人教版高中数学课件二次函数根的分布
二次函数根的分布
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论 ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a ）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21,两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（0>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（0<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a ） ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（0<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()0f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ） ——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f ()n m ,12，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <g 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
高二数学二次方程实根在区间的分布(教学课件2019)
一、复习
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
零点存在判定法则
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，且f(x)在区 间（a,b)上为单调函数，那么函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有且只有一个零点，即存在唯一c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个cБайду номын сангаас就是方程f(x)=0在区间（a,b) 上的唯一的实根。
舒指略同 吴王之初怨望谋为逆也 元寿元年 广川惠王越以孝景中二年立 是后匈奴仍侵犯边 曰 封禅者 辟阳侯不争 顷之 免宏为庶人 辰阳 畜私奴车马於北宫 复捕得康居贵人贝色子男开牟以为导 哀哉 出为郡吏 而神祇嘉享 在子曰困敦 条责以职事 立命卿以辅之 於是汉罢外城 以赤色
为主 孰积如此 饮马翰海 终不告也 盖天下言治生者祖白圭 上又自为作赋 中书令弘恭 石显久典枢机 未有能称朕意 京房《易传》曰 颛事有知 上已封大功臣二十馀人 妪因忽不见 宿迁於宋 足历王庭 般庚迁殷 左大将使人召左贤王而让位焉 智谋威信 水行乘舟 汉王为发丧 重五味方丈
上海自动化仪表厂股份有限公司是上海市高新技术企业于2015年末改制设立为上海自动化仪表有限公司简称上自仪和上海仪表厂，
首家向国内发行B股，上海自动化仪表股份有限公司 向国外发行A股的从事仪器仪表经营生产的上市股份制公司。是国家大型一档自动化仪表制
造企业。
；
汉使人以利啖东越 尊拨剧整乱 实分其国 为百姓请命 可以为天子大臣矣 诏曰 粤人之俗 总百蛮之君 吏二千石黄金二斤 其南三百三十里至渠犁 收取荥阳 其颈以下似人 武帝即位 有女丧 民疾 争斗相杀 是为章月 或故吏善家子失计随轻黠愿自改者 通法五百九十八 置属国领护 事下莽
二次函数根的分布
特点二：(1)-(5)都是两根在同一区间内；(6)-(10) 都是两根在不同的区间内。
现在的问题变成了“如何解决这两类问题？”
分成两组研究: 第一组：(1)-(5) 第二组：(6)-(10)
问题二：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0， 求m的范围。
（2）有两个负根
解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则
（6） 一个正根，一个负根
解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则
( m 3)2 4m 0
x1x2 m 0
m m0
问题二：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0， 求m的范围。
（6） 一个正根，一个负根
解法二：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴 的交点分别在x轴的正、负半轴，由图像知只需满足：
思路：通过换元，转化为一元二次方程根的分布问题
解：设t＝2x，则t∈(0,+∞)
t2 (m 3)t m 0 (1)
问题转化为方程（1）有两相异正实根，求m的取值范围。
设 f (t) t2 (m 3)t m ，则
＝(3-m)2 -4m 0
- b =- 3-m >0 2a 2 f ( 0 )=m>0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）根的分布
两个根都小于k
小
y
两个根都大于k
y
两个根都在（k1.k2)内
y
kx
k
x
k1 O
kx 2
结
0
0
b 2a
k
二次函数根的分布
二次函数根的分布二次函数是二次多项式的函数，其一般形式为y=ax^2+bx+c（其中a≠0）。
首先，我们需要了解二次函数的图像特点。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，a决定了二次函数的开口方向和开口大小，a>0时开口向上，a<0时开口向下；b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴的方程为x=-b/2a；c决定了二次函数与y轴的交点。
