数理方程-总结复习及练习要点
七年级数学方程知识点总汇
七年级数学方程知识点总汇数学中的“方程”这一概念是我们学好数学的必经之路。
七年级时的代数学习就是方程学习的入门。
为了让大家更好地学习方程，本文总结了七年级数学方程知识点，希望对大家有所帮助。
一、方程的定义和表示方程是一个等式，用字母表示，两边是相等的。
一个方程中可能有多个未知数，我们要通过解方程来求得这些未知数。
形如ax+ b = c的一元一次方程是七年级最基础的方程类型。
二、一元一次方程1. 解一元一次方程解一元一次方程有两种方法：（1）移项法：将含有未知数的项移到一边，不含未知数的项移到另一边，直至只剩下未知数。
对于形如ax + b = c的方程，我们可以通过移项得到x = (c-b)/a的解。
（2）相消法：将方程中相同的项合并，在两侧同时去掉相同的项，得到未知数。
2. 一元一次方程的应用一元一次方程的应用很广，我们平时会遇到很多关于成本、时间、速度等问题。
比如：（1）已知小华走到学校需要5分钟，放慢速度10%需要6分钟,求小华平时所走的路程每分钟走多少米?（2）甲机器和乙机器同时从A地向B地行驶，它们相遇时甲已行（30× 1.2）千米，而乙还有（21×1.2）千米路程没有走完，求机器的速度。
三、二元一次方程二元一次方程是名字已经提示了，有两个未知数的方程。
形如ax + by = c的一次方程是二元一次方程的一种。
1. 解二元一次方程解二元一次方程有多种方法，其中较为常用的有：（1）消元法：通过消去一个未知数，然后带入另一个方程解出此未知数的值，再回代得到另一个未知数的值。
（2）代入法：把一个方程的解代入另一个方程后解出未知数的值。
（3）图像法：将二元一次方程转化为直线方程，利用直线之间的位置关系来求解未知数的值。
2. 二元一次方程的应用二元一次方程的应用主要在以两种物品或者两种现象为主体的问题上。
比如：（1）甲物价值3元/件，乙物价值2元/件，现在甲物和乙物总价值是21元，数量一共是10件，求甲物和乙物的数量分别是多少？（2）一间房每日租金为x元，但因某原因9天来不单日租出，只好统一减低租金，第一天减低x元，第二天减低2x元直到第9天，九天后全房租金收入162元，求原来每日租金多少元？四、一元二次方程现在我们跨入了新的难点——一元二次方程。
数理方程重点总结共53页
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
数理方程重点总结
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
数学物理方程复习资料
∞ n=1
bn
sin= nπl x (x ∈ C), 其中 bn
2= l f (x) sin nπ xdx (n 1, 2,3, ).
l0
l
∑ ∫ 当 f (x) 为偶函数时， f (x) = a20 + n∞=1 an cos= nπl x (x ∈ C), 其中 an
2= l f (x) cos nπ xdx (n
的常微分方程，并由齐边值条件可得固 有值问题。
二阶线常性微齐分次方微程分方程→
特征方程为 r2 + λ =0
求解固有值问题，即解出固有值以及固 有函数
结合定解条件讨论 λ 的取值范围
确定系数，由选定的固有值来求 T (t) ，
进而得到一系列特解，然后利用叠加原 理叠加特解得到一个无穷级数解，并由 初始条件确定无穷级数的系数。 M2 积分变换法 根据自变量的变化范围以及定解条件 的具体情况，选取适当的积分变换。然 后对方程两端取变换，把一个含两个自 变量的偏微分方程化为含一个参变量 的常微分方程。
（1） 固定端（第一边值条件= ）： u = x 0= 0, u =x l 0, t ≥ 0
（2） （3）
自由端（第二边值条件= ）： ∂∂ux = x 0= 0, ∂∂ux=x l 0, t ≥ 0
弹性支承端（第三边值条件= ）： (∂∂ux + σ u) x 0= =0, (∂∂ux + σ u) x l =0, t ≥ 0 ，其中σ = k / T 。
1.偏微分方程&数学物理方程：含有未知多元函数及其偏导数（也可仅含有偏导数）的方程称为偏微分方程； 描述物理规律的偏微分方程称为数学物理方程。 2.方程的阶：偏微分方程中未知函数的偏导数的最高阶数；
数理方程-总结复习及练习要点
数理方程基本知识
➢ 方向导数
x x0 cos
数量场函数
uu(x,y,z;t)沿射线 cos
的差商的极限存在，则称此极限为数量场在点 (x0, y0, z0)
沿方向e r c o s,c o s,c o s方向导数，记作 Deu(x, y, z)
如同一元函数导数反应的是函数变化率一样，方向导
