2019年考研数学二考试题完整版

2019考研数学二考试真题（完整版）

来源：文都教育

一、选择题1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.当x →0时，tan k x x x -与同阶，求k （ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

2.sin 2cos y x x x =+3(,)22x ππ⎡

⎤∈-⎢⎥⎣⎦

的拐点坐标 A.2,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭

B.()0,2

C.(),2π-

D.33(,)22

ππ- 3.下列反常积分收敛的是 A.

0x xe dx +∞-⎰ B.

20x xe dx +∞-⎰ C.20tan 1arc x dx x +∞

+⎰ D.201x dx x +∞+⎰ 4.已知微分方程x y ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e =++，则a 、b 、c 依次为

A. 1，0，1

B. 1，0，2

C. 2，1，3

D. 2，1，4

5.已知积分区域{(,)|||||}2D x y x y π

=+≤，

222222123d ,d ,(1)d d D D D

I x y x y I x y x y I x y x y =+=+=-+⎰⎰⎰⎰，试比较123,,I I I 的大

小

A.321I I I <<

B.123I I I <<

C.213I I I <<

D.231I I I <<

6.已知(),()f x g x 二阶导数且在x =a 处连续，请问f (x ), g (x )相切于a 且曲率相等是

2

()()lim 0()x a f x g x x a →-=-的什么条件？ A.充分非必要条件.

B.充分必要条件.

C.必要非充分条件.

D.既非充分又非必要条件.

7.设A 是四阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，若线性方程Ax =0的基础解系中只有2个向量，则A *的秩是（ ）

A.0

B.1

C.2

D.3

8.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若22.A A E +=且4A =，则二次型T x Ax 规范形为

A.222123y y y ++

B.222123y y y +-

C.222123y y y --

D.222123y y y ---

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.

9.()20lim 2x x x x →+= .

10.曲线sin 1cos x t t y t

=-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距为 . 11.设函数()f u 可导，2()y z yf x

=，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . 12.设函数lncos (0)6

y x x π

=≤≤的弧长为 .

13.已知函数21sin ()x t f x x dt t

=⎰，则10()f x dx =⎰ . 14.已知矩阵11002111,32210034ij

A A -⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭表示A 中（i ，j ）元的代数余子式，则1112A A -= . 三、解答题:15~23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本题满分10分）

已知2,0()1,0,

x x x x f x xe x ⎧>⎪=⎨+⎪⎩≤求'()f x ，并求()f x 的极值. 16.（本题满分10分） 求不定积分2236.(1)(1)

x dx x x x +-++⎰ 17.（本题满分10分）

()y y x =是微分方程22

'2x y xy e x -=满足(1)y e =. （1）求y (x ): （2）设平面区域{(,)},D x y =(){},|12,0()D x y x y y x =

≤≤≤≤求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 18.已知平面区域D 满足2234,(),x y x y y +≤≤求22d .x y x y +⎰⎰

19.n ∈N +，S n 是()sin ,0x f x e x x n π=≤≤的图像与x 轴所围图形的面积，求S n ，并求lim n x s →∞

20.已知函数u (x ,y )满足222222330u u u u x y x y

∂∂∂∂-++=∂∂∂∂，求a ，b 的值，使得在变换u （x ，y ）=v （x ，y ）e ax+by 下，上述等式可化为v (x ，y )不含一阶偏导数的等式。

21.已知函数(,)f x y 在[]0,1上具有二阶导数，且10(0)0,(1)1,

()1f f f x dx ===⎰，证明：

（1）存在(0,1)ξ∈，使得：

（2）存在(0,1)η∈，使得"() 2.f η<- 22.已知向量组（Ⅰ）12321111,0,2,443a ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦

'()0f ξ=

（Ⅱ）1232101=1,2,3,313a a a βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦

若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求a 的取值，并将3β，

用123,,a a a 线性表示.

23.已知矩形22122002A x --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦与21001000B y ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

相似， （Ⅰ）求x ,y ：

（Ⅱ）求可逆矩阵P 使得P -1AP =B