集合的基本运算学案答案
《集合的基本运算》教案、导学案与同步练习
第一章集合与常用逻辑用语《1.3集合的基本运算》教案【教材分析】集合的基本运算是人教版普通高中课程标准实验教科书，数学必修1第一章第三节的内容.在此之前，学生已学习了集合的含义以及集合与集合之间的基本关系，这为学习本节内容打下了基础.本节内容是函数、方程、不等式的基础，在教材中起着承上启下的作用.本节内容是高中数学的主要内容，也是高考的对象，在实践中应用广泛，是高中学生必须掌握的重点.【教学目标与核心素养】课程目标1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；2.理解全集和补集的含义，能求给定集合的补集；3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.数学学科素养1.数学抽象：并集、交集、全集、补集含义的理解；2.逻辑推理：并集、交集及补集的性质的推导；3.数学运算：求两个集合的并集、交集及补集，已知并集、交集及补集的性质求参数（参数的范围）；4.数据分析：通过并集、交集及补集的性质列不等式组，此过程中重点关注端点是否含“=”及∅问题；5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。
【教学重难点】重点：1.交集、并集定义的三种语言的表达方式及交集、并集的区别与联系；2全集与补集的定义.难点：利用交集并集补集含义和Venn图解决一些与集合的运算有关的问题．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】一、问题导入：实数有加、减、乘、除等运算.集合是否也有类似的运算.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本10-13页，思考并完成以下问题1.两个集合的并集与交集的含义是什么？它们具有哪些性质？2.怎样用Venn图表示集合的并集和交集？3.全集与补集的含义是什么？如何用Venn图表示给定集合的补集？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究（一）知识整理1、并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B（读作：“A并B”）即：A∪B={x|x∈A，或x∈B} Venn图表示2交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作：A∩B（读作：“A交B”）即：A∩B={x|∈A，且x∈B}Venn图表示3．全集一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。
1.3-集合的基本运算(习题作业)解析版
1.3集合的基本运算思考：我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？考查下列各个集合，你能说出集合C 与集合A 、B 之间的关系吗？(){}{}{}(){}{}{}是实数，是无理数，是有理数，，x x C x x B x x A C B A ======2;6,5,4,3,2,16,4,25,3,111.并集在上述两个问题中,集合A ，B 与集合C 之间都具有这样一种关系；集合C 是由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的.一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集，记作B A (读作“A 并B ”),即{}B x A x x B A ∈∈=或, .可用Venn 图1表示.图1这样，在问题（1）（2）中，集合A 与B 的并集是C ，即：CB A =2.交集考察下面的问题,集合A 、B 与集合C 之间有什么关系?(1){}{}{};8,12,8,5,3,10,8,6,4,2===C B A (2){}{}{}生月入学的高一年级女学年是某高中月入学的高一年级学生年是某高中，月在校的女学生年某高中920239202392023是x x C x x B x x A ===我们看到,在上述问题中,集合C 是由那些既属于集合A 且又属于集合B 的所有元素组成的.一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作B A (读作"A 交B ”),即{}.,B x A x x B A ∈∈=且 ，可用Venn 图2表示图2这样，在上述问题（1）（2）中，CB A = 3.补集在研究问题时,我们经常需要确定研究对象的范围.例如,从小学到初中,数的研究范围逐步地由自然数到正分数,再到有理数,引进无理数后,数的研究范围扩充到实数.在高中阶段,数的研究范围将进一步扩充.在不同范围研究同一个问题,可能有不同的结果.例如()(){}{};20322==--∈x x Q x 方程()()0322=--x x 的解集,在有理数范围内只有一个解2,即在实数范国内有三个解3-32，，即()(){}{}.3,3,20322-==--∈x x R x 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U .对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作{}.,A x U x x A C U ∉∈=且可用Venn 图3表示图34.并集的运算BA B B A A A A A A A A B B A ⊆⇔==∅=∅== 5.交集的运算()()分类讨论⎩⎨⎧∅≠∅=⇒∅≠∅=⊆⇔=∅=∅=∅==A A B B A BA AB A A A A A A A B B A 6.补集的运算()A A C C A C A U A C A U U U U =∅== 7.德摩根定律()()BC A C B A C B C A C B A C U U U U U U ==例1．若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,3,4C ．{}2,3,4D ．{}2,3【答案】D【分析】根据给定的条件，利用交集的定义求解作答.【详解】集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则{}2,3A B ⋂=.故选：D变式1-1．已知集合{3,0,2,,6}A π=-，*N B =，则A B = （）A ．{2,6}B ．{0,2,6}C ．{0,2,,6}πD ．{3,0,2,6}-【答案】A【分析】根据集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】因为集合{3,0,2,,6}A π=-，*B =N ，根据集合交集的运算，可得{2,6}A B = ．故选：A ．变式1-2．已知集合{}{}1,2,3,N2A B x x ==∈≤∣，则A B = （）A ．{}2,3B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2D ．{}1,2,3【答案】C【分析】先求出集合B 中的元素，再求A B ⋂即可.【详解】{}{}{}1,2,3,N20,1,2A B x ==∈≤=∣，则{}1,2A B = 故选：C.变式1-3．已知集合{}3A x x =>，{}Z 26B x x =∈<<，则A B = （）A ．()35，B ．()45，C ．{}345，，D ．{}45，【答案】D【分析】根据题意结合集合的交集运算求解.【详解】因为{}{3},{6}3,4,5A xx B x x =>=∈<<=Z ∣∣2，所以{}4,5A B = .故选：D.变式1-4．已知集合{}16,{Z36}M xx N x x =≤≤=∈<<∣∣，则M N ⋂=（）A ．{}3,4B ．{}4C ．{}4,5,6D ．{}4,5【答案】D【分析】根据整数集的性质，结合集合交集的运算定义进行求解即可.【详解】因为{}{}4,5,16N M xx ==≤≤∣，所以{}4,5M N ⋂=.故选：D例2．集合{}16A x x =<<，集合{}1,3,5,6,7B =，则A B = （）A ．{}7B ．{}1,3,5,6C ．{}3,5D ．{}3,5,7【答案】C【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}16A x x =<<，集合{}1,3,5,6,7B =，所以{}3,5A B = .故选：C.变式2-1．已知集合{}12A x x =-≤<，{}1,0,1,2B =-，则A B = （）A ．{}1,0,1,2-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}12x x -≤<【答案】B【分析】利用交集的定义运算即得答案.【详解】∵集合{}12A x x =-≤<，{}1,0,1,2B =-，∴{}1,0,1A B =- .故选：B.变式2-2．已知集合{20}A xx =-≤≤∣，{2,1,0,1,2}B =--，则A B = （）A ．{2,1,0,1,2}--B ．{22}x x -≤≤∣C ．{2,1,0}--D ．{20}x -≤≤【答案】C【分析】根据交集的定义运算即可.【详解】因为{20}A xx =-≤≤∣，{2,1,0,1,2}B =--，所以{}2,1,0A B =-- ，故选：C.例3．设集合{}|12A x x =-≤≤，{}|04B x x =≤≤，则A B ⋂等于（）A ．{|02}x x ≤≤B ．{}1|2x x -≤≤C ．{}|04x x ≤≤D ．{}1|4x x -≤≤【答案】A【分析】根据给定条件，利用交集的定义即可求解．【详解】因为{}|12A x x =-≤≤，{}|04B x x =≤≤，所以{|02}A B x x =≤≤ ，故选：A ．变式3-1．设全集为R ，集合{}|02A x x =<≤，{}|1B x x =>，则A B = （）A ．{}|01x x <≤B ．{}1|0x x <<C ．{}|12<≤x xD ．{}2|x x ≤【答案】C【分析】直接根据交集的定义求解即可.【详解】{}|02A x x =<≤ ，}|1B x x =>,{}|12A B x x ∴=<≤ .故选：C.变式3-2．已知集合{|24}A x x =≤<，集合{|3}B x x =≥，则A B = （）A ．∅B ．{34}x x ≤<∣C ．{23}x x ≤≤∣D ．{34}x x ≤≤∣【答案】B【分析】直接根据交集的概念求解即可.【详解】集合{|24}A x x =≤<，集合{|3}B x x =≥，则{|34}A B x x =≤< .故选：B.变式3-3．设集合{}03|M x x =<<，1{|}24N x x =≤≤，则M N ⋂等于（）A ．1{|0}2x x <≤B ．1{|3}2x x ≤<C ．{|34}x x ≤<D ．{|04}x x <≤【答案】B【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解作答.【详解】因为集合{}03|M x x =<<，1{|}24N x x =≤≤，所以1{|3}2M x N x =≤< .故选：B例4．已知集合{}{}1,2,3,4,1,2,4,6,8A B ==，则A B ⋃=（）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,4,6,8C ．{}1,2,3,4,6,8D ．{}1,2,6,8【答案】C【分析】根据并集的定义求得正确答案.【详解】已知集合{}{}1,2,3,4,1,2,4,6,8A B ==，所以{}1,2,3,4,6,8⋃=A B .故选：C变式4-1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}1,0,3B =-，则A B ⋃=（）A ．{}1,0-B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}2,3D ．{}3,0【答案】B【分析】根据并集的定义，即可求解.【详解】因为集合{}1,0,1,2A =-，{}1,0,3B =-，根据并集的定义可知，{}1,0,1,2,3A B ⋃=-.故选：B变式4-2．设集合{}3,2,1,0,1A =---，{}0,1,2,3,4B =，则A B ⋃元素的个数为（）A ．2B ．3C ．8D ．9【答案】C【分析】利用集合的并集运算求解.【详解】解：因为集合{}3,2,1,0,1A =---，{}0,1,2,3,4B =，所以A B ⋃{}3,2,1,0,1,2,3,4=---所以A B ⋃元素的个数为8，故选：C变式4-3．已知集合{}0,1,2,{N23}A B x x ==∈-<<∣，则A B ⋃=（）A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-【答案】C【分析】求出{0,1,2}B =，利用并集概念进行求解.【详解】{0,1,2}B =，故{}0,1,2A B = .故选：C变式4-4．设集合{},A a b =，{}1,3B a =+，若{}1A B ⋂=，则A B ⋃等于（）A ．{}0,1B ．{}0,3C ．{}0,1,1,3D ．{}0,1,3【答案】D【分析】利用交集的运算可得出a 、b 的值，在利用并集的定义可求得集合A B ⋃.【详解】因为{}1A B ⋂=，所以111a b +=⎧⎨=⎩，即01a b =⎧⎨=⎩，则{}0,1A =，{}1,3B =，所以{}0,1,3A B = ，故选：D ．例5．已知{}|20A x x =-<≤，{}|12=-<<B x x ，则A B ⋃=（）A ．{}|22x x -<<B ．{}|12x x -≤<C ．{}|10x x -≤≤D ．{}|10x x -<<【答案】A【分析】由并集的运算直接求解．【详解】因为{}|20A x x =-<≤，{}|12=-<<B x x ，则A B ⋃={}|22x x -<<．故选：A ．变式5-1．已知集合{|11}A x x =-≤≤，{|02}B x x =<≤，则A B ⋃=（）A ．{11}x x -≤≤∣B ．{|01}x x <≤C ．{|02}x x <≤D ．{|12}x x -≤≤【答案】D【分析】根据并集运算求解.【详解】因为集合{|11}A x x =-≤≤，{|02}B x x =<≤，所以A B ⋃={|12}x x -≤≤，故选:D.变式5-2．已知集合{}12A x x =-<<，{}03B x x =<<，则A B ⋃=（）A ．{}13x x -<<B ．{}10x x -<<C ．{}02x x <<D ．{}40x x -<<【答案】A【分析】根据集合的并集运算可得答案.【详解】因为{}12A x x =-<<，{}03B x x =<<，所以A B ⋃={}13x x -<<，故选：A.变式5-3．若集合{|11}{|02}A x x B x x =-<<=≤<，，则A B ⋃=（）A ．{|12}x x -<<B ．{|01}x x ≤<C ．{|01}x x <<D ．{|10}x x -<<【答案】A【分析】根据集合的并集运算，即可得答案.【详解】由题意得集合{|11}{|02}A x x B x x =-<<=≤<，，则{|12}A B x x =-<< ，故选：A变式5-4．已知集合{}41A x x =<，{}368B x x =-<<，则A B ⋃=（）A ．14x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．1124x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．43x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭D ．1324x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】C【分析】解不等式化简集合A ，B ，再利用并集的定义求解作答.【详解】依题意，1{|}4A x x =<，14{|}23B x x =-<<，所以4{|}3A B x x =< .故选：C例6．设集合{}{}1,2,3,4,5,2,3,5==U A ，则U A =ð（）A ．{}5B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,3,5【答案】B【分析】根据补集的定义求解即可.【详解】 集合{}{}1,2,3,4,5,2,3,5==U A ，{}1,4U A ∴=ð故选：B.变式6-1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2M =，则U M =ð（）A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4,5D ．{}1,2,3,4【答案】C【分析】根据补集的定义计算即可．【详解】因为{}1,2,3,4,5U =，{}1,2M =，所以{}3,4,5U M =ð．故选：C ．变式6-2．设全集{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2,3,4A =，则U A =ð（）A ．∅B ．{}0C ．{}0,5D ．{}0,2,5【答案】C【详解】因为{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2,3,4A =，所以{}0,5U A =ð，故选：C.变式6-3．设集合U =R ，{2M x x =>或}2x ≤-，则U M =ð（）A ．{}22x x -<<B ．{}22x x -<≤C ．{2x x >或}2x <-D ．{2x x ≥或}2x ≤-【答案】B【分析】根据补集的运算可得答案.【详解】{}22U M x x =-<≤ð．故选：B ．例7．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,4,6,1,2,4,5U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{}3B ．{}6C ．{}3,6D ．{}2,3,4,6【答案】D【分析】由并集和补集的定义即可得出答案.【详解】集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,4,6,1,2,4,5U A B ===，则U ðB={}3,6，则A ⋃()U B ð={}2,3,4,6.故选：D.变式7-1．设全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，{5,4,3}B =，则=U A B ⋂ð（）A ．{1,2,3,4,5}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}【答案】B【分析】根据补集和交集的含义即可得到答案.【详解】{}=0,1,2U B ð，则{}=1,2U A B ðÇ，故选：B.变式7-2．已知集合{}{}{}2,1,0,1,2,3,1,0,1,1,2 U A B =--=-=则()U A B ⋃=ð（）A ．{}2,3-B ．{}2,1,3-C ．{}2,1,0,3--D ．{}2,1,0,2,3--【答案】A【分析】利用集合并集和补集概念求解.【详解】因为{}1,0,1,2A B ⋃=-,所以()U A B ⋃=ð{}2,3-，故选:A.变式7-3．已知集合{1A x x =≤或}3x >，{}2,1,2,3B =-，则()A B =R I ð（）A ．∅B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】C【分析】根据补集和交集定义直接求解即可.【详解】{}13A x x =<≤R ð，(){}2,3A B ∴=R ð.故选：C.变式7-4．已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2,3B =，则 U ð()A B ⋂=（）A ．{}2,3-B ．{}2,2,3-C ．{}2,1,0,3--D ．{}2,1,0,2,3--【答案】D【分析】由交集和补集的定义即可得出答案.【详解】解：由题意得{}1A B ⋂=，∴ U ð(){}2,1,0,2,3A B ⋂=--．故选：D.变式7-5．设{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}1,2,3A =，{}3,4,5,6B =．则集合()U A B ⋃=ð（）A ．{}1,2,3,4,5,6B ．{}3C ．{}1,2,4,5,6,7,8D ．{}7,8【答案】D【分析】直接根据并集和补集的定义得答案.【详解】{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，{}1,2,3A =，{}3,4,5,6B =，{}1,2,3,4,5,6A B ∴=U ，(){}7,8U A B = ð.故选：D.例8．已知集合{}24M x x =-<<，{}1N x x =-，则()R N M ⋂=ð（）A ．{}1x x -B ．{}4x xC ．{}2x x -D ．{}14x x -【答案】B【分析】利用补集和交集的定义求解即可.【详解】因为{}24M x x =-<<，所以R M =ð{}24x x x ≤-≥或，所以()R N M ⋂=ð{}4x x ≥.故选：B变式8-1．已知集合{|24}A x x =-<，R {|4}B x x =>ð，则A B = （）A ．{|2x x <-或4}x >B ．{|24}x x -<≤C ．{|2}x x <-D ．{|24}x x <≤【答案】B【分析】根据题意先求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【详解】{|2}A x x =>- ，{|4}B x x =≤，{|24}A B x x ∴⋂=-<≤．故选：B.变式8-2．已知全集U =R ，集合{1,0,1,2,3}A =-，{}2B x x =≥，则()U A B ∩ð等于（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0,1,2-C ．{|2}x x <D ．{|12}x x -≤<【答案】A【分析】根据补集的运算，求得{|2}U B x x =<ð，结合交集的运算，即可求解.【详解】解：由集合{|2}B x x =≥，可得{|2}U B x x =<ð，又由合{1,0,1,2,3}A =-，可得(){1,0,1}U A B =- ð.故选：A.变式8-3．设集合{}|115A x x =≤+<，{}|2B x x =≤，则R ()A B = ð（）A ．{}|24x x <<B ．{}|02x x ≤≤C ．{}|04x x ≤<D ．{}|4x x <【答案】A【分析】求出集合A ，然后直接利用集合的交集与补集的概念求解即可．【详解】因为集合{}{}|115|04A x x x x =≤+<=≤<，{}|2B x x =≤，{}R 2B x x ∴=>ð，{}R ()|24A B x x ∴⋂=<<ð.故选：A ．变式8-4．设全集U =R ，{1A x x =≤-或}2x >，{},B y y x x ==∈R ，则()U A B ⋃=ð（）A ．{}1x x <-B ．{}10x x -<C ．{}12x x -<≤D ．{}1x x >-【答案】D【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由于{1A x x =≤-或}2x >，{}{},=0B y y x x y y ==∈≥R ,所以{}=12U A x x -<≤ð，因此(){}1U A B x x ⋃=>-ð，故选：D变式8-5．设集合{04}M x x =<<，{}35N x x =≤≤，则()()R R M N = 痧（）A ．{3x x <或4}x ≥B ．{34}x x ≤<C ．{0x x ≤或5}x >D ．{05}x x <≤【答案】C【分析】先求出R M ð和R N ð，再求交集即可.【详解】由已知得R {|0M x x =≤ð或4}x ≥，R {|3N x x =<ð或5}x >，()()R R {0M N x x ∴⋂=≤痧或5}x >.故选：C.变式8-6．