同角三角函数关系
同角三角函数的两个基本关系式
同角三角函数的两个基本关系式
同角三角函数是指在一个角度上的正弦、余弦和正切的比值关系。
这三个函数在数学中有很重要的应用，特别是在三角学和几何学中。
第一个基本关系式是正弦函数的定义：在一个角度上，正弦函数的值等于对边与斜边的比值。
用数学符号表示，正弦函数可以表示为sin(θ) = opposite/hypotenuse，其中θ代表角度，opposite代表对边的长度，hypotenuse代表斜边的长度。
第二个基本关系式是余弦函数的定义：在一个角度上，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值。
用数学符号表示，余弦函数可以表示为cos(θ) = adjacent/hypotenuse，其中θ代表角度，adjacent代表邻边的长度，hypotenuse代表斜边的长度。
这两个基本关系式可以帮助我们计算任意给定角度上的正弦和余弦值。
它们是通过比较三角形的不同边的长度与斜边的长度来定义的。
这些定义为我们提供了一种准确计算角度上三角函数值的方法，在解决各种问题时非常有用。
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点[归纳·知识整合]1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.[探究] 1.如何理解基本关系中“同角”的含义？提示：只要是同一个角，基本关系就成立，不拘泥于角的形式，如sin 2α3＋cos 2α3＝1，tan4α＝sin 4αcos 4α等都是成立的，而sin 2θ＋cos 2φ＝1就不成立．2．诱导公式即α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．[探究] 2.有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z )，你认为正确吗？提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 3．诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？ 提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限角． [自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)已知cos(π＋α)＝12，则sin α的值为( )A ．±12B.12C.32D ．±32解析：选D cos(π＋α)＝－cos α＝12，∴cos α＝－12，∴sin α＝±1－cos α2＝±32.2．tan 690°的值为( ) A ．－33B.33C. 3 D ．－ 3解析：选A tan 690°＝tan(－30°＋2×360°) ＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. 3．(教材习题改编)若tan α＝2，则sin α－cos αsin α＋cos α的值为( )A ．－13B ．－53C.13D.53解析：选Csin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝2－12＋1＝13.4．(教材习题改编)已知tan α＝3，π＜α＜32π，则cos α－sin α＝________.解析：∵tan α＝3，π＜α＜32π，∴α＝43π，∴cos α－sin α＝cos 43π－sin 43π＝－cos π3＋sin π3＝－12＋32＝3－12.答案：3－125．计算sin 10π3－2cos ⎝⎛⎭⎫－19π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－13π3＝________. 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋4π3－2cos ⎝⎛⎭⎫4π＋3π4－tan ⎝⎛⎭⎫4π＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3－2cos ⎝⎛⎭⎫π－π4－tan π3 ＝－sin π3＋2cos π4－3＝－332＋1.答案：－332＋1[例1] 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值； (2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．[自主解答] (1)法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得 25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形内角，∴⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝⎛⎭⎫152，即1＋2sin αcos α＝125， ∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0. ∴sin α－cos α＝75.由⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α. ∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫－432＋11－⎝⎛⎭⎫－432＝－257.保持本例条件不变，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α的值． 解：由例题可知 tan α＝－43.(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝⎛⎭⎫－43＋2＝87. (2)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝169－831＋169＝－825.———————————————————同角三角函数关系式及变形公式的应用(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.1．已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 解：∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β.②由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③ 由①＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝38，∴cos α＝±64.[例2] (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． [自主解答] (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33， 即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33.(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝co s(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.——————————————————— 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.2．(1)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝( )A.916 B ．－916C ．－34D.34(2)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α⎝⎛⎭⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝________. 解析：(1)选B ∵方程5x 2－7x －6＝0的根为x 1＝2，x 2＝－35，由题知sin α＝－35，∴cos α＝－45，tan α＝34.∴原式＝cos α(－sin α)tan 2αsin αcos α＝－tan 2α＝－916.(2)∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 答案： 3[例3] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．[自主解答] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝2sin B ①3cos A ＝2cos B ②①2＋②2得2cos 2A ＝1 即cos A ＝22或cos A ＝－22. (1)∵当cos A ＝22时，cos B ＝32， 又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝7π12.(2)∵当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.———————————————————1．三角形中的诱导公式在三角形ABC 中常用到以下结论： sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ， sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝cos C 2， cos ⎝⎛⎭⎫A 2＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C 2. 2．求角的一般步骤求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．3．在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角． 解：∵sin A ＋cos A ＝2， ∴1＋2sin A cos A ＝2，∴sin2A ＝1. ∵A 为△ABC 的内角， ∴2A ＝π2，∴A ＝π4.∵3cos A ＝－2cos(π－B )， ∴3cos π4＝2cos B ，∴cos B ＝32. ∵0＜B ＜π，∴B ＝π6.∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝7π12.∴A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.1个口诀——诱导公式的记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限． 1个原则——诱导公式的应用原则 负化正、大化小、化到锐角为终了．3种方法——三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….3个防范——应用同角三角函数关系式与诱导公式应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.易误警示——应用同角三角函数平方关系的误区[典例] (2011·重庆高考)若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝________. [解析] 依题意得sin α＝－1－cos 2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝43.[答案] 43[易误辨析]1．解答本题时，常会出现以下两种失误(1)忽视题目中已知条件α的范围，求得sin α的两个值而致误； (2)只注意到α的范围，但判断错sin α的符号而导致tan α的值错误． 2．由同角三角函数的平方关系求sin α或cos α时，要注意以下两点(1)题目中若没有限定角α的范围，则sin α或cos α的符号应有两种情况，不可漏掉． (2)若已给出α的范围，则要准确判断在给定范围内sin α或cos α的符号，不合题意的一定要舍去．[变式训练]1．(2013·福州模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，因此cos α＝－55. 答案：－552．(2013·泰州模拟)若θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是________． 解析：(cos θ－sin θ)2＝1－sin 2θ＝1516.∵π4＜θ＜π2，∴cos θ＜sin θ.∴cos θ－sin θ＝－154. 答案：－154一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．α是第一象限角，tan α＝34，则sin α＝( )A.45 B.35 C ．－45D ．－35解析：选B tan α＝sin αcos α＝34，sin 2 α＋cos 2α＝1，且α是第一象限角，所以sin α＝35.2．若sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝( ) A ．－35B.35C.45D ．－45解析：选B cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35. 3．(2013·安徽名校模拟)已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( ) A ．0 B.95 C.43D.53解析：选B sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.4．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ⎝⎛⎭⎫－313π的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.13解析：选C ∵f (α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12.5．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12 D ．－12解析：选B 由2tan α·sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π2＜α＜0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32. 6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析：选B 由题意知：sin θ＋cos θ＝－m2，sin θcos θ＝m4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．化简sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 答案：08．若cos(2π－α)＝53，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则sin(π－α)＝________.解析：由诱导公式可知cos(2π－α)＝cos α，sin(π－α)＝sin α，由sin 2α＋cos 2α＝1可得，sin α＝±23，∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α＝－23. 答案：－239．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π.则sin α－cos α＝________.解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23，① 将①两边平方得1＋2sin α·cos α＝29，故2sin αcos α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又∵π2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.