14 第15讲无穷小的概念与性质

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二、无穷小量及其性质【精选PPT】

05
总结与展望
Chapter
总结：无穷小量的重要性及其应用价值
01
无穷小量是微积分学中的基本概念，具有独特的性质和广泛的应用价值。
02
无穷小量在极限、导数、积分等重要数学概念中起到关键作用，为研究变量变化率和累计量提供了基础工具。
03
无穷小量在物理、工程、经济等领域也有广泛应用，帮助人们更好地理解和分析实际问题。
无穷小量的符号表示
无穷小量通常用希腊字母α（阿尔法）或β（贝塔）表示。
在某些情况下，也可以使用其他符号，如ε（艾普西隆）或o（哦）。
无穷小量的性质
无穷小量具有以下性质
无穷小量与任何有限的数相加、相减、相乘或相除，结果仍然是无穷小量。
无穷小量除以任何不为零的有限数都等于无穷小量本身。
在任何数x的右侧，无穷小量α可以表示为xα。
无穷小量在微分方程中的应用
无穷小量在微分方程定义中的应用
无穷小量在微分方程的定义中扮演了重要角色，它描述了方程的变化率。
Hale Waihona Puke 无穷小量在微分方程性质中的应用
微分方程性质是微分方程的理论基础，无穷小量在此性质的证明中起到了关键作用。
无穷小量在微分方程解法中的应用
微分方程的解法是微分方程的核心，无穷小量在此解法的推导中起到了重要作用。
无穷小量在数学中的应用
01
极限理论
02
微积分学
无穷小量是极限理论中的重要概念，极限的思想就是从无限逼近的角度看问题，无穷小量提供了这个视角。
无穷小量是微积分学中的基础概念，导数和积分的计算都涉及到无穷小量的概念。
03
概率论与统计学
无穷小量在概率论和统计学中也有广泛应用，例如在计算概率密度函数和分布函数时，无穷小量可以帮助我们得到更精确的结果。

高数无穷大无穷小

2
4
6
-5
-10
2．无穷大量的性质
(1)若limX A，limY ,则lim(X Y)
(2)若limX A 0，limY ,则lim(X Y) (3)若limX ，limY ,则lim(X Y) (4)若limX ，X Y,则limY (5)若limX ，则lim（ X ) (6)若limX ，则lim 1 0;
注意 ① 无穷小量是以0为极限旳变量；
② 无穷小量不一定是零，零作为函数来讲是无穷小量；
③ 讲一种函数是无穷小量，必须指出自变量旳变化趋向；
④ 任何非零常数，不论其绝对值怎样小，都不是无穷小量。
2.无穷小量的性质
性质 1：若 X , Y 都是无穷小量，则X Y, X Y 也是无穷小量；
注意：无限个无穷小量的和与积不一定是无穷小量。
（2） lim ( 3 1 ) . x1 1 x3 1 x
3
lim
x1
( 1
x
3
1 1
) x
lim
x1
3 1 x3
lim
x1
1 1
x
0
。错解
正解：
xlim1(13x3
1 1
x
)
lim
x1
2x 1
x2 x3
xlim1(1(1x)x(1)(2xxx)2 ) xlim112xxx2 1.
无穷小量旳比较
例3．求下列极限：
（1）求 lim x0
tan x sin x x2 arctan x
；
tan sin x
tan x(1 cos x)
解：
lim
x0
x2
arctan
x

函数与极限一无穷小的比较

函
数与极
限较一
无
穷小的
比
目录
壹
贰叁肆源自伍函函无
数
数
穷
与极限的基本概念
无穷小的概念与性质
与极限一无穷小的比
小在数学分析中的应
无穷小的扩展知识
较
用
第一章
函数与极限的基本概念
函数的定义与性质
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它表示两个数集之间的对应关系。给定一个数集A中的每一个数x，按照确定的对应关系，总能在数集B中唯一确定一个数y与之对应，那么数集B中的数y就叫做x的函数，记作y=f(x)。其中，x属于集合A，y是x通过对应关系f得到的值，属于集合B。
函数的性质
函数具有一些基本的性质，包括有界性、单调性、周期性、奇偶性和凹凸性等。这些性质在研究函数的形态和变化规律时非常重要。
极限的定义与性质
极限的定义
极限是数学分析中的一个概念，它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。具体来说，对于函数f(x)，如果存在一个实数A，当x趋近于某个值（或无穷大）时，f(x)趋近于A，则称A为函数f(x)的极限。
无穷小可以看作是长度趋于0 的线段，在坐标系中表示为趋近于0的点。
在函数图像上，无穷小可以表示函数值在某一时刻或某一位置的瞬时变化率。
无穷小的物理意义
在物理学中，无穷小可以表示某一时刻物体的瞬时速度、加速度或位移等。在连续介质力学中，无穷小可以表示物质点的运动和变化，例如流体的速度场、温度场等。无穷小可以用来描述物理量在某一时刻的极值或突变，例如瞬时速度达到最大或最小值。
第三章

