数论题目
数论专题一
例题4、学校打算在1月4日或1月10日组织同学们 看电影，确定好日期后，老师告诉了班长，但是 由于“四”和“十”发音接近，班长有10%的可 能性听错（把4听成10或者把10听成4），班长又 把日期告诉了小明，小明也有10%的可能性听错。 那么小明认为看电影的日期是正确的可能性为 _____%；
考点：概率问题 详解：小明认为正确的情况有两种：（1）班长正 确、小明正确，共（1−10%）×（1−10%）=81%； （2）两人都错误，10%×10%=1%。共 81%+1%=82%。 评注：本题最容易的错误答案是81%。
例题9、如果一个四位数与一个三位数的和是 1999，并且四位数与三位数是由7个不同的数字 组成的。问这样的四位数共有多少个？
解：我们不妨设这个四位数为abcd,三位数为efg.由题意得： abcd +ef g 1 9 9 9 ,显然a=1,且b+e=9 c+f=9 d+g=9.我 们知道：7+2=6+3=5+4=9+0=9(1和8不能选，因为1已经 用过了），又因为e不能为0，那么b就不能为9，则b共有7 种选择（0、2、3、4、5、6、7）。当b确定后，e也就随 之确定，所以c只剩下6种取法，同理f就确定了，d就只剩 下4种取法，d确定后，g也就确定了 所以一共：7×6×4=168（个）
例题8、 有4个不同的数字共可组成18个不同的 4位数。将这18个不同的4位数由小到大排成一 排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二 个也是完全平方数。那么这18个数的平均数是 多少？
解：4个不同的数可以组成24个不同的数，但是现在题目 中说有18个不同的数，那只有一种可能，4个数中有一个 是0. 设另外3个数分别为：a,b,c 且a＜b＜c 4个数中最小的数为a0bc,倒数第二大的数为cb0a 这个时候我们就要涉及到尝试法:a0bc最小可以为1023， 但是1023不是完全平方数，完全数最接近1023的是 32²=1024，然后4201不是完全平方数。继续假设 a0bc=33²=1089，而9801=99²，成立。 所以a=1,b=8.c=9 然后把18个罗列出来算平均数=6444
数论经典题目
选择题以下哪个数是素数（质数）？A. 15B. 17（正确答案）C. 20D. 22下列哪个等式描述了欧拉函数的性质？A. φ(n) 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（正确答案）B. φ(n) 是小于n的正整数的和C. φ(n) 是n的所有因数的和D. φ(n) 是n的平方根下列哪个数不是完全平方数？A. 36B. 49C. 55（正确答案）D. 81下列哪个定理与费马小定理相关？A. 如果p是一个素数，且a是一个整数，不是p的倍数，则a的p次方减1是p的倍数（正确答案）B. 如果a和b是整数，且a+b是偶数，则a和b都是偶数C. 如果a和b是整数，且ab是偶数，则a和b中至少有一个是偶数D. 如果a是一个整数，则a的平方是正的下列哪个数不是斐波那契数列中的一项？A. 8B. 13C. 21D. 25（正确答案）下列哪个等式描述了模运算的性质？A. (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n（正确答案）B. (a * b) mod n = (a mod n) * nC. (a - b) mod n = (a mod n) - nD. (ab) mod n = (a mod n)b下列哪个是求解同余方程的基本方法？A. 牛顿迭代法B. 中国剩余定理（正确答案）C. 欧拉算法D. 费马小定理下列哪个数是梅森素数？A. 11B. 23C. 31D. 89（正确答案，且是第一个梅森素数M_31）下列哪个等式不是数论中的基本定理？A. 威尔逊定理B. 拉格朗日定理（正确答案）C. 欧拉定理D. 中国剩余定理。
数论习题-整除练习1
整除练习1：某个六位数23456A是9的倍数，求A的值。
【详解】能被9整除，其数字和是9的倍数；2+3+4+5+6+A=20+A；大于20小于30且是9的倍数只有27；所以A=7；2：某个七位数2008ABC能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数ABC是多少？【详解】能被8整除，必然被2、4整除；能被9整除，必然被3整除；能被8和9整除，一定能被6整除；可以认为能够同时被5、7、8、9整除；被5整除，C只能是0；被9整除，B+C为8或17；被7整除，先割去末位的0形成2008AB六位数，再用截位法，得到6AB；被8整除且末位是0的ABC必须是40的倍数；分别检验24组3位数，满足被7整除和后2位的数字和是否8或7；只有440符合要求；3：形如123434…...34，有n个34，能被11整除的最小自然数中的n等于几？【详解】奇数位上的数字和是4n+2,偶数位上的数字和是3n+1，它们差是n+1能被11整除时n+1=11，所以n最小是104：两个四位数A275和275B，如果他们的乘积能被72整除，求A和B。
【详解】考虑到72=8*9，而A275是奇数，所以275B必为8的倍数，因此可得B=2；四位数2752各位数字之和为2+7+5+2=16，不是3的倍数也不是9的倍数，因此275A必须是9的倍数，其各位数字之和A+2+7+5= A +14，能被9整除，所以A=4；5：用1、2、3、4（每个数恰好用一次）可组成24个四位数，其中共有多少个能被11整除？【详解】被11整除的数的特征是：奇数位上数字的和与偶数位上数字的和之差能被11整除。
因为1、2、3、4这几个数字的和之差不可能大于11，因此要被11整除，只能是奇数位上数字的和与偶数位上数字的和之差等于0。
所以1和4必须同是奇数位上的数字或者同时偶数位上的数字，这样才能满足以上要求。
当1和4都是奇数位上的数字时，这样的四位数有：1243、1342、4213、4312；当1和4都是偶数位上的数字时则为：2134、3124、2431、3421。
数论竞赛题目
数论竞赛题目
1.某个正整数N的各位数字之和为S，如果将N加上S，得到的新数是M。
如果M的各位数字之和为T，那么N与T之和是多少？
2. 给定一个正整数N，求小于N的所有正整数中最大的幸运数。
幸运数是指将该数每位数字平方后求和，得到的新数如果为1，则该数为幸运数。
例如，7是幸运数，因为7^2=49，4^2+9^2=97，
9^2+7^2=130，1^2+3^2+0^2=10，1^2+0^2=1。
3. 给定两个正整数A和B，求A到B之间所有质数的和。
4. 给定一个正整数N，求小于N的所有正整数中最大的回文素数。
回文素数是指将该数反转后仍为素数的数。
例如，131是回文素数。