∴sin α－cos α＝43.答案：43三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13.∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 11．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ ＝(sin θ＋cos θ)2，得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θ·cos θ＝34知⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12，或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π6或θ＝π3.12．是否存在α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值，若不存在，请说明理由．解：假设存在α、β使得等式成立，即有⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β， ①3cos (－α)＝－2cos (π＋β)， ②由诱导公式可得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ③3cos α＝2cos β， ④ ③2＋④2得sin 2α＋3cos 2α＝2，解得cos 2α＝12.又∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝π4或α＝－π4. 将α＝π4代入④得cos β＝32.又β∈(0，π)，∴β＝π6，代入③可知符合．将α＝－π4代入④得cos β＝32.又β∈(0，π)．∴β＝π6，代入③可知不符合．综上可知，存在α＝π4，β＝π6满足条件．1．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2kC.k1－k 2D ．－k1－k 2解析：选B ∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ， sin 80°＝1－k 2，∴tan 80°＝1－k 2k，tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k. 2．sin 585°的值为( ) A ．－22B.22C ．－32D.32解析：选A 注意到585°＝360°＋180°＋45°，因此sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 3．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：选B ∵cos α＋2sin α＝－5，结合sin 2α＋cos 2α＝1得(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2.4．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050)°＋tan 945°. 解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°· (－sin 1 050°)＋tan 945°＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 5．若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．解：∵由题意知：sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125.∴sin 2θ＝－2425，即2sin θcos θ＝－2425＜0，则sin θ与cos θ异号．又sin θ＋cos θ＝15＞0，∴π2＜θ＜3π4，∴π＜2θ＜3π2.故cos 2θ＝－1－sin22θ＝－725.。
同角三角函数的基本关系推导
同角三角函数的基本关系推导
同角三角函数是指在同一角度下的三角函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。
它们之间存在一些基本的关系，在数学中具有重要的应用。
以正弦函数和余弦函数为例，它们之间的基本关系是：
sinθ + cosθ = 1
这个关系可以通过勾股定理和单位圆的概念得到。
我们可以将一个角度θ对应的单位圆上的点记作(P, Q)，其中P表示点在x轴上的坐标，Q表示点在y轴上的坐标。
此时，正弦函数和余弦函数可以分别表示为：
sinθ = Q
cosθ = P
根据勾股定理可以得到：
P + Q = 1
将正弦函数和余弦函数代入上式，得到：
sinθ + cosθ = Q + P = 1
这就是同角三角函数之间的基本关系。
同样的方法也可以推导出其他的基本关系。
在实际应用中，同角三角函数的基本关系可以用于求解各种三角函数的值，简化计算过程，提高计算精度。
同时，它们也是学习高等数学、物理等学科的基础。
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第25讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式6种题型总结
第25讲同角三角函数基本关系式及诱导公式6种题型总结【考点分析】考点一：同角三角函数基本关系①平方关系：1cos sin 22=+αα．②商数关系：)2(tan cos sin ππααααk +≠=；考点二：三角函数诱导公式公式一二三四五六角)(2Z k k ∈+απαπ+α-απ-απ-2απ+2正弦αsin αsin -αsin -αsin αcos αcos 余弦αcos αcos -αcos αcos -αsin αsin -正切αtan αtan αtan -αtan -口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限注意：①先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；②无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；③当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．【典例例题】题型一：同角三角函数公式求值【例1】已知角α为第二象限角，tan 3α=-，则cos α=（）A ．10B ．10C ．10-D ．10【例2】已知12cos 13α=-，α是第三象限角，求sin α，tan α的值.【题型专练】1.已知13sin ,,322ππαα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan α=___________．2.下列四个命题中可能成立的一个是（）A ．1sin 3α=且2cos 3α=B ．sin 0α=且cos 1α=-C ．tan 1α=且cos 1α=-D ．sin tan cos ααα-=（α为第二象限角）3.已知tan 2α=，32παπ<<，则cos sin αα-=（）A B ．C ．5D ．题型二：弦的齐次式问题【例1】已知角α的终边过点()13-，，求：①tan α；②sin cos sin 2cos αααα+-；③sin cos αα⋅【例2】已知tan 3α=，则ααααα222cos sin 21sin 2cos sin 2---___________．【例3】已知θ是第四象限角，()1,M m 为其终边上一点，且sin 5m θ=，则2sin cos sin cos θθθθ-+的值（）A ．0B ．45C ．43D ．5【题型专练】1.已知tan 2α=，则sin 2cos 3cos 2sin αααα+-的值为（）A ．4B ．4-C ．54D ．54-2.已知π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且332cos sin sin cos 5x x x x +=-，则tan x =（）．A ．2-B ．12-C ．52-D ．3-3.若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则sin cos θθ的值是（）A ．310-B ．310C ．310±D ．344.若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则()=++θθθθθcos sin cos sin 21sin （）A ．65-B ．25-C ．65D ．25题型三：知一求二问题【例1】已知(0,π)α∈，且1sin cos 5αα+=，给出下列结论：①ππ2α<<；②12sin cos 25αα=-；③3cos 5α=；④7cos sin 5αα-=-.其中所有正确结论的序号是（）A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①③④【例2】已知0x π-<<，1sin cos 5x x +=，求下列各式的值.（1）sin cos x x -；（2）223sin 2sin cos cos x x x x -+.【例3】已知sin cos x x +=44sin cos x x +=（）A ．98B ．78C ．54D ．34）A．2或12B．2C．12D．12-【题型专练】1.已知13sin cos,644ππααα=-<<，则sin-cosαα的值等于（）A．3B．3-C．3-D．432.已知1sin cos2θθ-=，则33sin cosθθ-=______．3.已知π(,π)2α∈，且1sin cos5αα+=，则sin cosαα=－____.4.（多选）已知(0,)θπ∈，1sin cos5θθ+=，则下列结论正确的是（）A．,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B．3cos5θ=-C．3tan4θ=-D．7sin cos5θθ-=5.已知1sin cos5θθ+=-，(0,)θπ∈，则sin cosθθ-=（）A．15B．15-C．75D．75-题型四：诱导公式化简求值【例1】sin(9330︒)的值为（）A．2B．12-C．12D．2【例2】已知7πtan6a⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23πcos3b=，33πsin4c⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是（）A．b c a>>B．a b c>>C．b a c>>D．a c b>>【例3】(1)计算：3sin(90)5tan1805cos0sin540-+︒+︒+︒；(2)化简：()3sin2cos()cos(2)sin()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαααπαππαπααπα-+------+.【例4】设()()()sinπcosπxf x a b xαβ++=+，其中,,,a bαβ∈R，若()20215f=，则()2022f=（）A．4B．3C．－5D．5【例5】已知sin(3π＋θ)＝13，则[]cos()cos cos()1πθθπθ+--＋cos(2)33sin cos()sin22θπππθθπθ-⎛⎫⎛⎫---+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝____.【题型专练】1．35πsin6=（）2.cos 2040︒=（）A ．12B ．12-C ．2D ．3.化简：sin(5)cos()cos(8)23sin()sin(4)2πθπθπθπθθπ-------=（）A ．-sin θB ．sin θC ．cos θD ．-cos θ4.（1）化简：3sin(3)cos(2)sin 2cos()sin()παπαπαπαπα⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭-⋅--（2）求值：()()sin 150cos 210cos 420tan 60-︒⋅︒⋅-︒⋅︒5.已知()()()()()()sin cos 2tan tan sin f πβπββπββππβ--+=----.(1)若角β是第三象限角，且()1sin 5βπ-=，求()f β的值；(2)若2220β=︒，求()f β的值.题型五：诱导公式与三角函数定义、同角关系的综合运用【例1】已知3sin 5α=，且α是第二象限角，则cos()sin()παπα-++的值等于_______【例2】已知()1tan π2α-=2sin cos αα=-（）A ．14-B ．14C ．12D ．12-【例3】已知角94α+的终边经过点(2,4)-，则23sin sin()cos απαα-+=（）A ．4-B ．2-C ．3D ．9【例4】已知()()()()()3sin cos tan cos 222sin 2tan sin f πππααπαααπααππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=---+.(1)化简()f α；(2)若31cos 25πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求()f α的值.【题型专练】1.已知tan()2πα+=-，则2sin 3cos 2sin 5cos αααα+=-___________.2.已知4sin()5απ+=，且sin cos 0αα<，则2sin()3tan(3)4cos(3)a αππαπ-+-=-________．3.已知22sin(3)cos(5)()3cos ()sin ()22f παπααππαα-+=-++.（1）若tan 2α=，求()f α的值；（2）若12()25f α=，(0,)απ∈，求sin cos αα-的值.4.已知(),0θπ∈-，且sin θ，cos θ为方程250x x m -+=的两根．（1）求m 的值；（2）求()()()23sin cos 2sin 25sin 3sin sin cos 222πθπθπθππππθθθθ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．5.已知3cos 4cos()02παπα⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，求下列各式的值.（1）sin 2cos 5cos sin αααα+-；（2）24sin 3sin cos ααα-.题型六：换元法、角的拼凑【例1】若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【例2】已知5s n 3i πα⎛⎫ ⎪⎝=-⎭+，则3cos 10πα⎛⎫ ⎝-⎪⎭=()A．3B．3-C．3D．3【例3】若1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【题型专练】1.当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若51cos 62πθ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．12BC．D ．12-2.若sin()63πα-=，则πcos()3α+=（）A．B．CD3.（多选）已知π1sin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）A．πcos 42α⎛⎫+=⎪⎝⎭B ．π1cos 42α⎛⎫-=⎪⎝⎭C ．5π1sin 42α⎛⎫+=⎪⎝⎭D ．5π1cos 42α⎛⎫-=-⎪⎝⎭。
届高三数学同角三角函数的基本关系
4 A.5 C．±45
B．－45 3
D.5
三基能力强化
解析：选 A.由 sin(π＋α)＝35，得 sinα
＝－35. 又 α 为第四象限角，
所以 cos(α－2π)＝cos(2π－α)＝cosα
＝ 1－sin2α＝
1－(－35)2＝45.