{}0M x x m =+≥，{}24N x x =-<<，若U =R ，且()U M N ⋂=∅ð，则实数m 的取值范围是（）A ．2m <B ．2m ≤C ．2m ≥D ．2m ≥或4m ≤-【答案】C【分析】先求得U M ð，根据()U M N ⋂=∅ð求得m 的取值范围.【详解】因为{|0}M x x m =+≥，U =R ，所以{|}U M x x m =<-ð，{|24}N x x =-<<，因为()U M N ⋂=∅ð，所以2m ≥.故选：C例9．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3M =，{}3,5N =，则如图所示的阴影部分表示的集合是（）A ．{}3,4,5B ．{}1,3,5C ．{}1,2,5D ．{}2,4【答案】D【分析】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为()U M N ð，再利用集合的交并补运算即可得解.【详解】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为()U M N ð，因为{}1,3M =，{}3,5N =，所以{}1,3,5M N ⋃=，因为{}1,2,3,4,5U =，所以(){}2,4U M N ⋃=ð.故选：D.变式9-1．已知R 是实数集，集合{314},{10}A xx B x x =-<+≤=->∣∣，则下图中阴影部分表示的集合是（）A ．{43}x x -<≤∣B ．{41}xx -<<∣C ．{13}xx <≤∣D ．{}4xx ≤-∣【答案】D【分析】化简集合A ，B ，根据给定的韦恩图，结合补集、交集的定义求解作答.【详解】依题意，{43},{1}A xx B x x =-<≤=<∣∣，由韦恩图知，阴影部分表示的集合是R ()ðA B ，而R {|4A x x =≤-ð或3}x >，所以{}R 4()xA B x =≤- ∣ð.故选：D变式9-2．图中U 是全集，A ，B 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（）A ．()U AB ðB ．()U A B ⋂ðC ．()U A B ⋂ðD ．()()U U A B ⋂痧【答案】D【分析】由阴影部分的元素特点可直接得到结果.【详解】由Venn 图知，阴影部分的元素既不属于集合A ，也不属于集合B ，所以阴影部分表示的集合是U U U ()()()A B A B = 痧.故选：D变式9-3．如图，,,M P S 是全集I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()M P SB ．()M P SC ．()() ðI M P SD ．()()I M P S ð【答案】D【分析】根据Venn 图集合运算解决即可.【详解】观察Venn 图，可知阴影部分既在表示集合M 的区域中又在表示集合P 的区域中，即在表示集合,M P 的公共区域内，且在表示集合S 的区域外，即在集合I S ð中.根据集合运算的概念，可得阴影部分表示的集合为()()I M P S ð故选：D变式9-4．如图，U 是全集，M ，N ，P 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（）A ．()M N P ⋂⋂B ．()M N P ⋃⋂C ．()()U M N P ⋂⋂ðD ．()()U M N P ⋃⋂ð【答案】C【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合M 的外部与集合N 集合P 交集内部的公共部分，求解即可.【详解】根据题意，阴影部分为集合M 的外部与集合N 集合P 交集内部的公共部分，即()()U M N P ⋂⋂ð.故选：C.变式9-5．已知全集U =R ，集合{}16,{33}A xx B x x =-≤≤=-<<∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}36x x ≤≤∣B ．{13}xx -<≤∣C ．{13}xx <≤∣D ．{31}xx -<≤-∣【答案】A【分析】由图可得阴影部分表示()U A B ð，然后用补集和交集的定义进行求解【详解】由图可得，图中阴影部分表示的集合为()U A B ð，因为{}16,{33}A xx B x x =-≤≤=-<<∣∣，所以{3U B x x =≤-ð或}3x ≥，(){}36U B A xx ⋂=≤≤∣ð，故选：A变式9-6．已知集合(){20},{10}M x x x N x x =-<=-<∣∣，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{12}xx ≤<∣的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法，结合四个选项的Venn 图逐一判断即可.【详解】()2002,101x x x x x -<⇒<<-<⇒<，选项A 中Venn 图中阴影部分表示()0,1M N = ，不符合题意；选项B 中Venn 图中阴影部分表示()[1,2)M M N = ð，符合题意；选项C 中Venn 图中阴影部分表示()(,0]N M N =-∞ ð，不符合题意；选项D 中Venn 图中阴影部分表示(),2M N =-∞ ，不符合题意，故选：B变式9-7．设全集I 是实数集R ，{2M x x =>或2}x <-与{13}N xx =<<∣都是I 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A ．{2}xx <∣B ．{}|21x x -≤<C ．{12}x x <≤∣D ．{22}xx -≤≤∣【答案】C【分析】求得{}22I M xx =-≤≤∣ð，而阴影部分表示的集合为()I N M ⋂ð，从而可求解.【详解】因为{}22I M xx =-≤≤∣ð，所以阴影部分表示的集合为(){12}I N M x x ⋂=<≤∣ð.故选：C.变式9-8．设集合1Z 32A x x ⎧⎫=∈-<<⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2B =-，能正确表示图中阴影部分的集合是（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2【答案】B【分析】先求得集合{}2,1,0A =--，结合题意及集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}1Z 32,1,02A x x ⎧⎫=∈-<<=--⎨⎬⎩⎭，根据图中阴影部分表示集合B 中元素除去集合A 中的元素，即为{}1,2.故选：B.变式9-9．设全集U 及集合M 与N ，则如图阴影部分所表示的集合为（）A ．M N ⋂B ．M N ⋃C ．U M N ðD ．()U M N ð【答案】D【分析】根据集合并集，补集的定义即可判断．【详解】依题意图中阴影部分所表示的集合为()U M N ð．故选：D ．变式9-10．设集合{|12}A x x =-≤≤，{|04}B x x =≤≤，则Venn 图阴影区域表示的集合是（）A ．{|02}x x ≤≤B ．{|12}x x ≤≤C ．{|04}x x ≤≤D ．{|14}x x ≤≤【答案】A【分析】利用交集的定义即可求解.【详解】由题意可知，Venn A B ⋂,所以{|12}{|04}{|02}A B x x x x x x =-≤≤≤≤=≤≤ .故选：A.例10．我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用()card A 表示有限集合A 中元素的个数.例如，{},,A a b c =，则()card 3A =.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有,,A B C 三类，那么，()card A B C =()()()()card card card card card card card A B C A B B C A C A B C ++---+ .某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可.【详解】设集合A ={参加足球队的学生}，集合B ={参加排球队的学生}，集合C ={参加游泳队的学生}，则()()()card 25,card 22,card 24A B C ===，()()()card 12,card 8,card 9A B B C A C === 设三项都参加的有x 人，即()card A B C x = ，()card 46A B C = ，所以由()card A B C =()()()()card card card card card card card A B C A B B C A C A B C ++---+ 即462522241289x =++---+，解得4x =，三项都参加的有4人，故选：C.变式10-1．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数为（）A ．50B ．60C ．70D ．80【答案】C【分析】由题意可知：只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有10人，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，再计算即可得解.【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，使用过共享单车或移动支付的学生共有90位，使用过移动支付的学生共有80位，则可得：只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有90-80=10人，又使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，即使用过共享单车的学生人数为10+60=70，故选:C.变式10-2．某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌､跳舞､书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（）A．27B．23C．25D．29【答案】A【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题.可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为++++++=.5211043227故选：A变式10-3．某学校举办运动会，比赛项目包括田径､游泳､球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学有（）A．98人B．106人C．104人D．110【答案】B【分析】根据韦恩图可求高一年级参加比赛的同学的人数.【详解】由上述韦恩图可得高一年级参加比赛的同学的人数为：11625748142106++---+=，故选：B.变式10-4．学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛．只参加球类一项比赛的人数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【分析】先将只参加田径比赛的人数，只参加球类比赛的人数，同时参加球类比赛和田径比赛的人数分别表示出来，再根据总人数为30人列出等式即可.【详解】设同时参加球类比赛和田径比赛的有x人，则只参加田径比赛的人数为：7x-，-；只参加球类比赛的人数为：9x可列等式：9427930+++-++-=，x x x可得：1x =，故只参加球类比赛的人数为：9918x -=-=，故选：C变式10-5．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，田赛和径赛都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（）A ．16人B ．18人C ．23人D ．28人【答案】C【分析】根据题意得到只参加田赛的学生人数和只参加径赛的学生人数，然后再加上都参加的，即可得到参加运动会的人数.【详解】根据题意可知，只参加田赛的学生有15510-=，只参加径赛的有1358-=人，所以参加运动会的人数为108523++=人.故选：C.变式10-6．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（）A ．120B ．144C ．177D ．192【答案】B【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解.【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合,,A B C 表示，则()63,()89,()47,()24card A card B card C card A B C ===⋂⋂=，，不妨设总人数为n ，韦恩图中三块区域的人数分别为,,x y z ，即()24,()24,()24card A B x card A C y card B C z ⋂=+⋂=+⋂=+，22x y z ++=，由容斥原理：15()()()()()()()n card A card B card C card A B card A C card B C card A B C -=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂638947(24)(24)(24)24x y z =++-+-+-++，解得：144n =，故选：B.例11．设集合{}24120A x x x =--=，{}20B x ax =-=.(1)若{}2,1,6A B =- ，求a 的值；(2)若A B B = ，求实数a 组成的集合C .【答案】(1)2a =(2)11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）求出集合A ，根据A B ⋃，即可得出1B ∈，从而即得；（2）由题可知B A ⊆，然后分类讨论，从而得出实数a 组成的集合．【详解】（1）由24120x x --=，解得2x =-或6x =，所以{}2,6A =-，因为{}2,1,6A B =- ，所以1B ∈，则120a ⋅-=，所以2a =；（2）因为A B B = ，则B A ⊆，当B =∅时，0a =；当{}2B =-时，1a =-；当{}6B =时，13a =，综上可得集合11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎩⎭.变式11-1．设集合{}{}(){}2221,1,33,210,10A a a a B x x x C x x a x a =--+-=-+==-++=.(1)讨论集合B 与C 的关系；(2)若a<0，且A C C ⋂=，求实数a 的值.【答案】(1)答案见解析(2)3a =-或12a =-【分析】（1）解方程得到,B C ，分两种情况，得到,B C 的关系；（2）根据交集结果得到C A ⊆，分类讨论，求出实数a 的值.【详解】（1）{}()(){}1,10B C x x x a ==--=，当1a =时，{}1B C ==；当1a ≠时，{}1,C a =，B 是C 的真子集.（2）当a<0时，因为A C C ⋂=，所以C A ⊆，所以{}1,a A ⊆.当233a a a +-=时，解得1a =（舍去）或3a =-，此时{}1,3,2A =-，符合题意.当1a a --=时，解得12a =-，此时1171,,24A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭符合题意.综上，3a =-或12a =-.例12．集合()(){}|520A x x x =-+≤，集合{}|121B x m x m =-≤≤+.(1)当3m =时，求A B ⋃，A ⋂；(2)若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】(1){27}A B x x =-≤≤ ∣，{25}A B x x =≤≤ ∣(2)()[]21,2-∞-- 【分析】（1）分别求解两个集合，再求集合的交，并集；（2）由条件可知，B A ⊆，再分B =∅和B ≠∅两种情况，求实数m 的取值范围.【详解】（1）解不等式()()520x x -+£，得25x -≤≤，所以{25}A xx =-≤≤∣，当3m =时，则{27}B xx =≤≤∣，所以{27}A B xx =-≤≤ ∣，{25}A B x x =≤≤ ∣；（2）因为A B B = ，所以B A⊆当B =∅时，121m m ->+，即2m <-，此时B A ⊆；当B ≠∅时，2m ≥-，则12215m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得:12m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是()[]21,2-∞-- .变式12-1．已知集合{13}A xx =-<<∣，{04}B x x =<<∣，{01}C x x a =<<+∣(1)求A B ⋃；()R A B ð；(2)若B C C = ，求实数a 的取值范围．【答案】(1){14}A B xx ⋃=-<<∣，R {10}A B x x ⋂=-<≤∣ð(2)3a ≤【分析】（1）根据并集的概念和运算即可求出A B ⋃，根据交集和补集的概念与运算即可求解；（2）由B C C = 得C B ⊆，分类讨论当C =∅、C ≠∅时a 的取值范围，进而求解.【详解】（1）由题意知：{14}A B xx ⋃=-<<∣；{0U B x x =≤ð或4}x ≥，所以(){10}U A B xx ⋂=-<≤∣ð；（2）若B C C = ，则C B ⊆，①当C =∅时，10a +≤，即1a ≤-，②当C ≠∅时，10a +>，即1a >-，所以1014a a +>⎧⎨+≤⎩，解得13a -<≤．综上所述：a 的取值范围为：3a ≤．例13．已知集合{}|27A x x =≤<，{}310|B x x =<<，{}|C x x a =<.(1)求A B ⋃；(2)若A C ⋂≠∅，求a 的取值范围.【答案】(1){}210|A B x x =≤<(2)()2,+∞【分析】（1）根据并集的定义计算可得；（2）根据A C ⋂≠∅即可得到2a >，从而得解.【详解】（1）解：因为{}|27A x x =≤<，{}310|B x x =<<，所以{}210|A B x x =≤< .（2）解：因为{}|27A x x =≤<，{}|C x x a =<且A C ⋂≠∅，所以2a >，即a 的取值范围为()2,+∞.变式13-1．已知集合{|231}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<≤．(1)若0a =，求A B ⋃；(2)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】(1){|31}A B x x =-<≤U (2)(,1][2,)-∞-+∞ 【分析】（1）直接计算并集即可.（2）考虑A =∅和A ≠∅两种情况，得到4231a a <⎧⎨-≥⎩或410a a <⎧⎨+≤⎩，解得答案.【详解】（1）当0a =时，|31}A x =-<<，{|01}B x x =<≤，{|31}A B x x =-<≤U .（2）A B ⋂=∅当A =∅时，231a a -≥+，解得4a ≥，当A ≠∅时，4231a a <⎧⎨-≥⎩或410a a <⎧⎨+≤⎩，解得：24a ≤<或1a ≤-，综上所述：实数a 的取值范围(,1][2,)-∞-+∞ ．例14．设集合{}240A x x =-=，()(){}222150B x x a x a =+++-=，(1)若{}2A B ⋂=，求实数a 的值；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】(1)3a =-(2)]{}(,31a ∞∈--⋃-【分析】（1）由{}2A B ⋂=可知2B ∈，代入集合B 分类讨论a 的取值即可得3a =-；（2）根据并集结果可得B A ⊆，再对集合B 是否为空集进行分类讨论即可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）由集合{}240A x x =-=可得{}2,2A =-，由{}2A B ⋂=可得2B ∈，故244(1)50a a +++-=，解得1a =-或3a =-，当1a =-时，{}2,2B =-，此时{}2,2A B =- 不满足题意，舍去，当3a =-时，{}2B =，满足题意，故3a =-；（2）由A B A ⋃=得B A ⊆，当224(1)4(5)0a a ∆=+--<时，即3a <-时，B =∅满足题意；当Δ0=时，即3a =-时，{}2B =满足题意；当0∆>时，即3a >-时，()221054a a ⎧+=⎨-=-⎩，解得1a =-，综上可得，3a ≤-或1a =-；即实数a 的取值范围为]{}(,31a ∞∈--⋃-.变式14-1．已知{}{}22|30,,|0,A x x mx x B x x x n x =+-=∈=-+=∈R R ，若{3,0,1}A B =- ，求实数,m n 的值.【答案】2,0m n ==.【分析】由韦达定理可知230x mx +-=的两根之积为3-，从而{}3,1A =-，再利用两根之和等于m -即可求m ，又{3,0,1}A B =- ，所以0B ∈，利用方程解得含义即可求得n【详解】因为230x mx +-=中2120m ∆=+>，且两根之积为3-，又{3,0,1}A B =- ，故{}{}2|30,3,1A x x mx x =+-=∈=-R ，所以312m -=-+=-，则2m =，由上知：0B ∈，所以0n =，代入得{0,1}B =，显然满足{3,0,1}A B =- .所以2,0m n ==.例15．已知集合{|22}A x x =-<<，{|1}B x x =>．(1)求集合R B ð；(2)设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】(1){}R 1B x x =≤ð(2)42a -≤≤-【分析】（1）根据补集的概念可得结果；（2）由A M M ⋃=，得A M ⊆，根据子集关系列式可求出结果.【详解】（1）∵{}1B x x =>，∴{}R 1B x x =≤ð．（2）∵A M M ⋃=，∴A M ⊆，∴262a a ≤-⎧⎨+≥⎩，解得42a -≤≤-.变式15-1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{|2324}x x -≤-≤，B ＝{|3}x m x m ≤≤+．(1)当m ＝1-时，求A B ⋂与U A B U ð；(2)若A B ⋃＝B ，求实数m 的取值范围．【答案】(1){|02}A B x x =≤≤ ，{|1U A B x x ⋃=<-ð或0}x ≥(2)[1,0]-【分析】（1）化简集合A ，当1m =-时，求出集合B ，求出U B ð，即可求出结果；（2）由A B B ⋃=得出A B ⊆，列出关于m 的不等式组，求解即可.【详解】（1）由已知，得{|02}A x x =≤≤，当1m =-时，{|12}B x x =-≤≤，故{|02}A B x x =≤≤ .{|1U B x x =<-ð或2}x >，{|1U A B x x ⋃=<-ð或0}x ≥.（2）∵A B B ⋃=，∴A B ⊆，∴032m m ≤⎧⎨+≥⎩，解得10m -≤≤∴实数m 的取值范围为[1,0]-．变式15-2．已知集合{}1,2A =-，()(){}10B x x x a =+-=.(1)若1a =，求A B ⋂；(2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值集合.【答案】(1){}1-；(2){}1,2-.【分析】（1）化简集合，然后根据交集的定义即得；（2）根据A B A ⋃=对a 进行分类讨论，从而求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()(){}{}|1101,1B x x x =+-==-，又{}1,2A =-，所以{}1A B ⋂=-；（2）由()()10x x a +-=解得11x =-，2x a =，若1a =-，则{}1B =-，A B A ⋃=，符合题意；若1a ≠-，由于A B A ⋃=，所以2a =；综上所述，实数a 的取值集合为{}1,2-.