14-15无穷大与无穷小极限运算法则

y
例证明lim 1
x1 x1
解出 | x1|
y 1 x1
证
M0,
要使 1 x1
M,
O •1
x
只要 x1 1, M
取
1, M
1
铅直渐近线
当 0x1时 ,有 1 M. lim 1 .
x1
x1 x1
结如x l 果 ix0m f(x) ,则直 xx0是线函 yf(数 x) 论的图形的铅直渐近线(vertical asymptote).
M0,0,使得 0x 当 x0时恒f有 (x)1,
M
当xx0时, f(1x)为无穷 . 大
意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
容易证明
∗ 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大; ∗ 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; ∗ 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之
积仍为无穷大;
| xn|M 不成 ,故立 n当时 ,{xn}不是无 . 穷
但该数列是无界的
再如 yxsinx 是无界函数, 但不是无穷大.
f(2n 因为取)x2n x n2n2时 ,当
2
2
而取 xxn2n时 , f(2n)0.
所以 x时, f (x)不是无穷大!
注：无穷大量是变量，在变化过程中可以变得大于任意给定的正数，反映了函数的一个变化趋势；二无界量实质函数绝对值可以大于事先给定的正数M，是一个数值概念，不反映函数的变化趋势。
0 x x0 (或 x X )的一切 x,所对应的函数
值 f ( x)都满足不等式 f ( x) M ,
则称函数 f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷大,
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).

无穷小与无穷大及四则运算课件

无穷小与无穷大是高等数学中的重要概念。无穷小指的是当某个变量趋近于某个值时，函数值趋近于0。在四则运算中，有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小，这意味着我们可以对无穷小进行加法和乘法运算，结果仍为无穷小。同时，有界函数与无穷小的乘积也仍为无穷小。这些性质在求函数极限时非常有用。然而，无穷小的商不一定是无穷小，这取决于两个无穷小趋向于0的速度。为了比较无穷小的阶数，我们引入了高阶无穷小和低阶无穷小的概念。如果两个无穷小在同一变化过程中，一个无穷小比另一个无穷小更快地趋向于0，则称前者为后者的高阶无穷小，反之则为低阶无穷小。这些概念在分析和比较函数极限时具有重要意义。总的来说，无穷小与无穷大的四则运算规则以及无穷小的比较方法，为我们提供了处理复杂函数极限问 Nhomakorabea的有力工具。

无穷小与无穷大的概念

快些, x 比 x2 慢些, sin x 与 x 大致相同. 即无
穷小之比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的
快慢程度不同.
定义3 设 , 是同一过程中的两个无穷小,
且 0.
(1)
如果
lim
0,
称是比高阶的无穷小,
无穷小比较的概念
定义3 设 , 是同一过程中的两个无穷小,
且 0.
中, 用任意一个无穷小 ( x) 代替 x, 等价关系依
然成立.
例如, x 1 时,有 ( x 1)2 0,从而 sin( x 1)2 ~ ( x 1)2 ( x 1).
完
例 5 证明：e x 1 ~ x( x 0).
证令 y e x 1, 则 x ln(1 y), 且 x 0 时， y 0, 因此
又 lim(4x 1) 3 0, 故 x1
lim
x1
x2 2x 4x 1
3
0 3
0.
由无穷小与无穷大的关系, 得
lim
x1
4x 1 x2 2x
3
.
完
例3
求
lim
x
2x2 7x2
3 4
x2 x2
5 1
.
解当 x 时, 分子和分母的极限都是无穷大,
此时可采用所谓的无穷小因子分出法, 即以分母
而
lim x2 0, x0 x
lim
x0
x x2
,
lim
x0
sin x
x
1,
从中可看出各无穷小趋于0的快慢程度: x2 比 x
快些, x 比 x2 慢些, sin x 与 x 大致相同. 即无
穷小之比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的

