2011年高考《理数》真题(全国卷)

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2011年全国高考试题

课标理数 15.C7[2011·天津卷] 已知函数 f(x)＝tan (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)设α∈ 0， π α 4 ，若 f 2 ＝2cos2α，求α的大小．
2x＋
π 4.
π π π kπ 课标理数 15.C7[2011· 天津卷] 【解答】 (1)由 2x＋ ≠ ＋kπ，k∈Z，得 x≠ ＋，k∈Z. 4 2 8 2 π x≠ kπ x∈R 8 ＋，k∈Z 所以 f(x)的定义域为 . 2 π f(x)的最小正周期为 . 2 a＋π α π sin 4 α＋ (2)由 f 2 ＝2cos2α，得 tan 4 ＝2cos2α， π ＝2(cos2 α－sin 2α) α＋ cos 4 sinα＋cosα 整理得＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)． cosα－sinα π 0， 1 1 因为α∈ 4 ，所以 sinα＋cosα≠0，因此(cosα－sinα)2＝，即 sin2α＝ . 2 2 π π 0， 0，
3π (2)由(1)知，B＝－A，于是 4 π π B＋ A＋ 3sinA－cos 4 ＝ 3sinA－cos( π－A)＝ 3sinA＋cosA＝2sin 6 . π A＋ 3π π π 11π π π π 因为 0<A< ，所以 <A＋ < .从而当 A＋＝，即 A＝时，2sin 6 取最大值 2. 4 6 6 12 6 2 3 π B＋ π 5π 综上所述， 3sinA－cos 4 的最大值为 2，此时 A＝，B＝ . 3 12
大纲理数 17.C9[2011·四川卷] 已知函数 f(x)＝sin (1)求 f(x)的最小正周期和最小值；
x＋
7π 3π x－ 4 ＋cos 4 ，x∈R.

2011年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）复数212ii +=- （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）||2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ） 720 （C ） 1440 （D ） 5040 （4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ） 12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ） 45-（B ）35- （C ） 35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为（A （B （C ） 2 （D ） 3（8）51()(2)ax x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）—40 （B ）—20 （C ）20 （D ）40（9）曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ） 163（D ） 6 （10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题1:||1p +>a b ⇔2[0,)3πθ∈ 2:p ||+a b 1>⇔θ∈2(,]3ππ 3:||1p ->a b ⇔θ∈[0,)3π 4:||1p ->a b ⇔θ∈(,]3ππ其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p （11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则（A ）()y f x =在(0,)2π单调递减（B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减（C ）()y f x =在(0,)2π单调递增（D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增（12）函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-剟的图象所有交点的橫坐标之和等于（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为_________．（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB =6，BC =锥O ABCD -的体积为_____________．（16）ABC ∆中，60,B AC =︒=，则AB +2BC 的最大值为_________．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==．（I ）求数列{}n a 的通项公式．（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1{}nb 的前n 项和．（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．（21）（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=．（I ）求,a b 的值；（II ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：,,,C B D E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求,,,C B D E 所在圆的半径．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB .（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >．（I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集．（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学答案（1）C 【解析】212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C ．（2）B 【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．（3）B 【解析】框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720，选B ．（4）A 【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为P =3193=，选A ．（5）B 【解析】由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B ．（6）D 【解析】条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。

2011年高考试题和答案

（一）真题篇
2011高考语文真题（全国卷）2011云南省高考真题：/2021722.html
2011高考理科数学真题（全国卷）2011云南省高考理科数学真题：/2021804.html
2011高考文科数学真题（全国卷）2011云南省高考文科数学真题：/2021817.html
2011高考理科综合真题（全国卷）2011云南省高考理科综合真题：/2022104.html
2011高考文科综合真题（全国卷）2011云南省高考文科综合真题：/2022111.html
2011高考英语真题（全国卷）2011云南省高考英语真题：/2022255.html
2011高考理科综合真题（新课标卷）：/2022153.html
2011高考文科综合真题（新课标卷）：/2022124.html
（二）答案篇
2011高考语文真题答案（全国卷）2011云南省高考真题答案：/2021792.html
2011高考理科数学真题答案（全国卷）2011云南省高考理科数学真题答案：/2022062.html 2011高考文科数学真题答案（全国卷）2011云南省高考文科数学真题答案：/2022498.html 2011高考文科综合真题答案（全国卷）2011云南省高考文科综合真题答案：/2022378.html 2011高考理科综合真题答案（全国卷）2011云南省高考理科综合真题答案：/2022380.html 2011高考文科综合真题答案（新课标卷）：/201106/135920.shtml
2011高考理科综合真题答案（新课标卷）：/201106/135951.shtml。

《2011年高考真题解析版—数学文(全国卷)解析版1》

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M N ）I ð （A ）{}12，（B ）{}23，（C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I (2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥. (3)设向量,a b 满足||||1a b ==,12a b ⋅=-r r ,则2a b +=（A（B（C（D【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5. (5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞（B ）1a b -＞（C ）22a b ＞（D ）33a b ＞【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂足,若2,1AB AC BD ===，则CD =（A ） 2 （B （C （D ）1 【答案】C【解析】因为l αβ--是直二面角, AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,AC BC ∴⊥BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5(2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值.【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =(A)4 (B)(C)8 (D)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离OM =,在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=,∴12ON OM ==,故圆N 的半径r ==,∴圆N 的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

