数学分析练习题1.7

)n = lim
n→∞
(
1 1+ n−2
)n−2
n→∞
lim 1 +
1 1 lim 1 + =e n →∞ n−1 n−1
（ 2） (
n→∞
lim
1 1− n+3
)n = lim
n→∞
(
n+2 n+3
)n = lim
n→∞
(
1 1 1 + n+2
)n = lim ( n→∞ 1+
1
1 n+2
)n+2
2 2
2 2m+1
)
, n = 2m =e
2
, n = 2m + 1
( 1+
1 m+1
)m <
( 1+
1 m+
)m
1 2
<
)m ( 1 1+ m
1
（ 5） ( ) ( ) ( ) 1 m 1 m 1 m lim 1 + 1 + 1 + = e3 m →∞ m m m ( )n ( )m ( )m ( )m ( 3 1 1 1 1 + m+ 1 + m+ 1+ 1 1 lim 1 + = limm→∞ 1 + m+ 1 3 3 3 n→∞ )m ( )m ( )m ( ( n 1 1 1 1 + m+ 1 + m+ 1+ limm→∞ 1 + m+ 2 2 2
2
左边 ( ) k n+k ln 1 + = ln n n = ln > 结论 n+k n+k−1 n+1 ··· n+k−1n+k−2 n 1 1 1 k + + ··· + > n+k n+k−1 n+1 n+k
( ) k k k < ln 1 + < n+k n n 利 用 第6题 结 论；
(5)
1.7.6
对上式取对数即得
(6)
1.7.7 右边
1 k 利 用 上 题 结 论 最 便 捷 ； 或 者 利 用 第 2题 结 论 ， 将 第 3、 4题 中 的 n 替换为 n ， 再 经 过 第 5题 也 可 得 证 ；
k ln 1 + n
(
)
1 < ln 1 + n
(
)k
( ) 1 k = k ln 1 + < n n
3 3 3
3 3m+1
= e3 )2 3 = e3 3m+2
)
, n = 3m , n = 3m + 1 , n = 3m + 2
(
1 1+ m+1
)m <
(
1 1+ m+
)m
1 3
( )m 1 < 1+ m
（ 6）
( )4n2 ( )2n2 ( )2n2 1 1 1 lim 1 + 2 = lim 1 + 2 1+ 2 = e2 n→∞ n→∞ 2n 2n 2n
n个
1.7.3
(3)
1.7.4 按 提 示 ； { } 严格递增，均值不等式 证明 a1 n ( n n+1 )n+1 =1× ( n n+1 ) ···
n+1个
(
n n+1
) <
[
1 + (n + 1) × n+1
n n+1
]n+2 (4)
1.7.5
利 用 前 两 题 结 论 ； 左 边 严 格 递 增 地 趋 于 e， 右 边 严 格 递 减 地 趋 于 e ( )n ( )n+1 1 1 1+ <e< 1+ n n 利用上题结论；对数函数严格递增； ( ) 1 1 1 < ln 1 + < n+1 n n
(7)
1.7.8
令（6）式中n = 1, 2, · · · , n；然后将n个不等式加起来即得 ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ··· + < ln (n + 1) = ln 1 + 1+ ··· 1 + < 1 + + ··· + 2 3 n+1 n n−1 1 2 n 1.7.9 利用上题结论； 0 < xn < 1 − 试证{xn }单调，利用第6题结论 ( ) 1 1 1 xn+1 − xn = + ln (n + 1) − ln (n + 2) = − ln 1 + >0 n+1 n+1 n+1 得证；欧拉常数 γ = lim xn = lim
( ) 1 εn = αn + ln (n + 1) − ln n = αn + ln 1 + n lim 1 1+ 1 + 1 +···+ 1 1 ln(n+1)+γ +αn 1 n = lim e 2 3 e = lim × neγ eεn = eγ n→∞ n n→∞ n n eεn → 1 ∀ε > 0, ∃N ∈ N+ , s.t. 当n N 时, 1 − ε < eεn < 1 + ε, ln (1 − ε) < εn < ln (1 + ε) (10)
n
果然；于是
1 1 e 2 1 1+ 1 < e 2 3 1 1+ 1 + 1 +···+ 1 1 1+ 1 + 1 n e 2 3 < < e 2 3 n + 1 4 <··· 1 1 1 1+ 1 + 3 +···+ n−1 2 < e n
练习题1.7
February 1, 2013
1
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
第一章 实数和数列极限
数轴 无尽小数 数列极限 收敛的性质 无穷大 单调数列 自然对数底
n→∞
( lim
1 1+ n
)n =e (1)
1.7.1
要求严格按定义及四则运算等； (
n→∞
（ 1） lim
1 1+ n−2
即得
n→∞
用定义证明
另外，{xn }递增地趋于γ ，αn < 0；由（6）式得 εn+1 − εn = 1 n+1 − ln <0 n+1 n
3
故εn 递减地趋于0，εn > 0；由（5）式得
1 1 1+ 1 1 2 + 3 +···+ n+1 n+1 e 1 1 1 1+ 1 2 + 3 +···+ n ne
n+1
(n + 1) n!