5. 给定一个正整数N，求小于N的所有正整数中最大的丑数。
丑数是指只含有2、3、5三个因数的正整数。
例如，6和25是丑数，而14不是丑数。
6. 给定一个正整数N，求小于N的所有正整数中最大的完全平方数。
完全平方数是指能够表示成某个整数的平方的数。
例如，16和25是完全平方数，而10和14不是完全平方数。
7. 给定一个正整数N，求小于N的所有正整数的因数个数之和。
例如，12的因数为1、2、3、4、6、12，共有6个因数，因数个数之和为1+2+2+3+2+1=11。
8. 给定一个正整数N，求小于N的所有正整数中最大的完全立方数。
完全立方数是指能够表示成某个整数的立方的数。
例如，8和
27是完全立方数，而6和14不是完全立方数。
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数论中的整除性质练习题
数论中的整除性质练习题数论作为数学的一个重要分支，研究的是整数的性质和规律。
其中，整除性质是数论中的基础概念之一，广泛运用于解决各种数学问题。
本文将提供一些数论中的整除性质练习题，以帮助读者加深对该概念的理解和应用。
1. 题目：求证任意正整数的连续相加一定可以被连续相乘整除。
解析：对于任意正整数 n，我们需要证明它的连续相加一定可以被连续相乘整除。
设连续相加的和为 S，连续相乘的积为 P。
由于我们要证明的是对于任意正整数 n 都成立，所以我们可以通过归纳法来进行证明。
当 n = 1 时，显然连续相加的和和连续相乘的积都是 1，满足整除性质。
假设对于 n = k 成立，即 k 个连续正整数的和一定可以被连续正整数的乘积整除。
那么对于 n = k + 1，我们需要证明 (1 + 2 + ... + k + k+1) 能够被 (1 *2 * ... * k * (k+1)) 整除。
根据归纳假设，(1 + 2 + ... + k) 能够被 (1 * 2 * ... * k) 整除。
所以我们可以将 (1 + 2 + ... + k + k+1) 分解为 [(1 + 2 + ... + k) + k+1]。
由于 (1 + 2 + ... + k) 和 (k+1) 都是正整数，根据整除定义，整数 a 能够整除整数 b，等价于 b 可以被 a 整除。
因此，(1 + 2 + ... + k + k+1) 能够被 (1 * 2 * ... * k * (k+1)) 整除。
由此可见，任意正整数的连续相加一定可以被连续相乘整除，得证。
2. 题目：找出 1000 以内的所有素数。
解析：素数是只能被 1 和本身整除的正整数，大于 1。
我们需要找出 1000 以内的所有素数。
对于这个问题，我们可以使用试除法。
即对于每一个整数 n，从 2开始依次将 n 除以 2、3、4、5 等小于或等于 n 开平方根的整数，判断是否存在能够整除 n 的整数。
数论竞赛题
数论竞赛题数论竞赛题是在数学竞赛中常见的一类题型，主要考察学生在数论领域的理解和运用能力。
数论是研究整数性质及其运算规律的数学分支，涉及到诸多定理和性质。
以下是一个典型的数论竞赛题目，供参考。
题目：证明对于任意正整数 n，都存在一个正整数 k，使得 n(n+1)(n+2)(n+3) 可以被 24 整除。
解法：我们可以通过数学归纳法来证明这一命题。
首先，观察到 24 可以分解为 3 × 2^3。
我们分两种情况进行讨论：情况一：n 是 4 的倍数。
设 n=4k，其中 k 是一个正整数。
则有：n(n+1)(n+2)(n+3) = 4k(4k+1)(4k+2)(4k+3)= 4 × k × (4k+1) × 2 × (2k+1) × 3 × (2k+2) 。
我们发现此时，n(n+1)(n+2)(n+3) 能够被 24 整除。
情况二：n 不是 4 的倍数。
设 n=4k+r，其中 k 是一个正整数，r 是余数，r=1,2 或 3。
则有：n(n+1)(n+2)(n+3) = (4k+r)(4k+r+1)(4k+r+2)(4k+r+3)我们观察到，至少存在一个连续的四个数中，必然包含一个数能被 2 整除，一个数能被 4 整除，一个数能被 3 整除，因而有 2×4×3=24，即可以被 24 整除。
综上所述，对于任意的正整数 n，都存在一个正整数 k，使得 n(n+1)(n+2)(n+3) 能够被 24 整除。
证毕。
数论竞赛题通常涉及到数的整除性质、奇偶性、模运算等概念，要求学生具备较强的逻辑推理和数学证明能力。
通过解决这类题目，学生可以加深对数论相关概念和方法的理解，培养思考和解决问题的能力。
小学奥数数论经典50题
优秀篇奇偶性1.（1984 年第1 届迎春杯试题）有6 个学生都面向南站成一行，每回只能有5 个学生向后转，则最少要转回就能使这6 个学生都面向北．2.是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 45若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。
位值原理3.(2009 年第7 届希望杯5 年级2 试第4 题，5 分)一个十位数字是0 的三位数，等于它的各位数字之和的67 倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的倍。
4. a ，b ，c 分别是三位数中的不同的数码，用a ，b ，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234 ，那么另一个三位数是几？数的整除5.（2008 年西城实验数学水平测试）一个自然数的末两位数字为17，它的数字和为17，且能被17整除．请你写出满足条件的最小五位自然数：6. 300301302303304…998999 能否被11 整除？如果不能，那么余数是多少？7. 已知一个五位回文数等于45 与一个四位回文数的乘积（即abcba = 45⨯deed ），那么这个五位回文数最大的可能值是.8. （2008 年第6 届走美杯4 年级决赛第6 题，10 分）207 ，2007 ，20007 ，等首位是2 ，个位是7 ，中间数字全部是0 的数字中，能被27 整除而不被81整除的最小数是。
9. 六位数20□□08 能被99 整除，□□是.10.在小于5000 的自然数中，能被11 整除，并且数字和为13 的数，共有个．质数、合数11.（2010 年十一学校试题）与6 互质的最小的合数是多少？12.（2010 年“数学解题能力展示”六年级初试第5 题）用0～9 这10 个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是．13.（2009 年西城实验小升初试题）若三个不同的质数ab2c +a = 2006 .求a +b +c 的值.因数与倍数14.（2010 年第8 届希望杯6 年级2 试试题）张老师带领六（1）班的学生会种树，学生恰好可平均分成5 组，已知师生每人种的树一样多，共种树527 棵，则六（1）的学生有人。
