22.2.3相似三角形的判定定理2、3
沪科版-数学-九年级上册-22.2 相似三角形的判定教案
22.2 相似三角形的判定第1课时相似三角形及相似三角形的判定1┃教学过程设计┃5.怎样判定两个三角形相似？问题2：如图,在△ABC中,D为AB上任意一点,作DE∥BC,交边AC于E,△ADE与△ABC相似吗？思考：若DE平行于BC,那么△ABC与△AED相似吗？提问学生怎样判定两个三角形相似.1.什么样的两个三角形相似？2.怎样说明对应角相等？对应边长度的比相等？可指导学生通过度量,判断对应角是否相等,对应边长度的比是否相等.归纳：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.问题3：观察一下,如图△ABC与△EDF相似吗？为什么？这两个三角形相似,已知条件与边有关吗？教师引导学生思考,并让学生合作讨论.学生讨论,得出：(1)只满足一对角相等不能判定两个三角形相似；(2)如果两个三角形中有两对角对应相等,那么这两个三角形相似.用实验的方法得到结论.相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.探索三角形相似的条件.三、运用新知,解决问题(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？为什么？(2)顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？进一步巩固所学知识.四、课堂小结,提炼观点本节课你学到了什么？(1)相似三角形的有关概念.(2)平行线截三角形相似.(3)相似三角形的判定定理1.加强教学反思,帮助学生系统整理知识.五、布置作业,巩固提升(1)教材78页和79页练习.(2)写出图中的相似三角形.加深认识,深化提高.┃教学小结┃【板书设计】相似三角形及相似三角形的判定1相似三角形：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似判定1：两角分别相等的两个三角形相似.┃教学整体设计┃第2课时相似三角形的判定2、3【教学目标】1.会说出识别两个三角形相似的方法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.2.能依据条件,灵活运用三种识别方法正确判断两个三角形相似.【重点难点】重点：用相似三角形的判定定理判定两个三角形相似.难点：综合应用相似三角形的判定定理解决有关相似的问题.┃教学过程设计┃教学过程设计意图一、复习回顾,导入新课1.现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法：(1)根据定义；(2)两角分别相等的两个三角形相似.2.上节学的“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理是怎样得出的？二、师生互动,探究新知两边成比例且夹角相等的两个三角形相似吗？(1)如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC上的三等分点(即AD＝13AB,AE＝13AC),那么△ADE与△ABC相似吗？你用的是哪一种方法？(2)思考：通过量角或量线段计算之后,可以得出：△ADE∽△ABC.从已知条件看,△ADE与△ABC有一对对应角相等,即∠A＝∠A(是公共角),而另一个条件是AD＝13AB,AE＝13AC,即ADAB＝13,AEAC＝13,因此ADAB＝AEAC.如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似吗？(3)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简单地说：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.教师归纳强调：对应相等的角必须是成比例的边的夹角,如果不是夹角,它们不一定会相似.(4)判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.学生在作业本上证明,教师适时给予指导.三、运用新知,解决问题如图,△ABC中,D、E是AB、AC上的点,AB＝7.8,AD＝3,AC＝6,CE＝2.1,试判断△ADE与△ABC是否相似,小张同学的判断理由是是这样的：解：因为AC＝AE＋CE,而AC＝6,CE＝2.1,故AE＝6－2.1＝3.9.由于ADAB≠AEAC,所以△ADE与△ABC不相似.你同意小张同学的判断吗？请你说说理由.四、课堂小结,提炼观点本节课你有什么收获？五、布置作业,巩固提升教材第82页练习第2、3、4题.┃教学小结┃【板书设计】相似三角形的判定2、3判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.┃教学整体设计┃第3课时直角三角形的相似【教学目标】1.使学生了解直角三角形相似定理的证2.通过了解定理的证明方法,培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力.【重点难点】┃教学过程设计┃相似.三、运用新知,解决问题(1)在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于D,若BD＝3.6 cm,BC∶AC＝3∶4,则BC长为()A.4 cmB.5.6 cmC.6 cmD.7.2 cm(2)如图,已知：△ABC内接正方形DGFE,AH⊥BC于H,AH＝5 cm,AD∶BD＝2∶3.求BC的长.通过练习进一步加深对定理的理解,同时培养了学生的应用意识和能力.四、课堂小结,提炼观点(1)通过本节课的学习,你有哪些收获？还有什么疑惑？说给老师、同学听听.(2)教师与同学聆听部分同学的收获.加强教学反思,帮助学生养成系统整理知识的习惯.五、布置作业,巩固提升教材第84页练习1、2、3、4题.加深认识,深化提高.┃教学小结┃【板书设计】直角三角形的相似定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.。
22.2.3相似三角形的判定定理3
A'B',B'C',C'A',所得△A'B'C'与
△ABC 是否相似?请证明你的结论.
