高中数学选修2-2同步练习题库：数学归纳法(填空题：一般)

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[选修2-2]·[数学归纳法] · [基础] · [习题训练]·[教师版]

数学归纳法一、选择题（共12小题；共60分）1. 用数学归纳法证明时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是A. B.C. D.2. 某个命题与自然数有关，如果当时，该命题成立，那么可推得当时命题也成立．现在已知当时，该命题不成立，那么可推得A. 当时该命题不成立B. 当时该命题成立C. 当时该命题不成立D. 当时该命题成立3. 若，则当时，为A. B. C. D. 非以上答案4. 用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边计算所得的项是A. B. C. D.5. 数学归纳法证明，则第一步应验证A. B. C. D.6. 用数学归纳法证明命题“”时，在作归纳假设后，需要证明：当时，命题成立，即需证明A.B.C.D.7. 用数学归纳法证明命题时，在作了归纳假设后，需证明当时命题成立，即证A.B.C.D.8. 用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应该验证A. 时定理成立B. 时定理成立C. 时定理成立D. 时定理成立9. 利用数学归纳法证明“”时，在验证成立时，左边应该是A. B. C. D.10. 设，则等于A. B.C. D.11. 用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式A. B. C. D.12. 用数学归纳法证明不等式，第二步由到时不等式左边需增加A. B.C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. 用数学归纳法证明：，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是项．14. 用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为．15. 用数学归纳法证明过程中，在成立时，左边等于．16. 用数学归纳法证明：（且），则第步应验证．17. ，从到右端需增减的项为．（不用化简）三、解答题（共5小题；共65分）18. 数学归纳法证明：．19. 用数学归纳法证明：．20. 用数学归纳法证明：21. 已知函数，设，，．证明：．22. 证明：．答案第一部分1. B2. C3. C4. C5. C【解析】根据条件知所以要验证的第一个数应该是．6. B7. D8. C 【解析】三角形是边数最少的多边形，故．9. C10. D【解析】注意与的最后一项的比较．11. B12. D第二部分13.14.【解析】不等式左边，当时不等式不成立，因为当时，不等式成立，所以初始值至少应取．15.16.17.第三部分18. ①当时，左边，右边，等式成立．②假设当时等式成立，即，则当时，即当时，等式也成立．由①②知，对一切，命题成立．19. （）当，左边，右边，左边右边，命题成立．（）假设时，有，则当时，左边右边，命题成立．从而，对，有．20. 略21. ①当时，由题设知．又，所以成立．当时，因为，而，所以，不等式也成立．②假设当时，不等式成立．因为，的对称轴是，所以在上是增函数．由，得，即．所以，故当时，不等式也成立．由①②知，时，恒成立．22. （）当时，左边，右边，显然成立；（）假设当时，，成立，那么当时，等式也成立．由（）（）知等式对任意的正整数均成立．。

人教a版数学【选修2-2】练习：2.3数学归纳法(含答案)

选修2-2第二章 2.3一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋,＋12n－1<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式()A．1＋12<2B．1＋12＋13＜2C．1＋12＋13＜3 D．1＋12＋13＋14＜3[答案] B[解析]∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.2．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋,＋a n＋1＝1－a n＋2 1－a(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为()A．1 B．1＋a＋a2C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3[答案] B[解析]因为当n＝1时，a n＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选 B.3．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋,＋12n(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A．12n＋1B．12n＋2C．12n＋1＋12n＋2D．12n＋1－12n＋2[答案] D[解析]f(n＋1)－f(n)＝1n＋1＋1＋1n＋1＋2＋,＋12n＋12n＋1＋12n＋1－1n＋1＋1n＋2＋,＋12n＝12n＋1＋12n＋1－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得()A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案] C[解析]原命题正确，则逆否命题正确．故应选 C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立[答案] C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2[答案] C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选 C.二、填空题7．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2),(n＋n)＝2n·1·3,(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为() A．2k＋1 B．2(2k＋1)C．2k＋1k＋1D．2k＋3k＋1[答案] B[解析]n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2),(k＋k)＝2k·1·3·,·(2k－1)，n＝k＋1时，等式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2),(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3),(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右边为2k＋1·1·3·,·(2k－1)(2k＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选 B.8．已知数列11×2，12×3，13×4，,，1n n＋1，通过计算得S1＝12，S2＝23，S3＝34，由此可猜测S n＝________.[答案]n n＋1[解析]解法1：通过计算易得答案．解法2：S n＝11×2＋12×3＋13×4＋,＋1n n＋1＝1－12＋12－13＋13－14＋,＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.9．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋,＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋,＋12n，第一步应验证的等式是________．[答案]1－12＝12[解析]当n＝1时，等式的左边为1－12＝12，右边＝12，∴左边＝右边．三、解答题10．(2013·大庆实验中学高二期中)数列{a n}满足S n＝2n－a n(n∈N*)．(1)计算a1、a2、a3，并猜想a n的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[证明](1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝3 2；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝7 4 .由此猜想a n＝2n－12n－1(n∈N*)(2)证明：①当n＝1时，a1＝1结论成立，②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立，即a k＝2k－1 2k－1，当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝2(k＋1)－a k＋1－2k＋a k＝2＋a k－a k＋1，∴2a k＋1＝2＋a k∴a k＋1＝2＋a k2＝2k＋1－12k，∴当n＝k＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N*，a n＝2n－12n－1成立．一、选择题11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋,＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1 B．(k＋1)2C．k＋14＋k＋122D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋,＋(k＋1)2[答案] D[解析]n＝k时，左边＝1＋2＋3＋,＋k2，n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋,＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋,＋(k＋1)2，故选 D.12．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.() A．2π　B．πC．π2D．π3[答案] B[解析]将k＋1边形A1A2,A k A k＋1的顶点A1与A k相连，则原多边形被分割为k边形A1A2,A k与三角形A1A k A k＋1，其内角和f(k＋1)是k边形的内角和f(k)与△A1A k A k＋1的内角和π的和，故选 B.13．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开() A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3[答案] A[解析]因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．14．(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，,，则归纳猜测a7＋b7＝()A．26 B．27C．28 D．29[答案] D[解析]观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.二、填空题15．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．[答案]当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析]当n＝1时，左≥右，不等式成立，∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．16．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.[答案] 5[解析]当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.三、解答题17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n条直线将它们所在的平面分成n2＋n＋22个区域．[证明](1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成k2＋k＋22块不同的区域，命题成立．当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成k2＋k＋22块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．从而k＋1条直线将平面分成k2＋k＋22＋k＋1＝k＋12＋k＋1＋22块区域．所以n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析]由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析]当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。

2016-2017学年高二数学人教B版选修2-2同步练习2.3.1《数学归纳法》

§2.3 数学归纳法2.3.1 数学归纳法一、基础过关1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k(k∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( )A ．当n ＝6时命题不成立B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( )A ．该命题对于n>2的自然数n 都成立B ．该命题对于所有的正偶数都成立C ．该命题何时成立与k 取值无关D ．以上答案都不对3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n(n －3)条时，第一步验证n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．04．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n∈N *)，则n ＝1时f(n)是( )A ．1B.13 C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确5．已知f(n)＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f(n)中共有n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13B ．f(n)中共有n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋14C ．f(n)中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13D ．f(n)中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋146．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n的通项表达式为( ) A.24n －3 B.26n －5 C.24n ＋3D.22n－1二、能力提升7．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋18．已知f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n∈N *)，则f(k ＋1)＝f(k)＋______________________.9．用数学归纳法证明：(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)＝2n ＋2(n∈N *)．10．用数学归纳法证明： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·＋2(n∈N *)．11．已知数列{a n}的第一项a1＝5且S n－1＝a n(n≥2，n∈N*)，S n为数列{a n}的前n项和．(1)求a2，a3，a4，并由此猜想a n的表达式；(2)用数学归纳法证明{a n}的通项公式．三、探究与拓展12．是否存在常数a、b、c，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝＋12(an2＋bn＋c)对一切正整数成立？并证明你的结论．答案1．B 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．B 8.13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋19．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设当n ＝k(k≥1，k∈N *)时等式成立，即(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)＝2k ＋2，那么当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)(1－1k ＋3)＝2k ＋2(1－1k ＋3)＝＋＋＋＝2k ＋3，所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n∈N *等式都成立． 10．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×1×22＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·＋2，那么当n ＝k ＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·＋2＋(－1)k(k ＋1)2＝(－1)k·(k＋1)－k ＋2k ＋22＝(－1)k·＋＋2.即当n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 等式都成立． 11．(1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5， a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5＝5×2n －2，，n∈N*.(2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n ＝k(k≥2，k∈N *)时成立，即a k ＝5×2k －2，那么当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2.＝5＋－2k －11－2＝5×2k －1.故当n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n≥2，n∈N *，有a n ＝5×2n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 ＝5×2n －2，n∈N*.12．解假设存在a 、b 、c 使上式对n∈N *均成立，则当n ＝1,2,3时上式显然也成立，此时可得⎩⎪⎨⎪⎧1×22＝16＋b ＋，1×22＋2×32＝12＋2b ＋，1×22＋2×32＋3×42＝9a ＋3b ＋c ，解此方程组可得a ＝3，b ＝11，c ＝10，下面用数学归纳法证明等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n ＋1)2＝＋12×(3n 2＋11n＋10)对一切正整数均成立．(1)当n ＝1时，命题显然成立． (2)假设当n ＝k 时，命题成立．即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k ＋1)2＝＋12(3k 2＋11k ＋10)，则当n ＝k ＋1时，有1×22＋2×32＋…＋k(k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2＝＋12(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝＋12(k ＋2)(3k ＋5)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝＋＋12(3k 2＋5k ＋12k ＋24) ＝＋＋12[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]．即当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对任何正整数n，等式都成立．。