➢ 偏微分方程的基本概念
－偏微分方程的阶数 最高的求导次数 －偏微分方程的齐次与非齐次 不含有研究函数的非零项 －偏微分方程的线性与非线性
光学与电子科技学院 6 COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY
数理方程基本知识
•
－劈形算符符合矢量运算
g=x22 y22 z22
➢ 数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下 按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的 物理规律具有共性,它反映的是同一类物理现象的 共同规律。物理量受某些特定条件约束，所产生 的物理问题又各具有自身的特殊性，即个性。
光学与电子科技学院 3 COLLEGE OF OPTICAL AND ELECTRONIC TECHNOLOGY
基本知识 定解问题的确立及分析 定解问题求解之行波法 定解问题求解之分离变量法 定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
数理方程基本知识
➢ 具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述 ，这些方程在不附加个性条件的情况下称为泛定方 程。
➢ 约束物理量的特定条件可以使符合共性物理规律的 物理量确定，或者说，也能够使满足泛定方程的解 确定下来，这些特定条件都可以称为定解条件。我 们研究数理方程的目的就是为了确定方程的解，进 而研究特定条件下物理量确定值或变化情况。
数理方程总结完整版
此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1
则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
方程的整理与复习
整体法
总结词
通过将一个方程中的变量看作一个整体，对方程进行变换和化简，从而求解。
详细描述
整体法是一种较为高级的解二元一次方程组的方法。首先，选择一个方程中的变量看作一个整体，进 行代数变换和化简。然后，将化简后的结果代回原来的方程组中，求得变量的值。整体法可以简化计 算过程，提高解题效率，但需要较高的代数变换技巧。
方程的几何应用问题
方程的几何应用问题
这类问题通常涉及到几何图形的性质和关系，如面积、周长、角度等。解决这 类问题需要利用几何知识建立方程，然后求解方程。
例子
已知一个直角三角形两条直角边的长度分别为3和4，求斜边的长度。
THANKS
感谢观看
02
一元一次方程的解法
移项与合并同类项
移项
将方程中的某项从一边移动到另一边 ，以简化方程。
合并同类项
将方程中相同或相似的项合并在一起 ，使方程更易于解决。
系数化为
01
将方程中的未知数系数化为1，从 而找到未知数的具体数值。
02
通过两边同时除以未知数的系数 来实现。
去括号与去分母
去括号
消除方程中的括号，将其中的项展开， 以简化方程。
方程的整理与复习
• 方程的概念与分类 • 一元一次方程的解法 • 二元一次方程组的解法 • 一元二次方程的解法 • 分式方程的解法 • 方程的应用题解法
01
方程的概念与分类
方程的定义
总结词
方程是数学中表示数量关系的一 种基本工具。
详细描述
方程是通过数学符号和等号来表 示数量之间相等或不等的关系， 通常由等号连接两个或多个数学 表达式。
方程的分类
总结词
方程可以根据不同的标准进行分类。
数理方程复习
1(t) 2 (t)
wx wx
(0, t ) (l , t )
1(t) 2 (t)
南京邮电大学、应用数理系
边界条件（四种）： X '' X 0
数理方程
u u
x0 xl
0
0
n
l
2
, Xn (x)
A sin
n
l
x,
n 1, 2,
ux ux
x0 xl
0
0
n
l
2
, Xn (x)
l
bk
1 l
l l
f
( x) sin
nxdx
l
南京邮电大学、应用数理系
k 0
复数形式的傅里叶变换
F () f (x)eixdx
f (x) 1 F ()eixd
2
傅里叶变换式 傅里叶逆变换式
数理方程
南京邮电大学、应用数理系
分离变量(傅立叶级数)法
数理方程
基本思想：通过分离变量，把偏微分方程分解成几个常微分 方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。
数理方程 波动方程 (双曲型偏微分方程)
数 学 物 数学角度 理 方 程
偏微分方程 积分方程
输运方程 (抛物型偏微分方程) 恒定场方程(椭圆型偏微分方程)
微分积分方程
