点 ,线关于直线对称问题

13 13
13
A(33 , 9 ) ； 13 13
例 2 已知点 A(x0 , y0 ) ，（1）求 A 关于直线 x y c 0 的对称点坐标；（2）求 A 关
于直线 x y c 0 的对称点坐标；
解（1）设对称点 B(x1, y1) ，则由求对称点公式得：
x1 x0 1 2(x0 y0 c) y0 c ， y1 y0 1 2(x0 y0 c) x0 c ，
2
2
2
2
所以对称点是 ( y0 c,x0 c) ；
（2） x1 x0 1 2(x0 y0 c) y0 c ， y1 y0 1 2(x0 y0 c) x0 c
2
2
2
2
即对称点是： ( y0 c, x0 c) ；
二 圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
对于此类问题有第一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1） 和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生，下面举例说明：
产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.
上有不同两点关于这条直线对称.
解：设存在两点 A（x1,y1）、B(x2,y2)关于 l 对称，中点为 C（x,y），则
3x12＋4y12=12,
3x22＋4y22=12,
得
y1－y2 x1－x2
=－
3(x1＋x2) 4(y1＋y2)
=－
3x 4y
=－
1 4
,
∴ y=3x.
联立 y=4x＋m,解的 x=－m,y=－3m,
一 点关于直线的对称点的一种公式求法
结论：设直线 l : ax by c 0 ，（ a 、 b 至少有一个不为 0），点 A(x0 , y0 ) 关于直线 l 的
对称点的坐标是
B( x1 ,
y1) ，则
x1
y1
(b 2 (a 2
a2 )x0
a2 b2 )y0
a2
2aby0 b2 2abx0 b2
<0
M（x0，y0）为中点，则 y2－2px<0 (p>0)
(焦点在 x 轴上)
y2＋2px<0 (p>0)
y2 a2
－xb22
>1 或
y2 a2
－xb22
<0
x2－2py<0 (p>0)
（焦点在 y 轴上）
x2＋2py<0 (p>0)
在此基础上用第二种通法来解例 1：
已知椭圆 C：3x2＋4y2=12,试确定 m 的取值范围，使得对于直线 l：y=4x＋m，椭圆 C
1o 弦中点位置问题 椭圆
双曲线
弦中点在内部
弦中点在Ⅰ（交点在同一支上）
抛物线
弦中点在抛物线“内部”
或Ⅱ（交点不在同一支上）
2o 范围问题
椭圆
x2 a2
＋yb22
=1
双曲线
抛物线
M（x0，y0）为中点，则
x2 a2
＋yb22
<1
M（x0，y0）为中点，则
x2 a2
－
y2 b2
>1 或
x2 a2
－yb22
∵M 在椭圆内部，
∴(－4m)2
＋(－33m)2
<1,即－2
13 13
2 13 <m< 13
.
这种通法的步骤是：
1o 设出两点和中点坐标（x，y）； 2o 用“点差法”根据垂直关系求出 x，y 满足的关系式； 3o 联立直线方程，求出交点，即中点； 4o 由中点位置及对应范围求出参数取值范围. 另外，由于抛物线方程形式的特殊性，对于抛物线此类问题，还有一种简洁解法：
1．已知双曲线 x2－
y2 3
=1,双曲线存在关于直线 l：y=k x＋4 的对称点，求 k 的取值范围.
注：对于此类求斜率 k 范围要考虑 k=0 和 k≠0，因为要用到－
1 k
.
2．k 为何值时，抛物线 y2=x 上总存在两点关于直线 l：y=k（x－1）＋1 对称.
在此通法体现的解题思路上总结得到下面的第二种通法，不过首先说明以下两个问题：
2ac 2bc
；
这个结论的证明方法是利用常见的斜率互为负倒数和中点坐标代入等做出。 因为一个点关于直线的对称点是求解很多问题的工具，因而这样总结的结论很有必要。 但这个公式形式的麻烦而使其运用的价值稍有逊色。 本文将以上公式做适当改进，体现出数学的对称美，而且有很明显的几何意义，因而便 于记忆和运用。
例 2：在抛物线 y= ax2－1 上存在两点关于直线 x＋y=0 对称，求 a 的范围.