分析:△A'B'C'和△ABC 中没有相等的角,也难以证明对应角相等,所以 只能用三边对应成比例来证明三角形相似.
3
课前预习
课堂合作 课堂合作
当堂检测
解:△A'B'C'∽△ABC. 由已知
������������' ������������
=
6 18
= ,
1 3
=
������������ .∴ △ABC∽△DEF. ������������
(5)∵ ∠A=80° ,∠B=60° , ∴ ∠C=180° -∠A-∠B=40° , 即∠C=∠F. 又∠A=∠D,∴ △ABC∽△DEF.
9
课前预习 1 2
课堂合作 3 4
当堂检测
1.有一个三角形的三边分别为 a=3,b=4,c=5,另一个三角形的三边分别为 d=8,e=6,f=10,则这两个三角形( A.都是直角三角形,但不相似 B.都是直角三角形,也相似 C.都是锐角三角形,也相似 D.都是钝角三角形,也相似 )
①∠B=∠ACD; ②∠ADC=∠ACB; ③
������������ ������������ ������������ ; ������������
=
C
④AC2=AD· AB. 其中单独能够判定△ABC∽△ACD 的个数为( A.1 B.2 C.3
) D.4
关闭
答案
12
课前预习 1 2
课堂合作 3 4
2
课前预习
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》(第3课时)教学设计
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》（第3课时）教学设计一. 教材分析《相似三角形的判定》是沪科版数学九年级上册第22.2节的内容，本节课主要学习了相似三角形的判定方法。
教材通过引入生活中的实例，引导学生探究相似三角形的性质，从而总结出相似三角形的判定方法。
教材内容由浅入深，循序渐进，旨在让学生在理解的基础上，掌握相似三角形的判定方法，并能应用于实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质，平行线的性质等知识，对图形的变换有一定的了解。
但是，对于相似三角形的判定，学生可能还存在着一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要结合学生的实际情况，通过具体的实例，引导学生探究相似三角形的性质，从而得出判定方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的判定方法，能正确判断两个三角形是否相似。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、归纳等方法，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生感受到数学与生活的联系。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的判定方法。
2.难点：如何判断两个三角形是否相似。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：教师提问，引导学生积极思考，自主探究相似三角形的性质。
3.合作学习法：分组讨论，让学生在合作中交流，共同解决问题。
4.巩固练习法：通过适量练习，使学生掌握相似三角形的判定方法。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相关实例和教学素材。
2.学生准备：预习教材内容，了解相似三角形的定义，准备参与课堂讨论。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实例，如相似的图形、图片等，引导学生观察，提问：“你们能找出这些图形之间的相似之处吗？”让学生初步感受相似的概念。
2.呈现（10分钟）教师展示两个三角形，提问：“如何判断这两个三角形是否相似呢？”引导学生思考，然后引导学生观察两个三角形的对应边和对应角，让学生尝试找出它们之间的相似之处。
相似三角形的定义和判定方法
相似三角形的定义和判定方法相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。
下面将依次介绍相似三角形的定义和判定方法。
1. 相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，且对应的边长成比例。
具体而言，对于三角形ABC和DEF来说，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则称三角形ABC与三角形DEF相似。
2. 角-角-角（AAA）相似定理角-角-角（AAA）相似定理是指如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
3. 边-边-边（SSS）相似定理边-边-边（SSS）相似定理是指如果两个三角形的对应边长成比例，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
4. 边-角-边（SAS）相似定理边-角-边（SAS）相似定理是指如果两个三角形的两条边分别成比例，且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
总结：相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。
通过这些判定方法，我们可以确定两个三角形是否相似，并且进一步分析它们的性质和关系。