小学数论练习题
小学数论练习题
在小学数学学科中，数论是一个重要的分支，它研究的是整数及其性质。
通过数论的学习，学生可以培养逻辑思维能力、数学推理能力等。
下面是一些小学数论练习题，通过解答这些题目可以加深对数论知识的理解。
1. 判断下列数中哪些是偶数，哪些是奇数：
a) 24
b) 37
c) 46
d) 51
2. 找出下列数中的素数：
a) 12
b) 17
c) 21
d) 29
3. 20个奇数相加，其和是多少？
4. 用两个不同的质数相乘得到的结果是多少？
5. 十以内所有的偶数是否都能被2整除？
6. 15和30的最大公约数是多少？
7. 小明有12个瓶子，他把这些瓶子按照每行放3个的方式排列。
请问他排列的方式有多少种？
8. 有一个班级有30名男生和25名女生，他们需要站成一队，男生
和女生不能站在一起。
请问共有多少种排队方式？
9. 一堆苹果，小明每次可以拿2个或3个，最后一次只能拿1个。
请问，如果这堆苹果的数量是7个，那么小明一共有多少种取苹果的
方式？
10. 小明有一篮子装满了鸡蛋，他数了一下，发现一共有88个鸡蛋。
他把这些鸡蛋按照每层放12个的方式分成若干层，最后一层只能放3个。
请问他分了几层？
以上是一些小学数论练习题，希望能帮助学生们巩固数论知识，提
升数学能力。
在解答这些题目的过程中，学生们可以思考数的奇偶性、素数的性质、最大公约数、排列组合等概念。
通过不断练习和思考，
学生们可以在数论领域中取得更好的成绩。
数论练习题及解析
数论练习题及解析数论是数学中研究整数性质和整数运算规律的一个分支。
它在不同的数学领域中扮演着重要的角色，如密码学、计算机科学、代数等。
本文将提供一些数论的练习题，并给出相应的解析，旨在帮助读者更好地理解数论的基本概念和方法。
一、整除与因子1. 若整数a可以被整数b整除，记作b | a，求证另一个整数d，使得a = db。
解析：根据整数的定义，a可以表示为b的倍数。
假设倍数为k，则a = kb。
令d = k，则a = db，证毕。
2. 求证两个奇数的和是偶数。
解析：我们可以用数学归纳法来证明这个问题。
首先，当n为1时，一个奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为整数。
两个奇数的和为4k+2，即2的倍数，属于偶数。
其次，假设当n=k时，两个奇数的和为2的倍数。
则当n=k+1时，一个奇数可以表示为2(k+1)+1=2k+3的形式。
两个奇数的和为(2k+2) + (2k+3) = 4k+5，即奇数。
所以，根据数学归纳法，我们可以得出结论：两个奇数的和是偶数。
二、最大公约数与最小公倍数3. 求证两个整数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个整数的积。
解析：假设两个整数为a和b，它们的最大公约数为d，最小公倍数为m。
根据最大公约数和最小公倍数的定义，我们有以下等式：a = dx，b = dy，其中x和y为整数，且x、y互素。
因为x、y互素，所以它们的乘积xy也与它们互素。
则a和b的积ab可以表示为d²xy，即ab = d²xy。
另一方面，a和b的积同时也可以表示为mxy，即ab = mxy。
由此，我们可以得出等式d²xy = mxy，即dm = xy。
因为xy互素，根据整除的性质，只能得出d = m。
所以，两个整数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个整数的积。
4. 求证若a、b、c为三个正整数，且a | b，b | c，则a | c。
解析：根据题目条件，我们可以得出正整数b和正整数a的倍数之间存在整除关系，记作b = ka，其中k为整数。
数论练习题推荐
数论练习题推荐数论是数学的一个重要分支，研究整数及其性质、结构和关系。
数论在计算机科学、密码学、密码学等领域有着广泛的应用。
为了培养学生对数论的兴趣和理解能力，本文将推荐一些适合初学者的数论练习题。
1. 除法定理题目：证明任何一个整数除以4的余数只可能是0、1、2或3。
解析：可以使用反证法证明。
假设存在一个整数除以4的余数为a，但a不是0、1、2或3。
那么a可以表示为a = 4k + r，其中k为整数，r是除以4的余数。
然而，这与假设矛盾，因为余数r不可能大于3。
因此，结论成立。
2. 最大公约数题目：计算下列数的最大公约数：48和60。
解析：可以使用欧几里得算法求解最大公约数。
首先，用60除以48得到商1和余数12。
然后，用48除以12得到商4和余数0。
因此，最大公约数为12。
3. 整数的奇偶性题目：证明任何一个整数的平方都是偶数。
解析：可以使用分情况讨论证明。
对于任何一个整数N，可以表示为N = 2k或N = 2k + 1，其中k是整数。
将N的平方进行展开，若N =2k，则N^2 = (2k)^2 = 2(2k^2)，即为偶数；若N = 2k + 1，则N^2 = (2k + 1)^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1，即为奇数。
因此，任何一个整数的平方都是偶数。
4. 质数判断题目：判断下列数是否为质数：29和49。
解析：质数是指只能被1和自身整除的自然数。
对于29来说，可以从2开始逐个试除，发现没有除数能整除29，因此29是质数。
对于49来说，可以发现除了1和49外，还有其他的除数，如7和49，因此49不是质数。
5. 同余定理题目：证明如果两个整数对于某个正整数m满足同余关系，则它们的差也是m的倍数。
解析：设整数a和b对于正整数m满足同余关系，即a ≡ b (mod m)。
根据同余的定义，可以得到a = km + b，其中k是一个整数。
将其改写为a - b = km，由此可知a - b是m的倍数。
数论题目
数论基础题目1、证明：00(,)ax by a b +=，其中 00ax by + 是形如 ax by +（x ，y 是任意整数，a ，b 是两不全为零的整数）的整数中最小正数。
（课本P9 T2）2、设a 是任一大于1的整数，则a 的除1外最小正因数q 是质数；并且当a 是合数时，aq ≤。
（课本P14 Th-1） 3、若n 21+是质数（n>1），则n 是2的方幂。
（课本P19 T5）4、设1),(,0,,212121=>=m m m m m m m ，若1x 通过模1m 的完全剩余系，2x 通过模2m 的完全剩余系，则1221x m x m +通过模m 的完全剩余系。
