相似三角形知识点及典型例题
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【一】知识梳理 【1】比例①定义：四个量a ，b ，c,d 中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个量成比例 ②形式：a:b=c ：d,dcb a = ac=bd ③性质：基本性质：4，比例中项：bcc a = ab c =2【2】黄金分割定义：如图点C 是AB 上一点，若BC AB AC •=2，则点C 是AB 的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个ACAC BC AB AB BC AB AB AC 618.0215382.0253618.0215≈-=≈-=≈-=注意：如图△ABC,∠A=36°，AB=AC ，这是一个黄金三角形，【3】平行线推比例ABAB BC 618.0215≈-=dcb a =注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负1、可以把比例式与等积式互化.2、可以验证四个量是否成比例 上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右全比上=全比上,全比下=全比下 下比上=下比上【4】相似三角形1、相似三角形的判定①AA 相似：∵∠A=∠D, ∠B=∠E ∴△ABC ∽△DEF②‘S A S ’ E B EFBCDE AB ∠=∠=,∴△ABC ∽△DEF③‘S S S ’EFBCDF AC DE AB =∴△ABC ∽△DEF ④平行相似: ∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC2、相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比 ③相似三角形的面积比等于相似比的平方3、相似三角形的常见图形‘A 型图' ‘ X 型图' ‘K 型图’‘母子图’ ‘一般母子图’ AC 2=AD •AB母子图中的射影定理AC 2=AD •AB BC 2=BD •AB CD 2=AD •BD【二】题型1、求线段的比【例题1】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1， l 2， l 3于点A,B ，C ；直线DF 分别交l 1, l 2， l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相较于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5则EFDE的值为 【例题2】如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点,DE ∥BC,EF ∥AB ，且AD ∶DB = 3∶5，那么CF ∶CB 等于（1） （2）【例题3】如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，且AB=3AD ，点P 是△ABC 的外接圆上的一点，且∠ADP=∠ACB 则PB:PD=【例题4】如图，已知AD 为△ABC 的角平分线,DE ∥AB 交AC 于E, 如果AE EC＝23，那么AB AC＝（ ）A ．13B ．23C ．25D ．35(3） （4）【例题5】 已知32==d c ba ,则ba b a 4332-+=32=-a b a ，则ba=【例题6】如图，将矩形纸片ABCD （AD 〉DC ）的一角沿着过点D 的直线折叠，使点A 与BC 边上的点E 重合，折痕交AB 于点F.若BE:EC=m:n ，则AF:FB= 。
中考数学《相似三角形》知识点及练习题
相似三角形一. 知识梳理1.平行线分线段成比例定理定理：两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
2.相似三角形定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
3.相似三角形的判定平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所得的三角形与原三角形相似。
两角法：两角分别相等的两个三角形相似。
边角法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
三边法：三边对应成比例的两个三角形相似。
4.相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应边上高的比，对应边上中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5.位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
这时的相似比又叫位似比6. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC 二.课后作业1.下列图形中不一定属于相似形的是( )A.两个圆B.两个等边三角形C.两个正方形D.两个矩形2.如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是( )A. 1∶16B. 1∶4C. 1∶6D. 1∶23.已知△ABC ∽△DEF ，且AB:DE=1:2，则△ABC 的周长与△DEF 的周长之比( )A.1:2B.1:4C.2:1D.4:14.如图，给出下列条件：其中，不能单独判定△ABC∽△ACD 的条件为( )A.∠B＝∠ACDB.∠ADC＝∠ACBC.AC CD ＝AB BCD.AC AD ＝AB AC5.如图，DE ∥BC ，且AD=2，BD=5，则△ADE 与△ABC 的相似比为( )A.2:5B.5:2C.2:7D.7:26.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=2，AE=3，BD=4，则AC=( ) A.7 B.8 C.9 D.10 E A D CB A BC DE7.已知△ABC ∽△DEF ，且它们的周长之比为1:2，那么它们的相似比为 。
(完整版)相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)
相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ΛΛ，那么b an f d b m e c a =++++++++ΛΛ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
初中相似三角形基本知识点和经典例题
初中相似三角形基本知识点和经典例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初三相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段dc b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b db d a c=⇔=．（4）合、分比性质：a c a b c db d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． ③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：baf d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形．．．．三边．．对应成比例. ②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,已知AD ∥BE ∥CF,B可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
相似三角形知识点及典型例题
相似三角形知识点及典型例题知识点归纳:1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2 ）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3 ）判定定理1 :如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
