《1.3.1圆幂定理》教学案3
初中数学教案探究：圆心角与圆幂定理的关系
初中数学教案探究：圆心角与圆幂定理的关系一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解圆心角、圆幂定理的概念；（2）掌握圆心角与圆幂定理之间的关系；（3）能够运用圆心角与圆幂定理解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、实验、探究等方法，发现圆心角与圆幂定理之间的关系；（2）运用图形计算器或其他工具，验证圆心角与圆幂定理之间的关系。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的观察能力、实验能力、推理能力；（2）激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新精神。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）圆心角与圆幂定理的概念；（2）圆心角与圆幂定理之间的关系。
2. 教学难点：（1）圆幂定理的证明；（2）运用圆心角与圆幂定理解决实际问题。
三、教学过程：1. 导入：（1）复习相关知识：角的概念、圆的性质；（2）提问：圆心角与圆有什么特殊关系？2. 新课讲解：（1）介绍圆心角的概念；（2）引入圆幂定理；（3）讲解圆心角与圆幂定理之间的关系。
3. 实例演示：（1）利用图形计算器或其他工具，展示圆心角与圆幂定理的实例；（2）引导学生观察、分析实例，巩固所学知识。
四、课堂练习：1. 填空题：（1）圆心角___________于圆周上的角；（2）圆幂定理指的是___________。
2. 选择题：（1）一个圆周上的角，它的顶点在圆心，这个角叫做_________；（2）在同一圆中，两个圆心角的___________相等。
五、课后作业：（1）已知一个圆的半径为5cm，求直径的长度；（2）已知一个圆的周长为18.84cm，求圆的半径。
2. 探索性问题：（1）请研究圆心角与圆幂定理在实际问题中的应用；（2）尝试创新，将圆心角与圆幂定理的知识推广到其他几何图形。
六、教学拓展：1. 对比分析：（1）引导学生回顾之前学过的角的概念，如平角、周角等；（2）分析圆心角与这些角的关系，加深对圆心角的理解。
2. 联系实际：（1）举例说明圆心角在生活中的应用，如自行车轮子的转动、钟表的指针等；（2）引导学生关注圆心角在其他领域的应用。
《1.3.1圆幂定理》课件3-优质公开课-人教B版选修4-1精品
跟踪训练
1．(2013·高考湖南卷)如图，在半径为 7的⊙O 中，弦 AB， CD 相交于点 P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心 O 到弦 CD 的 距离为________．
解析：由相交弦定理得 PA·PB＝PC·PD. 又 PA＝PB＝2，PD＝1，则 PC＝4， ∴CD＝PC＋PD＝5. 过 O 作 CD 的垂线 OE 交 CD 于 E，则 E 为 CD 中点，
∴OE＝
r2－C2D2＝
7－245＝ 23.
答案：
3 2
考点二 切割线定理 例2 (2013·高考重庆卷)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ A＝60°，AB＝20，过 C 作△ABC 的外接圆的切线 CD，BD ⊥CD，BD 与外接圆交于点 E，则 DE 的长为________．
【解析】 在 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠ABC＝30°. ∵AB＝20，∴AC＝10，BC＝10 3. ∵CD 为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°. ∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5 3. 由切割线定理得
∴DA＝BA－BD＝5－156＝95.
∴BDDA＝196.
答案
16 9
反思感悟 本小题主要考查圆的切割
1.3.1圆幂定理》课件1
新知初探思维启动
1．相交弦定理
(1)文字叙述 圆内的两条相__交__弦__，被交点分成的两条线段长的积___相__等__． (2)图形表示 如图，弦 AB 与 CD 相交于 P 点， 则 PA·PB＝_P_C_·_P_D__.
