22.2.3相似三角形的判定定理2、3
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过点作∥交于点,
∴ △ ∽△
∴
=
=
∵ =
′ ′
′ ′
∴
=
′ ′ ′ ′ ′ ′
∵
=
=
′ ′ ′ ′
∴
=
,
=
′
∴ = ′ ′ , = ′ ′
∴ Δ ∼ Δ′ ′ ′
B′
C′
研究思路总结
要证明△ 和△ ′ ′ ′ ，可以先作一个与△ 全等的
三角形，证明它△ ′ ′ ′ 与相似．这里所作的三角形是证明的中
介，它把△ 和△ ′ ′ ′ 联系起来．
′
′
′
应用新知
思考
1. 如图在正方形网格上有ΔA1 1 1
初 中 数 学 公 开 课
相似三角形的判定定理
第二课时
判定定理2、3
复习旧知
预备定理
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延
长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．
定理1
两角分别相等的两个三角形相似.
复习旧知
？
思考
对于△ 和△
′
′
′
，如果 ′ ′
=
′ ′
∠ = ∠′ ,这两个三角形一定相似吗?
∴△ ≌△ ′ ′ ′ (SSS)
∴ △ ∽△
′ ′ ′
′
′
探究新知
定理2
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边
对应成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说:
三边成比例的两个三角形相似.
A
用数学符号表示：
A′B′ B′C′ A′C′
∵
=
=
AB
BC
C
B
A′Fra Baidu bibliotek
对应成比例,并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
简单地说:
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
用数学符号表示：
′ ′ ′ ′
∵
=
, ∠ = ∠′
∴ Δ ∼ Δ′ ′ ′
探究新知
？
思考
类似于判定三角形全等的方法，我们还
能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？
A
三边对应成
三边成比例的两个三角形相似.
初 中 数 学 公 开 课
和Δ2 2 2 ，它们相似吗？
如果相似，求出相似比；如果不
相似，请说明理由。
应用新知
2.图中的两个三角形是否相似?
应用新知
例1:根据下列条件，判断△ 和△ ′ ′ ′ 是否相似，并说明理由．
1 ∠ = 120°, = 3, = 6.
∠’ = 120°, ′ ′ = 7, ′ ′ = 14.
3
6
3
解: (1) ∵
= ,
=
= ,
′′ 7 ′′ 14 7
∴
=
′′ ′′.
又 ∵ ∠ = ∠′,
∴ Δ ∼ Δ′ ′ ′
应用新知
2
解
= 4 , = 6, = 8,
’’ = 12, ’’ = 18, ’’ = 21.
4
1
(2) ∵
=
= ,
′′ 12 3
6
1
=
= ,
′′ 18 3
8
=
.
′′ 21
△ 和△ ′ ′ ′ 的三组对应边的比不相等，它们不相似．
要使两三角形相
似，不改变的
长， ’’的
长应改为多少？
应用新知
如图已知
=
=
，试说明∠BAD=∠CAE.
∴
=
∵ = ′′
∴
=
′′
∵
=
′′ ′′
∴
=
′′
∴ ′′ =
′
∵ ∠ = ∠′
∴△ ≌△ ′ ′ ′ (SAS)
∴ △ ∽△ ′ ′ ′
′
′
探究新知
定理2
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边
′
′
′
，
探究新知
′ ′ ′
已知:如图△ 和△ 中,
′ ′
=
′ ′
，∠ = ∠′ .
求证: △ ∽△ ′ ′ ′ .
证明:在△ 的边(或延长线)上截取 = ′ ′ ,
过点作∥交于点,
则 △ ∽△
证明 ∵
=
=
A
E
∴ Δ ∽ Δ
D
∴ ∠ = ∠
∴ ∠ − ∠ = ∠ − ∠
即∠ = ∠
B
C
应用新知
思考
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边的长分别为4、
5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?
4
5
6
2
①4:2=5:x=6:
②4:=5:2=6:
③4:=5:=6:2
总结提升
相似三角形的判定方法
预备定理
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延
长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．
定理1
两角分别相等的两个三角形相似.
定理2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
定理3
比例
A′
B
C
B′
C′
A′B′ B′C′ A′C′
=
=
AB
BC
是否有△ ∽△ ′ ′ ′ ？
探究新知
′ ′
′
′
′
已知:如图△ 和△ 中,
求证: △ ∽△ ′ ′ ′ .
=
′ ′
=
′ ′
.