（4 ）判定定理2 :如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（5 ）判定定理3 :如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
（6 ）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC中，/ BAC=90 °, AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：(1)( AD ) 2=BD DC , (2)( AB ) 2=BD •BC ,典型例题:例1 如图，已知等腰厶ABC 中，AB = AC , AD 丄BC 于D , CG IIAB , BG 分别交 AD , AC 于E 、F ,求证：BE 2= EF EG 证明：如图，连结 EC,V AB = AC , AD 丄BC ,•••/ABC = ZACB , AD 垂直平分 BC•••BE = EC ,/1 =/2 , A /ABC- /1 =/ACB- Z2 ,即/3 =/4，又 CG //AB ,「./G = /3 ,二/4 = /GCE EF又v/CEG = /CEF , •••©EF S /EC , • EG = CE•••EC 2 = EG - EF ,故 EB 2=EF EG【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明•而其中利用线段的垂直平分线的性质得到 BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段 BE , EF , EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。
相似三角形中考考点归纳与典型例题
相似三角形中考考点归纳与典型例题相似三角形是初中数学中常出现的重要概念，它是几何学中研究两个三角形之间形状关系的一个重要内容。
掌握相似三角形的性质和应用是解决几何问题的基础。
相似三角形的重要性质：1. 定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则它们是相似三角形。
记作ΔABC ~ ΔDEF。
其中A、B、C是ΔABC的顶点，D、E、F是ΔDEF的顶点。
2. 判定定理：(1) AA相似定理：如果两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似的。
(2) AAA相似定理：如果两个三角形的三个对应角相等，则它们是相似的。
3. 边比例关系：相似三角形的对应边成比例。
即对于ΔABC ~ΔDEF，有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
4. 高比例关系：相似三角形的高线成比例。
即对于ΔABC ~ΔDEF，有h1/h2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
5. 相似三角形的性质：(1) 对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
(2) 对应边成比例，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。
(3) 相似三角形的顶角相等，边比例相等，它们的面积比例也相等。
(4) 相似三角形的高线间成比例。
相似三角形的典型例题：例题1：如图，在直角三角形ABC中，∠B = 90°，BM是AC的中线，求比值AB/BC。
解：由与直角三角形的垂直关系可知∠A = ∠CBM，∠C = ∠ABM。
所以∠ABC ~ ∠CBM。
根据相似三角形的性质可得AB/BC = CB/BM = 2/1，即AB/BC = 2。
例题2：如图，上底AE = 4cm，下底BC = 8cm，连结CD，且CD = AE，点F是AE的中点，连接BF，求比值∠AFB/∠ACD。
解：由AE = CD可得∠A = ∠C。
又由BF = FE可得∠B = ∠AFE。
所以∠AFB ~ ∠ACD。
根据相似三角形的性质可得∠AFB/∠ACD = AB/AD= BC/CD = 2。
第27章相似三角形知识点总结及典型题目精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点总结1. 比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2. 比例性质：3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方一．选择题：1、下列各组数中，成比例的是（ ）A ．－7，－5，14，5B ．－6，－8，3，4C ．3，5，9，12D ．2，3，6，122、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( )A. B. C. D. 3、如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、41 4、下列说法中，错误的是（ ）（A ）两个全等三角形一定是相似形 （B ）两个等腰三角形一定相似 （C ）两个等边三角形一定相似 （D ）两个等腰直角三角形一定相似5、如图，RtΔABC 中，∠C＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC∽ΔBDC，则CD ＝ ． A ．2 B ．32 C ．43 D ．94二、填空题6、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ．7、如图，要使ΔABC∽ΔACD，需补充的条件是 ．（只要写出一种）8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，则河宽DE 为ABCD（第7题）238332589、一公园占地面积约为8000002m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 2m ．10、如图，点P 是R tΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 三、解答题11、如图18—95，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ．求梯子的长．12、如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO ＝78cm ，BO ＝42cm ，CD ＝159cm ，求CO 和DO ．13、如图，在正方形网格上有111C B A ∆∽222A C B ∆，这两个三角形相似吗?如果相似，求出222111A C B A C B ∆∆和的面积比．CBAP（第10题）14、已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 边上，且四边形CDEF 是正方形，AC ＝3，BC ＝2，求△ADE、△EFB、△ACB 的周长之比和面积之比．15、如图所示,梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P 的位置,使得以P,A,D 为顶点的三角形与以P,B,C 为顶点的三角形相似.16、如图,□ABCD 中,:2:3AE EB =,DE 交AC 于F . (1)求AEF ∆与CDF ∆周长之比；(2)如果CDF ∆的面积为220cm ,求AEF ∆的面积.PAB DCABECDF。
初三相似三角形知识点以及经典例题
初三相似三角形知识点以及经典例题相似三角形是指形状相同但大小不同的三角形。
它是相似多边形中最简单的一种。
如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。
相似三角形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
