高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册第六章6.1.1 函数的平均变化率课件

(2)计算自变量的改变量Δx=x2-x1.
(3)得平均变化率 y＝f（x2） f（x1）.
x
x2 x1
类型二 物体的平均速度(数学抽象、数学运算) 【典例】已知物体运动位移x cm是时间t s的函数,而且t=0.1时,x=1.2;t=0.6 时,x=2.2. (1)求这个物体在时间段[0.1,0.5]内的平均速度; (2)估计t=0.3时物体的位移. 【思维·引】(1)利用位移除以时间求平均速度; (2)将物体的运动看作直线运动,利用直线方程估计物体的位移.
6.1.1 函数的平均变化率
1.函数的平均变化率
(1)定义:一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1), y2=f(x2),则 ①称Δx=x2-x1为自变量的改变量; ②称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量;
③称 y y2 y（1 或 f f(x2 ) f(x1) ） 为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间
【类题·通】 关于物体的平均速度
(1)如果已知物体运动的轨迹方程,则可以转化为计算函数的平均变化率来求物 体运动的平均速度; (2)如果物体的运动轨迹未知,只知道在某些时刻的位移,则可以“以直代曲”, 将运动轨迹近似看成直线解决相关的问题.
【习练·破】 已知物体运动位移x cm是时间t s的函数,而且t=0.1时,x=4.7;t=0.2时x=4.4. (1)求这个物体在时间段[0.1,0.2]内的平均速度; (2)估计t=0.05时物体的位移.
2.(1)函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为
f（x0＋x） f（x0）＝3（x0 （x0＋x） x0
x）2 2 x
（3=x602 x02+）＝3Δ6xx0.
x＋3（x）2 x
(2)当x0=2,Δx=0.3时,函数y=3x2+2在区间[2,2.3]上的平均变化率为6×2+3
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【解析】(1)所求的平均速度为 | 4.4 4.7 | =3(cm/s);
0.2 0.1
(2)将x在[0.1,0.2]上图像看成直线,则由(1)可知,直线的斜率为-3,且直线过 点(0.1,4.7),因此x与t的关系可以近似地表示为x-4.7=-3(t-0.1). 在上式中令t=0.05,可求得x=4.85 cm. 即物体的位移可以估计为4.85 cm.
或[t2,t1](t2<t1时)这段时间内的平均速度为
h(t2 ) h(t1) (m / s). t2 t1
即物体在某段
时间内的平均速度等于x=h(t)在该段时间内的平均变化率.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)自变量的改变量Δx不能为0.
()
(2)因变量的改变量Δy一定大于0.
x x2 x1 x
x2 x1
上的平均变化率,其中“以x1,x2为端点的闭区间”,在x1<x2时指区间[x1,x2],而
x1>x2时指的是[x2,x1].
(2)实际意义:在以x1,x2为端点的闭区间上,自变量每增加1个单位,因变量平均 将增加 y 个单位.
x
(3)几何意义:函数在一个区间内的平均变化率,等于这个区间端点对应的函数图 像上两点连线的斜率.近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图像)在某一区间上 的变换趋势,是曲线倾斜程度的“数量化”,曲线的倾斜程度是平均变化率的 “直观化”.
x
【解析】Δy=f(1.5)-f(2)= 答案: 1
3
( 2 ＋3) ( 2＋3) 4 1 1 .
1.5
2
33
类型一 函数的平均变化率(数学抽象、数学运算)
【典例】1.已知函数f(x)=x2+1,当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为 ( )
A.0.40
B.0.41
C.0.43
D.0.44
2.求函数f(x)=3x2+2在下列区间上的平均变化率.
【思考】
Δx一定是正的吗?如果用x1和Δx表示x2,那么平均变化率可以怎样表示?
提示:不一定,当x1>x2时是小于0的;x2=x1+Δx,平均变化率表示为
f x
f(x1 x) f(x1) . x
2.平均速度与平均变化率
如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1<t2时)
×0.3=12.9.
3.函数f(x)=2x2+1在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为
y x
＝f（x0＋x） x
f（x0）＝[2（x0=4xx0）+2 x21Δ]x（.2x
2 0
1）
当x0=1,Δx=
1 2
时,平均变化率为4×1+2×
1=5.
2
【类题·通】
求平均变化率的三步骤
(1)计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).
()
(3)函数的平均变化率 f 不能为0. ( )
x
提示:(1)√.因为规定闭区间[x1,x2],x1≠x2,故Δx不等于0.
(2)×.因变量的改变量Δy可以等于0,也可以小于0. (3)×.函数的平均变化率 f 可以为0.
x
2.(教材例题改编)某物体的运动规律是s=s(t),则该物体在t到t+Δt这段时间 内的平均速度是( )
A．v＝s＝s（t＋t） s（t）
t
t
C．v＝s（t） t
B．v＝s（t） t
D．v＝s（t＋t） s（t） t
【解析】选A.由平均速度的定义可知,物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度
是其位移改变量与时间改变量的比.所以 v＝s＝s（t＋t） s（t）.
t
t
3.已知函数y=f(x)= 2 +3,当x由2变到1.5时,函数的增量Δy=________.
(1)[x0,x0+Δx];
(2)以x0=2,Δx=0.3为端点的闭区间.
3.求y=f(x)=2x2+1在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=1,Δx=
1 2
时平均变化率的值.
【解析】1.选B.因为x=2,Δx=0.1,所以Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2.1)-f(2)
=(2.12+1)-(22+1)=0.41.
【解析】(1)所求的平均速度为 2.2 1.2 =2(cm/s);
0.6 0.1
(2)将x在[0.1,0.6]上的图像看成直线,则由(1)可知,直线的斜率为2,且直线过 点(0.1,1.2),因此,x与t的关系可以近似地表示为x-1.2=2(t-0.1). 在上式中令t=0.3,可求得x=1.6 cm. 即物体的位移可以估计为1.6 cm.