高考数学复习考知识解析与专题练习60---基本不等式的向量形式
高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)
专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6B ．8 2C ．5D ．9高频考点二 利用基本不等式解决实际问题【例2】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．，，，，，，，，【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式探究】（2020·山西省大同模拟）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km /h )(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175（x 2－130x ＋4 900），x ∈[50，80），12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【答案】23＋2【解析】∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【答案】92【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ，∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4， ∴4＝x ＋2y ≥22xy ，∴xy ≤2，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92.【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6 B ．8 2 C ．5 D ．9【答案】A【答案】∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1， ∴a ＝b ＋1b －2＞0，∴b ＞2，∴a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝2(b －2)＋3b －2＋5≥5＋22（b －2）·3b －2＝5＋2 6.当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时取等号．∴a ＋2b 的最小值为5＋26，故选A 。
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解44---基本不等式
高考数学复习考点知识与题型专题讲解基本不等式 考试要求1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题． 知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . (2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b 2等号成立的条件是相同的．(×) (2)y ＝x ＋1x 的最小值是2.(×)(3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.(√)(4)函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值为4.(×)教材改编题1．已知x >2，则x ＋1x －2的最小值是() A ．1B ．2C ．22D ．4答案D解析∵x >2，∴x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立．2．函数y ＝4－x －1x (x <0)()A ．有最小值2B ．有最小值6C ．有最大值2D ．有最大值6答案B解析y ＝4＋(－x )＋1(－x )≥4＋2(－x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝6. 当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号． 3．若a ，b ∈R ，下列不等式成立的是________．①b a ＋a b ≥2；②ab ≤a 2＋b 22；③a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22； ④2ab a ＋b≤ab . 答案②③解析当b a 为负时，①不成立．当ab <0时，④不成立.题型一 利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1(1)(2022·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为()A.94B ．4C.92D ．9答案C解析y ＝4x (3－2x )＝2·2x ·(3－2x )≤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号，∴当x ＝34时，y max ＝92.(2)若x <23，则f (x )＝3x ＋1＋93x －2有() A ．最大值0B ．最小值9C ．最大值－3D ．最小值－3答案C解析∵x <23，∴3x －2<0，f (x )＝3x －2＋93x －2＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－3x )＋92－3x ＋3≤－2(2－3x )·92－3x＋3＝－3. 当且仅当2－3x ＝92－3x ，即x ＝－13时取“＝”． (3)(2022·绍兴模拟)若－1<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2的最大值为________． 答案 －1解析因为－1<x <1，则0<1－x <2，于是得y ＝－12·(1－x )2＋11－x＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－x )＋11－x ≤－12·2(1－x )·11－x＝－1， 当且仅当1－x ＝11－x，即x ＝0时取“＝”， 所以当x ＝0时，y ＝x 2－2x ＋22x －2有最大值－1.命题点2常数代换法例2(2022·重庆模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则2a ＋12b 的最小值是()A ．1B ．2C.94D.92答案C解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1，所以2a ＋12b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋12b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋52 ≥12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋52＝94， 当且仅当a ＝43，b ＝23时，等号成立．命题点3消元法例3已知x >0，y >0且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为________．答案2解析方法一(换元消元法)∵x ＋y ＋xy ＝3，则3－(x ＋y )＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， 即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，令t ＝x ＋y ，则t >0，∴t 2＋4t －12≥0，解得t ≥2，∴x ＋y 的最小值为2.方法二(代入消元法)由x＋y＋xy＝3得y＝3－x x＋1，∵x>0，y>0，∴0<x<3，∴x＋y＝x＋3－xx＋1＝x＋4x＋1－1＝x＋1＋4x＋1－2≥2(x＋1)·4x＋1－2＝2，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.延伸探究本例条件不变，求xy的最大值．解∵x＋y＋xy＝3，∴3－xy＝x＋y≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，令t＝xy，则t>0，∴3－t2≥2t，即t2＋2t－3≤0，即0<t≤1，∴当x ＝y ＝1时，xy 最大值为1. 教师备选1．(2022·哈尔滨模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则当x ＋y 取得最小值时，y 等于()A ．16B ．6C ．18D ．12答案B解析因为x >0，y >0,2x ＋8y ＝xy ，所以2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8y x ＝10＋2×4＝18， 当且仅当⎩⎨⎧ 2x y ＝8y x ，2x ＋8y －xy ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝6时取等号， 所以当x ＋y 取得最小值时，y ＝6.2．