球与盒子的组合问题

球与盒子的组合问题

1.n个相同的球装进m个不同的盒子,共多少种不同方法

显然，这是个排列组合里的隔板问题

如果要求每个盒子至少有一个球，则答案为C(m-1,n-1)

如果允许有盒子可空出来不装球，则答案为C(m-1,n+m-1)

这个问题可以引入一个比较经典的例子，就是对于方程

x1+x2+…+xn=a 的正整数解（或非负整数解）的解的个数，（a为正整数）

2.n个不同的球装进m个相同的盒子,共多少种不同方法

这个问题的一般形式：把n个不同元素划分成m个子集

是的，这就是第二类Stirling数,用递推的方法

S[n,m]=S[n-1,m-1]+m*S[n-1,m]

如果要求每个盒子至少有一个球，那么 answer=S[n,m]

如果允许有盒子可空出来不装球，那么

answer=S[n,1]+S[n,2]+…+S[n,m]

3.n个不同的球装进m个不同的盒子，共多少种不同的方法

如果要求每个盒子至少有一个球，对于这个问题直接用上面问题的answer*m!即可

如果允许有盒子可空出来不装球，留作思考吧~ 呵呵

4.n个相同的球装进m个相同的盒子，共多少种不同的方法

这是个经典的DP问题，先来讨论要求每个盒子至少有一个球的情况相当于把一个整数划n分成m个数，这m个数以升序排列

S[n,m,min]表示n分成m部分且最小的那部分min的方案数

那么S[n,m,min]=Sigma(S[n-min,m-1,i]) for i=min to

(n-min)/(m-1)

对于这个三维的状态，我们可以把它优化到二维

不要考虑min，假设最小的那个数是1，这样的话如果想把它加大，这样的方案数和这种情况等价：这个1不变而是把后面所有数减小1，这样就能表示所有情况了

比如12分成3部分，显然 3 4 5 和 1 2 3 等价， 2 5 5 和 1 4 4 等价。

所以就变成二维状态S[n,m]=S[n-1,m-1]+S[n-m,m]，其中S[n,m]表示n分成m个部分，最小部分至少唯一，它等于最小部分为一

（S[n-1,m-1]）的加上最小部分至少为二的（S[n-m,m]）

据说，这道题还可以优化到一维，不过这要用到组合数学里的母函数知识，这里就不介绍了，思考思考吧~

对于允许有盒子可空出来不装球的情况，也思考思考吧~呵呵

元素分组又分为相同元素分组和不相同元素分组这两类问题。对于相同元素分组来说，如果是相同元素分到相同的组里，问题就变的没有意义，公考中也不会涉及到。那么对于相同元素分到不同的组里，一般我们就用插板法来解决。

【基本题型】

有n个相同的元素，要求分到m组中，并且要求每组中至少有一个元素问有多少种分法？

【基本解题思路】

将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n 个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。

【基本题型例题】

【例1】共有10完全相同的球分到7个班里，要求每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法？

解析一：我们首先用常规方法。若想将10个球分到7个班里，球的分法共三类：

第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。这样，第一步，我们从7个班中选出3个班，每个班分2个球；第二步，从剩下的4个班中选4个班，每班分1球。其分法种数为：C （7，3）*C（4，4）=35

注明：由于排版的关系，我用C（n，m）和A（n，m）代替原来的组合与排列公式。

第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。其分法种数：C（7，1）* C（6，1）* C（5，5）=42

第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。其分法种数：

C（7，1）* C（6，6）=7

所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为：35+42+7=87（种）。

解析二：从上面的解题过程可以看出，用常规方法解这类题，需要分类计算，计算过程繁琐。并且如果元素个数较多的话处理起来就变得十分的困难了。因此我们需要寻求一种新的方法解决问题，也就是——插板法。

我们可以将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在我们用6个档板”插入这9个空隙中，就“把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），这样，借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了7个班中。

由上述分析可知，原问题就可以转化成：在9个空档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组）的问题，这是一个很简单的组合问题，其方法种数为：C（9，6）=84

【基本题型总结】

对于这种要求每组元素至少要分到一个的情况，则只需在n个元素的

n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有C（n-1，m-1）种不同方法。

【注意】

这种插板法解决相同元素分到不同组的问题非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：

（1）所有要分的元素须完全相同；

（2）所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；

（3）参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。

这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。

【基本题型的变形（一）】