（课本P56 Th-3）5、若已知模m 的标准分解式为：n n p p p m ααα 2121=，其中N i ∈α，mp p p n ≤<<<< 211为n 个不同的素数，n i ,,2,1 =，则)(m ϕ的计算公式为：)11()(1i n i p m m -=∏=ϕ。
（课本P59 Th-5）6、试解下列各题：（1）十一数余三，七二数余二，十三数余一，问本数。
（课本P79 T1(i)）（2）解同余式：256x ≡179()mod 337。
（课本P75 T1(i)）（3）课本P81 例1（4）课本P83 例2（模数由27改为8）（5）求联立同余式4290(m od 143)29840(m od 143)x y x y +-≡⎧⎨-+≡⎩的（课本P75 T2）注：本次数论测试将从前五题中抽三道题、第六题中抽道两小题，时间为60分钟。
本次测试题目较为基础，希望大家依据课本认真复习。
五年级 数论专题
数论部分题目汇编1． 有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2． 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3． 1534×25=43214是几进制的成法？4． 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
5． 下列数不是八进制数的是( )A 、125B 、126C 、127D 、1286．一个自然数和60相乘得到的积是3次方数，这个最小的自然数是多少？7． 在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？8． 随意1-100中所有不能被9整除的数的和是5050-495=45559. 某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占71，得80～89分的人数占21，得70～79分得人数占31，那么得70分以下的有________人。
10．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。
2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？11． 自然数N 是一个两位数，它是一个质数，而且N 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_______个。
12． 三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？13． 五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？14． 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？15．从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．16．有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积．其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数．那么，这样的三个质数可以是、、．17．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n 是多少?18．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?19．如果某整数同时具备如下3条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．20．在555555的约数中，最大的三位数是多少?21. 从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?22. 已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的.23. 把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1．那么最少要分成多少组?24. 图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?25. 设a与b是两个不相等的非零自然数．(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?(2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?26. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳142米，黄鼠狼每次跳324米，它们每秒钟都一次．比赛途中，从起点开始每隔3128米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?27. 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)28. 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少?29. 证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数．30. 有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块．甲先取走一盒，余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖?31. 在一根长木棍上，有三种刻度线．第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份．如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段?32.桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。
数论基础题
基础题2：判断二元一次方程有没有整数解
描述：
已知二元一次方程 a*x+b*y=n， 判断这个二元一次方程有没有整数解，x,y 为未知数，其中a，b，n都为整数且不等于零，同时满足0<a,b,n<2^16-1。 输入：第一行有一个整数0<n<=1000000表示有 n组测试数据,接下来的每一行 有三个整数分别是a,b,n
青蛙约会 分析
• 这道题目用到了扩展欧几里德算法。
• 设过s步后两青蛙相遇，则必满足以下等式：
(x+m*s)-(y+n*s)=k*l(k=0,1,2....)