变式15-3．已知集合352A x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，{1B x x =<或}2x >，{}1C x k x k =<<+，全集U =R .(1)求()U A B ∩ð；(2)若A C A ⋃=，求k 的取值范围.【答案】(1)()312U A B x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭ð(2)15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据集合补集，交集运算求解即可；（2）由题知C A ⊆，再根据集合关系求解即可.【详解】（1）解：∵U =R ，{1B x x =<或}2x >，∴{}12U B x x =≤≤ð.又∵352A x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，∴()312U A B x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭ð.（2）解：∵A C A ⋃=，∴C A ⊆.∴5312k k ≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得152k -≤≤.∴k 的取值范围为15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例16．已知集合{}|16P x x x =<->或，{}|11Q x m x m =-≤≤+，全集为R .(1)求集合P R ð；(2)若()P Q P =R R 痧，求实数m 的取值范围.【答案】(1){}16x x -≤≤(2)(],2∞-【分析】(1)由已知结合集合补集的运算即可求解；(2)由()P Q P =R R 痧，则R Q P ⊆ð，然后对Q 是否为空集进行分类讨论即可求解.【详解】（1）{}|16P x x x =- 或，{}R |16P x x ∴=-≤≤ð.（2）由()P Q P =R R 痧得，R Q P ⊆ð，当Q=∅时，由{}|11Q x m x m =-≤≤+，可得11m m ->+，即0m <；当Q ≠∅时，由{}|11Q x m x m =-≤≤+，且R Q P ⊆ð，可得111116m m m m -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得02m ≤≤，综上所述，实数m 的取值范围为(],2∞-.变式16-1．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{}14B x x x =≤≥或.(1)当3a =时，求A B ⋂；(2)若0a >，且A B ⊆R ð，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[][]1,14,5A B ⋂=-⋃(2)()0,1【分析】（1）3a =时化简集合A ，根据交集的定义写出A B ⋂；（2）根据A B ⊆R ð，得出关于a 的不等式，求出解集即可.【详解】（1）当3a =时，集合{}15A x x =-≤≤，{}14B x x x =≤≥或，∴[][]1,14,5A B ⋂=-⋃；（2）∵A B ⊆R ð，{}22A x a x a =-≤≤+（0a >），{}14B x x x =≤≥或，∴{}|14B x x =<<R ð，∴2124a a ->⎧⎨+<⎩，又0a >，解得01a <<.∴实数a 的取值范围是：()0,1.变式16-2．记不等式()0R a x a -≤∈的解集为A ，集合{|1B x x =<-或3}x >．(1)当1a =时，求A B ⋃；(2)若R A B ≠∅ ð，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()[),11,∞∞--⋃+(2)3a ≤【分析】（1）求出集合A ，代入1a =，进而可求得A B ⋃；（2）求出R B ð，再根据R A B ≠∅ ð可得实数a 的取值范围．【详解】（1）0a x -≤ ，x a ∴≥，即[),A a =+∞，当1a =时，[)1,A =+∞，又集合{|1B x x =<-或3}x >()[),11,A B ∞∞∴⋃=--⋃+；（2）由已知[]R 1,3B =-ð，R A B ⋂≠∅ ð，[),A a =+∞3a ∴≤.变式16-3．已知集合{}13A x x =-≤≤，集合{22B x m x m =-≤≤+，}x R ∈．（1）若{}03A B x x ⋂=≤≤，求实数m 的值；（2）若()R A B A ⋂=ð，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{5m m >，或}3m <-．【分析】（1）结合交集的定义和{}03A B x x ⋂=≤≤分析可得2023m m -=⎧⎨+≥⎩，求解即可；（2）由题可知{2R B x x m =<-ð，或}2x m >+，再由()R A B A ⋂=ð可知R A B ⊆ð，由此得出满足题意的不等式求解即可.【详解】（1）因为{}03A B x x ⋂=≤≤，所以2023m m -=⎧⎨+≥⎩，所以21m m =⎧⎨≥⎩，所以2m =；（2）{2R B x x m =<-ð，或}2x m >+，由已知可得R A B ⊆ð，所以23m ->或21m +<-，所以5m >或3m <-，故实数m 的取值范围为{5m m >，或}3m <-．【点睛】本题考查集合之间的基本关系，考查集合的基本运算，考查逻辑思维能力和计算能力，考查分析能力，属于常考题.变式16-4．已知集合{|42}A x x =-≤≤-，集合{|0}B x x a =-≥．（1）若A B ⊆，求a 的取值范围；（2）若全集U =R ，且C U A B ⊆，求a 的取值范围．【答案】（1）{|4}a a ≤-（2）{|2}a a >-【解析】（1）结合数轴得到满足条件的不等式，即得；（2）{|}B x x a =≥，那么C {|}U B x x a =<，结合数轴得到满足条件的不等式，即得.【详解】解:{|42}A x x =-≤≤-，{|}B x x a =≥．（1）由A B ⊆，结合数轴（如图所示），可知4a ≤-，因此a 的取值范围为{|4}a a ≤-．（2）∵U =R ，∴C {|}U B x x a =<，要使C U A B ⊆，结合数轴（如图所示），可知2a >-故a 的取值范围为{|2}a a >-．【点睛】本题考查集合的子集和补集，结合数轴来求出变量取值范围.。
集合的基本运算第1课时集合的基本运算(一)交集与并集导学案(含答案)高一上学期北师大版必修
1.3集合的基本运算第1课时集合的基本运算(一)——交集与并集【学习目标】1.理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个简单集合的交集与并集.2.能使用Venn图表达集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.◆知识点一交集1.交集的概念:一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A与B的定义交集符号表示记作A∩B,读作“A交B”,即A∩B=图形表示2.交集的性质:(1)A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A,A∩B⊆A,A∩B B.(2)若A⊆B,则A∩B A,反之也成立.【诊断分析】1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若集合A={1,2,3},B={3,4},则A∩B=3.()(2)若集合A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},则A∩B={2,3}.()(3)已知集合A={1,2},B={3,4},因为集合A,B中没有公共元素,所以A∩B不能用一个集合来表示. ()2.请用Venn图表示两个集合在不同关系下的交集.◆知识点二并集1.并集的概念:定义一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫作集合A与B的并集符号记作A∪B,读作“A并B”,即A∪B=表示图形表示2.并集的性质:(1)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A,A⊆A∪B,B A∪B.(2)若A⊆B,则A∪B B,反之也成立.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若集合A={1,2,3},B={4},则A∪B={1,2,3,4}.()(2)若集合A={1,2,3},B={3,4},则A∪B中共有5个元素.()(3)若集合A={1},A∪B={1,2},则集合B={2}.()◆探究点一交、并集的基本运算例1 (1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={x|-1<x<3},则A∩B=()A.{1,2,3}B.{x|1<x<3}C.{1,2}D.{x|1≤x≤2}(2)(多选题)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则下列说法中正确的是()}A.A∩B={x|x<32B.A∩B=⌀C.A∪B=RD.A∪B={x|x<2}(3)已知集合P=(-1,1),Q=(0,2),则P∪Q=.(4)已知A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则A∩B等于.[素养小结]并集运算应注意的问题:(1)若求两个集合的并集,则重复的元素只能算一个;(2)进行并集运算时,可借助数轴或Venn图.交集运算应注意的问题:(1)注意点集与数集的交集是空集;(2)对于数集交集运算,可以利用数轴来求解,利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心点表示.◆探究点二由集合运算的概念及性质求参数例2 (1)已知A=[-2,2],B={x|x≤a},若A∩B=A,则实数a的取值范围为()A.{a|a>2}B.{a|a>-2}C.{a|a≥2}D.{a|a≤-2}(2)已知集合A={0,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},且A∩B={9},求实数a的值.变式已知集合P={x|-1≤x≤1},M={-a,a}.若P∪M=P,则实数a的取值范围是()A.{a|-1≤a≤1}B.{a|-1<a<1}C.{a|-1<a<1且a≠0}D.{a|-1≤a≤1且a≠0}[素养小结]已知集合的交集或并集求参数的值或取值范围时,关键是利用元素与集合的关系分类讨论求解,并且要注意利用集合中元素的互异性进行检验.有时还需要利用交集、并集的性质将问题转化为集合间的包含关系来求解.拓展(1)已知集合M={1,a2},P={-1,-a},若M∪P中有三个元素,则M∩P=() A.{0,1} B.{0,-1}C.{0}D.{-1}(2)设集合A={x|2a<x<a+2},B={x|x<-3,或x>5},若A∩B=⌀,则实数a的取值范围为()A.[-32,+∞)B.(-32,+∞)C.(-∞,-32]D.(-∞,-32)1.3集合的基本运算第1课时集合的基本运算(一)——交集与并集【课前预习】知识点一1.{x|x ∈A ,且x ∈B }2.(1)⊆ (2)= 诊断分析1.(1)× (2)× (3)× [解析] (1)两个集合的交集仍是一个集合,故A ∩B={3},所以(1)错误. (2)A ∩B 是由既属于集合A 又属于集合B 的所有元素组成的,故A ∩B={2,3,4},所以(2)错误. (3)虽然集合A ,B 中没有公共元素,但是A ∩B=⌀,所以(3)错误.2.解:如图,当两个集合A ,B 有如下关系时,阴影部分分别表示它们的交集.知识点二1.{x|x ∈A ,或x ∈B }2.(1)⊆ (2)= 诊断分析(1)√ (2)× (3)× [解析] (1)根据并集的概念知(1)正确. (2)A ∪B={1,2,3,4},即A ∪B 中共有4个元素,所以(2)错误. (3)满足条件的集合B 可以是{2},{1,2},所以(3)错误. 【课中探究】探究点一例1 (1)C (2)AD (3)(-1,2) (4){(1,2)}[解析] (1)因为集合A={1,2,3,4,5},B={x|-1<x<3},所以A ∩B={1,2}.故选C .(2)因为集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0}={x |x <32},所以A ∩B={x |x <32},A ∪B={x|x<2}.故选AD .(3)由题意知P ∪Q=(-1,1)∪(0,2)=(-1,2). (4)由{4x +y =6,3x +2y =7,解得{x =1,y =2,∴A ∩B={(1,2)}.探究点二例2 (1)C [解析] 因为A ∩B=A ,所以A ⊆B.因为A=[-2,2],B={x|x ≤a },所以a ≥2,故选C . (2)解:∵A ∩B={9},∴2a-1=9或a 2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={0,9,25},B={0,-4,9},A ∩B={0,9},不符合题意;当a=3时,A={0,5,9},B 中元素不满足互异性,不符合题意;当a=-3时,A={0,-7,9},B={-8,4,9},A ∩B={9},符合题意.综上可知,a=-3.变式 D [解析] ∵P ∪M=P ,∴M ⊆P ,则a ∈P ,-a ∈P ,且a ≠-a ,∴-1≤a ≤1,-1≤-a ≤1,a ≠0,解得-1≤a ≤1且a ≠0.∴a 的取值范围为{a|-1≤a ≤1且a ≠0}.故选D .拓展 (1)C (2)A [解析] (1)∵集合M={1,a 2},P={-1,-a },且M ∪P 中有三个元素,∴{a 2=-a ,a 2≠1,-a ≠-1,解得a=0,∴M ∩P={0},故选C .(2)集合A={x|2a<x<a+2},若A=⌀,则2a ≥a+2,解得a ≥2,此时A ∩B=⌀,满足题意;若A ≠⌀,因为B={x|x<-3,或x>5},且A ∩B=⌀,所以{2a <a +2,2a ≥-3,a +2≤5,解得-32≤a<2.综上可得a ≥-32,所以实数a 的取值范围为[-32,+∞).故选A .。
人教版高中数学必修1学案《集合的基本运算》(含答案)
1.1.3集合的基本运算(二)自主学习1．理解在给定集合中一个集合的补集的含义，会求给定子集的补集．2．能运用Venn图及补集知识解决有关问题．1．一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.2．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x A}．3．补集与全集的性质(1)∁U U＝∅；(2)∁U∅＝U；(3)∁U(∁U A)＝A；(4)A∪∁U A＝U；(5)A∩∁U A＝∅.4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁U B)＝{2,4}；(∁U A)∩(∁B)＝{6}．U对点讲练补集定义的应用【例1】已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B.解如图所示，借助Venn图，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∵∁U B＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}．规律方法根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．变式迁移1 设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x>4或x<3}，求a，b的值．解∵A＝{x|a≤x≤b}，∴∁U A＝{x|x>b或x<a}．又∁U A＝{x|x>4或x<3}，∴a＝3，b＝4.交、并、补的综合运算【例2】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁U A，A∩B，∁U(A∩B)，(∁U A)∩B.解把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁U A)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．规律方法求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．变式迁移2 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}．求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B)，(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∩B)，∁U(A∪B)，并指出其中相等的集合．解∁U A＝{x|－1≤x≤3}，∁U B＝{x|－5≤x<－1或1≤x≤3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{x|1≤x≤3}，(∁U A)∪(∁U B)＝{x|－5≤x≤3}，∁U(A∩B)＝{x|－5≤x≤3}，∁U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}，相等的集合：(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)．利用集合间的关系求参数【例3】 (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0，x ∈U }，求∁U A ； (2)设U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{b,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 和b 的值． (1)解 设x 1、x 2为方程x 2－5x ＋q ＝0的两根， 则x 1＋x 2＝5，∴x 1≠x 2(否则x 1＝x 2＝52∉U ，这与A ⊆U 矛盾)．而由A ⊆U 知x 1、x 2∈U ，又1＋4＝2＋3＝5，∴q ＝4或q ＝6. ∴∁U A ＝{2,3,5}或∁U A ＝{1,4,5}． (2)分析 由题目可获得以下主要信息： ①全集U 中有元素2，A 中有元素2. ②∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A . ③3∈U 但3∉(∁U A )，∴3∈A .解答本题可根据∁U A ＝{5}，得出⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝53＝b解出a 、b 即可． 解由题意，利用Venn 图， 可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3 ①a 2＋2a －3＝5 ② 将②式变形为a 2＋2a －8＝0， 解得a ＝－4或a ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝3为所求． 规律方法 符号∁U A 存在的前提是A ⊆U ，这也是解有关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含条件也是我们解题的一个突破口，若x ∈U ，则x ∈A 和x ∈∁U A 二者必居其一，不仅如此，结合Venn 图及全集与补集的概念，不难得到如下性质：A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅，∁U (∁U A )＝A .变式迁移3 已知U ＝R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，(∁U B )∩A ＝{4}，求A ∪B . 解 ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B 且2∉A . ∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A 且4∉B .分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧42＋4p ＋12＝022－5×2＋q ＝0，∴p ＝－7，q ＝6，∴A ＝{3,4}，B ＝{2,3}， ∴A ∪B ＝{2,3,4}．1．补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个全集中的补集也不同．另外全集是一个相对概念．2．符号∁U A 存在的前提是A ⊆U ，这也是解有关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含条件也是我们解题的一个突破口． 3．补集的几个性质： ∁U U ＝∅，∁U ∅＝U ，∁U (∁U A )＝A .课时作业一、选择题 1．已知集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}，则A ∩∁N B 等于( ) A ．{1,5,7} B ．{3,5,7} C ．{1,3,9} D ．{1,2,3} 答案 A解析 ∵A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}， ∴∁N B ＝{1,2,4,5,7,8，…}． ∴A ∩∁N B ＝{1,5,7}．2．已知U 为全集，集合M 、N 是U 的子集，若M ∩N ＝N ，则( )A ．(∁U M )⊇(∁U N )B ．M ⊆(∁U N )C ．(∁U M )⊆(∁U N )D ．M ⊇(∁U N ) 答案 C解析 利用Venn ，如图所示：可知(∁U M )⊆(∁U N )．3．已知U ＝{x |－1≤x ≤3}，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x 2－2x －3＝0}，C ＝{x |－1≤x <3}，则下列关系正确的是( )A ．∁U A ＝B B ．∁U B ＝C C ．∁U A ⊇CD ．A ⊇C 答案 A解析 B ＝{－1,3}，∁U A ＝{－1,3}．4．图中阴影部分可用集合M 、P 表示为( )A ．(M ∩P )∪(M ∪P )B ．[(∁U M )∩P ]∪[M ∩(∁U P )]C ．M ∩∁U (M ∩P )D ．P ∪∁U (M ∩P ) 答案 B5．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 B ．a <1 C ．a ≥2 D ．a >2 答案 C解析 ∵B ＝{x |1<x <2}， ∴∁R B ＝{x |x ≥2或x ≤1}．如图，若要A ∪(∁R B )＝R ，必有a ≥2. 二、填空题6．若A ＝{x ∈Z |0<x <10}，B ＝{1,3,4}，C ＝{3,5,6,7}，则∁A B ＝______，∁A C ＝______. 答案 {2,5,6,7,8,9} {1,2,4,8,9}解析 ∵A ＝{1,2,3，…，9}，B ＝{1,3,4}，C ＝{3,5,6,7}， ∴∁A B ＝{2,5,6,7,8,9}，∁A C ＝{1,2,4,8,9}．7．若全集I ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|y －3x －2＝1，N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则(∁I M )∩(∁I N )＝________. 答案 {(2,3)}解析 集合M ，N 都是点集，集合M 中的关系式可变为y ＝x ＋1(x ≠2)，它的几何意义是直线y ＝x ＋1上去掉点(2,3)后所有点的集合；集合N 表示直线y ＝x ＋1外所有点的集合．可知∁I M ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}∪{(2,3)}，表示直线y ＝x ＋1外所有点及直线上点(2,3)的集合；∁I N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}，表示直线y ＝x ＋1上所有点的集合．从而可得(∁I M )∩(∁I N )只有一个元素(2,3)．8．设全集U ＝{x ||x |<4且x ∈Z }，S ＝{－2,1,3}，若∁U P ⊆S ，则这样的集合P 共有________个． 答案 8解析 ∵集合P 与∁U P 个数相同，又∁U P ⊆S ， 而S 的子集个数为8，∴∁U P 个数也为8， ∴P 的个数也为8.三、解答题9．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，且B ⊆∁U A ，求实数p 的取值范围．解 ∁U A ＝{x |x <－1或x >2}， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－p 4.∵B ⊆∁U A ，∴－p4≤－1∴p ≥4，即p 的取值范围是{p |p ≥4}．10．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <1，或x >2}，集合B ＝{x |x <－3，或x ≥1}，求∁R A ，∁R B ，A ∩B ，A ∪B . 解 借助于数轴，如图可知∁R A ＝{x |1≤x ≤2}；∁R B ＝{x |－3≤x <1}； A ∩B ＝{x |x <－3，或x >2}；A ∪B ＝R . 【探究驿站】11．(1)若实数集R 为全集，集合P ＝{x |f (x )＝0}，Q ＝{x |g (x )＝0}，H ＝{x |h (x )＝0}，则方程f 2(x )＋g 2(x )h (x )＝0的解集是( )A ．P ∩Q ∩(∁R H )B ．P ∩QC ．P ∩Q ∩HD ．P ∩Q ∪H(2)50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既不会讲英语也不会讲日语的有8人，则既会讲英语又会讲日语的人数为( ) A ．20 B ．14 C ．12 D ．10 答案 (1)A (2)B解析 (1)由f 2(x )＋g 2(x )＝0知，f (x )＝0与g (x )＝0同时成立，且h (x )≠0. (2)如图所示，至少会讲英语、日语中一种语言的学生有50－8＝42(人)，不妨设A ＝{会讲英语的学生}，B ＝{会讲日语的学生}，则有card(A )＝36，card(B )＝20，card(A ∪B )＝42，故既会讲英语又会讲日语的学生人数为card(A ∩B )＝36＋20－42＝14.。