n
1 1 1 1 1 1 + + ··· + 1 + + + ··· + 2 3 n + 1 2 3 n + 1 1 1 1 +1 + + ··· + 2 3 n + 1 1 1 1 1 − +1 + + + ··· + 2 2 3 n + 1 + · · · 1 1 1 1 1 1 +1 + + + · · · + + + ··· + 2 3 n 2 3 n + 1 n+1行 ] ( )} {[ 1 1 1 1 1 1 − 1 + + + ··· + exp 1 + 2 × + 3 × + · · · + (n + 1) × 2 3 n+1 2 3 n+1 { ( )} 1 1 1 exp n + 1 − 1 + + + · · · + 2 3 n+1 { ( )} 1 1 1 > (n + 1) exp n + 1 − 1 + + + · · · + 2 3 n+1 (n + 1) e e 4
将这n − 1个不等式相乘得 { ( ) ( )} ( )n−1 1 1 1 1 1 1+ 1 + 1 +···+ 1 n exp 1 + 1 + + ··· + 1 + + ··· + < e 2 3 n! 2 2 n−1 n+1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + · · · + n 1 + 2 + 3 + ··· + n 1 1 1 +1 +1 + + + · · · + 2 3 n 1 1 1 1 − +1 + < exp 2 +1 + 2 + 3 + · · · + n + · · · + · · · 1 1 1 1 1 1 + + · · · + +1 + +1 + + + · · · + 2 3 n − 1 2 3 n n行 ] ( )} {[ 1 1 1 1 1 1 − 1 + + + ··· + = exp 1 + 2 × + 3 × + · · · + n × 2 3 n 2 3 n { ( )} 1 1 1 = exp n − 1 + + + · · · + 2 3 n
en e1+ 2 + 3 +···+ n+1
1 1 1
e1+ 2 + 3 +···+ n+1 n+1
1 1 1
右边即（10）式在n + 1时的情况，递减，n = 1时取等号，右边得证； 左边只与右边相差一个n + 1因子，考虑将（10）式改写为 1 1+ 1 + 1 +···+ 1 n = eγ e 2 3 n→∞ n + 1 lim 可能是递增的，完全仿照前面的过程（对称的），即可证明左边。 由（5）式得 1 1 1 1+ 1 2 + 3 +···+ n 1 n n+1 e = en > 1 1 +1 +···+ n− 1 1+ 1 n + 1 2 3 1 e
( 1+
1 n+2
)2 =
1 e
（ 3）
n→∞
( lim
1+n 2+n
)n = lim
n→∞
(
1 1 1 + n+1
)n = lim ( n→∞ 1+
1
1 n+1
)n+1
( 1+
1 n+1
) =
1 e
（ 4） ( ) ( ) ( )n { 1 m 1 m limm→∞ 1 + m 1+ m = e2 2 ) ( )m ( ( m lim 1 + = 1 1 n→∞ n 1 + m+ 1+ limm→∞ 1 + m+ 1 1
1.7.2
k 是 有 限 数 ； 仿 照 上 题 （ 4） （ 5） 小 题 讨 论 ， 将 原 数 列 不 重 不 漏 分 成 k 个 子 列 ， 可 证 明 这 k 个 子 列 的 极 限 都 是 ek ， 得 证 ； )n ( k lim 1 + = ek (2) n→∞ n 正文用二项展开，这里按提示用均值不等式； ) ]n+1 ( ( ( )n ( ) ( ) [ )n+1 1 1+n× 1+ n 1 1 1 1 1+ =1× 1+ ··· 1 + < = 1+ n n n n+1 n+1
n→∞ n→∞
(8)
由（8）式易知
1 <1 n+1
(
1 1 1 + + · · · + − ln (n + 1) 2 n
) (9)
1.7.10
利用上题结论;
γ = lim xn 相当于 xn 1 1 1 1 + + + ··· + 2 3 n 将εn 记作 = γ + αn
= ln (n + 1) + γ + αn
=Hale Waihona Puke Baidu
1 n e n+1 < 1 n+1
故（10）左边递减地趋于eγ ，则γ < 1 1 1+ 1 + 1 +···+ 1 n > eγ , 当n = 1时, e > eγ e 2 3 n 1.7.11 利用上题结论； ( )n < n! < e ( )n+1 (11)
n+1 e
n+1 e
按前面各题的解法，应该是设法利用前面的结论（实际上课程视频中已经给出了明确提示） 注意到（10）式的递减性质 1 1 1 1+ 1 + 1 +···+ 1 1 1+ 1 n > e 2 3 e 2 + 3 +···+ n+1 n n+1 于是 1 e1 1 1+ 1 2 > e 2 1 1 1 1+ 1 1 1+ 1 + 1 2 3 e 2 + 3 +···+ n+1 > > e n + 1 3 >··· 1 1+ 1 + 1 +···+ 1 2 3 n > e n n 将这n个不等式相乘，可构造出n!和(n + 1) { ( ) ( )} ( )n 1 1 1 1 1 1 1 1+ 1 exp 1 + 1 + + ··· + 1 + + ··· + > e 2 + 3 +···+ n+1 n! 2 2 n n+1 1+ +1 + > exp +1 + + · · · +1 + = = 据此可先证右边，只须 (n + 1) n!