高中数学选修2-2课时作业2：习题课数学归纳法

习题课数学归纳法一、基础过关1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14<3 [答案] B[解析] ∵n >1且n ∈N *，∴n 取的第一个值n 0＝2.∴第一步应验证：1＋12＋13<2，选B. 2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6[答案] C[解析] 当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5，故选C.3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是( ) A ．2k －1项 B ．2k ＋1项C ．2k 项D ．以上都不对[答案] C[解析] 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k. 因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项．4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，下列说法正确的是( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1和12(k ＋1)C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项1k ＋1D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋1[答案] C[解析] 当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，故选C. 5．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3[答案] A[解析] 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．[答案] S n ＝2n n ＋1[解析] S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1. 7．已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1.证明 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12(a 1＋1a 1)， ∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1，∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k －k －1.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(a k ＋1a k ) ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(k －k －1＋1k －k －1) ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－k . ∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)， ∴n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1.二、能力提升8．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1 (n ∈N *)，某学生的证明过程如下：①当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n ＝k (n ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ≤k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确[答案] D[解析] 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．9．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，在第二步证明从n ＝k 到n ＝k ＋1不等式成立时，左边增加的项数为________．[答案] 2k[解析] 项数为2k ＋1－2k ＝2k .10．证明：62n －1＋1能被7整除(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，62k －1＋1能被7整除．那么当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1＝62k －1＋2＋1＝36×(62k －1＋1)－35.∵62k －1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．11．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56. 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(3×13k ＋3－1k ＋1)＝56，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2. ∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)．则有：S 1＝a 1＝－23， S 2＝－1S 1＋2＝－34， S 3＝－1S 2＋2＝－45， S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2 ＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立．三、探究与拓展13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *恒成立，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n≤m 2n ＋1，当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358；而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立．下面用数学归纳法证明：证明 (1)当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k 时，不等式12·34·56·…·2k －12k≤322k ＋1成立，当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2，只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤322k ＋3，只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3，只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2，只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．所以，对任意n ∈N *，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．。

湘教版高中数学选修2-2同步精练：6.3 数学归纳法含解析

1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝错误!（a≠1,n∈N＋）,验证n＝1时等式的左边为( )．A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a32．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n(n－3）条时,第一步验证n等于（)．A．1 B．2 C．3 D．03．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )．A．假设n＝2k＋1时正确,再推n＝2k＋3时正确B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确C．假设n＝k时正确,再推n＝k＋1时正确D．假设n≤k（k≥1）,再推n＝k＋2时正确4．用数学归纳法证明“1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜n(n∈N＋且n ＞1)”时,由n＝k(k＞1）时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（)．A．2k－1B．2k－1 C．2k D．2k＋15．设f（x)是定义在正整数集上的函数，且f(x）满足：“当f （k）≥k2成立时，总可推出f(k＋1）≥（k＋1)2成立．”那么，下列命题总成立的是（)．A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k2成立B．若f（5）≥25成立，则当k≤5时，均有f（k)≥k2成立C．若f(7）＜49成立，则当k≥8时，均有f（k）＜k2成立D．若f（4）＝25成立,则当k≥4时，均有f（k)≥k2成立6．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中,当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________．7．将正△ABC分割成n2（n≥2,n∈N＋)个全等的小正三角形(图甲，图乙分别给出了n＝2，3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时），都分别依次成等差数列．若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f（n)，则有f（2)＝2,f（3）＝__________,…,f（n)＝__________.甲乙8．证明tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan（n－1)α·tan nα＝错误!－n（n≥2，n∈N＋)．9．某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍代的木材量为b，设a n为n年后该地区森林木材存量．（1)求a n的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不少于错误!a，如果b＝错误!a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2≈0.30）参考答案1．C 当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.2．C 在凸n边形中，边数最少的是三角形．3．B4．C 增加的项数为（2k＋1－1）－（2k－1）＝2k＋1－2k＝2k。

高中数学苏教版选修2-2同步训练：2.3 数学归纳法 pdf版含答案

2.3 数学归纳法1、“111111111()234212122n N n n n n n*-+-++-=+++∈-++,在用数学归纳法证明上述恒等式的过程中,由(,1)n k k N k *=∈≥推导到1n k =+时,等式的右边增加的式子是( ) A.12(1)k +B.112122k k +++ C.112(1)1k k -++D.111212(1)1k k k +-+++ 2、用数学归纳法证明"223122221n n +++++⋯+=-",验证1n =时,左边计算所得的式子为( ) A. 1 B. 12+ C. 2122++ D. 231222+++3、已知()231123334333n n n na b c -+⨯+⨯+⨯++⨯=-+对一切*n N ∈都成立,那么,,a b c 的值为( )A. 12a =,14b c == B. 14a b c ===C. 0a =,14b c ==D.不存在这样的,,a b c 4、用数学归纳法证明不等式“()11113212224n n n n ++⋅⋅⋅+>>++”时的过程中,由n k =到1n k =+时,不等式的左边( )A.增加了一项()121k +B.增加了两项()112121k k +++ C.增加了两项()112121k k +++,又减少了11k + D.增加了一项()121k +,又减少了一项11k +5、设1111,1232k S k k k k=+++⋯++++则1k S += ( ) A. ()121k S k ++B. ()112121k S k k ++++ C. ()112121k S k k +-++ D. ()112121k S k k +-++6、用数学归纳法证明“52n n -”能被3整除”的第二步中1n k =+时,为了使用假设,应将1152k k ++-变形为( )A. ()52452k k k k -+⨯- B. ()55232k k k -+⨯ C. ()()5252k k -- D. ()55235k k k --⨯7、若命题()()*A n n N ∈在()*n k k N =∈时命题成立,则有1n k =+时命题成立.现知命题对()*00n n n N =∈时命题成立,则有( )A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于0n 的正整数不成立,对大于或等于0n 的正整数都成立C.命题对小于0n 的正整数成立与否不能确定,对大于或等于0n 的正整数都成立D.以上说法都不正确8、设平面内有k 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k 条直线的交点个数为(),f k 则()1f k +与()f k 的关系是( )A. ()()11f k f k k +=++B. ()()11f k f k k +=+-C. ()()1f k f k k +=+D. ()()12f k f k k +=++ 9、设()()111231*,31f n N n n =+++⋯∈-+那么()()1f n f n +-等于( ) A.132n + B. 11331n n ++ C. 113132n n +++ D. 11133132n n n ++++ 10、凸n 边形有()f n 条对角线,则凸1n +边形有对角线条数()1f n +为( ) A. ()1f n n ++ B. ()f n n + C. ()1f n n +- D. ()2f n n +- 11、用数学归纳法证明11112321n n ++++<-”时,由()1n k k =>不等式成立,推证1n k =+时,左边应增加的项数是__________项;12、用数学归纳法证明: ()221*11,11n n a a a a n N a a++-+++⋯+=∈≠-,在验证1n =成立时,左边所得的项为__________.13、用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ,总有32n n >”时,验证第一步不等式成立所取的第一个值0n 最小应当是__________. 14、用数学归纳法证明()2221111123221n n ++⋅⋅⋅+>-++.假设n k =时,不等式成立,则当1n k =+时,应推证的目标不等式是__________.15、已知某数列的第一项为1,并且对所有的自然数2n ≥,数列的前n 项之积为2n . 1.写出这个数列的前5项2.写出这个数列的通项公式并加以证明.答案以及解析1答案及解析：答案：D 解析：2答案及解析：答案：D解析：左边的指数从0开始,依次加1,直到2n +,所以当1n =时,应加到32,故选D.3答案及解析：答案：A解析：令1,2,3n =,得()()()31,{927,27334,a b c a b c a b c -+=-+=-+=解得12a =,14b c ==.经验证此时等式对一切*n N ∈均成立.4答案及解析：答案：C解析：本题考查的知识点是数学归纳法,观察不等式“()11113212224n n n n ++⋅⋅⋅+>>++左边的各项,他们都是以11n +开始,以12n项结束,共n 项,当由n k =到1n k =+时,项数也由k 变到1k +时,但前边少了一项,后面多了两项,分析四个答案,即可求出结论.n k =时,左边11112k k k k=++⋅⋅⋅++++, 1n k =+时,左边()()()()111111211k k k k =++⋅⋅⋅++++++++111111121212k k k k k k k ⎛⎫=++⋅⋅⋅+-++ ⎪++++++⎝⎭。

高中数学选修22数学归纳法同步练习

高中数学选修22数学归纳法同步练习一.选择题:(有且仅有一个答案正确,每小题4分,共10小题,满分40分)1.等差数列中,已知a4+a5=15 a7=12,则a2等于 [ ]2.设a,x,y,b成等差数列,x,y,u,v成等比数列,则用a、b表示v的值是 [ ]3.若数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an,满足条件log2Sn=n,那么{an}是 [ ]A.公比为2的等比数列C.公差为2的等差数列D.既不是等差数列也不是等比数列4.数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2(n∈N),当n≥2时有[ ]A.Sn＞na1＞nanB.Sn＜nan＜na1C.na1＜Sn＜nanD.nan＜Sn＜na15.等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n项和为[ ]A.125B.200C.225D.2756.已知{an}是等差数列,且a1-a3+a7-a11+a13=10,则a6+a8的值是[ ]A.20B.30C.40D.507.某工厂一年中,十二月份的产值是一月份产值的m倍,那么该厂这一年的月平均增长率是 [ ]8.一个等差数列的首项为4,它的第一项、第七项与第十项成等比数列，那么这个数列的通项公式是 [ ]9.在数列{an}中,已知a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (n∈N),则a1997等于[ ]A.4B.5C.-4D.-5[ ]二.填空题:(每小题4分,共5小题,满分20分)1.在等比数列{an}中,若a4·a7+a3·a8=20,则此数列前10项的积是 .2.在等比数列{an}中,Sn=a1+a2+a3+…+an,已知a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q= .4.等差数列{an}中,a1=1,前10项之和S10=100,又an=log2bn(n∈N),那么b1+b2+b3+b4+b5= ..三.解答题:(每小题10分,共4小题,满分40分)1.A、B两人同时从相距27千米处相向出发,A以匀速前进,每小时走4千米,B以匀加速前进,第一小时走2千米,第二小时走2.5千米,则当A与B相遇时,所用的时间是多少?求a3+a7.3.设三角形ABC中,三边a,b,c成等差数列,a、b、c所对的角分别为A、B、C,问B是否具有最大值?如果有,求出来;如果没有,说明理由.4.已知等差数列{an},等比数列{bn},且a1=b1,a2=b2,a1≠a2,an＞0,(n∈N).(1)试比较a3与b3,a4与b4的大小,并猜想an和bn(n≥3)的大小关系;(2)证明你猜想的an与bn大小关系的正确性.。