人教版高中数学必修1学案：集合的基本运算(含答案)
1.1.3集合的基本运算(一)1．理解并集、交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．2．体验通过实例的分析和阅读来自学探究集合间的关系与运算的过程，培养学生的自学阅读能力和自主探究能力．3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．2．一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．3．A∩A＝__A__，A∪A＝__A__，A∩∅＝__∅__，A∪∅＝A.4．若A⊆B，则A∩B＝__A__，A∪B＝__B__.5．A∩B⊆A，A∩B⊆B，A⊆A∪B，A∩B⊆A∪B.对点讲练求两个集合的交集与并集【例1】求下列两个集合的并集和交集．(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{－1,0,1,2,3}；(2)A＝{x|x<－2}，B＝{x|x>－5}．解(1)如图所示，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4,5}，A∩B＝{1,2,3}．(2)结合数轴(如图所示)得：A∪B＝R，A∩B＝{x|－5<x<－2}．规律方法求两个集合的交集、并集依据它们的定义，借用Venn图或结合数轴分析两个集合的元素的分布情况，有利于准确写出交集、并集．变式迁移1(1)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A ．{x |x >－2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－2<x <－1}D ．{x |－1<x <2} (2)若将(1)中A 改为A ＝{x |x >a }，求A ∪B ，A ∩B . (1)答案 A解析 画出数轴，故A ∪B ＝{x |x >－2}．(2)解 如图所示，当a <－2时，A ∪B ＝A ，A ∩B ＝{x |－2<x <2}； 当－2≤a <2时，A ∪B ＝{x |x >－2}，A ∩B ＝{x |a <x <2}； 当a ≥2时，A ∪B ＝{x |－2<x <2或x >a }，A ∩B ＝∅.已知集合的交集、并集求参数【例2】 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}． (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝R ，求a 的取值范围． 解 (1)由A ∩B ＝∅， ①若A ＝∅， 有2a >a ＋3，∴a >3. ②若A ≠∅，如图：∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1a ＋3≤52a ≤a ＋3，解得－12≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是{a |－12≤a ≤2或a >3}．(2)由A ∪B ＝R ，如图所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤－1a ＋3≥5，解得a ∈∅. 规律方法 出现交集为空集的情形，应首先考虑集合中有没有空集，即分类讨论．其次，与不等式有关的集合的交、并运算中，数轴分析法直观清晰，应重点考虑．变式迁移2 已知集合A ＝{x |2<x <4}，B ＝{x |a <x <3a }． (1)若A ∩B ＝∅，试求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，试求a 的取值范围． 解 (1)如图，有两类情况，一类是B ≠∅⇒a >0. 此时，又分两种情况：①B 在A 的左边，如图B 所示； ②B 在A 的右边，如图B ′所示．B 或B ′位置均使A ∩B ＝∅成立， 即3a ≤2或a ≥4，解得0<a ≤23，或a ≥4.另一类是B ＝∅，即a ≤0时，显然A ∩B ＝∅成立． 综上所述，a 的取值范围是{a |a ≤23，或a ≥4}．(2)因为A ＝{x |2<x <4}，A ∩B ＝{x |3<x <4}， 如图所示：集合B 若要符合题意，显然有a ＝3，此时B ＝{x |3<x <9}，所以a ＝3为所求．交集、并集性质的运用【例3】 已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x ||x |<1}，且满足A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．解 ∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B . (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B . (2)当a >0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <2a .∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧1a ≥－12a ≤1∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a <x <1a .∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧2a≥－11a ≤1∴a ≤－2.综合(1)(2)(3)知，a 的取值范围是 {a |a ≤－2或a ＝0或a ≥2}．规律方法 明确A ∩B ＝B 和A ∪B ＝B 的含义，根据问题的需要，将A ∩B ＝B 和A ∪B ＝B 转化为等价的关系式B ⊆A 和A ⊆B 是解决本题的关键．另外在B ⊆A 时易忽视B ＝∅时的情况．变式迁移3 设集合A ＝{－2}，B ＝{x |ax ＋1＝0，a ∈R }，若A ∩B ＝B ，求a 的值． 解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . ∵A ＝{－2}≠∅， ∴B ＝∅或B ≠∅. 当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0. 当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a }，∴－1a∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上，得a ＝0或a ＝12.1．A ∪B 的定义中“或”的意义与通常所说的“非此即彼”有原则的区别，它们是“相容”的．求A ∪B 时，相同的元素在集合中只出现一次．2．A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ，这两个性质非常重要．另外，在解决有条件A ⊆B 的集合问题时，不要忽视A ＝∅的情况．课时作业一、选择题 1．设集合A ＝{x |－5≤x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－5≤x <1} B ．{x |－5≤x ≤2}C．{x|x<1} D．{x|x≤2}答案 A2．下列四个推理：①a∈(A∪B)⇒a∈A；②a∈(A∩B)⇒a∈(A∪B)；③A⊆B⇒A∪B＝B；④A∪B＝A⇒A∩B＝B.其中正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析②③④正确．3．设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x<0或x≥2}，则A∪B等于()A．{x|x<0或x≥1} B．{x|x<0或x≥3}C．{x|x<0或x≥2} D．{x|2≤x≤3}答案 A解析结合数轴知A∪B＝{x|x<0或x≥1}．4．已知A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是() A．3≤a<4 B．－1<a<4 C．a≤－1 D．a<－1答案 C解析结合数轴知答案C正确．5．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析由已知得M＝{2,3}或{1,2,3}，共2个．二、填空题6．已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.答案{(2,1)}7．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为________．答案a≥－1解析由A∩B≠∅，借助于数轴知a≥－1.8．已知集合A＝{x|x<1或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5<x≤6}，则2a－b＝________.答案－4解析如图所示，可知a＝1，b＝6,2a－b＝－4.三、解答题9．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.解∵B⊆(A∪B)，∴x2－1∈A∪B.∴x2－1＝3或x2－1＝5.解得x＝±2或x＝±6.若x2－1＝3，则A∩B＝{1,3}．若x2－1＝5，则A∩B＝{1,5}．10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，集合B有两种情况：B＝∅或B≠∅.(1)B＝∅时，方程x2－4x＋a＝0无实数根，∴Δ＝16－4a<0，∴a>4.(2)B≠∅时，当Δ＝0时，a＝4，B＝{2}⊆A满足条件；当Δ>0时，若1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，由根与系数的关系知矛盾，无解，∴a＝4.综上，a的取值范围是a≥4.【探究驿站】11．求满足P∪Q＝{1,2}的集合P，Q共有多少组？解可采用列举法：当P＝∅时，Q＝{1,2}；当P＝{1}时，Q＝{2}，{1,2}；当P＝{2}时，Q＝{1}，{1,2}；当P＝{1,2}时，Q＝∅，{1}，{2}，{1,2}，∴一共有9组．。
集合的基本运算学案(人教A版2019必修第一册)(解析版)
1.3 集合的基本运算【学习要求】1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集2.能使用Venn图表示集合的并集、交集运算结果3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算4.理解全集、补集的概念，准确翻译和使用补集符号和V enn图，并能解决一些集合综合运算的问题．【思维导图】【知识梳理】一、并集 1．并集的定义自然语言符号语言图形语言由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为集合A 与B 的并集，记作A∪B A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }2.并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B . 二、交集定义文字语言一般地，由属于A 且属于B 的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集，记作A B ．(读作“A 交B ”)符号语言 AB ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }图形语言性质(1)AA ＝A ，A ∅＝∅； (2)AB ＝B A ；(3)A B ⊆A ，A B ⊆B ； (4)A B ＝A ⇔A ⊆B ； (5)(AB )C ＝A(BC )； (6)(AB )⊆(AB )对交集的理解：(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素． (2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．如A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,3,4,5}，则AB ＝{2,3,4}，而不是AB ＝{2,3}，{2,4}或{3,4}．(3)当集合A 和集合B 无公共元素时，不能说集合A ，B 没有交集，而是A B ＝∅．(4)定义中“x ∈A ，且x ∈B ”与“x ∈(A B )”是等价的，即由既属于A ，又属于B 的元素组成的集合为AB ．而只属于集合A 或只属于集合B 的元素，不属于AB ．三、补集与全集(1)全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U ． (2)补集定义文字语言对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U A ．符号语言 U A ＝{x |x∈U ，且x ∉A }图形语言性质(1)U A⊆U；(2)U U＝∅，U∅＝U；(3)U(U A)＝A；(4)A(U A)＝U；A(U A)＝∅对补集的理解：(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(2)U A包含三层意思：①A⊆U；②U A是一个集合，且U A⊆U；③U A 是由U中所有不属于A的元素构成的集合．(3)若x∈U，则x∈A或x∈U A，二者必居其一．四、集合的运算(1)集合的基本运算①对于用列举法表示的集合，这里要注意集合元素的特征，做到不重不漏．②当集合A，B都有无穷多个元素时，应注意端点值的取舍，我们可以把端点值代入题目中进行验证．③用描述法给出的集合，先明确集合中元素的一般符号及其共同特征，然后在确定了集合中元素的前提下，再着手进行集合的运算．(2)集合的混合运算解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(U A)B时，先求出U A，再求交集；求U(A B)时，先求出A B，再求补集．注意以下规律：(1)①U(A B)＝(U A)(U B)，如图a；②U(A B)＝(U A)(U B)，如图b．(2).①A(B C)＝(A B)C．②A(B C)＝(A B)C．③A(B C)＝(A B)(A C)．④A(B C)＝(A B)(A C)．五、Venn图的应用(1)借助于Venn图分析集合的运算问题，可以使问题简捷地获得解决．利用Venn图将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来，体现了数形结合思想的优越性．在使用Venn图时，可将全集分成四部分，如图所示．Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ这四部分的含义如下：Ⅰ：A(U B)；Ⅱ：A B；Ⅲ：(U A)B；Ⅳ：(U A)(U B)(或U(A B))．(2)比较集合运算的三种语言形式可以看出，V enn图可以把一些不明确的数量关系直观地表示出来，从而达到化繁为简、化抽象为直观的目的．利用Venn 图解决生活中的问题时，先把生活中的问题转化成集合问题，借助于Venn 图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解．【高频考点】高频考点1. 并集的运算【方法点拨】求两个集合的并集的方法：①定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn 图表示出集合运算的结果．②数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．注意：(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．【例1】（2021·天津河西区·高二期末）设集合{|1M x x =>-或2}x <-，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤- D ．R 【答案】D【详解】解：∵集合{|1M x x =>-或2}x <-，集合{}2N x x =≥-， ∴M N ⋃=R ．故选：D ．【变式1-1】（2021·山东高一课时练习）已知集合A =1122⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，B ={}2|,y y x x A =∈，A ∪B =_______． 【答案】1112424⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，， 【详解】因为B ={y |y =x 2，x ∈A }=1144⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，所以A ∪B =1112424⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，，． 故答案为：1112424⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，，【变式1-2】（2021·北京顺义区·高三二模）已知集合{}{}|||1,|02A x x B x x ==<，则A B =（ ）A ．{}|2x x <B ．{}|12x x -<C ．{|01}x xD ．{}|12x x -<【答案】D【详解】因为||1x ≤，所以11x -≤≤，所以{}{}|||1|11A x x x x =≤=-≤≤， 因为{}|02B x x =≤<，所以{}12A B x x ⋃=-≤<.故选：D.【变式1-3】[多选题]（2021•辛集市校级期中）已知集合A ＝{4，a }，B ＝{1，a 2}，a ∈R ，则A ∪B 可能是（ ） A ．{﹣1，1，4}B ．{1，0，4}C ．{1，2，4}D ．{﹣2，1，4}【解答】解：若A ∪B 含3个元素，则a ＝1或a ＝a 2或a 2＝4，a ＝1时，不满足集合元素的互异性，a ＝0，a ＝2或a ＝﹣2时满足题意，a ＝0时，A ∪B ＝{1，0，4}；a ＝2时，A ∪B ＝{1，2，4}；a ＝﹣2时，A ∪B ＝{4，﹣2，1}． 故选：BCD ．【变式1-4】（2021•天津月考）已知集合A ＝{x |x 2﹣3x +2＝0}，集合B ＝{x |x 2﹣ax +a ﹣1＝0}． （1）若A ＝B ，求a 的值；（2）若A ∪B ＝A ，求a 的值．【解答】解：（1）A ＝{1，2}，∵A ＝B ，∴1，2∈B ，∴a ＝1+2＝3；（2）∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴①△＝a 2﹣4a +4＝（a ﹣2）2＝0，即a ＝2时，B ＝{1}，满足题意； ②△＞0时，1，2∈B ，∴a ＝3， 综上得，a ＝2或3．高频考点2 . 交集的运算【方法点拨】(1) 求集合A ∩B 的步骤①首先要搞清集合A 、B 的代表元素是什么；②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A ∩B ”的形式；③把化简后的集合A 、B 的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)． (2) 求集合A ∩B 的方法①若A 、B 的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A ∩B 是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．②若A 、B 是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．【例2】（2021·广东高一期末）设集合{}53A x x =-<<，{}24120B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．{}65x x -<<-B ．{}52x x -<<C ．{}52x x -<<-D ．{}33x x -<< 【答案】B【详解】由不等式2412(6)(2)0x x x x +-=+-<，解得62x -<<，即{}62B x x =-<<，又由{}53A x x =-<<，可得AB ={}52x x -<<-.故选：B.【变式2-1】（2020·江苏高三一模）已知集合{}14,A x x x N =-<<∈，{}0,2,3,6,7B =，则AB =（ ） A ．{}0,6,7 B ．{}2,3C ．{}0,2,3D ．{}0,2,3,6,7【答案】C【详解】{}{}14,0,1,2,3A x x x N =-<<∈=，{}0,2,3,6,7B =，{0,2,3}AB =.故选：C.【变式2-2】（2021·山东济南市·高三模拟）已知集合M ＝{（x ，y ）|y ＝21x -，xy ≤0}，N ＝{（x ，y ）|y ＝x 24-}，则M N ⋂中的元素个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．1或2【答案】A【详解】∵集合M ＝{（x ，y ）|y ＝2x ﹣1，xy ≤0}，N ＝{（x ，y ）|y ＝x 2﹣4}，∴M ∩N ＝{（x ，y ）|22104y x xy y x =-⎧⎨=-⎩，}＝∅．