2.切割线定理 ①文字叙述 从圆外一点引圆的切线和割线，_切__线__长__是这点到割线与圆交 点的_两__条__线__段__长___的比例中项．
人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章-圆 幂 定 理 (Word)
_1.3圆幂定理与圆内接四边形1．3.1圆幂定理[对应学生用书P25][读教材·填要点]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．3．圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A，B两点，则PA·PB为定值，设定值为k，则：(1)当点P在圆外时，k＝PO2－r2，(2)当点P在圆内时，k＝r2－OP2，(3)当点P在⊙O上时，k＝0.[小问题·大思维]1．从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什么关系？提示：相等．2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．[对应学生用书P26][例1] 如图，AB 、CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝23a ，∠OAP ＝30°，求CP 的长．[思路点拨] 本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用．解决本题需要先在Rt △OAP 中，求得AP 的长，然后利用相交弦定理求解．[精解详析] ∵P 为AB 的中点， ∴由垂径定理得OP ⊥AB .在Rt △OAP 中，BP ＝AP ＝a cos30°＝32a . 由相交弦定理，得BP ·AP ＝CP ·DP ， 即⎝⎛⎭⎫32a 2＝CP ·23a ，解之得CP ＝98a .在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．1．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析：因为AF ＝3，EF ＝32，FB ＝1，所以CF ＝AF ·FB EF ＝3×132＝2，因为EC ∥BD ，所以△ACF ∽△ADB ，所以AF AB ＝CF BD ＝AC AD ＝AD －CD AD ＝34，所以BD ＝CF ·AB AF ＝2×43＝83，且AD ＝4CD ，又因为BD 是圆的切线，所以BD 2＝CD ·AD ＝4CD 2， 所以CD ＝43.答案：43[例2] 自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点，过点M 引圆的割线交圆于B ，C 两点，且∠BMP ＝100°，∠BPC ＝40°.求∠MPB 的大小．[思路点拨] 本题考查切割线定理，由定理得出△BMP ∽△PMC 而后转化角相等进行求解．[精解详析] 因为MA 为圆O 的切线， 所以MA 2＝MB ·MC . 又M 为PA 的中点， 所以MP 2＝MB ·MC . 因为∠BMP ＝∠PMC ， 所以△BMP ∽△PMC ， 于是∠MPB ＝∠MCP .在△MCP 中，由∠MPB ＋∠MCP ＋∠BPC ＋∠BMP ＝180°，得∠MPB ＝20°.相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．。
13、圆幂定理
3、理解逆变换的概念，根据变换与矩阵的关系 理解逆矩阵的意义；了解逆矩阵可能不存在； 会证明逆矩阵的唯一性等简单性质；了解二阶 行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵．
4、能用变换与映射的观点认识解线性方程组的 意义，会用系数矩阵的逆矩阵解方程组；会通 过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组 解的存在性，唯一性．
5、关注以下问题：与初中平面几何的衔接；如 何培养学生综合地运用综合法推理与计算推 理的能力；启发学生学习几何的兴趣。
二、地位和作用
1、是衔接初中几何与高中几何的桥梁．由于初中几何对 推理的要求不高，平面几何知识相对又不够完整，所 以在高中要对平面几何加以复习提高，并加强对学生 推理能力的训练．
2、几何证明是培养学生逻辑推理能力的最好载体，迄今 为止还没有其他课程能够替代几何的这种地位．
难点：线性变换的基本性质、矩阵乘法的 运算律（这可能是学生第一次遇到不满 足交换律、消去律的运算）、矩阵的特 征值与特征向量的概念等．
五、本专题中数学思想方法
类比；从特殊到一般；从具体到抽 象；转化；运动变换；算法的思想 ；“数形结合”等多种数学思想方 法．
六、内容简介
第一章 二阶矩阵与平面图形的变换（分 为三大节）
C
D
AG
．
F
O
MB
E
C
D
AG
．
F
O
MB
E
第二章 圆柱、圆锥与圆锥曲线（本章分 两大节编写）
2．1平行投影与圆柱面的平面截线（分2小节） 2．1．1平行投影的性质． 2．1．2圆柱面的平面截线． 2．2用内切球探索圆锥曲线的性质（分4小节） 2．2．1球的切线与切平面． 2．2．2圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线． 2．2．3圆锥面及其内切球． 2．2．4圆锥曲线的统一定义．
《1.3.1圆幂定理》教学案2
