与名师对话高三文科数学第一轮复习第九章解析几何第一节直线与方程

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2023年新高考数学一轮复习9-1 直线与直线方程(知识点讲解)含详解

专题9.1 直线与直线方程（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】（1）通过考查直线的斜率与倾斜角、考查直线方程的几种形式，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．（2）通过考查两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用、考查与充要条件、基本不等式、导数的几何意义等相结合，以及考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系.凸显直观想象、数学运算、逻辑推理、数学应用的核心素养．【知识点展示】知识点1．直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角①定义．当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角的范围为． 2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x 轴平行或重合时, , .②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角、斜率k 之间的大小变化关系：（1）当时，越大，斜率越大；（2）当时，越大，斜率越大.知识点2．直线的方程1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线过两点其中，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的两点式方程.当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.特别地，若直线过两点，则直线的方程为：，这个方程叫做直线的截距式方程.αα0απ≤<(90)αα≠tan k α＝l 0α=tan 00k ==11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，2121y y k x x --＝α[0,)2πα∈0,k α>(,)2παπ∈0,k α<l 000(,)P x y k l )(00x x k y y -=-l ),0(b l b kx y +=l ),(),,(222211y x P x x P ),(2121y y x x ≠≠l ),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--21x x =x 1x x =21y y =y 1y y=l 12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠l 1x ya b+=3.直线的一般式方程关于的二元一次方程（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B 不为0时，斜率，截距. 知识点3．两条直线平行与垂直 1．两直线的平行关系(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有.2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有. 知识点4．距离问题 1．两点间的距离公式设两点，则.2．点到直线的距离公式设点，直线，则点到直线的距离.3．两平行线间的距离公式设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离.知识点5．两条直线的交点1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线，联立方程组，y x ,0=++C By Ax A k B =-C b B=-12,l l 12,k k 1212//l l k k ⇔=11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=111222(,),(,)P x y P xy 12PP =000(,)P x y :0l Ax By C ++=000(,)P x y :0l Ax By C ++=d =1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=d =11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=12210A B A B -≠11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩若方程组有无数组解，则重合．知识点6．对称问题 1.中点坐标公式 2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.【常考题型剖析】题型一：直线的倾斜角与斜率例1.（2022·全国·高三专题练习）过点(1,2)(1,0)-、A B 的直线的倾斜角为（） A ．45︒B ．135︒C ．1D ．1-例2.（2022·全国·高三专题练习）如图，设直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（）A ．123k k k <<B ．132k k k <<C ．213k k k << D ．321k k k <<例3.（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.12,l l 12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【规律方法】1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k 是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．3.从高考题看，对直线斜率的考查，越侧重其应用. 题型二：直线的方程例4.（2015·山东·高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A．330x y --= B ．3230x y --=C 310y --=D ．10x -=例5.（2022·全国·高三专题练习）过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是（） A ．20x y -= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．240x y +-=【规律方法】求直线方程的常用方法：tan k α=1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3.直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．4.从高考命题看，侧重于直线与圆、直线与圆锥曲线位置关系的考查. 题型三：两条直线平行与垂直例6.（2023·全国·高三专题练习）“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件例7.（2021·台州市书生中学高二期中）已知直线1l ：sin 10x y α+-=，直线2l ：3cos 10x y α-+=，若12l l //，则sin2α=_________若12l l ⊥，则sin2α=________ 【易错提醒】当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．题型四：距离问题例8.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y =x +4x (x >0)上的一个动点，则点P到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 例9.（2016·上海·高考真题（文））已知平行直线，则12l l 与的距离是_______________.【规律方法】两种距离的求解思路 (1)点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离． ②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式)．题型五：两条直线的交点例10.（2022·全国·高三专题练习）直线1:1l y mx =+，2:1l x my =-+相交于点P ，其中1m ≤.(1)求证：1l 、2l 分别过定点A 、B ，并求点A 、B 的坐标； (2)当m 为何值时，ABP △的面积S 取得最大值，并求出最大值.例11.（2021·全国高三专题练习）求过直线1:5230l x y +-=和2:3580l x y --=的交点P ，且与直线470x y +-=垂直的直线l 的方程.【规律方法】 1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标． 2.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．3.涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征. 题型六：对称问题例12.（2020·山东高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（） A ．32100x y --= B ．32230x y --= C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=例13.（浙江·高考真题（理））直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（） A ．210x y +-=B ．210x y +-=C ．230x y +-=D ．230x y +-=例14.（2019·河北高考模拟（理））设点为直线：上的动点，点，，则的最小值为（） A ． BC ．D【规律方法】涉及对称问题，主要有以下几种情况：1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标.P l 40x y +-=(2,0)A -()2,0B ||||PA PB +00(,)P x y :0l Ax By C ++=00(,)Q x y ''PQ l PQ l ⊥0000000022()1x x y y A B C y y A x x B ''++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨'-⎪⨯-=-'-⎪⎩00,x y ''2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．3．若直线关于直线对称，则在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程． 4.中心对称问题的两种类型及求解方法5.轴对称问题的两种类型及求解方法:0l Ax By C ++=00(,)P x y :0l Ax By C ++=0:0l Ax By C '++=,l l 'P :0l Ax By C ++=2=0C 0C l ':0l Ax By C ++=0000:0l A x B y C ++=:0l Ax By C ++=0l l 0l专题9.1 直线与直线方程（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】（1）通过考查直线的斜率与倾斜角、考查直线方程的几种形式，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．（2）通过考查两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用、考查与充要条件、基本不等式、导数的几何意义等相结合，以及考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系.凸显直观想象、数学运算、逻辑推理、数学应用的核心素养．【知识点展示】知识点1．直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角①定义．当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角的范围为． 2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x 轴平行或重合时, , .②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角、斜率k 之间的大小变化关系：（1）当时，越大，斜率越大；（2）当时，越大，斜率越大.知识点2．直线的方程1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线过两点其中，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的两点式方程.当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.特别地，若直线过两点，则直线的方程为：，这个方程叫做直线的αα0απ≤<(90)αα≠tan k α＝l 0α=tan 00k ==11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，2121y y k x x --＝α[0,)2πα∈0,k α>(,)2παπ∈0,k α<l 000(,)P x y k l )(00x x k y y -=-l ),0(b l b kx y +=l ),(),,(222211y x P x x P ),(2121y y x x ≠≠l ),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--21x x =x 1x x =21y y =y 1y y=l 12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠l 1x ya b+=截距式方程.3.直线的一般式方程关于的二元一次方程（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B 不为0时，斜率，截距. 知识点3．两条直线平行与垂直1．两直线的平行关系(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有. 知识点4．距离问题1．两点间的距离公式设两点，则.2．点到直线的距离公式设点，直线，则点到直线的距离.3．两平行线间的距离公式设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离.