∴M ∩N 中的元素个数为0．故选：A ． 【变式2-3】[多选题]（2021•辛集市高一月考）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |﹣2≤x ﹣1≤2}和N ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈N *}关系的维恩图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．3【解答】解：∵全集U ＝R ，集合M ＝{x |﹣2≤x ﹣1≤2}＝{x |﹣1≤x ≤3}，N ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈N +}， ∴阴影部分表示的集合为M ∩N ＝{1，3}，∴阴影部分表示的集合中的元素有1，3， 故A 和B 均错误，C 和D 均正确．故选：CD ．【变式2-4】（2021·安徽蚌埠市·蚌埠二中高三模拟）集合()(){}1,22,3,M p p m m R ==+∈，()(){}3,21,1,N q q n n R ==+--∈，则MN =（ ）A ．(){}1,1--B ．(){}3,5C ．{}1,1--D ．{}3,5-【答案】A【详解】根据所给的两个集合的元素，表示出两个集合的交集，在集合M 中，()12,23p m m =++，在集合N 中，()31,21q n n =--， 要求两个向量的交集，即找出两个向量集合中的相同元素， ∵元素是向量，要使的向量相等，只有横坐标和纵坐标分别相等， ∴12312321m n m n +=-⎧⎨+=-⎩，解得10m n =-⎧⎨=⎩，此时()1,1p q ==--.故选：A.高频考点3 . 由集合的并集、交集求参数【方法点拨】①利用集合交集、并集的求参数解题策略：当题目中含有条件A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A ∩B ＝A 转化为A ⊆B ，A ∪B ＝B 转化为A ⊆B . ②利用集合交集、并集的求参数解题方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．③特别注意：当题目条件中出现B ⊆A 时，若集合B 不确定，解答时要注意讨论B ＝∅的情况． 【例3】（2021•南京期中）[多选题]设集合M ＝{x |a ＜x ＜3+a }，N ＝{x |x ＜2或x ＞4}，则下列结论中正确的是（ ） A ．若a ＜﹣1，则M ⊆N B ．若a ＞4，则M ⊆NC ．若M ∪N ＝R ，则1＜a ＜2D ．若M ∩N ≠∅，则1＜a ＜2【解答】解：∵集合M ＝{x |a ＜x ＜3+a }，N ＝{x |x ＜2或x ＞4}， 对于A ，a ＜﹣1时，a +3＜2，故M ⊆N 成立， 对于B ，a ＞4时，则M ⊆N 成立， 对于C ，若M ∪N ＝R ，则，解得1＜a ＜2，对于D ，若M ∩N ＝∅，则，解得a 不存在，故M ∩N ≠∅，a ∈R ，故D 错，故选：ABC ．【变式3-1】（2021·泰州市高一月考）已知集合{}{}|45,|121A x x B x k x k =≤<=-≤<-，若A B A ≠，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(3,5)B ．[]3,5C ．(,3)(5,)-∞⋃+∞D ．(,3][5,)⋃-∞+∞ 【答案】C【详解】若A B A =，即A B ⊆，又A ≠∅，则14215k k -≤⎧⎨-≥⎩，解得35k ≤≤，又k ∈R ，所以当AB A ≠时，实数k 的取值范围为集合{}|35k k ≤≤的补集，即实数k 的取值范围为(,3)(5,)-∞⋃+∞.故选：C【变式3-2】（2021·务川高一期末）已知集合{}220A x x x =+=，{}22(1)10B x x a x a =+++-=． （1）若m A ∈，求实数m 的值；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的值． 【答案】（1）0m =或2m =-；（2）1.【详解】（1）220x x +=，解得0x =或2-，集合{}0,2A =-， 因为m A ∈，所以0m =或2m =-. （2）因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，因为{}0,2A =-，{}22(1)10B x x a x a =+++-=，所以221042(1)10a a a ⎧-=⎨-++-=⎩， 解得1a =，代入验证后满足题意.【变式3-3】（2021•眉山期末）已知集合A ＝{x |2a +1≤x ≤3a +5}，B ＝{x |x ≤﹣2或x ≥5}． （1）若a ＝﹣2，求A ∪B ，A ∩B ；（2）A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）a ＝﹣2时，集合A ＝{x |﹣3≤x ≤﹣1}，B ＝{x |x ≤﹣2或x ≥5}． ∴A ∪B ＝（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞），A ∩B ＝[﹣3，﹣2]．（2）若A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，当A ＝∅时，2a +1＞3a +5，解得a ＜﹣4， 当A ≠∅时，或解得或a ≥2，综上所述，或a ≥2，∴实数a 的取值范围是（﹣∞，]∪[2，+∞）．【变式3-4】（2021•解放区校级月考）已知集合A ＝{y |y ＝4x ﹣2，﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |3m ﹣1＜x ＜2m +1}． （Ⅰ）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若A ∩B ＝{x |a ＜x ＜b }且b ﹣a ＝2，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）集合A ＝{y |y ＝4x ﹣2，﹣1＜x ＜3}＝（﹣6，10），B ＝{x |3m ﹣1＜x ＜2m +1}， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，当B ＝∅时，即3m ﹣1≥2m +1时，解得m ≥2，此时满足题意， 当B ≠∅时，即3m ﹣1＜2m +1时，解得m ＜2，则，解得m，综上所述m 的取值范围为[，+∞）；（Ⅱ）集合A ＝（﹣6，10），10﹣（﹣6）＝16， 若A ∩B ＝{x |a ＜x ＜b }且b ﹣a ＝2，①A ∩B ＝{3m ﹣1＜x ＜2m +1}时，，解得m ＝0；②A ∩B ＝{x |3m ﹣1＜x ＜10}时，，此时满足条件的m 不存在；③A ∩B ＝{x |﹣5＜x ＜2m +1}时，，解得m ，综上得，m 的取值范围为{，0}．高频考点4. 补集的运算【方法点拨】求集合补集的基本方法及处理技巧：(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn 图求解．②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 【例4】（2021·北京高二期末）已知全集U =R ，集合{}23M x x =-≤≤，则集合UM =（ ）A ．{}23x x -<<B ．{|2x x <-或3}x >C ．{}23x x -≤≤ D ．{|2x x ≤或3}x ≥ 【答案】B【详解】解：因为全集U =R ，集合{}23M x x =-≤≤，所以UM ={|2x x <-或3}x >故选：B【变式4-1】（2021·浙江高二期末）设集合{}2,1,0,1U =--，{}21,A x x x U =<∈，则UA （ ）A ．{}2,1,1--B ．2,0,1C ．{}2,1,0--D ．{}1,0,1-【答案】A【详解】由题意得：集合={0}A ，所以{2,1,1}UA .故选：A【变式4-2】（2021·北京海淀区·101中学高三其他模拟）已知集合{}0,1A =，集合{}1,0,1,2,3B =-，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．[]1,3B ．(]1,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3- 【答案】C【详解】依题意，由补集的韦恩图表示知，图中阴影部分表示的集合是BA ，因集合{}0,1A =，集合{}1,0,1,2,3B =-，则有{1,2,3}BA =-，所以图中阴影部分表示的集合是{}1,2,3-.故选：C【变式4-3】（2021·珠海市第二中学高三模拟）已知,M N 为R 的两个不相等的非空子集，若()()N M ⊆RR ，则下列结论中正确的是（ ）A ．,x N x M ∀∈∈B ．,x M x N ∃∈∉C ．,x N x M ∃∉∈D ．R,x M x N ∀∈∉【答案】D【详解】根据集合的运算，因为()()N M ⊆RR ，可得M N ⊆，所以,x M x N ∀∈∈，所以R,x M x N ∀∈∉.故答案为：D.【变式4-4】（2021•海淀区校级月考）设集合U ＝{1，2，3，4}，M ＝{x ∈U |x 2﹣5x +p ＝0}，若∁U M ＝{1，4}，则p 的值为（ ） A ．﹣4B ．4C ．﹣6D ．6【解答】因为集合U ＝{1，2，3，4}，M ＝{x ∈U |x 2﹣5x +p ＝0}，若∁U M ＝{1，4}，所以M ＝{2，3} 即2，3是方程的两个根，22﹣5×2+p ＝0，所以p ＝6．故选：D ．高频考点5 . 交集、并集、补集的综合运算【方法点拨】求集合交、并、补运算的方法：①如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn 图来求解．②如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．【例5】（2021·辽宁高三其他模拟）已知集合{}08A x x =≤＜，{}21B x x =≤，则（ ）A ．B A ⊆ B ．[]1,1A B ⋂=﹣ C ．(],8A B ⋃=∞- D ．(](C )1,8R A B ⋂= 【答案】D【详解】∵集合{}08A x x =<≤，{}{}21|11B x x x x =≤=-≤≤，∴B A ⊄，故A 错误；{}01A B x x ⋂=<≤，故B 错误；{}18A B x x ⋃=-≤≤，故C 错误；{1RB x x =<-或}1x >，(]()1,8R A B ⋂=，故D 正确.故选：D .【变式5-1】（2021·青海西宁市·高三二模）设集合{1,2,3,4}A =，{2,4}B =，则集合{1,3}=（ ） A ．AB B ．()RABC ．A BD ．()RB A ⋂【答案】B【详解】解：因为集合{1,3}的元素都在集合A 中，但不在B 中，所以为()R AC B .故选：B ．【变式5-2】（2021•椒江区校级月考）已知全集U ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0，3}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{﹣1}B ．{0，1}C ．{﹣1，3}D ．{﹣1，0，1，3}【解答】解：全集U ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0，3}， 则（∁U A ）＝{﹣1，3，4}，所以（∁U A ）∩B ＝{﹣1，3}．故选：C ．【变式5-3】（2021•苏州期中）[多选题]已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合M ＝{3，4，5}，N ＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（ ）A ．M ∩NB ．（∁U M ）∩NC ．（∁U N ）∩MD ．（∁U （M ∩N ））∩N 【解答】解：∵M ＝{3，4，5}，N ＝{1，2，5}，∴M ∩N ＝{5}，（∁U M ）∩N ＝{1，2}，M ∩（∁U N ）＝{3，4}，（∁U （M ∩N ））∩N ＝{1，2，3，4，6}∩（1，2，5}＝{1，5}．故选：BD ． 【变式5-4】（2021•南关区校级期末）已知全集U ＝{x |x ≤8，x ∈N *}，若A ∩（∁U B ）＝{2，8}，（∁U A ）∩B ＝{3，7}，（∁U A ）∩（∁U B ）＝{1，5，6}，则集合A ＝ ，B ＝ ． 【解答】解：全集U ＝{x |x ≤8，x ∈N *}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ∩（∁UB ）＝{2，8}，（∁U A ）∩B ＝{3，7}，（∁U A ）∩（∁U B ）＝{1，5，6}，∴A ∩B ＝{4}， 集合A ＝{2，4，8}，B ＝{3，4，7}．故答案为：{2，4，8}，{3，4，7}．高频考点6 . 利用集合间的关系求参数【方法点拨】①与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．②不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． 【例6】（2021·沙坪坝区·重庆八中）已知集合{}12A x x =<<，集合{}B x x m =>，若()AB =∅R，则m 的取值范围为（ ）A ．(],1-∞B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞【答案】A 【详解】由题知()AB =∅R，得A B ⊆，则1m ，故选：A ．【变式6-1】（2021•河西区高一月考）已知A ＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |x ≤a ﹣1或x ≥a +1}，若A ∩（∁R B ）≠∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1≤a ≤2B ．1＜a ＜2C ．a ≤1或a ≥2D ．a ＜1或a ＞2【解答】解：A ＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |x ≤a ﹣1或x ≥a +1}，所以∁R B ＝{x |a ﹣1＜x ＜a +1}； 又A ∩（∁R B ）≠∅，所以a ﹣1＜0或a +1＞3，解得a ＜1或a ＞2； 所以实数a 的取值范围是a ＜1或a ＞2．故选：D ．【变式6-2】（2021•临朐县高一期中）已知集合A ＝{x |﹣3＜x ≤6}，B ＝{x |b ﹣3＜x ＜b +7}，M ＝{x |﹣4≤x ＜5}，全集U ＝R ．（1）A ∩M ＝ ；（2）若B ∪（∁U M ）＝R ，则实数b 的取值范围为 ． 【解答】解：（1）∵集合A ＝{x |﹣3＜x ≤6}，M ＝{x |﹣4≤x ＜5}， ∴A ∩M ＝{x |﹣3＜x ＜5}．故答案为：{x |﹣3＜x ＜5}．（2）∵B ＝{x |b ﹣3＜x ＜b +7}，M ＝{x |﹣4≤x ＜5}，全集U ＝R ，∴∁U M ＝{x |x ＜﹣4或x ≥5}， ∵B ∪（∁U M ）＝R ，∴，解得﹣2≤b ＜﹣1．∴实数b 的取值范围为[﹣2，﹣1）．故答案为：[﹣2，﹣1）．【变式6-3】（2021·广东深圳市·高一期中）已知集合{}{1},11A x a x a B x x =<<+=+． （1）若1a =，求AB ；（2）在①A B B ⋃=，②()R B A =∅，③()R B A R ⋃=，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|20AB x x =-≤≤或12}x <<；（2）三个条件任选一个，结论都是21a -≤≤-．【详解】（1）{}11{|20}B x x x x =+=-≤≤， 又{|12}A x x =<<，∴{|20AB x x =-≤≤或12}x <<；（2）选① ∵A B B ⋃=，∴A B ⊆，∴210a a ≥-⎧⎨+≤⎩，∴21a -≤≤-．选②∵()R B A =∅，∴A B ⊆，∴210a a ≥-⎧⎨+≤⎩，∴21a -≤≤-．选③∵()R B A R ⋃=，∴A B ⊆，∴210a a ≥-⎧⎨+≤⎩，∴21a -≤≤-． 【变式6-4】（2021·山东高三专题练习）已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}，且A ∪B ＝A ，A ∩C ＝C ，求实数a 及m 的取值范围． 【答案】a ＝3或a ＝2，m 的取值范围是m ＝3或－<m【详解】由题意得，A ＝{1，2}，B ＝{x |(x －1)[x －(a －1)]＝0}． 由A ∪B ＝A ，知B ⊆A ，所以可能有两种情况： ①a －1＝2，即a ＝3，此时A ＝B ，满足B ⊆A ； ②a －1＝1，即a ＝2，此时B ＝{1}，满足B ⊆A ； 由A ∩C ＝C 知C A ⊆，若C 为空集，显然满足C A ⊆，此时，由∆＝m 2－8<0得－<m．若{1}C =，则方程x 2－mx ＋2＝0只有一个实根1，则280120m m ⎧∆=-=⎨-+=⎩，无解；若{2}C =，则方程x 2－mx ＋2＝0只有一个实根2，则2804220m m ⎧∆=-=⎨-+=⎩，无解；{1,2}C =，则方程x 2－mx ＋2＝0有2个不等的实根1和2，则2801204220m m m ⎧∆=->⎪-+=⎨⎪-+=⎩，解得3m =；综上可知：a ＝3或a ＝2；m ＝3或－<m.易错点1.集合运算时忽略空集致错【方法点拨】A ∩B ＝B ，B 可能为空集，千万不要忘记．【例1】集合{|12}A x x =-，{|}B x x a =<． （1）若AB A =，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2a >；（2）1a -【解析】解：（1）由集合{|12}A x x =-，{|}B x x a =<， 因为AB A =,所以A B ⊆,则2a >，即实数a 的取值范围为2a >；（2）因为 A B =∅,又B ≠∅, 可得1a -，故实数a 的取值范围为1a -.【变式1】设集合{|24,}A x x x R =-<<∈，集合{}22|320B x x ax a =-+=．求： （1）实数a 在什么范围内取值时B ≠∅，且AB B =；（2）实数a 在什么范围内取值时，A B =∅． 【答案】（1）1a 2-<<（2）4a ≥或2a ≤-. 【解析】（1）∵B ≠∅，AB B =，∴B A ⊆． 方程22320x ax a -+=得两根为a ，2a ，由题意，得24224a a -<<⎧⎨-<<⎩，解不等式组，得1a 2-<<；（2）当B =∅时，222980a a a ∆=-=<，不可能； 当B ≠∅时，方程两根为a ，2a ．得424a a ≥⎧⎨≥⎩或 2.2 2.a a ≤-⎧⎨≤-⎩，∴4a ≥或2a ≤-. 【变式2】已知集合{}|22A x a x a =-≤≤+，{}|14B x x x =≤≥或.（1）当3a =时，求AB ；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|1145}A B x x x ⋂=-≤≤≤≤或；（2）()1-∞，. 【解析】（1）当3a =时，{}|15A x x =-≤≤，{}|14B x x x =≤≥或， ∴{}|1145A B x x x ⋂=-≤≤≤≤或，（2）若A =∅，此时22a a ->+，∴0a <，满足AB =∅，当0a ≥时，{}|22A x a x a =-≤≤+，∵A B =∅，∴21{24a a ->+<，∴01a ≤<.综上可知，实数a 的取值范围是(,1)-∞.数学思想1.数形结合思想的应用【方法点拨】求解此类问题一定要看是否包括端点(临界)值．集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn 图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解． 【例1】已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是________ 【答案】1a ≥【解析】因为A B ⋂≠∅,则画出数轴,并表示出集合,如下:可得1a ≥,故答案为:1a ≥【变式1】设集合{}|415A x x =-<-<，{}2|4B x x =>，则AB =（ ）A ．{}|26x x <<B ．{}|36x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{32x x -<<-或}26x << 【答案】D【解析】由题{}|415A x x =-<-<{|36}x x =-<<，{}2|4B x x =>{|2x x =<-或2}x >，则A B ={|32x x -<<-或26}x <<.故选：D.【变式2】某校一（1）班共有18名学生参加了学校书法社或手工社，其中参加书法社的学生有15人，参加手工社的学生有6人，则一（1）班这两个社团都参加了的学生共___________人. 【答案】3【解析】设一（1）班这两个社团都参加了的学生共有x 人，则615183x x x x -++-=∴=故答案为：3数学思想2. “正难则反”思想的应用【方法点拨】“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可运用“正难则反”策略先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A 求A ．补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．【例1】已知集合{}{}222|560,|120A x xx B x x ax a =--==++-=，若B A A ≠.求实数a的取值范围.【答案】4{|}4a a -≤≤【解析】若,B A A B A ⋃=⊆.∵{}2|560{1,6}A x xx =--==-，∴集合B 有以下三种情况：①当B =∅时，()224120aa ∆=--<，即216a >，∴4a或4a >.②当B 是单元素集合时，()224120aa ∆=--=，∴4a =-或4a =.若4a =-，则{2}B =，此时不满足B A ⊆，故舍去； 若4a =，则{2}B =-，此时不满足B A ⊆，故舍去.③当{}1,6B =-时，1-，6是方程22120x ax a ++-=的两个根， ∴216,1216,a a -=-+⎧⎨-=-⨯⎩即a 的值不存在. 综上可得，当B A A ⋃=时，实数a 的取值范围为{4aa <∣或4}a >. 故若BA A ≠，则实数a 的取值范围为4{|}4a a -≤≤.【变式1】已知集合,则实数的值为__________.【答案】或【解析】由题意得，故得，即，解得或.当时，，符合题意． 当时，，符合题意．所以或．答案：或【变式2】设全集{}22,3,23U a a =+-，16,26a A +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．若{}5UA =，求实数a 的值．【答案】2a = 【解析】因为{}5UA =,且全集{}22,3,23U a a =+-, 所以2235a a +-=,解得4a =-或2a =,当4a =-时,16164266a +-==,集合A 中的元素不满足互异性,不合题意; 当2a =时,16162366a ++==,此时{3,2}A =,满足{}5U A =,符合题意. 综上可得,2a =..故答案为: 2a =.【课后训练】全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·辽宁高三模拟）若集合{{2}A x y B x x ===<∣∣，则A ∩B ＝（ ）A ．{}12x x << B ．{}1x x ≥C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤<【答案】D【详解】由题意，得{}1A x x =≥，所以{}12A B x x ⋂=≤<．