北师大版高中数学选修2-2数学归纳法同步练习.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学归纳法同步练习1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为二个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成（）A．511个 B．512个 C．1023个D．1024个2. 一个与正整数n有关的命题，当时，命题成立，且由kn=时命题成立可以推得n时命题也成立，则（）=k+2A. 该命题对于2n的自然数n都成立>B. 该命题对于所有的正偶数都成立C. 该命题何时成立与k取值无关D. 以上答案都不对3. 某个命题与自然数n有关，若)=时该命题成立，那么推得当n∈(,Nkk=n时该命题不成立，那么可推得n时该命题也成立，现已知当5+1=kA．当6n时该命题成立=n时该命题不成立B．当6=C．当4n时该命题成立=n时该命题不成立D．当4=4. 用数学归纳法证明)()12(312)()3)(2)(1(+∈-⋅⋅⋅⋅=++++N n n n n n n n n ，递推步从k n =到1+=k n 时，右边应增乘的式子是（）A. 22+kB. )12(2+kC.112++k k D. 132++k k5．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为A ．130B ．170C ．210D ．2606. 凸n 边形有)(n f 条对角线，则凸n 边形的对角线条数_________)()1(+=+n f n f 。

7. 用数学归纳法证明)1,(12131211>∈<-++++n N n n n 时，第一步应验证的不等式是___________________________。

8. 证明：)(212111211214131211+∈+++++=--++-+-N n n n n n n9. 求证：当n 为正整数时，n n 53+能被6 整除。

10. 求证：)()11(2131211+∈-+>++++N n n n参考答案1. B2. B3. C4. B5. C6. 1-n7. 231211<++8. 证：（1）当1=n 时，左21211=-=，右21=，等式成立；（2）假设当k n =时，等式成立，则有kk k k k 212111211214131211+++++=--++-+- 成立当1+=k n 时，2211212121)1(21111212121221121212111221121211214131211+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++++++=+-+++++++=+-++--++-+-k k k k k k k k k k k k k k k k k k 所以当1+=k n 时，等式成立。

高中数学选修2-2 同步练习专题2.3 数学归纳法(原卷版)

第二章推理与证明2.3 数学归纳法一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和S ＝(n －2)π对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时,第一步证明中的起始值n 0应取 A ．2 B ．3 C ．4D ．52．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设，且为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证 A ．时等式成立 B ．时等式成立C ．时等式成立D ．时等式成立 3．用数学归纳法证明“”,则当时,应当在时对应的等式的两边加上 A ．B ．C ．D ．4．设()()*111122f n n n n n=++⋅⋅⋅+∈++N ，那么()()1f n f n +-= A ．121n + B ．122n +C ．112122n n +++ D ．112122n n -++ 5．当是正整数时，用数学归纳法证明从到等号左边需要增加的代数式为 A ． B ． C ．D ．二、填空题：请将答案填在题中横线上． 6．用数学归纳法证明：()22311111n n c c c c cc c++-+++++=≠-，当1n =时，左边为__________．7．对于不等式<n+1(n ∈N *),某同学用数学归纳法证明的主要过程如下:（1）当n =1时,<1+1 ,不等式成立;（2）假设当n =k (k ∈N *)时,不等式成立,有<k+1,即k 2+k <(k+1)2, 则当n =k+1时,=<==(k+1)+1,所以当n =k+1时,不等式也成立.则下列说法中正确的有__________.(填出所有正确说法的序号) ①证明过程全部正确;②n =1的验证不正确;③n =k 的归纳假设不正确;④从n =k 到n =k+1的推理不正确. 8．用数学归纳法证明不等式()*1111223212nnn n ++++>≥∈-N ，的过程中，由“”到“”时，左边增加了__________项三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．求证:++…+=1-(其中n ∈N *).10．证明：.11．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除.12．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.13．在数列中，，其中.（1）计算的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.。