已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则() A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4答案A解析f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－(x ＋1)＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－(x ＋1)，即x ＝－2时，等号成立． 故f (x )有最小值4.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1(1)已知函数f (x )＝22x －1＋x (2x >1)，则f (x )的最小值为________． 答案52解析∵2x >1，∴x －12>0，f (x )＝22x －1＋x ＝1x －12＋x －12＋12≥21x －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋12 ＝2＋12＝52， 当且仅当1x －12＝x －12，即x ＝32时取“＝”．∴f (x )的最小值为52.(2)已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________． 答案12解析令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8， ∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×18(m ＋n )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12. 当且仅当n m ＝m n ，即m ＝n ＝4时等号成立．∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12. 题型二 基本不等式的常见变形应用例4(1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为()A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案D解析由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12(a 2＋b 2)， ∵CF ≥OF ，∴12(a 2＋b 2)≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．(2)(2022·广州模拟)已知0<a <1，b >1，则下列不等式中成立的是()A ．a ＋b <4ab a ＋b B.ab <2ab a ＋bC.2a 2＋2b 2<2abD ．a ＋b <2a 2＋2b 2答案D 解析对于选项A ，因为0<a <1，b >1，所以(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>4ab ，故选项A 错误；对于选项B ，ab >21a ＋1b＝2ab a ＋b ，故选项B 错误； 对于选项C ，2(a 2＋b 2)>2×2ab ＝2ab ，故选项C 错误；对于选项D,2a 2＋2b 2>a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，所以a ＋b <2a 2＋2b 2，故选项D 正确．教师备选若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是()A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2答案D解析a 2＋b 2≥2ab ，所以A 错误；ab >0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a <0，b <0时，B 错误；同时C 错误；a b 或b a 都是正数，根据基本不等式求最值，a b ＋b a ≥2a b ×ba ＝2，故D 正确．思维升华基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. (2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．跟踪训练2(1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p ：a >b >0，命题q ：a 2＋b 22>⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，则p 是q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2，∴a 2＋b 22>⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， ∴由p 可推出q ，当a <0，b <0时，命题q 成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝5>⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4， ∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(2022·漳州质检)已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是()A.2a ＋bB.1a ＋1bC.2ab D.2a 2＋b 2 答案B解析∵a ，b 为互不相等的正实数， ∴1a ＋1b >2ab， 2a ＋b <22ab＝1ab <2ab ，2a 2＋b 2<22ab ＝1ab <2ab， ∴最大的是1a ＋1b .柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．推广一般情形：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈R ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立)．2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则：(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2 ≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2. 一、利用柯西不等式求最值例1已知x ，y 满足x ＋3y ＝4，则4x 2＋y 2的最小值为________．答案6437解析(x ＋3y )2≤(4x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋9， 所以4x 2＋y 2≥16×437＝6437，当且仅当y ＝12x 时，等号成立，所以4x 2＋y 2的最小值为6437.例2已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，正实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则ax ＋by ＋cz 的最大值为________．答案3解析(ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)＝9，∴ax ＋by ＋cz ≤3，当且仅当a ＝3x ，b ＝3y ，c ＝3z 时取“＝”，∴ax ＋by ＋cz 的最大值为3.例3函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________．答案6 3解析y 2＝(5x －1＋10－2x )2＝(5x －1＋2·5－x )2≤(52＋2)(x －1＋5－x )＝108，当且仅当x ＝12727时等号成立，∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2 ＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22 ＝(a 1＋a 2)2.当且仅当b 1＝b 2时，等号成立．例5已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n (a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .证明根据柯西不等式，有⎝⎛⎭⎫12＋12＋…＋12n 个 (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2，所以1n (a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .课时精练1．下列函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋2 xB．y＝x2＋3 x2＋2C．y＝e x＋e－xD．