1997-2015管理类联考真题模块化归类(排列组合部分)

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第九章 计数原理
本章对应大纲考点有： 加法原理、 乘法原理； 排列与排列数； 组合与组合数； 其中， 两个基本原理是学习本章所有内容的基础、 核心， 其中乘法原理尤为重要， 正是根据乘法原理推导出两个工具：排列数和组合数 纵观历年真题，考生需做到如下几点要求： （1）能运用加法、乘法原理来分 析如何完成一件事情； （2）理解最基本工具“组合数 Cn ”的含义，掌握组合数 的计算方法及性质； （3）会一些常用的排列组合方法如捆绑法、插空法、隔板 …… 法
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【解析】某一工种不能最后加工，意味着另外 4 个工种可以放在最后，有 4 种方法，确定最 后加工的工种后再将剩余 4 个工种全排列即可按要求完成， 根据乘法原理可安排 4 4! 96 种 【另解】可以从反面计算，用总情况数 5! 减掉“某工种放在最后加工”的情况数 4! 【2011 年 1 月】现有 3 名男生和 2 名女生参加面试，则面试的排序法有 24 种 （1）第一位面试的是女生 （2）第二位面试的是指定的某位男生
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【答案】B 【解析】条件（1） ：第一步分析第一位，要求第一位面试的是女生，可以是 2 名女生中的任 意一名，有 2 种方法，第二步分析第二位，第二位没有任何要求，由于第一位已经面试过 1 名女生，第二位可以面试除了第一名面试过的女生外剩余的任意 4 人，有 4 种方法，以此类 推， 第三步分析第三位， 有 3 种方法， 第四步分析第四位有 2 种方法， 第五步只有一种方法， 故共有 2 4 3 2 1 48 种方法，不充分；条件（2） ：第一步分析第二位，要求面试的是 指定的某位男生，故第一步只有一种方法，其它步骤类似于条件（1）的分析思路，分别由 4,3,2,1 种方法，故共有 4 3 2 1 24 种方法，充分；综上选 B 【2012 年 1 月】在两队进行的羽毛球对抗赛中，每队派出 3 男 2 女共 5 名运动员进行 5 局 单打比赛，如果女子比赛安排在第二和第四局进行，则每队队员的不同出场顺序有 A.12 种 B.10 种 C.8 种 D.6 种 E.4 种 【答案】A 【解析】第一步：要求女子比赛安排在第二和第四局，先分析第二和第四局，2 名女运动员 可以互相交换顺序，有 2! 种方法（可以将 2 名女运动员看成元素，2 局比赛看成位置，2 个 元素放在 2 个位置上，有 2! 种方法） ，第二步：分析剩余 3 局（第一、三、五局） ，3 名男选 手可以互相交换顺序，有 3! 种方法（将 3 名男运动员看成元素，3 局比赛看成位置，3 个元 素放在 3 个位置上，有 3! 种方法） ，综上共 2! 3! 12 种方法
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C
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【答案】D 【解析】涂这四块区域分 4 步，第一步涂 A 有 5 种方法，第二步涂 B 要求与 A 不同色有 4 种方法，第三步涂 D 要求与 A、B 均不同色有 3 种方法，第四步涂 C 要求与 B、D 不同色 有 3 种方法，故共 5 4 3 3 180 种方法 【2007 年 10 月】有 5 人报名参加 3 项不同的培训，每人都只报一项，则不同的报法有 A.243 种 B.125 种 C.81 种 D.60 种 E.以上均不对 【答案】A 【解析】5 个人分 5 步，每人都有 3 种报名方法，故共有 3 3 3 3 3 35 种不同的报法 【2008 年 1 月】公路 AB 上各站之间共有 90 种不同的车票 （1）公路 AB 上有 10 个车站，每两站之间都有往返车票 （2）公路 AB 上有 9 个车站，每两站之间都有往返车票 【答案】A 【解析】条件（1） ：只要将车票的起点和终点确定，车票就确定了，因此分两步：第一步确 定起点，10 个车站均有可能作为起点，有 10 种方法，第二步确定终点（起点与终点不能相 同） ，有 9 种方法，故共有 10 9 90 种车票，充分；同理条件（2）有 9 8 72 种不同车 票，不充分；综上选 A
小结：用乘法原理分析问题时。如果遇到有特殊要求的元素或位置，通常先处理有要求 的特殊元素或位置，再分析无要求的一般元素或位置
【2013 年 1 月】确定两人从 A 地出发经过 B,C 沿逆时针方向行走一圈回到 A 地的方案（如 图）.若 A 地出发时，每人均可选大路或山道，经过 B,C 时，至多有一人可以更改道路，则 不同的方案有 A.16 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种 E.64 种
4 4
【另解】 P 9 A 9 C9 4! 3024
4 4 4
【评注】两条件都对特殊位置有特殊要求，遇到有特殊要求的，我们采取先分析特殊位置或 元素（有要求） ，再分析一般位置或元素（无要求）的分析步骤 【1999 年 1 月】加工某产品需要经过 5 个工种，其中某一工种不能最后加工，试问可安排 （ ）种工序 A.96 B.102 C.112 D.92 E.86 【答案】A
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【答案】C 【解析】分步思考，从 A 到 B，每人有两种，所以两人有 4 种；从 B 到 C，如果至多有一 3× 3=36 种 人变道，两人有 3 种；从 C 到 A，两人有 3 种；从而总共 4× 【2014 年 1 月】某单位决定对 4 个部门的经理进行轮岗，要求每个经理必须轮换到 4 个部 门中的其他部门任职，则不同的轮岗方案有 A.3 种 B.6 种 C.8 种 D.9 种 E.10 种 【答案】D 【解析】设 4 个部门的经理为甲、乙、丙、丁 4 人，第一步分析甲：由于甲不能取自己的部 门，甲只能去乙丙丁 3 个部门中的某个部门，有 3 种方法，假设甲去了乙部门；第二步分析 乙：乙也有 3 种方法；如果第一步中甲去了丙部门，第二步分析丙，丙也有 3 种方法（无论 第一步甲去哪个部门，第二步总有 3 种方法） ；第三步：剩下 2 名经理只能去对方的部门， 有 1 种方法；综上共 3 3 9 种方法 【发散】4 元素不对号问题有 9 种方法，5 元素不对号问题有 44 种方法
m
m Cn
Pnm n n 1 ... n m 1 m! m!