数学北师大版选修2-2同步练习第一章§4数学归纳法含

高手支招6体验成功基础巩固1.某个命题与正整数有关,如果当n=k(k ∈N *)时,该命题成立,那么可推得当n=k+1时命题也成立.现在已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得（）A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立答案：C 思路分析：依题意,n=4时该命题成立,则n=5时该命题成立,而n=5时该命题不成立,却无法判断n=6时该命题成立还是不成立,故应选C 项.2.用数学归纳法证明“当n 为奇数时,x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时,第二步的归纳假设应写成（）A.假设n=2k ＋1(k ∈N )时正确,再推证n=2k ＋3时正确B.假设n=2k-1(k ∈N )时正确,再推证n=2k ＋1时正确C.假设n=k(k ∈N )时正确,再推证n=k ＋1时正确D.假设n≤k(k≥1)时正确,再推证n=k ＋2时正确答案：B思路分析:本题考查两个方面,一方面是对奇数表达形式的理解,如果n=2k ＋1(k ∈N ),则k=1时,第一个奇数就不是1而是3,明显错误,如果n=2k-1(k ∈N ),那么k=1时,第一个奇数就是1,再推证就应该是n=2(k+1)-1=2k+1. 3.用数学归纳法证明1+21+31+…+1-21n ＜n(n ∈N ,n ＞1)时,在第二步假设n=k 时命题成立的前提下，证明n=k+1时命题成立时，左边增加了的项数是（）A.2kB.2k -1C.2k-1D.2k +1 答案：A思路分析:项数为2k+1-2k =2k .4.用数学归纳法证明2n n b a +≥(2b a +)n(a,b 是非负实数,n ∈N )时,假设n=k 命题成立之后,证明n=k+1命题也成立的关键是_____________. 答案：两边同乘以2ba + 思路分析:要想办法出现a k+1+b k+1,两边同乘以2b a +,右边便出现了要求证的(2b a +)k+1. 5.用数学归纳法证明“n 3+5n 能被6整除”的过程中,当n=k+1时,对式子(k+1)3+5(k+1)应变形为______________________________________________________________________________. 答案：(k 3+5k)+3k(k+1)+6思路分析:采用配凑法,必须利用归纳假设. 6.用数学归纳法证明不等式11+n +21+n +…+n 21＞2413(n≥2且n ∈N *). （1）当n=2时,不等式的左边为____________；（2）当n=3时,不等式的左边为____________;（3）第二步从“k”到“k+1”的证明中,不等式左边增添的代数式是___________. 答案：31+41;31+41+51;1k 21+-2k 21+思路分析:(1)当n=2时,不等式的左边为31+41(两项之和); (2)当n=3时,不等式的左边为31+41+51(三项之和)； (3)当n=k 时,不等式的左边为11+k +21+k +…+k21(k 项之和).而当n=k+1时, 21+k +…+k 21+121+k +221+k ,则从“k”到“k+1”的证明中,不等式左边增添的代数式为121+k +221+k -11+k =121+k -221+k .7.已知点的序列A n (x n ,0),n ∈N ,其中,x 1＝0,x 2＝a(a ＞0),A 3是线段A 1A 2的中点,A 4是线段A 2A 3的中点,…,A n 是线段A n-2A n-1的中点,… (1)写出x n 与x n-1、x n-2之间的关系式(n≥3);(2)设a n ＝x n ＋1-x n 计算a 1,a 2,a 3,由此推测数列{a n }的通项公式,并加以证明. 答案：(1)解:当n ≥3时,x n ＝221--+n n x x . (2)解:a 1＝x 2-x 1＝a,a 2＝x 3-x 2＝212x x +-x 2=-21(x 2-x 1)=-21a ，a 3=x 4-x 3=223x x +-x 3=-21(x 3-x 2)=-21(-21a)=41a,由此推测a n ＝(-21)n-1a(n ∈N *). 用数学归纳法证明.(i)当n ＝1时,a 1＝x 2-x 1＝a ＝(-21)0a,公式成立. (ii)假设当n ＝k 时,公式成立,即a k ＝(-21)k-1a 成立.那么当n ＝k ＋1时, a k+1=x k+2-x k+1=21k k x x ++-x k+1=-21(x k+1-x k )=-21a k =-21(-21)k-1a=(-211)1()-+k a,公式仍成立.根据(i)与(ii)可知,对任意n ∈N ,公式a n ＝(-21)n-1a 成立. 思路分析:由于数列的通项公式不清楚,我们先需要猜测出来,再证明.运用“猜想——归纳——证明”的思想.在证明a k+1=x k +2-x k+1=21k k x x ++-x k+1=-21(x k+1-x k )时不要忘记运用归纳假设.8.求实数a,使下列等式对一切正整数n 都成立:)2)(1(1543143213211+-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n )2)(1(42+++=n n ann .解：令n=1,得3211⨯⨯=61=)21)(11(412+++a.∴a=3.下面用数学归纳法证明: （1）当n=1时,已证. (2)假设n=k 时,命题成立,即)2)(1(1543143213211++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯k k k )2)(1(432+++=k k kk . 则n=k+1时,左边=)2)(1(1543143213211++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯k k k +)3)(2)(1(44)3()3)(2)(1(41)2)(1(43)3)(2)(1(122+++++=+++++++=+++k k k k k k k k k k k k k k k )3)(2)(1(4)1(3)1()3)(2)(1(4)45)(1(22++++++=++++++=k k k k k k k k k k k . 所以,当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)可知,当a=3时,等式对任意的n ∈N *均成立.思路分析:对于此类型的题目,一般先使用不完全归纳法取n 的特殊值,探求出待定系数再用数学归纳法证之.由于只有一个待定量,故只需取一个特殊值求a. 9.（2006福建高考,理22）已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +1(n ∈N *) (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{b n }满足114-b 122-b …14-n b =(a n +1n b )(n ∈N *),证明:数列{b n }是等差数列;(3)证明:2n -31＜21a a +32a a +…+1+n n a a ＜2n(n ∈N *). 答案：(1)解:∵a n+1=2a n +1(n ∈N *),∴a n+1+1=2(a n +1),∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项,2为公比的等比数列. ∴a n +1=2n .即a n =22-1(n ∈N *) (2)证法一:∵112144--k k …14-n k =(a n +1n k ),∴nk n nk k k n 24)(21=-+++ .∴2［(b 1+b 2+…+b n )-n ］=nb n ,①2［(b 1+b 2+…+b n +b n+1)-(n+1)］=(n+1)b n+1.② ②-①,得2(b n+1-1)=(n+1)b n+1-nb n , 即(n-1)b n+1-nb n +2=0,③nb n+2-(n+1)b n+1+2=0.④③-④,得nb n+2-2nb n+1+nb n =0,即b n+2-2b n+1+b n =0,∴b n +2-b n+1=b n+1-b n (n ∈N *), ∴{b n }是等差数列. 证法二:同证法一,得 (n-1)b n+1-nb n +2=0 令n=1,得b 1=2.设b 2=2+d(d ∈R ),下面用数学归纳法证明b n =2+(n-1)d. (1)当n=1,2时,等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时,b k =2+(k-1)d,那么 b k+1=1-k k b k -12-k =1-k k ［2+(k-1)d ］-12-k =2+［(k+1)-1］d.这就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2),可知b n =2+(n-1)d 对任何n ∈N *都成立. ∵b n+1-b n =d,∴{b n }是等差数列.(3)证明:∵)212(212121211--=--=++k k k k k k a a ＜21,k=1,2,…,n, ∴13221++++n n a a a a a a ＜2n. ∵121211--=++k k k k a a =21-)12(211-+k =21-22231-+∙k k ≥21-31·k 21,k=1,2,…,n, ∴13221++++n n a a a a a a ≥2n -31(21+221+…+n 21)= 2n -31(1-n 21)＞2n -31,∴2n -31＜13221++++n n a a a a a a ＜2n(n ∈N *). 思路分析:本题主要考查数列、不等式等基本知识,化归的数学思想方法及综合解题能力.在运用数学归纳法的时候通过构造来运用ｎ＝ｋ时的假设. 综合应有10.已知定义在R 上的单调函数y=f(x),当x ＜0时,f(x)＞1,且对任意的实数x 、y ∈R ,有f(x+y)=f(x)f(y),(1)求f(0),并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式; (2)数列{a n }满足a 1=f(0)且f(a n+1)=)2(1n a f --(n ∈N *),①求通项公式a n 的表达式; ②令b n =(21n a ),S n =b 1+b 2+…+b n ,T n =322111a a a a ++…+11+n n a a ,试比较S n 与34T n 的大小,并加以证明. 答案：(1)解：由题意,令y=0,x ＜0,得f(x)[1-f(0)]=0,∵x ＜0时,f(x)＞1. ∴1-f(0)=0.f(0)=1.适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=(21)x . (2)①解：由递推关系知f(a n+1)·f(-2-a n )=1,即f(a n+1-2-a n )=f(0). ∵f(x)的R 上单调,∴a n+1-a n =2,(n ∈N *), 又a 1=1,故a n =2n-1. ②解：b n =（21n a )=(2112)-n ,S n =b 1+b 2+…+b n =21+(21)3+…+(2112)-n = )411(32)21(1])21(1[2122n n -=--.T n =)12)(12(153131111113221+-++⨯+⨯=++++n n a a a a a a n n =21(1-31+31-51+…+1-n 21-1n 21+)=21(1-1n 21+) S n =34T n =32(1-n 41)-32(1-1n 21+)=32(1n 21+-n 41)=32·nn n n 4)12()12(4∙++-. 欲比较S n 与34T n 的大小,只需比较4n 与2n+1的大小. 由n=1,2,3代入可知4n ＞2n+1,猜想4n ＞2n+1. 下面用数学归纳法证明 (i)当n=1时,41＞2×1+1成立(ii)假设当n=k 时命题成立,即4k ＞2k+1 当n=k+1时,4k+1=4×4k ＞4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1＞2(k+1)+1, 说明当n=k+1时命题也成立.由(i)(ii)可知,4n ＞2n+1对于n ∈N *都成立. 故S n ＞34T n . 注:证明4n ＞2n+1,除用数学归纳法证明以外,还可用其他方法证明,如:4n =(1+3)n =1+1n C ·3+2n C ·32+…+nn C ·3n ≥1+3n ＞2n+1.思路分析:本题从函数的开始考察结合数列和不等式考察.S n 与34T n 的大小,我们通过几个值来,先来猜想结果然后再来证明.11.已知数列{a n }满足条件(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1),且a 2=6,设b n =a n +n(n ∈N *). (1)求a 1、a 3、a 4的值; (2)求数列{a n }的通项公式;(3)求∞→n lim (21212132-++-+-n b b b )的值. 解：(1)∵(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1)(n ∈N *),且a 2=6,∴当n=1时,a 1=1;当n=2时,a 3=3(a 2-1)=15;当n=3时,2a 4=4(a 3-1)=56,∴a 4=28.(2)由a 2-a 1=5,a 3-a 2=9,a 4-a 3=13,猜想a n+1-a n =4n+1. ∴a n -a 1=(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)， ∴a n =2n 2-n(n ∈N *).下面用数学归纳法证明如下: ①当n=1时,a 1=2×12-1=1,故猜想正确,②假设当n=k 时成立,即a k =2k 2-k(k ∈N *且k≥1), ∴(k-1)a k+1=(k+1)(a k -1),即(k-1)a k+1=(k+1)a k =(k+1)(2k 2-k-1), ∴a k+1=(k+1)(2k+1),即当n=k+1时,命题也成立.综上可知,a n =2n 2-n 对任意的正整数都成立. (3)由(2)可知b n =a n +n,∴b n =2n 2, b n -2=2n 2-2=2(n-1)(n+1). ∴2-1n b =41(11-n -11+n ),∴∞→n lim (21212122-++++-n b b b ) =∞→n lim ［41(1-31+21-41+31-51+…+21-n -n 1+11-n -11+n )］=∞→n lim ［83-41(n 1+11+n )］=83. 思路分析:先列出数列的前几项,然后猜想数列的通项公式.运用数学归纳法证明即可.12.已知函数f(x)=x 3-x 2+2x +41,且存在x 0∈(0,21),使f(x 0)=x 0.(1)证明:f(x)是R 上的单调增函数;设x 1=0,x n+1=f(x n );y 1=21,y n+1=f(y n ),其中n=1,2,…;(2)证明:x n ＜x n+1＜x 0＜y n+1＜y n ; (3)证明:nn n n x y x y --++11＜21. 证明：(1)∵f′(x)=3x 2-2x+21=3(x-31)2+61＞0,∴f(x)是R 上的单调增函数.(2)∵0＜x 0＜21,即x 1＜x 0＜y 1，又f(x)是增函数,∴f(x 1)＜f(x 0)＜f(y 1)，即x 2＜x 0＜y 2.又x 2=f(x 1)=f(0)=41＞0=x 1,y 2=f(y 1)=f(21)=83＜21=y 1. 综上,x 1＜x 2＜x 0＜y 2＜y 1.用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,上面已证明成立.(2)假设当n=k(k≥1)时有x k ＜x k+1＜x 0＜y k+1＜y k .当n=k+1时,由f(x)是单调增函数,有f(x k )＜f(x k+1)＜f(x 0)＜f(y k+1)＜f(y k ), ∴x k+1＜x k +2＜x 0＜y k +2＜y k+1.由(1)(2)知对一切n=1,2,…,都有x n ＜x n+1＜x 0＜y n+1＜y n . (3)nn n n n n n n x y x f y f x y x y --=--++)()(11=y n 2+x n y n +x n 2-(y n +x n )+21≤(y n +x n )2-(y n +x n )+21 =[(y n +x n )-21]2+41. 由(2)知0＜y n +x n ＜1.∴-21＜y n +x n -21＜21, ∴11x y x y n n n --++＜(21)2+41=21.思路分析:虽然本题为函数题,但是与n 相关,我们可以利用数学归纳法,当n=1我们先来验证.当n=k 时利用函数的单调性易知.13.某地区原有森林木材存量为a,且每年增长率为25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b,设a n 为n 年后该地区的森林木材存量，（1）求a n 的表达式;（2）为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材量应不少于97a,如果b=7219a,那么该地区今后会发生水土流失吗?若会,需要经过几年?(取lg2=0.30) 解：(1)设第一年的森林木材存量为a 1,第n 年后的森林木材存量为a n ,∴a 1=a(1+41)-b=45a-b, a 2=45a 1-b=45(45a-b)-b=(45)2a-(45+1)b,a 3=45a 2-b=(45)3a-[(45)2+45+1]b,由上面的a 1,a 2,a 3推测:a n =(45)n a-[(45)n-1+(45)n-2+…+45+1]b=(45)n a-4[(45)n -1]b(n ∈N *).证明:①当n=1时,a 1=45a-b,已证推测成立.②假设n=k 时,a k =(45)k a-4[(45)k -1]b 成立.则当n=k+1时, a k+1=45a k -b=45{(45)k a-4[(45)k -1]b}-b=(45)k+1a-4[(45)k+1-1]b. 也就是说当n=k+1时,公式也成立.由①②知,对n ∈N *公式成立.(2)当b=7219a 时,若该地区今后发生水土流失时,则森林木材存量必须小于97a, ∴(45)n a-4[(45)n -1]7219a ＜97a,即(45)n ＞5.两边取对数得nlg45＞lg5,n ＞2lg 312lg 12lg 25lg 5lg --=-≈7. ∴经过6年后该地区开始发生水土流失.思路分析:本题依题意先计算出第一年、第二年、第三年后的森林木材的存量,归纳猜想第n 年后的该地区森林木材的存量,并用数学归纳法加以证明,该地区若发生水土流失,则森林木材存量必须小于97a,建立起a n ＜97a 的不等式,解之就可求得相应的n 值.。