极限和无穷小的概念和计算

02
若数列{an}、{bn}、{cn}满足an≤bn≤cn，且lim an=lim cn=a
，则lim bn=a。
Hale Waihona Puke 函数极限的存在性03
若函数f(x)在x0处的左极限和右极限都存在且相等，则函数f(x)
在x0处的极限存在。
极限的唯一性
数列极限的唯一性
若数列{an}收敛，则它的极限唯一。
函数极限的唯一性
极限的计算方法
03
直接代入法
01
适用情况
当函数在极限点处连续时，直接将极限点代入函数表达式即可求得极限值。
02
03
注意事项
示例
需要确认函数在极限点处确实连续，否则代入法可能得到错误结果。
求$lim_{x to 2} x^2$，直接将 $x=2$代入得$4$。
消去零因子法
适用情况
当函数表达式中存在分子或分母为零的情况时，通过因式分解、通分等手段消去零因子，再求极限。
低阶无穷小
如果lim(β/α)=0，那么就说β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α)。
如果lim(β/α)=∞，那么就说β是比α低阶的无穷小。
同阶无穷小
等价无穷小
如果lim(β/α)=c≠0，那么就说β和α是同阶无穷小。
如果lim(β/α)=1，那么就说β和α是等价的无穷小，记作α~β。
无穷小的运算性质
注意事项
需要熟记常见的等价无穷小替换公式，如$x sim sin x$，$x sim tan x$等。
示例
求$lim_{x to 0}
frac{tan x}{sin x}$，使
用等价无穷小替换法得
$lim_{x
to

无穷小与无穷大

故当x1时, 1x 与1x3 是同阶无穷小但不等价.
3. 常用的等价无穷小
当 x 0 时，
sin x ~ x arcsin x ~ x
tan x ~ x arctan x ~ x
ln(1 x ) ~ x ex 1 ~ x (1 x ) 1 ~ αx (常数 0)
取 xn π U(0) 2nπ 2 1
2
x2 x tan x (1 cos x ) 2 ∴ 原式 lim lim x 0 x 0 x 3 x3 1 . 2
问：下列推导是否正确？错解
当 x 0时 , tan x ~ x , sin x ~ x .
0 错误原因： lim 01 x 0 tan x sin x
第一章
第七节无穷小与无穷大
一、无穷小的概念与性质二、无穷小的比较三、无穷大
一、无穷小的概念与性质
1. 无穷小的概念 f ( x) 时0 , , f ( x) 0 , 定义1.5 若 x x0 (或 x ) 时,
则称函数 f ( x )为 x x0 ( 时的无穷小 . 或x ) 时的无穷小 . 例如： (1) lim ( x 1 ) 0 ,
o
1
x
渐近线
注 1° 不可把无穷大与很大的固定的数混为一谈,
无穷大是变量，而再大的固定的数也是常量；
2°不能笼统地说某函数是无穷大，而应当说
函数是自变量趋向某个值时的无穷大；
3° 切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在 .
x x0
x x0
lim f ( x ) 是一个记号，在“ ”
推论 1 推论 2
无穷小与常量的乘积是无穷小 . 有限个无穷小的乘积仍是无穷小 .

无穷小量定义

lim
x? 0
x2
??,
x比 x2 慢得多;
（0 型） x 0 lim
x? 0
1
sin x2
x?
lim
x? 0
1 sin x
1 x
不存在且无界 .
不可比 .
出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同.
设当x→x0时，f与g均为无穷小量，
1．若
lim
x? x0
f (x) ? g( x )
0,
则称当x→x0时
例如，当 x ? 0时，? x ? o(1)，sin 1 ? O(1)， x
? x sin 1 ? o(1) ，即 lim x sin 1 ? 0；
x
x? 0
x
? x 2 ? o(1)， arc tan 1 ? O(1)，? x 2 arctan 1 ? o (1) ，
x
x
即 lim x 2arc tan 1 ? 0。
x? 0
x
注意无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小；无穷多个无穷小量的乘积未必是无穷小 .
例如
，{
x
(1 n
)
}
:
1,
1, 2
1, 1, 34
1, ? , 5
1, ? ; n
{
x
(2 n
)
}
:
2,
1,
1, 1, 1, ? , 1 , ? ;
234
n -1
{
x
(3 n
)
}
:
3,
2,
?
1, 1 , 1 , ? , 1 , ? ;
f ( x) ? O( g( x)) ? | f ( x) |? L. g( x)