y＝log3x＋log x3(0<x<1) 答案C解析当x<0时，y＝x＋2x<0，故A错误；y＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2≥2，当且仅当x2＋2＝1x2＋2，即x2＝－1时取等号，∵x2≠－1，故B错误；y＝e x＋e－x≥2e x·e－x＝2，当且仅当e x＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；当x∈(0,1)时，y＝log3x<0，故D错误．2．(2022·汉中模拟)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则ab的最大值为()A ．2B.12C ．4D.14答案A解析4＝2a ＋b ≥22ab ，即2≥2ab ，平方得ab ≤2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立，∴ab 的最大值为2.3．(2022·苏州模拟)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12取得最小值时x 的值为()A.15B.14C.24D.13答案A解析f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x≥(2＋3)22x ＋1－2x ＝25，当且仅当22x ＝31－2x，即x ＝15时等号成立． 4．(2022·重庆模拟)已知x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是()A ．1B ．4C ．7D ．3＋17答案C解析∵x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4， ∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3 ≥2(x －2)(y －1)＋3＝7，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝3时等号成立． 5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是() A ．f (x )有最大值114B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74答案B解析f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x ＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立．6．已知函数f (x )＝x x 2－x ＋4(x >0)，则() A ．f (x )有最大值3B ．f (x )有最小值3C ．f (x )有最小值13D ．f (x )有最大值13答案D解析f (x )＝x x 2－x ＋4＝1x ＋4x －1≤124－1＝13， 当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立， ∴f (x )的最大值为13.7．(2022·济宁模拟)已知a ，b 为正实数，则“ab a ＋b ≤2”是“ab ≤16”的() A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析由a ，b 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，若ab ≤16，可得aba ＋b ≤ab 2ab ＝ab 2≤162＝2，故必要性成立； 当a ＝2，b ＝10，此时ab a ＋b≤2，但ab ＝20>16，故充分性不成立， 因此“ab a ＋b≤2”是“ab ≤16”的必要不充分条件．8．已知正实数a，b满足a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式恒成立的有() ①2a＋2b≥22；②a2＋b2<1；③1a＋1b<4；④a＋1a>2.A．①②B．①③C．①②④D．②③④答案C解析∵2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝22，当且仅当a＝b时取等号，∴①正确；∵a2＋b2<a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴②正确；∵1a＋1b＝(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当a＝b时取等号，∴③错误；∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴0<a<1，∵a＋1a≥2a·1a＝2，当且仅当a＝1时取等号，∴a＋1a>2，④正确．9．若0<x<2，则x4－x2的最大值为________．答案2解析∵0<x <2，∴x 4－x 2＝x 2(4－x 2)≤x 2＋4－x 22＝2， 当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时取“＝”．10．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________． 答案4解析依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 即a ＋b ≤(a ＋b )24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a ＋b 的最小值为4.11．已知x >0，y >0且3x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最小值为________． 答案27解析因为x >0，y >0,3x ＋4y ＝xy ，所以3y ＋4x ＝1，所以3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋4x ＝15＋9x y ＋4y x ≥15＋29x y ·4y x ＝27，当且仅当⎩⎨⎧ 9x y ＝4y x ，3x ＋4y －xy ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝9时取等号，所以3x ＋y 的最小值为27.12．(2021·天津)若a >0，b >0，则1a ＋a b 2＋b 的最小值为________． 答案2 2解析∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b ·b ＝22， 当且仅当1a ＝a b 2且2b ＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立，∴1a ＋a b 2＋b 的最小值为2 2.13．(2022·南京模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 答案A解析∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，又∵xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， ∴(x ＋y )2－1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，令x ＋y ＝t ， 则4t 2－4≤t 2，∴－233≤t ≤233，即－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时，取等号，∴x ＋y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233. 14．设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是________．(填序号) ①a ＋b ＋1ab ≥22； ②2ab a ＋b>ab ； ③a 2＋b 2ab≥a ＋b ； ④(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4. 答案①③④解析因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22， 当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab， 即a ＝b ＝22时取等号，故①正确；因为a ＋b ≥2ab >0，所以2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 故②错误；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 所以a 2＋b 2a ＋b ＝(a ＋b )2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b≥ 2ab －ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b≥ab ，即a 2＋b 2ab ≥a ＋b ，故③正确； 因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥ 2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．