相似三角形在几何学中具有重要的应用，可以用于解决各种问题，如比例求解、测距等。
以上是关于相似三角形的定义和判定方法的介绍。
相似三角形的几何性质和应用领域涉及广泛，深入理解和掌握相似三角形的定义和判定方法可以为几何学的研究和实际问题的解决提供有力的工具和方法。
相似三角形判断条件
相似三角形判断条件相似三角形是指两个三角形，他们彼此的所有内角和外角都相等。
相似三角形的几何原理是三角形具有相似性的基本原理，它指的是两个三角形所有内角和外角都相等。
在几何原理中，最重要的一点是如何证明两个三角形是相似的。
下面我们就来详细看看相似三角形的判断条件。
首先，相似三角形的判断条件是：（1）两个三角形的外角是相等的。
（2）两个三角形的内角是相等的。
（3）两个三角形的边长比相等。
假设三角形ABC，DEF两者的所有角和边长都是已知的，那么在证明他们是否为相似三角形的时候，可以用到几何定理，如半周长定理：两个三角形的半周长比等于它们的定点外角的正弦值的乘积；三角形外角公式：所有三角形的外角之和是180°；三角形内角公式：任何三角形的内角之和是180°；三角形边长比公式：任意一条边的长度比等于两两比的其他两边的比值的乘积；以及内部三角形内外角公式：内部三角形的外角是内角的两倍。
由以上几何定理可以推出，相似三角形存在条件即：（1）两个三角形的外角都相等。
（2）两个三角形的内角都相等。
（3）两个三角形的边长比都相等。
另外，如果有一个相似三角形，它的定点坐标（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），可以用三个定点距离来证明它的相似性，即用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方；用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比。
总之，判断两个三角形是否为相似三角形的原则是：它们的所有外角和内角都相等，它们的边比都相等，或者可以用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方，用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比来证明它们的相似性。
综上所述，相似三角形的判断条件就包括了三角形的外角、内角和边比都相等，以及可以用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方，用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比来证明它们的相似性。
相似三角形是几何原理中的基本概念，在几何中有很多应用。
例如，它可以用于解决以下问题：（1）最小外接圆半径：给定三角形ABC，找出最小外接圆半径；（2）最大内接圆半径：给定三角形ABC，求出最大内接圆半径；（3）多边形面积计算：给定由三角形ABC的共同点组成的多边形，计算多边形的面积；（4）共轭多边形：给定三角形ABC，求出其共轭多边形；（5）三角形的中心：给定三角形ABC，找出它的中心点；（6）三角形的重心：给定三角形ABC，找出它的重心；以及（7）三角形的切线：给定三角形ABC，求出三条切线。
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》(第3课时)教学设计
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》（第3课时）教学设计一. 教材分析《相似三角形的判定》是沪科版数学九年级上册第22章第2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的概念和性质的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，使学生掌握相似三角形的判定方法，能运用相似三角形的性质解决一些实际问题，为后续学习几何中的其他内容打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对相似三角形的概念和性质有一定的了解。
但学生在学习过程中，对相似三角形的判定方法的理解和运用还有待提高。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，自主探索相似三角形的判定方法，提高学生的几何思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的判定方法，能运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、操作、交流等活动，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的判定方法。
2.难点：相似三角形的判定方法的灵活运用。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，自主探索相似三角形的判定方法。
2.案例分析法：教师通过典型例题，引导学生运用相似三角形的性质解决实际问题。
3.小组合作学习：学生分组讨论，培养团队协作能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师准备相关教学课件、例题、练习题等教学资源。
2.学生准备：学生提前预习相似三角形的判定方法，准备课堂上进行交流和讨论。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习相似三角形的概念和性质，引导学生进入本节课的学习。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示相似三角形的判定方法，引导学生观察、思考，引导学生发现判定相似三角形的规律。