(完整版)历年高考数学真题(全国卷整理版)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．62．(2013大纲全国，理2)3＝( )．A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x-(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0)6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝43-，则{a n }的前10项和等于( )． A ．－6(1－3－10) B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )．A ．56B ．84C ．112D ．1688．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：22=143x y +的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是( )． A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3] D ．[3，＋∞)10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．A ．23 B．3 C．3 D ．1311．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．A ．12 B．2 CD ．212．(2013大纲全国，理12)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )．A ．y ＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f(x)的图像关于直线π=2x 对称C ．f(x)的最大值为2 D ．f(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝13-，则cot α＝__________. 14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D .若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是__________．16．(2013大纲全国，理16)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝22a ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac . (1)求B ； (2)若sin A sin C＝14，求C .19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：2222=1x ya b(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++，证明：a2n－a n＋14n＞ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 2．答案：A解析：323=13=8-.故选A.3．答案：B解析：由(m ＋n )⊥(m －n )⇒|m |2－|n |2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B. 4．答案：B解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 5．答案：A解析：由题意知11+x＝2y⇒x ＝121y -(y ＞0)，因此f －1(x )＝121x -(x ＞0)．故选A. 6．答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43-，∴a 1＝4. ∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C.7．答案：D解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为28C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D. 8．答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +， 2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---.故12314PA PA k k ＝－. ∵2PA k ∈[－2，－1]， ∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.9．答案：D解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立．∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10．答案：A解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BDCH C O BD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ，∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2，则=2AC OC，1C O =由等面积法，得C 1O ·CH ＝OC ·CC 12CH ， ∴2=3CH . ∴sin ∠HDC ＝223==13HC DC .故选A.11．答案：D解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2242k k (+)，x 1x 2＝4.①由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∵0MA MB ⋅=，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D. 12．答案：C解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得=t ±. 当t ＝±1时，函数值为0；当t =；当t =.∴g (t )max ，即f (x )的最大值为9.故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：解析：由题意知cos α＝3==-.故cot α＝cos sin αα14．答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种)．15．答案：1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示． ∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12BC k =，k AC ＝4，∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点，则12≤a ≤4. 16．答案：16π解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°.又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE ＝2R .又OK ⊥EK ，∴32＝OE ·sin 60°＝22R ⋅∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝22a 得3a 2＝22a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得22S ＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C＝11+2242⨯=，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°. 19．(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .连结OA ，OB ，OD ，OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ，故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD .取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ，则FG ∥CD ，FG ⊥PD .连结AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD .所以∠AFG 为二面角A －PD －C 的平面角．连结AG ，EG ，则EG ∥PB .又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE .设AB ＝2，则AE ＝，EG ＝12PB ＝1，故AG 3.在△AFG 中，FG ＝12CD =，AF =AG ＝3，所以cos ∠AFG ＝22223FG AF AG FG AF +-=-⨯⨯因此二面角A －PD －C 的大小为π-解法二：由(1)知，OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设|AB |＝2，则A (，0,0)，D (0，，0)，C (，0)，P (0,0)．PC ＝(，)，PD ＝(0，，)．AP ＝，0)，AD ＝，，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·PC ＝(x ，y ，z )·(，)＝0，n 1·PD ＝(x ，y ，z )·(0，，)＝0，可得2x －y －z ＝0，y ＋z ＝0.取y ＝－1，得x ＝0，z ＝1，故n 1＝(0，－1,1)．设平面PAD 的法向量为n 2＝(m ，p ，q )，则n 2·AP ＝(m ，p ，q ，0)＝0，n 2·AD ＝(m ，p ，q ，，0)＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0.取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n2＝(1,1，－1)．于是cos〈n1，n2〉＝1212||||3=-·n nn n.由于〈n1，n2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为π-20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝14.(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)·P(A3)＝18，P(X＝2)＝P(1B·B3)＝P(1B)P(B3)＝14，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1151848--=，EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝98.21．(1)解：由题设知ca＝3，即222a ba+＝9，故b2＝8a2.所以C的方程为8x2－y2＝8a2.将y＝2代入上式，求得x=由题设知，=a2＝1.所以a＝1，b＝(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.①由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，k(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝2268kk-，x1·x2＝22988kk+-.于是|AF1|＝－(3x1＋1)，|BF1|3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝23 -.故226283kk=--，解得k2＝45，从而x1·x2＝199-.由于|AF2|＝1－3x1，|BF2|3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝22121x xxλλ(-)-(+)，f′(0)＝0.若12λ<，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.若12λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.综上，λ的最小值是12.(2)证明：令12λ=.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，即2ln(1) 22x xxx(+)>++．取1xk=，则211>ln21k kk k k++(+).于是212111 422(1)n n n k n a a n k k -=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑ ＝2121211ln 21n n k n k n k k k k k --==++>(+)∑∑ ＝ln 2n －ln n ＝ln 2.所以21ln 24n n a a n-+>. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4 D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+，则{an}的通项公式是an＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C 解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±. 5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5，所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A 解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1 解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-，即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1. ∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭，令cos αsin α＝则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x ) 即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2上为增函数，在(－2，－2)上为减函数，在(－2，－2)上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－2)2＋8(－2＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=. 故PA＝2. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA＝4. 18． (1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz . 由题设知A (1,0,0)，A 1(0，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－10)，1AC ＝(0，．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝，1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C⋅n n ＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k＝4±. 当k＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±. 所以|AB |2118|7x x -=.当k =时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x－1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝2.设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，l β，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．1122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

2011年高考试题数学圆锥曲线(理科)

2011年高考试题数学圆锥曲线（理科）解析数学一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科8)已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为(A)22154x y -= (B) 22145x y -= (C) 22136x y -= (D) 22163x y -=3. (2011年高考全国新课标卷理科7)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3 答案：B解析：由题意知，AB 为双曲线的通径，所以，AB a a b 422==，222=∴ab又3122=+=ab e ，故选B.点评：本题考查双曲线标准方程和简单几何性质，通过通经与长轴的4倍的关系可以计算出离心率的关键22ab 的值，从而的离心率。

4.(2011年高考浙江卷理科8)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【答案】 C【解析】由1C 恰好将线段AB 三等分得133A A x x x x =⇒=，由222A y x x x y=⎧⇒=⎨+⎩,x ∴=y=) 在椭圆上,1=2211a b ⇒=又225,a b -=212b ∴=，故选C 5.(2011年高考安徽卷理科2)双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)【答案】A【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C.6. (2011年高考湖南卷理科5)设双曲线()019222>=-a y ax 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为A.4B. 3C. 2D. 18.(2011年高考陕西卷理科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x = 【答案】B【解析】：设抛物线方程为2y ax =，则准线方程为4a x =-于是24a-=-8a ⇒= 9. (2011年高考四川卷理科10)在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为( )（A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)-10. (2011年高考全国卷理科10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠= (A)45 (B)35 (C)35- (D)45- 【答案】D【解析】：24(1,0)y x F = 得，准线方程为1x =-，由24(1,2),(4,4)24y xA B y x ⎧=-⎨=-⎩得=，由抛物线的定义得2,5AF BF ==由余弦定理得4cos 5AFB ∠==- 故选D11．(2011年高考福建卷理科7)设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2C ．12或2D ．2332或【答案】A二、填空题:1.(2011年高考辽宁卷理科13)已知点（2,3）在双曲线C ：1by -a x 2222=（a ＞0，b ＞0）上，C 的焦距为4，则它的离心率为_____________.3. (2011年高考江西卷理科14)若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】22154x y +=【解析】因为一条切线为x=1,且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0),即1c =,设点P （1，12）,连结OP,则OP ⊥AB,因为12OP k =,所以2AB k =-,又因为直线AB 过点(1,0),所以直线AB 的方程为220x y +-=,因为点(0,)b 在直线AB 上,所以2b =,又因为1c =,所以25a =,故椭圆方程是22154x y +=.4. (2011年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上，。

2011年高考安徽省数学试卷-理科（含详细答案）

2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

分钟。

考生注意事项：考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

定的地方填写姓名和座位号后两位。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试．．题卷．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。