定解问题：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和
历史，也即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解
条件。把在给定的定解条件下求解数学物理方程称为数学物理
南京邮电大学、应用数理系
双曲型方程 椭圆型方程 抛物型方程
数理方程 过其中每一点有两条不同的实的特征线 过其中每一点不存在实的特征线 过其中每一点有一条实的特征线
数学物理方程复习
习题课和总复习鉴于数学物理方程课程对大多数同学来讲有一定的学习难度，为帮助同学们较好地掌握本课程的基本内容和定解问题主要的求解方法，下面将这学期的教学内容进行总结，并提出每部分的教学基本要求。
希望同学们能够参考下面总结《一》到《四》的具体要求安排好个人的复习计划，认真看书（结合以往的作业题）和总结；也希望同学们之间能够加强讨论并积极地参加答疑。
祝同学们学习愉快并取得考试好成绩！《一》 特征线方法掌握两个自变量一阶线性方程的解法：三步，求出特征线族；在特征线上求解原问题；代入求出原问题的解。
如书上269P 例1.1；276P 第1题。
(新书107P 例6.1；118P 第1题) 《二》格林函数法1. 记住基本解0(,)p p Γ， 0(,),(,)p p x y ξη或0(,,),(,,)p p x y z ξηζ。
2. 记住并会证明格林第三公式：0()()u u p u ds udV n n ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 【 在()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 取00\(,),(,)B p v p p εεΩ=Ω=Γ 0(,)()()()B p u uu u dV uds u ds n n n n εεΩ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂⇒∆Γ-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，利用 0, in ε-∆Γ=Ω和当0ε+→时000(,)(,)(),0B p B p uuds u p ds n n εε∂∂∂Γ∂→Γ→∂∂⎰⎰⎰⎰即可 】 由此可得 0()()u Gu p Gu ds G udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰，和如下问题解的表达式 , , u f in u on ϕ-∆=Ω⎧⎨=∂Ω⎩ ⇒0()Gu p ds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰。
在这里要注意，0p ∈Ω固定而动点为p 。
3.掌握利用对称法求格林函数的方法，如半空间，半平面和圆域等。
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
七年级数学方程知识点总结
一、方程的概念及解法1.方程的定义：在等号两边含有未知数的式子。
2.方程的解：使方程成立的未知数的值。
3.方程的解法：a.逆运算法：通过逆向运算来求解方程。
b.移项法：通过移动项的位置来求解方程。
c.消元法：通过等式变形，将方程变为更简单的形式，再求解。
二、一元一次方程1.一元一次方程的定义：方程中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为12.一元一次方程的解法：a.逆运算法：通过逆向运算，将未知数单独求解。
b.移项法：将未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边，使方程变为等价方程。
三、一元二次方程1.一元二次方程的定义：方程中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为22. 一元二次方程的标准形式：ax² + bx + c = 0。
3.一元二次方程的解法：a.因式分解法：将方程进行因式分解，使得两个括号中的内容相等。
b.完全平方法：将方程利用完全平方式变为平方形式。
c.配方法：通过配方法将方程变为平方形式后，利用公式求解。
d.根的性质法：通过根的性质进行求解，如求和、求积。
四、分式方程1.分式方程的定义：方程中含有分式，且未知数出现在分母或分子中。
2.分式方程的解法：a.求分母公倍数，将方程两边的分数化为通分后的形式，再进行等式变形求解。
b.消分母法：将方程两边的分数化为分母为1的形式，再进行等式变形求解。