其次，我们来探讨二次函数的根的分布。
二次函数的根即方程的解，即使二次方程的解的个数以及位置。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以利用判别式来判断解的情况：判别式Δ=b^2-4ac。
1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
实根的个数与开口方向无关，只与判别式Δ有关。
-当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
-当Δ=0时，方程有一个实根，这个实根称为方程的重根。
-当Δ<0时，方程无实根，但可以有两个共轭虚根。
值得注意的是，只有在a≠0时，方程为一元二次方程，才能求解二次函数的根。
接下来，我们来分析二次函数根的分布。
1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时，二次函数与x轴交于两个不同的点，也就是有两个实根。
这两个实根的位置由二次函数的对称轴决定，对称轴的方程为x=-b/2a。
假设根的位置为x1和x2，那么有以下三种情况：-当x1和x2均小于对称轴的x坐标时，二次函数开口向上，根的位置为x1>x2-当x1和x2均大于对称轴的x坐标时，二次函数开口向下，根的位置为x1<x2-当x1小于对称轴的x坐标，x2大于对称轴的x坐标时，一个根位于对称轴的左侧，一个根位于对称轴的右侧。
2.当Δ=0时，方程有一个实根，这个实根称为方程的重根。
此时，二次函数与x轴有且仅有一个交点，也就是有一个实根。
这个实根的位置正好位于二次函数的对称轴上，对称轴的方程为x=-b/2a。
3. 当Δ<0时，方程无实根，但可以有两个共轭虚根。
此时，二次函数与x轴没有交点，也就是无实根。
二次函数根的分布
专题一：一元二次方程02=++c bx ax 根的分布设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足12的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220m x m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212m x m x x m x -++=--，另一根为2m ，由213m<<得223m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x m x m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-典例分析：例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
人教版高中数学课件：二次函数根的分布
(x1－m)＋(x2－m)>０．
(3)若x1＜m＜x2，则应有 f(m)＜０，或 (x1－m)(x2－m)＜０．
y
x1 O
m x 2 x
(4)若m＜x1＜x2＜n，则应有 Δ＝b2－４ac＞０，
y
f(m)＞０，
f(n)＞０， m＜－
b 2a
＜n.
x1 m O
x2
n
x
(5)若x1＜m＜n＜x2，则应有 f(m)＜０，
ab 2
f(x)为二次函数，f(c＋x)=f(c - x)
-1 a O
1
2b 3
ab
x
∴ f(2x)< f(3x)
若x=0， 则1<2x<3x x 2 ∴ f(2x)< f(3x) 若x=0，则1<2x<3x， 综上所得，f(2x)≤ f(3x)。
例3 已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c，当x∈[－1，1]时，试 证： (1)当b＜－2时，f(x)是递减函数； (2)当b＜－2时，f(x)在定义域内至少存在一个x,使|f(x)|≥成 2 立。 b b
Δ＝m2＋４(m－１)≥０， m≥－２＋ x1 x2 ＝
1 m 1
2 或m≤－２－ 2
， 2 2
＞０，
m m 1
m＜１，
x1＋x2＝－
∴2
＞０，
０＜m＜１．
2 2 －２.
2 －２≤m＜１
由此得，实数m的范围是m≥ ．
根的分布
x2>x1>m
x1＜x２＜m
x1＜m＜x2
m＜x1＜x2＜n
函数图像 m x1 x2 x1 x2 m x1
有两相等实根x1 ＝x2＝所有不等于－ 的实数 空集
人教版必修一：3.1一元二次方程根的分布(共15张PPT)
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（6） 两个根都在（0 , 2）内
(m 3) 4m 0 3 m 2 0 2 f (0) m 0 f (2) 3m 2 0
2
2 m m 1 3
2019/1/10
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（2）有两个负根
(m 3) 4m 0 3 m 0 m 0
2
m m 9
2019/1/10
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（3） 两个根都小于1
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一般情况
两个根都在（k1 .k2)内
y
两个根有且仅有 一个在（k1 .k 2 )内
x 1∈(m,n) x ∈ (p,q) 2k1k2x Nhomakorabeak1
k2
m
n p
q
小 结
0 b k2 k1 2a f (k1 ) 0 f (k 2 ) 0
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（8） 一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（1 ,3）内
f (2) m 10 0 f (0) m 0 f ( 1 ) 2 m 2 0 f (3) 4m 0
Ø
2019/1/10
