第一章：复数与复变函数

十九世纪： ----复变函数论的创立 世纪： ----复变函数论的创立 柯西 (Cauchy: 1789-1857): 复积分 黎曼 (Riemann: 1826-1866): 保形映射等 Cauchy-Riemann方程 维尔斯特拉斯 (Weierstrass: 1815-1897): 复级数
研究内容
例1 将下列复数化为三角形式与指数形式. 将下列复数化为三角形式与指数形式.
1) z = −1 + 3i,
解 1)
∵r = z = 2,
2) z = sin + icos 5 5
π
π
3 2π = , θ = arctan( ) + π 3 −1 2 πi 2 2 ∴z = 2cos π +isin π = 2e3 . 3 3
( x1+iy1 ) ⋅ ( x 2 +iy2 ) = ( x1x2 − y1 y2 ) + i ( x2 y1+ x1 y2 ) 2. 积：
z1 x 1 +iy1 ( x 1 +iy1 )( x2 − iy2 ) (z2 ≠0) = 3. 商：z = = z2 x2 + iy2 ( x2 + iy2 )( x2 − iy2 )
S x y z P
即球面上的点与扩充复平面内的点一一对应. 称该球面为复球面或黎曼 球面。 称该球面为复球面或黎曼(Riemann)球面。 注： 无穷大（ ∞ ）是一个复数，它的实部、虚部和 辐角无意义，但规定它的模 ∞ = +∞ .
∞
规定: (P11)
a+∞=∞+a =∞
( a ≠ ∞)
a −∞=∞−a =∞ (a ≠∞) a⋅ ∞= ∞⋅ a = ∞ (a ≠0)
x = Re( z ), y = Im( z )
实数 ( y =0) 复 数 (C) 虚数 ( y ≠ 0 ) 纯虚数 ( x=0) 非纯虚数 ( x ≠ 0 )
简单性质： 简单性质：
(1) 设 z1 = x 1 +iy1 ,
z 2 = x2 + iy2 ,则
z1 = z2 ⇔ x1 = x2且y1 = y2
i4m = 1, i4m+1 = i, i4m+2 = −1, i4m+3 =−i, (m∈Z)
例1. 对任何z, 是否有z = z ? 如果是,给出证明, 如果不是,对哪些z值才成立?
[书P31题5]
2
2
例2. 证明若z是实系数方程 a n x + a n-1 x
n n −1
+
+ a1 x + a 0 = 0
浙江工业大学理学院
任课教师： 任课教师：潘永娟 panyongjuan@zjut.edu.cn
背景
十六世纪： 十六世纪：复数——“虚数”
十八世纪： 十八世纪： 达朗贝尔(Alembert: 1717-1783) 欧拉 (Euler: 1707-1783) 复数的几何意义和物理意义 流体力学等
背景
z1 z1 （1）z1 ± z2 = z1 ± z2 , z1z2 = z1 ⋅ z2 , = ( z2 ≠ 0); z2 z2
（2） z = z ;
2 2 z z = z = [Re( z )] + [Im( z )] ; （3） 2
（4） z + z = 2Re(z), z − z = 2iIm(z). 5.
x 1 x2 + y1 y2 x 2 y1 − x1 y2 = +i , 2 2 2 2 x2 + y2 x2 + y2
复数的加法与乘法满足交换律， 复数的加法与乘法满足交换律，结合律； 结合律；乘法还满 足分配律。 足分配律。
4. 共轭复数： 设 z = x + iy , 则定义共轭复数
z = x − iy , 并有如下性质：
2) ∵r = z =1,
sin
π
3 π 3 π π π π = cos − = cos π , cos = sin − = sin π, 5 10 5 10 2 5 2 5
3 πi 10
3 3 ∴z = cos π + isin π = e 10 10
.
例2 设z1,z2为任意两个复数， 为任意两个复数，求证 z1 + z2 ≤ z1 + z2 证明 ∵ z1 + z 2
(2) z = x + iy = 0 ⇔ x = 0且y = 0 注意： 注意：一般说来， 一般说来，任意两个复数不能比较大小！ 任意两个复数不能比较大小！
.