五、绝对值方程1.绝对值方程的定义：方程中含有绝对值符号，未知数出现在绝对值内或外。
2.绝对值方程的解法：a.分类讨论法：根据绝对值的取正值和取负值分别讨论。
b.移项分组法：通过移项和分组，将方程变为绝对值为常数的形式。
六、方程组1.方程组的定义：由若干个方程组成的集合。
2.方程组的解法：a.代入法：将其中一个方程的解代入另一个方程，依次求解。
b.消元法：通过加减乘除等运算将方程组化简为更简单的形式，再求解。
c.矩阵法：通过矩阵的计算求解方程组。
d.图解法：将方程组转化为坐标系中的图形，通过图形的交点求解。
数理方程总结完整版
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
数理方程复习
J −1 / 2 ( x ) =
2 cos x πx
Ex12 推导出下面定解问题所连带的贝塞尔方程 （不解贝塞尔方程）
1 ⎧ 2 ⎪ utt = a ( uρρ + ρ uρ ), ( t > 0,0 < ρ < 1) ⎪ ⎪ ⎨ uρ |ρ =1 = 0, u |ρ = 0 < +∞ ⎪ u |t = 0 = 0, ut |t = 0 = 1 − ρ 2 ⎪ ⎪ ⎩
1 1 x + at u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫x −atψ (ξ )dξ 2 2a x – at < 0 1 1 x + at u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) − ϕ (at − x )] + ∫at − xψ (ξ )dξ 2 2a 7/16
− ( 1 + iλ ) x
dx
∞ 0
1 e ( 1 − iλ ) x = 1 − iλ
1 e − ( 1 + iλ ) x − −∞ 1 + iλ
1 1 2 = + = 1 − i λ 1 + iλ 1 + λ 2
13/16
例6 用付氏变换解热传导问题
⎧ ∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x , t ), (− ∞ < x < +∞ , t > 0 ) ⎪ ∂x ⎨ ∂t ⎪u ⎩ t =0 = ϕ ( x )
∞
n≥1
6/16
达朗贝尔公式
∂ 2u ∂ 2u = a2 2 ∂t 2 ∂x ∂u u t = 0 = ϕ ( x ), ∂t
数理方程总复习 复习1(第二章分离变量法)
∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, ∂t ∂x ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. u t = 0 = ϕ ( x), 特点：非齐次边界
边界条件非齐 次，转换为齐 次边界条件 定 解 问 题 选择合适 的坐标系 非齐次方程， 齐次边界条件
非齐次方程， 齐次定解条件 特征函数法
齐次方程， 齐次边界条件 分离变量法
第二章、分离变量(fourier级数)法
分离变量法是数学物理方程的基本解法，主要讲：
(1)有限空间的分离变量法(fourier级数法)(本章) (2)无限空间的分离变量法(fourier积分法)(第三章积分变换法) (3) Laplace方程的圆上的定解问题－－在极坐标系下的分离变量法 (4)特征函数法－－在柱坐标系和球坐标系下的分离变量法 (第五、六章)
第三步：将展开式代入方程与初始条件，比较系数得到关于 Tn (t )的常微分方程定解问题，求解确定出Tn (t )。 (Laplace变换法、常数变易法)
方法三、齐次化原理
三、第三种类型定解问题( III )
2 ∂ 2u 2 ∂ u + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, 2 =a 2 ∂x ∂t ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, ∂u u = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l. t = 0 = ϕ ( x ), ∂t t =0
∂V 1 ∂ 2V A −α x − 2 2 = 2 e , 0 < x < l , t > 0, a ∂t a ∂x V x =0 = 0, V x =l = 0, t ≥ 0, V t =0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ∂W 1 ∂ 2W
数学物理方程考前知识点及重要例题汇总
z
)
性质 3.