3.操练（10分钟）教师提出一些判断相似三角形的问题，学生独立解答，然后分组讨论，共同得出结论。
(精心整理)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形判定定理
假设待证明的结论不成立，然后推导 出与已知条件或明显成立的事实相矛 盾的结论，从而证明原结论成立。
多种方法综合运用
综合法与分析法相结合
在证明过程中，既可以从已知条件出发进行正向推导，也 可以从待证明的结论出发进行逆向推导，将两种方法相结 合，寻找最佳证明路径。
多种性质综合运用
在证明过程中，需要综合运用相似三角形的多种性质，如 对应角相等、对应边成比例、面积比等于相似比的平方等 ，以推导出待证明的结论。
等性质，推导出待证明的结论。
构造辅助线
02
在证明过程中，通过构造辅助线，将复杂图形转化为简单图形
，从而更容易找到证明的思路。
利用全等三角形
03
在某些情况下，可以通过证明两个三角形全等，进而证明它们
相似。
分析法证明
逆推法
从待证明的结论出发，逆向推导，逐 步寻找使结论成立的条件，直到找到 已知条件或明显成立的事实为止。
相似三角形与全等三角形关系
01
全等三角形：两个三角形如果它们的三边及三角都分别相等，则称这 两个三角形全等。
02
关系
03
全等三角形一定是相似三角形，因为全等意味着对应角和对应边都相 等，自然满足相似的条件。
04
但相似三角形不一定是全等三角形，因为相似只要求对应角相等和对 应边成比例，并不要求对应边长度完全相等。
02
相似三角形判定定理介绍
预备定理
01
平行于三角形一边的直线和其他 两边（或两边的延长线）相交， 所构成的三角形与原三角形相似 。
02
如果一个三角形的两个角与另一 个三角形的两个角对应相等，那 么这两个三角形相似。
判定定理一：两角对应相等
如果一个三角形的两个角与另一个三 角形的两个角对应相等，则这两个三 角形相似。
相似三角形及判定
相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.④相似三角形有传递性：若AABC s AABC，AABC s AABC，则AABC AABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、相似三角形的判定定理★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1、(1)如图，B,C,D三点共线，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE.求证：A ABC s A CDE.D(2)如图B,C,D三点共线，且ZB=ZD=ZACE,求证：AABC s ACDE.变式:1、如图，A ABC中,Z ACB=60。
，点P是A ABC内一点，使得Z APB=Z BPC=Z CPA,求证：AAPC s ACPB.2、已知A PQR是等边三角形，ZAPB=120。
，指出图中的相似三角形并证明.例2、(1)已知：如图，A ABC的高AD,BE相交于点F,求证：AF-FD=BF-FE.⑵如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,CD是RtAABC的高.求证：CD2=AD-BD；BC2=AB-BD；AC2二AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°，CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BF-CF.★判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知AD-AB二AE-AC.贝y：①AADE s AACB；②AAEB s AADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.①求证：AAEF s ACEA；②求ZAFB+ZACB的值.(3)如图，A ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.①当BD、BC和CE满足什么条件时，A ADB s A EAC?②当A ADB s A EAC时，求Z DAE的度数.A变式:1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.OA-OC二OB-OD,则①②③④哪些对应相似，请写出.2、如图，已知Z BAE=Z CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.3、如图，在A ABC和A ADB中，Z ABC=Z ADB=90。
沪科版数学九年级（上册）22.2相似三角形的判定-教案（1）
相似三角形的判定【教学目标】1.理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角：2.掌握相似三角形判定定理的“预备定理”；3.能灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。
【教学重点】灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。
【教学难点】三角形相似的判定定理的探索与证明。
【课时安排】5课时。
【教学过程】【第一课时】三角形相似判定定理的“预备定理”。