4．考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：参考公式：如果事件A 与B B 互斥，互斥，互斥，椎体体积椎体体积13V Sh =，其中S 为椎体的底面积，为椎体的底面积，那么()()()P A B P A P B +=+ h 为椎体的高为椎体的高. . 如果事件A 与B B 相互独立，那么相互独立，那么相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷(选择题共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) (1) 设设 i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，则实数a a 为为（（A ）2 (B) -2 (C) 1-2 (D) 12（1）A 【命题意图】本题考查复数的基本运算，属简单题. 【解析】设()aibi b R i1+Î2-=，则1+(2)2ai bi i b bi =-=+，所以1,2b a ==.故选A. （2）双曲线x y 222-=8的实轴长是的实轴长是（A ）2 (B)22 (C) 4 (D) 42（2）C 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题. 【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C. （3）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x £0时，()f x x x 2=2-，则()f 1= （A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１（Ｃ）１（Ｃ）１（Ｄ）３（Ｄ）３ (3)A 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法属容易题. 【解析】2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-.故选A. （４）设变量,x y 满足1,x y +£则2x y +的最大值和最小值分别为的最大值和最小值分别为（Ａ）１，－１（Ａ）１，－１（Ｂ）２，－２（Ｂ）２，－２（Ｃ）１，－２（Ｃ）１，－２（Ｄ）２，－１（Ｄ）２，－１（Ｄ）２，－１（4）B 【命题意图】本题考查线性规划问题【命题意图】本题考查线性规划问题..属容易题属容易题. . 【解析】不等式1x y +£对应的区域如图所示，对应的区域如图所示，当目标函数过点（0，－1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以2x y +的最大值和最小值分别为2，－，－2.2.2.故选故选B.B. (5) (5) 在极坐标系中，点在极坐标系中，点在极坐标系中，点 (,)p23到圆2cos r q = 的圆心的距离为的圆心的距离为（A ）2 (B) 249p +(C) 219p +（（D) 3(5)D (5)D【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离. .【解析】极坐标(,)p 23化为直角坐标为(2cos ,2sin )33p p ，即(1,3).圆的极坐标方程2cos r q =可化为22cos r r q =，化为直角坐标方程为222x y x +=，即22(1)1x y -+=，所以圆心坐标为（所以圆心坐标为（1,01,01,0）），则由两点间距离公式22(11)(30)3d =-+-=.故选D. (6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为第（8）题图）题图（A ） 48 (B)32+817 (C) 48+817 (D) 80 (6)C 【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法. 【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()12244242´+´=，四个侧面的面积为()44221724817++=+，所以几何体的表面积为48817+.故选C.(7)(7)命题“所有能被命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是（A ）所有不能被2整除的数都是偶数整除的数都是偶数（B ）所有能被2整除的数都不是偶数整除的数都不是偶数（C ）存在一个不能被2整除的数是偶数整除的数是偶数（D ）存在一个能被2整除的数不是偶数整除的数不是偶数（7）D 【命题意图】本题考查全称命题的否定【命题意图】本题考查全称命题的否定..属容易题属容易题. . 【解析】把全称量词改为存在量词，并把结果否定【解析】把全称量词改为存在量词，并把结果否定. .（8）设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A Í且SB f ¹的集合S 的个数为（A ）57 57 （（B ）56 56 （（C ）49 49 （（D ）8（8）B 【命题意图】本题考查集合间的基本关系，考查集合的基本运算，考查子集问题，考查组合知识查组合知识..属中等难度题属中等难度题. .【解析】集合A 的所有子集共有6264=个，其中不含4,5,6,7的子集有328=个，所以集合S 共有56个.故选B.（9）已知函数()sin(2)f x x j =+，其中j 为实数，若()()6f x f p£对x R Î恒成立，且()()2f f p p >，则()f x 的单调递增区间是的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z p p p péù-+Îêúëû （（B ）,()2k k k Z p p p éù+Îêúëû （C ）2,()63k k k Z p p p p éù++Îêúëû （（D ）,()2k k k Z p p p éù-Îêúëû （9）C 【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性..属中等偏难题属中等偏难题. . 【解析】若()()6f x f p £对x R Î恒成立，则()sin()163f p pj =+=，所以,32k k Z ppj p +=+Î，,6k k Z pj p =+Î.由()()2f f pp >，（k Z Î），可知sin()sin(2)p j p j +>+，即s i n 0j<，所以(21),6k k Z p j p =++Î，代入()sin(2)f x x j =+，得()s i n (2)6f x x p =-+，由3222262k x k p ppp p +++剟，得263k x k p pp p ++剟，故选C.(10) 函数()()m n f x ax x =1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==(10)B 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当1,2m n ==，()()()f x ax x n x x x 232=1-=-2+g ，则()()f x a x x 2¢=3-4+1，由()()f x a x x 2¢=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3æöç÷èø递增，在1,13æöç÷èø递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=´1-=3332g ，知a 存在.故选B. 第II 卷（非选择题卷（非选择题共100分）分）考生注意事项：考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．. 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置..（1111））（1111）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . .(11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n 项和. 【解析】由算法框图可知(1)1232k k T k +=++++=，若T ＝105，则K ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15. （1212）设）设()xa a x a x a x 2122101221-1=+++L ，则，则 .. （12)012)0【命题意图】本题考查二项展开式【命题意图】本题考查二项展开式【命题意图】本题考查二项展开式..难度中等难度中等. . 【解析】101110102121(1)a C C =-=-，111011112121(1)a C C =-=，所以a a C C 111010112121+=-=0.（13）已知向量a ，b 满足（a +2b ）·（a -b ）=－6，且a =，2b =，则a 与b 的夹角为的夹角为 . (13)60°【命题意图】本题考查向量的数量积，考查向量夹角的求法属中等难度的题. 【解析】()()26a b a b +×-=-，则2226a a b b +×-=-，即221226a b +×-´=-，1a b ×=，所以1cos ,2a b a b a b×áñ==×，所以,60a b áñ=. （14）已知ABC D 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC D 的面积为积为_______________ _______________（14)153【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积三角形面积. .【解析】设三角形的三边长分别为4,,4a a a -+，最大角为q ，由余弦定理得222(4)(4)2(4)cos120a a a a a +=+---，则10a =，所以三边长为6,10,14.6,10,14.△△ABC 的面积为1610sin1201532S =´´´=.（15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是__________________________（写出所有正确命题的编号）（写出所有正确命题的编号）（写出所有正确命题的编号）. . ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线⑤存在恰经过一个整点的直线（15)15)①③⑤【命题意图】本题考查直线方程，考查逻辑推理能力①③⑤【命题意图】本题考查直线方程，考查逻辑推理能力难度较大难度较大. .【解析】令12y x =+满足①，故①正确；若2,2k b ==，22y x =+过整点（－（－1,01,01,0）），所以②错误；设y kx =是过原点的直线，若此直线过两个整点1122(,),(,)x y x y ，则有11y kx =，22y kx =，两式相减得1212()y y k x x -=-，则点1212(,)x x y y --也在直线y kx =上，通过这种方法可以得到直线l 经过无穷多个整点，通过上下平移y kx =得对于y kx b =+也成立，所以③正确；k 与b 都是有理数都是有理数,,直线y kx b =+不一定经过整点，④错误；直线2y x =恰过一个整点，⑤正确过一个整点，⑤正确. .三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..解答写在答题卡的制定区域内解答写在答题卡的制定区域内. . （1616））(本小题满分12分)设()1xe f x ax =+*，其中a 为正实数为正实数（Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点；的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。