二 、复数的代数运算
设 z1 = x 1 +iy1 , z 2 = x2 + iy2 1. 和、差： (x 1 +iy1 ) ± (x 2 +iy2 ) = (x 1 ± x2 ) + i (y 1 ± y2 )
的根, 则 z也是其根. (实系数方程的复根成对出现)
[书P32题12(3)]
第二节 复数的几何表示 复平面 复球面
y
一、复平面
→ P(x , y ) ← 设 z = x + iy ← → OP
x轴↔实轴, y轴 ↔虚轴 1. 模 、辐角 模：z =r = OP = x2 +y2 ; 则有
x≤ z, y ≤ z,
考核与成绩
闭卷， 闭卷， 平时(作业,到课,练习): 20%, 期末: 80%
第一章 复数与复变函数
第一节 复数及其代数运算 复数的概念 复数的代数运算
一、复数的概念
规定： i = −1, 称 引进虚数单位i，规定：
2
z = x + iy ( x , y ∈ R )
实部和虚部， 虚部，记为 为复数. 为复数. x, y 分别称为 z 的实部和
x = x1 + t ( x2 − x1 ), y = y1 + t ( y2 − y1 ). ( −∞ < t < +∞)
因此,它的复数形式的参数方程为
z = z1 + t ( z2 − z1 ). ( −∞ < t < +∞)
过两点 z1和 z2的直线方程为 的直线方程为
z (t ) = z1 + t (z2 − z1 ). ( − ∞ < t < +∞)
即 Argz = arg z + 2kπ , k ∈ Z 辐角主值 arg z ( z ≠ 0 ) 的确定
y
θ0
P (x,y)
2. 复数的向量运算: 平行四边形法则或三角形法则
y y
z2
z1
O
z1 +z2
O x
z2
z1
x
z1 − z 2 为
线段 z 1 z 2的长度
−z2
z1 −z2
有关系式： 有关系式：
特别地， 特别地，从z1到z2的直线段的参数方程为： 的直线段的参数方程为：
z(t ) = z1 + t (z2 − z1 ). (0 ≤ t ≤ 1)
z1 + z 2 线段 z 1 z 2 的中点为： 的中点为： 2
例3 求下列方程所表示的曲线或图形： 求下列方程所表示的曲线或图形： 1） z − z0 = R, 表示以z0为圆心， 为圆心，以R为半径的圆周； 为半径的圆周； 2） z − 2i = z + 2 表示直线 y= -x
-4 -3
所以, 表示直线x=5/2及其左边的半 平面.
二、复球面
取一个与复平面切于原点的球面, 球面上的一点 S与原点重合. 通过S作垂直于复平面的直线，与球面 交于另一点 , 称 为北极, S为南极. P 对复平面上任一点z, 用一直 线段将点z 与北极 相连, 交球面 上异于 的一点P, 反之, 对于
y 2i -2 O y=-x x
3） Re(i z ) = 3 令z=x+iy, 则
y y=3 O y -1 O y x=5/2 O 2 3 x x x
Re(i z ) = Re(ix + y ) = 3,
所以， wenku.baidu.com以，所求轨迹方程为直线y=3. 4） z + 3 + z + 1 = 4
2 2 ( x + 2) y 为椭圆: + =1 4 3 z−3 ≥1 5） z−2 由原式可得 z −3 ≥ z − 2
复变函数: 自变量为复数的函数 主要内容:
复数与复变函数 复变函数的极限和连续 解析函数( 可导函数 ) 复变函数的积分 复级数 留数
学习方法
复变函数中许多概念、 复变函数中许多概念 、 理论和方法是实 变函数在复数域内的推广和发展， 变函数在复数域内的推广和发展 ， 它们 之间有许多相似之处。但又有不同之 处 ， 在学习中要善于比较、 在学习中要善于比较 、 区别、 区别 、 特别 要注意复数域上特有的那些性质与结果.
z1 − z2 ≤ z1 ± z2 ≤ z1 + z2 ,
3. 复数的三角表示和指数表示 x = r cos θ 其中r = z , θ 为z的一个辐角(一般取 y = r sin θ 辐角主值) 则 z = r(cosθ + i sinθ ) ——复数的三角表示.