知识点5．两条直线的交点1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线y x ,0=++C By Ax A k B =-C b B =-12,l l 12,k k 1212//l l k k ⇔=11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=111222(,),(,)P x y P xy 12PP =000(,)P x y :0l Ax By C ++=000(,)P x y :0l Ax By C ++=d =1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=d =11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=12210A B A B -≠11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，联立方程组，若方程组有无数组解，则重合．知识点6．对称问题1.中点坐标公式2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.【常考题型剖析】题型一：直线的倾斜角与斜率例1.（2022·全国·高三专题练习）过点(1,2)(1,0)-、A B 的直线的倾斜角为（）A ．45︒B ．135︒C ．1D ．1- 【答案】A【解析】【分析】利用斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】过A 、B 的斜率为2011(1)k -==--，则该直线的倾斜角为45︒，故选：A ．例2.（2022·全国·高三专题练习）如图，设直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（） A ．123k k k << B ．132k k k <<C ．213k k k << D ．321k k k <<11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩12,l l 12,l l 12,k k 12121l l k k ⊥⇔=-11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1211220l l A B A B ⊥⇔+=【答案】A【解析】【分析】直接由斜率的定义判断即可.【详解】由斜率的定义可知，123k k k <<.故选：A ．例3.（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【规律方法】1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k 是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．3.从高考题看，对直线斜率的考查，越侧重其应用.题型二：直线的方程例4.（2015·山东·高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A ．330x y --=B ．3230x y --=C ．3310x y --=D ．310x y --=【答案】D【解析】【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解.tan k α=【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=，所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=．故选：D例5.（2022·全国·高三专题练习）过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是（） A ．20x y -=B ．250x y +-=C ．230x y --=D ．240x y +-= 【答案】B【解析】【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可求解.【详解】由题意可知，设所求直线的方程为420x y m ++=，将点()2,1A 代入直线方程420x y m ++=中，得42210m ⨯+⨯+=，解得10m =-，所以所求直线的方程为42100x y +-=，即250x y +-=.故选：B.【规律方法】求直线方程的常用方法：1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3.直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．4.从高考命题看，侧重于直线与圆、直线与圆锥曲线位置关系的考查.题型三：两条直线平行与垂直例6.（2023·全国·高三专题练习）“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直求出m 的值，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直,则()()2310m m ⨯++⨯-=，解得：2m =或3m =-，所以“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的充分不必要条件.故选：B.例7.（2021·台州市书生中学高二期中）已知直线1l ：sin 10x y α+-=，直线2l ：3cos 10x y α-+=，若12l l //，则sin2α=_________若12l l ⊥，则sin2α=________ 【答案】23- 35 【分析】根据直线平行和垂直得到sin ,cos αα的关系，再结合二倍角公式及弦化切得到答案.【详解】若12l l //，则()12sin 3cos 10sin cos sin 22sin cos 33ααααααα--=⇒=-⇒==-，此时113cos α≠，则两条直线不重合，故2sin 23α=-；若12l l ⊥，则sin 3cos 0tan 3ααα-=⇒=， ∴2222sin cos 2tan 3sin 22sin cos sin cos tan 15ααααααααα====++. 故答案为：23-，35. 【易错提醒】当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．题型四：距离问题例8.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y =x +4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.【答案】4.【解析】当直线x +y =0平移到与曲线y =x +4x 相切位置时，切点Q 即为点P 到直线x +y =0的距离最小. 由y ′=1−4x 2=−1，得x =√2(−√2舍)，y =3√2，即切点Q(√2,3√2)，则切点Q 到直线x +y =0的距离为√2+3√2|√12+12=4，故答案为：4．例9.（2016·上海·高考真题（文））已知平行直线，则12l l 与的距离是_______________.【解析】利用两平行线间的距离公式得d == 【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数必须相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.【规律方法】两种距离的求解思路(1)点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式)．题型五：两条直线的交点例10.（2022·全国·高三专题练习）直线1:1l y mx =+，2:1l x my =-+相交于点P ，其中1m ≤.(1)求证：1l 、2l 分别过定点A 、B ，并求点A 、B 的坐标；(2)当m 为何值时，ABP △的面积S 取得最大值，并求出最大值.【答案】(1)证明见解析，()0,1A ，()10B , (2)0m =时，S 取得最大值12【解析】【分析】（1）在直线1l 的方程中令0x =可得出定点A 的坐标，在直线2l 的方程中令0y =可得出定点B 的坐标，由此可得出结论；（2）联立直线1l 、2l 的方程，可求得两直线的交点P 的坐标，计算出AP 和BP ，利用三角形的面积公式可计算出S 的表达式，由S 的表达式可求得S 的最大值及其对应的m 的值.（1）在直线1l 的方程中，令0x =可得1y =，则直线1l 过定点()0,1A ，在直线2l 的方程中，令0y =可得1x =，则直线2l 过定点()10B ,；（2）联立直线1l 、2l 的方程11y mx x my =+⎧⎨=-+⎩，解得221111m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即点2211,11m m P m m -+⎛⎫ ⎪++⎝⎭.AP ==BP ，11m -≤≤，所以，()()222211111212212121m m m S AP BP m m m -⋅+-⎛⎫=⋅===- ⎪+++⎝⎭；212121S m ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭且11m -≤≤，因此，当0m =时，S 取得最大值，即max 12S =.例11.（2021·全国高三专题练习）求过直线1:5230l x y +-=和2:3580l x y --=的交点P ，且与直线470x y +-=垂直的直线l 的方程.【答案】450x y --=【分析】解法一：先取得两直线的交点，再根据与直线470x y +-=垂直求解；解法二：根据直线l 垂直于直线470x y +-=，设直线l 的方程为40x y c -+=，再将.1l 与2l 的交点代入求解；解法三：根据直线l 过1l 与2l 的交点，设直线l 的方程为(523)(358)0x y x y λ+-+--=，再根据l 与直线470x y +-=垂直求解.【详解】解法一：由5230,3580x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得(1,1). - 直线470x y +-=的斜率为14-， ∴直线l 的斜率为4.因此满足条件的直线l 的方程为：14(1)y x +=-，即450x y --=. 解法二：直线l 垂直于直线470x y +-=.∴设直线l 的方程为40x y c -+=.1l 与2l 的交点为(1,1)P -，41(1)0c ∴⨯--+=，解得从而5c =-.所以直线l 的方程为450x y --=.解法三：因为直线l 过1l 与2l 的交点，∴设直线l 的方程为(523)(358)0x y x y λ+-+--=，即(53)(25)380x y λλλ++---=， l 与直线470x y +-=垂直，53425l k λλ+∴=-=-，解得1317λ=. ∴直线l 的方程为450x y --=.【规律方法】1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．2.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．3.涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征.题型六：对称问题例12.（2020·山东高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（）A ．32100x y --=B ．32230x y --=C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=【答案】D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，，则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，因为点(2,4)x y ---在直线2360x y +-=上，所以()()223460x y --+--=即2320x y +-=.故选：D.例13.（浙江·高考真题（理））直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（）A ．210x y +-=B ．210x y +-=C ．230x y +-=D ．230x y +-= 【答案】D【解析】【分析】设所求直线上任一点（x ，y ），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．【详解】设所求直线上任一点（x y ，），则它关于1x =对称点为()2,x y -在直线210x y -+=上，∴2210x y --+=化简得230x y +-=故选答案D ．故选D ．例14.（2019·河北高考模拟（理））设点为直线：上的动点，点，，则的最小值为（）A ．BC ．D【答案】A【解析】 P l 40x y +-=(2,0)A -()2,0B ||||PA PB +依据题意作出图像如下：设点关于直线的对称点为，则它们的中点坐标为：，且由对称性可得：，解得：，所以因为，所以当三点共线时，最大此时最大值为故选：A【规律方法】涉及对称问题，主要有以下几种情况：1．若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标. 2．若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程．()2,0B l ()1,B a b 2,22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭1PB PB =()011224022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩4a =2b =()14,2B 1||||||||PA PB PA PB +=+1,,A P B ||||PA PB +1AB ==00(,)P x y :0l Ax By C ++=00(,)Q x y ''PQ l PQ l ⊥0000000022()1x x y y A B C y y A x x B ''++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨'-⎪⨯-=-'-⎪⎩00,x y '':0l Ax By C ++=00(,)P x y :0l Ax By C ++=0:0l Ax By C '++=,l l 'P :0l Ax By C ++=2=0C 0C l '3．若直线关于直线对称，则在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程．4.中心对称问题的两种类型及求解方法5.轴对称问题的两种类型及求解方法:0l Ax By C ++=0000:0l A x B y C ++=:0l Ax By C ++=0l l 0l。