比例线段是指四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，那么这四条线段就是成比例线段，简称比例线段。
需要注意的是，比例线段是有顺序的，而且有比例式的定义。
在比例式中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项，a、c叫比例前项，b、d叫比例后项。
如果b=c，即a：b=c：d，那么b叫做a、d的比例中项，此时有b=ad。
比例有一些基本性质和定理。
比如，a:b=c:d等价于ad=bc；a:b=b:c等价于b=ac/b；同时，比例的分母不能为0.还有更比性质、反比性质、合、分比性质等。
需要注意的是，由一个比例式只能化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad=bc，除了可化为a:b=c:d等。
比例线段也有一些相关定理，如三角形中平行线分线段成比例定理和平行线分线段成比例定理。
其中，三角形中平行线分线段成比例定理指的是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例；而平行线分线段成比例定理指的是三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例。
例题1：已知线段a=6 cm，b=2 cm，则a、b、a+b的第四比例项是18 cm，a+b与a-b的比例中项是3 cm。
例题2：若(a+b)/(b+c)=(a-c)/(c-a)，则m=1.相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
用符号“∽”表示，读作“相似于”。
对应角和对应边可以通过对应顶点的字母来表示，这样更容易找到相似三角形的对应角和对应边。
相似三角形的对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
相似三角形对应角相等，对应边成比例。
相似三角形有三个等价关系：反身性、对称性和传递性。
反身性是指任何三角形都与自己相似。
相似三角形知识点整理及习题
相似三角形知识点整理及习题相似三角形知识点整理本章的两套定理：第一套（比例的有关性质）：ac/bd = ad/bc (比例基本定理)bd/ac = dc/ab 或者 bacd = a±bc±d (合比性质)bd/ac = ma+c+…+ma/(b+d+…+n) (等比性质)涉及概念：第四比例项、比例中项、比的前项、后项、内项、外项、黄金分割等。
有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：1) 与全等的判定方法的联系列表如下：类型全等三角形的判定相似三角形的判定SAS 两边对应成比例夹角相等SSS 三边对应成比例AAS（ASA）两角对应相等HL 一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出，只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”，就可得到相似三角形的判定定理。
6.直角三角形相似：1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：1)相似三角形的对应角相等。
2)相似三角形的对应边成比例。
3)相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
4)相似三角形的周长比等于相似比。
5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性：如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2.注意：相似三角形的基本定理是相似三角形的一个判定定理，也是后面研究的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“8”型。
相似三角形知识点与经典题型
则 AD2=BD·DC，AB2=BD·BC ，AC2=CD·BC 。
知识点 8 相似三⻆角形常⻅见的图形
1、下面面我们来看一一看相似三⻆角形的几几种基本图形： （1） 如图：称为“平行行行线型”的相似三⻆角形（有“A 型”与“X 型”图）
，那么
．
注：
①此性质的证明运用用了了“设 法”（即引入入新的参数 k）这样可以减少未知数的个数，这种方方法是有关比比例例计 算变形中一一种常用用方方法．②应用用等比比性质时，要考虑到分⺟母是否为零．
③可利利用用分式性质将连等式的每一一个比比的前项与后项同时乘以一一个数，再利利用用等比比性质也成立立．如：
相似三⻆角形知识点与经典题型
知识点1 有关相似形的概念
(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三⻆角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应⻆角相等，对应边成比比例例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边⻓长度的比比叫做相似比比(相似系数)．
知识点2 比比例例线段的相关概念
知识点 11 相似三⻆角形中有关证（解）题规律律与辅助线作法
1、证明四条线段成比比例例的常用用方方法： (1)线段成比比例例的定义 (2)三⻆角形相似的预备定理理 (3)利利用用相似三⻆角形的性质 (4)利利用用中间比比等量量代换 (5)利利用用面面积关系
2、证明题常用用方方法归纳： （1）总体思路路:“等积”变“比比例例”，“比比例例”找“相似” (2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三⻆角形，即横向看或纵向寻找的时候一一共各有三个不不 同的字⺟母，并且这几几个字⺟母不不在同一一条直线上，能够组成三⻆角形，并且有可能是相似的， 则可证明这两个三⻆角形相似，然后由相似三⻆角形对应边成比比例例即可证的所需的结论. (3)找中间比比：若没有三⻆角形(即横向看或纵向寻找的时候一一共有四个字⺟母或者三个字⺟母，但这 几几个字⺟母在同一一条直线上)，则需要进行行行“转移”(或“替换”)，常用用的“替换”方方法有这样的三种： 等线段代换、等比比代换、等积代换. 即：找相似找不不到，找中间比比。方方法：将等式左右两边的比比表示出来。
相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)
相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)相似三角形基本知识点+经典例题一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
它们的对应角度相等，对应边长成比例。
以下是相似三角形的基本知识点和性质：1. 相似三角形的定义：如果两个三角形对应角相等，且对应边成比例，则它们是相似三角形。
2. 相似三角形的性质：a. 对应角相等：两个相似三角形的对应角是相等的。
b. 对应边成比例：两个相似三角形的对应边的比值相等。
3. 相似三角形的判定条件：a. AA判定：如果两个三角形的两对对应角相等，则它们是相似三角形。
b. AAA判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。
二、相似三角形的比例关系相似三角形的对应边长之间存在一定的比例关系。
如果两个三角形是相似的，则对应边的比值相等。
以∆ABC∼∆DEF为例，A与D为对应顶角，AB与DE、BC与EF、AC与DF分别为对应边长。
则有以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用，下面通过一些经典例题来进一步了解相似三角形的应用。
例题一：已知∆ABC与∆DBC是相似三角形，AB = 3cm, BC = 4cm, AC = 5cm, DB = 2cm，求DC的长度。
解析：根据相似三角形的性质，可以得到以下比例关系：AB/DB = AC/DC3/2 = 5/DCDC = 10/5 = 2cm因此，DC的长度为2cm。
例题二：在平行四边形ABCD中，∠B的度数是∠D的度数的2倍。
若AB= 10cm，BC = 15cm，求AD的长度。
解析：由于ABCD是平行四边形，所以∠B = ∠D。