高中数学 2.3 数学归纳法同步练习新人教A版选修2-2

选修2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13＜2C ．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜3[答案] B[解析] ∵n ∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2 D.12n ＋1－12n ＋2[答案] D[解析] f (n ＋1)－f (n ) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立 [答案] C[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )A ．假设n ＝k (k ∈N *)，证明n ＝k ＋1时命题也成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1时命题也成立 C ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2时命题也成立 D ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N )，证明n ＝k ＋1时命题也成立 [答案] C[解析] ∵n 为正奇数，当n ＝k 时，k 下面第一个正奇数应为k ＋2，而非k ＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( )A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案] C[解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证( ) A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案] D[解析] 假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A．30B．26C．36D．6[答案] C[解析] 因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.9．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想a n＝( )A.2 (n＋1)B.2n(n＋1)C.2 2n－1D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1 ∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ∴a n ＋1＝nn ＋2a n (n ≥2)．当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B.10．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 [答案] D[解析] n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、填空题11．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________．[答案] 当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立 [解析] 当n ＝1时，左≥右，不等式成立， ∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝________.[答案]nn ＋1[解析] 解法1：通过计算易得答案．解法2：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 13．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a2n ＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.[答案] 5[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.(1)当n 0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n ＝k 时，等式左边共有________________项，第(k －1)项是__________________．(2)假设n ＝k 时命题成立，即_____________________________________成立． (3)当n ＝k ＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k ； (k －1)[3(k －1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1] ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2；(k ＋1)[3(k ＋1)＋1] [解析] 由数学归纳法的法则易知．三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)． [证明] ①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)2. 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立． 16．求证：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)．[证明] ①当n ＝2时，左＝12>0＝右，∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立．即12＋13＋…＋12k －1>k －22成立．那么n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12＋1＋…＋12>k －22＋12＋12＋…＋12 ＝k －22＋2k －12k＝(k ＋1)－22，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n ∈N *且n ≥2时成立．17．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域．[证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立．当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域．所以n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2010·衡水高二检测)试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n＋2与n 2的大小关系； ②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析] 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。

(完整版)数学选修2-2练习题及答案

目录：数学选修2-2第一章导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章推理与证明 [基础训练A 组] 第二章推理与证明 [综合训练B 组]第二章推理与证明 [提高训练C 组] 第三章复数 [基础训练A 组] 第三章复数 [综合训练B 组]第三章复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

第二章2—3数学归纳法训练题选修2-2

实用文档第二章2—3数学归纳法训练题选修２－２一、选择题1、观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为( )A ．3125B ．5625C ．0625D ．81252、在数列{a n }中，a n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n，则a k ＋1等于( ) A ．a k ＋12k ＋1 B ．a k ＋12k ＋2－12k ＋4 C ．a k ＋12k ＋2 D ．a k ＋12k ＋1－12k ＋23、利用数学归纳法证明1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1(n ∈N *，且n ≥2)时，第二步由k 到k ＋1时不等式左端的变化是( )A ．增加了12k ＋1这一项 B ．增加了12k ＋1和12k ＋2两项实用文档 C ．增加了12k ＋1和12k ＋2两项，同时减少了1k 这一项D ．以上都不对4、用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假使n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确B ．假使n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确C ．假使n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假使n ≤k (k ≥1)，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N *)5、k (k ≥3，k ∈N *)棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( )A ．f (k )＋k －1B ．f (k )＋k ＋1C ．f (k )＋kD ．f (k )＋k －26、用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式()A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2实用文档C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3二、填空题7、分析下述证明2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1(n ∈N *)的过程中的错误：________________.证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ＋1，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋1＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋1，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．8、用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥(a ＋b 2)n (a ，b 是非负实数，n ∈N *)时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1命题也成立的关键是________．9、平面上原有k 个圆，它们相交所成的圆弧共有f (k )段，若增加第k ＋1个圆与前k 个圆均有两个交点，且不过前k 个圆的交点，试问前k 个圆的圆弧增加________段．三、解答题10、已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1，实用文档(1)写出a 1，a 2，a 3并推测a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得结论．11、用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N *时，(1－14)(1－19)(1－116)…(1－1n 2)＝n ＋12n.12、求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)．四、选择题13、下列说法正确的是( )A ．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B ．a i 是纯虚数C ．如果复数x ＋y i 是实数，则x ＝0，y ＝0D ．复数a ＋b i 不是实数14、若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( ) A．1 B．2C．1或2 D．－115、下列各数中，纯虚数的个数是( )2＋7，27i,0i,5i＋8，i(1－3)，0.618A．0 B．1C．2 D．316、对于复数a＋b i(a、b∈R)，下列结论正确的是( )A．a＝0，则a＋b i为纯虚数B．a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－3C．b＝0，则a＋b i为实数D．1的平方等于i实用文档17、若(a－2)i＝b－i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝( )A．0 B．2C．5 D．118、如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则( )A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}C．R＝C∩I D．R∩I＝∅五、填空题19、若a－2i＝b i＋1(a、b∈R)，则b＋a i＝________.20、若复数z＝sin2α－i(1－cos2α)是纯虚数，则α＝________.21、已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈Z)，且z<0，则k＝________.六、解答题22、设m∈R，复数z＝2m2－3m－2＋(m2－3m＋2)i.试求m为何值时，z分别为：(1)实数；实用文档实用文档(2)虚数；(3)纯虚数．23、求适合等式(2x －1)＋i ＝y ＋3i 的x 、y 的值．(其中x ∈R ，y 是纯虚数)24、已知关于实数x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＋i ＝y －3－y i ①2x ＋ay －4x －y ＋b i ＝9－8i ②有实数解，求实数a ，b 的值．以下是答案一、选择题1、解析：选D.∵55＝3125,56＝15625,57＝78125，58末四位数字为0625,59末四位数字为3125，510末四位数字为5625,511末四位数字为8125，512末四位数字为0625，…，实用文档由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，∴52011＝54×501＋7末四位数字为8125.2、解析：选D.a 1＝1－12，a 2＝1－12＋13－14，…， a n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n， a k ＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k，所以a k ＋1＝a k ＋12k ＋1－12k ＋2.3、解析：选C.不等式左端共有n ＋1项，且分母是首项为n ，公差为1，末项为2n 的等差数列，当n ＝k 时，左端为1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋...＋12k ；当n ＝k ＋1时，左端为1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)＋12k ＋1＋12k ＋2，对比两式，可得结论．4、解析：选B.因为n 为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第(k ＋1)个正奇数即n ＝2k ＋1正确．5、解析：选A.三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有5个对实用文档角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有9个对角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面．6、选B.∵n >1且n ∈N *，∴n 取的第一个值n 0＝2，故选B.二、填空题7、缺少步骤归纳奠基，实际上当n ＝1时等式不成立8、两边同乘以a ＋b 2解析：要想办法出现a k ＋1＋b k ＋1，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要证的(a ＋b 2)k ＋1.9、2k解析：增加的第k ＋1个圆与前k 个圆中的每一个均有两个交点，这两个交点中的每个点都将原来的一段圆弧分为两段，因此每个圆都要增加两段圆弧．∴k 个圆共增加的圆弧段数为2k 段．三、解答题10、解：(1)由S n ＋a n ＝2n ＋1，实用文档得a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，故推测a n ＝2n ＋1－12n ＝2－12n (n ∈N *)． (2)证明：a n ＝2－12n (n ∈N *)． ①当n ＝1时，a 1＝2－121＝32，结论成立， ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＝2－12k ，当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1 ＝2(k ＋1)＋1，∵a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ， ∴2a k ＋1＝a k ＋2，∴2a k ＋1＝4－12k ， ∴a k ＋1＝2－12k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时结论成立．由①②知对于任何正整数n ，结论都成立．实用文档11、证明：(1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴n ＝2时等式成立．(2)假设当n ＝k (n ≥2，n ∈N *)时等式成立，即(1－14)(1－19)(1－116)…(1－1k 2)＝k ＋12k，那么当n ＝k ＋1时，(1－14)(1－19)(1－116)…(1－1k2)[1－1k ＋12]＝k ＋12k·[1－1 k ＋12]＝k ＋12－12k k ＋1＝k ＋22k ＋1＝k ＋1＋12k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式都成立．12、证明：(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，实用文档即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56. 则当n ＝k ＋1时，1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋13k＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(3×13k ＋3－1k ＋1)＝56，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．四、选择题13、解析：选A.由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.14、解析：选B.因为复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0a －1≠0，解得a ＝2.故选B.15、解析：选C.根据纯虚数的定义知，实用文档27i ，i(1－3)是纯虚数．16、解析：选C.对于A ，当a ＝0时，a ＋b i 也可能为实数；对于B ，a ＋(b －1)i ＝3－2i ，则a＝3，b ＝－1；对于D,1的平方仍为1，故C 对．17、解析：选D.∵⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝－1b ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，∴a 2＋b 2＝1.18、解析：选D.用韦恩图可得答案．五、填空题19、－2＋i解析：根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2，∴b ＋a i ＝－2＋i.20、k π＋π2(k ∈Z )实用文档解析：⎩⎪⎨⎪⎧sin2α＝01－cos2α≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2α＝k π2α≠2k π⇒2α＝(2k ＋1)π，∴α＝k π＋π2(k ∈Z )．21、2解析：⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k <0k 2－5k ＋6＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<k <3k ＝2或k ＝3⇒k ＝2.六、解答题22、解：(1)当z 为实数时，则有m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或2.即m 为1或2时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有m 2－3m ＋2≠0，解得m ≠1且m ≠2.即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0，解得m ＝－12，即m ＝－12时，z 是纯虚数．23、解：设y ＝b i(b ≠0)代入已知等式得，(2x －1)＋i ＝(b ＋3)i ，实用文档∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝0b ＋3＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12b ＝－2，∴y ＝－2i.∴x ＝12，y ＝－2i.24、解：根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y1＝－3－y，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52y ＝4③.把③代入②，得5＋4a －(6＋b )i ＝9－8i ，且a 、b ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝96＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2.。