2011年安徽高考数学理科试卷(带详解)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位,复数a 1+2-ii为纯虚数,则实数a 为 ( )A.2B.-2C.1-2D.12【测量目标】复数的基本概念及代数形式的四则运算.【考查方式】给出一个含未知数的复数,令其为纯虚数,运用公式求解. 【难易程度】容易【参考答案】A 【试题解析】法一：()()()()()a a a a 1+2+1+2-+2+1==2-2-2+5i i i ii i i 为纯虚数,所以,a a 2-=0=2；法二：设a b 1+=2-ii i得a b b 1+=+2i i ,所以,b a =1=2；法三：()a a -1+=2-2-i i i i i为纯虚数,所以a =2； 2.双曲线x y 222-=8的实轴长是( )A.2B.C. 4 【测量目标】双曲线的标准方程.【考查方式】给出一个双曲线方程,求出实轴长. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】双曲线方程可变为x y 22-=148,所以,a a 2=4=2,实轴长a 2=4. 3.设()f x 是定义在R 上的奇函数,当x 0…时,()f x x x 2=2-,则()f 1=( )A.-3B.-1C.1D.3 【测量目标】函数的奇偶性的综合运用.【考查方式】给出在某一区间上一个函数方程，已知函数是奇函数,求解函数值. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】法一:()f x 是定义在R 上的奇函数,且x 0…时, ()f x x x 2=2-()()()()2112113f f ∴=--=--+-=-,故选A.法二:设0x >,则0x -<,()f x 是定义在R 上的奇函数,且x 0…时,()f x x x 2=2-,()()()2222f x x x x x ∴-=---=+,(步骤1)又()()f x f x -=-,()22f x x x ∴=--,()212113f ∴=-⨯-=-,故选A. (步骤2) ４.设变量,x y 满足1,x y +…则2x y +的最大值和最小值分别为( )Ａ.1，－1 Ｂ.2，－2 Ｃ.1，－2 Ｄ.2，－1 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出一个二元不等式，求目标函数的最值. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】法一：特值验证：当0,1x y ==时，22x y +=,故排除A ，C ；当0,1x y ==-时，22x y +=-,故排除D ，答案为B.法二:画出不等式1,x y +…表示的平面区域，平移目标函数线，易知当直线2x y u +=经过点B ，D 时分别对应u 的最大值和最小值，所以max min 2,2u u ==-.第4题图法三：已知条件是含绝对值的不等式，所以目标函数的最大值和最小值一定互为相反数，易知0,1x y ==时，22x y +=，故选B法四：绝对值不等式表示的区域是以(0,1),(1,0),(0,1),(1,0)--为顶点的正方形，线性规划一定在顶点处取得最优解，带入目标函数计算可得最大值、最小值分别为2,2-. 5.在极坐标系中，点(,)π23到圆2cos ρθ=的圆心的距离为( )A.2 【测量目标】极坐标与参数方程及点到圆心的距离.【考查方式】给出一个点坐标和参数方程，求出点到圆心之间的距离. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】极坐标(,)π23化为直角坐标：cos cos sin sin x y ρθρθπ⎧==2=1⎪⎪3⎨π⎪==2=⎪3⎩，即圆2cos ρθ=的方程为222x y x +=即22(1)0x y -+=，圆心到点(1故选D. 6.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）第6题图A.48B.32+C.48+D.80 【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】给出三视图及其各边边长，求出其表面积. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】几何体是以侧视图等腰梯形为底面的直四棱柱,所以该几何体的表面积为12(24)44421642S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯487=+故选C. 7命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 ( )A.所有不能被2整除的数都是偶数B.所有能被2整除的数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的数都是偶数D.存在一个能被2整除的数不是偶数【测量目标】含有一个量词的命题的否定.【考查方式】给出含有一个量词的命题，求出其特称命题. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】全称命题的否定是特称命题，“所有”对于“存在一个”，同时否定结论，答案为D. 8.设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,8,B =则满足S A ⊆且S B ≠∅ 的集合S 的个数为( ) A.57 B.56 C.49 D.8 【测量目标】集合间的关系及基本运算.【考查方式】给出两个集合与他们之间的集合关系，求出其中一个集合的个数. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】法一：集合A 的子集有6264=个，满足S B =∅ 的子集就是集合{1,2,3}的所有子集，一共有328=个，所以集合S 的个数为632264856-=-=.法二：集合S 是集合A 的子集且至少含有集合{4,5,6}的一个元素，所以将S 看作集合{4,5,6}的非空子集与集合{1,2,3}的子集的并集，因此一共有33(21)256-⨯=个.9.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若π()()6f x f …对x ∈R 恒成立，且π()(π)2f f >，则()f x 的单调递增区间是( )A.ππ[π,π]()36k k k -+∈Z B.π[π,π]()2k k k +∈Z C.π2π[π,π]()63k k k ++∈Z D.π[π,π]()2k k k -∈Z 【测量目标】三角函数的单调性、最值.【考查方式】给出一个三角函数及其最值，求出其单调递增区间. 【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】对x ∈R 时，π()()6f x f …恒成立，所以ππ()sin()163f ϕ=+=±，可得π5π2π2π66k k ϕϕ=+=-或，（步骤1）因为π()sin(π)sin (π)sin(2π)sin 2f f ϕϕϕϕ=+=->=+=，故sin 0ϕ<，所以5π2π6k ϕ=-，所以5π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（步骤2）函数单调递增区间为π5ππ2π22π262k x k -+-+剟，所以π2π[π,π]()63x k k k ∈++∈Z ,答案为C. （步骤3） 10.函数()(1)mnf x ax x =-在区间[0,1]上的图象如图所示，则,m n 的值可能是 ( ) A.1,1m n == B.1,2m n == C.2,1m n == D.3,1m n ==第10题图【测量目标】函数图象的应用.【考查方式】给出一个含未知量的复合函数在某一区间的图象，求出未知量. 【难易程度】较难【参考答案】B【试题解析】由图得，原函数的极大值点小于0.5，当1,1m n ==时,()21(1)(),24a f x ax x a x =-=--+在12x =处有最值,所以A 不可能；(步骤1) 当1,2m n ==时,232()(1)(2),f x ax x a x x x =-=-+()(31)(1)f x a x x '∴=--，令()100,,3f x x x '=⇒==即函数在13x =处有最值所以B 可能；(步骤2) 当2,1m n ==时,223()(1)(),f x ax x a x x =-=-有2()(32)(23),f x a x x ax x '=-+=- 令()200,,3f x x x '=⇒==即函数在23x =处有最值,所以C 不可能；(步骤3) 当3,1m n ==时，343()(1)()f x ax x a x x =-=-+,有2()(43)f x ax x '=-+，令()300,,4f x x x '=⇒==即函数在34x =处有最值,所以D 不可能. (步骤4) 第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .第11题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图，阅读并运行程序，得出结果. 【难易程度】中等【参考答案】15【试题解析】第1次进入循环体有：00T =+，第2次有：01T =+，第3次有：012T =++，……第n 次有：012(1)T n =++++- ,（步骤1）令(1)1052n n T -=>，解得15n >（负值舍去），（步骤2）故16,n =此时输出15k =.（步骤3） 12.设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++L ，则a a 1011+= .【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出一个二项式，通过公式展开二项式，求出其中两项系数的和. 【难易程度】容易【参考答案】0【试题解析】,a a 1011分别是含x 10和x 11项的系数，所以C ,a 111021=-C a 101121=，所以a a 1011+=C C 10112121-=0.13.已知向量,a b 满足()()+2-=-6g a b a b ，且1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角为 . 【测量目标】平面向量的夹角问题.【考查方式】给出两个向量之间的关系等式及各自的模长，求出它们之间的夹角. 【难易程度】中等【参考答案】π3【试题解析】设a 与b 的夹角为θ，依题意有：22(2)()272cos 6θ+-=+-=-+=- a b a b a a b b ，（步骤1）所以1cos =2θ，（步骤2）因为0πθ剟，故π=3θ.（步骤3） 14.已知ABC △的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC △的面积为 .【测量目标】余弦定理及三角形面积.【考查方式】给出一个三角形的内角度数及三边关系，求出三角形的面积. 【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】不妨设角120,A c b =<，则4,4a b c b =+=-，于是222(4)(4)1cos1202(4)2b b b b b +--+==--，解得=10b ，所以1=sin1202S bc = .15.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是 .（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线【测量目标】新定义，直线的性质，命题的判定.【考查方式】给出一个新定义，根据新定义判断给出五个命题的正确性. 【难易程度】较难【参考答案】①③⑤【试题解析】①正确，如直线12y =+，不经过任何整点（10,2x y ==；0x ≠，y 是无理数）(步骤1)②错误，直线y =k 与b 都是无理数，但直线经过整点（1,0）；(步骤2) ③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；(步骤3) ④错误，当10,2k b ==时，直线12y =不通过任何整点；(步骤4)⑤正确，比如直线y =只经过一个整点(0,0).(步骤5)三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内.16.（本小题满分12分）设2e ()1xf x ax =+，其中a 为正实数.（Ⅰ）当34=a 时，求)(x f 的极值点；（Ⅱ）若)(x f 为R 上的单调函数，求a 的取值范围【测量目标】导数的运算,利用导数求函数的极值，利用函数的单调性求参数范围. 【考查方式】给出一个含参数函数，（Ⅰ）给出参数的值求极值点，（Ⅱ）给出其单调性，求参数的取值范围.【难易程度】中等【试题解析】对)(x f 求导得22212()e (1)xax axf x ax +-'=+①（步骤1）（Ⅰ）当34=a 时，若0)(='x f ，则03842=+-x x ，解得21,2321==x x （步骤2）结合①，可知所以，21=x 是极小值点，22=x 是极大值点. （步骤3）（Ⅱ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件0a >，知2210ax ax -+…（步骤4）在R 上恒成立，因此2444(1)0a a a a ∆=-=-…，由此并结合0a >，知01a <….（步骤5） 17.（本小题满分12分）如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2OA OD ==，,,,OAB OAC ODE ODF △△△△都是正三角形.（Ⅰ）证明直线BC EF ; （Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积.第17题图【测量目标】线线平行的判定，棱锥的体积，空间向量及其运算.【考查方式】给出一个多面体，其中两个面互相垂直，有4个正三角形，证明两条直线平行和求解棱锥的体积.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）（综合法）证明：设G 是线段DA 与线段EB 延长线的交点，由于OAB △与ODE△都是正三角形，所以1,2OB DE=2OG OD =，（步骤1）同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有2OG OD '==，又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合. （步骤2）在GED △和GFD △中，由12OB DE 和12OC DF , 12OC DF =,12OB DE =可知,B C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是GEF △的中位线，故BC EF .（步骤3）（向量法）过点F 作FQ AD ⊥,交AD 于点Q ，连QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ,以Q 为坐标原点，QE 为x 轴正向，QD 为y 轴正向，QF 为z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.由条件知E )，F （，B （3,022-），C （30,,22-）. （步骤1）则有)23,0,23(-=，)3,0,3(-=EF .（步骤2）所以2=，即得BC EF .（步骤3）第17题（Ⅰ）图（Ⅱ）由1,2,60OB OE EOB ==∠= ，知EOB S =（步骤4）而ODE △是边长为2的正三角形，故OED S =所以OBED EOB ODE S S S =+=233.（步骤5）过点F 作FQ AD ⊥，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F OBED -的高，且FQ =，所以13.32F OBED OBED V FQ S -== （步骤6） 18.（本小题满分13分）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令n n T a lg =，1n …. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan n n n b a a += ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【测量目标】对数和指数的运算，两角差的正切公式，等比和等差数列及其前n 项和. 【考查方式】考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）设221,,,+n t t t 构成等比数列，其中100,121==+n t t ，则1212n n n T t t t t ++=①（步骤1）2121n n n T t t t t +⋅+= ②（步骤2）①×②并利用231210,(12)i n i n t t t t in +-+==+ 剟，得)2(2210+=n n T ，lg 2, 1.n n a T n n ∴==+…（步骤3）（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知tan(2)tan(3),1n b n n n =++ …（步骤4）另一方面，利用tan(1)tan tan1tan((1))1tan(1)tan k kk k k k+-=+-=-+得tan(1)tan tan(1)tan 1tan1k kk k +-+=- （步骤5）所以22133tan(1)tan tan(3)tan 3tan(1)tan (1)tan1tan1nn n n i i i i k k n S b k k n ++===+-+-==+=-=-∑∑∑ （步骤6）19.（本小题满分12分）（Ⅰ）设1,1,x y厖证明111x y xy xy x y++++…；（Ⅱ）设1,a bc <剟证明log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++++….【测量目标】基本不等式证明不等式.【考查方式】考查对数函数的性质和对数换底公式, 不等式的性质等基本知识，考查代数式的恒等变形和推理论证能力. 【难易程度】中等【试题解析】证明：（Ⅰ）由于1,1,x y 厖所以111x y xy xy x y++++…（步骤1） 2()1()xy x y y x xy ⇔++++…（步骤2）将上式中的右式减左式，得22(())(()1)(()1)(()())y x xy xy x y xy xy x y x y ++-++=--+-+(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)xy xy x y xy xy xy x y xy x y =+--+-=---+=--- 既然1,1,x y 厖所以(1)(1)(1)0xy x y ---…，从而所要证明的不等式成立. （步骤3）（Ⅱ）设y c x b b a ==log ,log ，由对数的换底公式得xy c yb x a xy a ac b c ====log ,1log ,1log ,1log （步骤4）于是，所要证明的不等式即为111x y xy xy x y++++…（步骤5）其中log 1,log 1a b x b y c==厖，故由（Ⅰ）立知所要证明的不等式成立. （步骤6）20.（本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟.如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人，现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为123,,P P P ，假设123,,P P P 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（Ⅰ）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为321,,q q q ，其中321,,q q q 是123,,P P P 的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数学期望）EX ；（Ⅲ）假定1231P P P >>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小.【测量目标】随机事件与概率，离散型随机变量的期望.【考查方式】考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是123(1)(1)(1)P P P ---，（步骤1）所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于1231231213231231(1)(1)(1)P P P P P P PP PP P P PP P ----=++---+（步骤2）（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为321,,q q q 时，随机变量X 的分布列为所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX 是EX =1q +21)1(q q -+)1)(1(21q q --=212123q q q q +--（步骤3）（Ⅲ）（方法一）由（Ⅱ）的结论知，当甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，EX =212123q q q q +--根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于123,,P P P 的任意排列321,,q q q ，都有121212123232q q q q P P PP --+--+…（＊）（步骤4）事实上， 12121212(32)(32)q q q q P P PP ∆=--+---+（步骤5）112212122()()P q P q PP q q =-+--+1122112122211122112122()()()()(2)()(1)()(1)[()()]0P q P q P q P q P q P P q q P q q P P q q =-+-----=--+---+-+……即（＊）成立. （步骤6）（方法二）（ⅰ）可将（Ⅱ）中所求的EX 改写为12121)(3q q q q q -++-，若交换前两人的派出顺序，则变为22121)(3q q q q q -++-.由此可见，当12q q >时，交换前两人的派出顺序可减少均值. （步骤4）（ⅱ）也可将（Ⅱ）中所求的EX 改写为211)1(23q q q ---，若交换后两人的派出顺序，则变为111)1(23q q q ---.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当12q q <时，交换后两人的派出顺序也可减少均值. （步骤5）综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当123(,,)P P P =),,(321q q q 时，EX 达到最小.即完成任务概率大的人优先派出，可减少所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的. （步骤6）21.（本小题满分13分）设0>λ，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2x y =上运动，点Q 满足λ=，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足λ=，求点P 的轨迹方程.第21题图【测量目标】直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的轨迹问题.【考查方式】考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力.【难易程度】较难【试题解析】由λ=知,,Q M P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设(),,P x y ()0,,Q x y （步骤1）()2,,M x x 则)(202x y y x -=-λ,即y x y λλ-+=20)1( ①（步骤2）再设),(11y x B ，由QA BQ λ=，即)1,1(),(0101y x y y x x --=--λ，解得110(1),(1)x x y y λλλλ=+-⎧⎨=+-⎩ ②（步骤3）将①式代入②式，消去0y ，得1221(1),(1)(1)x x y x y λλλλλλ=+-⎧⎨=+-+-⎩ ③（步骤4）又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入211x y =，得,))1(()1()1(222λλλλλλ-+=-+-+x y x （步骤5）整理得0)1()1()1(2=+-+-+λλλλλλy x 因0>λ，两边同除以)1(λλ+，得 012=--y x故所求点P 的轨迹方程为12-=x y .（步骤6）。