根据题目条件可得：∠B = 2∠D∠B + ∠D = 180°（平行四边形的内角和为180°）将∠B代入上式得：2∠D + ∠D = 180°3∠D = 180°∠D = 60°由相似三角形的性质可得AB/AD = BC/CD，代入已知值可得：10/AD = 15/CD将CD表示为AD的式子，并代入已知条件可得：10/AD = 15/(2AD)10AD = 30AD = 3cm因此，AD的长度为3cm。
相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)
相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。
2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
３.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.４．相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等.②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′Ｃ′的对应边的比,即相似比为k，则△Ａ′B′Ｃ′∽△ＡBＣ的相似比，当且仅当它们全等时,才有k＝ｋ′＝1.③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似;③两角对应相等的两个三角形相似;④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示：（１)判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行,可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角),可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;但是，在选择利用判定定理２时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等,也可找腰和底对应成比例。
（2）在综合题中,注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用,培养综合运用知识的能力。
(3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。
相似三角形知识点归纳(全)
《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则∽＝＝＞AD 2=BD ·DC ，∽＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽＝＝＞AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形周长的比等于相似比．E BD DB C(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
相似三角形基本知识点经典例题完美打印版
相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念1形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形.2如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比相似系数．知识点2 比例线段的相关概念1如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段的比是nmb a =,或写成n m b a ::=．注：在求线段比时,线段单位要统一;2在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为：adc b =．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项,b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项,b 、d 叫比例后项,d 叫第四比例项,如果b=c,即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项, 此时有2b ad =;3黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即2AC AB BC =⋅,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AB AC 215-=≈AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形;黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质注意性质立的条件：分母不能为01 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如bc ad =,除 了可化为dc b a ::=,还可化为d b c a ::=,b a d c ::=,c a d b ::=,c d a b ::=,b d a c ::=,a b c d ::=,a c b d ::=．2 更比性质交换比例的内项或外项：()()()a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 3反比性质把比的前项、后项交换： a c b db d a c=⇔=．4合、分比性质：a c abc db d b d±±=⇔=．注：实际上,比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项,后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．5等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ,那么b an f d b m e c a =++++++++ ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”即引入新的参数k 这样可以减少未知数的个数,这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时,要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等;知识点5 相似三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示,读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比或相似系数．相似三角形对应角相等,对应边成比例． 注：①对应性：即两个三角形相似时,一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样,但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例．B知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理1相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．②对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆,则'''C B A ∆∽ABC ∆．③传递性：若ABC ∆∽C B A '∆'',且C B A '∆''∽C B A ''''''∆,则ABC ∆∽C B A ''''''∆2 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // , ∴ ADE ∆∽ABC ∆．