三角形重心与顶点的距藹等于它与对边中点的距离的2倍。
即GA = 2GD、GB = 2GE. GC = 2GF3. 重心的坐标是三顶点坐标的平均值.即/愛严佻=心严.4•向量性质：(1) GA + GB + GC =0^(2) ~PG = ^(PA+~PB+PC),S乌GC= S」CGA = $A4GB = §^AABC °五、三角形“四心”的向虽形式：结论1：若点0为AABC所在的平而内一点，满足刃•胡=亦•况=龙•刃则点0为AABC的垂心。
三角形四心概念
三角形四心概念
三角形四心是指三角形内部或外部的四个特殊点，这些点分别是三角形的重心、垂心、内心和外心。
每个点都有其独特的性质和定义，它们在几何学中有着重要的作用，尤其是在解决与三角形相关的问题时。
下面是这四个心的概念。
1.重心（centroid）：
定义：三角形三条中线（即连接顶点与对边中点的线段）的交点。
性质：重心将每条中线分为两段，其中靠近顶点的部分是中线的2/3，靠近中点的部分是1/3。
重心到三个顶点的距离相等，且等于重心到对边中点的距离的2倍。
2.垂心（circumcenter）：
定义：三角形三条高线（即从顶点垂直于对边的线段）的交点。
性质：垂心到三个顶点的距离相等，且等于外接圆的半径。
在锐角三角形中，垂心位于三角形内部；在直角三角形中，垂心位于直角顶点；在钝角三角形中，垂心位于三角形外部。
3.内心（incenter）：
定义：三角形三条角平分线（即从顶点出发平分内角的线段）的交点。
性质：内心到三边的距离相等，且等于内切圆的半径。
内心的连线（即内角平分线）也会将三角形的每个角平分成两个相等的角。
4.外心（circumcenter）：
定义：三角形三条中垂线（即从顶点垂直于对边的线段）的交点。
性质：外心到三个顶点的距离相等，且等于外接圆的半径。
外心是外接圆的圆心，外接圆通过三角形的三个顶点。
这四个心在解决几何问题时非常有用，特别是在计算三角形的面积、角度、边长以及圆的半径等方面。
每个心都有其独特的几何特征和应用，对于理解和分析三角形的性质有着重要的意义。
正三角形重心中心垂心外心内心的知识点
正三角形重心中心垂心外心内心的知识点一、知识概述《正三角形重心、中心、垂心、外心、内心》①基本定义：- 重心：说实话，这就像是正三角形的平衡点。
如果把正三角形看作是一块均匀的薄板，从重心这个点吊起来，薄板会水平平衡。
它是三条中线（连接一个顶点和对边中点的线段）的交点。
- 中心：在正三角形里，重心、垂心、外心、内心这四个心是重合的，这个重合的点就叫做中心。
- 垂心：想象一下，从正三角形的每个顶点向对边作垂线，三条垂线的交点就是垂心，这就好比是三角形三条高线（过顶点作对边的垂线段）相交的地方。
- 外心：它是正三角形外接圆的圆心，这个点到三个顶点的距离是相等的。
就像用一个圆刚好把正三角形圈在里面，这个圆的圆心就是外心。
- 内心：这是正三角形内切圆的圆心，内心到三条边的距离相等。
就好像在正三角形里面画一个正好能挨着三条边的圆，这个圆的圆心就是内心。
②重要程度：在三角形相关的几何知识里，这些概念非常重要。
无论是解决几何证明题，还是计算三角形的一些数值，它们都是关键的要素。
就像建房子的基石一样，如果这些概念不清楚，很多关于正三角形更复杂的问题就做不了。
③前置知识：得先把三角形的基础概念搞清楚，像三角形的边、角、顶点这些。
另外，得知道线段的中点怎么找，垂线怎么作，还有圆的一些基本概念，像圆心、半径什么的。
④应用价值：在建筑设计里，如果要设计一个正三角形结构的建筑，这些心的位置可以帮助确定建筑的力学结构平衡点，稳定性布局等。
在机械制造中，处理正三角形形状的零件，这些概念有助于精准定位和设计加工工艺。
二、知识体系①知识图谱：在几何学科里，正三角形的这几个心是三角形性质这一板块的重要内容，和三角形的全等、相似等概念也有着千丝万缕的联系。
②关联知识：和三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识是紧密相联的。
比如说，正三角形内角都是60度，这一性质在研究这几个心的位置关系或者计算与这几个心相关的线段长度时有时候也会用到。
③重难点分析：- 掌握难度：我觉得对于初学者来说还是有点难度的。
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结内心、外心、重心、垂心定义及性质总结1.内心：
（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
（2）性质：到三边距离相等。
2外心：
（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
（2）性质：到三个顶点距离相等。
3重心：
（1）三条中线的交点。
（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
4垂心：三条高所在直线的交点。
5重心:三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．6垂心:三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，仔细分析可找清.7内心:三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；8外心
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”XXX定义理固然．
三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．。
三角形三心定义及性质
三角形三心定义及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心这五心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
重心的性质：1、战略重点至顶点的距离与战略重点至对边中点的距离之比是2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、战略重点至三角形3个顶点距离的平方和最轻。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(x1+x2+x3)/3，（y1+y2+y3)/3。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若o就是△abc的外心，则∠boc=2∠a（∠a为锐角或直角）或∠boc=°-2∠a （∠a为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、排序外心的座标应先排序以下临时变量：d1，d2，d3分别就是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘坐。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等正三角形的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心o、战略重点g和正三角形h三点共线，且og∶gh=1∶2。
（此直线称作三角形的欧拉线（euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、正三角形分后每条高线的两部分乘积成正比。
内心的性质：1、三角形的三条内角平分线缴于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、p为δabc所在平面上任一一点，点i就是δabc内心的充要条件就是：向量pi=(a×向量pa+b×向量pb+c×向量pc)/(a+b+c).4、o为三角形的内心，a、b、c分别为三角形的三个顶点，延长ao交bc边于n，则有ao:on=ab:bn=ac:cn=(ab+ac):bc旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
三角形重心垂心外心内心相关性质介绍
三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）=++；（2）)(31++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。
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内心、外心、重心、垂心
1、内心
(1)定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
(2)三角形的内心的性质
①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
③s= (r是内切圆半径)
2
④在Rt△ ABC中，/ C=90 , r=(a+b-c)/2 .
⑤/BOC = 90 +Z A/2 / BOA = 90+/C/2 / AOC = 90+/B/2
2、外心
(1)定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)。
(2)三角形的外心的性质
①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合
④OA=OB=OC=R
⑤/ B0C=2 BAC / AOB=Z ACB / C0A=2 CBA
⑥S A ABC二abc/4R 3、重心
(1)三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
(2)三角形的重心的性质
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
②重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。
③重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。
④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3) ；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：( Z1+Z2+Z3) /3 ⑤重心和三角形 3 个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
4、垂心
(1)定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
(2)三角形的垂心的性质
①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外
②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心
③垂心0关于三边的对称点，均在△ ABC的外接圆上
④厶ABC中,有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形，
且AO- OD=BOOE=COOF
⑤H A B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一—垂心组）。
©△ ABC △ ABO △ BCO^ ACC的外接圆是等圆。
⑦在非直角三角形中，过O的直线交AB AC所在直线分别于P、Q,
则AB/AP - tanB+ AC/AQ - tanC=tanA+tanB+tanC
⑧三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
⑨设Q H分别为△ ABC的外心和垂心，则/ BAO h HAC / ABH M CBC
/ BCO h HCA
⑩锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的 2 倍。
11. 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短。