《1.3.1圆幂定理》教学案教学目标1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题；2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方法；3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的观点的教育.教学重点和难点相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点.教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理的内容.2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系？提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理.(1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则P A·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例：一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有P A＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，C D是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有P A·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165)(2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一点P，成为两条割线，则有P A·PB＝PC·PD，这就是我们学过的切割线定理的推论(割线定理).(图7-166)(3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有P A·PB＝PC·PD＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167)(4)如果割线P AB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线P A.这时应有P A2＝PB2，可得P A＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168)至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和切线长定理之间有着密切的联系.3.启发学生理解定理的实质.经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169.观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R)在图(1)中，P A·PB＝PC·PD＝PE·PF＝(R-OP)(R+OP)＝R2-OP2；在图(2)中，P A·PB＝PT2＝OP2-OT2＝OP2-R2在图(3)中，P A·PB＝PC·PD＝PT2＝OP2-R2.教师指出，由于P A·PB均等于｜OP2-R2｜，为一常数，叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行)例1如图7-170，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D，E，AB＝12，AO＝15，AD＝8，求两圆的半径.分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径OB.求OC也可考虑用上述方法，但AC未知，此时则可根据切割线定理先求出AE，再利用垂径定理便可求出AC，于是问题得解.(由学生讨论、分析，得出解决)例2如图7-171，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ.求证：AX·AY=BP·BQ分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单的图形组合而成的.但本题不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形，以此为出发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法.方法1在图7-172中，过点A，B分别作小圆的切线AC，BD，C，D为切点.这时就出现了切割线定理的基本图形，于是有AC2＝AX·AY，BD2＝BP·BQ.再连结CO，AO，DO，BO，易证Rt△AOC≌△Rt△BOD，得出AC＝BD所以AX·AY＝BP·BQ.方法2在图7-173中，作直线XP交大圆于E，F，分别延长AY，BQ，交大圆于C，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于是有AX·XC＝EX·XF，BP·PD＝FP·PE.易证AX＝CY，BP＝DQ，EX＝FP.所以AX·XC＝AX·AY，BP·PD＝BP·BQ，EX·XF＝FP·PE.所以AX·AY＝BP·BQ.方法3如图7-174，由于点O是圆内的特殊点，考虑过O点的特殊割线，作直线AO交小圆于E，F，作直线BO交小圆于C，D，则出现了割线定理的基本图形.于是有AX·AY＝AE·AF，BP·BQ＝BC·BD.易证AE＝BC，AF＝BD，所以AE·AF＝BC·BD.从而AX·AY＝BP·BQ.通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来，沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明此题？三、练习练习1已知P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点A，割线PBC与⊙O交于点B，C，且PB＝BC.如果OA＝7，P A＝2，求PC的长.练习2如图7-175，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N.求证：PN2＝NM·NQ.四、小结五、习题1、求证：相交两圆的公共弦的延长线上任一点到两圆所作的切线长相等.