知识点7 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交,所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等,两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹 角相等,那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例,两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： 1以上各种判定均适用．2如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似．3直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的;每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项;如图,Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高, 则AD 2=BD ·DC,AB 2=BD ·BC ,AC 2=CD ·BC ;知识点8 相似三角形常见的图形(1)E AB C D(3)D B C A E (2)C D E AB DBC1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形有“A型”与“X型”图2 如图：其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形;有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”（3）如图：称为“垂直型”有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型也称“射影定理型””“三垂直型”4如图：∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形;2、几种基本图形的具体应用：1若DE∥BCA型和X型则△ADE∽△ABC2射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高双直角图形则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB,CD2=AD·BD,BC2=BD·AB；3满足1、AC2=AD·AB,2、∠ACD=∠B,3、∠ACB=∠ADC,都可判定△ADC∽△ACB．4当AD AEAC或AD·AB=AC·AE时,△ADE∽△ACB．BEACD12ABCDE12AABB C CDDEE12412BBC(D)B(3)B(2)D知识点9：全等与相似的比较：知识点10 相似三角形的性质1相似三角形对应角相等,对应边成比例．2相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 3相似三角形周长的比等于相似比．4相似三角形面积的比等于相似比的平方．注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来计算周长、边长等．知识点11 相似三角形中有关证解题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法： 1线段成比例的定义2三角形相似的预备定理 3利用相似三角形的性质 4利用中间比等量代换 5利用面积关系2、证明题常用方法归纳：1总体思路:“等积”变“比例”,“比例”找“相似”2找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形,即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母,并且这几个字母不在同一条直线上,能够组成三角形,并且有可能是相似的, 则可证明这两个三角形相似,然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.3找中间比：若没有三角形即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母,但这几个字母在同一条直线上,则需要进行“转移”或“替换”,常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到,找中间比;方法：将等式左右两边的比表示出来;①)(,为中间比nm n m d c n m b a ==②'',,n n n md c n m b a ===③),(,''''''nm n m n n m m n m d c n m b a =====或 4 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话,可以考虑添加辅助线通常是添加平行线构成比例.以上步骤可以不断的重复使用,直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径;平面直角坐标系中通常是作垂线即得平行线构造相似三角形或比例线段;5比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题,常用处理办法是设“公比”为k; 6．对于复杂的几何图形,通常采用将部分需要的图形或基本图形“分离”出来的办法处理;知识点12 相似多边形的性质1相似多边形周长比,对应对角线的比都等于相似比．2相似多边形中对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比．3相似多边形面积比等于相似比的平方．注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决,因此,熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．知识点13 位似图形有关的概念与性质及作法1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应顶点的连线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形.2. 这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.注：1 位似图形是相似图形的特例,位似图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点.2 位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.3 位似图形的对应边互相平行或共线.3.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.注：位似图形具有相似图形的所有性质.4. 画位似图形的一般步骤：1 确定位似中心位似中心可以是平面中任意一点2 分别连接原图形中的关键点和位似中心,并延长或截取.3 根据已知的位似比,确定所画位似图形中关键点的位置.4 顺次连结上述得到的关键点,即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤注：①位似中心可以是平面内任意一点,该点可在图形内,或在图形外,或在图形上图形边上或顶点上;②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外,称为“外位似”即同向位似图形③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上,称为“内位似”即反向位似图形5 在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点O为位似中心,相似比为kk>0,原图形上点的坐标为x,y,那么同向位似图形对应点的坐标为kx,ky, 反向位似图形对应点的坐标为-kx,-ky,经典例题透析类型一、相似三角形的概念1．判断对错：1两个直角三角形一定相似吗为什么2两个等腰三角形一定相似吗为什么3两个等腰直角三角形一定相似吗为什么4两个等边三角形一定相似吗为什么5两个全等三角形一定相似吗为什么思路点拨：要说明两个三角形相似,要同时满足对应角相等,对应边成比例.要说明不相似,则只要否定其中的一个条件.解：1不一定相似.