函数概念的产生及其背景-PPT课件
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3.1.1函数的概念 课件(共23张PPT)
3
十 八 世 纪
伯努利称其为变量与常量的组合 欧拉认为其是某些变量依赖另一些变量的变化
4
十 九 世 纪
柯西，傅里叶，狄利克雷提出“对应关系”，也就是我们 初中学习到的函数的定义
5
一.知识回顾
初中学习的函数概念是什么？
设在某一变化过程中有两个变量x与y，如果 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应， 则称y是x的函数。x是自变量，y是因变量。
22
例题六：已知函数 f (x) x 3 1
x2
(1)求该函数的定义域 (2)求当x=-3时该函数的值
答案：1.{x|x≥-3且x≠-2}
2.f (-3)= -1
23
例题五：
(1){x|x≤-3}用区间表示为
答案: (1)(-∞,-3]
(2)数集{x|x>5}用区间表示为
(2)(5,+∞)
(3)数集{x|1<x≤7}用区间表示为
(3)(1,7]
(4)数集{x|x<-2或x≥6}用区间表示为 (4)(-∞,-2)∪[6,+∞)
21
注意：
1.区间是集合 2.区间的左端点必须小于右端点 3.区间中的元素都是实数，可以在数轴上表示出来 4.以－∞或+∞为区间的一端时，这一端必须是小括号
值域也就随之确定了.如果两个函数的 这两个
完全相同就称
15
例题三：判断下列各组中两个函数是否为同一个函数
(1) f ( x) x 与g(x)= x 2;
(2)f ( x) x与g( x) 3 x3 ; (3) f ( x) x 1 x 1与g( x) x2 1; (4) f ( x) x2 2 x 1与g(t) t 2 2t 1.
十 八 世 纪
伯努利称其为变量与常量的组合 欧拉认为其是某些变量依赖另一些变量的变化
4
十 九 世 纪
柯西，傅里叶，狄利克雷提出“对应关系”，也就是我们 初中学习到的函数的定义
5
一.知识回顾
初中学习的函数概念是什么？
设在某一变化过程中有两个变量x与y，如果 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应， 则称y是x的函数。x是自变量，y是因变量。
22
例题六：已知函数 f (x) x 3 1
x2
(1)求该函数的定义域 (2)求当x=-3时该函数的值
答案：1.{x|x≥-3且x≠-2}
2.f (-3)= -1
23
例题五：
(1){x|x≤-3}用区间表示为
答案: (1)(-∞,-3]
(2)数集{x|x>5}用区间表示为
(2)(5,+∞)
(3)数集{x|1<x≤7}用区间表示为
(3)(1,7]
(4)数集{x|x<-2或x≥6}用区间表示为 (4)(-∞,-2)∪[6,+∞)
21
注意：
1.区间是集合 2.区间的左端点必须小于右端点 3.区间中的元素都是实数，可以在数轴上表示出来 4.以－∞或+∞为区间的一端时，这一端必须是小括号
值域也就随之确定了.如果两个函数的 这两个
完全相同就称
15
例题三：判断下列各组中两个函数是否为同一个函数
(1) f ( x) x 与g(x)= x 2;
(2)f ( x) x与g( x) 3 x3 ; (3) f ( x) x 1 x 1与g( x) x2 1; (4) f ( x) x2 2 x 1与g(t) t 2 2t 1.