三基能力强化
4.如果 cosα＝15，且 α 是第四象限的
(2)为达到利用条件tanα＝2的目 的，将分母1变为sin2α＋cos2α，创造 分母以达到利用(1)的解法一的方法求 值．
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【 解 】 (1) 法 一 ： ∵tanα ＝ 2 ， ∴cosα≠0，
∴45ssiinnαα－＋23ccoossαα＝54cssoiinsnααα－＋32cccooosssααα cosα cosα
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sin2α＋3cos2α＝2，
∴cos2α＝12.
又∵α∈(－π2，π2)，∴α＝π4或 α＝－
π 4.
5分
将α＝π 4来自代入④
得
cosβ ＝
3 2
.
又
β∈(0，π)，
∴β＝π6，代入③可知符合. 8 分
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将 α＝－π4代入④得 cosβ＝ 23.又 β∈(0，π)， 11 分
角，那么 cos(α＋π2)＝________. 解析：α 是第四象限的角且
cosα＝15，
∴sinα ＝ － 1－cos2α ＝ －
2 5
6，
于是
cos(α＋
π2)＝－
sinα＝25
6 .
答案：25 6
三基能力强化
5．tan300°＋sin450°＝________.
同角三角函数的两个基本关系
同角三角函数的两个基本关系
同角三角函数的基本关系如下：
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1。
(2)商数关系：sin2α/cos2α＝tanα。
同角三角函数关系式的常用变形：
(sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα。
诱导公式的记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号。
应用诱导公式时应注意的问题：
(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定。
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号。
(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化。
高三第一轮复习--同角三角函数的关系式及诱导公式
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开咯万丈光芒.东舌闭目凝神感受着万物,壹切都变得那么の清新整齐,没什么半分の紊乱否均.正自思绪纷飞之时,身后响起咯壹阵轻快の脚步声,东舌本能の回过头去长望.走来の否是别人,正是吐茂公.东舌淡然壹笑,转而问道:"吐军师,有什么事情吗？"吐茂公轻摇手中羽扇,掀起无数尘 埃飘散开来,在阳光の耀射之下格外の显眼,沉静如水地说道:"殿下,在下已经召集咯全部人在正堂集中,还望殿下无事の话速速前去."听咯吐茂公の话,东舌心中突然有种否好の预感,旋即问道:"军师,莫否是出咯什么事情？"吐茂公警觉地环扫四周,点咯点头,匆匆转身离去.从吐茂公の表 现,东舌便猜测出咯事情の重要性.也否多问什么,随着吐茂公壹起朝正堂走去..半响过后,钱塘王府正堂.东舌端坐在王座之上,台下文武按顺序摆开,已经颇有壹番******の样子.右侧武将之中走出壹人,只见身高七尺有余.身挂金甲,背披紫袍,长得却是有些异于常人.此人便是日行千里,神 驹子马灵,马灵早在半个月前就被东舌派出到各地搜罗情报,如今归来定是情况有变.马灵上前壹步,拱手说道:"殿下,末将在隋朝廷打听到咯壹个消息."东舌否假思索の问道:"什么消息,尽管说来便是.""北方罗艺军团全线崩溃.被其部下完颜阿骨打所杀,如今完颜阿骨打拥兵五万坐守幽州, 罗艺之子罗成报仇心切,领着七万兵力投降北方の神秘人,否过北方突降数百年否遇の大雪,怕是壹年半载否能作战."马灵将北方情况壹壹道来.东舌思酌着情报,用手抚着下颚の须绒,点咯点头说道:"那汤广有没什么什么动静？"马灵顿咯顿语气.旋即说道:"汤广派高颎带兵十五万出兵北方, 平定幽州之乱.并派出十万大军企图企图."马灵说到另外壹支大军之时,突然语气变得迟钝起来,好像有点难以启齿壹般.东舌眼
同角三角函数基本关系式及诱导公式
√
21 A.25
25 B.21
4 C.5
5 D.4
解析 sin α· (sin α－cos α)＝sin2α－sin α· cos α
sin2α－sin α· cos α tan2α－tan α ＝ ＝ ， 2 2 2 sin α＋cos α tan α＋1 3 将 tan α＝－4代入， 3 3 2 － － － 4 4 21 得原式＝ 3 ＝25. 2 － ＋1 4
√
12 C.－ 5
12 D. 5
12 解析 因为 α 是第四象限角，sin α＝－13， 5 2 所以 cos α＝ 1－sin α＝13，
sin α 12 故 tan α＝cos α＝－ 5 .
解析 答案
3 2.(2017· 安徽江南十校联考)已知 tan α＝－4，则 sin α· (sin α－cos α)等于
1
2
3
4
5
6
7
解析
答案
题组三 易错自纠 3 3π 5.设 tan α＝ 3 ，π<α< 2 ，则 sin α－cos α 的值为
√
1 3 A.－2＋ 2
1 3 B.－2－ 2
1 3 C.2＋ 2
1 3 D.2－ 2
解析
3 3π ∵tan α＝ 3 ，π<α< 2 ，
1 3 ∴sin α＝－2，cos α＝－ 2 ， 1 3 1 3 ∴sin α－cos α＝－2－－ ＝ 2 －2. 2
解析 tan α＋1 2＋1 原式＝ ＝ ＝3. tan α－1 2－1
3
.
π α － cos 2 4.[P28T7]化简 5 sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 · π ＋ α sin 2
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
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考点一
诱导公式的应用
应用诱导公式进行化简或证明时， 首先根据题意选准公式再用，一般是负 变正、大变小的思想．
在使用诱导公式时，α可为任意角， 并不一定要为锐角，只不过是在运用的 过程中把它“看作”是锐角而已．“奇 变偶不变，符号看象限”同样适用于正 切和余切．如tan(270°－α)＝cotα等．
cos2x－1 sin2x＝
cos2x＋sin2x cos2x－sin2x
，想法
使分
子分
母都出现 tanx 即可．
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【解】 (1)法一：联立方程：
sinx＋cosx＝15， sin2x＋cos2x＝1.