sin z
推论 2： (1
2)
推论 3： (z ) 在全平面无零点
Γ函数又称为阶乘函数
性质 4. 倍乘公式
(2z ) 2
2 z 1
1
2
1
( z ) ( z )
2
Ψ函数的定义：
Ψ函数是Γ函数的对数微商， ( z )
d ln ( z ) ( z )
，则称 u(x,y) 为调和函数，方程也称为调和方程或
者拉普拉斯方程。
关系：如果 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域 G 内的解析函数
→u 与 v 是区域 G 内的调和函数
→ + = 0 ， +
= 0
8.复变积分值，不仅依赖于被积函数和积分路径的端点，还依赖于积
道用哪个公式，会用就会做）
3.柱函数
若 p(z)、q(z) 中至少有一个在 z0 点不解析，称 z0 点为方程的奇点。
19.定解问题，写定解条件
补充波动方程、热传导方程、泊松方程、拉普拉斯方程
定解问题包括三部分：微分方程、定解条件（边界条件、初始条件）
初始条件
——完全描述物理问题的研究对象在初始时刻时，其内部及边界上任
意一点的状况。是固定时刻 t 关于位置的函数。
dz
( z )
Ψ函数的性质：
性质 1：z
0,1,2, 都是(z )的一阶极点，留数均为-1，
除这些点外 (z )在全平面解析。
Β函数的定义：
1
( p, q ) t p 1 (1 t ) q 1 dt ,
完整版)初中数学方程及方程的解知识点总结
完整版)初中数学方程及方程的解知识点总结知识点1：一元一次方程是只含有一个未知数，未知数的次数为1，系数不等于0的整式方程。
其标准形式为ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0），最简形式为ax=b（a≠0）。
不定方程是含有两个或两个以上未知数的代数方程，一般有无穷多解。
等式是用符号“=”表示相等关系的式子，左、右两边分别为等式的左边和右边。
方程的根是只含有一个未知数的方程的解。
解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1.矛盾方程是一个方程，不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值。
知识点2：二元一次方程是有两个未知数，未知项的次数为1的方程。
二元一次方程组是含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组。
解二元一次方程组的两种方法为代入消元法和加减消元法。
代入消元法的步骤为：将方程组中的一个未知数化成另一个未知数的代数式，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解出未知数的值，再求另一个未知数的值，得到方程组的解。
加减消元法的步骤为：将一个方程或两个方程的两边乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等，将所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解出未知数的值，再求另一个未知数的值，得到方程组的解。
知识点3：一元一次不等式（组）一元一次不等式是指只含有一个未知数，未知数次数为1，系数不为0的不等式，可以用不等号（＞、≥、＜、≤或≠等等）表示。
由多个一元一次不等式组成的不等式组称为一元一次不等式组。
不等式有以下基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数或同一个整式，不等号方向不变；（2）不等式两边乘（或除）同一个正数，不等号方向不变；（3）不等式两边乘（或除）同一个负数，不等号方向改变。
解一元一次不等式的步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.如果乘数和除数是负数，需要改变不等号方向。
方程 复习与小结
A. 3
2
B. 6 C. 3
2
D. 6
2.两大任务是根本 3.曲直关系是重点 4.两大技巧是热点
密不可分
(5)(2008年全国Ⅱ)已知F是抛物线 C：y2 4x 的焦点，
A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M(2，2) ，则 △ABF 的面积等于____【__2_】____
(6)(2013年浙江)如图，F1,
(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m) 所表示的曲线的形状
析：含参肯定得分类讨论；问题是任何寻找分类的标准？
① (m-1)=0 ②(3-m)=0 ③(m-1)=(3-m)
方程：(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m) 表示的曲线的形状