高考数学一轮复习第九章解析几何第1讲直线方程和两直线的位置关系理(2021年最新整理)

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第九章解析几何第1讲直线方程和两直线的位置关系一、选择题1．已知直线l的倾斜角α满足条件sinα＋cosα＝15，则l的斜率为（)A。

错误! B。

错误! C．－错误! D．－错误!解析α必为钝角,且sinα的绝对值大，故选C。

答案C2．经过两点A(4，2y＋1），B（2，－3)的直线的倾斜角为错误!，则y＝（)．A．－1 B．－3 C．0 D．2解析由2y＋1－－34－2＝错误!＝y＋2，得：y＋2＝tan 错误!＝－1.∴y＝－3.答案B3．若直线l：y＝kx－错误!与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）．A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!解析如图,直线l：y＝kx－错误!，过定点P（0,－错误!），又A（3,0)，∴k PA＝错误!，则直线PA的倾斜角为错误!，满足条件的直线l的倾斜角的范围是错误!.答案B4．过点A(2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( )．A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0解析由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0,将A(2，3)代入上式得2－2×3＋m＝0,即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0。

高考：与名师对话总复习课标版(文科数学) 9-9

知识梳理
[解析] 由抛物线焦点弦的性质可得|AB|＝si2np2θ＝si2n×23320°＝名
师
12，结合图象可得 O 到直线 AB
的距离 d＝p2sin30°＝38，所以△OAB
微课导
核
学
心考点
的面积 S＝12|AB|·d＝94.
知
识梳
[解析] 设 A，B 在准线 l 上的射影分别为 A1，B1，如图，由
理
于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线 AB 的斜率为 3，
名师
故|AC|＝2|AA1|＝2|AF|＝6，
微课
导
核
从而|BF|＝1，|AB|＝4，
学
心
考点突破
故|ApA1|＝||CACF||＝12，即 p＝32，
知
识梳
[解析] 由图形可知 y 轴是 y2＝4x 的一条切线，与 y2＝4x 仅
理有一个公共点，设 y＝kx＋1，与 y2＝4x 联立，得 k2x2＋(2k－4)x 名
师
＋1＝0，当 k＝0 时，y＝1 与 y2＝4x 只有一个交点．当 k≠0 时，
微课
核由 Δ＝(2k－4)2－4k2＝0 得 k＝1，k＝1 时直线和抛物线只有一个
主
(4)S△AOB＝2spin2 θ.
干
知识梳
(5)|A1F|＋|B1F|为定值2p.
理
(6)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
名师
微
(7)以 AF(或 BF)为直径的圆与 y 轴相切．
课
导
核心
(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
学
考
点

2019版高考数学一轮复习第九章解析几何第一节直线与方程实用

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
直线的倾斜角与斜率
1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：
斜率 k k＝tan α＞0 k＝0 k＝tan α＜0 不存在
倾斜角 α
锐角
0°
钝角
90°
2.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数 k＝tan α 的单调性，如图所示：
04
课时达标检测
K12课件
3
01 突破点（一）直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．直线的斜率
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，则 l 的斜率 k y2－y1 ＝__x_2_－__x_1_.
2．直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.
(2)如图所示，直线 l：x＋my＋m＝0 过定点 A(0，－1)，当 m≠0 时，kQA＝32， kPA＝－2，kl＝－m1 .∴－m1 ≤－2 或－m1 ≥32. 解得 0＜m≤12或－23≤m＜0；
当 m＝0 时，直线 l 的方程为 x＝0，与线段 PQ 有交点． ∴实数 m 的取值范围为－23，12.
[答案] (1)0，π4∪34π，π (2)－23，12
[易错提醒] 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与 π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当 α∈0，π2 时，斜率 k∈[0，＋∞)；当 α＝π2时，斜率不存在；当 α∈π2，π 时，斜率 k∈(－∞，0)．