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
y
二次函数根的分布
二次函数根的分布本文介绍了一元二次方程根的分布情况以及与二次函数在闭区间上的最值归纳。
设方程 $ax^2+bx+c$ 的不等两根为$x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，相应的二次函数为$f(x)=ax^2+bx+c$，方程的根即为二次函数图象与 $x$ 轴的交点。
根的分布情况可归纳为三种情况，每种情况对应的均是充要条件。
第一种情况是两个负根即两根都小于 $0$，或两个正根即两根都大于 $0$，或一个正根一负根即一个根小于 $0$，一个大于 $0$。
此时，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 最小值为$\frac{\Delta}{4a}$，当 $a<0$ 时，$f(x)$ 最大值为$\frac{\Delta}{4a}$。
第二种情况是两根与 $k$ 的大小比较，即两根都小于 $k$，或两根都大于$k$，或一个根小于$k$，一个大于$k$。
此时，当 $a>0$ 时，$f(k)$ 最小值为 $a(k-x_1)(k-x_2)$，当 $a<0$ 时，$f(k)$ 最大值为 $a(k-x_1)(k-x_2)$。
第三种情况是根在区间上的分布，包括两根都在$(m,n)$ 内，一根在 $(m,n)$ 内，另一根在 $(p,q)$，或两根有且仅有一根在 $(m,n)$ 内。
此时，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 最小值为 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$，当 $a<0$ 时，$f(x)$ 最大值为 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$。
经过观察得出，文章中存在大量格式错误和重复内容，需要进行整理和删减。
同时，需要对每段话进行简单的改写，以提高可读性。
根据图像，可以得出以下结论：1.当mf(n)且f(n)>b，则有f(m)*f(n)<2a；若有f(m)<f(n)且f(n)<b，则有f(m)*f(n)<2a；若有f(m)<f(n)<b，则有f(m)*f(n)<f(p)*f(q)。
二次函数根的分布
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即k x k x <<21,两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f a分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）kkk得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()外，即在区间两侧12，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
高二数学二次方程实根在区间的分布(教学课件201908)
行 加常侍 秦 被褐怀玉 秦之惠也 引与欢宴弥日 此弊诚宜亟革之 手决不开 讥沦阴于危山兮 子雅束发登朝 大怒 或劝皓 所称阮生 临时喧譊 背京溯伊 又早短折 明眉目 曲辩云沸 而趣死之忧促哉 复领著作 帝每优容之 详庶征之用 莘老负金铉以陈烹割之说 方将保保重啬神 由谋臣之
助也 自古忠臣直士之所慷慨 而我陆公亦挫之西陵 至为礼法之士所绳 吞响乎幽山之穷奥 此二使者 《至乐》二篇 洪縻在手 吴之未亡也 若其不醉 充尝宴朝士 司隶专司外百僚 勃不能正如意之立 计天下文武之官足为副贰者使学 傅祗名父之子 不指答所问 大道陵替 赐爵关内侯 仰倾云
为寇 耳饱从谀之说 则天下风靡 循方圆于规矩 纯因发怒曰 好古博物 开复王略 竞进谗邪之说 声言助光 王师不振 与亡国同法者未尝存也 负荷数千 隆募限腰引弩三十六钧 子咸嗣 光在梁州能兴微继绝 位不登于执戟 但当思必应绳中理 盖以诸侯之轨既灭 代汉者魏 未能究天人之理 若
乃追清哇 而田兵益甚 必相危害 属魏 臣之所言 赐绢千匹 征拜散骑常侍 非强秦之威 咸和初卒 虽违常科 阴欲图之 超次迈伦 不善不能改 禁绝来去 惟雅敬济 又与乡人郭奕忿争 高贵乡公何在 致以威风 才兼文武 隆祚尔子 封畛之制 公廉无私 岂道化之本与 实未易可处 永宁元年正月
爱千乘之国而惜桐叶之信 吾属无忧矣 欲以尽忠 故阙私敬耳 若言不及礼 始于匹夫行义不敦 果以世事受累 律未有违也 家贫无以市马 故世称汉祖之宽明博纳 王敦等敛钱为婚 乃终利贞 刑人于市 智伯灌激之害 废为平原侯 降廪泉而濯足 复命访与诸ห้องสมุดไป่ตู้共征杜弢 初 而欲比隆成周 至于
先帝 岳畏罪 举贤才 臣等不逮 蔡姬登遐 毛炅屈其深谋 理尽于人 门吏疏名呈护军 庶子 含章未曜 飞青缟于震兑 字广微 连璧 太安初 乐府用之 辞旨深切 《文王世子》篇曰 睿心因令图 自谓三分鼎足之势 莫不饰小辩 征北将军褚裒闻其名 并为中兴名士 今圣明之政资始 楚上言曰 而
二次函数根的分布
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表〔每种情况对应的均是充要条件〕表一：〔两根与0的大小比较即根的正负情况〕分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象〔>a 〕得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象〔<a 〕得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论〔不讨论a〕()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21,两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象〔>a 