已知：如图5，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，P为BA延长线上任意一点，且PC、PD与⊙O1和⊙O2分别切于C、D两点.求证：PC=PD.2、如图6，过点P作⊙O的切线P A，A为切点，过P A中点B作割线交⊙O于C、D，连结PC并延长交⊙O于E，连结PD，交⊙O于F.求证：EF∥P A.3、如图7，已知PBD是⊙O的割线，P A、PC是⊙O的切线，A、C为切点，求证：(1)P A·AB=PB·AD；(2)；(3)AD·BC=AB·DC.提示：(1)要证P A·AB=PB·AD，只要证得就可以了.而P A、AD、PB、AB分别是△P AD和△PBA的两条边，因此只根证得这两个三角形相似即可.显然∠APD=∠BP A，∠A DP=∠BAP，因此△P AD∽△PBA.(2)由问题(1)可知，因此要证，只需证.而P A2=PB·PD，故有.(3)要证AD·BC=AB·DC，只需证得即可.由问题(1)可知，类似问题(1)可证得.因P A=PC，故.因此有.。
初中数学教案探究：圆心角与圆幂定理的关系
初中数学教案探究：圆心角与圆幂定理的关系一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解圆心角的定义及其性质；（2）掌握圆幂定理的内容及其应用；（3）能够运用圆心角和圆幂定理解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳圆心角的性质；（2）通过探究、实践，掌握圆幂定理的推导过程；（3）运用合作交流、问题解决等方法，提高分析问题和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作精神；（3）培养学生勇于探索、坚持真理的科学态度。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）圆心角的性质；（2）圆幂定理的推导及应用。
2. 教学难点：（1）圆心角与圆幂定理之间的联系；（2）运用圆心角和圆幂定理解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课：（1）利用多媒体展示圆心角和圆幂定理的图片，引导学生观察和思考；（2）回顾相关知识，为新课学习做好铺垫。
2. 自主学习：（1）让学生自主探究圆心角的性质，引导学生总结圆心角的定义及其性质；（2）让学生结合圆幂定理，自主探究圆心角与圆幂定理的关系。
3. 课堂讲解：（1）讲解圆心角的性质，引导学生理解圆心角与圆的关系；（2）讲解圆幂定理的推导过程，让学生掌握圆幂定理的应用。
4. 例题讲解：（1）运用圆心角和圆幂定理解决实际问题，让学生巩固所学知识；（2）引导学生分析、讨论，培养学生的解决问题的能力。
5. 练习与拓展：（1）让学生完成课后练习，巩固所学知识；（2）引导学生进行拓展思考，探索圆心角与圆幂定理在实际问题中的应用。
四、课后作业1. 复习课堂所学内容，整理圆心角和圆幂定理的知识点；2. 完成课后练习，加深对圆心角与圆幂定理的理解；3. 收集有关圆心角与圆幂定理的实际问题，进行思考和分析。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 课后作业：检查学生完成作业的质量，评估学生对课堂所学知识的掌握程度；3. 实际问题解决：评估学生在实际问题中运用圆心角和圆幂定理的能力。
圆幂定理（教案）.doc
圆幂定理（教案）教学内容 圆幂定理，圆中的比例线段教学目标 1、帮助学生理清圆中比例线段的基本思考路劲;2、培养学生的线段比的转化能力.教学过程一、知识点梳理处理圆中的比例线段问题，通常用到圆幂定理，相交线定理、切割线定理和割线定理统称圆幂定理.1. 相交线定理如果圆内两条弦AB 和CD 相交于P ，那么PD PC PB PA ⋅=⋅.2. 割线定理，如果从圆外一点P 向圆引割线PAB 和PCD ，那么PD PC PB PA ⋅=⋅.3. 切割线定理如果从圆外一点P 向圆引割线PAB 和切线PC ，那么2PC PB PA =⋅.实际上可以把切割线定理看着割线定理的极限情况，于是上述可以合并为： 如果交点为P 的两条相交直线与圆O 相交于A 、B 与C 、D 那么就有 PD PC PB PA ⋅=⋅二、例题讲解例1 (2003年昆明市中考题)已知,如图,⊙O 及⊙O 外一点C,CA 切⊙O •于点A,CB 切⊙O 于点B,且∠ACB=90°,过点B 作⊙O 的割线交⊙O 于点D,交AC •的延长线于点P,AC=3,PC=4.求⊙O 的弦BD 的长.解： ∵CA 切⊙O 于点A,CB 切⊙O 于点B,∴AC=BC=3,∵∠BCP=90°,PC=4,∴∵PA 2=PB ·PD,PA=7,PB=5,∴5PD=72,∴PD=495(或PD=9.8). ∴DB=PD-PB=495-5=245(或4.8)点评 本题利用切割线定理,使问题得解.例2 (2003年四川省中考题)已知,如图,以正方形ABCD 的AB 边为直径,•在正方形内部作半圆,圆心为O,DF 切半圆于点E,交AB 的延长线于点F,BF=4.求:(1)cos ∠F 的值; (2)BE 的长.解析 (1)连结OE ∵DF 切半圆O 于点E,OE 为半径,∴OE ⊥EF,即∠OEF=90°. ∵ABCD 是正方形,∴AB=AD,∠DAF=90°.∴∠OEF=∠DAF.又∵∠F 为公共角,∴△OEF ∽△DAF. ∴12EF OE OF AF OA DF ===,即AF=2EF. ∵DF 切半圆O 于点E,FBA 为半圆O 的割线,∴由切割线定理有 EF 2=FB ·FA=BF ·2EF. ∴EF=2BF.∵BF=4. ∴EF=2×4=8,AF=2×8=16. ∴AB=AF-BF=16-4=12,FO=12AB+BF=12×12+4=10. ∴在Rt △OEF 中,cos ∠F=84105EF FO == (2)连结AE,∵DF 切半圆O 于点E, ∴∠EAF=∠BEF.∵∠F 为公共角, ∴△BEF ∽△EAF, 81162BE EF EA AF ===.设BE=k,则AE=2k.