2021年高考数学一轮复习第九篇解析几何第1讲直线的方程教案理新人教版

2021年高考数学一轮复习第九篇解析几何第1讲直线的方程教案理新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等；考查过两点的斜率公式． 2．求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等)． 3．直线常与圆锥曲线结合，属中高档题．【复习指导】1．本讲是解析几何的基础，复习时要掌握直线方程的几种形式及相互转化的关系，会根据已知条件求直线方程．2．在本讲的复习中，注意熟练地画出图形，抓住图形的特征量，利用该特征量解决问题往往能达到事半功倍的效果．基础梳理1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的取值范围：[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线，其斜率不存在． (2)经过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式 y －y 1＝k (x －x 1) 不含垂直于x 轴的直线斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含垂直于坐标轴的直线截距式x a ＋yb＝1(ab ≠0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)平面直角坐标系内的直线都适用P 1x 1y 1P 2x 2y 2(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1. (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1. (3)若x 1≠x 2，且y 1≠y 2时，方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 5．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．一条规律直线的倾斜角与斜率的关系：斜率k 是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k ＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率．两种方法求直线方程的方法：(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程；(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．两个注意(1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．(2)在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( )． A.23 B.32 C ．－23 D ．－32 解析 k ＝0－23－0＝－23.答案 C2．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )． A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析直线的斜率为：k ＝tan α＝3，又∵α∈[0，π)∴α＝60°. 答案 B3．(xx·龙岩月考)已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.则直线l 的方程为( )．A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析由y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0.答案 A4．(xx·烟台调研)过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( )． A ．x －y －3＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x ＋y ＋3＝0D ．x －y ＋3＝0 解析由两点式得：y －31－3＝x －02－0，即x ＋y －3＝0.答案 B5．(xx·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A 、B 、C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案 4考向一直线的倾斜角与斜率【例1】►若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2[审题视点] 确定直线l 过定点(0，－3)，结合图象求得．解析由题意，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2. 答案 B求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想．当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y ＝tan α的单调性求k 的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．【训练1】 (xx·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )． A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1解析设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k，令－3＜1－2k＜3，解不等式可得．也可以利用数形结合．答案 D考向二求直线的方程【例2】►求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5. [审题视点] 选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可．解 (1)法一设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.法二由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0，设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －1，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)．则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．【训练2】 (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．解 (1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 当直线过原点时，斜率k ＝－25，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0，综上可知，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.考向三直线方程的应用【例3】►已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如右图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．[审题视点] 设直线l 的方程为截距式，利用基本不等式可求．解设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1.∴1＝3a ＋2b ≥26ab，即ab ≥24.∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4.△ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为：x 6＋y4＝1.即2x ＋3y －12＝0.求直线方程最常用的方法是待定系数法．若题中直线过定点，一般设直线方程的点斜式，也可以设截距式．注意在利用基本不等式求最值时，斜率k 的符号．【训练3】在本例条件下，求l 在两轴上的截距之和最小时直线l 的方程．解设l 的斜率为k (k ＜0)，则l 的方程为y ＝k (x －3)＋2，令x ＝0得B (0,2－3k )，令y ＝0得A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，∴l 在两轴上的截距之和为 2－3k ＋3－2k＝5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ≥5＋26，(当且仅当k ＝－63时，等号成立)， ∴k ＝－63时，l 在两轴上截距之和最小，此时l 的方程为6x ＋3y －36－6＝0.难点突破18——直线的倾斜角和斜率的范围问题从近两年新课标高考试题可以看出高考对直线的倾斜角和斜率的考查一般不单独命题，常和导数、圆、椭圆等内容结合命题，难度中档偏上，考生往往对直线的倾斜角和斜率之间的关系弄不清而出错．【示例1】► (xx·辽宁)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π【示例2】► (xx·济南一模)直线l 过点(－2,0)，l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )．A.()－22，22 B ．(－2，2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，18。

【与名师对话】高考数学总复习 9-1 直线的方程课件理新人教A版

2．求斜率，也可用k＝tan α(α≠90° )，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90° 是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 3．利用斜率证明三点共线的方法：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＝x2＝x3或kAB ＝kAC，则有A、B、C三点共线．
考纲要求
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系，掌握过两点的直线斜率的计算公式
考情分析
通过对近三年的高考试题的统计分析可以看出，对于直线方程的考查，一是考查直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；二是考查求直线的方程．从分析五种直线方程成立的条件入手，确定相应的量是确定直线方程的关键．用待定系数法求直线方程时，要特别注意斜率不存在的情况．单独考查直线方程的题目较少，主要是以直线方程为载体，与其他知识相交汇进行综合考查．如： 2012年重庆卷3、天津卷8、江苏卷12等．
考纲要求 2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
考情分析
预测：2013年高考对本节内容的考查仍将以直线的斜率和方程为主．结合直线的斜率与方程，考查与其他曲线的综合应用.
(对应学生用书 P152)
1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0° . ②倾斜角的范围为
3．线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为( x1，x y1 )、 x ，y2)，且线段P1P2 1＋ x( 2 2 x2 x＝x1＋ x＝ 2 2 的中点M的坐标为(x，y)，则，此公式为 y1＋y2 y＝y1＋y2 y＝ 2 2 线段P1P2的中点坐标公式．

2021届高考数学一轮复习第九章解析几何第一节直线与直线方程学案理含解析.doc

第一节直线与直线方程[最新考纲][考情分析][核心素养] 1.在平面直角坐标系中，能结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.直线方程的综合应用仍是2021年高考考查的热点，题型为选择题、填空题、解答题，分值为5～12分.数学运算‖知识梳理‖1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线1向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．(2)规定：当直线l与x2平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l3[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k4tan_α.(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k5y2－y1x2－x1．►常用结论1．直线倾斜角的范围是[0，π)，包括0不包括π.当直线与x轴平行或重合时，易错误地认为倾斜角为π，事实上为0.2．由直线的斜率k，求倾斜角的范围时，要注意在[0，π)上，k＝tan α的图象是不连续的．如由－3≤k≤3，得α∈⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎣⎡⎭⎫23π，π.3．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，那么分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，那么分母必须是x1－x2.3．直线方程的五种形式1．截距不是距离，它可正可负也可为零．2．使用点斜式、斜截式时一定要注意判断斜率是否存在．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.()(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√二、走进教材2．(必修2P89B5改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为____________．答案：12x－y－18＝03．(必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________________．答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0三、易错自纠4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1 B．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2；当y ＝0时，x ＝a ＋2a .∴a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.5．(2019届西安质检)直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．解析：直线l 的方程可变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．答案：(2，－2)6．(2019届泰安模拟)过点(5，10)且到原点的距离是5的直线的方程为________________．解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋10－5k ＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为34x －y ＋10＝154，即3x －4y ＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0考点直线的倾斜角与斜率|题组突破|1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A ．[0，π) B ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C ．⎣⎡⎦⎤0，π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π 解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，又－sin α∈[－1，1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.2．已知直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________________．解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)3．若过点M (－2，m )，N (m ，4)的直线的斜率等于1，则m ＝________．解析：由题意，得k ＝4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.答案：1 ►名师点津斜率取值范围的2种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可考点直线方程【例】 (1)求过点A (1，3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． [解] (1)设所求直线的斜率为k ，依题意，得k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1，3)，所以所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5，2)代入所设方程，得－52a ＋2a ＝1，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，将(－5，2)代入所设方程，得2＝－5k ，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. ►名师点津直线方程求法中2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．|跟踪训练|设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)∵当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为零，∴a ＝2，∴方程为3x ＋y ＝0；当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1，解得a ＝0，∴方程为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0，解得a ≤－1. 综上可知，a 的取值范围是{a |a ≤－1}．考点直线方程的创新交汇应用问题直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．【例】 (2019届重庆巴蜀中学模拟)已知曲线y ＝2x x －1在点P (2，4)处的切线与直线l 平行且距离为25，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．2x ＋y ＋2＝0或2x ＋y －18＝0C ．2x －y －18＝0D ．2x －y ＋2＝0或2x －y －18＝0[解析] y ′＝2（x －1）－2x （x －1）2＝－2（x －1）2，当x ＝2时，y ′＝－2（2－1）2＝－2，因此k l＝－2.设直线l 的方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，由题意知|2×2＋4－b |5＝25，解得b＝18或b ＝－2，所以直线l 的方程为2x ＋y －18＝0或2x ＋y ＋2＝0.故选B ．[答案] B ►名师点津处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．|跟踪训练|(2019届沈阳模拟)若直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)经过点(1，2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：∵直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)经过点(1，2)，∴1a ＋2b＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2ab ≥3＋22，当且仅当b ＝2a 时等号成立．∴直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为3＋2 2. 答案：3＋2 2。