① 2分
②
①式两边平方得：sin2x＋cos2x＋2sinxcosx
＝215，
∴2sinxcosx＝－2245.4 分 ∵－π2<x<0，∴sinx<0，cosx>0. ∴sinx－cosx＝－ sin2x－2sinxcosx＋cos2x
三基能力强化
5．已知scions2θθ＋＋14＝2，那么(cosθ ＋ 3)(sinθ＋1)的值为________．
解析：∵scions2θθ＋＋14＝2，∴sin2θ＋4＝ 2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得 cosθ＝ 1 或 cosθ＝－3(舍去)，由 cosθ＝1 得 sinθ ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
规律方法总结
公式中 k·π2＋α 的整数 k 来讲的．“象
限”指在 k·π2＋α 中，将 α 看作锐角时 k·π2＋
α
所在的象限，如将
cos(32π＋α)写成
π cos(3·2
高考数学一轮复习考点知识专题讲解27---同角三角函数基本关系式及诱导公式
高考数学一轮复习考点知识专题讲解 同角三角函数基本关系式及诱导公式考点要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式公式一 二三四五 六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α 正弦sin α－sin α－sin αsin α cos α cos α余弦cos α－cos α cos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.(×) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．(×) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(×) (4)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝13，则cos α＝－13.(√)教材改编题1．已知α是第二象限角，sin α＝55，则cos α的值为． 答案－255解析∵sin α＝55，α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－255.2．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为．答案－2316解析由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，可得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.3．化简cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．答案－sin 2α解析原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题型一 同角三角函数基本关系 例1(1)已知cos α＝－513，则13sin α＋5tan α＝. 答案0解析∵cos α＝－513<0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角， 则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213， ∴tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125.此时13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝0. ②若α是第三象限角， 则sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125，此时，13sin α＋5tan α＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋5×125＝0.综上，13sin α＋5tan α＝0.(2)已知tan α＝12，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝；sin 2α＋sin αcos α＋2＝.答案－53135解析已知tan α＝12，所以sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.(3)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝. 答案－125解析由sin θ＋cos θ＝713，得sin θcos θ＝－60169， 因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝1－2sin θcos θ＝1713，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin θ－cos θ＝1713，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513，所以tan θ＝－125. 教师备选1．(2022·平顶山联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin2α等于()A.35 B ．－35C ．－3D ．3答案A解析由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35. 2．若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝23，则sin α－cos α的值为() A.23 B ．－23 C.43 D ．－43 答案C解析由诱导公式得sin(π－α)＋cos α＝sin α＋cos α＝23， 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝29，则2sin αcos α＝－79<0，因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以cos α<0，所以sin α－cos α>0， 因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝169，所以sin α－cos α＝43.思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.跟踪训练1(1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则sin θ(1＋sin2θ)sin θ＋cos θ等于()A ．－65B ．－25 C.25 D.65答案C解析方法一因为tan θ＝－2， 所以角θ的终边在第二或第四象限， 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝25，cos θ＝－15或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－25，cos θ＝15，所以sin θ(1＋sin2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θ ＝45－25＝25. 方法二(弦化切法)因为tan θ＝－2， 所以sin θ(1＋sin2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25.(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为．答案－105解析由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1， 所以cos 2α＝910，易知cos α<0， 所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 题型二 诱导公式例2(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为()A.223 B ．－223 C.13 D ．－13答案D解析cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 延伸探究本例(1)改为已知θ是第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝. 答案34解析∵θ是第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45， ∴θ＋π4为第二象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－35，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3545＝34.(2)tan(π－α)cos(2π－α)sin⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos(－α－π)sin(－π－α)的值为()A．－2B．－1C．1D．2 答案B解析原式＝－tanα·cosα·(－cosα)cos(π＋α)·[－sin(π＋α)]＝tanα·cos2α－cosα·sinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.教师备选1．已知函数f(x)＝a x－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则cos⎝⎛⎭⎪⎫11π2－αsin⎝⎛⎭⎪⎫9π2＋α＋sin2αcos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(－π－α)等于()A.23B．－23C.32D．－32答案B解析易知函数f(x)＝a x－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P(2,3)，故tanα＝3 2，则cos⎝⎛⎭⎪⎫11π2－αsin⎝⎛⎭⎪⎫9π2＋α＋sin2αcos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(－π－α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin α ＝－sin αcos α＋2sin αcos α－sin αsin α＝－cos αsin α＝－1tan α＝－23. 2．若sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，则cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2等于() A.310 B ．－310 C.34 D ．－34答案A解析易知sin x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－3cos x ， 所以tan x ＝－3，所以cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝－sin x cos x ＝－sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝－tan x tan 2x ＋1＝310. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数―――――→利用诱导公式三或一任意正角的三角函数――――――→利用诱导公式一0～2π内的角的三角函数――――――→利用诱导公式二或四或五或六锐角三角函数．跟踪训练2(1)已知cos(75°＋α)＝13，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝. 答案0解析因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13， sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝13. 所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－13＋13＝0. (2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－112π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝. 答案3解析由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－112π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝sin (π＋α)＋cos (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3. 题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值； (3)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2＝15，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，求f (α)的值． 解(1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)＝－sin α×cos α×(－cos α)－cos α×sin α＝－cos α.(2)若α＝－31π3， 则f (α)＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos π3＝－12. (3)由cos ⎝⎛⎭⎪⎫－α－π2＝15， 可得sin α＝－15， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2， 所以cos α＝－265， 所以f (α)＝－cos α＝265. 教师备选设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)． (1)化简f (α)；(2)若α＝－23π6，求f (α)的值． 解(1)f (α)＝(－2sin α)·(－cos α)－(－cos α)1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝cos αsin α＝1tan α. (2)当α＝－23π6时，f (α)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝1tan π6＝133＝ 3. 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练3(1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是()A.355B.377C.31010D.13答案C解析由已知得⎩⎨⎧ 3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1， 化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角)． (2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15，则sin2x ＋2sin 2x 1－tan x＝. 答案－24175解析由已知，得sin x ＋cos x ＝15， 两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125， 整理得2sin x cos x ＝－2425. ∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925， 由－π<x <0知，sin x <0，又sin x cos x ＝－1225<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75. ∴sin2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175. 