①当m＜1时,得
x2 y2 3m 1m
练习1.定义方程是基础
(1)若动点M到直线x=-1的距离与到点F(1,0)的距离之比为 1
则点M的轨迹是 【C】
2
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
(2)(2013年四川)抛物线 y2
4x
的焦点到双曲线
x2
y2 3
1
的
渐近线的距离是 【B】
A. 1 2
B. 3 C.1
2
D. 3
(3)课本P：81 B组 Ex6 就m的不同取值,指出方程：
F2为椭圆C:
x2 a2
y2 b2
1的左,右
焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个
交点为N (Ⅰ) e c 1 (Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2
a2
y
M
且 MN 5 F1N ,求a,b
析：(Ⅱ)因线MN在y轴上的截距为2 N F1 o F2
初中数学解方程知识点的归纳与汇总
初中数学解方程知识点的归纳与汇总解方程是初中数学中的重要内容，掌握解方程的方法和技巧对于解决数学问题和日常生活中的实际问题非常重要。
本文将对初中数学解方程的知识点进行归纳与汇总，希望能够帮助大家更好地理解和应用解方程的方法。
首先，我们需要了解一元一次方程的概念和基本解法。
一元一次方程是指只包含一个变量的一次方程。
解一元一次方程的基本思路是通过逆运算将未知数从等式中分离出来，使等式两边相等。
常用的逆运算有加减、乘除等。
例如，对于方程2x + 5 = 17，我们可以通过逆运算逐步消去5和2，最终得到x = 6。
其次，我们需要掌握一元一次方程的特殊情况。
当一元一次方程的系数为0时，解方程的过程会有所不同。
当方程的系数为0时，方程变为0x = 常数，此时方程无解或有无穷多个解，具体取决于常数的值。
例如，方程0x = 3无解，而方程0x= 0有无穷多个解。
进一步地，我们需要学习一元一次方程组的概念和解法。
一元一次方程组是由两个或更多个一元一次方程组成的方程组。
解一元一次方程组的基本思路是通过消元法或代入法将方程组化简为只包含一个未知数的方程，然后求解该方程即可得到方程组的解。
例如，对于方程组2x + y = 5x - y = 3我们可以通过代入法将第二个方程化简为y = x - 3，然后将其代入第一个方程，得到2x + (x-3) = 5，进一步化简得到3x = 8，最终解得x = 8/3，代回第二个方程即可得到y的值。
除了一元一次方程和一元一次方程组，我们还需要了解二次方程的知识。
二次方程是指最高次数为2的方程，通常形如ax^2 + bx + c = 0。
解二次方程的一种常用方法是配方法，即通过将方程化简为一个完全平方后进行求解。
配方法是通过添加适当的数使得方程两边成为完全平方，然后再根据完全平方的性质进行求解。
另外，我们还可以通过因式分解法、公式法和图像法解二次方程。
此外，初中数学还需要掌握绝对值方程的解法。
三年级方程知识点归纳总结
三年级方程知识点归纳总结在小学三年级的数学课程中，方程是一个重要的知识点。
方程是数学中用来表示两个数学表达式相等的等式。
在这个阶段，学生将开始接触并学习如何解简单的方程。
以下是对三年级学生学习方程的知识点的归纳总结。
一、方程的概念- 方程是数学中用来表示两个量相等的等式。
- 一个方程通常包含未知数，我们的目标是找到这个未知数的值。
二、方程的表示- 未知数通常用字母表示，如x、y等。
- 方程的等号两边是等价的，表示左边的值和右边的值相等。
三、基本的方程类型- 简单的线性方程：形如ax + b = c，其中a、b、c是已知数，x是未知数。
- 等式：表示两个数学表达式相等，如2x = 6。
四、解方程的步骤1. 理解方程：首先需要理解方程的含义，确定未知数是什么。
2. 简化方程：通过合并同类项，简化方程，使其更易于解决。
3. 移项：将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到另一边。
4. 求解未知数：通过等式的性质，如两边同时加减或乘除相同的数，来求解未知数。
五、方程的应用- 方程在日常生活中有广泛的应用，如解决速度问题、工作量问题等。
- 学生可以通过解决实际问题来加深对方程概念的理解。
六、练习和巩固- 通过大量的练习题来巩固对方程的理解和解题技巧。
- 鼓励学生尝试解决不同类型的方程，提高解题的灵活性。
七、常见错误及注意事项- 学生在解方程时可能会忘记移项时需要变号。
- 在做乘除运算时，学生可能会忘记将等式两边同时进行运算。
八、总结方程是数学中一个基础而重要的概念。
通过学习方程，学生不仅能够提高数学解题能力，还能够培养逻辑思维和问题解决的能力。