一、复习旧知：前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念，下面请同学们思考以下几个问题：（一）辨析：1.四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？2.四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？3.什么样的两个多边形是相似多边形？4.什么是相似比（相似系数）？（二）简答：1.正方形和长方形或长宽之比不相等的两个矩形。
2.正方形和不是正方形的菱形或两组内角均不相等的菱形。
3.两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。
4.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
二、概念讲解：概念：如图1,AAB（2与八AB。
相似。
记作“△ABCs/XABt，”,读作“Z\ABC相似于左ABC，”。
注意：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角。
, 、ZA=ZA\ZB=ZB；ZC=ZC；△ABCs/XABC，V〉AB BC CA明确：对于，根据相似三角形的定义，应有……（引导学生明白定义的双重性。
）问题：将左ABC与左ABC，相似比记为ki，△ABC与8ABC相似比记为k?,那么幻与灯有什么关系？ki=k2能成立吗？说明：三角形全等是三角形相似的特例。
（一）类比猜想：1.两个三角形全等的判定有哪几种方法？2.全等是不是需要所有的对应边和对应角都相等？3.猜想：两个三角形相似是不是也需要所有的对应边？和对应角都相等？有没有简便的方法？（二）简析：1.两个三角形全等的判定方法有：SAS,ASA、SSS,AAS,直角三角形还有HL。
22.2.3相似三角形的判定定理2
B
CLeabharlann 2.如图，D在△ABC的AB边上AD=1, BD=2,AC= 3 .问：△ACD与△ABC相 似吗？为什么？ A
D C
B
变式：在△ABC中，CD平分∠ACB,
AC=1，BC=2， 若△ACD∽△DCB，求CD
3.如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2， 求证：△ABC∽△ADE． A
1 D 2 E C
F
B
变式1： 已知∠D=∠C，∠1=∠2，
求证：△ABC∽△ADE． 变式2： 已知∠ADB=∠AEC， ∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
对应边的夹角吗？
两边对应成比例且一边的对角对应 相等的两三角形不一定相似 A
4
50°
3.2 C
3.2 G E
2
50°
D 1.6 F
B
例1 证明图中△AEB和△FEC相似．
，
1.如图，在△ABC中，点D在AB上，要 使△ADC∽△ACB，请添加一个条件。
A D
ADC ACB或ACD ABC AD AC 或 AC AB
E
如果一个三 角形的两条边与 另一个三角形的 两条边对应成比 例，并且夹角相 等，那么这两个 三角形相似吗？
如果一个三角形的两条边与另一个 定理2：
三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似。
A E F C D
B
(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)
思考：上述判定方法中的“角”一定只能是两
22.2.3相似三角形的判定
——定理2
问题 & 探索 两个三角形中，从边角关系看，有 哪几种情况呢？
猜想一：一个角对应相等 角的关系 猜想二：两个角对应相等 猜想三：三个角对应相等
相似三角形的判定方法总结
相似三角形的判定方法总结相似三角形是指具有相同形状但不一定相等的三角形，它们对应角相等，对应边成比例。
相似三角形的判定方法是数学中的重要知识点，下面将对相似三角形的判定方法进行总结。
一、AA判定法AA判定法是指当两个三角形的两个对应角分别相等时，这两个三角形相似。
具体来说，如果两个三角形有两对对应角相等，则这两个三角形相似。
这是由于相等的对应角可以确定相似三角形的对应边成比例。
二、SAS判定法SAS判定法是指当两个三角形的一个对应边成比例，同时夹在这两个边之间的两个对应角分别相等时，这两个三角形相似。
具体说来，如果两个三角形有一个对应边成比例，且夹在这两个边之间的两个对应角分别相等，则这两个三角形相似。
三、SSS判定法SSS判定法是指当两个三角形的三对对应边成比例时，这两个三角形相似。
具体说来，如果两个三角形的三对对应边长度成比例，则这两个三角形相似。
四、辅助线法辅助线法是指通过引入辅助线，使得两个三角形之间存在相等的对应角或对应边长度成比例的关系来判定相似。
常用的辅助线有角平分线、中位线、高、垂线等。
五、等角三角形判定法等角三角形是指拥有相同大小的三个角的三角形，对应的边长成比例。
如果两个三角形中有一个角相等，且另两个角分别相等，则这两个三角形相似。
六、勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理也可以用来判定两个三角形是否相似。
勾股定理指出若两个三角形的两条直角边比例相等，则这两个三角形相似；逆定理则指出若两个三角形相似，则它们的两条直角边比例相等。
七、相似三角形的性质相似三角形具有一些特殊的性质，包括对应角相等、对应边成比例、周长比例相等、面积比例相等等。
通过以上总结，我们可以看到不同的判定方法适用于不同的情况。