• 稍微变一下形得：(n-m)*s+k*l=x-y
• 令n-m=a,k=b,x-y=c,即a*s+b*l=c
• 只要上式存在整数解，则两青蛙能相遇，否则不
/JudgeOnline/problem.php?pid=40
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
#include <stdio.h>
int GCD(int a, int b){ if(a < b){ return GCD(b,a); } if(b == 0){ return a; } else{ return GCD(b, a % b); } }
练习：青蛙约会
/problem?id=1061
描述：两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它 们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面 为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征， 也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着 某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点 上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个 程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点， 由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设 青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一 次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出 它们跳了几次以后才会碰面。 输入： 输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。 输出： 输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible“ Sample Input 12345 Sample Output 4
小学数学数论练习题
小学数学数论练习题1. 问题描述：小明有4个篮球和6个足球，他想将这些球分成几组，每组只能有篮球或者足球，且每组中篮球和足球的总数都一样。
请问小明最多能分成几组？解析：设每组中的篮球和足球的数量为x。
根据题目条件，可以得到以下等式：4x = 6x将等式化简后得到：2x = 6解方程得到x = 3。
因此，小明最多能分成3组，每组有3个篮球和3个足球。
2. 问题描述：有一组连续的自然数，从1开始，如果这组自然数中有一个数的平方等于某个大于1的质数的n次方（n>1），则称该质数为“关键质数”。
请问，从1到100之间共有几个关键质数？解析：首先，我们需要确定在1到100之间存在哪些质数。
通过筛除法可以得到：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。
然后，我们遍历这些质数，并计算其n次方（n>1）是否存在于1到100的连续自然数中。
如果存在，就将对应的质数计数加一。
经过计算，从1到100之间共有4个关键质数，分别是：2, 3, 5, 7。
3. 问题描述：小明有1元、2元、5元三种面额的硬币各若干枚。
他寻思着用这些硬币凑出不同的金额，最多能凑出多少种不同的金额？解析：设1元、2元、5元硬币的数量分别为x、y、z。
根据题目条件，可以列出以下不等式：x + 2y + 5z ≤ 100其中，100为金额的上限。
通过遍历x、y、z的范围（分别为0到100），并满足上述不等式的情况下计数，可以得出最多能凑出的不同金额种数。
经过计算，小明最多能凑出49种不同的金额。
4. 问题描述：小华用纸币买了一只笔和一只橡皮擦，一共花了29元。
已知一只笔的价格是5元，橡皮擦的价格是2元，问小华使用了多少张纸币？解析：设小华用来买笔的纸币数量为x，用来买橡皮擦的纸币数量为y。
根据题目条件，可以得到以下方程组：5x + 2y = 29其中，x和y为整数，且都大于等于0。
数论初步
数论初步1、六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是 。
2、有一个三位数等于它的各位数字和的42倍，这个三位数是 。
3、下面这个199位整数： 位19910011001001 被13除，余数是多少 ？4、一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是 。
5、一个三位自然数正好等于它各数位上的数字和的18倍。
这个三位自然数是 。
6、三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的最小的三位数是 ， ， 。
7、如果 2005200520052005个n 01能被11整除，那么n 的最小值是 。
8、有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除，请你算出后两位数。
9、在下面的方框中各填入一个数字，是六位数11□□11能被17和19整除，那么方框中的两位数是 。
10、将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能的小，那么所加的整数是 。
11、用数字6,7,8各两个，组成一个六位数，使它们能被168整除。
这个六位数是 。
12、在算式□+91=○中，已知□盖住的是一个能被9整除的两位数，○盖住的是7的倍数。
问：○盖住的数是多少？13、若四位数a a 89能被15整除，则A 代表的数字是 。
14、如果有一个九位数B A 1999311能被72整除，试求A 、B 两数的差。
（大减小）15、设A 、B 使得六位数B A 2000能被26整除。
所有这样的6位数是 。
16、一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数。
现已知一个十全数能被1,2,3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是 。
17、包含0，1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全数”同时满足下列要求： （1）它 能分别被1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12整除。