2011年安徽高考数学试卷与答案.理科(word)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）第Ⅰ卷(选择题共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为（A ） 2 （B ） -2 （C ） -12 （D ） 12（2）双曲线2228x y -=的实轴长是（A ）2 (B) （3）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-, (1)f =（A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１（Ｄ）３（４）设变量x ，y 满足||||1x y +≤，则2x y +的最大值和最小值分别为（Ａ）１，－１（Ｂ）２，－２（Ｃ）１，－２（Ｄ）２，－１ (5) 在极坐标系中，点 (2,)3π到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（A ）（（6）一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ） 48 (B)32+48+(7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是（A ）所有不能被2整除的数都是偶数（B ）所有能被2整除的数都不是偶数（C ）存在一个不能被2整除的数都是偶数（D ）存在一个不能被2整除的数都不是偶数（8）设集合{1,2,3,4,5,6},{4,5,6,7}A B ==，则满足S A ⊆且S B ≠∅的集合S 为（A ）57 （B ）56 （C ）49 （D ）8（9）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）, ()36k k k z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭ （B ）, ()2k k k z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭ （C ）2, ()63k k k z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ （D ）, ()2k k k z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭（10）函数()(1)m n f x nx x =- 在区间上的图像如图所示，则m,n 的值可能是（A ）m=1, n=1 （B ）m=1, n=2 （C ）m=2, n=1 （D ）m=3, n=1第II 卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．. 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. （11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .（12）设2122101221(1)x a a x a x a x -=++++，则1011a a +=_________ .（13）已知向量a ,b 满足(2)()6+-=-a b a b ,1|a |=,2|b |=，则a 与b 的夹角为________.（14）已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________（15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. （16）(本小题满分12分)设2()1xe f x ax =+，其中a 为正实数（Ⅰ）当43a =a 43=时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。