近年届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程夯基提能作业本文(20

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第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程A组基础题组1。

直线l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是( ）A。

B.C.—D.—2。

已知直线l:ax+y-2—a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( )A。

1 B.-1C.-2或-1D.-2或13.直线ax+by+c=0经过第一、二、四象限,则a，b,c应满足（）A.ab〉0,bc<0B.ab>0，bc>0C.ab〈0，bc>0 D。

ab〈0,bc〈04.两直线—=a与—=a（其中a是不为零的常数）的图象可能是（）5.直线x-2y+b=0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是( )A.［-2，2]B.(-∞,—2]∪[2，+∞）C。

［—2,0）∪（0,2］ D.(—∞，+∞）6.直线l过原点且平分▱ABCD的面积,若平行四边形的两个顶点为B（1,4),D(5，0),则直线l的方程为.7.直线l：（a—2)x+(a+1）y+6=0,则直线l恒过定点.8.直线l过点P（1，0)，且与以A(2,1）,B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围是.9。

高三一轮总复习·数学文科解析几何

x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB
第九章
解析几何
高三一轮总复习 ·数学(文科)
(2)如图所示，设中点M(x，y)．
第九章
解析几何
高三一轮总复习 ·数学(文科)
∵CM⊥PM，∴△PCM是直角三角形． ∴|PM|2＋|MC|2＝|PC|2，即(x＋8)2＋y2＋(x－1)2＋(y＋5)2＝106. 化简，得x2＋7x＋y2＋5y－8＝0.
故中点M的轨迹是圆x2＋7x＋y2＋5y－8＝0在圆C内部的一
段弧．【规律总结】合理应用平面几何知识，这是快速解答本题
的关键所在．要求掌握好平面几何的知识，如勾股定理，垂径
定理等初中学过的知识要能充分应用．
第九章
解析几何
高三一轮总复习 ·数学(文科)
(2014 年新课标 Ⅰ 节选 ) 已知点 P(2,2) ，圆C ：
＝2a(常数)， ∴动点 Q 到定点 F1 的距离是常数，它的轨迹是以 F1 为圆心、椭圆长轴长为半径的圆．
第九章
解析几何
高三一轮总复习 ·数学(文科)
题型一直接法求轨迹方程已知点P(－8,0)和圆C：x2＋y2－2x＋10y＋4＝0. (1)求过点P且被圆C截得的线段最长的直线l的方程；
(2) 过点 P 向圆 C 引割线，求被此圆截得的弦的中点的轨
第九章
解析几何
高三一轮总复习 ·数学(文科)
5．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长 F1P 到 Q ，使得 |PQ| ＝ |PF2| ，那么动点 Q 的轨迹是 ____________．【答案】以F1为圆心、椭圆长轴长为半径的圆．
【解析】由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2| ＝|PF1| ＋|QP| ＝|QF1|

高考数学一轮复习第九章解析几何9.1直线及其方程教学案理

第九章解析几何9．1 直线及其方程考纲要求1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴____与直线l ____方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______．②倾斜角的取值范围为________．(2)直线的斜率：①定义：一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝______，倾斜角是______的直线的斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝________.2．直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则直线方程为____________，它不包括__________的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距b 和斜率k ，则直线方程为__________，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则直线方程为______________，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b (其中a ≠0，b ≠0)，则直线方程为____________，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线的方程均可写成______________的形式．1．直线x －3y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角α为( )．A.π6B.π3C.23πD.56π 2．过点(－1,2)且倾斜角为150°的直线方程为( )． A.3x －3y ＋6＋3＝0 B.3x －3y －6＋3＝0C.3x ＋3y ＋6＋3＝0D.3x ＋3y －6＋3＝03．已知A (3,1)，B (－1，k )，C (8,11)三点共线，则k 的取值是( )．A ．－6B ．－7C ．－8D ．－94．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或15．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围是__________．一、直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π (2)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为__________．方法提炼直线倾斜角的范围是[0，π)，但这个区间不是正切函数的单调区间．因此在考虑倾斜角与斜率的关系时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．请做演练巩固提升1二、直线方程的求法【例2】已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．方法提炼求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．请做演练巩固提升2,3三、直线方程的应用【例3－1】已知点A (2,5)与点B (4，－7)，试在y 轴上求一点P ，使得|PA |＋|PB |的值为最小．【例3－2】已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．方法提炼在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的面积、距离的最值等问题，一般要结合函数、不等式或利用对称来加以解决．请做演练巩固提升5易忽视过原点的直线而致误【典例】过点M (3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________．解析：(1)当过原点时，直线方程为y ＝－43x ， (2)当不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a＝1，即x －y ＝a . 代入点(3，－4)，∴a ＝7，即直线方程为x －y －7＝0.答案：y ＝－43x 或x －y －7＝0 答题指导：解决与直线方程有关的问题时，要注意以下几点：(1)充分理解直线的倾斜角、斜率的意义；(2)掌握确定直线的两个条件；(3)注意数形结合的运用，在平时的学习和解题中，多思考一些题目的几何意义；(4)注意逆向思维、发散思维的训练．1．直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )．A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．(0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 2．光线自点M (2,3)射到N (1,0)后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为( )．A ．y ＝3x －3B ．y ＝－3x ＋3C ．y ＝－3x －3D ．y ＝3x ＋33．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程为( )．A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y ＝04．点P在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为__________．5．若直线l过点P(－2,3)，与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)①正半轴向上 0° ②[0°，180°)(2)①正切值 tan α 90° ②y 2－y 1x 2－x 12．(1)y －y 0＝k (x －x 0) 垂直于x 轴(2)y ＝kx ＋b (3)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(4)x a ＋y b ＝1 (5)Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)基础自测1．A 解析：易知直线的斜截式方程为y ＝33x ＋33a ， ∴k ＝33，tan α＝33. ∴α＝π6. 2．D 解析：由直线的倾斜角α＝150°，得k ＝tan α＝－33，由点斜式方程得y －2＝－33(x ＋1)，即3x ＋3y －6＋3＝0. 3．B 解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴k －1－1－3＝11－18－3. ∴k ＝－7.4．D 解析：当直线l 过原点时，则－2－a ＝0，即a ＝－2；当直线l 不过原点时，原方程可化为x a ＋2a＋y a ＋2＝1，由a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1. ∴a 的值为－2或1.5．－2＜a ＜1 解析：tan α＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －12＋a. 由a －12＋a＜0得－2＜a ＜1. 考点探究突破【例1】 (1)B (2)k ≤－4或k ≥34解析：(1)将直线方程变形为y ＝－1a 2＋1x －1a 2＋1， ∴直线的斜率k ＝－1a 2＋1. ∵a 2＋1≥1，∴0＜1a 2＋1≤1. ∴－1≤k ＜0，即－1≤tan α＜0.∴34π≤α＜π.故选B. (2)如图，由斜率公式，得k AP ＝1－(－3)1－2＝－4， k BP ＝1－(－2)1－(－3)＝34， ∴k ≥34或k ≤－4. 【例2】解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12. 整理，得6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y 138＝1. (2)因为BC 边上的中点坐标为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0. 化为截距式方程为x 117－y 11＝1. 【例3－1】解：如图所示，先求出A 点关于y 轴的对称点A ′(－2,5)，∴|PA |＋|PB |＝|PB |＋|PA ′|.∴当P 为直线A ′B 与y 轴的交点时，|PA ′|＋|PB |的值最小，即|PA |＋|PB |的值最小．直线A ′B 的方程为y ＋75＋7＝x －4－2－4，化简为2x ＋y －1＝0.令x ＝0，得y ＝1.故所求P 点坐标为(0,1)．【例3－2】解：由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴3a ＋2b＝1. 由基本不等式知3a ＋2b ≥26ab ，即ab ≥24(当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时等号成立)．又S ＝12a ·b ≥12×24＝12，此时直线方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0. ∴△ABO 面积的最小值为12，此时直线方程为2x ＋3y －12＝0.演练巩固提升1．D 解析：直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α，又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1.当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4；当－1≤k ＜0时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 2．B 解析：点M 关于x 轴的对称点M ′(2，－3)，则反射光线即在直线NM ′上，由y －0－3－0＝x －12－1，得y ＝－3x ＋3. 3．B 解析：∵k BC ＝3－11－3＝2－2＝－1， ∴BC 边上的高所在直线过A (－1,1)且k ＝－1k BC＝1. ∴所求直线方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.4．2 2 解析：根据题意知，|OP |的最小值为原点O 到直线x ＋y －4＝0的距离．根据点到直线的距离公式，得42＝2 2. 5．解：由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为y －3＝k (x ＋2)．令x ＝0，得y ＝2k ＋3；令y ＝0，得x ＝－3k－2，则12·|2k ＋3|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3k －2＝4， ∴(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝±8. 若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝8，化简得4k 2＋4k ＋9＝0，方程无解；若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝－8，化简得4k 2＋20k ＋9＝0，解得k ＝－92或－12. ∴直线l 的方程为y －3＝－92(x ＋2)或y －3＝－12(x ＋2)，即9x ＋2y ＋12＝0或x ＋2y －4＝0.。

