不等式选讲习题(含答案)

不等式选讲习题

1.（2014全国新课标I 卷）若0,0,a b >>且

11a b

+= （I ）求33a b +的最小值；

（II ）是否存在,,a b 使得236?a b +=并说明理由. 2.（2014全国新课标II 卷）设函数1()(0).f x x x a a a

=++-> （I ）证明：()2;f x ≥

（II ）若(3)5,f <求a 的取值范围.

3.（2013全国新课标I 卷）已知函数()212,() 3.f x x x a g x x =-++=+

（I ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；

（II ）设1,a >-且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣

⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围. 4.（2013全国新课标II 卷）设,,a b c 均为正数，且1,a b c ++=证明：

（I ）1;3

ab bc ac ++≤ （II ）222 1.a b c b c a ++≥. 5.（2012全国新课标卷）已知函数() 2.f x x a x =++-

（I ）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；

（II ）若()4f x x ≤-的解集包含[]1,2，求a 的取值范围.

6.（2011全国新课标卷）设函数

()3f x x a x =-+，其中0a >. （I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；

（II ）若不等式()0f x ≤的解集为{|1},x x ≤-，求a 的值.

7.（2015第一次省统测）已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|2||1||2||1|x x a x x -++≤≤--+都成立.

（I ）求a 的值； （II ）设,0>>n m 求证：.22122

2a n n mn m m +≥+-+

8.设函数.142)(+-=x x f

（I ）画出函数)(x f y =的图象； （II ）若不等式ax x f ≤)(的解集非空，求a 的取值范围.

2≥，当且仅当a b == a b ==时等号成立

（II ）由（I ）知23a b +≥=≥

由于6>，从而不存在,,a b 使得23 6.a b +=………10分

2.（2014全国新课标II 卷）

解：（I ）由0a >，有1111() 2.f x x x a x a x a a a a a a =++-≥++-=+=+≥= 所以，() 2.f x ≥………4分

（II ）1(3)33.f a a

=++- 当03a <≤时，1(3)6f a a =-+，由(3)5,f <得165a a

-+<，解得1 3.2a <≤ 当3a >时，1(3)f a a =+由(3)5,f <得15a a

+<，解得532a << 综上所述，a 的取值范围是a <<………10分 3.（2013全国新课标I 卷）

解：（I ）当2a =-时，

()212 2.f x x x =-+- 由()()f x g x <，得

212230x x x -+---< 设()21223,f x x x x =-+---则

其图象如图所示，由图象可知，当且仅当(0,2)x ∈时，()f x <

所以，不等式()()f x g x <的解集为(0,2).………5分

（II ）当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭

时，()1.f x a =+ 不等式()()f x g x ≤可化为1 3.a x +≤+ 所以，2x a ≥-对1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭

都成立.故42,.23a a a -≥-≤即 所以，a 的取值范围是4(1,].3

-.………10分 4.（2013全国新课标II 卷）. 证明：（I ）22

2a b ab +≥Q 2222,2,2b c bc a c ac +≥+≥

222222222a b b c a c ab bc ac ∴+++++≥++，即222a b c ab bc ac ++≥++

又()1a b c ++=Q ，即 2222221a b c ab bc ac +++++= 1222ab bc ac ab bc ac ∴---≥++，即3()1ab bc ac ++≤

13

ab bc ac ∴++≤………5分 （II ）222

2,2,2a b c b a c b a c b c a

+≥+≥+≥Q 222()2()a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++，即222

1.a b c a b c b c a

++≥++= 222

1.a b c b c a

∴++≥………10分 5.（2012全国新课标卷）

解：（I ）不等式()3f x ≥的解集为(,1][4,)-∞+∞U

（II ）()4f x x ≤-Q

24x a x x ∴++-≤-，即42x x x a ---≥+

当[]1,2x ∈时，由42x x x a ---≥+，得42x x x a -+-≥+，即2x a +≤

解得22a x a --≤≤- 又因为

()4f x x ≤-的解集包含[]1,2 所以，21a --≤且22a -≥，即30.a -≤≤

所以，a 的取值范围是[3,0].-

6.（2011全国新课标卷）

解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为

12x -≥，由此可得 13x x ≤-≥或

故不等式()32f x x ≥+的解集为{|13}x x x ≤-≥或. (Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤此不等式化为不等式组

30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩或30x a x a x >⎧⎨-+≤⎩即2x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩或4

x a a x >⎧⎪⎨≤⎪⎩ 又因为0a >，所以不等式

30x a x -+≤的解集为|2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭ 由题意知12

a -=-，解得 2.a = 7.（2015第一次省统测）

（I ）解：3|21||2||1|=-++≤--+x x x x Θ

对任意实数x ，不等式a x x ≤--+|2||1|都成立.

对任意实数x ，不等式|2||1|x x a -++≤都成立.

（II ）证明：由（I ）知.3=a

又,0>>n m Θ

8.设函数.142)(+-=x x f

（I ）画出函数)(x f y =的图象； （II ）若不等式ax x f ≤)(的解集非空，求a 的取值范围. （Ⅰ）由于25,()23,2

x x f x x x -+<2⎧=⎨-≥⎩则函数()y f x =的图像如图所示: （Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图像可知，当且仅当12

a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点，故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为()1,2[,)2-∞-+∞U .