2011年高考(全国卷)理综(含答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试本试卷分第1卷（选择题）和第2卷（非选择题）两部分，第1卷1至4页，第II卷5至12页，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I卷注意事项（1）答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。

并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

（2）每小题选出答案后，用2B铅笔吧答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动。

用橡皮擦干净后，在选涂其他答案编号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

（3）第I卷共21小题，每题6分，共126分。

以下数据可供解题时参考：相对原子质量(原子量)：Hl Cl2 N14 016 Na23 M9 24 A1 27S 32 C1 35 5 Cr52 Fe 56 Cu 64一、选择题：本大题共l3小题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列能说明某细胞已经发生分化的是A．进行ATP的合成 B．进行mRNA的合成C．存在血红蛋白 D．存在纤维蛋白原基因2.将紫色洋葱在完全营养液中浸泡一段时间，撕取外表皮，先用浓度为0.3g／mL的蔗糖溶液处理，细胞发生质壁分离后，立即将外表皮放入蒸馏水中，直到细胞中的水分不再增加。

若在该实验过程中，蔗糖溶液处理前外表皮细胞液的浓度为甲，细胞中的水分不再增加时外表皮细胞液的港度为乙，则甲、乙的关系，以及实验过程中水分进出细胞的方式为A．甲<乙，被动运输 B.甲>乙，被动运输C. 甲>乙，主动运输D.甲=乙，主动运输3.将生长状态一致的同一品种玉米植株分为甲、乙两组，甲组培养在适宜的光照条件下，其叶维管束鞘细胞中有淀粉积累；乙组培养在光照较弱的条件下，其叶维管束鞘细胞中没有检测到淀粉。

乙组来检测到淀粉的原因是A．叶片不进行光合作用，只进行呼吸作用B．叶片光台作用强度低，没有淀粉的积累C．维管束鞘细胞没有与淀粉合成相关的酶D 维管柬鞘细胞不含叶绿体，不能进行光合作用4．某校园有一片草坪和一片树林，下列关于这两个群落中动物分层现象的叙述，正确A.草坪和树林中的动物都具有分层现象B.草坪和树林中的动物都没有分层现象C.只有草坪和树林混杂在一起时动物才具有分层现象D．草坪中的动物没有分层现象，而树林中的动物具有分层现象5研究发现两种现象：①动物体内的B 细胞受到抗原刺激后，在物质甲的作用下，可增殖、分化为效应B 细胞；②给动物注射从某种细菌获得的物质乙后。

备战2021年高考理数 6年高考真题分项版精解精析专题06 不等式(解析版)