【人教版】数学选修2-2《数学归纳法》课后练习(含答案)

数学归纳法课后练习主讲教师：纪荣强北京四中数学教师题一：用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线的条数为f (n )＝12n (n －3)(n ≥3)．题二：求证：6)12)(1(21222++=+++n n n n ．题三：用数学归纳法证明不等式：1＋12＋13＋…＋1n ＜2n (n ∈N*)．题四：设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2，3，…(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式；(2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2．题五：在数列}{n a 中，33,2111+==+n n n a a a a ，求数列}{n a 的通项公式．题六：数列{a n } 满足 S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算 a 1，a 2，a 3，a 4并由此猜想通项 a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．题七：设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1a n(n ＝1,2，…)． (1)证明：a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立；(2)令b n ＝a n n(n ＝1,2，…)，判断b n 与b n ＋1的大小，并说明理由．题八：数列}{n a 中，)1(2,25211-==+n n n a a a a )(*∈N n ，用数学归纳法证明：)(2*∈>N n a n ．题九：设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0．证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1 ＝ n a 1a n ＋1．题十：是否存在常数a 、b 、c ，使等式2222(1)1223(1)()12n n n n an bn c +⋅+⋅+++=++对一切正整数n 都成立？证明你的结论．数学归纳法课后练习参考答案题一：见详解．详解：证明：(1)∵三角形没有对角线，∴n ＝3时，f (3)＝0，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥3)时，命题成立，即f (k )＝12k (k －3)，则当n ＝k ＋1时，凸k 边形由原来的k 个顶点变为k ＋1个顶点，对角线条数增加k －1条．∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1＝12k (k －3)＋k －1＝12(k ＋1)． ∴当n ＝k ＋1时命题成立，由 (1)，(2)可知对任何n ∈N 且n ≥3，命题恒成立．题二：见详解．详解：(1)当n =1时，左端=1 ，右端=16)12)(11(1=++⋅，左端=右端，等式成立； (2)假设n =k 时，等式成立，即6)12)(1(21222++=+++k k k k ，则 6]1)1(2][1)1)[(1()1(6)12)(1()1(2122222+++++=++++=+++++k k k k k k k k k 所以，当n =k +1时，等式仍然成立．由(1)(2)可知，对于n ∀∈*N 等式依然成立．题三：见详解．详解：证明：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2．左边＜右边，所以不等式成立，②假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)＜2k ．那么当n ＝k ＋1时，1＋ 12＋13＋…＋ 1k ＋1k ＋1 ＜2k ＋1k ＋1＝ 2k k ＋1＋1k ＋1＜k ＋(k ＋1)＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1．这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．题四：（1）a 2＝3，a 3＝4，a 4＝5，a n ＝n ＋1(n ≥1)；（2）见详解．详解：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 12－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 32－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1)．(2)证明：用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n ＝k 时不等式成立，即a k ≥k ＋2，那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3，也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2．根据①和②，对于所有n ≥1，都有a n ≥n ＋2．题五： 53+=n a n ．详解：,73,632121===a a ,93,8323==a a 猜想53+=n a n ．下面用数学归纳法证明：（1）当n =1时，215131=+=a ，猜想成立．（2）假设当n =k 时猜想成立，则13333533(1)535k k k a k a a k k +⋅+===+++++．当n =k +1时猜想也成立．综合（1）（2），对n ∈*N 猜想都成立．题六： (1)a 1＝1，a 2＝32， a 3＝74，a 4＝158，猜想 a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)；（2）见详解．详解：(1)a 1＝1，a 2＝32， a 3＝74，a 4＝158，由此猜想 a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)． (2)证明：当n ＝1时，a 1＝1, 结论成立．假设 n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么 n ＝k ＋1(k ∈N *)时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1．∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k，这表明 n ＝k ＋1 时，结论成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N * 都成立．∴a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．题七：（1）见详解；（2）b n ＋1＜b n ．详解：(1)证明：当n ＝1时，a 1＝2＞2×1＋1，不等式成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＞2k ＋1成立．那么当n ＝k ＋1时，a k ＋12＝a k 2＋1a k 2＋2＞2k ＋3＋1a k 2＞2(k ＋1)＋1． ∴当n ＝k ＋1时，a k ＋1＞2(k ＋1)＋1成立．综上， a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立．(2)∵b n ＋1b n ＝a n ＋1n ＋1a n n＝()1＋1a n 2· n n ＋1＜⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋1· n n ＋1＝2(n ＋1)n (2n ＋1)n ＋1 ＝2n (n ＋1)2n ＋1＝()n ＋122－14n ＋12＜1．故b n ＋1＜b n ．题八：见详解．详解：(1) 当n = 1时，2251>=a ，不等式成立． (2)假设当n = k 时等式成立，即)(2*∈>N k a k ，则2)1(2221--=-+k k k a a a 0)1(2)2(2>--=k k a a ，21>∴+k a ． ∴当n = k +1时，不等式也成立．综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立．题九：见详解．详解：证明：先证必要性．设数列{a n }的公差为d ．若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫()1a 1－1a 2＋()1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝1d · a n ＋1－a 1a 1a n ＋1 ＝ n a 1a n ＋1．再证充分性．(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N *都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3① 两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d ．假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k，② 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，③ 将②代入③，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k ．将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd ．由数学归纳法原理知，对一切n ∈N *，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ．所以{a n }是公差为d 的等差数列．题十：存在a =3，b =11，c =10．详解：把n =1, 2 , 3代入得方程组2442449370a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得31110a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，猜想：等式2222(1)1223(1)(31110)12n n n n n n +⋅+⋅+++=++对一切n N *∈都成立，下面用数学归纳法证明： (1) 当n =1时，由上面的探求可知等式成立． (2) 假设n =k 时等式成立，即2222(1)1223(1)(31110)12k k k k k k +⋅+⋅+++=++则222222(1)1223(1)(1)(2)(31110)(1)(2)12k k k k k k k k k k +⋅+⋅++++++=+++++2(1)(35)(2)(1)(2)12k k k k k k +=+++++(1)(2)[(35)12(2)]12k k k k k ++=+++2(1)(2)[3(1)11(1)10]12k k k k ++=++++．所以当n = k +1时，等式也成立．综合（1）（2），对n N *∈等式都成立．。

高二数学选修2-2_随堂练习：数学归纳法1

2.3 数学归纳法1.用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”，在验证n ＝1时，左边计算所得的项为( ) A ．1 B ．1＋a C ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3解析当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 2. 答案 C2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( ) A ．1 B ．4 C ．5D ．6 解析当n ＝1时，2>2不成立；当n ＝4时，24>42＋1不成立；当n ＝5时，25>52＋1成立；当n ＝6时，26>62＋1成立．答案 C3．下列代数式中，n ∈N *，可能被13整除的是( ) A ．n 3＋5n B ．34n ＋1＋52n ＋1 C ．62n －1＋1D ．42n ＋1＋3n ＋2 解析验证n ＝1时，由各代数式的值知A ，C 不可能，在D 中43＋33＝91＝13×7.故选D. 答案 D4．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时，命题成立B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时，命题成立C ．假设n ＝2k (k ∈N *)时，命题成立D ．假设n ＝k (k ∈N *)时，命题成立解析 ∵当k ∈N *时，2k －1表示正奇数，故选B.答案 B5．某个与正整数有关的命题，如果n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，命题成立，那么一定可推得当n ＝k ＋1时，命题也成立，现已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时，该命题不成立B ．当n ＝6时，该命题成立C ．当n ＝4时，该命题不成立D ．当n ＝4时，该命题成立解析用反证法知，假设n ＝4时命题成立，则由题意知k ＝5时命题成立，这与已知相矛盾，故n ＝4时，命题不成立．答案 C6．利用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1314时，由k 递推到k ＋1左边应添加的因式是( ) A.12k ＋1B.12k ＋1＋12k ＋1C.12k ＋1－12k ＋1D.12k ＋1解析 f (k ＋1)－f (k )＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋1－(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＝12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋1－12k ＋1.答案 C7．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1. 则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，对任意n ∈N *，等式成立．上述证明中的错误是________．解析由证明过程知，在证从n ＝k 到n ＝k ＋1时，直接用的等比数列前n 项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的．答案没有用上归纳假设 8．用数学归纳法证明122＋132＋…＋21(1)n +>12－1n ＋2，假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________．解析观察不等式中分母的变化便知．答案 122＋132＋…＋21(1)k +＋21(2)k +>12－1k ＋3能力提升 9．证明不等式12×34×…×2n －12n <12n ＋1(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13，显然12<13，不等式成立．(2)假设n ＝k 时，不等式成立，即12×34×…×2k －12k <12k ＋1，则n ＝k ＋1时，12×34×…×2k －12k ×2k ＋12k ＋2<12k ＋1×2k ＋12k ＋2＝2k ＋12k ＋2，要证n ＝k ＋1时，不等式成立，只要2k ＋12k ＋2<12k ＋3成立．即证(2k ＋1)(2k ＋3)<(2k ＋2)2 即证4k 2＋8k ＋3<4k 2＋8k ＋4. 该不等式显然成立．即n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n ，不等式成立． 10．已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n ，n ∈N *.(1)猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论； (2)证明：|x n ＋1－x n |≤16(25)n －1.解 (1)由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n ，得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321，由x 2>x 4>x 6猜想：数列{x 2n }是递减数列．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1,2时，x 2＝23>x 4＝85，命题成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2.易知x n >0，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝23212123(1)(1)k k k k x x x x ++++-++＝222222(2)(2)k k k k x x x x ++-++>0，即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2.也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．综合(1)和(2)知，命题成立．(2)证明：当n ＝1时，|x n ＋1－x n |＝|x 2－x 1|＝16，结论成立；当n ≥2时，易知0<x n －1<1， ∴1＋x n －1<2，x n ＝11＋x n －1>12.∴(1＋x n )(1＋x n －1)＝(1＋11＋x n －1)(1＋x n －1)＝2＋x n －1≥52. ∴|x n ＋1－x n |＝|11＋x n －11＋x n －1| ＝11||(1)(1)n n n n x x x x ---++≤25|x n －x n －1| ≤(25)2|x n －1－x n －2|≤…≤(25)n －1|x 2－x 1| ＝16(25)n －1.。