无穷小及无穷大

1.4 无穷小与无穷大无穷小1．无穷小量的定义定义：如果* →*0〔或* → ∞ 〕时, 函数f (*) 的极限为零 ,则把f (*) 叫做当* →*0〔或* → ∞ 〕时的无穷小量，简称无穷小。

例如：因为0)1(lim 1=-→x x ，所以函数*-1是*→1时的无穷小。

因为01lim =∞→xx ，所以函数x 1是当*→1时的无穷小。

因为011lim =--∞→x x ，所以函数x-11是当*→－∞时的无穷小。

以零为极限的数列｛*n ｝，称为当n →∞时的无穷小，n 1，n 32 都是n →∞时的无穷小。

注：⑴不能笼统的说*函数是无穷小，说一个函数f(*)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。

⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在*→*0〔或*→∞〕时，极限仍为常数本身，并不是零。

⑶常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在*→*0〔或*→∞〕时，极限是零。

2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质：⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小〔无穷多个无穷小之和不一定是无穷小〕。

⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。

⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

〔常数与无穷小的乘积仍是无穷小〕。

⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。

例1．求x x x sin lim ∞→ 解：∵1sin ≤x ，是有界函数，而01lim =∞→x x∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

∴x x x sin lim ∞→＝0 3．函数极限与无穷小的关系定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，则该常数就是该函数的极限。

4．无穷小的比拟例：当*→0时，*, 3*， *2, sin*, xx 1sin 2都是无穷小。

观察各极限：0320lim =→xx x *2比3*要快得多 1sin lim 0=→x x x sin* 与*大致一样 ∞=⋅=→→x x xx x x x sin 1sin lim lim 020sin*比*2慢的多 x x x x x x 1sin 1sin lim lim 0220→→= 不存在不可比极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度〞是多样的。

考研高数总复习无穷小的比较(讲义)PPT课件

导数的应用
在研究函数的单调性、极值和拐点等问题时，需要利用导数的性质和无穷小的关系。
在积分中的应用
积分的定义
积分是通过无穷小分割和求和来定义的，无穷小在积分定义中扮演着重要的角色。
积分的几何意义
无穷小表示面积或体积的微元，通过积分可以计算曲线下的面积、曲面下的体积等。
积分的应用
在解决实际问题时，如求曲线的长度、物体的质量、做功等，需要利用积分和无穷小的关系。
无穷小的性质
总结词
无穷小具有一些重要的性质，这些性质在研究函数的极限、导数和积分等数学概念时非常有用。
详细描述
1. 无穷小与任何常数的和、差、积仍然是无穷小。例如，如果 (x rightarrow 0) 时，(x) 是无穷小，那么 (x+2)、(x-2)、(3x) 和 (x^2) 也是无穷小。2. 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小。例如，如果 (x rightarrow 0) 时，(x) 是无穷小，而 (|f(x)| < M)（其
求解极限
在求解某些极限问题时，可以利用无穷小的性质进行化简，从而得出结果。
无穷小的等价替换
在某些极限计算中，可以将无穷小替换为其他无穷小，简化计算过程。
在导数中的应用
导数的定义
导数是通过无穷小增量和自变量的比值来定义的，无穷小在导数定义中起着关键作用。
导数的几何意义
无穷小表示函数图像在某一点的切线斜率，通过导数可以研究函数的几何性质。
05 习题与解析
基础习题
基础习题1
比较以下无穷小量的大小：$frac{1}{x}, frac{1}{x^2}, frac{1}{x^3}$ 当 $x to 0$。