数论趣味题目
数论趣味题目
以下是一些有趣的数论题目，供您参考：
1. 寻找完美的数字：一个完美的数字是其各个数位上的数字之和等于它本身的数字。
例如，数字19就是一个完美的数字，因为1+9=10，而10等于19。
请找出所有三位数的完美数字。
2. 质数接龙：从1开始，每次只能选择一个质数并乘以下一个质数。
例如，2×3=6，6不是质数，所以不能算作答案。
请问，通过多少次乘法操作，可以得到一个大于1000的数？
3. 寻找特殊的数字：一个数字是特殊的，如果它是一个平方数并且它的各位数之和也是一个平方数。
例如，数字4是特殊的，因为4是2的平方，而4的各位数之和是4，4也是2的平方。
请找出所有四位数的特殊数字。
4. 求和问题：一个正整数可以表示为若干个连续奇数的和。
例如，
10=3+5+2+0，20=3+5+7+5+3。
请问，是否存在一个正整数，它不能
表示为若干个连续奇数的和？
5. 密码破解：有一个密码系统由三位数组成，每一位数字都来自于1、2、3、4、5中的一个。
每一个数字只能用一次。
以下是这个密码系统的一些规则：
任何两个相邻的数字不能相同。
任何两个相邻的数字必须有一个是奇数。
任何两个相邻的数字必须有一个是偶数。
第一个数字和最后一个数字必须是奇数。
请写出所有可能的密码组合。
小学数学数论题
小学数学数论题标题：小学数学数论题试卷说明：请根据题目要求，在答题纸上将答案正确填写，并将答案的完整过程写在答题纸上。
每道题的分数均在括号内注明。
第一部分：选择题（每题2分，共20分）从每题所给的选项中，选出一个最佳答案。
1. 下面哪一个数是偶数？A. 3B. 4C. 5D. 62. 以下哪个数能被4整除？A. 15B. 12C. 9D. 73. 将下列数字从小到大排列，得到的结果是：A. 24, 17, 13, 19B. 13, 17, 19, 24C. 17, 24, 19, 13D. 24, 19, 17, 134. 一个数除以6的余数是4，该数加10后再除以6的余数是：A. 2B. 3C. 4D. 55. 以下哪个数字是质数？A. 15B. 20C. 23D. 306. 某个数字的个位数是7，十位比个位数小4，最大百位数为9，该数是：A. 749B. 967C. 914D. 4257. 能被3整除且能被4整除的最小正整数是：A. 6B. 8C. 12D. 248. 以下哪个数是完全平方数？A. 16B. 18C. 21D. 249. 下面哪一个数字不是奇数？A. 27B. 35C. 42D. 4910. 一个数比自己的三分之一多8，那么这个数是：A. 12B. 16C. 20D. 24第二部分：填空题（每题2分，共20分）根据题目要求，在空白处填写正确的答案。
1. 12 ÷ 3 = ___2. 15 - ___ = 93. 8 × ___ = 564. 7 + 6 × 4 = ___5. 43 ÷ 7 = ___余___6. 25 - ___ = 107. 5 × (18 ÷ 6) = ___8. 9 ÷ ___ = 39. (8 × 4) - (7 + 6) = ___10. 52 ÷ 8 = ___余___第三部分：解答题（每题10分，共30分）根据题目要求，用文字和计算过程回答问题。
数论贝祖定理题目
1、根据贝祖定理，如果两个整数a和b的最大公约数为1，那么一定存在整数x和y使得：A. ax + by = 0B. ax + by = a * bC. ax + by = 2D. ax + by = 1（答案）D2、设a = 14, b = 9，根据贝祖定理，下列哪个选项是正确的整数对(x, y)，满足ax + by = 1？A. (1, -1)B. (2, 3)C. (-1, 2)D. (0, 1)（答案）C3、若a和b是两个互质的正整数，且a < b，那么根据贝祖定理，下列说法正确的是：A. 对于任意的正整数c，都存在整数x和y使得ax + by = cB. 一定存在正整数x和y使得ax + by = a + bC. 一定存在整数x和y，且x和y的绝对值都小于a，使得ax + by = 1D. 一定存在整数x和y使得ax + by = ab - 1（答案）D（注意：此题D选项并非唯一可能正确的情况，但在所给选项中，只有D是与贝祖定理直接相关的正确陈述。
实际上，更精确的说法应是存在整数x,y使得ax+by=1）4、设整数a = 60, b = 49，那么满足贝祖定理的整数对(x, y)可能是：A. (1, -1)B. (7, -8)C. (-7, 8)D. (0, 1)（答案）C5、若a和b的最大公约数为5，那么根据贝祖定理的推广形式，下列哪个选项是正确的？A. 一定存在整数x和y使得ax + by = 1B. 一定存在整数x和y使得ax + by = 5C. 一定存在整数x和y使得ax + by = 10D. 对于任意的整数c，都存在整数x和y使得ax + by = c（答案）B6、设整数a = 8, b = 15，那么满足贝祖定理的整数对(x, y)的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷多（答案）D7、若a和b是两个正整数，且它们的最大公约数为d，那么根据贝祖定理的推广形式，下列说法正确的是：A. 一定存在整数x和y使得ax + by = dB. 一定存在整数x和y使得ax + by = a * bC. 一定存在整数x和y使得ax + by = a + b - dD. 对于任意的整数c，都存在整数x和y使得ax + by = c * d（答案）A8、设整数a = 12, b = 18，那么满足贝祖定理的整数对(x, y)的一个可能解是：A. (1, -1)B. (2, -1)C. (-1, 1)D. (1, 0)（答案）B（注意：此题答案不唯一，因为存在多组解）9、若a和b是两个互质的正整数，那么根据贝祖定理，下列说法错误的是：A. 一定存在整数x和y使得ax + by = 1B. 一定存在正整数x和y使得ax + by = 1C. 一定存在整数x和y，使得|x| + |y|的值最小D. 对于任意的整数c，都存在整数x和y使得ax + by = c * gcd(a, b)（答案）B（注意：互质时，x和y不一定都为正整数）10、设整数a = 4, b = 9，那么满足贝祖定理的整数对(x, y)中，y的最小正整数值是：A. 1B. 2C. 3D. 4（答案）A（注意：此题答案依赖于具体求解过程，但在此情境下，通过贝祖定理可找到使得y为正且最小的整数解）。
数论期末试题及答案
