山西大学附中2020—2021学年第一学期高三年级第四次模块文科数学答案

山西大学附中2020—2021学年第一学期高三年级第四次模块诊断数学(文)试题评分细则 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
二. 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20
分）
13．20.5 14. > 15. ① ②③ 三．解答题 17．（满分12分）
解：（1）可得：cos sin sin )cos 0B C B C --=………1分 即：sin cos 0A C =．………2分 由正弦定理可知：
sin sin a c A
C =，∴sin 3cos 0a C
C c
-=，………4分
sin cos 0a C C ∴=，1c =，可得tan C =，………5分
C 是三角形内角，3
C π
∴=
．………6分
（2）3
C π
=
，3a b =，∴由正弦定理可得
32sin sin sin()
3
b a b
B A B π==
-，………7分
可得2sin(
)3sin 3
B B π
-=1sin 3sin 2B B B +=，可得tan B ，………8分 222222
111cos2114
cos B sin B tan B B cos B sin B tan B --∴===++，2222sin cos 2tan sin 21B B B B sin B cos B tan B ==++，………10分 11113
cos(2)cos(2)cos2cos sin 2
sin 33321414
B C B B B πππ∴-=-=+=⨯=
．………12分 18．（满分12分）
解：（1）因为100人中确诊的有10名，其中50岁以下的人占
2
5
， 所以50岁以下的确诊人数为4，50岁及以上的确诊人数为6． 因为50岁及以上的共有40人，
即50岁及以上的返乡人员感染新型冠状病毒引起的肺炎的概率为640
； 列联表补充如下，
50岁以下 4 56 60 合计 10
90
100
………2分
则22
100(656434)50
1.852 3.8411090406027
K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，………5分
所以没有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关．………6分
（2）现从已确诊的病人中分层抽样抽出5人观察恢复情况，则抽取的5人中，有3人50岁及以上，分别记作,,a b c ；2人50岁以下，记作,d e .………7分 从中任取3人,可能的不同结果有:
,,,;;,;;abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde ；,共10种不同的情形，………9分
恰有两人50岁及以上的情况有,abd abe ，,acd ace ，,bcd bce 共6种不同的情况，………11分 由于每种情况都是等可能的，∴恰有2人为50岁及以上的概率为63
105
=.………12分 19．（满分12分）
解：（Ⅰ）由,DE EC PD PC ==可知E 为等腰PDC △中DC 边的中点，故PE AC ⊥，………1分 又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC = ,PE ⊂平面PAC ，PE AC ⊥，………2分
PE ∴⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC PE AB ∴⊥，
,………4分 又
AB BC ⊥，EF // BC ，
所以,AB EF PE EF E AB ⊥⋂=∴⊥，平面PEF .………6分 （Ⅱ）设BC x =，在直角三角形ABC 中，236AB x =-，
1
2ABC
S
AB BC =
⋅⋅，即
21
362ABC
S x x =
- ………7分
EF // BC 知AEF 相似于ABC ，所以
4
9
AEF ABC
S
S
=
， 由1
2
AD AE =
，得21
369AFD
S x x =
-，………8分 从而四边形DFBC 的面积为27
3618
x x -，………9分 由（Ⅰ）可知PE 是四棱锥P DFBC -的高，23PE =， 所以217
36237318
P DFBC V x x -=
⨯-⨯=，………10分
所以42362430x x -+=，所以3x =
或x = 所以3BC =
或BC =………12分 20．（满分12分）
解：（1
）依题意227
a b a b ⎧+=⎪
⎨=
⎪⎩
，………1分 解得2
2
4,3a b ==，………3分
所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=.………4分
（2）当直线l 的斜率不存在时，直线AM ，BM 的倾斜角互补，所以120
k k +=.………5分
当直线l 的斜率存在时，设其方程为(1)y k x =-， 代入椭圆C 的方程，整理得(
)2
2
223484120k
x
k x k +-+-=，………7分
设()()1122,,,A x y B x y ，则22121222
8412
,3434k k x x x x k k
-+==++，………8分 ()()()()
122112121221444444y x y x y y
k k x x x x -+-+=
+=----， ()()()()()()
122121141444k x x x x x x --+--⎡⎤⎣⎦
=
--，………9分
因为()()()()()122112121414258x x x x x x x x --+--=-++，
()222
222
3224412825880343434k k k k k k -+-=⨯-⨯+=+=+++，………11分
所以
120
k k +=.………12分
21．（满分12分）
解：（1）232()3(3)x x x f x x e x e x e x '=+=+，………2分
令()0f x '，得3x -，则()f x 的单调递增区间为[3-，)+∞；………3分 令()0f x '<，得3x <-，则()f x 的单调递减区间为(,3)-∞-；………4分 （2）当0x =时，不等式2()f x mx ，即00，显然成立，………6分
当0x ≠时，不等式2()f x mx 对x R ∈恒成立，等价于x m xe 对x R ∈恒成立，………7分
设()(0)x g x xe x =≠，()(1)x g x x e '=+，………8分 令()0g x '<，得1x <-，………9分
令()0g x '>，得1x >-，且0x ≠，………10分 所以1
()(1)min g x g e
=-=-，………11分
所以1m e -，即m 的取值范围为(-∞，1
]e
-．………12分
22．（满分10分）
解：（1）曲线1C 的参数方程为2
2211(21t x t t t
y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩为参数），由于22221()1t x t +=-①，2
22
2()1t y t =-，②， ① -②得：221x y -=．根据cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩整理得21
cos2ρθ
=
．………3分 曲线2C 的参数方程为22cos (2sin x y α
αα
=+⎧⎨=⎩为参数），转换为普通方程为224x y x +=．转换为极坐标方程为
4cos ρθ=．………5分
（2）射线6
π
θ=
与曲线1C 和曲线2C 分别交于A ，B
，所以A ρ=
………7分
4cos
6
B π
ρ==，………9分
所以||||A B AB ρρ=-=PAB ∆
的面积为………10分 23．（满分10分）
解：（1）当2a =时，()(1)|2|2|2|f x x x x =---- 2256,2(3)|2|56,2
x x x x x x x x ⎧-+=--=⎨-+-<⎩．………2分
()0f x <，∴2
2560x x x ⎧⎨-+<⎩或22
560x x x <⎧⎨-+-<⎩
， 23x ∴<<或2x <，………4分
∴不等式的解集为{|232}x x <<或x<．………5分
（2）f （2）f +（3）|2|2|3|2a a =-+-- 310,3
|2|2|3|22,2336,2a a a a a a a a ->⎧⎪
=-+--=-+⎨⎪-+<⎩
，………7分
∴关于a 的函数f （2）f +（3）在(,3)-∞上单的递减，在(3,)+∞上单的递增，………9分 ∴当3a =时，f （2）f +（3）的最小值为1-．………10分。