15．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b ＋ab 的最小值为____________．答案174解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，即0<ab ≤14，当且仅当a ＝b 时取等号， 令t ＝ab ，则1a ＋1b ＋ab ＝1ab ＋ab ＝1t ＋t ，t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，因为函数y ＝1t ＋t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上为减函数， 所以当t ＝14时，函数y ＝1t ＋t 取得最小值，即y min ＝14＋4＝174.16．(2022·沙坪坝模拟)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2y y －1的最小值为________． 答案3＋2 2解析因为x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy ＝x ＋y >y ，即有x >1，同理y >1，由x ＋y ＝xy 得，(x －1)(y －1)＝1，于是得xx －1＋2yy －1＝1＋1x －1＋2＋2y －1＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋2y －1≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22， 当且仅当1x －1＝2y －1，即x ＝1＋22，y ＝1＋2时取“＝”，所以xx －1＋2yy －1的最小值为3＋2 2.。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》技巧及练习题附答案
新高中数学《不等式》专题解析一、选择题1．已知函数()2f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大值为（ ） A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，作出不等式组所表示的平面区域，又()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值．【详解】由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，可得(),P a b 的表示的平面区域如图：可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -， 目标函数()242z f a b ==+，可化为122b a z =-+，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，并将目标函数()242z f a b ==+变形为122b a z =-+进行平移，找到截距的最大值．2．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80C ．90D ．120【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y =-+，即322zy x =+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.52x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rr r r r r r r T C x C xx ---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 取2r =得到2x 项的系数为：()225252180C -⋅⋅-=.故选：B .【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】 【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.4．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）①命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；②若正整数m 和n 满足m n ≤2n ； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【解析】 【分析】①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】①，命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①错误.②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得()22m n m nm n m +--≤=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1110221121112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.5．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.6．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5B 45C 5D 25【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()2242325-+-=故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．7．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则24x y --的最小值为（ ）A 85B ．8C 165D ．163【答案】D 【解析】 【分析】222424512x y x y ----=+222412x y --+表示点(,)x y 到直线240x y --=的距离，作出可行域，数形结合即可得到答案. 【详解】因为222424512x y x y ----=+，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线240x y --=5点44(,)33A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时224424333512d -⨯-==+， 所以24x y --1653d =. 故选：D. 【点睛】本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.8．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y y +=的最大值为（ ）A ．512B ．8C ．256D ．64【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可， 观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8， 故2x yy +=的最大值为256.故选：C ．【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元 B ．360千元C ．400千元D ．440千元【答案】B 【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：2348069600,0,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．11．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（ ） A ．92B ．9C ． 6D ．3【答案】D 【解析】 【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭ ()122152522333n m m n ⎛⎫≥+⨯=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.12m n ∴+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.12．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF +-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即AF BF AB +≤，所以MN AB ≤，故选B ．考点：抛物线的性质． 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．