证明:在△ 的边(或延长线)上截取 = ′ ′ ,
∴ △ ∽△
∴
=
=
∵ =
′ ′
′ ′
∴
=
′ ′ ′ ′ ′ ′
∵
=
=
′ ′ ′ ′
∴
=
,
=
′
∴ = ′ ′ , = ′ ′
∴ Δ ∼ Δ′ ′ ′
B′
C′
研究思路总结
要证明△ 和△ ′ ′ ′ ，可以先作一个与△ 全等的
三角形，证明它△ ′ ′ ′ 与相似．这里所作的三角形是证明的中
介，它把△ 和△ ′ ′ ′ 联系起来．
′
′
′
应用新知
思考
1. 如图在正方形网格上有ΔA1 1 1
初 中 数 学 公 开 课
相似三角形的判定定理
第二课时
判定定理2、3
复习旧知
预备定理
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延
长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．
定理1
两角分别相等的两个三角形相似.
复习旧知
？
思考
对于△ 和△
′
′
′
，如果 ′ ′
=
′ ′
∠ = ∠′ ,这两个三角形一定相似吗?
∴△ ≌△ ′ ′ ′ (SSS)
∴ △ ∽△
′ ′ ′
′
′
探究新知
定理2
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边
对应成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说:
三边成比例的两个三角形相似.
A
用数学符号表示：
A′B′ B′C′ A′C′
∵
=
=
AB
BC
C
B
A′Fra Baidu bibliotek
对应成比例,并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
简单地说:
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
用数学符号表示：
′ ′ ′ ′
∵
=
, ∠ = ∠′
∴ Δ ∼ Δ′ ′ ′
探究新知
？
思考
类似于判定三角形全等的方法，我们还
能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？
A
三边对应成
三边成比例的两个三角形相似.
初 中 数 学 公 开 课
和Δ2 2 2 ，它们相似吗？
如果相似，求出相似比；如果不
相似，请说明理由。
应用新知
2.图中的两个三角形是否相似?
应用新知
例1:根据下列条件，判断△ 和△ ′ ′ ′ 是否相似，并说明理由．
1 ∠ = 120°, = 3, = 6.
∠’ = 120°, ′ ′ = 7, ′ ′ = 14.
3
6
3
解: (1) ∵
= ,
=
= ,
′′ 7 ′′ 14 7
∴
=
′′ ′′.
又 ∵ ∠ = ∠′,
∴ Δ ∼ Δ′ ′ ′
应用新知
2
解
= 4 , = 6, = 8,
’’ = 12, ’’ = 18, ’’ = 21.
4
1
(2) ∵
=
= ,
′′ 12 3
6
1
=
= ,
′′ 18 3
8
=
.
′′ 21
△ 和△ ′ ′ ′ 的三组对应边的比不相等，它们不相似．
要使两三角形相
似，不改变的
长， ’’的
长应改为多少？
应用新知
如图已知
=
=
，试说明∠BAD=∠CAE.
∴
=
∵ = ′′
∴
=
′′
∵
=
′′ ′′
∴
=
′′
∴ ′′ =
′
∵ ∠ = ∠′
∴△ ≌△ ′ ′ ′ (SAS)
∴ △ ∽△ ′ ′ ′
′
′
探究新知
定理2
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边
′
′
′
，
探究新知
′ ′ ′
已知:如图△ 和△ 中,
′ ′
=
′ ′
，∠ = ∠′ .
求证: △ ∽△ ′ ′ ′ .
证明:在△ 的边(或延长线)上截取 = ′ ′ ,
过点作∥交于点,
则 △ ∽△
证明 ∵
=
=
A
E
∴ Δ ∽ Δ
D
∴ ∠ = ∠
∴ ∠ − ∠ = ∠ − ∠
即∠ = ∠
B
C
应用新知
思考
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边的长分别为4、
5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?
4
5
6
2
①4:2=5:x=6:
②4:=5:2=6:
③4:=5:=6:2
总结提升
相似三角形的判定方法
预备定理
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延
长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．
定理1
两角分别相等的两个三角形相似.
定理2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
定理3
比例
A′
B
C
B′
C′
A′B′ B′C′ A′C′
=
=
AB
BC
是否有△ ∽△ ′ ′ ′ ？
探究新知
′ ′
′
′
′
已知:如图△ 和△ 中,
求证: △ ∽△ ′ ′ ′ .
=
′ ′
=
′ ′
.
证明:在△ 的边(或延长线)上截取 = ′ ′ ,