高中数学《函数的概念》课件
定义域和值域
了解函数定义的形式及其定义域 和值域非常重要。
函数的图像
函数图像的概念
掌握如何根据函数的定义、域、值域和公式绘制函数的图像。
如何绘制函数图像
学习如何使用函数的公式和几何方法来绘制函数的图像。
函数的对称性
探究函数的不同对称性，例如奇偶性和周期性。
函数的性质
1
奇偶性与周期性
了解函数的基本性质，例如奇偶性和周期性，可以帮助简化函数的分析。
高中数学《函数的概念》 ppt课件
数学是一门让人兴奋的学科。接下来，我们将探讨高中数学的一个关键主题： 函数的概念。通过本课程，你将深入了解函数的基本定义、图像、性质及其 实际应用。
函数的定义
定义及其常见表示形式
掌握函数的不同表示形式是理解 数学中其他相关概念的基础。
自变量和因变量
发现自变量和因变量之间的关系 对于定义函数是至关重要的。
函数在工程学中的应用
了解如何在工程学中使用函数来 解决复杂的问题，例如建筑和机 械设计。
总结与展望
1
函数的重要性及其实际应用
掌握函数的概念和应用，可以让你更好地理解标准数学中的其他相关主题。
2
未来函数研究的发展趋势
了解当前对函数研究的最新趋势是什么，可以让你更好地理解数学的未来。
3
课程回顾及展望
回顾本课程的内容，并思考如何将所学应用到实际的问题中。
2
单调性和极值
发现函数的单调性和极值有助于确定函数的最大值和最小值。
3
泰勒公式与函数的逼近
了解如何使用泰勒公式来将函数逼近到无穷小的阶数，以获得更多信息。
函数的应用
函数在经济学中的应用
学习如何使用函数来分析经济数 据，例如股票市场和消费趋势。
函数概念的产生及其背景
后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖 着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化， 那么第一个量称为第二个量的函数。“这个定义 虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动 注入到函数定义中去，是可喜的进步。”
在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影 响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张 函数不必局限于解析表达式。1822年，他在名著 《热的解析理论》中说，“通常，函数表示相接 的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意 的……，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的 规律；他们以任何方式一个挨一个。”
化。函数值可以由解析式给出，也可以由 一个条件给出，这个条件提供了一种寻求 全部对应值的方法。函数的这种依赖关系 可以存在，但仍然是未知的。”这个定义 建立了变量与函数之间的对应关系，是对 函数概念的一个重大发展，因为“对应” 是函数概念的一种本质属性与核心部分。
1837年，德国数学家狄里克莱（Dirichlet）
几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表 达式也是一个问题。但是不管其能否用表达
式表示，在狄里克莱的定义下，这个f（x）
仍是一个函数。
狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数 定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全 清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至 此，我们已可以说，函数概念、函数的本质 定义已经形成，这就是人们常说的经典函数 定义。
函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然 只相差几个字，但却是概念上的重大发展， 是数学发展道路上的重大转折，近代的泛 函分析可以作为这种转折的标志，它研究 的是一般集合上的函数关系。
函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形 成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了。 不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形 式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十 年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概 念——“关系”。
3.1.1函数的概念(共53张PPT)
其中表示同一个函数的是________．(填上所有同一个函数的序号)
【解析】 (1)①错误．函数 f(x)＝x0 的定义域为{x|x≠0}，函数 g(x)＝1 的定 义域是 R，不是同一个函数； ②正确．y＝f(x)，x∈R 与 y＝f(x＋1)，x∈R 两函数定义域相同，对应关系 可能相同，所以可能是同一个函数；③正确．两个函数定义域相同，对应关 系完全一致，是同一个函数．所以正确的个数有 2 个．
(3)要使此函数有意义，则 xx＋ ＋32≥ ≠00，⇒xx≥ ≠－ －32，⇒x≥－3 且 x≠－2. 所以 f(x)的定义域为{x|x≥－3 且 x≠－2}．
探究点 3 同一个函数
(1)给出下列三个说法：
①f(x)＝x0 与 g(x)＝1 是同一个函数；②y＝f(x)，x∈R 与 y＝f(x＋1)，x∈R
1．下列图形中可以表示以 M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以 N＝{y|0≤y≤1}为
值域的函数的图象是
()
解析：选 C.由函数的定义知选 C.
2．(多选)下列两个集合间的对应中，是 A 到 B 的函数的有 A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A 中的数的平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A 中的数的开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A 中的数的倒数 D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A 中的数的 2 倍
③函数就是两个集合之间的对应关系．
其中正确说法的个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
(3)已知集合 A＝[0，8]，集合 B＝[0，4]，则下列对应关系中，不能看作是
从 A 到 B 的函数关系的是
()
A．f：x→y＝18x
函数的概念与表示法课件(共19张PPT)
( x 1) 1 x 的定义域为_____ (2)函数 y ( x 1)
解题回顾：求函数f(x)的定义域，只需使解析式有 意义，列不等式组求解.