在解决问题时，我们可以根据已知条件选择合适的判定方法，从而得出结论。
熟练掌握相似三角形的判定方法，对于解决相关的几何问题具有重要的指导意义。
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》教学设计1
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》教学设计1一. 教材分析《相似三角形的判定》是沪科版数学九年级上册第22.2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的概念和性质的基础上进行的，主要让学生学会运用AA相似定理、SAS相似定理、SSS相似定理和直角三角形的相似判定来判定两个三角形是否相似。
通过本节的学习，使学生能灵活运用相似三角形的判定定理解决一些实际问题，提高他们的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对相似三角形的概念和性质有一定的了解。
但是，学生在运用相似三角形的判定定理解决实际问题时，往往会因为对定理的理解不够深入而出现错误。
因此，在教学过程中，教师需要帮助学生深化对相似三角形判定定理的理解，提高他们的解题能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握AA相似定理、SAS相似定理、SSS相似定理和直角三角形的相似判定，能运用这些定理判定两个三角形是否相似。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、证明等过程，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极向上的学习态度。
四. 教学重难点1.教学重点：使学生掌握AA相似定理、SAS相似定理、SSS相似定理和直角三角形的相似判定。
2.教学难点：如何引导学生理解和运用直角三角形的相似判定。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入相似三角形的判定定理，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：引导学生观察、操作、猜想、证明相似三角形的判定定理，培养学生的自主学习能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，提高学生的沟通能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作包含图片、动画、例题的教学课件，帮助学生直观地理解相似三角形的判定定理。
2.教学用具：准备三角板、直尺、圆规等教学用具，方便学生进行操作和实践。
3.练习题：挑选一些有关相似三角形判定的练习题，用于巩固所学知识。
相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定讲义
相似三角形的判定一、知识点讲解判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定定理2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应例1 （11A 、1对2A C 例2 1A 、∠2∽△MCP 例3 如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ） 变式练习：1、在△ABC和△A＇B＇C＇中，AB=3cm，BC=6cm，CA=5cm，A＇B＇=3cm，B＇C＇=2.5cm，A＇C＇=1.5cm，则下列说法中，错误的是（）A、△ABC与△A＇B＇C＇相似B、AB与A＇B＇是对应边C、相似比为2：1D、AB与A＇C＇是对应边2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A、B、C、D、E、F都是格点，试证明：△ABC∽△DEF。
（二）判定定理的运用例4 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接EC，过点E作直线EF交AB于点F。
当EF 与CE满足什么条件时，△AEF与△DCE相似？并说明理由。
变式练习：1、如图，在△ABC中，∠ADE=∠C，则下列等式成立的是（）ADAB23。
求证：FD2=FG1是（A、1个2点E，则3BCD；②AB：）A、1个4A、∠5A、△6A、∠B、∠C、∠C=∠E=30°，AB=8cm，BC=4cm；DF=6cm，FE=3cmD、∠A=∠A＇，且AB·A＇C＇=AC·A＇B＇7、如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1,BD=4，那么AB= 。
8、如图，在□ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形。
第7题第8题第9题第10题第11题9、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
判断两个三角形是否相似是几何学中的重要问题，本文将介绍相似三角形的判定方法。
一、AA判定法AA判定法即如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF，满足∠A = ∠D，∠B = ∠E，那么这两个三角形相似。
二、SAS判定法SAS判定法是指如果两个三角形的一对对应边的比例相等，并且夹角的大小也相等，则这两个三角形相似。