13．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且2sin 2AA =.则ABC V 周长的取值范围为（ ）A ．B ．(4,C ．4+D ．(4+【答案】C 【解析】 【分析】由2sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】由题意，22cos 112A A -=-，即cos 1A A =-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为4+.故选：C 【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.14．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.15．已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D 【解析】 【分析】2()sin (2)sin 2mf x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()221122(2)31144t m m m g m y m m m=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】 由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =. 故选：D 【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.16．过抛物线24x y =的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是（ ）A．2⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．[)1,+∞ C．)+∞D ．[)2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】假设直线l 方程，代入抛物线方程，利用韦达定理和直线方程求得M 点坐标，利用两点连线斜率公式和基本不等式可求得结果. 【详解】由抛物线方程知：()0,1F ，设直线l 的方程为()10y kx k =+>，代入抛物线方程得：2440x kx --=， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则124x x k +=，M Q 为线段AB 的中点，12022x x x k +∴==， M Q 在直线l 上，200121y kx k ∴=+=+，20021122OMy k k k x k k +∴===+≥=k =时取等号）， 即直线OM斜率的取值范围为)+∞. 故选：C . 【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够结合韦达定理，利用一个变量表示出所求的斜率，进而利用基本不等式求得最值.17．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r，则z 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.18．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ） A ．log 3log 3a b > B ．336a b +> C ．133ab a b ++> D ．b a a b >【答案】B 【解析】 【分析】举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B 成立. 【详解】当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =; 因为0a b >>，1ab >，所以23323323236a b a b a b ab++>=>>，综上选B. 【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.19．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1-【答案】C【解析】 【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.20．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞【答案】C 【解析】若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4a x x≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4[4,5]x x+∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.。
基本不等式-高考数学知识点总结-高考数学真题复习
基本不等式-⾼考数学知识点总结-⾼考数学真题复习§7.4 基本不等式2014⾼考会这样考 1.利⽤基本不等式求最值、证明不等式；2.利⽤基本不等式解决实际问题．复习备考要这样做 1.注意基本不等式求最值的条件；2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应⽤．1．基本不等式≤ab a ＋b2(1)基本不等式成⽴的条件：a >0，b >0.(2)等号成⽴的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．⼏个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)＋≥2(a ，b 同号)．b a ab (3)ab ≤2(a ，b ∈R )．(a ＋b2)(4)≥2(a ，b ∈R )．a 2＋b 22(a ＋b2)3．算术平均数与⼏何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为，⼏何平均数为，基本不等式可叙述为：a ＋b2ab 两个正数的算术平均数不⼩于它们的⼏何平均数．4．利⽤基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最⼩值是2.(简记：积定和最p ⼩)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最⼤值是.(简记：和定积最⼤)p 24[难点正本 疑点清源]1．在应⽤基本不等式求最值时，要把握不等式成⽴的三个条件，就是“⼀正——各项均为正；⼆定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．运⽤公式解题时，既要掌握公式的正⽤，也要注意公式的逆⽤，例如a 2＋b 2≥2ab 逆⽤就是ab ≤(a ，b >0)等．还要注意“添、a 2＋b 22a ＋b2ab (a ＋b2)拆项”技巧和公式等号成⽴的条件等．3．对使⽤基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使⽤函数y ＝x ＋(m >0)的单调性．mx1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最⼤值是________．答案 81解析 由于x >0，y >0，则x ＋y ≥2，xy 所以xy ≤2＝81，(x ＋y2)当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最⼤值81.2．已知t >0，则函数y ＝的最⼩值为________．t 2－4t ＋1t答案 －2解析 ∵t >0，∴y ＝＝t ＋－4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．t 2－4t ＋1t1t 3．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则＋的最⼩值是_____________．1x 2y 答案 8解析 因为＋＝(2x ＋y )1x 2y )＝4＋＋≥4＋2＝8，等号当且仅当y ＝，x ＝时成⽴．y x 4xy y x ·4x y 12144． (2012·浙江)若正数x ，y 满⾜x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最⼩值是( )A. B.C ．5D ．6245285答案 C解析 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得＝1.15(1y＋3x )∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )15(1y ＋3x )＝15(3x y ＋4＋9＋12y x )＝＋≥＋×213515(3xy＋12yx )135153x y ·12y x ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最⼩值为5.5．