抽象函数定义域问题：
抽象函数 ：没有给出具体解析式的函数 2. (1)已知函数 y
1 y f ( x 1) 的定义域为______ 2
探究提高: 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，
关键要抓住在不同的段内研究问题.
如本例，需分x>0时，f(x)=x的解的个数
和x≤0时，f(x)=x的解的个数.
“分段函数分段考察”
五 抽象函数
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
f(1)=2,则f(-3)等于( C ) A.2 B.3 C.6
推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数 的两个集合A、B必须是非空数集.
典型例题：
一：函数的基本概念：
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( )
A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.②
解析：由函数的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.
A
B
x
f ( x)
（2）函数的定义域、值域： 在函数 y f ( x ), x A 中，x叫做自变量,x的取 值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值 叫做函数值，函数值的集合f ( x) x A 叫做函数的 值域。 （3）函数的三要素：定义域、值域和对应法则 . （4）相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完 全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的 依据.
第1讲 函数的概念及其表示PPT课件
值为________．
解析 (1)依题意，3＞0，得 f(3)＝f(3－1)－f(3－2)＝f(2)－f(1)，
又 2＞0，所以 f(2)＝f(2－1)－f(2－2)＝f(1)－f(0)；
所以 f(3)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)，
解析 (1)由题意 1－2x≥0， 解得－3＜x≤0. x＋3＞0，
(2)求函数的值域：①当 所给函数是分式的形式， 且分子、分母是同次的，
(2)y
＝x－3＝x x＋1
＋1－4＝1－
x＋1
x
＋4 1，因为x＋4 1≠0，
可考虑用分离常数法；② 若与二次函数有关，可用
所以 1－x＋4 1≠1. 即函数的值域是{y|y≠1}．
获取详细资料请浏览：
知识与方法回顾 知识梳理
辨析感悟
探究一 求函数的定义域与值域
技能与规律探究 探究二 分段函数及其应用
探究三 求函数的解析式
例1 训练1
例2 训练2
例3 训练3
经典题目再现
第1页
返回概要
结束放映
1.函数的基本概念
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(1)函数的定义 一般地，设A，B是两非空 个数集，如果按照某种确定的对应
结束放映
3.函数值域的求法
获取详细资料请浏览：
方法 配方法 性质法 单调性法 换元法
分离常数法
示例 y＝x2＋x－2 y＝ex y＝x＋ x－2 y＝sin2 x＋sin x＋1 y＝x＋x 1
示例答案
y∈－94，＋∞
y∈ (0，＋∞) y∈ [2 ，＋∞)
y∈34，3
y∈(－∞，1)∪(1，＋∞)
(3)函数的三要素是： 定义域 、 值域 和对应关系． (4)表示函数的常用方法有： 解析法 、 列表法 和图象法．
函数概念ppt课件
复合函数的运算规则
复合函数的性质
复合函数具有一些重要的性质，如单 调性、奇偶性等，这些性质可以通过 对组成复合函数的各个函数的性质进 行分析得出。
复合函数的运算规则是先计算内层函 数，再计算外层函数，依次类推，直 到所有的函数都计算完毕。
反函数的概念与运算
01
02
03
反函数的概念
反函数是指将一个函数的 输入和输出互换，得到一 个新的函数。