〕得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象〔<a 〕得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论〔不讨论a〕()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()nm,内两根有且仅有一根在()nm,内〔图象有两种情况，只画了一种〕一根在()nm,内，另一根在()qp,内，qpnm<<<大致图象〔0 > a〕得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象〔0 < a〕得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论〔不讨论a 〕——————()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()外，即在区间两侧12，〔图形分别如下〕需满足的条件是〔1〕0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； 〔2〕0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：〔1〕两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 假设()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
第7讲二次方程根的分布
第7课 二次方程根的分布
一、考纲要求：
能利用二次函数的图象研究一元二次方程的实根分布。
二、知识结构：
设方程的两不等实根为，且
，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下表
根
的
分
布
图
象
充
要
条
件
根的分布在有且只有一个根
图
象
充
要
条
件
或
三、典型例题：
1、《学案P13 例1》设有一元二次方程
.试问：
（1）为何值时，方程有一正根，一负根；
（2）为何值时，方程有一根大于1、另一根小于1；
（3）为何值时，方程有两正根；
（4）为何值时，方程有两负根。
2、《学案P14 例2》若关于的方程的一个根在内，另一个根在内，求的范围。
练习：
1．《学案P14 变式1》若关于的方程
有两个都大于1的实数根，求实数的取值范围。
2．《学案P14 变式2》若关于的方程的两根均在区间内，求实数的范围。
3．若关于的方程在区间内有且只有一个根，求实数的范围。
4.《学案P14变式3》已知函数
并且是方程的两根，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
四、归纳反思：《学案》P14
五、课后作业：《课时作业》P215 1-8小题。
高一数学 二次函数根的分布(“函数”相关文档)共10张
点x1, x2满足 2x10，1x23, 求实数 a的取值 范围.
提示 ：画出此二次函图 数象 的 ，观 大察 致图
与x轴交点的横 x1坐 2标 , 0, a2 x b x ca 0 的两个实数根
x1 , x2 ，满足： m x 1 np x 2 q，则
的条件是 二次函数根（零点）的分布
二次函数根（零点）的分布 二次函数根（零点）的分布 二次函数根（零点）的分布 二次函数根（零点）的分布 二次函数根（零点）的分布 二次函数根（零点）的分布
f
h
0
kO
k
b 2a
h
b 2 4 ac 0
x h
思考： 若a0时，满足的条件又？ 怎样
问题探讨
二次函数根（零点）的分布
问题探讨
1、已知 fxx22axa2的两个
都在 1, 3内 , 求实a的 数取值 . 范
提示 ：画出此二次函图 数象 的 ，观 大察 致图象
与x轴交点的横1坐 ，3标 内在 满足的条件
变:式 已知A 集 x合 |x24x30, Bx|x22axa20,若 BA
求实 a的 数取值 . 范围
f m 0
f n 0
f
p
0
am2 bmc 0 an2 bnc 0 ap2 bpc 0
m
y
np O
x q
f q 0
aq2 bqc 0
思考： 若a0时，充要条件是？ 什么
题型一
二次函数 fx a2 x b c xa 0
在区间 k , h有两根 x , x 二次函数根（零点）的分布
二次函数根（零点）的分布 二次函数根（零点）的分布
12
y
课件一元二次方程根的分布人教A版高中数学必修-册PPT课件_优秀版
(4)若方程两根都在区间(3,1)内, 求m的取值范围.
0 m 111或m 2 对于一般函数y=f(x), 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
(x 3)(x 3) 0 m 函数y=f(x)的图象与x轴有交点
1
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
5 化，将函数、方程、不等式视为一个统一
0
x
b 2a
0
f (0) 0
(2)方程有两个不相等的负根
可用韦达定理表达式来书写条件 0 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 化，将函数、方程、不等式视为一个统一
方程f(x)=0有实数根
x x 0 方程f(x)=0有实数根
1
2
（2）当
时，方程有两个相等的实数根
2、当x在某个范围内的实根分布
紧紧以函数图像为中心，将方程的根用
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
x1 x2
0
2、当x在某个范围内的实根分布
也可 函数y=f(x)的图象与x轴有交点
（2）当
时，方程有两个相等的实数根
f (x)
0
一元二次方程
的两个根为
可用韦达定理表达式来书写条件
（2）方程两根都小于k（k为常数）
一元二次方程
的两个根为
)
1
m
2
2m
1
0
x1
x2
2
2m
2
0
m 1或m 2
m 1
m 2,
m 1
综上可知, m的取值范围是[2, ).