希望学生能够通过不断的练习和思考，掌握解方程的技巧，并能够将这些技巧应用到更广泛的数学问题中去。
通过这样的总结，三年级的学生应该能够对方程有一个清晰的认识，并且能够掌握基本的解方程技巧。
教师可以通过举例和引导，帮助学生更好地理解和应用这些知识点。
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23
定解问题求解之一—行波法
无界一维波动问题
utt a 2u xx 0 u t 0 ( x), ut
t 0
( x)
的特殊求解——达朗贝尔公式
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d x at 2 2a
utt a2u f (M , t ) 属于双曲型
ut a2u f (M , t ) 属于抛物型
属于椭圆型
2 a12 a11a12 0
－稳态方程 u f ( M , t )
判定依据
双曲型 2 a12 a11a12 0 抛物型 2 a12 a11a12 0 椭圆型
第二篇 数学物理方程
•1
基本知识
定解问题的确立及分析
定解问题求解之行波法 定解问题求解之分离变量法 定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
2
数理方程基本知识
数学物理方程主要是指数学物理所涉及的偏微分 方程，有时也包括相关的积分方程、微分积分方 程，或者说物理规律用数学语言描述出来的偏微 分方程就是数学物理方程。 数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下 按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的
t 0 t 0
泛定方程的齐次与非齐次；边界条件的类型；是否有初 始条件； 可用的方法：行波法(达朗贝尔公式)，分离变量法+傅 里叶级数法+冲量定理法+叠加原理，Green函数(+冲量 定理)，积分变换法；
22
基本知识
定解问题的确立及分析
定解问题求解之行波法
定解问题求解之分离变量法
定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
Deu ( x, y, z ) u x ( x0 , y0 , z0 ) cos u y ( x0 , y0 , z0 ) cos u z ( x0 , y0 , z0 ) cos
10
数理方程基本知识
梯度
Deu ( x, y, z ) gardu e u u u gardu i j k x y z
沿方向 e cos ,cos ,cos 方向导数，记作
u( x, y, z; t ) 沿射线
y y0 cos
Deu( x, y, z)
如同一元函数导数反应的是函数变化率一样，方向导 数反应的是数量场在点 ( x0 , y0 , z0 ) 出沿方向e对距离的 变化率。
15
泛定方程的建立
16
泛定方程的建立
如何获得给出问题的泛定方程？
－扩散方程结合高斯定律
q Du q ku
－热传导定律结合高斯定律
17
泛定方程的建立
从物理角度看三大类泛定方程
－波动方程(描述波的传播、杆振动、电路中电流传播等物 理现象的泛定方程)
utt a2u f (M , t ) 其中齐次情况下f(M,t)=0
gradu称为数量场u的梯度，它的方向与u在M点上升的 最快的方向同向
11
数理方程基本知识
发散量
对于一般的矢量场 a
散度
和封闭曲面 ，我们称 a
向着
的外法矢量 n 方向流过 的流量为发散量 ad s
单位体积的发散量在点M0处的极限称为矢量场在点M0
32
定解问题求解之三—Green函数法
定解问题转化为格林函数的定解形式
泊松方程的基本积分公式
各类边值条件下格林函数解的形式
－第一类边值问题的积分表示式
或者两者皆有(视偏微分方程中对时间变量求导的阶数而定) 注：1.初始条件描述物理量的状态为整个系统并非单个点; 2.稳定场问题没有初始状态；
20
定解条件的确定
边界条件
边界上物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值也可以线性组合，具体分为三种边界条件： 第一类 第二类
物理规律具有共性,它反映的是同一类物理现象的
共同规律。物理量受某些特定条件约束，所产生
的物理问题又各具有自身的特殊性，即个性。
3
数理方程基本知识
具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述
，这些方程在不附加个性条件的情况下称为泛定方
程。 约束物理量的特定条件可以使符合共性物理规律的 物理量确定，或者说，也能够使满足泛定方程的解 确定下来，这些特定条件都可以称为定解条件。我 们研究数理方程的目的就是为了确定方程的解，进 而研究特定条件下物理量确定值或变化情况。