无穷小的定义

无穷小的定义在数学中，无穷小是一个重要的概念。

它指的是一个变量在趋于某个极限值的过程中，与这个极限值之间的差距趋近于零。

也就是说，无穷小是一种接近于零的数量，但不等于零。

首先，无穷小的定义需要在数学分析中讲解。

在这里，我们介绍一下无穷小的两个重要性质，以及它的表示方法。

性质1：如果函数f(x)在x=a处具有极限L，那么 x-a为0时，f(x)-L的值就是一个无穷小。

性质2：在数列中，如果a(n)的极限为0，那么 a(n)就是一个无穷小。

表示方法：无穷小可以表示为o(x)，其中x是无穷小的自变量。

这种表示方法的本质是用小写的o来代表“同阶无穷小”，也就是说，o(x)表示一个无穷小，在与x趋于0的过程中的阶数相比下可以忽略不计。

换句话说，相比于x本身，o(x)的阶数更高；在趋近于0的过程中，o(x)会比x下降的更快，甚至可以认为o(x)比较接近于零。

进一步来分析，我们发现无穷小在一些重要的数学推导和证明中有着重要的作用。

例如，在微积分学中，无穷小和极限的关系是不可分割的一部分；在数学分析中，无穷小经常被用于证明定理和解决数学问题；在经济学中，无穷小则被用于研究微观经济学中的边际效用和边际成本问题。

无穷小的用途在数学学科和实际应用中非常广泛，可以用来描述函数的性质，解决极限的计算问题，和建立经济和物理模型。

最终，对于学习和应用数学的人，理解和掌握无穷小概念是非常重要的一步。

总而言之，无穷小的概念具有重要的数学学科和实际应用价值。

在了解无穷小的定义，也需要掌握无穷小的性质和表示方法。

对于那些想要系统掌握数学学科和以数学为工具的科学技术人员，对无穷小的熟悉和理解是必不可少的一部分。

等价无穷小性质的理解及应用

等价无穷小性质的理解、延拓及应用【摘要】等价无穷小具有很好的性质，灵活运用这些性质，无论是在在求极限的运算中，还是在正项级数的敛散性判断中，都可取到预想不到的效果，能达到罗比塔法则所不能取代的作用。

通过举例，对比了不同情况下等价无穷小的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件，不仅使这些原本复杂的问题简单化，而且可避免出现错误地应用等价无穷小。

【关键词】等价无穷小极限罗比塔法则正项级数比较审敛法Comprension，Expand and Application of Equivalent Infinitesimal's CharacterAbstract Equivalent Infinitesimal have good characters,both in opreation of test for Limit and determine whether the positive series converges or diverges,if these quality that apply flexibly can obtain more effect,the effection can not be replace by L'HospitalRule.this paper give examples and compare some instance to pay attention to condition in application of Equivalent Limit,so the question can be simply and avoid error in application.Key words equivalent Infinitesimal; limit; L'Hospital rule positive series; comparison test等价无穷小概念是高等数学中最基本的概念之一，但在高等数学中等价无穷小的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过，其他地方似乎都未涉及到。

无穷小与无穷大概述

无穷小与无穷大概述分布图示★ 无穷小★ 无穷小与函数极限的关系 ★ 例1 ★ 无穷小的运算性质 ★ 例2 ★ 无穷大★ 例3 ★ 例4★ 无穷小与无穷大的关系★ 例5 ★ 例6★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1- 6内容要点一、无穷小的概念二、无穷小的运算性质有限个无穷小的代数和仍是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.三、无穷大的概念四、无穷小与无穷大的关系例题选讲概念与无穷小的运算性质例1 根据定义证明: xx y 1sin 2=当0→x 时为无穷小. 证 ,0>∀ε要使,1sin 01sin222ε<≤=-x xx x x 只须,ε<x 取,εδ=则当δ<-<00x 时，恒有ε<-01sin 2xx ∴.01sinlim 20=→xx x 证毕 .例2 (E01) 求 xxx sin lim ∞→.解因为x xx x x x sin 1lim sin lim ⋅=∞→∞→，而当∞→x 时,x1是无穷小量,x sin 是有界量),1sin (≤x 所以, .0sin lim =∞→x xx例3 (E02) 证明 ∞=-→11lim1x x .证 ,0>M ∀要使,11M >-x 只要,11M <-x 取,1M =δ则当 M=<-<110δx 时，就有.11M >-x 所以 .11lim 1∞=-→x x例4 证明 ).1()1(lim >+∞=-+∞→a a xx证 ,0>M ∀取),1(log +M =X a 当X >x 时，有1)1(log +M ==>+M X a a a a x从而+∞=-+∞→)1(lim x x a ，即当+∞→x 时, )1(-x a 是无穷大 .无穷大的概念例5 (E03) 当0→x 时, xx y 1sin 1=是一个无界变量, 但不是无穷大. 证取0→x 的两个子列：,2211ππ+=k x k ).,2,1(,212==k k x k π则),(01∞→→k x k ),(02∞→→k x k 且,22)(1ππ+=k x y k 故,0>M ∀,0>K ∃使,)(1M >k x y 即y是无界的；但02sin 2)(2==ππk k x y k),,1,0( =k 所以xx y 1sin 1=不是无穷大.无穷小与无穷大的关系例6 (E04) 求 5lim 34+∞→x x x .解因为0)51(lim 5lim 443=+=+∞→∞→xx x x x x ，根据无穷小与无穷大的关系有.5lim 34∞=+∞→x x x。