∵AB 为半圆O 的直径,∴∠AEB=90°.在Rt △AEB 中,由勾股定理,得AE 2+BE 2=AB 2,即(2k)2+k 2=122.∵k>0,∴k=125,∴BE=125点评：本题利用三角形相似,切割线定理,勾股定理等将已知和未知的关系联系起来,•从而使问题得以解决.例3 (2001年TI 杯全国初中数学竞赛)如图,已知点P 是⊙O 外一点,PS,•PT 是⊙O 的两条切线,过点P 作⊙O 的割线PAB,交⊙O 于A 、B 两点,与ST 交于点C. 求证: 1111()2PC PA PB=+. 证明 连PO 交ST 于点D,则PD ⊥ST,连SO,作OE ⊥PB,垂足为E,则E 为AB 中点.于是,PE=2PA PB +. ∵C 、E 、O 、D 四点共圆, ∴PC ·PE=PD ·PO.又∵Rt △SPD ∽Rt △OPS. ∴PS OP PD PS =,即PS 2=PD ·PO. 而由切割线定理知,PS 2=PA ·PB,则PC ·2PA PB +=PA ·PB. 即1111()2PC PA PB=+. 点评：本例利用切线长定理、垂径定理、切割线定理构造图形来解题.例4 (2002年山西太原市初中数学竞赛)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O •上一点,延长BC 至点D,使CD=BC,CE ⊥AD,垂足为点E,BE 交⊙O 于点F,AF 交CE 于点P.求证:PE=PC.证明 延长DA 交⊙O 于点K,连结BK,OC.∵AB 是⊙O 的直径, ∴BK ⊥DA.又∵CE ⊥AD,∴CE ∥BK,故∠1=∠2,又∵A 、K 、B 、F 四点共圆,有∠2=∠3, ∴∠1=∠3.∴△PEF ∽△PAE, 因此,有PE 2=PA ·PF.又∵为△ABD 的中位线,∴OC ∥AD.则CE ⊥OC.可知CE 为⊙O 的切线,故PC 2=PF ·PA,∴PE 2=PC 2,即PE=PC.点评：几何图形中有直径这一条件,常添加辅助线,构成直径上的圆周角是直角,•使其构成直角三角形.三、课后作业1、如图,已知AB 是⊙O 的直径,P 是⊙O 外一点,PD ⊥AB 于D,交⊙O 于E.PA 交⊙O 于C,BC 交PD 于F.求证:DE 2=DF ·DP.2、如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,∠BAC 的平分线交BC 于D,交⊙O 于E.求证:AB ·AC=AD 2+BD ·DC.。
高中数学 1.3.1圆幂定理教学案 理 新人教B版选修2-3-新人教B版高二选修2-3数学教学案
word圆幂定理【教学目标】掌握相交弦定理、切割线定理及圆幂定理并能熟练应用。
培养学生分析、解决问题的能力。
使学生体会普遍联系的思想，通过引导、交流、探究使学生逐步形成自主建构认知的学习观念【教学重点】相交弦定理、切割线定理及圆幂定理【教学难点】相交弦定理、切割线定理及圆幂定理的运用课前预习1.相交弦定理_______________________________________________2.割线定理_______________________________________________3.圆幂定理_______________________________________________课上学习1.从不在⊙O上的一点A作直线，交⊙O于B、C，且AB·AC=64，OA=10，则⊙O的半径等于______________.2：已知圆中两条相交弦，第一条弦被交点分为12和16两段,第二条弦的长为32,求第二条弦被交点分成的两段的长.三、课后练习1.已知在⊙O中C是⊙O上异于A,B的一点,弦AB的延长线与过点C的切线相交于P,过B作⊙O的切线交CP于点D,且∠CDB=900,CD=3,PD=4.求⊙O的弦AB的长.2.:PA,PB切⊙O于点A,B,PC是∠BPA的平分线,交⊙O于C,且PA=PB=80,PC=40.求⊙O的直径.3.⊙O的割线PAB交⊙O于点A、点B，PA=6 cm，AB=8 cm，PO=10 cm，求⊙O的半径.4.如图1.2-78,已知⊙O1和⊙O2相交于点A、B，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长.1 / 1。
初中数学幂的教案
初中数学幂的教案教学目标：1. 理解幂的概念，掌握幂的运算性质。
2. 能够进行幂的运算，解决实际问题。
教学重点：1. 幂的概念和运算性质。
2. 幂的运算方法。
教学难点：1. 幂的运算性质的理解和应用。
2. 复杂幂的运算。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入幂的概念，让学生回顾已学的指数知识。
2. 提问：什么是幂？幂的运算是怎样的？二、讲解幂的运算性质（15分钟）1. 讲解幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方和积的乘方等。
2. 通过示例和练习，让学生理解和掌握幂的运算性质。
三、幂的运算方法（15分钟）1. 讲解幂的运算方法，包括同底数幂的加减法、乘除法等。
2. 通过示例和练习，让学生掌握幂的运算方法。
四、练习和巩固（15分钟）1. 让学生进行幂的运算练习，包括简单的和复杂的幂的运算。
2. 引导学生总结幂的运算规律，巩固所学知识。
五、应用和拓展（10分钟）1. 通过实际问题，让学生运用幂的运算解决实际问题。
2. 引导学生思考幂的运算在实际生活中的应用。
六、总结和反思（5分钟）1. 让学生总结幂的运算的知识和技巧。
2. 引导学生反思自己在学习幂的运算过程中的优点和不足，提出改进措施。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生练习的正确率和熟练程度。
3. 学生应用和拓展的能力。
以上是一篇关于初中数学幂的教案，希望对您的教学有所帮助。
人教B版高中数学选修4-1习题课件：1.3.1 圆幂定理
解析:∵PA2=PB·PC=4×9=36, ∴PA=6.