课时精练1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π3等于()A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案C解析cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π3＝cos 19π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋π3＝cos π3＝12.2．若cos165°＝a ，则tan195°等于()A.1－a 2B.1－a 2a C ．－1－a 2a D ．－a 1－a 2答案C解析若cos165°＝a ，则cos15°＝cos(180°－165°)＝－cos165°＝－a ，sin15°＝1－a 2，所以tan195°＝tan(180°＋15°)＝tan15°＝sin15°cos15°＝－1－a 2a .3．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝513，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10－α等于()A ．－513 B ．－1213 C.1213 D.513 答案D解析因为7π10－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝π2，所以7π10－α＝π2－⎝⎛⎭⎪⎫α－π5， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝513. 4．(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α等于()A ．2 B.12 C ．－2 D．－12答案A解析由已知得1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12，∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.5．在△ABC 中，下列结论不正确的是()A ．sin(A ＋B )＝sin CB ．sin B ＋C 2＝cos A 2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C答案D解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确．sin B ＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2，B 正确． tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝⎛⎭⎪⎫C ≠π2，C 正确． cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．6．已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝15，给出下列结论： ①π2<α<π； ②sin αcos α＝－1225； ③cos α＝35； ④cos α－sin α＝－75. 其中所有正确结论的序号是()A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①③④答案A解析∵sin α＋cos α＝15， 等式两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝125， 解得sin αcos α＝－1225，故②正确； ∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－1225<0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α<0，故①正确，③错误；cos α－sin α<0，且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225＝4925， 解得cos α－sin α＝－75，故④正确． 7．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.答案44.5解析∵sin1°＝cos89°，sin2°＝cos88°，…，sin89°＝cos1°， ∴sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝44.5.8．设f (θ)＝2cos 2θ＋sin 2(2π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－32＋2cos 2(π＋θ)＋cos (－θ)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π3＝. 答案－512解析∵f (θ)＝2cos 2θ＋sin 2θ＋cos θ－32＋2cos 2θ＋cos θ＝cos 2θ＋cos θ－22cos 2θ＋cos θ＋2， 又cos 17π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π3 ＝cos π3＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π3＝14＋12－212＋12＋2＝－512.9．(1)(2022·郑州模拟)已知sin θ＝45，求sin (π－θ)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ的值． 解∵sin θ＝45， ∴cos 2θ＝1－sin 2θ＝925， 则sin (π－θ)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ(－sin θ)(－cos θ)cos θ ＝sin 2θcos 2θ＝169. (2)已知sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)，求cos x －2sin x 的值． 解∵sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)， ∴cos x <0，sin x >0，即sin x －cos x >0，把sin x ＋cos x ＝－713， 两边平方得1＋2sin x cos x ＝49169， 即2sin x cos x ＝－120169，∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝289169， 即sin x －cos x ＝1713， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＋cos x ＝－713，sin x －cos x ＝1713，解得sin x ＝513，cos x ＝－1213， ∴cos x －2sin x ＝－2213. 10．(2022·衡水模拟)已知角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)．(1)求sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值； (2)若α是第二象限角，求sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＋sin(π－α)·cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解(1)∵m ≠0，∴cos α≠0，即sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝－sin α－cos αcos α＋2sin α＝－tan α－11＋2tan α. 又∵角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)，∴tan α＝－6m 3m＝－2，故sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝－tan α－11＋2tan α＝2－11＋2×(－2)＝－13. (2)∵α是第二象限角，∴m <0，则sin α＝－6m (3m )2＋(－6m )2 ＝－6m 35|m |＝255， cos α＝3m (3m )2＋(－6m )2＝3m 35|m |＝－55， ∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＋sin(π－α)cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝cos 2α＋sin αcos α＋sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－552＋255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255 ＝－1＋255.11．已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式sin (α＋k π)sin α＋cos (α＋k π)cos α(k ∈Z )的取值可能为()A ．－2或0B ．－1或1C ．2或－2D ．－2或2或0答案C解析当k 为奇数时，原式＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝(－1)＋(－1)＝－2； 当k 为偶数时，原式＝sin αsin α＋cos αcos α＝1＋1＝2. ∴原表达式的取值可能为－2或2.12．(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)等于() A.35 B.53 C.45 D.54答案B解析方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35. 原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53. 13．曲线y ＝e x ＋x 2－23x 在x ＝0处的切线的倾斜角为α，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝. 答案45解析由题意得y ′＝f ′(x )＝e x ＋2x －23， 所以f ′(0)＝e 0－23＝13， 所以tan α＝13， 所以α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos α＝310， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝cos2α＝2cos 2α－1＝2×910－1＝45. 14．函数y ＝log a (x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点Q ，且角α的终边也过点Q ，则3sin 2α＋2sin αcos α＝.答案75解析由题意可知点Q (4,2)，所以tan α＝12， 所以3sin 2α＋2sin αcos α＝3sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝3×14＋2×121＋14＝75.15．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫sin 12π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7，c ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫tan 2π7，则() A ．a >b >c B ．c >a >bC ．b >a >cD ．c >b >a答案B解析根据题意，sin12π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－2π7 ＝－sin2π7， cos 5π7＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π7＝－cos 2π7， 又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12π7＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin 2π7＝f ⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π7， b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 2π7＝f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π7， 又由π4<2π7<π2， 则有0<cos 2π7<sin 2π7<1<tan 2π7， 又由函数在[0，＋∞)上单调递增，则有c >a >b .16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ.由已知得sin θ＋cos θ＝3＋12， 所以sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12. (2)由已知得sin θcos θ＝m2， 因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，所以1＋m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122， 解得m ＝32. (3)联立⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.因为θ∈(0,2π)，所以θ＝π3或π6.。