无穷小的性质名词解释

无穷小的性质名词解释无穷小是微积分中一个重要的概念，它在数学分析和物理学中有着广泛的应用。

在本文中，我们将对无穷小的性质进行解释，并探讨其在数学中的各种应用。

一、无穷小的定义无穷小是指在无穷趋于某个极限时，趋于零的序列或函数。

具体地说，一个序列$x_n$ 是无穷小，当且仅当它的极限为零。

同样地，一个函数$f(x)$ 是无穷小，当且仅当在该函数的自变量趋于某个特定点时，函数值趋于零。

二、无穷小的性质1. 有界性：无穷小序列或函数是有界的。

这是因为当自变量趋于某一点时，序列或函数的值逐渐接近零。

2. 紧致性：无穷小序列或函数可以通过取极限来获得紧致性。

此外，如果一个序列或函数是紧致的，那么它必定是无穷小。

3. 近似性：与零无穷接近的无穷小可以作为其他数值的近似。

通过使用无穷小级数展开式或泰勒级数，我们可以将复杂的函数近似为无穷小的线性组合。

4. 与无穷大的关系：无穷小与无穷大密切相关。

一个序列或函数是无穷小当且仅当它与一个无穷大序列或函数的倒数相等。

三、无穷小在微积分中的应用无穷小在微积分中有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 极限计算：在求解极限时，无穷小是十分有用的工具。

通过将一个复杂的函数分解为无穷小的线性组合，我们可以简化极限的计算过程。

2. 泰勒展开：泰勒展开是将一个函数近似为无穷小的线性组合的方法。

通过展开函数到一定阶数的泰勒级数，我们可以将函数近似为一组多项式函数之和，从而简化计算过程。

3. 微分和积分：微分和积分是微积分的基础操作。

无穷小在微分和积分中起到了重要的作用，使得我们可以将一些复杂的问题转化为简单的计算。

4. 微分方程：无穷小在解微分方程时，可以帮助我们找到函数的解析解。

通过将微分方程转化为无穷小的微分形式，我们可以得到问题的一般解。

四、无穷小在物理学中的应用无穷小在物理学中也有着广泛的应用，特别是在描述微观领域的物理现象时。

1. 牛顿定律：牛顿定律是物理学中最基本的定律之一。

等价无穷小的概念解析

等价无穷小的概念解析等价无穷小是微积分中的一个重要概念，它在极限理论和微分学中扮演着至关重要的角色。

对于初学者来说，理解等价无穷小可能会有一定的困难，因此本文将从简单到复杂的角度，对等价无穷小的概念进行解析，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 什么是无穷小？在介绍等价无穷小之前，我们首先需要了解什么是无穷小。