故选：D2．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模）已知集合{}24A x x =≤，{}1B x x =<，则集合A B等于（ ） A ．{}12x x ≤≤ B ．{}1x x ≥C ．{}2x x ≤D ．{}2x x ≥-【答案】C【详解】由不等式24x ≤，可得22x -≤≤，即集合{|22}A x x =-≤≤， 又由集合{}1B x x =<，可得{}2A B x x ⋃=≤.故选：C.3．（2021·三门峡市第一高级中学月考）设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{M P x x M -=∈且}x P ∉，则()M M P --等于（ ）A ．PB ．MC ．MPD ．M P ⋃【答案】C【详解】当M P ⋂=∅，由于对任意x M ∈都有x P ∉，所以M P M -=，因此()M M P M M M P --=-=∅=⋂；当M P ⋂≠∅时，作出Venn 图如图所示，则M P -表示由在M 中但不在P 中的元素构成的集合，因而()M M P --表示由在M 中但不在M P -中的元素构成的集合，由于M P -中的元素都不在P 中，所以()M M P --中的元素都在P中，所以()M M P --中的元素都在M P ⋂中，反过来M P ⋂中的元素也符合()M M P --的定义，因此()M M P M P --=⋂.故选：C.4．（2021·江苏苏州市·高三三模）已知U 为全集，非空集合A 、B 满足()UA B =∅，则（ ）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．()()UU A B ⋂=∅D ．()()UU A B U ⋃=【答案】A【详解】如下图所示：()UAB =∅，由图可知，A B ⊆，()()U U UA B B ⋂=，故选：A.5．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）已知U =R ，{}2M x x =≤，{}11N x x =-≤≤，则UM N =（ ）A ．{1x x <-或}12x <≤B ．{}12x x <≤C ．{1x x ≤-或}12x ≤≤D ．{}12x x ≤≤【答案】A 【详解】因为{1UN x x =<-或1}x >，所以{1U M C N x x ⋂=<-或12}x <≤.故选：A.6．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高三模拟）已知集合A 、集合{}2,3,,B a b =，且{}3,4A B =，则下列结论正确的是（ ）A ．有可能8a b +=B ．8a b +≠C ．8a b +<D ．8a b +> 【答案】B 【详解】{}2,3,,B a b =，{}3,4A B =，4B ∴∈，若4a =，由集合中元素互异性知：4b ≠，8a b ∴+≠；若4b =，同理可知：4a ≠，8a b ∴+≠；综上所述：8a b +≠.故选：B. 7．（2020·唐山市丰润区第二中学高一月考）已知集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，则使A B A ⋃=的实数m 的取值范围可是（ ）A ．{}36m m -≤≤B ．{}4m m ≤C ．{}24m m <<D ．{}6m m < 【答案】B【详解】由题意，集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-， 因为A B A ⋃=，可得B A ⊆，当B φ=时，可得121m m +>-，解得2m <；当B φ≠时，可得12217121m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≤-⎩，解得24m ≤≤，综上可得，实数m 的取值范围{}4m m ≤.故选：B.8．（2020·浙江高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ，②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8ST =，包含4个元素，排除选项 C ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21pS p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即ST 中有7个元素.故A 正确.故选：A .二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2021·太原市·山西实验中学高一开学考试）已知{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10I =为全集，集合,A B 为I 的子集，且{}()1,4,7I A B =⋂，{}23(,)I A B ⋂=，{}()()6,8,9,10I I A B ⋂=，那么集合A 的子集可以为（ ）A ．{}6,7,8,9,10B ．{}1,4,7C ．{}1,4,5,7D ．{}6,8,9【答案】BC【详解】依题意，可得如下Venn 图，∴如图，知5A B ⋂=，故{}1,4,5,7A =，∴A 的子集可以为B 或C ．故选：BC 10．（2020·河北沧州市·高一期中）设不大于x 的最大整数为[]x ，如[]3.63=．已知集合[]{}1A x x ==-，[]{}0223B x x =+＜＜，则（ ）A ．{}10A x x =-≤＜B ．112A B x x ⎧⎫⋃=-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．103⎡-=-⎣D ．102A B x x ⎧⎫⋂=-≤⎨⎬⎩⎭＜ 【答案】AD【详解】[]{}{}110A x x x x ==-=-≤＜， 因为[]11022*******x x x +⇒≤+⇒-≤<＜＜＜，所以11,22B ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭，11,2AB ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭，1,02AB ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭，∵4103--，∴104⎡-=-⎣，故选：AD.11．（2021·江苏南京市·高一期中）设集合{}3M x a x a =<<+，{2N x x =<或}4x >，则下列结论中正确的是（ ） A ．若1a <-，则M N ⊆ B ．若4a >，则M N ⊆ C ．若MN =R ，则12a << D ．若MN ≠∅，则12a <<【答案】ABC【详解】对于A ，若1a <-，则32a +<，则M N ⊆，故A 正确；对于B ，若4a >，则显然任意x M ∈，则4x >，则x ∈N ，故M N ⊆，故B 正确； 对于C ，若MN =R ，则234a a <⎧⎨+>⎩，解得12a <<，故C 正确；对于D ，若M N ⋂=∅，则234a a ≥⎧⎨+≤⎩，不等式无解，则若MN ≠∅，a R ∈，故D 错误.故选：ABC.12．（2021·浙江高一期末）（多选）若非空数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈，x y M -∈，则称M 为“优集”．已知,A B 是优集，则下列命题中正确的是（ ） A ．A B 是优集B ．A B 是优集C ．若AB 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D ．若AB 是优集，则A B 是优集【答案】ACD【详解】对于A 中，任取,x AB y A B ∈∈，因为集合,A B 是优集，则,x y A x y B +∈+∈，则x y AB +∈，,x y A x y B -∈-∈，则x y A B -∈，所以A 正确；对于B 中，取{|2,},{|3,}A x x k k Z B x x m m Z ==∈==∈，则{|2A x x k ==或3,}x k k Z =∈， 令3,2x y ==，则5x y AB -=∉，所以B 不正确；对于C 中，任取,x A y B ∈∈，可得,x y AB ∈，因为A B 是优集，则,x y A B x y A B +∈-∈，若x y B +∈，则()x x y y B =+-∈，此时A B ⊆；若x y A +∈，则()x x y y A =+-∈，此时B A ⊆，所以C 正确； 对于D 中，A B 是优集，可得A B ⊆，则A B A =为优集；或B A ⊆，则AB B =为优集，所以A B 是优集，所以D 正确.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2021·霍邱县第一中学高一月考）某校举办运动会时，高一某班共有27名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛.则仅参加一项比赛的共有___________人. 【答案】17【详解】设参加游泳比赛为集合A ，参加田径比赛为集合B ，参加球类比赛为集合C ，同时参加球类和田径比赛的有x 人由韦恩图可知，()()()1534348314427x x x --+++--++--=，解得3x = 则仅参加一项比赛的共有()()()1534833144317--+--+--=人故答案为：1714．（2021·眉山市东坡区校高一期中）设P 和Q 是两个集合，定义集合{P Q x x P θ-=∈，且}x Q ∉，若{}1,2,3,4P =，{}4,Q x x x R =<∈则P Q -=________．【答案】{}4【详解】因为集合P 中的1，2，3这三个元素都在集合Q 中，而4Q ∉， 所以{P Q x x P θ-=∈，且}{}4x Q ∉=．故答案为：{}4．15．（2021·福建省福州民族中学高一月考）集合()(){}10A x x x a =--≥，{}1B x x a =≥-．若A B R =，则a 的取值范围为_____【答案】2a ≤【详解】当1a <时，{|A x x a =≤或1}x ≥，此时A B R =符合题意；当1a =时，A R =，满足AB R =；当1a >时，{|1A x x =≤或}x a ≥，要使A B R =，只要11a -≤，解得12a <≤.综上所述：2a ≤.故答案为：2a ≤16．（2021·江苏淮安市·高二期末）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．已知集合{}2A x x t=<和集合{}2|20B x x x =--<，若集合A ，B 构成“偏食”，则实数t 的取值范围为____________． 【答案】()1,2【详解】集合{}{}|A x t x x t =<=<，{}()2|201,2B x x x =--<=-若集合A ，B 构成“偏食”，则0t >。
集合的概念与运算复习学案及答案
学案66—集合的概念与运算一、[最新考纲]1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．5．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.二、知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)真子集集合A是集合B的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A中集合相等集合A，B中元素相同A＝B[注意]空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝A∩B＝∁U A＝(1)并集的性质：A∪Ø＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．(2)交集的性质：A∩Ø＝Ø；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝Ø；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．三、辨析感悟判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若A B，则A⊆B且A≠B．()(2)N* N Z.()(3)若{1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(4)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.()(5)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．()(6)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)总成立．()(7)若A∩B＝A∩C，则B＝C．()(8)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M＝{x|x＞1，或x＜－1}．()四、典型精讲考点一. 集合的概念【例1】【2018高考全国卷Ⅱ】已知集合，则中元素的个数为A．9 B．8 C．5 D．4跟踪训练1.(1)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．考点二集合间的基本关系【例2】(1)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．,2x(){}223A x y x y x y=+∈∈Z Z，≤，，A(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝Ø，求m的值．跟踪训练2(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4(2) 已知集合A＝{x|x2－2 021x＋2 020<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是考点三集合的基本运算【例3】(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝()A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}(2)(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝()A．{x|x≤－3或x≥1} B．{x|x<－1或x≥3} C．{x|x≤3} D．{x|x≤－3}(3)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠Ø，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1(4)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为()A．0 B．1 C．2 D．4课时作业1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()．A．3 B．6 C．8 D．102.已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为()A．[－1,2) B．[－1,3]C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)3.(2017山东)设函数A，函数的定义域为B,则( )A．（1,2）B．C．（-2,1）D．[-2,1)4．（2017全国II）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0} C．{1，3}D．{1，5}5.(2016·全国乙卷)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B等于()A．⎝⎛⎭⎫－3，－32B．⎝⎛⎭⎫－3，32C．⎝⎛⎭⎫1，32D．⎝⎛⎭⎫32，36.(2016·浙江)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)等于() A．[]2,3B．(]-2,3C．[)1,2D．(][)--21+∞⋃∞，，7.已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为()A.13或－12B．－13或12 C.13或－12或0 D．－13或12或08.(2016·临沂模拟)已知A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是()A．－1∉A B．－11∈A C．3k2－1∈A(k∈Z) D．－34∉A9.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b，则b－a＝________.10．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．11．设A，B是非空集合，定义A✞B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A✞B＝________．12.已知集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, a∈R,x∈R}.若A∪B=A,试求实数a 的取值范围.y=ln(1-)y x A B=](1,2集合的概念与运算 答案辨析感悟 (1)√ (2)√ (3)× (4) √ (5)× (6) √ (7)× (8)√例1. 答案：A ．解析：法一：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，所以A 中元素的个数为C 13C 13＝9，故选A ．法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A ． 跟踪训练1（1）答案：0或98（2）答案：－32解析：(1) 若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.(2)由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.例2.(1)当B ＝Ø时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠Ø时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4. 综上，m 的取值范围是(－∞，4]． (2)A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝Ø，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠Ø. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2. 经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．∴m ＝1或2.跟踪训练2（1）答案：D 解析： 由题意可得，A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，又因为A ⊆C ⊆B ，所以C ＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}． （2）答案[2 020，＋∞)例3 答案 (1)C (2)D (3)D (4)D解析：(1)依题意得∁U A ＝{1，6，7}，故B ∩∁U A ＝{6，7}．故选C ．(2)因为B ＝{x |x ≥－1}，A ＝{x |－3<x <1}，所以A ∪B ＝{x |x >－3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－3}．故选D ．(3)因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1. (4)根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4. 课时作业1. D2.D3. D4.C5.D6.B7.D8.C9. 2 10. {0，6} 11. {0}∪[2，＋∞) 解析：3.由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝Ø 时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠Ø 时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．7.9. 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.10. 由题意可知－2x ＝x 2＋x 所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}， 所以A ∩B ＝{0，6}．11. 由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，又由新定义A ✞B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，结合数轴得A ✞B ＝{0}∪[2，＋∞)． 12.因为A ∪B=A,所以B ⊆A,易知A={0,-4}.(1)当A=B={0,-4}时,0,-4是方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0的两根,由韦达定理可得所以a=1. (2)当B A 时,有B ≠Ø 和B= Ø两种情况.①当B ≠Ø时,B={0}或B={-4},故方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0,有相等的实数根0或-4,所以Δ=4(a+1)2-4(a 2-1)=0,所以a=-1, 所以B={0}满足条件.②当B= Ø时,Δ<0,解得a<-1.综上知实数a 的取值范围是{a|a ≤-1或a=1}22168(a 1)a 10,a 10,⎧-++-=⎪⎨-=⎪⎩。
人教版高中数学必修一《集合的基本运算》学案