答案:B
-7-
1.3.1 圆幂定理
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知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
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2.垂径定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间的关系 剖析如图,PA,PB为☉O的两条切线,A,B为切点,PCD为过圆心O的 割线,连接AB,交PD于点E,则有下列结论: (1)PA2=PB2=PC·PD=PE·PO; (2)AE2=BE2=DE·CE=OE·PE; (3)若AC平分∠BAP,则C为△PAB的内心; (4)OA2=OC2=OE·OP=OD2; (5)������������ = ������������ , ������������ = ������������,PD⊥AB; (6)∠AOP=∠BOP,∠APD=∠BPD.
图形语言
作 用 证明线段成比例或求线段的长
归纳总结 垂直于弦的直径平分这条弦,且弦的一半是直径被弦 分成的两条线段的比例中项.
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重难聚焦
北师大版七年级册下数学 1.3.1同底数幂的除法 教案
同底数幂的除法
第 1 课时
学习目标：1.知识与技能：会进行同底数幂的除法运算，并能解决一些实际问题，
2.了解零指数幂和负整数指数幂的意义，
3.能进行零指数幂和负整数指数幂的乘除法运算，
4.经历探索同底数幂除法运算性质的过程，进一步体会幂的意义．
学习重、难点：同底数幂除法法则的探索和应用，
理解零指数和负整数指数幂的意义，将运算法则拓广到整数指数 幂的范围
教学难点：理解零指数幂和负整数指数幂的意义
教 学 内 容
活动设计
备 注
第一环节 复习回顾
（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加.n
m n
m
a
a a +=⋅ （m,n 是
正整数）
（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘.mn n m a a =)(（m,n 是正整数） （3）积的乘方等于积中各因数乘方的积.n n n b a ab =)( (n 是正整数) 第二环节 情境引入
活动内容：一种液体每升含有 1012 个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀虫剂可以杀死 109 个此种细菌，
（1） 要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多
少滴？
（2） 你是怎样计算的？
前面我们学习了哪些幂
的运算? 在探索法则的
过程中我们用到了哪些
方法？。
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《1.3.1圆幂定理》教学案
【教学目标】
1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解
决有关问题；
2.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的
观点的教育.
【教学重难点】
重点：相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用；
难点：灵活运用圆幂定理解题.
【教学过程】
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等.
定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等)
几何语言：若弦AB、CD交于点P则P A·PB=PC·P
D(相交弦定理)
2证明
证明：连结AC，BD
由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B.(圆
周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.)
∴△P AC∽△PDB
∴P A∶PD=PC∶PB，P A·PB=PC·PD
注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性.其逆定理也可用于证明四点共圆.
3比较
相交弦定理、切割线定理以及他们的推论统称为圆幂定理.一般用于求线段长度.
4相交弦定理推论
定理
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项.
说明几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则=P A·PB(相交弦定理推论)
切割线定理
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.是圆幂定理的一种.
切割线定理示意图
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT²=P A·PB(切割线定理)
推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：
∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=P A·PB(切割线定理推论)(割线定理)
由上可知:PT²=P A·PB=PC·PD
2证明
切割线定理证明:
设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=P A·PB
证明：连接AT，BT
∵∠PTB=∠P AT(弦切角定理 )
切割线定理的证明
∠APT=∠APT(公共角)
∴△PBT∽△PTA(两角对应相等，两三角形相似)
则PB：PT=PT：AP
即：PT²=PB·P A
3比较
相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理.一般用于求直线段长度.
二〖知识点〗
相交弦定理、切割线定理及其推论
〖大纲要求〗
1．正误相交弦定理、切割线定理及其推论；
2．了解圆幂定理的内在联系；
3．熟练地应用定理解决有关问题；
4．注意(1)相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物.这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分(内分或外分)成两线段长的积相等(至于切线可看作是两条交点重合的割线).使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；
(2)见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形.
考查重点与常见题型
证明等积式、等比式及混合等式等.此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识.常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选择题或填空题中.。