反例直角三角形只确定一个直角,其他的两对角可能相等,也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.2不一定相似.反例等腰三角形中只有两边相等,而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例,两底边的比不一定等于对应腰的比,所以等腰三角形不一定相似.3一定相似.在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中设AB=a, A′B′=b,则BC=a,B′C′=b,AC=a,A′C′= b∴∴ABC∽A′B′C′4一定相似.因为等边三角形各边都相等,各角都等于60度,所以两个等边三角形对应角相等,对应边成比例,因此两个等边三角形一定相似.5一定相似.全等三角形对应角相等,对应边相等,所以对应边比为1,所以全等三角形一定相似,且相似比为1.举一反三变式1两个相似比为1的相似三角形全等吗解析：全等.因为这两个三角形相似,所以对应角相等.又相似比为1,所以对应边相等.因此这两个三角形全等.总结升华：由上可知,在特殊的三角形中,有的相似,有的不一定相似.1两个直角三角形,两个等腰三角形不一定相似.2两个等腰直角三角形,两个等边三角形一定相似.3两个全等三角形一定相似,且相似比为1；相似比为1的两个相似三角形全等.变式2下列能够相似的一组三角形为A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形解析：根据相似三角形的概念,判定三角形是否相似,一定要满足三个角对应相等,三条对应边的比相等.而A 中只有一组直角相等,其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形,且对应边的比也相等.答案选C.类型二、相似三角形的判定2．如图所示,已知中,E为AB延长线上的一点,AB=3BE,DE与BC相交于F,请找出图中各对相似三角形,并求出相应的相似比.思路点拨：由可知AB∥CD,AD∥BC,再根据平行线找相似三角形.解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴△BEF∽△CDF,△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时,相似比；当△BEF∽△AED时,相似比；当△CDF∽△AED时,相似比.总结升华：本题中△BEF、△CDF、△AED都相似,共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准对应边,还需注意两个三角形的先后次序,若次序颠倒,则相似比成为原来的倒数.3．已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6.在Rt△EDF中,∠F=90°,DF=3,EF=4,则△ABC和△EDF相似吗为什么思路点拨：已知△ABC和△EDF都是直角三角形,且已知两边长,所以可利用勾股定理分别求出第三边AC 和DE,再看三边是否对应成比例.解：在Rt△ABC中,AB=10,BC=6,∠C=90°.由勾股定理得.在Rt△DEF中,DF=3,EF=4,∠F=90°.由勾股定理,得.在△ABC和△EDF中,,,,∴,∴△ABC∽△EDF三边对应成比例,两三角形相似.总结升华：1本题易错为只看3,6,4,10四条线段不成比例就判定两三角形不相似.利用三边判定两三角形相似,应看三角形的三边是否对应成比例,而不是两边.2本题也可以只求出AC的长,利用两组对应边的比相等,且夹角相等,判定两三角形相似.4．如图所示,点D在△ABC的边AB上,满足怎样的条件时,△ACD与△ABC相似试分别加以列举.思路点拨：此题属于探索问题,由相似三角形的识别方法可知,△ACD与△ABC已有公共角∠A,要使此两个三角形相似,可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可.解：当满足以下三个条件之一时,△ACD∽△ABC.条件一：∠1=∠B.条件二：∠2=∠ACB.条件三：,即.总结升华：本题的探索钥匙是相似三角形的识别方法.在探索两个三角形相似时,用分析法,可先假设△ACD∽△ABC,然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.本题易错为出现条件四：.不符合条件“最小化”原则,因为条件三能使问题成立,所以出现条件四是错误的.举一反三变式1已知：如图正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形,虽有相等的直角,但不知AQ与PQ是否垂直,所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形,Q是CD中点,而BP=3PC,所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下：证明：在正方形ABCD中,∵Q是CD的中点,∴=2∵=3,∴=4又∵BC=2DQ,∴=2在△ADQ和△QCP中,=,∠C=∠D=90°,∴△ADQ∽△QCP．变式2如图,弦和弦相交于内一点,求证：.思路点拨：题目中求证的是等积式,我们可以转化为比例式,从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.证明：连接,.在∴∽∴.变式3已知：如图,AD是△ABC的高,E、F分别是AB、AC的中点．求证：△DFE∽△ABC．思路点拨：EF为△ABC的中位线,EF=BC,又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线,DE=AB,DF= AC．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似．证明：在Rt△ABD中,DE为斜边AB上的中线,∴DE=AB,即=．同理=．∵EF为△ABC的中位线,∴EF=BC,即=．∴==．∴△DFE∽△ABC．总结升华：本题证明方法较多,可先证∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC,再证夹这个角的两边成比例,即=,也可证明∠FED=∠EDB=∠B,同理∠EFD=∠FDC=∠C,都可以证出△DEF∽△ABC．类型三、相似三角形的性质5．△ABC∽△DEF,若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm,而4cm是△DEF中一边的长度,你能求出△DEF 的另外两边的长度吗试说明理由.思路点拨：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边,因此需分三种情况进行讨论.解：设另两边长是xcm,ycm,且x<y.1当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时,有,从而x=cm,y=cm.2当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时,有,从而x=cm,y=cm.3当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时,有,从而x=cm,y=cm.综上所述,△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm,cm或cm,cm三种可能.总结升华：一定要深刻理解“对应”,若题中没有给出图形,要特别注意是否有图形的分类.6．如图所示,已知△ABC中,AD是高,矩形EFGH内接于△ABC中,且长边FG在BC上,矩形相邻两边的比为1：2,若BC=30cm,AD=10cm.求矩形EFGH的面积.思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽,从而求出矩形的面积.解：∵四边形EFGH是矩形,∴EH∥BC,∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC,∴AD⊥EH,MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2,设EF=xcm,则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比,得,∴,∴,.