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )－∞，14](0，14]C.D.(－14，0)(－∞，14)答案 A解析 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆⼼(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，⼜因ab ≤2＝ (a ＝b 时取等号)．(a ＋b 2)14故ab 的取值范围是.(－∞，14]题型⼀ 利⽤基本不等式证明简单不等式例1 已知x >0，y >0，z >0.求证：≥8.(y x＋z x )(x y ＋z y )(x z ＋yy ＋≥>0，x z y z 2xyz ∴(y x＋z x )(x y ＋z y )(x z ＋yz )≥＝8.8yz ·xz ·xyxyz当且仅当x ＝y ＝z 时等号成⽴．探究提⾼ 利⽤基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的⼀种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题． 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：＋＋≥9.1a 1b 1c 证明 ∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，∴＋＋＝＋＋1a 1b 1c a ＋b ＋c a a ＋b ＋c ba ＋b ＋c c＝3＋＋＋＋＋＋ba ca ab cb ac b c＝3＋＋＋(b a＋a b )(c a ＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝时，取等号．13题型⼆ 利⽤基本不等式求最值例2 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则＋的最⼩值为________；1x 1y (2)当x >0时，则f (x )＝的最⼤值为________．2xx 2＋1思维启迪：利⽤基本不等式求最值可以先对式⼦进⾏必要的变换．如第(1)问把＋中1x 1y 的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利⽤基本不等式；第(2)问把函数式中分⼦分母同除“x ”，再利⽤基本不等式．答案 (1)3＋2 (2)12解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，∴＋＝＋1x 1y 2x ＋yx 2x ＋yy＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝时，取等号．y x 2x y 2y x 2xy (2)∵x >0，∴f (x )＝＝≤＝1，2xx 2＋12x ＋1x 22当且仅当x ＝，即x ＝1时取等号．1x (1)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最⼩值是( )A ．3B ．4C.D.92112(2)已知a >b >0，则a 2＋的最⼩值是________．16b (a －b )答案 (1)B (2)16解析 (1)依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2＝6，(x ＋1)(2y ＋1)即x ＋2y ≥4.当且仅当Error!即Error!时等号成⽴．∴x ＋2y 的最⼩值是4.(2)∵a >b >0，∴b (a －b )≤b ＋a －b 2)a 24当且仅当a ＝2b 时等号成⽴．∴a 2＋≥a 2＋＝a 2＋16b (a －b )16a 2464a 2≥2＝16，当且仅当a ＝2时等号成⽴．a 2·64a 22∴当a ＝2，b ＝时，a 2＋取得最⼩值16.2216b (a －b )题型三 基本不等式的实际应⽤例3 某单位建造⼀间地⾯⾯积为12 m 2的背⾯靠墙的矩形⼩房，由于地理位置的限制，房⼦侧⾯的长度x 不得超过5 m ．房屋正⾯的造价为400元/m 2，房屋侧⾯的造价为150元/m 2，屋顶和地⾯的造价费⽤合计为5 800元，如果墙⾼为3 m ，且不计房屋背⾯的费⽤．当侧⾯的长度为多少时，总造价最低？思维启迪：⽤长度x 表⽰出造价，利⽤基本不等式求最值即可．还应注意定义域0解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋×400)＋5 80012x ＝900＋5 800 (0(x ＋16x )则y ＝900＋5 800(x ＋16x )≥900×2＋5 800＝13 000(元)，x ×16(2011·北京)某车间分批⽣产某种产品，每批的⽣产准备费⽤为800元．若每批⽣产x 件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费⽤为1元．为使平均到x8每件产品的⽣产准备费⽤与仓储费⽤之和最⼩，每批应⽣产产品 ( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案 B解析 设每件产品的平均费⽤为y 元，由题意得y ＝＋≥2＝20.800x x 8800x ·x 8当且仅当＝(x >0)，即x ＝80时“＝”成⽴，故选B.800x x8忽视最值取得的条件致误典例：(12分)已知a 、b 均为正实数，且a ＋b ＝1，求y ＝的最⼩值．(a ＋1a )(b ＋1b )易错分析 在求最值时两次使⽤基本不等式，其中的等号不能同时成⽴，导致最⼩值不能取到．审题视⾓ (1)求函数最值问题，可以考虑利⽤基本不等式，但是利⽤基本不等式，必须保证“正、定、等”，⽽且还要符合已知条件．(2)可以考虑利⽤函数的单调性，但要注意变量的取值范围．规范解答解 ⽅法⼀ y ＝(a ＋1a )(b ＋1b )＝＋≥＋2(ab ＋1ab )(ba ＋ab )(ab ＋1ab )ab ＋1ab )(4ab ＋1ab －3ab)≥2＝2＝.[10分](24ab ·1ab－3×a ＋b 2)(4－32)254当且仅当a ＝b ＝时，y ＝取最⼩值，最⼩值为.[12分] 12(a ＋1a )(b ＋1b )254⽅法⼆ y ＝＝ab ＋＋＋(a ＋1a )(b ＋1b )1ab a b ba＝ab ＋＋＝ab ＋＋1ab (a ＋b )2－2abab＝＋ab －2.[6分]2ab 令t ＝ab ≤2＝，即t ∈.(a ＋b 2)14(0，14]⼜f (t )＝＋t 在上是单调递减的，[10分]2t (0，14]∴当t ＝时，f (t )min ＝，此时，a ＝b ＝.1433412∴当a ＝b ＝时，y 有最⼩值.[12分]12254温馨提醒 (1)这类题⽬考⽣总感到⽐较容易下⼿．但是解这类题⽬却⼜常常出错．(2)利⽤基本不等式求最值，⼀定要注意应⽤条件：即⼀正、⼆定、三相等．否则求解时会出现等号成⽴、条件不具备⽽出错．(3)本题出错的原因前⾯已分析，关键是忽略了等号成⽴的条件.⽅法与技巧1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常⽤于⽐较数(式)的⼤⼩或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利⽤基本不等式的切⼊点．2．恒等变形：为了利⽤基本不等式，有时对给定的代数式要进⾏适当变形．⽐如：(1)当x >2时，x ＋＝(x －2)＋＋2≥2＋2＝4.1x －213≤2＝.13(3x ＋8－3x 2)163失误与防范1．使⽤基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“⼀正、⼆定、三相等”的忽视．要利⽤基本不等式求最值，这三个条件缺⼀不可．2．在运⽤重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满⾜重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．连续使⽤公式时取等号的条件很严格，要求同时满⾜任何⼀次的字母取值存在且⼀致．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1． (2011·陕西)设0( )A ．aB ．a <<ab a ＋b2ab a ＋b2C ．a <ab a ＋b2ab a ＋b2答案 B解析 ∵02－a ＝(－)>0，即>a ，D 错误，故选B.ab a b a ab 2． (2012·福建)下列不等式⼀定成⽴的是( )A ．lg>lg x (x >0)(x 2＋14)B ．sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )1sin x C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.>1(x ∈R )1x 2＋1答案 C解析 当x >0时，x 2＋≥2·x ·＝x ，1412所以lg≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；(x 2＋14)⽽当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有＝1，故选项D 不正确．