解：显然 a≠0.
设存在两点为 A（x1,y1）、B(x2,y2)，
y1－y2 x1－x2
=
ax12－ax22 x1－x1 a
，
y1＋y2 2
＋x1＋x2 2
=0，即 x1x2=
图一
到 直 线 l 的 距 离 是 d ， 则 B(x0 a 2d ， y0 b 2d ) 意 思 是 将 点
a2 b2
a2 b2
A(x0 , y0 ) 按单位法向量 ( a , b ) 的方向向直线 l 的“对面”移动 2d 个单位 a2 b2 a2 b2
便得到 A 关于直线 l 的对称点 B ，从图中看得更明显。
例 1：已知椭圆 C：3x2＋4y2=12,试确定 m 的取值范围，使得对于直线 l：y=4x＋m，椭 圆 C 上有不同两点关于这条直线对称.
解：设存在两点 A（x1,y1）、B(x2,y2)关于 l 对称，中点为 C（x0,y0），
则 AB 所在直线为 y=－14 x＋b.
与椭圆联立得：143 x2－2bx＋4b2－12=0，
依照上述公式得：
x1 1
2 13
2(2 9 2) 13
33 13
，
y1
3
3 13
2(2 9 2) 13
9， 13
所以对称点是 A(33 , 9 ) 。 13 13
解法二 如图一，点 B 到直线 l 的距离是 d 5 ，点 B 在直线 l 的上方，直线 l 的单 13
位法向量是 e = ( 2 , 3 ) ，沿此方向将点 B(1,3) 平移 2d 10 个单位便得到对称点
将以上的
x1
(b 2
a2 )x0 a2
2aby0 b2
2ac
变为：
O
x1
(b 2
a2 )x0
2a2 x0 a2 b2
2aby0
2ac
x0
2a(ax0 by0 a2 b2
c)
x0 a 2(ax0 by0 c)
a2 b2
a2 b2
x0 a 2d ， a2 b2
（其中 d ax0 by0 c 的绝对值是点 (x0 , y0 ) 到直线 l 的距离） a2 b2
因而，对称点 B(x0 a 2d ， y0 b 2d ) 既是求对称点的公式，
a2 b2
a2 b2
也是沿法向量平移 2d 个单位而得到对称点的方法。
例1 求点 B(1,3) 关于直线： 2x 3y 2 0 的对称点 A 的坐标；
解法一：公式法，设 B(1,3) 关于直线： 2x 3y 2 0 的对称点坐标为 A(x1, y1 ）
同理： y1 y0 b 2d ，于是点 A(x0 , y0 ) 关于直线 l 的对称点是
a2 b2
y Bd
B(x0 a 2d ， y0 b 2d ) ，
d A
a2 b2
a2 b2
x
其中的向量 e (
a
,
b
O
) 是直线 l 的法向量 (a, b) 的单位向量，如e图，设点 A
a2 b2 a2 b2
1－a a2
，
因为存在这样的两点，
故方程 x2－
1 a
x＋1－a2 a
=0 的△>0，
即
1 a2
－41－a2 a
>0，a>34
.
这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之
和、两根之积，构造方程，利用△求出参数范围. 当然，不管是两种通法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所
13 <4
，
解得：－2
13 13
2 13 <m< 13
.
由此解题过程不难归纳出步骤如下：
1．假设这样的对称点 A、B 存在，利用对称中的垂直关系设出两点 A、B 所在的直线方程. 2．联立 AB 所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点 C 的坐标. 3．把 C 的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式. 4．利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围. 利用此通法、步骤可解决以下类似问题：
∴
x0=
x1＋x2 2
=
4b 13
,
y0=
y1＋y2 2
=
－41 x1＋b－41 x2＋b 2
=
12b 13
.
∵ C 在 y=4x＋m 上,
∴1123b
=
4b 13
×4＋m,
b=－
13m 4
.
又∵
△=4b2－4×
13 4
(4b2－12)=4b2－52b2＋13×12>0,
故
b2<143
,即
169m2 16