∴EF=6cm,EH=12cm.∴.总结升华：解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题,经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质,若图中没有高可以先作出高.举一反三变式1△ABC中,DE∥BC,M为DE中点,CM交AB于N,若,求.解：∵DE∥BC ,∴△ADE∽△ABC∴∵M为DE中点, ∴∵DM∥BC , ∴△NDM∽△NBC∴∴=1：2.总结升华：图中有两个“”字形,已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“”字形,利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形,从而解决问题.类型四、相似三角形的应用7．如图,我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离即河宽,你有什么方法方案1：如上左图,构造全等三角形,测量CD,得到AB=CD,得到河宽.方案2：思路点拨：这是一道测量河宽的实际问题,还可以借用相似三角形的对应边的比相等,比例式中四条线段,测出了三条线段的长,必能求出第四条.如上右图,先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆,然后方向不变,继续向前走10m到C 处,在C处转90°,沿CD方向再走17m到达D处,使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少解：∵AB⊥BC,CD⊥BC∴∠ABO=∠DCO=90°又∵∠AOB=∠DOC∴△AOB∽△DOC∴∵BO=50m,CO=10m,CD=17m∴AB=85m答：河宽为85m．总结升华：方案2利用了“”型基本图形,实际上测量河宽有很多方法,可以用“”型基本图形,借助相似；也可用等腰三角形等等.举一反三变式1如图：小明欲测量一座古塔的高度,他站在该塔的影子上前后移动,直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠,此时他距离该塔18 m,已知小明的身高是m,他的影长是2 m．1图中△ABC与△ADE是否相似为什么2求古塔的高度．解：1△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE,DE⊥AE∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A∴△ABC∽△ADE2由1得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m,AE=2+18=20m,BC=∴∴DE=16m答：古塔的高度为16m.变式2已知：如图,阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=,窗口高AB=,求窗口底边离地面的高BC思路点拨：光线AD,利用边的比例关系求出BC.解：作EF⊥DC交AD于F.因为AD∥BE,所以又因为,所以,所以.因为AB∥EF, AD∥BE,所以四边形ABEF是平行四边形,所以EF=AB=.所以m.类型五、相似三角形的周长与面积8．已知：如图,在△ABC与△CAD中,DA∥BC,CD与AB相交于E点,且AE︰EB=1︰2,EF∥BC交AC于F 点,△ADE的面积为1,求△BCE和△AEF的面积．思路点拨：利用△ADE∽△BCE,以及其他有关的已知条件,可以求出△BCE的面积．△ABC的边AB上的高也是△BCE的高,根据AB︰BE=3︰2,可求出△ABC的面积．最后利用△AEF∽△ABC,可求出△AEF的面积．解：∵DA∥BC,∴△ADE∽△BCE．∴S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2．∵AE︰BE=1︰2,∴S△ADE︰S△BCE=1︰4．∵S△ADE=1,∴S△BCE=4．∵S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2,∴S△ABC=6．∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC．∵AE︰AB=1︰3,∴S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9．∴S△AEF==．总结升华：注意,同底或等底三角形的面积比等于这底上的高的比；同高或等高三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时,它们的面积比等于对应线段比的平方,即相似比的平方．举一反三变式1有同一三角形地块的甲、乙两地图,比例尺分别为1∶200和1∶500,求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.解：设原地块为△ABC,地块在甲图上为△A1B1C1,在乙图上为△A2B2C2.∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且,,∴,∴.变式2如图,已知：△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ2∵S△PQC 的周长与四边形PABQ的周长相等,∴PC+CQ=PA+AB+QB=△ABC的周长=6∵PQ∥AB, ∴△PQC∽△ABC∴,即：解得,CP=类型六、综合探究9．如图,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,AD=5,P是AD上一动点不与A、D重合,PE⊥BP,P为垂足,PE交DC于点E,1设AP=x,DE=y,求y与x之间的函数关系式,并指出x的取值范围；2请你探索在点P运动的过程中,四边形ABED能否构成矩形如果能,求出AP的长；如果不能,请说明理由.解：1∵AB∥CD ,∴∠A+∠D=180°∵∠A=90°, ∴∠D=90°,∴∠A=∠D又∵PE⊥BP ,∴∠APB+∠DPE=90°,又∠APB+∠ABP=90°, ∴∠ABP=∠DPE,∴△ABP∽△DPE∴,即∴2欲使四边形ABED为矩形,只需DE=AB=2,即,解得∵,∵均符合题意,故AP=1或4.总结升华：1求以线段长为变量的两个函数间的关系时,常常将未知线段和已知线段作为三角形的边,利用相似三角形的知识解决.2解决第2小问时要充分挖掘运动变化过程中点的特殊位置,再转化为具体的数值,通过建立方程解决,体现了数形结合的思想.10．如图,在△ABC中,BC=2,BC边上的高AD=1,P是BC上任意一点,PE∥AB交AC于E,PF∥AC交AB于F.1设BP=,△PEF的面积为,求与的函数解析式和的取值范围；2当P在BC边上什么位置时,值最大.解：1∵BC=2, BC边上的高AD=1∴△ABC的面积为1∵PF∥AC,∴△BFP∽△BAC∴,∴同理△CEP∽△CAB∴,∴∵PE∥AB, PF∥AC,∴四边形PFAE为平行四边形∴∴.2∴当时,即P点在BC边的中点时,值最大.总结升华：建立三角形的面积与线段长之间的函数关系,可考虑从以下几方面考虑：1从面积公式入手；2从相似三角形的性质入手；将面积的比转化为相似比的平方；3从同底或等高入手,将面积比转化为底之比或高之比.。
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相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
（6）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
典型例题：例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE2＝EF·EG 证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC ∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2， 即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF∴EC 2＝EG· EF，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。
