材料力学答案 第三版 单辉祖 北航教材

题A-6图
解：由截面关于 轴的对称性可得
A-7试计算图a所示截面对坐标轴y的惯性矩。
题A-7图
解：如图b所示，在横坐标y处，取宽为dy、高为z的狭长矩形为微面积，它对坐标轴y的惯性矩为
由此得
A-8图示曲边三角形EFG，z轴为平行于EF边的形心轴，试计算该截面对z轴的惯性矩。
题A-8图
解：曲边三角形的面积 ，可视为为正方形面积 与 圆面积 之差（见图A-8），即
图A-13a
由
得
最后得到
(b)解：坐标示如图A-13b，有
图A-13b
由
得
从而得
于是得
2．用几何法证明
以 为横坐标，以 为纵坐标，画惯性圆，是一个落在横坐标轴上的点圆。欲证的结论一目了然。
(c)解：设等边三角形的边宽为a，高为h，则
由此得，
还可知，
可见，情况与题（a）及（b）相同，故结论亦同。
A-11试计算图a所示矩形截面对AA轴的惯性矩。
题A-11图
解：选坐标系如图b所示，得
从而有
图A-8
由图可知， 及 的形心位置（竖向）依次为
由
可得 的形心位置为
曲边三角形截面对 轴的惯性矩为
于是得
A-9试计算图示截面对水平形心轴z的惯性矩。
题A-9图
(a)解：1.确定形心位置（到顶边之距为 ）
2．计算惯性矩
(b)解：根据教材附录 第4行的公式，可直接计算惯性矩，
(c)解：1.确定形心位置（到大圆水平直径之距为 ）
图A-2b
且 在 与 之间变化，而
由此可得
A-4试计算图示截面对水平形心轴z的惯性矩。
题A-4图
解：显然，
A-5试计算图a所示正六边形截面对水平形心轴z的惯性矩。
题A-5图
解：由图b可以看出，
所以，ADB对z轴的惯性矩为
中部矩形截面对z轴的的惯性矩为
于是得整个六边形截面对z轴的惯性矩为
A-6试计算图示截面对水平形心轴z的惯性矩。
根据转轴公式，
将相关表达式代入上式，得
A-12图示矩形截面，试确定A点的主轴方位及截面对该主轴的惯性矩。
题A-12图
解：坐标取如图A-12，并设边长 ， ，于是有
图A-12
依据主轴方位与主惯性矩公式，得
A-13试求图示各截面的主形心轴位置及主形心惯பைடு நூலகம்矩。
题A-13图
(a)解：坐标示如图A-13a， 为截面形心。
附录A截面几何性质
A-1试确定图示截面形心C的横坐标yC。
题A-1图
(a)解：坐标及微面积示如图A-1a。
图A-1a
由此得
(b)解：坐标及微面积示如图A-1b。
图A-1b
由此得
A-2试计算图示截面对水平形心轴z的惯性矩。
题A-2图
(a)解：取微面积如图A-2a所示。
图A-2a
由于
故有
(b)解：取微面积如图A-2b所示。
结果为负值，表示形心 在大圆水平直径上方。
2．计算惯性矩
A-10试证明下列截面的形心轴均为主形心轴，且截面对这些主形心轴的惯性矩均相同。
题A-10图
(a)与(b)解：1．用解析法证明
沿水平与铅垂方位建立直角坐标系Cyz，显然有
(a)
将坐标转任意角 ，得坐标系Cuv，由于
考虑到式（a），从而有
由此得出结论，截面的形心轴均为主形心轴，且截面对这些主形心轴的惯性矩均相同。