具体来说，如果三角形ABC 和三角形DEF，满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，且∠A = ∠D，那么这两个三角形相似。
三、SSS判定法SSS判定法是指如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。
具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF，满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形相似。
值得注意的是，如果一个三角形的三个角的度数和另一个三角形的三个角的度数完全相等，但边的长度不同，则这个三角形并不一定是相似的。
四、比例法判定相似三角形除了上述的基本判定法之外，我们还可以利用比例法来判定两个三角形是否相似。
具体来说，我们需要比较两个三角形的相邻边的比例，如果这些比例相等，则两个三角形相似。
五、直角三角形的相似在判定直角三角形的相似性时，我们可以通过观察两个直角三角形的斜边和直角边的比例来判断它们是否相似。
如果两个直角三角形的斜边比例相等，并且直角边比例也相等，则这两个直角三角形相似。
总结：判定相似三角形的方法包括AA判定法、SAS判定法、SSS判定法、比例法以及直角三角形的相似性判定。
根据所给的条件，我们可以选择合适的判定方法来判断两个三角形是否相似。
相似三角形具有相同的形状，但尺寸不同，这种性质在实际应用中十分重要，可以用于解决计算距离、测量高度等问题。
相似三角形的判定方法可以帮助我们在解决几何问题时快速确定是否存在相似三角形，从而简化计算过程。
相似三角形知识点总结
相似三角形知识点总结所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。
那么，接下来就由小编为大家带来相似三角形知识点总结，希望能够帮助大家!《相似三角形》知识点归纳三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的判定方法有：平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
*影定理相似三角形的*质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点总结一、平行线分线段成比例定理及其推论：1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。
二、相似预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
三、相似三角形：1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
2.*质：(1)相似三角形的对应角相等;(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法相似三角形是指具有相同形状但是尺寸不同的三角形。
在几何学中，判定两个三角形是否相似是一个重要的问题。
本文将介绍相似三角形的判定方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、AAA判定法AAA（全等的英文首字母）判定法是判定相似三角形常用的方法之一。
根据AAA原理，如果两个三角形的对应角度分别相等，则可以判定它们为相似三角形。
换句话说，如果两个三角形的三个角均对应相等，则这两个三角形相似。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
二、AA判定法AA（对应角的英文首字母）判定法也是常用的判定方法之一。
根据AA原理，如果两个三角形的两个对应角度分别相等，则可以判定它们为相似三角形。
换句话说，如果两个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
三、SAS判定法SAS（边角边的英文缩写）判定法也是常用的判定方法之一。
根据SAS原理，如果两个三角形的一个角度相等，且两边成比例，则可以判定它们为相似三角形。
换句话说，如果两个三角形的一个角相等，且两边的比例相等，则这两个三角形相似。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若∠A＝∠D，且AB/DE＝AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
四、SSS判定法SSS（边边边的英文缩写）判定法是判定相似三角形常用的方法之一。
根据SSS原理，如果两个三角形的三边成比例，则可以判定它们为相似三角形。
换句话说，如果两个三角形的三边比例相等，则这两个三角形相似。
例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若AB/DE＝BC/EF＝AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
五、比例法判定法比例法判定法是判定相似三角形的常用方法之一。
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三边成比例的两个三角形相似.
初 中 数 学 公 开 课
和Δ2 2 2 ，它们相似吗？
如果相似，求出相似比；如果不
相似，请说明理由。
应用新知
2.图中的两个三角形是否相似?
应用新知
例1:根据下列条件，判断△ 和△ ′ ′ ′ 是否相似，并说明理由．
1 ∠ = 120°, = 3, = 6.
∠’ = 120°, ′ ′ = 7, ′ ′ = 14.