组合数的性质：
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0 n m n m Cn Cn 1 ， Cn Cn ；
解题关键点： 应用两种原理解题：1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成，“类” 间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制. 另外，考试非常乐于考察“乘法原理” ，乘法原理的使用标志有两个：一个是完成 事情需要“分步” ，一定要用乘法原理；另一个是“无论上一步选择何种完成方法，下 一步的方法数不变”,这是使用乘法原理的一个最基本要求 一个可有可无的工具“排列数” Pn （或 An ） 从 n 个不同元素中任选 m 个，放到 m 个不同的位置上的情况数记为 Pn （或 An ） ，
火车
甲地 汽车 轮船 乙地
2.乘法原理 如果完成一件事，必须依次连续地完成 n 个步骤，这件事才能完成；若完成第一个步骤 有 m1 种不同的方法，完成第二个步骤有 m2 种不同的方法……完成第 n 个步骤有 mn 种不同 的方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 ...... mn 种不同的方法 例：如图，由 A 村去 B 村的道路有 2 条，由 B 村去 C 村的道路有 3 条，从 A 村经 B 村去 C 村，共有多少种不同的走法？ 分析：从 A 村经 B 村去 C 村有 2 步：
小结：在分步过程中， “无论上一步选择何种完成方法，下一步的方法数是不变的” ，这 是在分步分析问题时之所以用“乘”的根本原因
第二节 组合数及其性质、二项式定理
知识要点 组合数的概念： 从 n 个不同元素中任选 m 个的所有情况数，记为 Cn
m m m m
组合数 Cn 是排列数 Pn 中的第一步，即 P n Cn m ! ，那么组合数可以这样计算
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第一步，由 A 村去 B 村有 2 种方法， 第二步，由 B 村去 C 村有 3 种方法， 3 = 6 种不同的方法。 所以从 A 村经 B 村去 C 村共有 2× 【注意】 分类计数原理和分步计数原理， 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问 题，区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只 属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题， 各个步骤中的方法相互依存， 某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤， 只有 各个步骤都完成才算做完这件事.
m m
m 不难用乘法原理分析出来， P n n n 1 n 2 ... n m 1
m
m
特殊地， m 个不同元素放到 m 个不同位置上，共有 m m 1 m 2 ... 1 种方 法，记为 m !
真题实战 【2008 年 10 月】某公司员工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的有 10 人，A 型血的 有 5 人，B 型血的有 8 人，AB 型血的有 3 人.若从四种血型的人中各选 1 人去献血，则不同 的选法种数共有 A.1200 B.600 C.400 D.300 E.26 【答案】A 【解析】四种血型各选 1 人分为 4 步，第一步从 10 个 O 型人中选 1 人有 10 种方法；第二 步从 5 个 A 型人中选 1 人有 5 种方法……，故最后答案为 10 5 8 3 1200 种 【2000 年 1 月】用五种不同的颜色涂在图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻 区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法（ ）种 A.120 B.140 C.160 D.180 A B D
m
第一节 加法原理、乘法原理
知识要点 两个原理 1.加法原理 如果完成一件事有 n 类办法，只要选择其中一类办法中的任何一种方法，就可以完成这 件事；若第一类办法中有 m1 种不同的方法，第二类办法中有 m2 种不同的方法……第 n 类办 法中有 mn 种不同的办法，那么完成这件事共有 N m1 m2 ...... mn 种不同的方法.。 例：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有 4 班，汽 车有 2 班，轮船有 3 班那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 分析： 从甲地到乙地有 3 类方法： 第一类方法， 乘火车， 有 4 种方法； 第二类方法， 乘汽车， 有 2 种方法；第三类方法，乘轮船，有 3 种方法；所以，从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种方 法