一次函数
形如f(x)=kx+b的函数， 其中k和b为常数且k≠0。
分式函数
形如f(x)=k/x的函数，其 中k为常数且k≠0。
对数函数
形如f(x)=log_a x的函数， 其中a为常数且a>0且a≠1
。
02 函数的性质
有界性
总结词
函数的值域在一定范围内变动，不会 无限增大或减小。
详细描述
函数的输出结果总是在一定的范围内 ，不会超出这个范围。例如，正弦函 数和余弦函数的值域都在-1到1之间。
函数的定义域和值域是函数的重要属性，它们决定了函数的作用范围和 结果范围。
函数的表示方法
解析法
用数学表达式来表示函数，是最 常用的一种表示方法。例如， f(x)=x^2表示一个函数，当x取 任意实数时，都有唯一的y值与 之对应。
表格法
通过表格的形式来表示函数，对 于一些离散的函数可以用此方法 。例如，一个离散函数的值可以
函数概念ppt课件
• 函数的基本概念 • 函数的性质 • 函数的运算 • 函数的应用 • 函数的图像
01 函数的基本概念
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它是一种特殊的对应关系，这种对应关系使 得对于数集A中的每一个元素，通过某种法则，都可以唯一地对应到数集 B中的一个元素。
复合函数的性质
复合函数具有一些重要的性质，如单 调性、奇偶性等，这些性质可以通过 对组成复合函数的各个函数的性质进 行分析得出。
复合函数的运算规则是先计算内层函 数，再计算外层函数，依次类推，直 到所有的函数都计算完毕。
反函数的概念与运算
01
02
03
反函数的概念
反函数是指将一个函数的 输入和输出互换，得到一 个新的函数。
一次函数
形如f(x)=kx+b的函数， 其中k和b为常数且k≠0。
分式函数
形如f(x)=k/x的函数，其 中k为常数且k≠0。
对数函数
形如f(x)=log_a x的函数， 其中a为常数且a>0且a≠1
。
02 函数的性质
有界性
总结词
函数的值域在一定范围内变动，不会 无限增大或减小。
详细描述
函数的输出结果总是在一定的范围内 ，不会超出这个范围。例如，正弦函 数和余弦函数的值域都在-1到1之间。
函数的定义域和值域是函数的重要属性，它们决定了函数的作用范围和 结果范围。
函数的表示方法
解析法
用数学表达式来表示函数，是最 常用的一种表示方法。例如， f(x)=x^2表示一个函数，当x取 任意实数时，都有唯一的y值与 之对应。
表格法
通过表格的形式来表示函数，对 于一些离散的函数可以用此方法 。例如，一个离散函数的值可以
函数概念ppt课件
• 函数的基本概念 • 函数的性质 • 函数的运算 • 函数的应用 • 函数的图像
01 函数的基本概念
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它是一种特殊的对应关系，这种对应关系使 得对于数集A中的每一个元素，通过某种法则，都可以唯一地对应到数集 B中的一个元素。
函数的概念ppt课件
函数的特性
确定性
对于给定的输入值，函数总是产生一个唯一的 输出值。
可计算性
函数可以在有限的步骤内计算出输出值。
可重复性
对于相同的输入值，函数总是产生相同的输出值。
函数的类别
多项式函数
由多项式组成的函数，如二次 函数、三次函数等。
指数函数
输出值与输入值的指数相关的 函数。
线性函数
输出值与输入值成正比关系的 函数。
极限的分类
根据函数趋于某点的不同方 式，极限分为左极限和右极 限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、 局部保号性等性质。
极限的运算性质
极限的加减乘除法则
极限的加减乘除运算法则可以用来计算极限。
极限的复合运算
复合运算是指将多个基本运算组合在一起进行计算。
重要极限及其推论
重要极限是极限计算中常用的几个基本极限，它们具 有形式简单、应用广泛的特点。
优化组织管理
在组织管理中，函数可以用来优化流程和资源配置，提高组织效率和 绩效。
1.谢谢聆 听
对应关系
自变量与因变量之 间的对应关系。
变量
函数中的自变量和 因变量。
定义域
函数中自变量的取 值范围。
解析式
用数学表达式来表 示函数关系。
值域