数论期末试题及答案1. 选择题（每题5分，共20题）1）1+2+3+…+99+100的和是多少？A. 4950B. 5000C. 5050D. 5100答案：C. 50502）4的7次方是多少？A. 128B. 256C. 512D. 1024答案：B. 2563）100的倍数能被1和几整除？A. 9B. 10C. 11答案：B. 104）如果a和b都是偶数，那么a-b一定是偶数吗？A. 是B. 否答案：A. 是5）若n是整数，则(3n+1)(3n+2)一定是3的倍数吗？A. 是B. 否答案：B. 否6）小明和小红共有7枚硬币，小明有4枚硬币，小红有几枚？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B. 37）2乘以一个整数，结果是130。
这个整数是多少？A. 60C. 70D. 75答案：B. 658）如果x是奇数，那么x(x+1)一定是偶数吗？A. 是B. 否答案：A. 是9）a和b都是正整数，且满足a/b = 4/9，那么a与b的最大公约数是多少？A. 9B. 4C. 1D. 13答案：C. 110）如果m是正整数，那么m和2m/3的最小公倍数是多少？A. mB. 2mD. 4m答案：B. 2m11）已知1+2+3+...+n=55，那么n是多少？A. 7B. 8C. 9D. 10答案：C. 912）巧克力块状的，宽度是2 cm，厚度是6 mm，长度是10 mm。
这块巧克力的体积是多少立方厘米？A. 1.2B. 1.2×10⁻³C. 1.2×10⁻⁵D. 1.2×10⁻⁹答案：A. 1.213）a和b都是正整数，且满足1/a + 1/b = 1/12，那么a和b的值分别是多少？A. a=4, b=9B. a=3, b=8C. a=5, b=10D. a=6, b=7答案：A. a=4, b=914）若m是偶数，且n是奇数，那么m²+n²是偶数吗？A. 是B. 否答案：A. 是15）如果将一个偶数的两倍再加上6，结果一定是偶数吗？A. 是B. 否答案：A. 是16）abcde ×4 = edcba，其中每个字母代表一个0-9的数字，找出a、b、c、d、e各代表的数字。
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浙江师范大学《初等数论》考试卷（A1卷）（2004——2005学年第一学期）考试类别使用学生数学专业**本科考试时间120分钟表出卷时间*年*月*日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。
一、填空（30分）1、d（1000）= 。
φ（1000）= 。
()=______ 。
2、ax+bY=c有解的充要条件是。
3、被3除后余数为。
4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X—2Y+3Z]可能的值为。
5、φ（1）＋φ（P）＋…φ（）=。
6、高斯互反律是。
7、两个素数的和为31，则这两个素数是。
8、带余除法定理是。
答案1、16．2340，12、（a，b）|c3、14、3，4，5，6，7，8，9，10，115、6、，p，q为奇素数7、2，298、a，b是两个整数，b>0,则存在两个惟一的整数q，r使得二、解同余方程组（12分）答案解：因为（12，10）|6-（-2），（10，15）|6-1，（12，15）|1-（-2）所以同余式组有解原方程等价于方程即由孙子定理得三、A、叙述威尔逊定理。
B．证明若，则m为素数（10分）答案A．(威尔逊定理)整数是素数，则证：若m不是素数，则m=ab，，则，则有不可能，所以m是素数。
四．解方程≡0（mod２７）（10分）答案解：由≡0（mod3）得得x=1+3t代入≡0 （mod9）有有代入x=1+3t得代入≡0 （mod27）有代入有，即设2Ｐ+1为素数,试证（10分）答案证：因n=2Ｐ+1为素数，由威尔逊定理即有即证六、设P=4n+3是素数，证明当q=2p+1也是素数时，梅森数不是素数。
（10分）答案证：因q=8n+7，由性质2是q=8n+7的平方剩余，即所以梅森数不是素数。
七、证无正整数解。
（8分）答案证：假设有解，设（x，y，z）是一组正整数解，则有x是3的倍数，设x=3x1,又得到y为3的倍数，设,又有，则有解且z>z1这样可以一直进行下去，z>z1>z2> z3>z4>…但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾八、设n是大于2的整数，证明为偶数（10分）答案证：因为（-1，n）=1，由欧拉定理有，因为n大于2，只有为偶数。
浙江师范大学《初等数论》考试卷（B1卷）（2004——2005学年第一学期）考试类别使用学生数学专业**本科考试时间120分钟表出卷时间*年*月*日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。
一、填空（30分）1、d（37）= 。
σ（37）= 。
2、φ（1）＋φ（P）＋…φ（）=。
3、不能表示成5X+3Y（X、Y非负）的最大整数为。
4、7在2004！中的最高幂指数是。
5、（1501 ，300）= 。
6、有解的充要条件是。
7、威尔逊定理是。
8、写出6的一个绝对值最小的简化系。
9、被7除后的余数为。
答案:1、2，382、3、74、3315、16、7、P为素数，8、1，59、5二、解同余方程组（12分）答案:解：因为5,7,8两两互素,所以可以利用孙子定理..解同余式,,,得到.于是所求的解为所以三、证明当是奇数时，有.（10分）答案:证明：因为,所以.于是,当是奇数时,我们可以令.从而有,即.四、如果整系数的二次三项式时的值都是奇数，证明没有整数根（8分）答案:证：由条件可得c为奇数，b为偶数如果p（x）=0有根q，若q为偶数，则有为奇数，而p（q）=0为偶数，不可能，若q为奇数，则有为奇数，而p（q）=0为偶数，也不可能，所以没有整数根五、解方程.（10分）答案:解因为(45,132)=3¦21,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程 . 我们再解不定方程, 得到一解(21,7).因此同余式的3个解为,,六、证明：用算术基本定理证明是无理数。
（10分）答案:证：假设是有理数，则存在二个正整数p，q，使得=，由对数定义可得有3=,则同一个数左边含奇数个因子，右边含偶数个因子，与算术基本定理矛盾。
∴为无理数。
七、证明：对任何正整数ｎ,若ｎ不能被4整除，则有5| （10分）答案:证：则题意知n=4q+r，r=1，2，3。
因为=1,i=1,2,3,4所以有当r=1时有当r=2时有当r=3时有从而证明了结论。