1.1.3集合的基本运算第1课时并集与交集[学习目标] 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题.知识点一并集的概念并集的三种语言表示：(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)图形语言；如图所示.思考(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？答(1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示.(2)不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和.知识点二交集的概念交集的三种语言表示：(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(3)图形语言：如图所示.思考(1)当两个集合没有公共元素时，这两个集合就没有交集吗？(2)对于A∩B＝∅，存在哪几种可能的情况？答(1)当两个集合没有公共元素时，这两个集合的交集为空集.(2)存在三种情况：①集合A，B均为空集；②集合A，B中有一个是空集；③集合A，B均为非空集，但无相同元素.知识点三并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B＝B∪A A∩B＝B∩AA∪A＝A A∩A＝AA∪∅＝A A∩∅＝∅A⊆B⇔A∪B＝B A⊆B⇔A∩B＝A题型一并集及其运算例1(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于()A.{3,4,5,6,7,8}B.{5,8}C.{3,5,7,8}D.{4,5,6,8}(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于()A.{x|－1≤x＜3}B.{x|－1≤x≤4}C.{x|x≤4}D.{x|x≥－1}答案(1)A(2)C解析(1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}.(2)在数轴上表示两个集合，如图.反思与感悟解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合.若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.跟踪训练1已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是()A.{－1,2,3}B.{－1，－2,3}C.{1，－2,3}D.{1，－2，－3}答案 C解析 ∵A ＝{1，－2}，B ＝{－2,3}， ∴A ∪B ＝{1，－2,3}. 题型二 交集及其运算例2 (1)设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N 等于( ) A.{0,1} B.{－1,0,1} C.{0,1,2}D.{－1,0,1,2}(2)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x >2}，则A ∩B 等于( ) A.{x |2<x ≤3} B.{x |x ≥1} C.{x |2≤x <3} D.{x |x >2}答案 (1)B (2)A解析 (1)由已知得M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，所以M ∩N ＝{－1,0,1}.故选B. (2)结合数轴分析可得A ∩B ＝{x |2<x ≤3}.跟踪训练2 (1)设集合A ＝{x |x ∈N ，x ≤4}，B ＝{x |x ∈N ，x >1}，则A ∩B ＝________. (2)集合A ＝{x |x ≥2或－2<x ≤0}，B ＝{x |0<x ≤2或x ≥5}，则A ∩B ＝________. 答案 (1){2,3,4} (2){x |x ≥5或x ＝2}解析 (1)因为A ＝{x |x ∈N ，x ≤4}＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x |x ∈N ，x >1}，所以A ∩B ＝{2,3,4}. (2)A ∩B ＝{x |x ≥5或x ＝2}.题型三 已知集合的交集、并集求参数例3 已知集合A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.解 由A ∩B ＝∅，(1)若A ＝∅，有2a ＞a ＋3，∴a ＞3. (2)若A ≠∅，如下图：∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－12≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是{a |－12≤a ≤2，或a ＞3}.反思与感悟 1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解.若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结.2.建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证.跟踪训练3 设集合M ＝{x |－3≤x ＜7}，N ＝{x |2x ＋k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则实数k 的取值范围为________. 答案 k ≤6解析 因为N ＝{x |2x ＋k ≤0}＝{x |x ≤－k2}，且M ∩N ≠∅，所以－k2≥－3⇒k ≤6.例4 设集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |x 2＋x ＋a ＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围. 解 A ＝{x |x 2－x －2＝0}＝{－1,2}，B 是关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的解集. ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵A ＝{－1,2}≠∅，∴B ＝∅，或B ≠∅.当B ＝∅时，关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0无实数解，则有Δ＝1－4a <0，即a >14.当B ≠∅时，关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0有实数解. 若B 中仅有一个元素，则Δ＝0，即a ＝14，此时B ＝{x |x 2＋x ＋14＝0}＝{－12}.∵－12∉A ，∴B 不是A 的子集，即a ＝14不合题意.若B 中含有两个元素，则必有B ＝{－1,2}，则－1和2是关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的解，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－1，(－1)×2＝a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧1＝－1，a ＝－2. ∵1≠－1，∴此种情况不合题意. 综上可得，实数a 的取值范围是{a |a >14}.反思与感悟 1.通过深刻理解集合的表示方法，把A ∩B ＝A (或A ∪B ＝A )转化为集合之间的关系A ⊆B (或B ⊆A )，从而把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题，这种思想称为化归思想，是数学中常用的思想方法之一.2.解本题时，特别容易出现的错误是遗漏了B ＝∅的情形，其原因是对B ⊆A 的理解不够充分.对于B ⊆A ，当A ≠∅时，则有B ＝∅，或B ≠∅.避免出错的方法是培养利用分类讨论的数学思想方法的习惯和注意经验的积累.跟踪训练4 设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，集合B ＝{x |2x 2－ax ＋2＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . 又A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，若1∈B ，则2－a ＋2＝0，得a ＝4，此时B ＝{1}⊆A 符合题意. 若2∈B ，则2×22－2a ＋2＝0，得a ＝5，此时B ＝{2，12}不合题意，故a ＝5舍去.若B ＝∅，则a 2－16<0， 得－4<a <4，此时B ⊆A .综上所述a 的取值范围为－4<a ≤4.对集合中代表元素含义理解错误致误例5 (1)设集合A ＝{(x ，y )|x －2y ＝1}，集合B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，则A ∩B 等于( ) A.∅ B.{53，13} C.{(53，13)}D.{x ＝53，y ＝13}(2)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－2x －3，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2＋2x ＋13，x ∈R }，求A ∩B .错解 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝53，y ＝13，故选D.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x －3，y ＝－x 2＋2x ＋13，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝5.所以A ∩B ＝{5}.正解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝1，x ＋y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝53，y ＝13，即A ∩B ＝{(53，13)}.故选C.(2)由题意可知集合A ，B 分别是二次函数y ＝x 2－2x －3和y ＝－x 2＋2x ＋13的y 的取值集合. A ＝{y |y ＝(x －1)2－4，x ∈R }＝{y |y ≥－4，y ∈R }， B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋14，x ∈R }＝{y |y ≤14，y ∈R }. 因此，A ∩B ＝{y |－4≤y ≤14，y ∈R }. 易错警示错误原因纠错心得对集合的代表元素理解错误，第(1)题中代表元素为(x ，y )，对应集合为点集；第(2)题中代表元素为y ，表示的是y 的取值范围，对应集合为数集. 在有关集合运算，特别是描述法表示的集合运算中，要正确理解式子的意义，解题时应注意区分是数集还是点集，对于数集还应弄清代表元素是自变量x ，还是因变量y ，从而确定是自变量的范围还是因变量的范围.跟踪训练5 (1)设集合A ＝{y |y ＝x 2－2x ＋3，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2＋2x ＋10，x ∈R }，求A ∪B ； (2)设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋34，x ∈R }，求A ∩B .解 (1)两个集合表示的都是y 的取值范围，∵A ＝{y |y ＝x 2－2x ＋3，x ∈R }＝{y |y ≥2}，B ＝{y |y ＝－x 2＋2x ＋10，x ∈R }＝{y |y ≤11}， ∴A ∪B ＝R .(2)A ∩B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }∩{(x ，y )| y ＝－x 2＋2x ＋34，x ∈R }＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝－x 2＋2x ＋34}＝{(12，32)}.1.若集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,4}，则集合A ∪B 等于( ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{1,2} D.{0}答案 A解析 集合A 有4个元素，集合B 有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A ∪B 共含有5个元素.故选A.2.已知集合A ＝{0,2,4,6}，B ＝{2,4,8,16}，则A ∩B 等于( )A.{2}B.{4}C.{0,2,4,6,8,16}D.{2,4}答案 D解析 观察集合A ，B ，可得集合A ，B 的全部公共元素是2,4，所以A ∩B ＝{2,4}. 3.设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤4}，则A ∩B 等于( ) A.{x |0≤x ≤2} B.{x |1≤x ≤2} C.{x |0≤x ≤4} D.{x |1≤x ≤4}答案 A解析 在数轴上表示出集合A 与B ，如图.则由交集的定义可得A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}.4.已知集合P ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝5－x 2，x ∈R }，则P ∪Q ＝________. 答案 R解析 因为P ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≥1}，Q ＝{y |y ＝5－x 2，x ∈R }＝{y |y ≤5}，所以P ∪Q ＝R .5.若集合A ＝{x |x 2－2x －3＝0}，集合B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∩B ＝B ，则由实数a 组成的集合C ＝________. 答案 {－2,0，23}解析 由A ＝{x |x 2－2x －3＝0}，得A ＝{－1,3}. 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A . 当B ≠∅时，有B ＝{－1}或B ＝{3}.当B ＝{－1}时，由a ×(－1)－2＝0，得a ＝－2； 当B ＝{3}时，由a ×3－2＝0，得a ＝23.当B ＝∅时，方程ax －2＝0无解，得a ＝0. 故由实数a 组成的集合C ＝{－2,0，23}.1.对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x ∈A ，或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：x ∈A 但x ∉B ；x ∈B 但x ∉A ；x ∈A 且x ∈B .因此，A ∪B 是由所有至少属于A 、B 两者之一的元素组成的集合. (2)A ∩B 中的元素是“所有”属于集合A 且属于集合B 的元素，而不是部分.特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2.集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.一、选择题1.设集合A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B等于()A.{－2}B.{－2,3}C.{－1,0，－2}D.{－1,0，－2,3}答案 D解析因为A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2,3}，所以A∪B＝{－1,0，－2,3}.故选D.2.已知集合M＝{x|－1≤x≤1，x∈Z}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N等于()A.{1}B.{－1,1}C.{0,1}D.{－1,0,1}答案 C解析由已知得M＝{－1,0,1}，N＝{0,1}，所以M∩N＝{0,1}，故选C.3.已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个答案 B解析由已知得P＝M∩N＝{1,3}，∴P的子集有22＝4个.4.已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于()A.{x|x<－5或x>－3}B.{x|－5<x<5}C.{x|－3<x<5}D.{x|x<－3或x>5}答案 A5.已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则M∩N等于()A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,2}答案 D解析N＝{x|x＝2a，a∈M}＝{0,2,4}，所以M∩N＝{0,2}.故选D.6.若集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B等于()A.{x＝1或x＝2}B.{1,2}C.{(1,2)}D.(1,2)答案 C解析由题意可知两个集合都是点集，因此只有C选项正确.7.设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M且x∉P}，则P－(M－P)等于()A.PB.M∩PC.M∪PD.M答案 A解析方法一当M∩P≠∅时，如图所示，由Venn图知M－P为图形中的阴影部分，则P－(M－P)显然为P.当M∩P＝∅时，M－P＝M，则P－(M－P)＝P－M＝{x|x∈P且x∉M}＝P.综上所述，应选A.方法二令M＝{0,1,2,3}，P＝{－1,1,2}，依题意得M－P＝{0,3}，P－(M－P)＝{－1,1,2}，∴P－(M－P)＝P.故选A.二、填空题8.已知集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}.若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.答案{1,2,3}解析因为A∩B＝{2}，所以2a＝2，所以a＝1，b＝2，故A∪B＝{1,2,3}.9.满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的集合A的个数是________.答案 4解析由{1,3}∪A＝{1,3,5}知，集合A中至少含有元素5，故A可为{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，共4个.10.已知集合P＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝x2＋2x，x∈R}，则集合P∩Q＝______.答案{y|y≥1}解析易知P＝{y|y≥1}，Q＝{y|y≥－1}，故P∩Q＝{y|y≥1}.三、解答题11.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围. 解∵A∪B＝A，∴B⊆A.若B＝∅时，2a＞a＋3，即a＞3；若B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－2，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－1≤a ≤2，综上所述，a 的取值范围是{a |－1≤a ≤2，或a ＞3}.12.已知集合A ＝{x |x 2－px ＋15＝0}和B ＝{x |x 2－ax －b ＝0}，若A ∪B ＝{2,3,5}，A ∩B ＝{3}，分别求实数p ，a ，b 的值. 解 因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A . 从而可得p ＝8， 所以A ＝{3,5}.又由于3∈B ，且A ∪B ＝{2,3,5}，所以B ＝{2,3}. 所以方程x 2－ax －b ＝0的两个根为2和3. 由根与系数的关系可得a ＝5，b ＝－6. 综上可得，p ＝8，a ＝5，b ＝－6.13.(1)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，若A ∩B ＝{9}，求a 的值； (2)若P ＝{1,2,3，m }，Q ＝{m 2,3}，且满足P ∩Q ＝Q ，求m 的值. 解 (1)∵A ∩B ＝{9}，∴9∈A ，∴2a －1＝9，或a 2＝9， ∴a ＝5，或a ＝±3.当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}， 此时A ∩B ＝{－4,9}不合题意，舍去；当a ＝3时，B ＝{－2，－2,9}，不符合集合中元素的互异性，舍去； 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，符合题意， ∴a 的值为－3.(2)由P ∩Q ＝Q ，可知Q ⊆P ， ∴m 2＝1，或m 2＝2，或m 2＝m . 解得m ＝±1，或m ＝±2，或m ＝0.经检验m ＝1时不满足集合中元素的互异性，舍去. ∴m ＝－1，或m ＝±2，或m ＝0.。
河北省衡水中学高中数学1.1.3集合的基本运算（一）学案新人教A版必修1
河北省衡水中学高中数学1.1.3集合的基本运算（一）学案新人教A版必修1第一篇：河北省衡水中学高中数学 1.1.3集合的基本运算(一)学案新人教A版必修11.1.3集合的基本运算（一）一、学习目标1.理解并集、交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.体验通过实例的分析和阅读来自学探究集合间的关系与运算的过程，培养学生的自学阅读能力和自学探究能力.3.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会Venn图的作用.二、自学导引1、一般的，由所有属于的元素组成的集合，称为集合A与集合B 的并集，记作A Y B(读作“A并B”)，即A Y B=.2、由属于的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作A I B(读作“A交B”)，即A I B=.3、A I A=，A Y A=，A I∅=，A Y∅=.4、若A⊆B,则A I B=，A Y B=.5、A I BA，A I BB，AA Y B，A I BA Y B.三、典型例题1、求两个集合的交集与并集例1求下列两个集合的交集和并集⑴A={1，2，3，4，5}，B={-1,0,1,2,3};⑵A={x|x<-2}，B={x|x>-5}.变式迁移1⑴设集合A={x|x>-1}，B={x|-2<x<2}A Y B等于（）A{x|x>-2}B.{x|x>-1}C.{x|-2<x<-1}D.{x|-1<x<2}⑵若将⑴中A改为A={x|x>a}，求A Y B.2、已知集合的交集、并集求参数的问题例2已知集合A=-4,2a-1,a{2}，B={a-5,1-a,9}，若A I B={9}，求a的值.3、交集、并集性质的综合应用例3设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.⑴若A I B=B，求a的值；⑵若A Y B=B，求a的值。
变式迁移3已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+1}，若A Y B=A,求实数m的取值范围.4、课堂练习1.已知A={0,1，2，3，4}，B={3,0,5,6},则A I B等于（）A{0,3}B.{0,1,2,3,4}C.{3,0,5,6}D.{0,1,2,3,4,5,6}2.已知M={x|x-2<0},N={x|x+2>0}则M I N等于（）A.{x|x<2或x>-2}B.{x|-2<x<2}C.{x|x<2}D.{x|x>-2}23.已知集合M={x|y=x-1},，N={y|y=x2-1}那么M I N等于A.∅B.NC.MD.R4.若集合A={1,3,x}，B=1,x2，A Y B={1,3,x}，则满足条件的实数x的个数有{}（）A.1个B.2个C.3 个D.4个二、填空题5.满足条件M Y{}1={1,2,3}的集合M的个数是.6.已知A I{-1且A⊆{-2，0，1}={0，1}，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有个.7.已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|2a<x<a+3}且满足A I B=∅，则实数a的取值范围是.8.已知集合A=1,4,a2-2a，B=a-2,a2-4a+2,a2-{}1,3}，则A Y B=.3a+3,a2-5a}，若A I B={10个高考试题1.集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x<1}，则A⋂(CRB)=（A）{x|x>1}（B）{x|x≥1}（C）{x|1<x≤2}（D）{x|1≤x≤2}{⎧⎪2.若集合A=⎨xlog1x≥⎪2⎩1⎫⎪⎬，则ðRA= 2⎪⎭⎛⎫⎛⎫(-∞,0]Y+∞,+∞+∞)A、B、 C、(-∞,0]Y D、+∞) ⎪⎪2⎪2⎪⎝⎭⎝⎭3.集合P={x∈Z0≤x<3},M={x∈Rx2≤9}则PIM=(A){1,2}(B){0,1,2}(C){x|0≤x<3}(D){x|0≤x≤3}4.若集合A={x-2＜x＜1}，B={x0＜x＜2}则集合A ∩B= A.{x-1＜x＜1}B.{x-2＜x＜1} C.{x-2＜x＜2}D.{x0＜x＜1}第二篇：河北省衡水中学高中数学 1.1.1集合的含义与表示(一)学案新人教A版必修1高一数学必修一学案：1.1.1集合的含义与表示（一）一、学习要求：了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。
