化归思想.ppt

课前训练
1、 若a 1 4, (0 a 1), 则 a 1 ______。
a
a
2、已知a、b是方程 x2 +2x-7=0的两个根， (a+b=-2,ab=-7) 求 a2 +3b2+4b的值
3、
解方程： x x2
1
1 x2 4
例题分析
1、已知y x2 3xy 2 y2 ,求 y 的值
2y
x
解： y x2 3 y 2 y 2 , x2 3xy 2 0
方程两边都除以x2 , 得4( y )2 3( y ) 1 0
x
x
解得：y 1 或 y 1。 x4 x
点拨：把 y 作为一个整体，将已知等式化为关于 y
x
x
的一元二次方程，解方程求出 y 的值，过程简便。 x
例题分析
2、已知： x2 y2 20 xy x2 y2 81 0,求x、y的值。
解： x2 y2 20xy x2 y2 81 0, (x2 y2 18xy 81) (x2 y2 2xy) 0, (xy 9)2 (x y)2 0, xy 9 0且x y 0,解得x y 3
ＡE Ｇ
Ｏ Ｂ (1)
ＤＡＥ
Ｄ
Ａ
Ｈ
Ｏ
ＨＧ
Ｂ
Ｃ
Ｂ (2) Ｆ Ｃ
Ｄ
Ｃ Ｈ
(3)
n Ｏ
Ｆ m
∠ＡＢＥ，即等于正多边形的一个内角的度数．从特殊到一般，问 题（３）就可解．
课时训练
1、如图（１），等边△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＢ上的动点，以ＣＤ为 边，向上作△ＥＤＣ，连结ＡＥ。求证；
ＡＥ∥ＢＣ
（２）如图（２），将（１）中等边△ＡＢＣ的形状改为以ＢＣ为 底边的等腰三角形。所作△ＥＤＣ改成相似于△ＡＢＣ。请问：是 否仍有ＡＥ∥ＢＣ？证明你的结论。
Ａ Ｅ
Ａ
Ｅ
Ｄ
Ｄ
Ｂ （１）
ＣＢ
（２）
Ｃ
２、已知正方形ＡＢＣＤ，
（１）如图（１），Ｅ是ＡＤ上一点，过ＢＥ上一点Ｏ作ＢＥ的垂线，交ＡＢ于 点Ｇ，交ＣＤ于Ｈ，求证：ＢＥ＝ＧＨ；
（２）如图（２），过正方形ＡＢＣＤ内任意一点作两条互相垂直的直线，分别 交ＡＤ、ＢＣ于点Ｅ、Ｆ，交ＡＢ、ＣＤ于点Ｇ、Ｈ，ＥＦ与ＧＨ相等吗？请写 出你的结论；
点拨：本题利用配方法及非负数的性质将高次方程转化为低次方 程组，从而化未知为已知．
例题分析
３、如图（１）、（２）、（３）中，点Ｅ、Ｄ分别是正△ＡＢＣ、 正四边形ＡＢＣＭ、正五边形ＡＢＣＭＮ中以Ｃ点为顶点的相邻两 边上的点，且ＢＥ＝ＣＤ，ＤＢ交ＡＥ于Ｐ点。
（１）求图（１）中，∠ＡＰＤ的度数； ６００ （２）图（２）中，∠ＡＰＤ的度数为＿９＿０＿０，图（３）中，∠Ａ ＰＤ的度数＿１＿０８＿０＿＿；
∴∠ＡＰＤ＝∠ＡＢＰ＋∠ＢＡＥ＝∠ＡＢＰ＋∠ＣＢＤ
＝∠ＡＢＥ＝６００ （２）９００，１０８０ (3)能。如图，点E、D分别是正n边形ABCM 中以C为顶点的相邻两边上的点，且BE CD，BD于AE交于点P，则 APC的度数为（n 2)1800 点拨；本题就是典型n的化归思想的运用．图形虽然在△ＡＢＥ与△ ＢＣＤ却始终全等，∠ＡＢＰ＋∠ＢＡＥ＝∠ＡＢＰ＋ＣＢＤ＝
数学思想方法的三个层次:
数学一般方法
配方法、换元法、 待定系数法、判别 式法、割补法等
数学思想 和方法
逻辑学中的方 法(或思维方法)
数学思想方法
分析法、综合法、 归纳法、反证法等
函数和方程思想、分 类讨论思想、数形结 合思想、化归思想等
数学知识很重要，更重要的是以数学知识为载体
所体现出来的数学思想和方法。化归思想是一种重要 的数学思想，包括转化和归结。所谓化归思想就是化 未知为已知，化繁为简，化难为易。如将分式方程化 为整式方程，将高次方程化为低次方程，将多元方程 组化为二元方程组，将四边形问题化为三角形问题等 等。实现这种转化和归结的方法有；换元法、待定系 数法、配方法、整体代入法以及化动为静、由具体到 抽象等等方法。
（３）当点Ｏ在正方形ＡＢＣＤ的边上或外部时，过点Ｏ作两条互相垂直的直线， 被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情 形如图（３）所示，过正方形ＡＢＣＤ外一点Ｏ作互相垂直的两条直线m、n,m 与ＡＤ、ＢＣ的延长线分别交于点Ｅ、Ｆ，n与ＡＢ、ＤＣ的延长线分别交于点 Ｇ、Ｈ，试就该图对你的结论加以真们证明。
（３）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情
况．若能，写出推广问题的结论；若不能，请说明理由．
Ａ
Ａ
Ａ Ｍ
Ｂ
Ｎ
P
Ｄ
P
Ｄ
P Ｅ
ＢＥ （１）
ＣＢ Ｅ Ｃ （２）
ＣＤ Ｍ （３）
解： （１）∵△ＡＢＣ是等边三角形
∴ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＥ＝∠ＢＣＤ＝６００
∵ＢＥ＝ＣＤ ∴△ＡＢＥ≌△ＢＣＤ
∴∠ＢＡＥ＝∠ＣＢＤ