人教版高中数学选修2-2归纳法练习

【成才之路】2015-2016 学年高中数学 2.3 数学概括法练习新人教 A版选修 2-2一、1．(2015 海·南市文昌中学高二期中)用数学法明 1 ＋1＋⋯＋1n ＋ 1 n ＋2 3n ＋ 1>1(n ∈N＋ )，在 n ＝ 1 ，左的代数式()A. 1＋ 1＋ 1B.1＋ 12 342 31C.2D ． 1[答案 ] A[分析 ]1 ＋1＋⋯＋1＋)中，在n ＋ 1 n ＋ 2 3n ＋ 1>1( n ∈ N当 n ＝1 ， 3n ＋ 1＝ 4，故 n ＝1 ，等式左的：12＋13＋ 14，故 A.n ＋22．(2015 ·州市登封高二期中)用数学法明 2n ＋ 11－ a*，1＋ a ＋a ＋ ⋯ ＋ a＝ 1－ a (n ∈ Na ≠ 1)，在 n ＝ 1 ，左所得的( )A ． 1B ． 1＋ a ＋ a 2C ．1＋ aD ． 1＋ a ＋ a 2＋ a 3[答案 ] B[分析 ]因当 n ＝ 1 ， a n ＋1＝a 2，因此此式子左＝ 1＋ a ＋a 2.故 B.3． (2015 承·德市存瑞中学高二期中)用数学法明12＋ 32＋ 52＋ ⋯ ＋ (2n － 1)2＝13n(4n 2－ 1) 程中，由 n ＝ k 推到 n ＝ k ＋1，不等式左增添的 ()22A ． (2k)B ． (2k ＋ 3)C ．(2k ＋ 2)2D ． (2k ＋ 1)2[答案 ] D[分析 ]用数学法明12＋ 32＋ 52＋ ⋯ ＋ (2n － 1)2＝1n(4n 2－ 1)的程中，3 第二步，假 n ＝ k 等式建立，即12＋ 32＋ 52＋ ⋯ ＋ (2k － 1)2＝1k(4k 2－ 1)，32222 ＋ (2k ＋ 1) 21 2 1)＋ (2k ＋ 1) 2那么，当 n ＝ k ＋1 ， 1 ＋ 3 ＋ 5＋⋯ ＋ (2k － 1) ＝ k(4k －，3等式左增添的是(2k＋ 1)2，故 D.4．于不等式n2＋ n≤n＋ 1(n∈N＋ )，某学生的明程以下：(1)当 n＝ 1 ，12＋ 1≤1＋ 1，不等式建立．(2)假n ＝ k(k ∈N＋ ) ，不等式成立，即k2＋ k <k ＋ 1，n ＝ k ＋ 1，k＋2＋ k＋＝ k2＋3k＋ 2<k2＋ 3k＋＋ k＋＝k＋2＝ ( k＋ 1) ＋1，∴当 n＝ k＋ 1 ，不等式建立，上述法()A．程全都正确B．n＝ 1 不正确C．假不正确D．从 n＝ k 到 n＝ k＋ 1 的推理不正确[答案] D[分析 ]n＝ 1 的及假都正确，但从n＝ k 到 n＝ k＋ 1 的推理中没有使用假，而通不等式的放法直接明，不切合数学法的要求．故 D.nn5．用数学法明命“当 n 是正奇数， x ＋ y 能被 x＋ y 整除”，在第二步的明，正确的法是 ()A ．假 n＝k( k∈N* )命建立，明 n＝ k＋ 1 命也建立B．假 n＝ k(k 是正奇数 )命建立，明n＝ k＋1 命也建立C．假 n＝ k(k 是正奇数 )命建立，明n＝ k＋2 命也建立D．假 n＝2k＋ 1(k∈N)命建立，明n＝ k＋ 1 命也建立[答案 ]C[分析 ]∵ n 正奇数，当 n＝ k ， k 下边第一个正奇数k＋ 2，而非 k＋ 1.故C.6．凸 n 形有f(n)条角，凸n＋ 1 形角的条数f(n＋ 1) ()A ． f(n)＋ n＋1B． f( n)＋nC．f(n)＋ n－ 1D． f(n) ＋n－ 2[答案 ]C[分析 ]增添一个点，就增添n＋ 1－ 3 条角，此外本来的一也成了角，故 f(n＋ 1)＝f(n)＋ 1＋ n＋ 1－ 3＝ f(n)＋ n－ 1.故 C.7． (2014 ～2015 ·湖北要点中学高二期中考)用数学法明(n＋ 1)(n＋ 2) ⋯(n＋ n)＝2n· 1· 3⋯n－(21)(n∈N* )，从“n＝k 到n＝ k＋1”左需增乘的代数式()A ． 2k＋ 1B． 2(2k＋ 1)2k＋ 12k＋ 3C. k＋ 1D．k＋ 1[答案 ] B[分析 ]n ＝ k ，等式 (k ＋ 1)(k ＋2)⋯(k ＋ k)＝ 2 k· 1· 3·⋯·k －1)(2，n ＝ k ＋ 1 ，等式左 (k ＋ 1＋ 1)(k ＋ 1＋ 2) ⋯(k ＋ 1＋ k ＋ 1)＝ (k ＋ 2)(k ＋ 3) ⋯ (2k) ·(2k ＋1) ·(2k ＋ 2)，右 2k ＋1· 1· 3·⋯·k －1)(2k ＋1)．左需增乘 2(2k ＋ 1)，故 B.二、填空8 ． (2015 · 春外国学校高二期中) 察以下等式，照此律，第n 个等式________________________ ．1＝ 12＋3＋4＝93＋ 4＋5＋ 6＋ 7＝ 254＋ 5＋ 6＋7＋ 8＋ 9＋ 10＝ 49⋯[答案 ] n ＋ (n ＋1) ＋(n ＋ 2)＋ ⋯ ＋ (3n －2)＝ (2n － 1)2 [分析 ]将原等式形以下：1＝ 1＝ 122＋ 3＋4＝ 9＝ 323＋ 4＋ 5＋ 6＋ 7＝ 25＝ 524＋ 5＋6＋ 7＋ 8＋ 9＋ 10＝49＝ 72⋯由知，第n 个等式的左有2n － 1 ，第一个数是n ，是 2n － 1 个整数的和，最后一个数 n ＋ (2n － 1)－ 1＝ 3n － 2，右是左数 2n － 1 的平方，故有 n ＋(n ＋ 1)＋ (n ＋ 2)＋ ⋯(3n －2)＝ (2n － 1)2.9．用数学法明： 1－1＋ 1－ 1＋⋯ ＋1 － 1 ＝ 1 ＋1＋⋯＋1 ，第一步2 342n － 1 2n n ＋1 n ＋ 22n的等式是 ________________ ．[答案 ]1－1＝ 12 2[分析 ]当 n ＝ 1 ，等式的左1－1＝ 1，右＝1，∴左＝右．2 22三、解答10．数列 { a n } 足 S n ＝ 2n － a n ( n ∈N * )．(1) 算 a 1、 a 2、 a 3，并猜想a n 的通公式；(2)用数学法明(1)中的猜想．[ 明 ](1)当 n ＝ 1 ， a 1＝ S 1＝ 2－ a 1，∴ a 1＝ 1；3当 n ＝2 ， a 1＋ a 2＝ S 2＝2×2－ a 2，∴ a 2＝2；7当 n＝3 ， a1＋ a2＋ a3＝S3＝ 2×3－ a3，∴ a3＝4.由此猜想 a n＝2n－ 1*) 2n－1(n∈N(2)明：①当n＝ 1 ， a1＝ 1 建立，②假 n＝ k(k≥1，且 k∈N* )建立，2k－ 1即 a k＝2k－1，当 n＝k＋ 1 ， a k＋1＝ S k＋1－ S k＝2(k＋ 1)－ a k＋1－ 2k＋a k＝ 2＋ a k－ a k＋1，∴ 2a k＋1＝ 2＋ a kk ＋1－1∴ a k＋1＝2＋a k＝2k，22∴当 n＝ k＋ 1 建立，于是于全部的自然数n∈N*， a n＝2n－ 1n －1 建立．2一、11． (2015 ·林市中学高二期中吉) 当 n＝ 1,2,3,4,5,6，比2n和 n2的大小并猜想()A ． n≥1 ， 2n>n2B． n≥3 ， 2n>n2C．n≥4 ， 2n>n2D． n≥5 ，2n>n2[答案 ]D[分析 ]1 2，即 2n2；当 n＝ 1 ， 2 >1>n当 n＝2 ， 22＝ 22，即 2n＝ n2；当 n＝3 ， 23<32，即 2n<n2；当 n＝4 ， 24＝ 42，即 2n＝ n2；当 n＝5 ， 252n 2；>5，即 2>n当 n＝6 ， 26>62，即 2n>n2；⋯猜想当 n≥5 ， 2n>n2；下边我用数学法明猜建立，(1)当 n＝ 5 ，由以上可知猜想建立，(2) n＝ k(k≥ 5)，命建立，即k 22 >k ，当 n＝k＋ 1 ，2k＋1＝ 2·2k>2k2＝ k2＋ k2>k2＋ (2k＋ 1)＝ (k＋ 1)2，即 n＝k＋ 1 ，命建立，由 (1)和 (2) 可得 n≥5 ， 2n>n2；故当 n＝ 2 或 4 ，2n＝ n2；n＝ 3 ，2n<n2；n＝ 1 及 n 取大于 4 的正整数，都有 2n >n2.故 D.[点 ]此考的知点是整数的合用，解答此的关是从特例下手猜研究，而后用数学法明猜建立．12．凸 k 形的内角和 f( k)，凸 k ＋ 1 形的内角和 f(k ＋1)＝ f(k)＋ ________.()A ． 2πB ． ππ πC.2D ． 3[答案 ] B[分析 ]将 k ＋ 1 形 A 1A 2⋯A k A k ＋1 的点 A 1 与 A k 相，原多形被切割 k 形 A 1 A 2 ⋯A k 与三角形 A 1A k A k ＋ 1，其内角和 f(k ＋ 1)是 k 形的内角和 f(k)与△ A 1A k A k ＋ 1 的内角和 π的和，故 B.13． (2014～ 2015 ·揭阳一中高二期中 )用数学法明333*“n ＋ (n ＋ 1) ＋ (n ＋ 2) (n ∈ N ) 能被 9 整除 ”，要利用假 n ＝ k ＋ 1的状况，只要睁开()A ． (k ＋ 3)3B ． (k ＋ 2)3C ．( k ＋ 1) 3D ． (k ＋ 1)3＋ (k ＋ 2)3[答案 ]A[分析 ]因从 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 的渡，增添了 (k ＋ 1)3，减少了 k 3，故利用假，只要将 (k ＋ 3)3 睁开，明余下的 9k 2＋27k ＋ 27 能被 9 整除．14． (2014 合·肥一六八中高二期中 ) 察以下各式：已知a ＋b ＝ 1， a 2＋ b 2＝3， a 3＋ b 3＝4， a 4＋ b 4＝ 7， a 5＋ b 5＝11， ⋯ ，猜a 7 ＋b 7＝ ( )A ．26B ． 27C ．28D ． 29[答案 ] D[分析 ] 察， 1＋3＝ 4,3＋ 4＝ 7,4＋ 7＝ 11,7＋ 11＝ 18,11＋18＝ 29，∴ a 7＋ b 7＝ 29.二、填空n ＋12*) ” ，第一步的 __________ ．15．用数学法明 “2 ≥n ＋ n ＋2(n ∈ N [答案 ] 当 n ＝ 1 ，左＝ 4，右＝ 4，左 ≥右，不等式建立 [分析 ]当 n ＝ 1 ，左 ≥右，不等式建立，∵ n ∈N * ，∴第一步的 n ＝1 的情况．16．随意 n ∈N *, 34 n ＋ 2＋ a 2n ＋1 都能被 14整除，最小的自然数 a ＝ ________________.[答案 ]5[分析 ]当 n ＝ 1 ， 36＋a 3 能被 14 整除的数 a ＝3 或 5，当 a ＝ 3 且 n ＝3 ， 310＋ 35 不可以被 14 整除，故 a ＝ 5.三、解答17．在平面内有 n 条直，此中每两条直订交于一点，而且每三条直都不订交于同一点．n2＋ n＋2求： n 条直将它所在的平面分红个地区．2[明 ] (1)n＝ 2 ，两条直订交把平面分红 4 个地区，命建立．k2＋ k＋ 2(2)假当 n＝k(k≥ 2)， k 条直将平面分红2不一样的地区，命建立．当 n＝ k＋ 1 ，此中的一条直l ，其他 k 条直将平面分红k2＋ k＋ 2地区，直2l 与其他 k 条直订交，获得k 个不一样的交点，k 个点将 l 分红 k＋1 段，每段都将它所在的地区分红两部分，故新增地区k＋ 1 ．进而 k＋1 条直将平面分红k2＋ k＋ 2k＋2＋ k＋＋ 2 2＋ k＋ 1＝2地区．因此 n＝ k＋ 1 命也建立．由 (1)(2) 可知，原命建立．18． (1)用数学法明：2222(－ 1)n－1 2n－1 n n＋*)．1－ 2＋3 －4＋⋯＋n＝(－1)·2(n∈N(2)求： 12－ 22＋ 32－ 42＋⋯＋ (2n－ 1)2－ (2n)2＝－ n(2n＋1)(n∈N* )．[分析 ](1)①当 n＝1，左＝ 12＝ 1，右＝ (－ 1)0×＋2＝ 1，左＝右，等式建立．②假 n＝ k(k∈N* )，等式建立，即2222(－ 1)k－1 2＝( －1)k－1 k k＋.1－ 2＋3 －4＋⋯＋k·2当 n＝ k＋ 1 ，2222(－ 1)k－1 2＋( －1)k2＝(－1)k－1 k k＋＋(－ 1)k(k＋1)21－ 2＋3 －4＋⋯＋k(k＋ 1)·2＝ (－ 1)k(k＋ 1) · k＋－k＝ (－ 1)k·k＋k＋＋1]. 22∴当 n＝ k＋ 1 ，等式也建立，依据①、②可知，于任何n∈N*等式建立．(2)① n＝ 1 ，左＝ 12－22＝－ 3，右＝－ 3，等式建立．②假 n＝ k ，等式建立，即2222222 1 － 2＋3 －4＋⋯＋ (2k－ 1) － (2k)＝－ k(2k＋ 1) .当 n＝ k＋ 1 ， 12－ 22＋32－ 42＋⋯＋ (2k－ 1)2－ (2k)2＋ (2k＋ 1)2－ (2k＋ 2)2＝－ k(2k＋ 1)＋(2k＋1) 2－ (2k＋2)2＝－ k(2k＋ 1)－ (4k＋ 3)＝－ (2k2＋5k＋ 3)＝－ (k＋ 1)[2( k＋ 1)＋ 1]，因此 n ＝k＋ 1 ，等式也建立．由①②得，等式任何 n∈N*都建立．。