集合的基本运算,习题带答案详解
集合的基本运算学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容集合的基本运算课型一对一/一对N教学目标1.交并补的简单运算。
2.交并补的性质3.交并补含参数问题与综合问题重、难点1.交并补的简单运算。
2.交并补的性质3.交并补含参数问题与综合问题课首沟通询问学生集合运算有哪几种，是怎样定义的，了解学生学习情况。
知识导图课首小测1. [单选题] 下面四个结论：①若∈(A∪B)，则∈A；②若∈(A∩B)，则∈(A∪B)；③若∈A，且∈B，则∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B.其中正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．42. [单选题] 已知集合M＝{ |－3< ≤5}，N＝{ | >3}，则M∪N＝( )A．{ | >－3} B．{ |－3< ≤5}C．{ |3< ≤5}D．{ | ≤5}3. [单选题] （2015年Ⅰ文科）已知集合A＝{ ∈N}，B＝{6,8,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4 C．3 D．24. [单选题] 设集合A＝{ |－1≤≤2}，集合B＝{ | ≤}，若A∩B＝Ø，则实数的取值集合为( ) A．{ 2} B．{ －1} C．{ －1} D．{ 2}5. 设集合A＝{ ＋1，－3}，B＝{ －3,2 －1，2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数的值．6. (1)已知全集U＝{ ≤4}，A＝{ ≤1}，B＝{ 3}，求∁U A，(∁U B)∩A；(2)设U＝{ －2，或∈Z}，A＝{ 2－2 －15＝0}，B＝{－3,3,4}，求∁U A，∁U B.导学一：集合的基本运算知识点讲解 1：交集的运算性质例 1. [单选题] （2016年晋中市高三上学期期末）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【学有所获】交集的运算技巧：（1）若集合中的元素有限，则直接用定义求解，但要注意集合中元素的互异性.（2）若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值.例 2. [单选题] 已知，，= ，则实数的值为（）A.-1B.4C.-1或4D.3【学有所获】对含参数的交集问题，利用交集的概念，列出关于参数的方程，解出参数，注意检验是否满足元素的互异性.例 3. （2016年湛江一中高一上第一次大考）设,其中,如果，求实数的取值范围.我爱展示1.已知集合A＝{ 3}，B＝，求A∩B.2. 设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．3. 已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a}． (1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)若A∩B＝{x|3<x<4}，求a的取值范围．知识点讲解 2：并集的运算性质例 1. [单选题] （2016年南阳一中高一上月考一）已知集合，则满足的集合的个数是（）A.1B.2C.3D.4例 2. （2016年花溪清华中学高一上月考一）已知集合，，且，求的值.例 3. [单选题] （2016年湛江一中高一上第一次大考）若集合，，且，则的值为（）A. B. C. 或 D. 或或【学有所获】需考虑到方程无解的时候。
高中数学人教A版必修1学案：1.1.3集合的基本运算课堂导学案(含答案)
1.1.3 集合的基本运算课堂导学三点剖析一、交集、并集、补集的概念与运算【例1】 若全集U={x|x ≤9,x ∈N *},M={1,7,8},P={2,3,5,7},S={1,4,7},则(M ∪P)∩(S)=__________________.解析：U={x|x ≤9,x ∈N *}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},(M ∪P)∩(S)={2,3,5,8}. 答案：{2,3，5,8}温馨提示1.进行集合运算应首先要弄清楚各集合是由什么元素构成的，然后再根据交集、并集、补集的概念进行运算.2.集合间的包含关系的判断及集合的运算一般使用韦恩图.【例2】 已知全集U=R ，A={x|-4<x<21},B={x|x+4≤0},C={x|2x ≥1},则集合C 等于（ ）A.A ∩BB.A ∪BC.(A ∩B)D.(A ∪B)解析：利用数轴解决有关不等式的数集运算是最有效的工具，借助数轴易得A ∩B= ，A ∪B={x|x<21},所以C=(A ∪B). 答案：D温馨提示数集的运算一般使用数轴.二、交集与并集的概念符号之间的区别与联系【例3】 已知A={y|y=x 2-2,x ∈R},B={y|y=x,x ∈R}.求A ∩B ，A ∪B.思路分析：本题注重考查集合概念及运算，其中集合中的元素y 的本质是许多同学认识不足的，它其实是函数的因变量，集合为函数因变量的取值集合.解：A={y|y=x 2-2,x ∈R}={y|y ≥-2},B={y|y=x}=R,则A ∩B={y|y ≥-2},A ∪B=R. 温馨提示1.对于描述法给出的集合，要抓住竖线前的代表元素及它具有的性质再进行运算.2.本题中的两个集合都是数集，且是每个函数的函数值构成的集合.三、集合运算性质的运用【例4】 集合A={x|x 2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},若A ∪B=A ，则a 能取到的所有值的集合为_______________.解析：处理此类问题有两处值得同学们注意，一是明确A ∪B=A ⇔B ⊆A ；二是B={x|ax=2}≠{x|x=a2}，要注意对a 是否为0进行讨论. A={x|x 2-3x+2=0}={1,2},A ∪B=A ⇔B ⊆A.因此集合B 只能为单元素集或∅. 当B={1}时，即1∈B={x|ax-2=0},得a=2;同理，当B={2}时，得a=1;当B=∅时，即ax=2无解，得a=0.综上，a 能取到的值所组成的集合为{0,1，2}.答案：{0,1，2}温馨提示1.A ∪B=A ⇔B ⊆A,A ∩B=A ⇔A ⊆B 两个性质常常作为“等价转化”的依据，要特别注意当A ⊆B 时，往往需要按A=∅和A ≠∅两种情况分类讨论，而这一点却很容易被忽视.如本题中由B ⊆A 应分B=∅和B ≠∅两种情况考虑，尽管本题中B=∅不适合题意，但也不要遗漏这种情况.2.要注重集合语言与数学文字语言之间的转化.各个击破类题演练1设全集U=N ，P={2n|n∈N},Q={x|x=4n,n∈N},则N 可以表示为（ ） A.P∩Q B.(P )∪Q C.P∪(Q) D.(P)∪(Q) 解析：Q 如图所示的阴影部分，∴P∪Q=N.答案：C变式提升1设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a-5|,9},A={5,7},则a的值是（）A.2 B.8 C.-2或8 D.2或8解析：∵由条件得|a-5|=3，∴a=2或8.答案：D类题演练2已知全集U=R，集合A={x|x<1或x>2}，集合B={x|x<-3或x≥1},求A,B,A∩B,A∪B.解析：借助于数轴，由右图可知A={x|x≥1且x≤2}={x|1≤x≤2};B={x|x≥-3且x<1}={x|-3≤x<1};A∩B={x|x<1或x>2}∩{x|x<-3或x≥1}={x|x<-3或x>2};A∪B={x|x<1或x>2}∪{x|x<-3或x≥1}=R.变式提升2集合M={x|-1≤x≤2},N={x|x-a≥0},若M∩N≠ ，则实数a的取值范围是_____________.解析：由图示可知a≤2.答案：a≤2类题演练3已知A={y∈N|y=x2-4x+10},B={y∈N|y=-x2-2x+12},求A∩B.解析：∵A={y|y≥6,y∈N},B={y|y≤13,y∈N},∴A∩B={y∈N|6≤y≤13}.答案：{y|6≤y≤13,y∈N}变式提升3(2006江苏高考，7)若A、B、C为三个集合，A∪B=B∩C,则一定有（）A.A⊆C B.C⊆A C.A≠C D.A=∅解析：画出韦恩图可知A成立.答案：A类题演练4若集合P={1，2，3，m}，Q={m2,3},满足P∩Q=Q，求m的值.解析：∵P∩Q=Q,∴Q⊆P,∴m2=1或m2=2或m2=m,解得m=±1或±2或0.经检验m=1时，不满足集合P中元素的互异性，∴m=-1或±2或0.答案：-1或±2或0变式提升4设集合M={x|x<3},N={x|x>-2},Q={x|x-a≥0},令P=M∩N.(1)求集合P；(2)若P⊆Q，求实数a的取值范围；(3)若P∩Q={x|0≤x≤3}，求实数a的取值范围；(4)若P∩Q=∅，求实数a的取值范围.解析：(1)P=M∩N={x|x<3}∩{x|x>-2}={x|-2<x<3}.〔利用数轴作为工具分别对(2)(3)(4)进行分析，注意对端点处进行讨论〕 (2)当a<-2时，满足题意；当a=-2时，Q={x|x≥-2}，也有P⊆Q.所以a≤-2.(3)由于a是可变的实数，因此，若P∩Q={x|0≤x≤3}，从数轴上观察，a能且只能取0，所以a=0.(4)若要P∩Q=∅，通过数轴观察知，当a>3时，P∩Q=∅；当a=3时，Q={x|x-3≥0}={x|x≥3},P∩Q={x|-2<x<3}∩{x|x≥3}=∅,综上，a≥3.。
1.3 集合的基本运算(答案版)
1. 并集、交集和补集的性质、运算律及常用结论如下表：补充：集合的运算性质(1)并集的性质：A ⊆B ⊆A ⊆B ＝B .(2)交集的性质：A ⊆B ⊆A ∩B ＝A .2.子集：（1）任何一个集合A 都是它自身的子集，即A A ⊆．（2）规定：空集是任何集合的子集，即A ∅⊆．（3）如果A B ⊇，同时B A ⊇，那么集合B 的元素都属于集合A ，同时集合A 的元素都属于集合B ，因此集合A 与集合B 的元素完全相同，由集合相等的定义知A B =（4）如果集合B A ⊆，但存在元素B x A x ∉∈且,，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A ⊆B 。
（5）如果A B ⊇，同时B A ⊇，则 A B =。
（6）空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集.1.3 集合间的基本运算知识讲解例1 已知a⊆R ，b⊆R ，若｛a ，a b，1｝＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 020＋b 2 020＝________．解：由已知得a≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去， 因此a ＝－1，故a 2 020＋b 2 020＝1．例2 已知集合A ＝{x|x ＜－1，或x ＞4}，B ＝{x|2a ≤x≤ a ＋3}，若B⊆A ，求实数a 的取值范围．解：当B ＝⊆时，只需2a ＞a ＋3，即a ＞3；当B≠⊆时，根据题意作出右图：，解得a ＜－4或2＜a≤3．综上可得，实数a 的取值范围是{a|a ＜－4，或a ＞2}．例3 设A ＝{x|x 2＋8x ＝0}，B ＝{x|x 2＋2（a ＋2）x ＋a 2－4＝0}，其中a⊆R ．如果A∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解：⊆A ＝{x}x 2＋8x ＝0}＝{0，－8}，A∩B ＝B ，⊆B⊆A ．当B ＝⊆时，方程x 2＋2（a ＋2）x ＋a 2－4＝0无解，即Δ＝4（a ＋2）2－4（a 2－4）＜0，得a ＜－2．当B ＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式Δ＝4（a ＋2）2－4（a 2－4）＝0，得a ＝－2．将a ＝－2代入方程，解得x ＝0，⊆B ＝{0}满足．当B ＝{0，－8}时，可得a ＝2．综上可得a ＝2或a≤－2．一、选择题1、已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为集合，所以 ，故选C.典型例题 同步练习2、已知集合{1,2,3,4},{3,6,7,9}A B ==，则A B 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】⊆集合{1,2,3,4},{3,6,7,9}A B ==⊆A ∩B ＝{3}，⊆A ∩B 中元素的个数为1． 3、设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5【答案】C 【解析】⊆ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂=⊆1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+=⊆3m =⊆{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C4、已知2{|43}A y y x x x R ==-+∈，，2{()|22}B x y y x x x R ==--+∈，，，则A B 等于（ A） A ．∅ B ．{(1,3)}- C ．R D ．[13]-，5、已知(){}2|43,A x y y x x x R ==-+∈，，(){}2|22,B x y y x x x R ==--+∈，，则A B 等于（A ） A ．∅B ．{(1,3)}-C ．RD ．[13]-，6、满足{1,3}⊆A={1,3,5}的所有集合A 的个数是( )A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】因为{1,3}⊆A={1,3,5},所以1和3可能是集合A 的元素,5一定是集合A 的元素,则集合A 可能是{5},{1,5},{3,5},{1,5,3}共4个.故选D.7、已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5,或x>4},则M⊆N=( )A.{x|x<-5,或x>-3}B.{x|-5<x<4}C.{x|-3<x<4}D.{x|x<-3,或x>5}【答案】A【解析】在数轴上分别表示集合M和N,如图所示,则M⊆N={x|x<-5,或x>-3}.8、已知集合A={1,3,m2},B={1,m},A⊆B=A,则m等于()A.3B.0或3C.1或0D.1或3【答案】B【解析】因为B⊆A=A,所以B⊆A,因为集合A={1,3,m2},B={1,m},所以m=3,或m2=m,所以m=3或m=0.故选B.7、已知全集U=R,集合M={x|-1≤x≤3},则⊆U M=()A．{x|-1<x<3} B．{x|-1≤x≤3}C．{x|x<-1或x>3} D．{x|x≤-1或x≥3}【答案】C【解析】由题意，全集U=R，集合M={x|−1≤x≤3}，所以C U M={x|x<−1或x>3}，8、设集合，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由并集的定义可得：，结合交集的定义可知：.9、已知M,N都是U的子集,则图中的阴影部分表示()A．M⊆N B．⊆U(M⊆N)C．(⊆U M)∩N D．⊆U(M∩N)【答案】B【解析】由题意，图中非阴影部分所表示的集合是A∪B，所以图中阴影部分所表示的集合为A∪B的补集，即图中阴影部分所表示的集合为C U(A∪B)，故选B.二、填空题1、已知集合{}1,2A =， {}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．2、集合A={x|x≤-1或x>6},B={x|-2≤x≤a},若A⊆B=R,则实数a 的取值范围为_________. 【答案】{a|a≥6}【解析】由图示可知a≥6.所以a 的取值范围为{a|a≥6}3、设全集I={1,3,5,7,9},集合A={1,|a -5|,9},⊆I A={5,7},则a 的值为_____. 【答案】2或8【解析】由题意A ={1,|a −5|,9},C I A ={5,7}，可得3∈A,|a −5|=3，所以a =2或a =8.4、已知全集U ＝{1，2，a 2－2 a ＋3}，A ＝{1，a }，⊆U A ＝{3}，则实数a 等于________．【答案】0或2.【解析】因为⊆U A ＝{3}，所以a 2－2a ＋3＝3，解得a ＝0或a ＝2.三、解答题1、已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a -1}且A⊆⊆U B,求实数a 的取值范围.【答案】见解析【解析】若B=∅,则a+1>2a -1,则a<2,此时⊆U B=R,所以A⊆⊆U B;若B≠∅,则a+1≤2a -1,即a≥2,此时⊆U B={x|x<a+1,或x>2a -1},由于A⊆⊆U B,如图,则a+1>5,所以a>4,所以实数a 的取值范围为{a|a<2,或a>4}.2、若A ＝{3,5}，B ＝{x |x 2＋mx ＋n ＝0}，A ⊆B ＝A ，A ∩B ＝{5}，求m ，n 的值．【答案】{m =−10,n =25.【解析】解：⊆A ⊆B ＝A ，A ∩B ＝{5}，A ＝{3,5}，⊆B ＝{5}． ⊆方程x 2＋mx ＋n ＝0只有一个根为5，⊆{25+5m +n =0Δ=m 2−4n =0⊆解得{m =−10,n =25.3、设集合{}{}222|320|2(1)(5)0x x x x x a x a =-+=+++-=A ,B=（1）若{}2AB =，求实数a 的值； （2）若A B A =，求实数a 的取值范围；（3）若(),U U R A C B A ==，求实数a 的取值范围.【答案】（1）-1或-3 （2）{}3a a ≤- （3）{}113,a a a a a R ≠-≠-≠-∈且。
2020年高一数学新教材第一册同步学案(人教版)1.3集合的基本运算(解析版)
1. 3集合的基本运算定义。
麟嚮艇郃恃昨集合' 交集全集补集集合的基本运算并集记作 e .4 U 〃 二{x x e A.或x€ 〃}Vcnn^] ©Vtxir 曲'5定送J 瞬臨卿郃桝吨贻I / 记作㊀ /（门 〃 ={x * e /iJLv e 3}空瞬耘mi 翹斡皿及嘶元亲' 记作G U定恥鸚确翩减錨即辭集合嘶曲组成吨Venn ®记作㊀C a A = {出\x e U,且* uh}躬行实践运用一并集【例1-1] （1）已知集合A = {l,2},B = {0,l},则A\JB=（）A. {1}B. {0,1}C. {1,2}D. {0,1,2}（2）（2019 •湖南高二期末（理））已知集合M ={xlx-2vO},N = {xly = JTTT},则MuN=（）A. {x I x>-l）B・{xl-15xv2}C. {x l-l<x<2}D. R（3）已知集合A={2, 3},若JU5={1, 2, 3, 4},则集合万可能为（）A. {b 2} B・{1, 4} C・{h 3} D・{2, 4}【答案】（1） D （2）D （3）B【解析】（1）依题意可知AUB = {0,l,2},故选D.（2）={x卜-2vO} = {x|x<2}, N = {xy = Jx + l} = {x|x + inO} = {x|xn-l},:.M\JN = R,故选：D.（3）•••集合A=（2,3}, AUB={1, 2, 3, 4}, A集合万中必有元素1, 4,还可能岀现2, 3中的0个，1个或2个元素，.••集合万可能为{1, 4}.故选B.【触类旁通】1.（2019 •广东高一期末）集合A = {x\-2<x<2], 5={A I-1<X<3（那么A|J3=（）A. {xl-2vxv-l} B・{x\-l<x<2}C. {xl-2<x< 1} D・{xl-2<x<3}【答案】D【解析】由题意A\jB = {x\-2<x<3}.故选D.2.（2020 •重庆一中高二期末（文））已知集合A = {x^x\<4}.B = {x\x-3>0},则A\JB=（）A. [x\x>-4}B. {x|-4<x<3} c. {xp<x<4} D. [x\x>3WU<-4} 【答案】A【解析】・.・4 = {x 卜= B = {x|x-3>0} ={x|x>3} , :.A<J B = {x\x>-A}> 故选：Ao3.（2019 -上海高一期中）满足条件{1,3,5} UM = {1,3,5,7,9}的所有集合M的个数是（）A. 4 个B. 8 个C. 16 个D. 32 个【答案】B【解析】V{1, 3, 5}UM={1, 3, 5, 7, 9} A7GM,且9GM•••的集合M 可能为{7, 9}或{1, 7, 9}或{3, 7, 9}或{5, 7, 9}或{1, 3, 7, 9}或{1, 5, 7, 9}或{3, 5, 7, 9}或{1, 3, 5, 7, 9}故选：B.【例1-2] （1）（2019 •浙江高一期中）设集合A = {0},B = {2f m],且4 U 8 = {-1,0,2},则实数m等于（）A. -1 B・ 1 C- 0 D. 2（2）（2018 •甘肃省会宁县第一中学高一期中）设集合A={x 1V X W2}, B= { x x<a},若AuB二B,则a 的取值范围是（）.A. {a a^l} B・{a aWl} C・{a a^2} D・{a a>2}（3）. （2018 •上海市建平中学高一期中）已知集合A = {x|lx-l|<l}, B = {xlax = 2},若AuB = A，则实数a的取值集合为______【答案】（1）A （2）D （3）[l,+^）u{0}【解析】（1）v A = （0},8= {2,m},且4 U B ={—102}.所以一1 G ・•・m = —1,故选A.（2）由AUB=B.得ACB,已知A={x 1V X W2}, B={ x x<a},故a>2,故选D ・（3）•••A5 = 4・n={x| |x -1| < 1} /. A = {x 10 < x < 2）t①B = 0，a = 0*2 q is 0<-<2, ->-• /.a>li* a的取值集合为［l,+8)u{0}・故答案为：［l,+8)u{0}・【思路总结】•数字型T直接判断|■无参数T画数轴并集(A=0有参数AUB二B->4匸⑦【触类旁通】1.（2019 -江苏髙二期末（理））集合A = {0,2}, B = {ta2}9若4^〃 = {0丄2,4},则实数。
1.3 集合的基本运算(原卷版附答案).pdf
10．（2019•南通模拟）已知全集U {1,2,3,5, 8} , ðU A {2 ,5, 8} ,那么 A
．
【分析】根据补集的定义及运算即可求出集合 A ．
【解答】解：U {1 ,2,3,5, 8} , ðU A {2 ,5, 8} , A {1 , 3} ． 故参考答案为：{1 , 3} ．
则 A (ðU B) {2 , 3}{2 ,4, 5} {2} ,
故参考答案为： {2}
12．（2019 秋•丽水期末）设全集U R ,集合 A {x | x…1} , B {x | (x 3)(x 2) 0} ,则 A B
,
7
ðU ( A B) ．
【分析】可以求出集合 B ,然后进行交集、并集和补集的运算即可． 【解答】解： A {x | x…1}, B {x | 2 x 3} ,U R ,
8．（2020•沭阳县校级模拟）已知全集U {1,0,1} ,集合 A {0 , | x |} ,则 ðU A ． 【分析】根据题意可得出 A {0 ,1} ,然后进行补集的运算即可． 【解答】解：根据题意知, | x | 1 ,
6
A {0 ,1} ,U {1,0,1} ,
ðU A {1}． 故参考答案为：{1} ．
ðI ( A B) {1,2,3,4,7,8, 9} ,
由图象可知阴影部分对应的集合为 (A B)ðI (A B) {3 ,4,7, 8} ,
故选： A ．
6．（2020•泰州模拟）已知集合 A {1 , 2} , B {2 ,4, 8} ,则 A B
．
【分析】找出 A 与 B 的并集即可．
【解答】解：集合 A {1 , 2} , B {2 ,4, 8} ,则 A B {1 ,2,4, 8} ,