函数中因变量的取 值范围。
图表法表示函数
坐标系
建立直角坐标系，以横轴表示自变量，纵轴 表示因变量。
连线
描点
根据函数的对应关系，在坐标系上描出相应 的点。
用平滑的曲线将这些点连接起来，形成函数 图像。
函数的连续性
连续性的定义
如果函数在某一点处的极限等于该点的函数 值，则函数在该点连续。
函数概念的发展历程ppt课件
函数概念的初步形成（解析函数时期）
解析函数时期的发展要依托与微积分的发展与促进。 首先是瑞士著名数学家约翰 贝努利，他提出：积分工作的目的是在给定 变量的微分中，找出变量本身之间的关系。而后，他又从解析的角度把 函数定义为：“变量的函数就是由某个变量及任意一个常数结合而成的 量。” 18世纪，约翰 贝努利的学生欧拉，进一步推广了老师对于函数的定义， 并且在1734年欧拉就已经用符号来表示函数，并且至今仍在使用。
函数概念的确立（变量函数）
第三阶段，代表人物是法国数学家柯西，他给出了类似初中课本中对于函数的定义：“在某些变数间存在 着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可以随着确定时，则将最初的变数叫做自 变量，其它各变数叫做函数”。 在该定义中，柯西第一次引入了“自变量”一词。德国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数定义：“x的 函数是这样一个数，它对于每一个x都有确定的值并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出，也可以 由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是 未知的。” 而后，狄利克雷给出了意义更为广泛的函数概念：“如果对于的每一个x值，总有一个完全确定的y值与之 对应，则是的函数。”这个定义成功的引进了“单值对应”这个概念，巧妙地避免了过去函数定义中的不 确定的“依赖关系”的描述，以清晰完美的方式表达了变量间的依赖关系，被19世纪的数学家普遍接受， pt 课件
演讲人
目录
01
函数概念的萌芽时期（自然函 数、代数函数时期）
02
函数概念的确立（变量函数）
03
函数概念的初步形成（解析函 数时期）
04
函数概念的再次发展
函数概念的萌芽时期（自然函数、代数函数时期）
《高中数学PPT课件——函数》
3
反函数
反函数是函数的逆运算，将函数的输 出值映射回输入值。
对数与指数的关系
对数函数与指数函数是互为反函数的 关系，它们可以互相抵消。
指数函数与对数函数的图像与性质
指数函数
指数函数的图像呈现出指数增 长或指数衰减的特点。
对数函数
对数函数的图像呈现出反比例 关系，随着自变量的增大，函 数值逐渐变化缓慢。
指数增长和指数衰减
指数函数可以呈现出快速增长 或快速衰减的趋势。
复合函数及其求法
1
复合函数
复合函数由两个函数组成，其中一个函数的输出值作为另一个函数的输入值。
2
求法
可以通过代入法、求导法或递推法等方法来求解复合函数。
3
函数运算法则
复合函数满足函数运算的一些基本法则，如分配律和结合律。
函数的奇偶性与周期性
奇函数与偶函数
奇函数关于坐标原点对称， 即f(x)=-f(-x)，偶函数关于 y轴对称，即f(x)=f(-x)。
周期函数
周期函数的图像在一定区 间内不断重复，满足 f(x+T)=f(x)，其中T是函数 的周期。
常用周期函数
正弦函数、余弦函数和正 切函数都是常见的周期函 数。
常用函数的图像与性质
正弦函数
函数是数学中的一种基本关系。它将一个集合的每个元素映射到另一个集合 的元素上。函数能够描述事物之间的联系和变化规律。
函数的符号表示及基本性质
符号表示
函数用f(x)或y来表示，其中x是自变量，y是 因变量。
奇偶性和周期性
函数的奇偶性决定了它的对称性，周期性描 述了函数的重复性规律。
定义域和值域
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是 函数所有可能的输出值。
《函数概念》PPT课件
⑥当函数y=f(x)是用表格给出时,函数的定义域
是指表格中实数的集合.
⑦当函数y=f(x)是用图象给出时,函数的定义域
是指图象在x轴上投影所覆盖的实数的集合.