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数学归纳法（填空题：一般）
1、已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝ (n∈N*)，则a3＝________，a1·a2·a3·…·a2014＝________.
2、设，则 _____．（不用化简）
3、用数学归纳法证明：，则当时，左端在时的左端加上了
________
4、用数学归纳法证明:,在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是__________（用含有的式子作答).
5、用数学归纳法证明不等式成立，起始值应取为__________．
6、已知，用数学归纳法证明时，等于_____________。

7、用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为___________.
8、用数学归纳法证明（是非负实数，）时，假设命题成立之后，证明命题也成立的关键是________．
9、用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取
_____________．
10、用数学归纳法证明：（）时，从
“”时，左边应增添的代数式为_______________.
11、用数学归纳法证明（）时，从“n=”到“n=”的证明，左边需增添的代数式是___________.
12、用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．
13、n为正奇数时，求证：x n＋y n被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1命题为真时，进而需证n＝
________，命题为真．
14、若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．
15、用数学归纳法证明: 的第二步中，当时等式左边与时的等式左边的差等于.
16、用数学归纳法证明“12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)”，当n＝k＋1时，应在n＝k时的等式左边添加的项是________．
17、用数学归纳法证明≥n(a，b是非负实数，n∈N＋)时，假设n
＝k命题成立之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是________________．
18、用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证的不等式是.
19、用数学归纳法证明：（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=的第二步中，当n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于 .
20、在计算“”时，某同学学到了如下一种方法：
先改写第k项：由此得
…
相加，得
类比上述方法，请你计算“”，其结果为
21、用数学归纳法证明“”时，从到
，等式的左边需要增乘的代数式是__________ ;
22、在数学归纳法证明“”时，验证当时，等式的左边
为 .
23、已知，由不等式，启发我们归纳得到推广结论：，其中．
24、用数学归纳法证明－1＋3－5＋…＋n＝n n，当n＝1时，左边应为________
25、已知a1=,a n+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想a n=_________.
参考答案1、－－6
2、
3、(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
4、
5、8
6、
7、
8、两边同乘以
9、5
10、
11、.
12、1＋＋
13、2k＋1
14、f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
15、
16、(k＋1)2
17、两边同乘以
18、1++<2
19、
20、
21、
22、1+a.
23、n n
24、－1
25、
【解析】
1、(1)a2＝＝－3，
a3＝＝－.
(2)求出a4＝，a5＝2，可以发现
a5＝a1，且a1·a2·a3·a4＝1，
故a1·a2·a3·…·a2014＝a1a2＝2×(－3)＝－6.
2、，
，
，故答案为.
3、由题意可得，当时，左端为，当时，左端为
，即增加了，故答案为.
4、假设n=k成立，即，则n=k+1成立时有
，所以左边增加得项数是：
5、用等比数列求和公式可得整理得所以n=8
6、因为假设时，，
当时，，
所以，
故答案是.
7、由题意得，当时，等式的左边为，当时，等式的左边为
，则从到，左边需要增乘的代数式为
.
考点：数学归纳法.
8、要想办法出现，两边同乘以，右边也出现了要证的
考点：数学归纳法.
9、由于n=1时，；n=2时，；n=3时，；n=4时，；n=5时，.所以当时，成立.
考点：数学归纳法.
10、试题分析：假设时, 成立;那么时左边应为
,
即从“到”时，左边应添乘的式子是
.故B正确.
考点：数学归纳法.
11、试题分析：当时，等号左边的代数式为，当时，等号左边的代
数式为，∴. 考点：数学归纳法.
12、试题分析：当时，；所以在验证成立时，左式是.
考点：数学归纳法.
13、题中是数学归纳法是关于所有正奇数的命题，之后的正奇数为，
据此可得第二步假设n＝2k－1命题为真时，进而需证n＝2k＋1，命题为真．
14、∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，
∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；
∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
15、试题分析：当时，等式的左边为，当时，等式的左边为
，所以当时等式左边与时的等式左边的差等于.
考点：数学归纳法.
16、[12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2]－(12＋22＋…＋k2)＝(k＋1)2
17、要想办法出现a k＋1＋b k＋1，两边同乘以，右边也出现了要证的k＋1.
18、由条件知n的第一个值为2,所以第一步应验证的不等式是1++<2.
19、试题分析：当时，左边= ；当时，左边=
，其差为= .
考点：数学归纳法.
20、略
21、左边需要增乘.
22、把n=1代入左边式子可知左边为1+a.
23、略
24、略
25、。