在微积分中，无穷小可以被看作是 "无限接近于零" 的数值或函数。

它可以用来描述变量逐渐趋近某一特定值或趋势的情况。

无穷小的性质使得它在微积分中的应用非常广泛。

2. 什么是等价无穷小？等价无穷小是指在某个极限过程中，与给定无穷小具有相同极限的无穷小。

两个无穷小在某个极限过程下的表现非常相似，甚至可以认为它们是 "相等" 的。

我们可以用符号 " ∼ " 来表示等价无穷小的关系。

在极限中，当 x 趋近于零时，无穷小 1/x 和无穷小 sin(x)/x 的极限都是零。

我们可以说 1/x ∼ sin(x)/x，即无穷小 1/x 和无穷小 sin(x)/x 是等价无穷小。

3. 等价无穷小的性质和应用等价无穷小的概念具有以下几个重要性质和应用：3.1 极限的套路：通过寻找等价无穷小，我们可以简化复杂的极限计算。

在计算一些复杂函数的极限时，我们可以找到与给定函数等价的无穷小，然后通过对等价无穷小的性质和极限的计算来求解原函数的极限。

3.2 渐近行为的研究：等价无穷小也可以用来研究函数的渐近行为。

通过找到一个与给定函数等价的无穷小，我们可以更好地理解函数在无穷远处的趋势。

3.3 极限的等价变形：等价无穷小使得我们可以通过变形来计算一些复杂的极限。

如果我们需要计算形如lim(x→0) (1-cos(x))/x² 的极限，我们可以将原式变形为lim(x→0) (1-cos(x))/((x·x)(1-cos(x)))，然后利用等价无穷小的性质简化计算。

无穷小量与小量级别的详细解析

无穷小量与小量级别的详细解析在数学中，我们经常会遇到一些非常小的数值，这些数值经常被称为无穷小量或小量。

它们是比其他数值还要小的一些数值，常常被用于描述趋于0的极限情况。

在本文中，我们将详细解析无穷小量与小量级别的概念，以及它们在数学中的应用。

一、无穷小量的概念无穷小量在数学中是一个非常重要的概念，它是指一个数列或函数在某个点处的极限为0。

严格来说，设f(x)是在某点x₀的一个定义域内的函数，则当x趋近于x₀时，若有f(x)关于0的极限为0，则称f(x)在x₀处为无穷小量。

无穷小量的概念可以追溯到17世纪的数学家约翰·沃利斯的工作中。

无穷小量的概念在微积分学中有非常广泛的应用，例如在求导、积分以及极限计算中。

二、小量级别的概念与无穷小量相关的一个概念是小量级别。

它描述的是一个数值相对于另一个数值的大小关系。

严格来讲，我们称f(x)是比g(x)小量，当且仅当它满足以下条件：当x趋近于某个值x₀时，f(x)/g(x)的极限为0。

在这种情况下，我们通常将f(x)与g(x)分别表示为同阶无穷小量，记作f(x)∼g(x)。

小量级别的概念可以让我们更加精确地比较两个数值的大小关系。

我们可以通过比较它们的小量级别，来确定它们相对大小的差距。

三、小量级别的判别法则我们可以通过以下几个判别法则来比较小量级别：1. 多项式函数的小量级别对于任意k≥1的自然数，当x趋近于0时，我们有以下关系式：x∼x²∼…∼x^k也就是说，任何正整数次函数都比低一次的函数小量级别高。

因此，任意正整数次函数都可以表示为比它低一次和比它高一次无穷小量的和，这一点在泰勒公式的推导过程中非常重要。

2. 指数函数的小量级别当x趋近于0时，我们有以下关系式：x^a∼b^x其中a和b为常数，且b>1。

也就是说，一个指数函数的小量级别要比一个幂函数高，因为指数增长的速度更快。

3. 对数函数的小量级别当x趋近于正无穷时，我们有以下关系式：lnx∼x^α其中α为0，且x^α表示多项式函数的形式。

14 第15讲无穷小的概念与性质

例15.2 已知当 → 时, ( )是与 ( )等价的且都不为零的无穷小, ( )是
2 ( )− ( )
比 ( )高阶的无穷小, 求 lim
.
→ 3 ( )+ ( )
【解】由题设条件可知
()
()
()
lim
= lim
= 1, lim
= 0.
→ () → ()
→ ()
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ因此
()
2 ( )− ( )
2− ( )
2、无穷小的性质
无穷小与极限的关系
lim ( ) = 的充分必要条件是 ( ) = + ( ) , 其中 ( )为同一极限过程中的无穷小.
无穷小的运算法则在同一极限过程中，有限个无穷小之和仍为无穷小；有限个无穷小之积仍为无穷小；无穷小与有界量之积仍为无穷小.
3、无穷小的比较设 ( ), ( )为同一极限过程中的无穷小,
| ( )| ≥ ( ( ) ≥ / ( ) ≤ − ).
记作 lim ( ) = ∞ ( lim ( ) = +∞/ lim
→
→
→
= −∞).
无穷大和无穷小的关系
1
在同一极限过程中，若 ( )为无穷大，则
为无穷小；
()
1 若 ( )为无穷小，且 ( ) ≠ 0，则 ( ) 为无穷大.
无穷大与无界量的关系
是无穷大.
1
【证明】取 =
, = 1,2, ⋯ , lim
2 +2
→
1
= lim
= 0.
→ 2 +2
lim ( ) = lim 2 + sin 2 + = lim 2 + = +∞.