2021/4/24
3
§1.2.1函数的概念
【1】设 A {x | 0≤ x ≤ 2}, B {x | 1≤ y ≤ 2}. 下图表示从A到B的函数是…………( ).D
x≤b { x | x ≤b }
x＞a x＜b
2021/4/24
{ x | x ＞a } { x | x ＜b }
区间
( a, b) ( a, b]
[a,b) [a,b] (-∞ , +∞ ) [a , + ∞ ) (－∞ , b ] (a,+∞) (－∞ , b )
名称
开区间 半开半闭区间 闭区间
4
3
2
配方法
1
－1 o
•
x 1 2 3 4
2021/4/24
19
§1.2.1函数的概念
【3】已知y=2x2-x+5(0≤x≤15),
求值域.
解：y
2x2
x
5
2(
x
1 4
)2
39 8
.
y
[
39 8
,440].
2021/4/24
20
§1.2.1函数的概念
(8) y=|x+1|－|1－x| 解：由 y = | x + 1 | －| x －1 |
11
§1.2.1函数的概念
【1】把下列不等式写成区间表示
1. -2<x<4,记作：(_-2_,_4_)； 2.x >4,记作:___(4_,_+_∞__)__； 3. 5≤x≤7,记作: [5；,7] 4. 2≤x＜5,记作: [2,5；)
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当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术 运算、三角运算、指数运算和对数运算，所 以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x 和常数c而成的式子，取名为解析函数，还 将它分成了“代数函数”与“超越函数”。 Evaluation only. ted18 with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 与欧拉先后引出了“任意的函数”的说 法．在解释“任意的函数”概念的时候，达 朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则 认为是“任意画出的一条曲线”。现在看来 这都是函数的表达方式，是函数概念的外延。
1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示 “幂”，后来他用该词表示曲线上点的横 坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关 几何量。由此可以看出，函数一词最初的 Evaluation only. 数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 另一名词“流量”来表示变量间的关系， 直到1689年，瑞士数学家约翰· 贝努里才在 莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念 进行了明确定义，贝努里把变量x和常量按 任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为。
(三)函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与 实践的尖锐矛盾。例如，偏微分方程在工程 技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学 定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建 Evaluation only. 立。1833年至 1834年，高斯开始把注意力转 向物理学，他在和 W· 威伯尔合作发明电报的 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出 了“力与距离的平方成反比例”这个重要的 理论，使得函数作为数学的一个独立分支而 出现了，实际的需要促使人们对函数的定义 进一步研究。
在该书中,他用一个三角级数和的形式表达了一 个由不连续的“线”所给出的函数.更确切地 说就是,任意一个以2π为周期函数.在[-π， a f ( x ) ( acos nx b sin nx ) π]区间内，可以由 表 2 1 1 a f( x )cos nxdx b 示出，其中 , f (x )sin nxdx 。 Evaluation only. 富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 概念的传统思想，在当时的数学界引起了很 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 大的震动。原来，在解析式和曲线之间并不 存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线 沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成 为揭示函数关系的巨大障碍。
函数产生的社会背景:
历史表明，重要数学概念对数学发展的作用 是不可估量的，函数概念对数学发展的影 响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用 Evaluation only. 非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 过程，是一件十分有益的事情，它不仅有 助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的 清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念 对数学发展，数学学习的巨大作用。
(二)早在函数概念尚未明确提出以前，数学 家已经接触并研究了不少具体的函数，比 如对数函数、三角函数、双曲函数等等。 1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已 Evaluation only. 经注意到了一个变量对于另一个变量的依 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛 顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家 还没有明确函数的一般意义。
后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖 着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化， 那么第一个量称为第二个量的函数。“这个定义 虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动 注入到函数定义中去，是可喜的进步。” Evaluation only. 在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 函数不必局限于解析表达式。1822年，他在名著 《热的解析理论》中说，“通常，函数表示相接 的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意 的……，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的 规律；他们以任何方式一个挨一个。”
(一)马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中 不定方程的研究。由于罗马时代的丢番图对不 定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那 时已经萌芽。 自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复 兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索： 既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公 Evaluation only. 转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要 ted with Aspose.Slides?for .NET 3.5 Client Profile 5.2 垂直下落到地球上 行星运行的轨道是椭圆， Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 原理是什么 ?还有，研究在地球表面上抛射物 体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹 速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学 家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的 问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的 一个数学概念，这是函数概念的力学来源。