【2022高考真题】1. 【2022高考安徽卷理第5题】y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯．．一．，则实数a 的值为（） A,121-或 B.212或 C.2或1 D.12-或2.【2022高考北京版理第6题】若x 、y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（）A ．2B ．2-C ．12 D ．12-3. 【2022高考福建卷第11题】若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则y x z +=3的最小值为________.4. 【2022高考福建卷第13题】要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）.5. 【2022高考广东卷理第3题】若变量x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，且2z x y =+的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -=（）A.8B.7C.6D.56.【2022高考湖南卷第14题】若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤k y y x x y 4，且y x z +=2的最小值为6-，则____=k .7.【2022辽宁高考理第16题】对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .8. 【2022全国1高考理第9题】不等式组1,24,x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D,有下面四个命题：1:(x,y)D,x 2y 2p ∀∈+≥-， 2:(x,y)D,x 2y 2p ∃∈+≥， 3:(x,y)D,x 2y 3p ∀∈+≤ 4:(x,y)D,x 2y 1p ∃∈+≤-，其中的真命题是（）A ．23,p pB ．12,p pC ．13,p pD ．14,p p10. 【2022山东高考理第5题】已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下面关系是恒成立的是（）A.111122+>+y x B.)1ln()1(ln 22+>+y x C.y x sin sin > D.33y x >11. 【2022山东高考理第9题】已知,x y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为（）A.5B.4C.5D.212. 【2022四川高考理第4题】若0a b >>，0x d <<，则肯定有（） A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 4．若0a b >>，0c d <<，则肯定有（） A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c<13. 【2022四川高考理第5题】执行如图1所示的程序框图，假如输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．314. 【2022浙江高考理第13题】当实数x，y满足240,10,1,x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y≤+≤恒成立，则实数a的取值范围是________. 【考点定位】线性规划.15. 【2022天津高考理第2题】设变量x，y满足约束条件0,20,12,yx yyx+-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y=+的最小值为（）（A）2（B）3（C）4（D）51 6. 【2022大纲高考理第14题】设,x y满足约束条件2321x yx yx y-≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y=+的最大值为.17. 【2022高考上海理科】若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.18.【2022高考安徽卷第21题】设实数0>c ，整数1>p ， *N n ∈. （1）证明：当1->x 且0≠x 时，px x p+>+1)1(；（2）数列{}n a 满足pc a 11>，pn n n a pc a p p a -++-=111，证明：p n n c a a 11>>+. ①【2021高考真题】（2021·天津理）8. 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是（） (A) 15,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(B) 13,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,02130,2⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭(D) 52,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪ （2021·上海理）15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（）(A) (,2)-∞(B) (,2]-∞(C) (2,)+∞(D) [2,)+∞（2021·陕西理）9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是（）(A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30](D) [20,30]（2021·山东理）12.设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=,则当zxy取得最大值时，z y x 212-+的最大值为A.0B. 1C.49D. 3 （2021·湖南理）10.已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 .（2021·广东理）9．不等式220x x +-<的解集为___________．（2021·湖南理）20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 动身沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”。

2011年高考数学湖北卷理科第21题赏析

＋．＋：＋．６．．
１背景分析
１，，））求（的最小值；（Ｉ设正数Ｐ，２Ｐ ” Ｐ．１）。，，Ｐ满足Ｐ＋ｐ＋。ｐ十３ … ２．＝
１证明：ｌｏ：ｌｐｌ２２ｐｌｇ３ …＋２ｏ２２，，ｐｇ＋２ｏｐ＋３ｏ２＋ｐ．ｇ．ｌｌｐｇｐ１ｐ ≥一
‘ 。。：１＝１ｎｏ．
（
）一≥ ・… ，前家训知，， … 莺是国集队 ∑ｎｂ＝∑ｂ＝１为此可令口＝１，１＝÷ ，以又可 “＋土这而所
令口＝１２ …，）从而，１的结论可得， ÷ （＝，，ｎ．由（）ｎ０．
之一．
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・６．
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…
５８
十。擞＇（１第期・中）？７２１７高版０年
２３其它解法．
・试题赏・析
同样地，由于中间小于等于右边的不等式与前面刚
… ・・０ ≤ １；
（）ｂ＋ …＋，０ ≤ ・ … ・６ ≤６２若ｌ６＋６＝１贝６６。・：
一
／７
，
科数学第２２题：
（Ｉ）函数）ｌ２＋１ｌ２１Ｏ设＝ｏｘ（一）ｏ（一）（＜＜ｇｇ
（Ｉ已知函数）＝眦一＋，！０＋，函数）ｌ１（， ∞）求
）的最大值；
（Ｉ设ａ，ｋｋ，，，）为正数，Ｉ）ｂ（＝１２ … ｎ均证明：

高考数学(理)真题专题汇编：推理与证明

高考数学（理）真题专题汇编：推理与证明一、选择题1.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 2.【来源】2014年高考真题理科数学（山东卷）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根（C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根3.【来源】2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈4.【来源】辽宁省大连24中2012届高三模拟考试理科数学有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线：已知直线bα平面，直线a α⊂平面，直线b ∥平面α，则b ∥a ”的结论显然是错误的，这是因为 A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误5.【来源】2012年高考真题——理科数学（江西卷）观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b+=A．28 B．76 C．123 D．1996.【来源】2012年高考真题——理科数学（湖北卷）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式316 9d V≈.人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是A．316 9d V≈ B．32d V≈ C．3300 157d V≈ D．321 11d V≈7.【来源】2012年高考真题——理科数学（全国卷）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（A）16（B）14（C）12(D)108.【来源】2011年高考数学理（江西）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点。

十年(2012-2021)高考数学真题分项汇编(全国通用)-专题02 复数(教师版)