2020与名师对话(文)直线与方程

第一节直线与方程高考概览：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．[知识梳理]1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l 与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.②倾斜角的范围为0°≤α<180°.(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1.x2－x12．直线方程的五种形式3.线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[辨识巧记]1．两个注意点(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率．(2)不是倾斜角越大，斜率k 就越大，因为k ＝tan α，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠π2时就不是了．2．直线方程的应用设直线方程时，只有在斜率存在时才可设成点斜式或斜截式，否则要根据斜率是否存在分两种情况讨论．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(必修2P 100练习T 3改编)直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )A.33B. 3 C ．－ 3 D ．－33[解析] 直线l 的斜率k ＝－sin30°cos150°＝tan30°＝33.故选A. [答案] A3．(必修2P 100A 组T 3改编)已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．4x ＋2y －5＝0B ．4x －2y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y －5＝0[解析] 线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，直线AB 的斜率k AB ＝1－23－1＝－12，所以所求直线的斜率为2，故所求直线方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y －5＝0.故选B.[答案] B4．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32 B.32 C ．3 D ．－3[解析] 过两点(－1,1)和(0,3)的直线方程为y －13－1＝x －(－1)0－(－1)，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，故选A.[答案] A5．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．[解析] 直线y ＝13x 的倾斜角为30°，所求直线的倾斜角为60°，∴k ＝3，又直线过点(2，－3)，∴直线方程为3x －y －23＝0.[答案]3x －y －23＝0考点一直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．(0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π(2)直线l 过点P (－1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为__________．[思路引导] (1)求斜率→根据斜率范围求倾斜角范围(2)求出直线P A 、PB 的斜率→结合图形写出取值范围[解析] (1)直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α，又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1.当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，当－1≤k <0时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.故选D.(2)如图，过A (2,1)，P (－1,0)的直线的斜率为k 1＝1－02－(－1)＝13，过B (0，3)，P (－1,0)的直线的斜率为k 2＝3－00－(－1)＝ 3.由图可知，过P 的直线l 与线段AB 有公共点的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.[答案] (1)D (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3[拓展探究] (1)本例(1)改为：“若直线l 的方程为x sin α－y cos α＋1＝0，其中α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0”，则直线l 的倾斜角为________．(2)本例(2)中的点P (－1,0)改为P (1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析] (1)直线l 的斜率k ＝sin αcos α＝tan α，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 ∴π＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故k ＝tan α＝tan(π＋α)． ∴直线l 的倾斜角为π＋α.(2)直线P A 的斜率为k P A ＝1－02－1＝1，直线PB 的斜率为k PB ＝3－00－1＝－3，故过P 点的直线l 与线段AB 有交点的斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．[答案] (1)π＋α (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)直线的倾斜角与斜率的求解要领(1)在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k ＝tan α的单调性，当α取值在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，即由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 由0增大到＋∞，当α取值在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，即由π2⎝⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k由－∞增大到0.(2)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．[对点训练]1．过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1 B.12 C ．2 D.13[解析] 由4－mm ＋2＝1，得m ＝1.故选A.[答案] A2．(2017·合肥一六八中学检测)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π [解析] 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π，故选B. [答案] B考点二直线的方程【例2】根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5. [思路引导]选择恰当形式的直线方程→利用待定系数法求解[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13. 故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知纵、横截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋10－5k ＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.(1)求直线方程的方法①直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程；②待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．(2)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用．选用点斜式或斜截式时，先分类讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.[对点训练]1．求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程． [解] 设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.2．求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．[解] 当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.考点三直线方程的应用【例3】已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．[思路引导] (1)转化为直线系方程→确定定点与k 无关(2)求直线在x 轴和y 轴的截距→确定k 的不等式组→求出结果(3)用k 表示A ，B 点坐标→S 表示成关于k 的函数→借助函数知识求解[解] (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.以直线为载体的求面积、距离的最值问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用函数的性质及基本不等式求解最值．[对点训练]过点P (2,1)的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使：(1)△AOB 面积最小时l 的方程； (2)|P A |·|PB |最小时l 的方程．[解] 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0、B (0,1－2k )． (1)S △AOB ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k (1－2k )＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋(－4k )＋⎝⎛⎭⎪⎫－1k≥12×(4＋4)＝4.当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时取最小值，此时直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. (2)|P A |·|PB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1·4＋4k 2 ＝4k2＋4k 2＋8≥4，当且仅当4k 2＝4k 2，即k ＝－1时取得最小值，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.课后跟踪训练(五十)基础巩固练一、选择题1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6[解析] 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设直线的倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.故选D.[答案] D2．过点A (0,2)且倾斜角的正弦值是35的直线方程为( ) A ．3x －5y ＋10＝0 B ．3x －4y ＋8＝0 C ．3x ＋4y ＋10＝0D ．3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0[解析] 设所求直线的倾斜角为α，则sin α＝35，∴tan α＝±34，∴所求直线方程为y ＝±34x ＋2，即为3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0.故选D.[答案] D3．(2019·山东烟台一模)已知p ：“直线l 的倾斜角α>π4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 直线l 的倾斜角α>π4，则直线l 的斜率k ＝tan α>1或k <0；又直线l 的斜率k >1，则tan α>1，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴p 是q 的必要不充分条件．故选B.[答案] B4．(2018·广州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32 D.23 [解析]依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎨⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.故选B.[答案] B5．(2018·西安调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )[解析] 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合．故选B. [答案] B 二、填空题6．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为__________________________．[解析] BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. [答案] x ＋13y ＋5＝07．已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．[解析]设直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)的公共点为P (x ，y )．则点P (x ，y )在线段AB 上移动，且A (2,4)，B (3,2)，设直线l 的斜率为k . 又k OA ＝2，k OB ＝23. 如图所示，可知23≤k ≤2.∴直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，28．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________________．[解析] 若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.若直线不过原点，设直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. [答案] 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 三、解答题9．(2019·四川达州月考)已知直线l 过点(1,2)且在x ，y 轴上的截距相等．(1)求直线l 的一般方程；(2)若直线l 在x ，y 轴上的截距不为0，点P (a ，b )在直线l 上，求3a ＋3b 的最小值．[解] (1)①截距为0时，l ：y ＝2x ；②截距不为0时，k ＝－1，l ：y －2＝－(x －1)，∴y ＝－x ＋3.综上，l 的一般方程为2x －y ＝0或x ＋y －3＝0.(2)由题意得l ：x ＋y －3＝0，∴a ＋b ＝3，∴3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b＝63，∴3a＋3b的最小值为63，当且仅当a ＝b ＝32时，等号成立．10．(2019·山东临沂检测)已知直线l ：(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0.(1)求证：不论m 为何实数，直线l 过一定点M ；(2)过定点M 作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线l 1的方程．[解] (1)证明：直线l 的方程整理得(2x ＋y ＋4)＋m (x －2y －3)＝0，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝－4，x －2y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，所以无论m 为何实数，直线l 过定点M (－1，－2)．(2)过定点M (－1，－2)作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，则直线l 1过点(－2,0)，(0，－4)，设直线l 1的方程为y ＝kx ＋b ，把两点坐标代入得⎩⎨⎧－2k ＋b ＝0，b ＝－4，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝－4，则直线l 1的方程为y ＝－2x －4，即2x ＋y ＋4＝0.能力提升练11．(2018·广东惠州质检)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A ．－1<k <15B ．－1<k <12C ．k >15或k <－1 D ．k <－1或k >12[解析] 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3<1－2k <3，解不等式得k <－1或k >12.故选D.[答案] D12．(2019·福建福州模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C. [答案] C13．过点A (2,1)，其倾斜角是直线l 1：3x ＋4y ＋5＝0的倾斜角的一半的直线l 的方程为_____________________________．[解析] 设直线l 和l 1的倾斜角分别为α、β，则α＝β2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，又tan β＝－34，则－34＝2tan α1－tan 2α，解得tan α＝3或tan α＝－13(舍去)．由点斜式得y －1＝3(x －2)，即3x －y －5＝0. [答案] 3x －y －5＝014．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积取最小值时，求直线l的方程．[解]解法一：设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为xa＋yb＝1.因为l过点P(3,2)，所以3a＋2b＝1.因为1＝3a＋2b≥26ab，整理得ab≥24，所以S△ABO＝12ab≥12. 当且仅当3a＝2b，即a＝6，b＝4时取等号．此时直线l的方程是x6＋y4＝1，即2x＋3y－12＝0.解法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k<0，可设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，则A⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B(0,2－3k)，S△ABO＝12(2－3k)⎝⎛⎭⎪⎫3－2k＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12＋(－9k)＋4－k≥12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12＋2 (－9k)·4－k＝12×(12＋12)＝12，当且仅当－9k＝4－k，即k＝－23时，等号成立．所以所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.拓展延伸练15．直线y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0[解析] 因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n <0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.故选B.[答案] B16．(2018·黑龙江哈尔滨模拟)经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为______________________．[解析] 设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.所以2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求． [答案] 2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0。