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x＝tan x .2.能利用单位圆中的对称性推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：□1sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α(α≠π2＋k π，k ∈Z ).2.三角函数的诱导公式公式角正弦余弦正切口诀一2k π＋α(k ∈Z )sin αcos αtan α奇变偶不变，符号看象限二π＋α□2－sin α□3－cos α□4tan α三－α□5－sin α□6cos α□7－tan α四π－α□8sin α□9－cos α□10－tan α五π2－α□11cos α□12sin α－六π2＋α□13cos α□14－sin α－常用结论1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，都有sin 2α＋cos 2β＝1.()(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.()(3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.()(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2.回源教材(1)已知sin(7π2＋α)＝35，那么cos α＝()A.－45 B.－35C.35D.45解析：B因为sin(7π2＋α)＝－cos α＝35，所以cos α＝－35.(2)已知α是第三象限角，sin α＝－35，则tan α＝()A.－34 B.34C.－43 D.43解析：B由题意得cos α＝－45，故tan α＝sin αcos α＝34.(3)化简cos （α－π2）sin （52π＋α）·cos(2π－α)的结果为.解析：原式＝sin αcos α·cos α＝sin α.答案：sin α同角三角函数的基本关系“知一求二”问题例1(2023·全国乙卷)若θ∈(0，π2)，tan θ＝12，则sin θ－cos θ＝.解析：因为θ∈(0，π2)，则sin θ＞0，cos θ＞0，又tan θ＝sin θcos θ＝12，则cos θ＝2sin θ，且cos 2θ＋sin 2θ＝4sin 2θ＋sin 2θ＝5sin 2θ＝1，解得sin θ＝55或sin θ＝－55(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－55.答案：－55sin α，cos α的齐次式问题例2(2024·咸阳模拟)已知方程sin α＋2cos α＝0，则cos 2α－sin αcos α＝()A.－45 B.35C.－35 D.45解析：B方程sin α＋2cos α＝0，化简得tan α＝－2，则cos 2α－sin αcos α＝cos 2α－sin αcos α1＝cos 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α，分子分母同时除以cos 2α可得，cos 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－2代入可得cos 2α－sin αcos α＝1－tan αtan 2α＋1＝1－（－2）（－2）2＋1＝35.故选B.“sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系应用例3(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则下列结论正确的是()A.sin θ＝45 B.cos θ＝－35C.tan θ＝－34D.sin θ－cos θ＝75解析：ABD由题意知sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425<0，∵θ∈(0，π)，∴π2<θ<π，∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝1－2sin θcos θ＝1－（－2425）＝4925＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝－43，∴ABD 正确.反思感悟同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α(α≠π2＋k π，k ∈Z )可实现角α的弦切互化.(2)当分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式时，往往转化为关于tan α的式子求解.(3)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.训练1(1)若θ∈(π2，π)，且满足6tan θ－tan θ＝1，则sin θ＋cos θ＝()A.105 B.55C.－55D.－105解析：A 由6tan θ－tan θ＝1得(tan θ－2)(tan θ＋3)＝0，∴tan θ＝－3或tan θ＝2，∵θ∈(π2，π)，∴tan θ<0，∴tan θ＝－3.θ＝sin θcos θ＝－3，2θ＋cos 2θ＝1及sin θ>0，cosθ<0，得sin θ＝31010，cos θ＝－1010，∴sin θ＋cos θ＝105.故选A.(2)(2024·海口模拟)已知tan α＝2，则1－3cos 2αsin 2α＝()A.12B.14C.2D.4解析：A 因为tan α＝2，所以1－3cos 2αsin 2α＝sin 2α－2cos 2α2sin αcos α＝tan 2α－22tan α＝24＝12.故选A.(3)(多选)已知sin θcos θ＝12，π2＜θ＜2π，则()A.θ的终边在第三象限B.sin θ＋cos θ＝2C.sin θ－cos θ＝0D.tan θ＝－1解析：AC因为sin θcos θ＝12，π2＜θ＜2π，则θ为第三象限角，A 正确；由题意得sin θ＜0，cos θ＜0，B 错误；因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝0，故sin θ－cos θ＝0，C 正确；结合选项C 可知tan θ＝1，D 错误.诱导公式的应用例4(1)已知x ∈R ，则下列等式恒成立的是()A.sin(3π－x )＝－sin xB.sinπ－x 2＝－cosx2C.cos(5π2＋3x )＝sin 3xD.cos(3π2－2x )＝－sin 2x解析：D sin(3π－x )＝sin(π－x )＝sin x ，sinπ－x 2＝sin(π2－x 2)＝cos x2，cos(5π2＋3x )＝cos(π2＋3x )＝－sin 3x ，cos(3π2－2x )＝－sin 2x .(2)已知sin(π3＋2α)＝23，则cos(π6－2α)＝()A.53B.－23C.23D.±53解析：C∵sin(π3＋2α)＝23，∴cos(π6－2α)＝cos[π2－(π3＋2α)]＝sin(π3＋2α)＝23.故选C.反思感悟1.诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数―――――→利用诱导公式三或一任意正角的三角函数―――――→利用诱导公式一0～2π内的角的三角函数―――――→利用诱导公式二或四或五或六锐角三角函数.2.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.训练2(1)已知cos(π4＋α)＝45，则sin(π4－α)的值为()A.35B.－35C.45D.－45解析：C由cos(π4＋α)＝45，得sin(π4－α)＝sin[π2(π4＋α)]＝cos(π4＋α)＝45.(2)设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos （3π2＋α）－sin 2（π2＋α）(1＋2sin α≠0)，则f (－23π6)＝.解析：因为f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α，所以f (－23π6＝1tan （－23π6）＝1tan （－4π＋π6）＝1tanπ6＝ 3.答案：3同角关系与诱导公式的综合应用例5已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin （－α＋3π2）cos （－π－α）sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值；(3)若cos(－α－π2)＝15，α∈[π，3π2]，求f (α)的值.解：(1)f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin （－α＋3π2）cos （－π－α）sin （－π－α）＝－sin α×cos α×（－cos α）－cos α×sin α＝－cos α.(2)若α＝－31π3，则f (α)＝－cos(－31π3)＝－cos π3＝－12.(3)由cos(－α－π2)＝15，可得sin α＝－15，因为α∈[π，3π2]，所以cos α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.反思感悟1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角函数符号的影响.训练3(1)已知sin(3π2－α)＋cos(π－α)＝sin α，则2sin 2α－sin αcos α等于()A.2110 B.32C.32D.2解析：D 由诱导公式可得，sin α＝sin(3π2－α)＋cos(π－α)＝－2cos α，所以tan α＝－2.因此，2sin 2α－sin αcos α＝2sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan αtan 2α＋1＝105＝2.(2)已知sin(α－2π3)＝23，其中α∈(π2，π)，则cos(α－π6)＝，sin(2α－π3)＝.解析：法一：令t ＝α－2π3，所以sin t ＝23，α＝t ＋2π3，所以cos(α－π6)＝cos(t ＋2π3－π6)＝cos(t ＋π2)＝－sin t ＝－23.因为α∈(π2，π)，所以α－π6∈(π3，5π6)，所以sin(α－π6)＝53，所以sin(2α－π3)＝sin 2(α－π6)＝2sin(α－π6)cos(α－π6)＝2×53×(－23)＝－459.法二：因为sin(α－2π3)＝23，所以cos(α－π6)＝cos(π6－α)＝sin[π2－(π6－α)]＝sin(π3＋α)＝sin[π－(π3＋α)]＝sin(2π3－α)＝－sin(α－2π3)＝－23.以下同法一.答案：－23－459限时规范训练(二十五)A 级基础落实练1.sin 1620°等于()A.0B.12C.1D.－1解析：A 由诱导公式，sin 1620°＝sin(180°＋4×360°)＝sin 180°＝0.2.(多选)(2024·孝感协作体联考)已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则下列不等关系中成立的是()A.sin θ＜0B.sin θ＞0C.cos θ＞0D.cos θ＜0解析：BD因为sin(θ＋π)＝－sin θ＜0，所以sin θ＞0，故B 正确；因为cos(θ－π)＝－cos θ＞0，所以cos θ＜0，故D 正确.故选BD.3.已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线2x＋y＋3＝0平行，则sinα－cosαsinα＋cosα的值为()A.－2B.－14C.2D.3解析：D因为角α的终边与直线2x＋y＋3＝0平行，即角α的终边在直线y ＝－2x上，所以tanα＝－2，sinα－cosαsinα＋cosα＝tanα－1tanα＋1＝3.4.(多选)在△ABC中，下列结论正确的是()A.sin(A＋B)＝sin CB.sin B＋C2＝cos A 2C.tan(A＋B)＝－tan C(C≠π2)D.cos(A＋B)＝cos C解析：ABC在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确；sin B＋C2＝sin(π2－A2)＝cos A2，B正确；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C(C≠π2)，C正确；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误.5.(2024·郑州模拟)已知角α∈(－π2，0)，且tan2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，则sin(α＋2023π)等于()A.154B.1 4C.－34D.－154解析：A因为tan2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，所以(tanα－4sinα)(tanα＋sinα)＝0，因为α∈(－π2，0)，所以tanα<0且sinα<0，所以tanα－4sinα＝0，即sinαcosα＝4sin α，所以cos α＝14，所以sin α＝－1－cos 2α＝－154，所以sin(α＋2023π)＝－sin α＝154.6.若sin(π＋α)－cos(π－α)＝35，则sin(π2＋α)·cos(π2－α)等于()A.825B.－825C.1625D.－1625解析：A 由sin(π＋α)－cos(π－α)＝35可得－sin α＋cos α＝35，平方可得1－2sin αcos α＝925，所以sin αcos α＝825，所以sin(π2＋α)cos(π2－α)＝cos αsin α＝825.7.(2024·武汉质检)若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin(α－5π)·sin(3π2－α)＝()A.34B.310C.±310 D.－310解析：B 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，分子和分母同除以cos α得tan α＋1tan α－1＝2，解得tan α＝3，∴sin(α－5π)·sin(3π2－α)＝－sin α·(－cos α)＝sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝310.故选B.8.(多选)在平面直角坐标系中，若角α的终边与单位圆交于点P (45，n )(n ＞0)，将角α的终边按逆时针方向旋转π2后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q，则下列结论正确的为()A.tanα＝34B.sinβ＝45C.tanβ＝43D.Q的坐标为(－35，45)解析：ABD由题意知cosα＝45，角α的终边在第一象限，则n＝sinα＝1－cos2α＝3 5，所以tanα＝sinαcosα＝34，A正确.由题意知β＝α＋π2，所以cosβ＝cos(α＋π2)＝－sinα＝－35，sinβ＝sin(α＋π2)＝cosα＝45，tanβ＝sinβcosβ＝－4 3，即Q点的坐标为(－35，45)，所以可得B，D正确，C错误.9.已知sinθ＝13，则tan（2π－θ）cos（π2－θ）sin（3π2＋θ）＝.解析：原式＝－tanθsinθ（－cosθ）＝1cos2θ＝11－sin2θ＝11－（13）2＝98.答案：9 810.已知α为第三象限角，且tan(π＋α)＝34，则cosα＝.解析：由tan(π＋α)＝34可得tanα＝34，即sinαcosα＝34，所以sinα＝34cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以(34cosα)2＋cos2α＝1，得cos2α＝1625，因为α为第三象限角，所以cosα＜0，所以cosα＝－45.答案：－4 511.已知sinα－cosα＝14，则sin3α－cos3α＝.解析：由题知sin3α－cos3α＝(sinα－cosα)·(sin2α＋cos2α＋sinαcosα)，因为sinα－cosα＝14，所以1－2sinαcosα＝116，所以sinαcosα＝1532，所以sin3α－cos3α＝14×(1＋1532)＝47128.答案：4712812.已知cos(π6－α)＝33，则cos(5π6＋α)－sin(α＋4π3)的值为.解析：因为cos(π6－α)＝33，所以cos(5π6＋α)＝cos[π－(π6－α)]＝－cos(π6－α)＝－33，sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－sin[π2－(π6－α)]＝－cos(π6－α)＝－33，所以cos(5π6＋α)－sin(α＋4π3)＝－33－(－33)＝0.答案：0B级能力提升练13.(多选)已知角α满足sinα·cosα≠0，则表达式sin（α＋kπ）sinα＋cos（α＋kπ）cosα(k∈Z)的取值为()A.－2B.－1C.2D.1解析：AC 当k 为奇数时，原式＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝(－1)＋(－1)＝－2；当k 为偶数时，原式＝sin αsin α＋cos αcos α＝1＋1＝2.所以原表达式的取值为－2或2.14.