山西大学附中2020—2021学年第一学期高三年级第四次模块文科数学答案

山西大学附中2020—2021学年第一学期高三年级第四次模块诊断数学(文)试题评分细则 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）

二. 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20

分）

13．20.5 14. > 15. ① ②③ 三．解答题 17．（满分12分）

解：（1）可得：cos sin sin )cos 0B C B C --=………1分 即：sin cos 0A C =．………2分 由正弦定理可知：

sin sin a c A

C =，∴sin 3cos 0a C

C c

-=，………4分

sin cos 0a C C ∴=，1c =，可得tan C =，………5分

C 是三角形内角，3

C π

∴=

．………6分

（2）3

C π

=

，3a b =，∴由正弦定理可得

32sin sin sin()

3

b a b

B A B π==

-，………7分

可得2sin(

)3sin 3

B B π

-=1sin 3sin 2B B B +=，可得tan B ，………8分 222222

111cos2114

cos B sin B tan B B cos B sin B tan B --∴===++，2222sin cos 2tan sin 21B B B B sin B cos B tan B ==++，………10分 11113

cos(2)cos(2)cos2cos sin 2

sin 33321414

B C B B B πππ∴-=-=+=⨯=

．………12分 18．（满分12分）

解：（1）因为100人中确诊的有10名，其中50岁以下的人占

2

5

， 所以50岁以下的确诊人数为4，50岁及以上的确诊人数为6． 因为50岁及以上的共有40人，

即50岁及以上的返乡人员感染新型冠状病毒引起的肺炎的概率为640

； 列联表补充如下，

50岁以下 4 56 60 合计 10

90

100

………2分

则22

100(656434)50

1.852 3.8411090406027

K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，………5分

所以没有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关．………6分

（2）现从已确诊的病人中分层抽样抽出5人观察恢复情况，则抽取的5人中，有3人50岁及以上，分别记作,,a b c ；2人50岁以下，记作,d e .………7分 从中任取3人,可能的不同结果有:

,,,;;,;;abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde ；,共10种不同的情形，………9分

恰有两人50岁及以上的情况有,abd abe ，,acd ace ，,bcd bce 共6种不同的情况，………11分 由于每种情况都是等可能的，∴恰有2人为50岁及以上的概率为63

105

=.………12分 19．（满分12分）

解：（Ⅰ）由,DE EC PD PC ==可知E 为等腰PDC △中DC 边的中点，故PE AC ⊥，………1分 又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC = ,PE ⊂平面PAC ，PE AC ⊥，………2分

PE ∴⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC PE AB ∴⊥，

,………4分 又

AB BC ⊥，EF // BC ，

所以,AB EF PE EF E AB ⊥⋂=∴⊥，平面PEF .………6分 （Ⅱ）设BC x =，在直角三角形ABC 中，236AB x =-，

1

2ABC

S

AB BC =

⋅⋅，即

21

362ABC

S x x =

- ………7分

EF // BC 知AEF 相似于ABC ，所以

4

9

AEF ABC

S

S

=

， 由1

2

AD AE =

，得21

369AFD

S x x =

-，………8分 从而四边形DFBC 的面积为27

3618

x x -，………9分 由（Ⅰ）可知PE 是四棱锥P DFBC -的高，23PE =， 所以217

36237318

P DFBC V x x -=

⨯-⨯=，………10分

所以42362430x x -+=，所以3x =

或x = 所以3BC =

或BC =………12分 20．（满分12分）

解：（1

）依题意227

a b a b ⎧+=⎪

⎨=

⎪⎩

，………1分 解得2

2

4,3a b ==，………3分

所以椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=.………4分

（2）当直线l 的斜率不存在时，直线AM ，BM 的倾斜角互补，所以120

k k +=.………5分

当直线l 的斜率存在时，设其方程为(1)y k x =-， 代入椭圆C 的方程，整理得(

)2

2

223484120k

x

k x k +-+-=，………7分

设()()1122,,,A x y B x y ，则22121222

8412

,3434k k x x x x k k

-+==++，………8分 ()()()()

122112121221444444y x y x y y

k k x x x x -+-+=

+=----， ()()()()()()

122121141444k x x x x x x --+--⎡⎤⎣⎦

=

--，………9分

因为()()()()()122112121414258x x x x x x x x --+--=-++，

()222

222

3224412825880343434k k k k k k -+-=⨯-⨯+=+=+++，………11分

所以

120

k k +=.………12分

21．（满分12分）

解：（1）232()3(3)x x x f x x e x e x e x '=+=+，………2分

令()0f x '，得3x -，则()f x 的单调递增区间为[3-，)+∞；………3分 令()0f x '<，得3x <-，则()f x 的单调递减区间为(,3)-∞-；………4分 （2）当0x =时，不等式2()f x mx ，即00，显然成立，………6分

当0x ≠时，不等式2()f x mx 对x R ∈恒成立，等价于x m xe 对x R ∈恒成立，………7分