′
′
′
，
探究新知
′ ′ ′
已知:如图△ 和△ 中,
′ ′
=
′ ′
，∠ = ∠′ .
求证: △ ∽△ ′ ′ ′ .
证明:在△ 的边(或延长线)上截取 = ′ ′ ,
过点作∥交于点,
则 △ ∽△
4
1
(2) ∵
=
= ,
ห้องสมุดไป่ตู้′′ 12 3
6
1
=
= ,
′′ 18 3
8
=
.
′′ 21
△ 和△ ′ ′ ′ 的三组对应边的比不相等，它们不相似．
要使两三角形相
似，不改变的
长， ’’的
长应改为多少？
应用新知
如图已知
=
=
，试说明∠BAD=∠CAE.
∴ Δ ∼ Δ′ ′ ′
B′
C′
研究思路总结
要证明△ 和△ ′ ′ ′ ，可以先作一个与△ 全等的
三角形，证明它△ ′ ′ ′ 与相似．这里所作的三角形是证明的中
介，它把△ 和△ ′ ′ ′ 联系起来．
′
′
′
应用新知
思考
1. 如图在正方形网格上有ΔA1 1 1
过点作∥交于点,
∴ △ ∽△
∴
=
=
∵ =
′ ′
′ ′
∴
=
′ ′ ′ ′ ′ ′
∵
=
=
′ ′ ′ ′
∴
=
,
=
′
∴ = ′ ′ , = ′ ′
初 中 数 学 公 开 课
相似三角形的判定定理
第二课时
判定定理2、3
复习旧知
预备定理
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延
长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．
定理1
两角分别相等的两个三角形相似.
复习旧知
？
思考
对于△ 和△
′
′
′
，如果 ′ ′
=
′ ′
∠ = ∠′ ,这两个三角形一定相似吗?
∴
=
∵ = ′′
∴
=
′′
∵
=
′′ ′′
∴
=
′′
∴ ′′ =
′
∵ ∠ = ∠′
∴△ ≌△ ′ ′ ′ (SAS)
∴ △ ∽△ ′ ′ ′
′
′
探究新知
定理2
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边
4
5
6
2
①4:2=5:x=6:
②4:=5:2=6:
③4:=5:=6:2
总结提升
相似三角形的判定方法
预备定理
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延
长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．
定理1
两角分别相等的两个三角形相似.
定理2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
定理3
对应成比例,并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
简单地说:
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
用数学符号表示：
′ ′ ′ ′
∵
=
, ∠ = ∠′
∴ Δ ∼ Δ′ ′ ′
探究新知
？
思考
类似于判定三角形全等的方法，我们还
能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？
A
三边对应成
∴△ ≌△ ′ ′ ′ (SSS)
∴ △ ∽△
′ ′ ′
′
′
探究新知
定理2
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边
对应成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说:
三边成比例的两个三角形相似.
A
用数学符号表示：
A′B′ B′C′ A′C′
∵
=
=
AB
BC
C
B
A′
证明 ∵
=
=
A
E
∴ Δ ∽ Δ
D
∴ ∠ = ∠
∴ ∠ − ∠ = ∠ − ∠
即∠ = ∠
B
C
应用新知
思考
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边的长分别为4、
5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?
比例
A′
B
C
B′
C′
A′B′ B′C′ A′C′
=
=
AB
BC
是否有△ ∽△ ′ ′ ′ ？
探究新知
′ ′
′
′
′
已知:如图△ 和△ 中,
求证: △ ∽△ ′ ′ ′ .
=
′ ′
=
′ ′
.
证明:在△ 的边(或延长线)上截取 = ′ ′ ,
3
6
3
解: (1) ∵
= ,
=
= ,
′′ 7 ′′ 14 7
∴
=
′′ ′′.
又 ∵ ∠ = ∠′,
∴ Δ ∼ Δ′ ′ ′
应用新知
2
解
= 4 , = 6, = 8,
’’ = 12, ’’ = 18, ’’ = 21.