《数学分析》14无穷小量与无穷大量

§５无穷小量与无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。

会利用它们求某些函数的极限。

教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。

引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim 0n n a →∞=. 我们称之为无穷小数列。

通过前面几节对函数极限的学习。

我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。

例如：limsin 0,x x →= 20lim 0,x x →=我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。

既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。

一、无穷小量1．定义１：设f 在某00()U x 内有定义。

若0lim ()0x x f x →=，则称f 为当0x x →时的无穷小量。

记作：0()0(1)()f x x x =→.（类似地可以定义当00,,,,x x x x x x x +-→→→+∞→-∞→∞时的无穷小量）。

例：(1,2,),sin ,1cos kx k x x =-都是当0x →时的无穷小量；是当1x -→时的无穷小量；21sin ,xx x是x →∞时的无穷小量。

2．无穷小量的性质（１）先引进以下概念定义２（有界量）若函数g 在某00()U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量，记作：0()(1)()g x O x x =→.例如：sin x 是当x →∞时的有界量，即sin (1)()x O x =→∞; 1sinx是当0x →时的有界量，即1sin (1)(0)O x x=→. 注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0()0(1)()f x x x =→，则0()(1)()f x O x x =→. 区别：“有界量”与“有界函数”。

一般在谈到函数f 是有界函数或函数f 是有界的，意味着存在Ｍ>０，f 在定义域内每一点x ，都有|()|f x M ≤。

无穷小的性质

无穷小的性质无穷小是数学中一个非常重要的概念，在微积分学和数学分析中有着广泛的应用。

本文旨在探讨无穷小的性质，包括其定义、性质、和一些重要的定理和应用。

一、无穷小的定义无穷小是指在某一极限过程中，某一变量趋于零的函数。

也就是说，如果一个函数f(x)在x趋于某一点时，满足f(x)除以一个任意小的数ε的绝对值都能趋近于0，那么这个函数就是无穷小。

简单来说，无穷小就是比任意小的正数还要小的函数。

二、无穷小的性质1. 加减性：若f(x)和g(x)都是无穷小，那么f(x)±g(x)也是无穷小。

这个性质比较显然，可以通过无穷小的定义证明。

2. 乘法性：若f(x)是无穷小，g(x)是有界函数，那么f(x)g(x)也是无穷小。

这个性质也是比较显然的，因为有界函数一定小于某一个数，而零乘以任意数都等于零。

3. 极限不变性：若f(x)是无穷小，那么对于f(x)的任意一个有限次幂、指数函数、三角函数、反三角函数等等，其在极限中所取的值是不变的。

4. 强弱性：若f(x)和g(x)都是无穷小，且f(x)比g(x)更快地趋近于零，那么g(x)可以表示为f(x)的一个阶的乘积。

5. 欧拉公式：若f(x)是无穷小，那么$e^{f(x)}$-1是一个与f(x)同阶无穷小。

三、无穷小的定理及应用1. 泰勒公式：如果一个函数f(x)在某个区间内有无限阶导数，那么它可以展开成一个幂级数，这个级数就是泰勒级数。

泰勒级数用于近似计算函数值，从而简化数学问题。

2. 洛必达法则：如果对于两个连续可导函数f(x)和g(x)，当x 趋近于某个数时，分子和分母都趋近于零，那么这个极限的值等于f(x)和g(x)的导数的极限值的商。

洛必达法则可以简化一些复杂的极限计算。

3. 斯托尔茨定理：如果一个函数f(x)和g(x)在一个区间上都可导，g(x)在该区间上的导数不为零，并且$\lim_{x→+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A$，那么$\lim_{x→+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=A$。