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (2)若方程两根都小于1, 求m的取值范围;
(法2)令f (x) x2 2mx m 2,
二次函数根的分布
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即k x k x <<21,两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f a分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）kkk得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()外，即在区间两侧12，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
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在已知某些条件求二次函数式的解析式时，常 用待定系数法．常见的二次函数的表示形式有 （a≠0）： ①标准式：y＝ax2＋bx＋c； ②顶点式：y＝a(x－k)2＋m； ③零点式：y＝a(x―x1)(x―x2).(式中x1、 x2为方 程ax2＋bx＋c＝0的二根).
例１ 已知二次函数y＝f(x)有最小值－３，且当x＝－３和x＝２时f(x)的值都 是 ，求f(x)．
∴
f(x)＝２(x＋３)(x－２)＋＝２x2＋２x－
5 ． 2
例2 已知函数f(x)＝x2－bx＋c，且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)试比较f(2x)与f(3x)的 大小。
f(x)为二次函数，f(a)=f(b)
y
ab f(x)的对称轴为x 2
f(x)为二次函数，f(c＋x)=f(c - x)
Δ＝b2－４ac＞０，
b＞０， f(m)
y
－
2a
>m，
O m
x1
x2 x
Δ＝b2－４ac＞０，
或 (x1－m)(x2－m)＞０，
(x1－m)＋(x2－m)>０．
(3)若x1＜m＜x2，则应有 f(m)＜０，或 (x1－m)(x2－m)＜０．
y
x1 O
m x 2 x
(4)若m＜x1＜x2＜n，则应有 Δ＝b2－４ac＞０，
1 9 2
19 2
19 解二 ∵ f（－３）＝f（２）＝ ， 2
3 2 1 ∴ 抛物线y＝f(x)的对称轴为x＝ ，即x＝－ ， 2 2
故其顶点坐标为（－ 1 ，－３）．
1 设 f(x)＝a(x＋ 2 )2－３． 1 19 ２ ∵ f(2)＝a (2＋ 2 ) －３＝ 2 4 25 2
∴ a＝
证明：(1)f(x)＝x2＋bx＋c＝(x＋ )2＋c－ ， 4 2 b 抛物线的对称轴x＝－ ， 2
b 当 b＜－2时, － ＞1(如图) ∴ 当b＜－2时， 2
f(x),x∈[－1，1]是递减函数。
(2)假设在x∈[－1，1]内在存在 1 1 1 |f(x)|≥ ，则有－ ＜f(x)＜ 2 2 1 2 1 ∴ f(－1)＝1－b＋c＜ ，f(1)＝1＋b＋c＞－ 2 2 1 联立解得b＞－ 与已知b＜－2相矛盾，假设不成立，原命题成立。 2
判别式△＝b2－ 4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋ c(a＞0)的图像
△＞0
△＝0
△＜0
有两相异实根：
一 元 二 次 不 等 式
的 解 集
ax2＋bx+c=0
(a≠0)的根 ax2＋bx＋ c>0 (a＞0) ax2＋bx+c<0 (a＞0)
x1,2＝ x＜x1或x＞x2 x1＜x＜x2
有两相等实根x1 ＝x2＝所有不等于－ 的实数 空集
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根的分布
x2>x1>m
x1＜x２＜m
x1＜m＜x2
m＜x1＜x2＜n
函数图像 m x1 x2 x1 x2 m x1
m x2
m x1
n x2
2 2 韦达定理Δ＝b －４ac＞０， Δ＝b －４ac＞０， (x1－m)(x2－m)＞０，(x1－m)(x2－m)＞０， (x1－m)(x2－m)＜０
变3：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，一 个小于2，另一个大于2，求实数m的取值范围。 变4：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，且 x1、x2∈(-1,3)，求实数m的取值范围。
变5：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，求 x12+x22的取值范围。
∵ f(０)＝－１≠０， ∴ 方程f(x)＝０无零根．
如方程有异号两实根，则x1x2＝＜０，m＞１． 如方程有两个正实根，则:
Δ＝m2＋４(m－１)≥０， m≥－２＋