1x 2＋13．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝2，则＋的最⼤值为( )31x 1y A ．2 B.C ．1D.3212答案 C解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，＋＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 32＝1，当且仅当a ＝b ＝时“＝”1x 1y (a ＋b2)3成⽴，则＋的最⼤值为1.1x 1y 4．已知0( )A. B.C.D.13123423答案 B解析 ∵00.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤32＝.(x ＋1－x 2)34当x ＝1－x ，即x ＝时取等号．12⼆、填空题(每⼩题5分，共15分)5．已知x ，y ∈R ＋，且满⾜＋＝1，则xy 的最⼤值为________．x 3y4答案 3解析 ∵x >0，y >0且1＝＋≥2，∴xy ≤3.当且仅当＝时取等号．x 3y4xy12x3y46． (2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则·的最⼩值为________．(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)答案 9解析 ＝5＋＋4x 2y2(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)1x 2y 2≥5＋2＝9，1当且仅当x 2y 2＝时“＝”成⽴．127．某公司⼀年需购买某种货物200吨，平均分成若⼲次进⾏购买，每次购买的运费为2万元，⼀年的总存储费⽤数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使⼀年的总运费与总存储费⽤之和最⼩，则每次购买该种货物的吨数是_______．答案 20解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买次，则⼀年的总运费为×2＝，200x 200x 400x ⼀年的总存储费⽤为x ，所以⼀年的总运费与总存储费⽤为＋x ≥2＝40，当且400x 400x·x仅当＝x ，即x ＝20时等号成⽴，故要使⼀年的总运费与总存储费⽤之和最⼩，每次400x 应购买该种货物20吨．三、解答题(共22分)8． (10分)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)＋＋≥8；1a 1b 1ab (2)≥9.(1＋1a )(1＋1b )证明 (1)＋＋＝＋＋1a 1b 1ab 1a 1b a ＋bab＝2，(1a＋1b )∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，1a 1b a b ba ∴＋＋≥8(当且仅当a ＝b ＝时等号成⽴)．1a 1b 1ab 12(2)⽅法⼀ ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋＝1＋＝2＋，1a a ＋b a ba 同理，1＋＝2＋，1b ab ∴＝(1＋1a )(1＋1b )(2＋b a )(2＋ab )＝5＋2≥5＋4＝9.(ba＋ab )∴≥9(当且仅当a ＝b ＝时等号成⽴)．(1＋1a )(1＋1b )12⽅法⼆ ＝1＋＋＋.(1＋1a )(1＋1b )1a 1b 1ab 由(1)知，＋＋≥8，1a 1b 1ab 故＝1＋＋＋≥9.(1＋1a )(1＋1b )1a 1b 1ab 9． (12分)为处理含有某种杂质的污⽔，要制造⼀个底宽为2 m 的⽆盖长⽅体沉淀箱(如图所⽰)，污⽔从A 孔流⼊，经沉淀后从B 孔流出，设箱的底长为a m ，⾼度为b m ．已知流出的⽔中该杂质的质量分别与a ，b 的乘积成反⽐，现有制箱材料60 m 2.问：当a ，b 各为多少⽶时，经沉淀后流出的⽔中该杂质的质量分数最⼩(A ，B 孔的⾯积忽略不计)?解 ⽅法⼀ 设y 为流出的⽔中该杂质的质量分数，则y ＝，其中k >0为⽐例系数，依题意，求使y 值最⼩的a ，b 的值．kab 根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)，解得b ＝ (030－a2＋a于是y ＝＝＝kab k30a －a 22＋a k－a ＋32－64a ＋2＝k34－(a ＋2＋64a ＋2)≥＝，k34－2(a ＋2)·64a ＋2k18当且仅当a ＋2＝时等号成⽴，y 取得最⼩值．64a ＋2这时a ＝6或a ＝－10(舍)，将其代⼊①式，得b ＝3.故当a 为6 m ，b 为3 m 时，经沉淀后流出的⽔中该杂质的质量分数最⼩．⽅法⼆ 依题意，求使ab 值最⼤的a ，b 的值．由题设，知4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)，即a ＋2b ＋ab ＝30 (a >0，b >0)．因为a ＋2b ≥2，所以2·＋ab ≤30，2ab 2ab 当且仅当a ＝2b 时，上式取等号．由a >0，b >0，解得0即当a ＝2b 时，ab 取得最⼤值，其最⼤值为18.所以2b 2＝18，解得b ＝3，进⽽求得a ＝6.故当a 为6 m ，b 为3 m 时，经沉淀后流出的⽔中该杂质的质量分数最⼩．B 组 专项能⼒提升(时间：25分钟，满分：43分)⼀、选择题(每⼩题5分，共15分)1．不等式a 2＋b 2≥2|ab |成⽴时，实数a ，b ⼀定是( )A ．正数B ．⾮负数C ．实数D ．不存在答案 C解析 原不等式可变形为a 2＋b 2－2|ab |＝|a |2＋|b |2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，对任意实数都成⽴．2．如果021212121212的⼤⼩顺序是 ( )A ．P >Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P答案 B解析 因为P ＝log ，Q ＝(log a ＋log b )，12a ＋b2121212M ＝log (a ＋b )，所以只需⽐较，，的⼤⼩，显然>.⼜因为<1212a ＋b2ab a ＋b a ＋b2ab a ＋b2(因为a ＋b >，也就是<1)，所以>>，⽽对数函数当底数a ＋b (a ＋b )24a ＋b4a ＋b a ＋b2ab ⼤于0且⼩于1时为减函数，故Q >P >M .3．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均⼤于0，则＋的最⼩值为( )1m 2n A ．2 B ．4C ．8D ．16答案 C解析 点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1.所以＋＝(2m ＋n )＝4＋＋≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝，n ＝时等号成1m 2n (1m ＋2n )n m 4m n 1412⽴．⼆、填空题(每⼩题5分，共15分)4．若正实数x ，y 满⾜2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最⼩值是________．答案 18解析 由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥2＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，2xy 即()2－2－6≥0，xy 2xy ∴(－3)·(＋)≥0.xy 2xy 2⼜∵>0，∴≥3，即xy ≥18.xy xy 2∴xy 的最⼩值为18.5．已知m 、n 、s 、t ∈R ＋，m ＋n ＝2，＋＝9，其中m 、n 是常数，且s ＋t 的最⼩值是，ms nt 49满⾜条件的点(m ，n )是圆(x －2)2＋(y －2)2＝4中⼀弦的中点，则此弦所在的直线⽅程为__________．答案 x ＋y －2＝0解析 因(s ＋t )＝m ＋n ＋＋(m s＋n t )tm s snt≥m ＋n ＋2，所以m ＋n ＋2＝4，mn mn 从⽽mn ＝1，得m ＝n ＝1，即点(1,1)，⽽已知圆的圆⼼为(2,2)，所求弦的斜率为－1，从⽽此弦的⽅程为x ＋y －2＝0.6．定义“*”是⼀种运算，对于任意的x ，y ，都满⾜x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1] .答案 1解析 ∵1]∵2a ＋3b ≥2，∴ab ≤.6ab 23当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成⽴，所以当a ＝1时，ab 取最⼤值.23三、解答题7． (13分)甲、⼄两地相距s 千⽶，⼀船由甲地逆⽔匀速⾏驶⾄⼄地，⽔速为常量p (单位：千⽶/⼩时)，船在静⽔中的最⼤速度为q 千⽶/⼩时(q >p )．已知船每⼩时的燃料费⽤(单位：元)与船在静⽔中的速度v (单位：千⽶/⼩时)的平⽅成正⽐，⽐例系数为k .(1)把全程燃料费⽤y (单位：元)表⽰为船在静⽔中的速度v 的函数，并求出这个函数的定义域；(2)为了使全程燃料费⽤最⼩，船的实际前进速度应为多少？解 (1)由题意，知船每⼩时的燃料费⽤是k v 2，全程航⾏时间为，sv －p 于是全程燃料费⽤y ＝k v 2· (psv －p (2)由(1)，知y ＝k v 2·sv －p＝ks ·＝ks [v ＋p ＋]v 2－p 2＋p 2v －pp 2v －p ＝ks [v －p ＋＋2p ]p 2v －p ≥ks [2＋2p ]＝4ksp (当且仅当v －p ＝，即v ＝2p 时等号成⽴)．(v －p )·p 2v －p p 2v －p①当2p ∈(p ，q ]，即2p ≤q 时，y min ＝4ksp ，此时船的前进速度为2p －p ＝p ；②当2p ?(p ，q ]，即2p >q 时，函数y ＝k v 2·在(p ，q ]内单调递减，所以sv －p y min ＝ks ·，此时船的前进速度为q －p .q 2q －p 故为了使全程燃料费⽤最⼩，当2p ≤q 时，船的实际前进速度应为p 千⽶/⼩时；当2p >q 时，船的实际前进速度应为(q －p )千⽶/⼩时．。