例2 已知：如图，AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高，E 是AC 的中点，ED 与AB 的延长线相交于F ，求证：BA FB =AC FD证法一：如图，在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝Rt ∠，AD ⊥BC ， ∴∠3＝∠C ，又E 是Rt △ADC 的斜边AC 上的中点，∴ED=21AC ＝EC ，∴∠2＝∠C ，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3， ∴∠DFB ＝∠AFD ，∴△DFB ∽△AFD ，∴FD FB ＝AD BD（1）又AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∴AD BD =AC BA（2） 由（1）（2）两式得FD FB =AC BA ，故BA FB =AC FD证法二：过点A 作AG ∥EF 交CB 延长线于点G ，则BA FB =AG FD（1）∵E 是AC 的中点，ED ∥AC ，∴D 是GC 的中点，又AD ⊥GC ，∴AD 是线段GC 的垂直平分线，∴AG ＝AC （2）由（1）（2）两式得：BA FB =AC FD，证毕。
【解题技巧点拨】本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“AD BD”过渡，使问题得证，证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证．一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。
例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求证：△DBE∽△ABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DF•AC=BC•FE例6：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。
求证：（1）MA2=MD•ME；（2）MDMEADAE=22例7：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。
ABCDEM12AB CDEFG1234AB CDAB CDEFKAB CDE F三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
例8：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且31==AD AF AB EB 。
求证：∠AEF=∠FBD例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线， 求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BFABCDE FGA B CDS P RQ OA B C D EFABCDEFO 123A BC DF G E课后作业一、填空题1.已知：在△ABC 中，P 是AB 上一点，连结 CP ，当满足条件∠ACP=____或∠APC= _____或 AC 2=______时， △ACP ∽△ABC ．2.两个相似三角形周长之比为4∶9，面积之和为291，则面积分别是____________。
3.如图，DEFG 是Rt △ABC 的内接正方形，若CF ＝8，DG ＝42，则BE ＝__________。
4．如图，直角梯形 ABCD 中，AD ‖BC ，AD ⊥CD ，AC ⊥AB ，已知AD ＝4，BC ＝9，则 AC ＝____________。
5．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝9，点D 是AC 上的点，且AD=3，E 在AB 上，△ADE 与△ABC 相似，则AE 的长等于_____________。
6.如图，在正方形网格上画有梯形ABCD ，则∠BDC 的度数为______________。
7.△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BC ＝1，BD 平分∠ABC 交于D ，则BD ＝_______，AD ＝______，设AB ＝x,则关于x 的方程是______________.8．如图，已知D 是等边△ABC 的BC 边上一点，把△ABC 向下折叠，折痕为MN ，使点A 落在点D 处，若BD ∶DC ＝2∶3，则AM ∶MN=_________________。
二、选择题9.如图，在正△ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且31AC AD ，AE=BE ，则有（） A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABDD ．△BAD ∽△BCD10．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC=6，AC ＝3，则CD 的长为（ ）B.23 D.25 11．如图，□ABCD 中，G 是 BC 延长线上一点，AG 与 BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ） A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对12． P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）A．1条条C．3条D．4条13．如图，在直角梯形 ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC=3，若在 AB上取一点P，使以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，这样的P点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答下列各题14.如图，长方形ABCD中，AB=5，BC＝10，点P从A点出发，沿AB作匀速运动，1分钟可以到达B点，点Q从B点出发，沿BC作匀速直线运动，1分钟可到C点，现在点P点Q同时分别从A点、B点出发，经过多少时间，线段PQ恰与线段BD垂直15．已知：如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC，EF在斜边BC上，EH⊥AB于H．求证：（1）△ADG≌△HED；（2）EF2＝BE·FC（答案）例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。
再∠1=∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。
例2分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。
借助于计算也是一种常用的方法。
证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD例3分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。
所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。
从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。
证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴BCAB=BEBD即：BCBE=ABBD△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且BCBE=ABBD∴△DBE∽△ABC例4分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。