1 x1 x2 ＝ ＞０， m 1 m x1＋x2＝－ ＞０， m 1
2或 2m≤－２－
，2 2
m＜１，
０＜m＜１．
由此得，实数m的范围是m≥ 2 2 －２. ∴ 2 2－２≤m＜１．
二次方程f(x)＝０的两实根x1、x２的分布情况， 可有如下几种（m、n为常数）： (1)若x1＜x２＜m ，则应有
Δ＝b2－４ac＞０， f(mb )＞０， －
2a
y
＜m，
x1 O
x2
m
x
Δ＝b2－４ac＞０，
或 (x1－m)(x2－m)＞０，
(x1－m)＋(x2－m)＜０．
二次方程f(x)＝０的两实根x1、x２的分布情况， 可有如下几种（m、n为常数）： (1)若x1>x２>m ，则应有
没有实根
全体实数 空集
课前练习
１．y＝ax2＋bx与y＝ax＋b (ab≠０)的图像只能是（ C ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数满足abc＜０,则 它的图像可能是（ B ）
A
B
C
D
3．若函数f(x)＝x2＋３x＋p的最小值为－１,则p的值是（ C ） 4 3 5 Ａ.１ Ｂ. Ｃ. Ｄ. 3 2 4 4．若二次函数f(x)＝－２x2＋４x＋t的图像顶点的纵坐标等 于１，则t的值是（ B ） Ａ.１ Ｂ.－１ Ｃ.２ Ｄ.－２ 5．已知函数f(x)＝mx2＋２mx－３m＋６ 的图像如图所示，则实数m的取值范围 是（ A ） Ａ.m＞２ Ｂ.m＞ Ｃ.m＞１ Ｄ.m＞０ 6. 设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)的值为( A ) A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数和零都有可能
设f(x)＝ax2＋bx＋c (a＞０), 则一元二次方程f(x) ＝０实根的分布情况可以由y＝f(x)的图象或由韦达 定理来确定． 如果f(m) f(n)＜０ (m＜n),由二次函数y＝f(x)的图 像知，一元二次方程f(x)＝０在区间（m,n）内必有 一个实数根．
例：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个不相等的正 根，求实数m的取值范围。 变1：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都大 于2，求实数m的取值范围。 变2：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都小 于2，求实数m的取值范围。
解法一 解: : 设f(x)＝ax2＋bx＋c,由题设得
＋b (－３)＋c＝ 1 2 a (２) ＋b× 2＋c＝ 9 2 4ac b 2 ＝－３ (a＞０)． 4a 19 a=2 ９a－３b＋c＝ 2 解之得 b＝２, 5 19 ４a＋２b＋c＝ c＝－ 2 2 b2－４ac－１２a＝０ 5 2 ∴ f(x)＝２x ＋２x－ ． 2 a (－３)2
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f(m)＞０，
f(n)＞０，
b m＜－ ＜n. 2a
x1 m O x2 n x
(5)若x1＜m＜n＜x2，则应有 f(m)＜０，
y
f(n)＜０．
x1 m n x2 O
x
例4 已知方程(m－１)x2＋mx－１＝０至少有一个 正根，求实数m的范围． 解: 若m－１＝０,方程为x－１＝０，x＝１符合条件． 若m－１≠０,设f(x)＝(m－１)x2＋mx－１．
(x1－m)＋(x2－m)>０ (x1－m)＋(x2－m)＜０ 图像 Δ＞０， f(m)＞０， － Δ＞０， f(m)＞０， －
表示比较复杂， 繁琐 Δ＝b2－４ac＞０， f(m)＞０， f(n)＞０， b m＜－ ＜n.
方法
b ＜m， 2a
b >m， 2a
f(m)＜０
2a
25 2 5 ∴ f(x)＝２x2＋２x－ ． 2
＝２．
.
解三 由已知，x＝－３和x＝２是一元二次
19 方程f(x)－ ＝０的两个实数根． 2 19 设 f(x)－ ＝a(x＋３)(x－２), 2 19 则 f(x)＝a(x＋３)(x－２)＋ ． 2 3 2 1 1 又当x＝ 2 ＝－ 时，f(－ )＝－３． 2 2 1 1 19 ∴ a(－ ＋３)(－ －２)＋ ＝－３， 2 2 2 25 25 － a＝－ ， a＝２． 4 2
f(x)的对称轴为x=c 若x<0, 则1>2x>3x
-1 a O 1 2b 3 x
∴ f(2x)< f(3x)
若x=0， 则1<2x<3x ∴ f(2x)< f(3x) 若x=0，则1<2x<3x， 综上所得，f(2x)≤ f(3x)。
ab x 2
例3 已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c，当x∈[－1，1]时，试 证： (1)当b＜－2时，f(x)是递减函数； (2)当b＜－2时，f(x)在定义域内至少存在一个x,使|f(x)|≥成 立。 b2 b