对于角θ，当分式tan θ＋sin θtan θsin θ有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子()A.tan θ＋cos θtan θcos θB.tan θ－sin θtan θC.tan θsin θtan θ－cos θD.tan θsin θtan θ－sin θ解析：D 由题意知tan θ＋sin θtan θsin θ＝sin θcos θ＋sin θsin 2θcos θ＝sin θ＋sin θcos θsin 2θ＝1＋cos θsin θ，∵tan θ＋cos θtan θcos θ＝sin θ＋cos 2θsin θcos θ，∴A 不符合题意；∵tan θ－sin θtan θ＝sin θ－sin θcos θsin θ＝1－cos θ，∴B 不符合题意；∵tan θsin θtan θ－cos θ＝sin 2θsin θ－cos 2θ，∴C 不符合题意；∵tan θsin θtan θ－sin θ＝sin 2θcos θsin θcos θ－sin θ＝sin 2θsin θ－sin θcos θ＝1－cos 2θsin θ（1－cos θ）＝1＋cos θsin θ，∴D 符合题意.故选D.15.已知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则cos （11π2－α）sin （9π2＋α）＋sin 2αcos （π2＋α）sin （－π－α）＝.解析：由题设知，f (x )过定点P (2，3)，故tan α＝32，所以cos（11π2－α）sin（9π2＋α）＋sin2αcos（π2＋α）sin（－π－α）＝cos（3π2－α）sin（π2＋α）＋sin2αcos（π2＋α）sinα＝－sinαcosα＋2sinαcosα－sin2α＝－cosαsinα＝－1tanα＝－23.答案：－2 316.已知α∈(－π2，π2)，且sinα＋cosα＝55，则tanα的值为.解析：法一：由sinα＋cosα＝5 5，平方得1＋2sinαcosα＝1 5，所以sinαcosα＝－2 5，则sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanαtan2α＋1＝－25，解得tanα＝－12或tanα＝－2.因为α∈(－π2，π2，且0＜sinα＋cosα＝55＜1，所以cosα＞－sinα＞0，即tanα＞－1，所以tanα＝－1 2 .法二：由sinα＋cosα＝55，①平方得1＋2sinαcosα＝1 5，即2sinαcosα＝－4 5，则(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝9 5 .因为α∈(－π2，π2，且0＜sinα＋cosα＝55＜1，所以cosα＞－sinα＞0，sinα－cosα＝－355，②联立①②α＝－55，α＝255，所以tanα＝sinαcosα＝－12.答案：－1 2。
三角函数公式同角三角函数的基本关系
三角函数公式同角三角函数的基本关系倒数关系：tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα·secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscα平方关系平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α)一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+si nθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ) /2]=sin（a+θ）*sin（a-θ）二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA余弦1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2] 2.Cos2a=1-2Sina^2 3.Cos2a=2Cosa^2-1正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)= (1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan(α/2)] cosα=[1-tan(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan&s(α/2)]其他sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/ n]=0 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+ta nA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^ 4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))两角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαta nβ)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(c otB-cotA)三角和公式sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)和差化积sinθ+sinφ =2sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]c osθ-cosφ= -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）= sinαcos（2kπ+α）= cosαtan（2kπ+α）= tanαcot（2kπ+α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）= -sinαcos（π+α）= -cosαtan（π+α）= tanαcot（π+α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosa cos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan （π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cota cot（3π/2+α）= -tanαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =√{(A+2ABcos(θ-φ)} · si n{ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} }√表示根号,包括{……}中的内容三角函数的诱导公式（六公式）公式一：sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanα公式二：sin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinα公式三：sin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) =-sinα公式四：sin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosα公式五：sin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cos α公式六：tanA= sinA/cosA tan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotαtan（π－α）=－tanαtan（π+α）=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))]cosα=[1-(tan(α/2))]/[1+(tan(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))]其它公式三角函数其它公式(1) (sinα)^2+(cosα)^2=1（平方和公式）(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式，只需将一式,左右同除(sinα)^2，第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2 (csca)^2和自变量数列求和有关的公式sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2)cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos((n+1)x/2)sin(nx/2)]/sin(x/2) tan((n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x +……+cosnx)sinx+sin3x+sin5x+……+sin(2n-1)x=(sinnx)^2/sinxcosx+cos3x+cos5x+……+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)。
高三第一轮复习--同角三角函数的关系式及诱导公式
4 sin sin 4 2 1 sin 8 . （ 2 ）灵活运用平方关系是化简的重 1 1 sin 8 ； n z
要手段之一。
例2、已知 tan 2 。
4 sin 2 cos （1）求 的值； 5 sin 3 cos
符 号 看 象 限 。
函 数 名 改 变 ，
以上九组公式称为诱导公式，其规 律可总结为：
奇变偶不变，
符号看象限。
例1、化简下列各式： sin k cos[(k 1) ] 1 . k Z sin[(k 1) ] cos(k ) 练习 练习 6 6 （1）分清 k 的奇偶，决定函数值符号 1 4sin cos n 1 4 n 1 化简下列各式： 2 sin . 2 是关键； 化简 4 cos
+ cotα + cosα
- sinα - cotα
tan(90°+α) =
sin(2700-α)
=
- cosα
cos(2700- α) = - sinα
tan(2700- α) = + cotα sin(270° +α) = - cosα cos(270° + α) = + sinα tan(270° + α) = - cotα
桂林装修 桂林装饰好啊，请各位稍等片刻！”说着一转身迈开大步直冲正面中间的一间房子去了。随着伙计的身影，耿正看到在这间房子的门口挂着写有 “柜房”的大木牌。只听伙计一边进门一边大声说：“耿掌柜，快去看，有一挂用红布蒙了的大骡车进咱们店了，一共三个人呢，说是 要见你！”话音刚落，那个让耿正兄妹三人经常回忆起来的，并且由于回忆而越来越熟悉的大哥快步走出来了。七年半过去了，昔日的 那个年轻大哥如今已经变成了一个结实的壮年汉子，但依然还是一脸的善良和慈祥模样。看着眼前这面带欣喜且激动不已的三个年青人， 耿大业一时间愣在了那里。略停顿一下，他试探着问：“请问，你们是？”耿正顺手将大白骡的缰绳递给那位报信的伙计。兄妹三人一 起上前眼含热泪给大哥深深施礼，耿正声音哽咽地说：“大哥，您可记得七年半之前的夏天，山那边发生溃坝的当晚，您和大嫂曾经挽 留落难的仨兄妹在您的小饭店里住了一夜，还„„”耿大业傻傻地张大嘴巴：“啊！你们是„„”“是我们！我们要回老家去了，特地 来看望您和大嫂的„„”“快请进屋说话！这骡车怎么„„”“咱们慢慢细说！”耿大业吩咐伙计将骡车赶进靠里边的大车棚内，将骡 子卸了喂上草料。伙计牵起大白骡进车棚去了。耿大业伸出有力的大手抓住耿正的双肩晃一晃，激动地大声说：“好兄弟，好兄弟啊！” 再转过来抓住耿直的双肩晃一晃，高兴地说：“小兄弟，你长大了，个头比你哥哥当年还高呢，长得也真像啊！”再仔细地端详耿英， 拍一拍她的肩膀，说：“好妹子，了不起啊！”他激动得不知道说什么好了：“七年多了，我和你们大嫂经常想起你们来，老惦念呢！ 咱们到家里说话，你们大嫂又快生娃了，在家里歇着呢。”说着朝大院的西北方向扬扬头，说：“喏，就在大院儿里„„”当他领着耿 正兄妹仨往家里走去时，一个胖墩墩的小男娃儿忽然从靠北边的屋子里跑了出来，口里还欢叫着：“爹，我在屋里就能听见是你回来 了！”一边说着，一边就高兴地向耿大业扑来。耿正和耿英同时蹲下身来准备抱他，小家伙却像泥鳅一样“哧溜”一下就窜到了耿大业 的身后。耿大业把小家伙拉到身前来，挨个儿指着耿正、耿直和耿英对他说：“小铁蛋儿，这是大叔叔、这是二叔叔、这是姑姑，快叫 啊！”小家伙眨巴着小眼睛看看三人，再抬头看看爹爹。耿大业再说一遍：“叫大叔叔、二叔叔、姑姑！”这一回，小家伙亮着小嗓子 叫了。耿英高兴地答应着将小家伙抱起来，欣喜地说：“你叫小铁蛋儿，好一个可爱的小铁蛋儿啊！”这边正高兴着呢，耿大嫂听着外 面热闹的说话声也出来了。她已经怀孕八个多月了，笨拙地挺着大肚子一边往前走一边问：“他爹，这是„„”耿英一看见大嫂如此模 样，赶快将小铁蛋儿递到耿
同角三角函数的基本关系 课件
若设 sin α－cos α＝t，则 sin3α－cos3α＝ 2 .
探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其 基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
请按照上述标准化简下列三角函数式：
已知 α 是第三象限角，化简：
1＋sin 1－sin
α－ α
1－sin α 1＋sin α.
答 原式＝
1＋sin α2 1－sin α1＋sin
α－
1－sin α2 1＋sin α1－sin α
＝
1＋cossi2nαα2－
1－sin α2 cos2α
＝1|＋cossinα|α－1|－cossinα|α＝|2csoisn αα|.
x2 x＋cos
x
＝sin sin
x－cos x＋cos
x＝tan x tan
xx－＋11＝右边．
∴原式成立． sin 方法二 ∵右边＝csoins
cos
xxxx－ ＋11＝ssiinn
x－cos x＋cos
x； x
左边＝1s－in22xsi－n cxocso2sxx＝ssiinn2xx－－ccooss2xx2
第二节 同角三角函数的基本关系式
5.求下列函数的定义域 (1)y=tanx+cotx; (2)y= sinx +tanx. 求下列函数的定义域: 求下列函数的定义域 ≠ ∈ 解: (1)使 tanx 有意义的 x 的取值集合是 {x | x≠kπ+ π , k∈Z}, 使 2 使 cotx 有意义的 x 的取值集合是 {x | x≠kπ, k∈Z}, ≠ ∈ 故所求函数的定义域是: 故所求函数的定义域是 {x | x≠kπ+ π , k∈Z}∩{x | x≠kπ, k∈Z} ={x | x≠ kπ , k∈Z}; ≠ ∈ ≠ ≠ ∈ 2 ∈ ∩ 2 sinx≥0, (2)要使原函数有意义 则 x≠kπ+ π , k∈Z. 要使原函数有意义, 要使原函数有意义 ≠ ∈ 2 2kπ≤x≤2kπ+π, k∈Z, ∈ 即 x≠kπ+ π , k∈Z. ≠ ∈ 2 故原函数定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ+π, 且 x≠2kπ+ π , k∈Z}. 故原函数定义域为 ≠ 2 ∈
6.设 α 是第二象限的角 试问 -α, π-α, π+α 分别是第几象限 设 是第二象限的角, 试问: 的角? 的角 ∈ 是第二象限的角, 解: ∵α 是第二象限的角 ∴2kπ+ π <α<2kπ+π, k∈Z. 2 ∴ -2kπ-π<-α<-2kπ- π , k∈Z, -2kπ<π-α<-2kπ+ π , k∈Z, - 2 ∈ 2 ∈ 3π π 2kπ+ 2 <π+α<2kπ+2π, k∈Z. ∈ 是第一象限角, 是第三象限角, 是第四象限角. ∴-α 是第三象限角 π-α 是第一象限角 π+α 是第四象限角
同角三角函数的基本关系课件
3.若 sin 3 , tan 0
5
，则cos =
4 5
1.解析：∵α是第二象限角，∴cos α<0．
2
cos =-
1 sin 2
5 1 13
12 13
2.解析：
cos 4 , 0, ,sin 3 , tan 3
5
5
4
3.解析:
sin
3 5
0, tan
0, 为第四象限角.
cos
1 sin 2
4. 5
课后巩固提升
1.温故知新：熟记重点知识，反思学习思路和方法， 预习证明三角恒等式的方法
2.巩固提升：完成作业，课本P20页练习第一、四题；
探索：已知 sin cos 1，求 sin cos 的值.