u (r , t ) f ( M , t )
狄里希利问题
u 诺依曼问题 f (M , t ) n u 第三类 u (r , t ) f (M , t ) n
注：边界问题同样需要与阶数相同的条件个数来确定解
21
定解问题的形成及分析
utt a 2 u F (M, t) u u (r , t ) f (M , t ) n u (r , t ) (M), ut (r , t ) (M)
d 2w dw p( z ) q( z ) w 0 2 dz dz w( z0 ) C0 , w( z0 ) C1
常点和奇点的定义及判别
31
基本知识
定解问题的确立及分析
定解问题求解之行波法
定解问题求解之分离变量法
定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
19
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f 0
定解条件的确定
初始条件
t=0时刻物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值
u( x, y, z) t 0 ( x, y, z)
也可以是对时间变量的导数
ut ( x, y, z) t 0 ( x, y, z)
齐次泛定方程，非齐次边界条件定解问题
utt a 2u xx 0 u x 0 (t ), u x l (t )(0 x l ) u t 0 ( x), ut
t 0
( x)
－构建函数取 u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ) ，利用构建的函数
6
数理方程基本知识
－劈形算符符合矢量运算
2 2 2 = 2 2 2 x y z
－Laplace算符 2 2 2 = 2 2 2 x y z
7
数理方程基本知识
场的概念
物理量在空间或一部分空间上的分布就称为场
数量场和矢量场
如果描写场的量是数量函数，也就是没有方向性
－确定泛定方程解的傅里叶级数形式(通过齐次方程分离变
量推导)，保证基函数不变，系数改变，
u ( x, t ) Tn (t ) X n ( x)
n 1
通过分离变量确定
－回代非齐次方程利用待定系数法求解关于 Tn (t ) 的级数解
27
定解问题求解之二—分离变量法
非齐次泛定方程，齐次边界条件定解问题(方案二)
－求解思路(具有变量分离形式的试探解 u X ( x)T (t ) )
－回代入方程探讨关于x的特征值及特征函数
u t 0 ( x), ut
t 0
( x)
－根据边界条件确定特征值及特征函数
－傅里叶级数确定含时间函数级数形式的系数
n at n at n x u ( x, t ) ( An cos Bn sin )sin l l l n 1
4
数理方程基本知识
我们研究的这些定解条件或者约束物理量的特定条 件大体可以分为两大类，一类关乎于环境对物理量 发展过程的约束，这类约束主要体现于物理环境周 围边界的物理状况，即边界条件。另一类关乎于物 理量发展的历史状况，或者说这个物理量之前是什 么样的，这类约束主要体现于时间上我们人为定义
从何时开始针对于物理量的研究，或者说这个物理
26
定解问题求解之二—分离变量法
非齐次泛定方程，齐次边界条件定解问题(方案一)
utt a 2uxx F ( M , t ) u t 0 ( x), ut u x 0 0, u x l 0(0 x l )
t 0
( x)
－结合分离变量法与傅里叶级数法
13
基本知识
定解问题的确立及分析
定解问题求解之行波法
定解问题求解之分离变量法
定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
14
泛定方程的建立
如何获得给出问题的泛定方程？
－将各类不均匀的非线性的物理问题以微分转化为均匀的
线性的符合已知物理规律的问题； 例如：线的振荡问题通过分析线元受力获得； 杆的纵振动通过分析杆微元受力获得； 浓度扩散通过分析微小均匀体积内的扩散获得； 温度扩散通过分析微小均匀体积内温度获得
，只有大小之分，这个场就是数量场，如温度场 ，压力场；如果描写场的量是矢量函数就称这个 场为矢量场，如速度场、电磁场、引力场
8
数理方程基本知识
场的表示
除用点的函数来描写场的物理、力学性质外，常在
场中按一定规则绘出曲面或曲线来表示场中物理量 分布； 数量场 矢量场 分量
9
u u( x, y, z; t )
A P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)
其中A中各个分量代表了场矢量在x,y,z三个方向的
数理方程基本知识
方向导数 数量场函数 u
x x0 cos
z z0 cos 的差商的极限存在，则称此极限为数量场在点 ( x0 , y0 , z0 )