2020与名师对话(理)直线与方程

第一节直线与方程高考概览：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．[知识梳理]1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l 与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.②倾斜角的范围为0°≤α<180°.(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1.x2－x12．直线方程的五种形式3.线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[辨识巧记]1．两个注意点(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率．(2)不是倾斜角越大，斜率k 就越大，因为k ＝tan α，当α∈0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈π2，π时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠π2时就不是了．2．直线方程的应用设直线方程时，只有在斜率存在时才可设成点斜式或斜截式，否则要根据斜率是否存在分两种情况讨论．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(必修2P 100练习T 3改编)直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )A ．33B ． 3C ．－ 3D ．－33[解析] 直线l 的斜率k ＝－sin30°cos150°＝tan30°＝33.故选A ． [答案] A3．(必修2P 100A 组T 3改编)已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．4x ＋2y －5＝0B ．4x －2y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y －5＝0[解析] 线段AB 的中点坐标为(2，32)，直线AB 的斜率k AB ＝1－23－1＝－12，所以所求直线的斜率为2，故所求直线方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y －5＝0.故选B ．[答案] B4．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32 B ．32 C ．3D ．－3[解析] 过两点(－1,1)和(0,3)的直线方程为y －13－1＝x －(－1)0－(－1)，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，故选A ．[答案] A5．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．[解析] 直线y ＝13x 的倾斜角为30°，所求直线的倾斜角为60°，∴k ＝3，又直线过点(2，－3)，∴直线方程为3x －y －23＝0.[答案]3x －y －23＝0考点一直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B ．(0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π (2)直线l 过点P (－1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为__________．[思路引导] (1)求斜率→根据斜率范围求倾斜角范围(2)求出直线P A 、PB 的斜率→结合图形写出取值范围[解析] (1)直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α，又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1. 当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是0，π4，当－1≤k <0时，倾斜角的范围是3π4，π.故选D ．(2)如图，过A (2,1)，P (－1,0)的直线的斜率为k 1＝1－02－(－1)＝13，过B (0，3)，P (－1,0)的直线的斜率为k 2＝3－00－(－1)＝ 3.由图可知，过P 的直线l 与线段AB 有公共点的斜率的取值范围是13， 3.[答案] (1)D (2)13， 3[拓展探究] (1)本例(1)改为：“若直线l 的方程为x sin α－y cos α＋1＝0，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0”，则直线l 的倾斜角为________． (2)本例(2)中的点P (－1,0)改为P (1,0)，其他条件不变，则直线l斜率的取值范围为________．[解析] (1)直线l 的斜率k ＝sin αcos α＝tan α，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 ∴π＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故k ＝tan α＝tan(π＋α)． ∴直线l 的倾斜角为π＋α.(2)直线P A 的斜率为k P A ＝1－02－1＝1，直线PB 的斜率为k PB ＝3－00－1＝－3，故过P 点的直线l 与线段AB 有交点的斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．[答案] (1)π＋α (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)直线的倾斜角与斜率的求解要领(1)在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k ＝tan α的单调性，当α取值在0，π2，即由0增大到π2α≠π2时，k 由0增大到＋∞，当α取值在π2，π时，即由π2α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由－∞增大到0.(2)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．[对点训练]1．过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．12C ．2D ．13[解析] 由4－mm ＋2＝1，得m ＝1.故选A ．[答案] A2．(2017·合肥一六八中学检测)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．0，π4B ．3π4，πC ．0，π4∪π2，πD ．π4，π2∪3π4，π[解析] 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是3π4，π，故选B ． [答案] B考点二直线的方程【例2】根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5. [思路引导]选择恰当形式的直线方程→利用待定系数法求解[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13. 故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知纵、横截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋10－5k ＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.(1)求直线方程的方法①直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程；②待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．(2)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用．选用点斜式或斜截式时，先分类讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.[对点训练]1．求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程． [解] 设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.2．求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．[解] 当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.考点三直线方程的应用【例3】已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．[思路引导] (1)转化为直线系方程→确定定点与k 无关(2)求直线在x 轴和y 轴的截距→确定k 的不等式组→求出结果(3)用k 表示A ，B 点坐标→S 表示成关于k 的函数→借助函数知识求解[解] (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A （－1＋2kk ），0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12（4k ＋1k ＋4）≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.以直线为载体的求面积、距离的最值问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用函数的性质及基本不等式求解最值．[对点训练]过点P (2,1)的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使：(1)△AOB 面积最小时l 的方程； (2)|P A |·|PB |最小时l 的方程．[解] 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0、B (0,1－2k )． (1)S △AOB ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2－1k (1－2k )＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋(－4k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12×(4＋4)＝4.