专题02 复数【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设i 43i z =+，则z =（） A ．–34i - B ．34i -+C ．34i -D ．34i +【答案】C【分析】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--. 故选：C.2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（） A ．12i - B ．12i +C ．1i +D ．1i -【答案】C【分析】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+ D ．32i -- 【答案】B 2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知2i z =-，则()i z z +=（） A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i +【答案】C【分析】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若312i i z =++，则||=z （） A ．0 B ．1C D ．2【答案】C【分析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以 z ==故选：C ．2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A ．0B ．1CD ．2【答案】D【分析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=. 故选：D.3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））（1–i ）4=（） A ．–4 B ．4 C ．–4i D ．4i【答案】A【分析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-. 故选：A.4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若()11+=-z i i ，则z =（） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【分析】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））复数113i-的虚部是（） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【分析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D .6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设3i12iz -=+，则z =A ．2B CD ．1【答案】C【分析】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==，故选C ． 7．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x += 【答案】C【分析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1y x +-=．故选C ． 8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D【分析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12z i =--，选D ．9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 10．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【分析】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C 【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. ：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=，则1z =，故选c. 12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））()i 23i += A ．32i - B ．32i + C ．32i -- D ．32i -+【答案】D 【详解】分析：根据公式21i =-，可直接计算得(23)32i i i +=-+：2i(23i)2i 3i 32i +=+=-+ ，故选D. 13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+【答案】D【详解】详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.14．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）(1)(2)i i +-= A ．3i -- B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D【分析】解： ()()21i 2i 2i 2i 3i i +-=-+-=+故选D.15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．i(1+i)2 D ．i(1+i)【答案】A【分析】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确；对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确；对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.16．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z R ∈.其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p【答案】B 【详解】令i(,)z a b a b R =+∈，则由2211i i a b z a b a b-==∈++R 得0b =，所以z R ∈，故1p 正确；当i z =时，因为22i 1z ==-∈R ，而i z =∉R 知，故2p 不正确；当12i z z ==时，满足121z z ⋅=-∈R ，但12z z ≠，故3p 不正确；对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.17．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））(1i)(2i)++= A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +【答案】B 【详解】由题意2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+，故选B.18．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）31ii++＝（） A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i【答案】D 【分析】由题意()()()()3134221112i i i ii i i i +-+-===-++-，故选：D. 19．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【详解】i(2i)12i z =-+=--，则表示复数i(2i)z =-+的点位于第三象限. 所以选C. 20．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））设复数z 满足(1+i)z =2i ，则Ⅰz Ⅰ= A ．12B．2CD ．2【答案】C【解析】由题意可得2i1i z =+，由复数求模的法则可得1121z z z z =，则2i 1i z ===+故选C. 21．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a = A ．−3 B ．−2C ．2D ．3【答案】A【详解】：(12)()2(12)i a i a a i ++=-++，由已知，得，解得，选A.22．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设，其中x ，y 是实数，则i =x y +A ．1BCD ．2【答案】B 【详解】试题分析：因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i =|1+i x x y x y x x y +==+=所以故故选B.23．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设复数z 满足3z i i +=-，则z = A ．12i -+ B ．12i -C ．32i +D ．32i -【答案】C 【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.24．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ．(31)-， B ．(13)-， C ．(1,)+∞ D ．(3)-∞-，【答案】A【详解】要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.25．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）若43z i =+，则zz=A ．1B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 【答案】D【详解】由题意可得：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-.本题选择D 选项.26．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））若12z i =+，则41izz =- A ．1 B ．-1C ．iD ．-i【答案】C 【详解】试题分析：441(12)(12)1i ii zz i i ==-+--，故选C ．27．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z = A ．2i -- B ．2i -+C ．2i -D ．2i +【答案】C 【详解】试题分析：Ⅰ(1)1z i i -=+，Ⅰz=212(12)()2i i i i i i ++-==--，故选C.28．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=A ．1BCD ．2【答案】A【详解】：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===++-，所以1z =，故选A.29．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））若a 为实数,且 2i3i 1ia +=++,则a = A ．4- B ．3-C ．3D ．4【答案】D【详解】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.30．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B 【详解】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．31．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设，则A ．B ．C ．D ．2【答案】B【详解】：根据复数运算法则可得：111111(1)(1)222i i z i i i i i i i --=+=+=+=+++-，由模的运算可得：2z ==. 32．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】试题分析：由已知得22(1)(1)2(1)1(1)2i i i i i i i+++==----．33．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）计算131ii+=- A ．12i + B ．12i -+C ．12i -D ．12i --【答案】B【详解】：()()()()1311324121112i i i ii i i i +++-+===-+--+34．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷））设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z = A ．- 5 B ．5C ．- 4+ iD ．- 4 - i【答案】A【详解】：由题意，得22z i =-+，则12(2)(2)5z z i i =+-+=-，故选A ．35．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））212(1)ii +=-A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i -【答案】B【详解】2121221(1)222i i i ii i ++-===---.36．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知复数z 满足(3443i z i -=+），则z 的虚部为 A ．-4 B ．45- C ．4 D ．45【答案】D【详解】：设z a bi =+(34)(34)()34(34)i z i a bi a b b a i -=-+=++-435i +==Ⅰ345{340a b b a +=-= ，解得45b =37．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））21i+=A ．B ．2CD ．1 【答案】C【详解】因为211i i=-+,所以21i =+故选C. 38．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））设复数z 满足()12i z i -=，则z= （） A ．-1+iB ．-1-iC ．1+iD ．1-i 【答案】A【分析】由()12i z i -=得21i z i=-=(1)1i i i +=-+，故选A. 39．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））复数32i z i -+=+的共轭复数是 A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i -- 【答案】D 【详解()()()()3235512225i i i i z i i i i -+--+-+====-+++-,1z i =--,故选D . 40．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p 【答案】C【详解】因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.。

2011年高考全国卷理综物理试题(含答案)

页脚内容12011年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试物理试题第I 卷二、选择题：本大题共8小题。

在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项符合题目要求，有的有多个选项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14．关于一定量的气体，下列叙述正确的是A ．气体吸收的热量可以完全转化为功B ．气体体积增大时，其内能一定减少C ．气体从外界吸收热量，其内能一定增加D ．外界对气体做功，气体内能可能减少15．如图，两根相互平行的长直导线分别通有方向相反的电流1I 和2I ，且12I I ；a 、b 、c 、d 为导线某一横截面所在平面内的四点，且a 、b 、c 与两导线共面；b 点在两导线之间，b 、d 的连线与导线所在平面垂直。

磁感应强度可能为零的点是A ．a 点B ．b 点C ．c 点D ．d 点16．雨后太阳光入射到水滴中发生色散而形成彩虹。

设水滴是球形的，图中的圆代表水滴过球心的截页脚内容2面，入射光线在过此截面的平面内，a 、b 、c 、d 代表四条不同颜色的出射光线，则它们可能依次是A ．紫光、黄光、蓝光和红光B ．紫光、蓝光、黄光和红光C ．红光、蓝光、黄光和紫光D ．红光、黄光、蓝光和紫光17．通常一次闪电过程历时约0．2～O ．3s ，它由若干个相继发生的闪击构成。

每个闪击持续时间仅40～80μs ，电荷转移主要发生在第一个闪击过程中。

在某一次闪电前云地之间的电势差约为1．0×910v ，云地间距离约为l km ；第一个闪击过程中云地间转移的电荷量约为6 C ，闪击持续时间约为60μs 。

假定闪电前云地间的电场是均匀的。

根据以上数据，下列判断正确的是A ．闪电电流的瞬时值可达到1×510AB ．整个闪电过程的平均功率约为l×1410WC ．闪电前云地间的电场强度约为l×106V/mD ．整个闪电过程向外释放的能量约为6×610J18．已知氢原子的基态能量为E 1，激发态能量21/n E E n =，其中n=2,3…。

2011年高考解析几何填空题

2011年高考解析几何二、填空题：每小题5分．28．（课标全国卷·理14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 在x 轴。

过1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF △的周长为16，那么C 的方程为。

29．（山东卷·文15）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，同双曲线的方程为。

30．（安徽卷·理15）在平面直角坐标系中，如是x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）。

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点； ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是无理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线。

31．（浙江卷·理17）设1F ，2F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点A ，B 都在椭圆上，若125F A F B =，则点A 的坐标是。

32．（浙江卷·文12）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m ＝。

33．（辽宁卷·理13）已知点(2,3)在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上，C 的焦距为4，则它的离心率为。

34．（辽宁卷·文13）已知圆C 经过(5,1)A ，(1,3)B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为。

35．（北京卷·理14）曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹。

解三角形2010、2011.2012年的高考题

1.【2012高考重庆文5】sin 47sin17cos30cos17-（A ）B ）12-（C ）12（D 2.【2012高考四川文5】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED则sin CED∠=（）（13.【2012高考湖南文8】在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于A 4.【2012高考安徽文16】（本小题满分12分）设△ABC 的内角C B A ,,所对边的长分别为,,,c b a ，且有C A C A A B sin cos cos sin cos sin 2+=。

（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ) 若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长。

5.【2012高考山东文17】(本小题满分12分)在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=. (Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列；(Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S . 6.【2012高考辽宁文17】(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。

角A ，B ，C 成等差数列。

(Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sinsin A C 的值。

7.【2012高考新课标文17】（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA (1) 求A(2) 若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c8.【2102高考北京文15】（本小题共13分）已知函数xxx x x f sin 2sin )cos (sin )(-=。

（1）求)(x f 的定义域及最小正周期；（2）求)(x f 的单调递减区间。

9.【2012高考江苏15】（14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C=求A 的值． 10 ABC ∆中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a 、b 、c 满足223b ac =，求A 。