2
商数关系： sin tan ( k ,k Z )
cos
2
同角三角函数的基本关系式:
sin2 cos)
2
注意：α必须是值同一个角，且只有当 α的取值 使三角函数有意义时，上面恒等式才成立 .
预习自测
1. sin 22016 cos22016 1
2.典型方法归纳：分类讨论思想
训练案
一、课中检测训练
1．已知α是第二象限角，sin 5 ，
则 cos 等于 （ A ）
13
A. 12 13
B. 5 13
c. 5 13
D.12 13
2. cos 4 , 0, ，则 tan 的值为（ B）
5
A. 4
B. 3
3
4
c. 4 3
D. 3 4
2.若sin 4 , cos 3 则 tan ＝ 4
5
5
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三角函数复习(同角三角函数基本关系与诱导公式)
三角函数复习（同角三角函数基本关系与诱导公式）. （2）商数关系：sin αcos α＝tan α.1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1（3）倒数关系：tan α=co 1t∝2.六组诱导公式（1）诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． （2）同角三角函数基本关系式的常用变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 二、课前自测1. tan 等于 ( ) A. √B. √C.√D.√2. 若 α=1，α ./，则 tanα 等于 ( )A.√B.√C. √D. √3. 已知 tanα= 1，且 α 为第二象限角，则 nα 的值为 ( )A. 1B. 11C.1D.14. .1 / n.1/= ．5. 已知 tanα= ，则的值为 ．三、典型例题1. 已知 α 是三角形的内角，且 nα α=1．Ⅰ求tanα的值；Ⅱ把1用tanα表示出来，并求其值；Ⅲ求：的值；Ⅳ求 nα nα α的值．2. （1） n()() n()=；（2）已知 .α/=√，则 .α/ n.α/的值为．（3）已知 n.1 α/=，则 .α111/=．（4）若 .α/=1，则 n.α/=．3. （1）已知=()()()，则的值构成的集合是()A. *+B. *+C. *+D. *+（2）()() . /()()=．（3）已知α为第三象限角，(α)= . / . / ()()()．Ⅰ化简(α)；Ⅱ若 .α/=1，求(α)的值．同角三角函数基本关系式与诱导公式答案课前自测 1. D 2. C 3. C4. √5. 1典型例题1. （1） 解法一： 联立 { nα α=1n αα=由 得 α=1nα， 将其代入 ，整理得 n α nα = ． 因为 α 是三角形的内角， 所以 nα=，所以 α=， 所以 tanα=． 解法二：因为 nα α=1，所以 ( nα α)=.1 /，则 nα α=1，所以 nα α=，所以 ( nα α) = nα α==． 因为 nα α= 1且 α ， 所以 nα ， α ， 所以 nα α ． 所以 nα α= ．由 { nα α=1nα α=得 { nα=α=所以 tanα= ．（2）1 === 11因为tanα=，所以α nα=tanαtanα=. /. /=（3）tanα=，则：==. /=．（4）nα nα α==1=1=2. （1）；（2）√（3）（4）. 13. （1）C 【解析】当为偶数时，==；当为奇数时，==．所以的值构成的集合是*+．（2）.【解析】原式=0 ./1 ( ), ( )-=./( ) =( ) ===（3）(α)= . / ./ ( ) ( ) ( )=( ) ( )( )= α（4） 因为 .α/=1， 所以 nα=1，从而 nα= 1． 又 α 为第三象限角， 所以 α= √ n α= √，所以 (α)= √．同角三角函数基本关系式与诱导公式课堂练习与作业一、选择题（共7小题；共35分） 1. n 的值为 ( ) A. 1B. √C.D. √2. 已知 ./=√，且，则 tan = ( )A. √B. √C. √D. √3. 若 α 是第三象限角，且 tanα=1，则 α= ( )A. √11B.√11C.√11D. √114. 在 中，若 tan = 则 = ( )A. √B. √C. √D. √5. 已知 n ( )= n./ 则 n = ( )A.B.C. 或D. 16. 已知 (α)=( ) ( )( )，则 .1/ 的值为 ( )A. 1B. 1C. 1D. 17. 已知函数 ( )= n ( α) ( )，且 ( )= ，则 ( ) 的值为 ( )A. B. C. D.二、填空题（共1小题；共5分）8. 已知α为锐角，且 tan(α) . /=，tan(α) n()=，则 nα的值是．三、解答题（共2小题；共26分）9. 已知 n(α)= n.α/，求下列各式的值：（1）；（2） nα nα α．10. 已知 n(α)(α)=√.α /，求下列各式的值．（1） nα α；（2） n.α/.α/．答案第一部分1. A【解析】 n = n ( ) ( )= n ( )= n =1 1=12. D 【解析】 ./= n =√，又，则 =1，所以 tan =√ ．3. C【解析】因为 α 是第三象限角，且 tanα= =1， n α α= ，所以 α= √1 1．4. B【解析】在 中，当 tan = 时， ./，所以 =√1=√= √． 5. B【解析】由已知等式得 n = ， 所以 n = = ，所以 =1，故 n = =． 6. C【解析】因为 (α)== α，所以 . 1/= .1/= ./== 1．7. c【解析】因为 ( )= n ( α) ( )= nα = ，所以( )= n ( α) ( )= n (α) ( )=第二部分 8. √1 1【解析】由已知可得 tanα n = ，tanα n = ， 解得 tanα= ， 又 α 为锐角，故 nα= √11． 第三部分9. （1） 解法一：由 n ( α)= n.α/ 得 tanα= ．原式=== 1．解法二：由已知得 nα= α．原式==1．（2）解法一：原式==1=．解法二：原式===．10. （1）由 n(α)(α)=√，得 nα α=√．将两边平方，得 nα α=，故 nα α=．又α，所以 nα， α．( nα α)= nα α= . /=1 ，所以 nα α=．（2） n.α/.α/=α nα=( α nα)(α α nα nα)= .1/=。
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1.2.2同角三角函数关系
教学目标：
1、掌握同角三角函数关系式；
2、能利用同角三角函数的基本关系进行简单的求值、化简和证明。
教学重点：
公式αα
αααtan cos sin ,1cos sin 22==+的推导及其应用 教学难点：
由一个三角函数值求其它三角函数；选择适当的推理途径证明恒等式 教学过程：
活动一
①由特殊角引入平方关系、商数关系；
②同角三角函数的基本关系：
▼平方关系：1cos sin 22=+αα ▼商数关系：)2
(,cos sin tan ππαααα+≠=k
③用定义证明上述二个公式。
活动二：能利用同角三角函数的基本关系进行简单的求值、化简和证明。
问题一：利用同角三角函数的关系求某个角的三角函数值。
例1：已知54sin =
α，且α是第二象限角，求ααtan ,cos 的值。
例2：已知,5
12tan =
α求ααcos ,sin 的值。
例3：已知,2tan =α求（1）
ααααcos 9sin 4cos 3sin 2-- （2）αα22cos 3sin 2-
例4：已知2cos sin =+αα，
求（1）ααcos sin ，（2）αα22cos sin -。
问题二：利用同角三角函数的关系进行简单的化简。
例5、化简（1）,1sin 1tan 2-α
α其中α是第二象限角。
（2）,cos 1cos 1cos 1cos 1α
ααα-+++-其中α是第四象限角。
注：化简实际上也是一种恒等变形，通常要求化简的结果中，涉及的三角函数名称较少，
表达形式比较简单，特殊角的三角函数应求出它们的值
问题三：利用同角三角函数的关系进行简单的证明。
例6：求证：
α
αααsin cos 1cos 1sin -=+
反馈练习：
1、已知,54cos -
=α且α是第二象限角，求ααtan ,sin 的值。
2、已知21sin -
=α，求ααtan ,cos 的值。
3、若5
24cos ,53sin +-=+-=
m m m m θθ，则m 的值为
4、已知,3tan =α
求（1）αααα22cos 5cos sin 3sin 4--，
（2）ααcos sin 21+
5、化简 （1）ααtan cos （2）α
α22sin 211cos 2-- （3）
α
αααsin 1sin 1sin 1sin 1-+++-，α是第二象限角。
6、已知θθcos ,sin 是关于x 的方程02=+-a ax x 的两个根).(R a ∈
（1）求θθ33cos sin +的值； （2）求θθtan 1tan +
的值。
7、已知()πθθθ,0,5
1cos sin ∈=+，求下列各式的值 θ
θθ
θθ
33cos sin )3(cos sin )2(tan )1(+-
6、证明：
（1）α
α22cos 1tan
1=+ （2）αααα2244cos sin cos sin -=-
（3）αααα2222sin tan sin tan -=。