当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时取最小值，此时直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. (2)|P A |·|PB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1·4＋4k 2 ＝4k2＋4k 2＋8≥4，当且仅当4k 2＝4k 2，即k ＝－1时取得最小值，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.课后跟踪训练(五十四)基础巩固练一、选择题1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3D ．5π6[解析] 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设直线的倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.故选D ．[答案] D2．过点A (0,2)且倾斜角的正弦值是35的直线方程为( ) A ．3x －5y ＋10＝0 B ．3x －4y ＋8＝0 C ．3x ＋4y ＋10＝0D ．3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0[解析] 设所求直线的倾斜角为α，则sin α＝35，∴tan α＝±34，∴所求直线方程为y ＝±34x ＋2，即为3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0.故选D ．[答案] D3．(2019·山东烟台一模)已知p ：“直线l 的倾斜角α>π4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 直线l 的倾斜角α>π4，则直线l 的斜率k ＝tan α>1或k <0；又直线l 的斜率k >1，则tan α>1，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴p 是q 的必要不充分条件．故选B ．[答案] B4．(2018·广州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．13B ．－13C ．－32D ．23[解析]依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎨⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.故选B ．[答案] B5．(2018·西安调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )[解析] 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合．故选B ． [答案] B 二、填空题6．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为_______________________________．[解析] BC 的中点坐标为32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. [答案] x ＋13y ＋5＝07．已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．[解析]设直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)的公共点为P (x ，y )．则点P (x ，y )在线段AB 上移动，且A (2,4)，B (3,2)，设直线l 的斜率为k .又k OA ＝2，k OB ＝23. 如图所示，可知23≤k ≤2. ∴直线l 的斜率的取值范围是23，2. [答案] 23，28．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________________．[解析] 若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.若直线不过原点，设直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. [答案] 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 三、解答题9．(2019·四川达州月考)已知直线l 过点(1,2)且在x ，y 轴上的截距相等．(1)求直线l 的一般方程；(2)若直线l 在x ，y 轴上的截距不为0，点P (a ，b )在直线l 上，求3a ＋3b 的最小值．[解] (1)①截距为0时，l ：y ＝2x ；②截距不为0时，k ＝－1，l ：y －2＝－(x －1)，∴y ＝－x ＋3.综上，l 的一般方程为2x －y ＝0或x ＋y －3＝0.(2)由题意得l ：x ＋y －3＝0，∴a ＋b ＝3，∴3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b＝63，∴3a＋3b的最小值为63，当且仅当a ＝b ＝32时，等号成立．10．(2019·山东临沂检测)已知直线l ：(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0.(1)求证：不论m 为何实数，直线l 过一定点M ；(2)过定点M 作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线l 1的方程．[解] (1)证明：直线l 的方程整理得(2x ＋y ＋4)＋m (x －2y －3)＝0，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝－4，x －2y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，所以无论m 为何实数，直线l 过定点M (－1，－2)．(2)过定点M (－1，－2)作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，则直线l 1过点(－2,0)，(0，－4)，设直线l 1的方程为y ＝kx ＋b ，把两点坐标代入得⎩⎨⎧－2k ＋b ＝0，b ＝－4，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝－4，则直线l 1的方程为y ＝－2x －4，即2x ＋y ＋4＝0.能力提升练11．(2018·广东惠州质检)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A ．－1<k <15B ．－1<k <12 C ．k >15或k <－1D ．k <－1或k >12[解析] 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3<1－2k <3，解不等式得k <－1或k >12.故选D ．[答案] D12．(2019·福建福州模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2 b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C ． [答案] C13．过点A (2,1)，其倾斜角是直线l 1：3x ＋4y ＋5＝0的倾斜角的一半的直线l 的方程为_____________________________________．[解析] 设直线l 和l 1的倾斜角分别为α、β，则α＝β2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，又tan β＝－34，则－34＝2tan α1－tan 2α，解得tan α＝3或tan α＝－13(舍去)．由点斜式得y －1＝3(x －2)，即3x －y －5＝0. [答案] 3x －y －5＝014．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．[解] 解法一：设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)，则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1.因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b ＝1. 因为1＝3a ＋2b ≥26ab ，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时取等号．此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0. 解法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0，可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则A 3－2k ，0，B (0,2－3k )， S △ABO ＝12(2－3k )3－2k ＝1212＋(－9k )＋4－k≥1212＋2(－9k )·4－k＝12×(12＋12) ＝12，当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.拓展延伸练15．直线y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0[解析] 因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n <0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.故选B ．[答案] B16．(2018·黑龙江哈尔滨模拟)经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为______________________．[解析] 设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.所以2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求． [答案] 2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0。

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