= re iθ ——复数的指数表示.
a ∞ a = 0, =∞ (a ≠∞), =∞ (a ≠ 0, 但可为 ∞) ∞ a 0
在本书以后各处, 如无特殊声明, 所谓“平面”, 一 般扔指有限复平面,“点”仍指有限复平面上的点.
第三节 复数的乘幂与开方
乘积与商 幂与根
一、乘积与商
1、乘积 iθ1 设 z1 = r1 (cosθ1 + isinθ1 ) = r1e , z2 = r 2 (cosθ 2 + isinθ 2 ) = r 2 eiθ
2
= ( z1 + z 2 )( z1 + z 2 ) = (z1 + z2 ) ( z1 + z2 )
= z1z1 + z2 z2 + z2 z1 + z1z2
= z1 + z2 + z2 z1 + z1 z2
2 2
因为 z1 z2 + z1z2 = 2Re(z1 z2 ), 所以
z1 + z2 = z1 + z2 + 2Re(z1 z2 ) ≤ z1 + z2 + 2 z1 z2
在 z ( ≠ 0) 的幅角中, 把满足 − π < θ0 ≤ π 的幅角θ 0 定义 y 为z的辐角主值， 的辐角主值，记作 θ 0 = argz
y x x > 0,y ≥ 0或y ≤ 0 ; O x arctan x , 注意： 注意：当z=0时, x = 0, y > 0 ; π/2, 辐角不确定. − π/2， x = 0, y < 0 ; argz = − arg z ? argz = y arctan x + π , x < 0,y > 0 ; (第二象限) arctan y − π , x < 0,y < 0 ; (第三象限) x x < 0,y = 0. π ,
y
P (x,y)
θ
O x x
z = 0 ⇔ OP = 0
2
z ≤ x + y , zz = z = z2
辐角： 在 z ≠ 0 时, 定义 z 的辐角 θ 是以正实轴为始边, 以表示 z 的向量 OP 为终边的角的弧度数, 记作： 记作：
Argz = θ ,
y tan(Argz ) = x
任一非零复数的幅角有无穷多个， 任一非零复数的幅角有无穷多个，且任意两个幅 角之间相差 2kπ.
arg(z1 z2 ) ≠ arg(z1 ) + arg(z2 )
z1 z2 = r1r 2[cos(θ 1 +θ 2 ) + isin(θ 1 +θ 2 )] = r1r 2 e
x S y z
球面上任意一个异于 的 点P, 用一直线段把P与 相连, 则这条直线段的延长线 就交复平面上一点z. 即球面上的点除去北极 外, 与复平面内的点一 一对应.
北极 对应哪一点？ 对应哪一点？ 在复平面上引进一个 “无穷远点”（∞ ）与Ｎ对应， 对应， 对应的复数称为“无穷大” 扩充复平面 C = C ∪ {∞} .
2
则
z1 z2 = r1r 2 (cosθ1 + isinθ1 )(cosθ 2 + isinθ 2 )
= r1r 2 [cos(θ 1 +θ 2 ) + isin(θ 1 +θ 2 )] = r1r 2 ei (θ 1 +θ2 )
于是， z1 z2 = z1 ⋅ z2 , Arg( z1 z2 ) = Arg( z1 ) + Arg( z2 )
2 2 2
2
2
= z1 + z2 +2 z1 z2 = ( z1 + z 2 ) 2
2
2
两边开方即得所要得不等式. 两边开方即得所要得不等式.
4. 复平面上点的轨迹方程 例2 将通过两点 z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2 的直线用复数 形式的方程表示. 解 过两点(x1,y1) 和(x2,y2) 的直线方程为 x − x1 y − y1 = t x 2 − x1 y 2 − y1 则其参数方程为