八、解不定方程（10分）答案:解：因为（4，5）=1，所以方程有解，由观察得有特解x=0，y=2所以方程的解为浙江师范大学《初等数论》考试卷（C1卷）（2004——2005学年第一学期）考试类别使用学生数学专业**本科考试时间120分钟表出卷时间*年*月*日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。
七、填空（30分）1、d（31）= 。
σ（3600）= 。
2、四位数被9整除，则A=。
3、17X+2Y=3通解为。
4、费尔马大定理是。
5、写出12的一个简化系，要求每项都是5的倍数。
6、=。
7、化为分数是。
8、15！的标准分解是。
9、1000到2003的所有整数中13的倍数有个。
答案1、2，124932、73、4、无正整数解5、5，25，35，556、0．67、8、9、78八、解同余方程组（12分）答案证：因为4,5,7两两互素,所以可以利用孙子定理求解..解同余式,,,得到.于是所求的解为九、叙述并且证明欧拉定理。
（12分）答案(欧拉定理)若则证明：设是模的一组互素剩余系．由§2.2定理知是模的一组互素剩余系．即又十、（10分）答案解：因为（8，11）=1，所以同余式有解。
由形式分数有十一、证明梅森数的素因子.（10分）答案证：设q是2-1的质因数，由于2-1为奇数，∴q≠2，∴（2，q）=1,由条件q|2p-1,即2≡1（mod q）又∵（q,2）=1，2≡1（mod q）设i是使得2≡1（mod p）成立最小正整数若1<i<p，则有i|p则与p为素数矛盾∴i=p, ∴p|q-1，从而证明了结论。
十二、试证若且是素数，则（9分）答案证：因为且是素数所以（p，10）=1，由欧拉定理有，从而有十三、证明：对任何的正整数a，5a+2不可能是平方数（9分）答案证：因为平方数被5除后的余数为1，4，而5a+2被5除后的余数为2，2不同余1，4关于5，所以不相等八、判断方程≡３（mod８３）是否有解，若有解则有几解（8分）答案解：因为，所以有解，由性质知有解就有两解。
浙江师范大学《初等数论》考试卷（D卷）（2002——2003学年第一学期）考试类别使用学生数理学院数学专业99本科考试时间150分钟表出卷时间2002年月日12月28日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理一、填空题(每小题3分，共30分)1. σ（29）= .2. 不能表示成（为非负整数）的最大整数为.3. 7在2008！的标准分解式中的最高幂指数是.4. 2005和2006的最小公倍数是.5. 威尔逊定理是.6. 设为整数且被4、5、7除后的余数都为3，则最小的是.7. 已知（a，b）=1，则（5a+3b，13a+8b）=__________.8. 1，4，9，16,…10000这100个平方数中是3的倍数的平方数有个.9. 若今天是星期日, 则天后的那一天是星期__________.10.的末二位数是________.答案1.302.113.3354.40220305.P为素数, 则有6.1437. 18.339.四10.4311.二．解同余方程组（12分）答案解：因为5, 8, 7两两互素,所以有解利用孙子定理求得 .解同余方程,,,得到.于是所求的解为得三．解同余方程（10分）答案解：因为（17，25）=1，所以同余方程有一解四．求的整数解. （10分）答案解：因为所以,因为为整数,所以只能取-1,-3,1,3从而原方程的解为,,,五．判断同余方程≡73(mod137)是否有解，若有解，有几解.(8分)答案解：因为，所以同余方程≡73(mod137)有解由定理有解则有两解。
六．证明：不存在整数使等式＝1995成立. （10分）答案证：假设有整数x，y存在，使x2＋y2＝1995成立。
∵x2，y2被４除余数为０或１.∴x2＋y2被４除余数为０，１或２.又∵1995被４除余数为３.∴得出矛盾，假设不成立.故没有整数x，y存在，使x2＋y2＝1995成立.七．设72|，试求a，b的值. （10分）答案解 72＝8×9，且(8，9)＝1∴ 8|，且9|∴ 8| b＝6且 9|a＋6＋7＋3＋6即9|22＋a，即a=5，所以a=5，b=6八．用1，2，。
8，9不重复地写出被11整除最大的九位数（10分）答案因为被11整除的数的特征是奇数位数码之和减去偶数位数码之和为11的倍数,要写最大的九位数,前面可用98765,然后对后面的数字进行调整,此时奇数位数码和比偶数位数码之和大7,只要后面最大4或小7即可,小卖7不行,只能大4,刚好4,3之和比1,2之和大4,为了最大,后4位为2413,所以所求数为987652413.浙江师范大学《初等数论》考试卷（E1卷）（2004——2005学年第一学期）考试类别使用学生数学专业**本科考试时间120分钟表出卷时间*年*月*日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。
十四、填空（30分）1、d（1200）= 。
2、梅森数是素数，则n是。
3、不能表示成7X+6Y（X、Y非负）的最大整数为。
4、1×3×5×7……×1999×2001的标准分解中13的幂指数是。
5、（13a+21b ，34a+55b）= 。
已知（a ，b）=1。
6、费尔马猜想是。
7、写出12的一个简化系，要求每项都是7的倍数。
8、aX≡b（mod m）有解的充要条件是。
9、被3除后余数为。
10、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X—2Y+Z]可能的值为。
答案1、24，2、素数3、294、835、16、无正整数解7、7，35，49，778、，9、110、-5，-4，-3，-2十五、解方程组（10分）答案解因为7,8,9两两互素,所以可以利用孙子定理.解同余式,,,得到.于是所求的解为十六、叙述并且证明带余除法定理。
（10分）答案带余除法定理：且使得成立, 并且是惟一的．证明：（存在性）作整数序列：对于必存在一个整数使得成立令即惟一性）：若使得又又即从而有是惟一的．十七、解方程≡0 （mod１２５）（10分）答案解：由≡0 （mod5）得对得x=1+5t代入≡0 （mod25）有有代入x=1+5t得代入≡0 （mod125）有代入有，，同理另一解为十八、设Ｐ为素数，试证对任整数ａ，都有Ｐ|（Ｐ－１）！＋a。
（10分）答案证：由威尔逊定理由欧拉定理，两式相乘即得即有Ｐ|（Ｐ－１）！＋a十九、证明不定方程x2-2xy2+5z+3=0无整数解答案证:若不定方程有解，则但y4≡0，1(mod5),∴对y,zy4-5z-3≡2，3(mod5)而一个平方数≡0，1，4（mod 5）∴y4-5z-3不可能为完全平方，即不是整数，所以原不定方程无解。