数学高考一轮复习基本不等式专项练习(带解析)
数学高考一轮复习基本不等式专项练习（带解析）学习数学能够让我们的思维更清晰，我们在摸索和解决问题的时候，条理更清晰。
小编预备了差不多不等式专项练习，期望你喜爱。
1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
不等式概念及性质知识点详解与练习[1]
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不等式的概念及性质知识点详解及练习一、不等式的概念及列不等式不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→≤≥≠→→表示出不等关系列出代数式设未知数步骤列不等式””、“”、“”、“”、““不等号概念 1、不等式的概念及其分类（1）定义：用“＞”、“﹤”、“≠”、“≥"及“≤"等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。
a —b 〉0a>b, a —b=0a=b, a-b 〈0a<b 。
（2）分类:①矛盾不等式:不等式只是表示了某种不等关系,它表示的关系可能在任何条件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2＞3，x 2﹤0②绝对不等式:它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式； ③条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。
（3)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小； ②“＞"读作“大于"，它表示左边的数比右边的数大；③“﹤”读作“小于”, 它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”， 它表示左边的数不小于右边的数;⑤“≤”读作“小于或等于”， 它表示左边的数不大于右边的数；注意:要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解60---直线的方程
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第60讲直线的方程考向预测核心素养直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识；二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查.直观想象、数学运算一、知识梳理1．直线的方向向量设A，B是直线上的两点，则AB→就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°．3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y2－y1x2－x1．4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系α00<α<π2π2π2<α<πk 0k>0不存在k<0 2.识记几种特殊位置的直线方程(1)x轴：y＝0.(2)y轴：x＝0.(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P58习题2.1 T7改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )A．1 B.4C.1或3D.1或4答案：A2．(人A选择性必修第一册P60例1改编)经过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为________．答案：x－y－5＝03．(人A选择性必修第一册P67习题2.2 T7改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________________．解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．( )答案：(1)×(2)×(3)×二、易错纠偏1．(多选)(不理解倾斜角和斜率致误)下列说法正确的是( )A．有的直线斜率不存在B．若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan αC．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为3π4D．截距可以为负值答案：ABD2．(不理解直线位置关系致误)如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )A．第一象限 B.第二象限C．第三象限 D.第四象限答案：D3．(搞混倾斜角和斜率关系致误)若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈[π6，π4)∪[2π3，π)，则k的取值范围是________．解析：当α∈[π6，π4)时，k ＝tan α∈[33，1)； 当α∈[2π3，π)时，k ＝tan α∈[－3，0)．综上可得k ∈[－3，0)∪[33，1)． 答案：[－3，0)∪[33，1)考点一 直线的倾斜角与斜率(思维发散)复习指导：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[)0，π B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(2)已知点A (1，3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是( )A ．k ≥12B.k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2 D.－2≤k ≤12【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α. 因为sin α∈[－1，1]， 所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，故选B. (2)直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2，1)， 因为k PA ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交， 所以－2≤k ≤12.【答案】 (1)B (2)D本例(2)直线l 改为y ＝kx ，若l 与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是________________．解析：直线l 过定点P (0，0)， 所以k PA ＝3，k PB ＝12，所以k ≥3或k ≤12.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[3，＋∞)(1)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率；②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．(2)倾斜角及斜率取值范围的两种求法①数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；②函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．|跟踪训练|1．已知直线方程为x cos 300°＋y sin 300°＝3，则直线的倾斜角为( ) A ．60° B.60°或300° C ．30°D.30°或330°解析：选C.直线的斜率为k ＝－cos 300°sin 300°＝－cos （360°－60°）sin （360°－60°）＝－cos （－60°）sin （－60°）＝cos 60°sin 60°＝33.因为直线倾斜角的范围为[0°，180°)， 所以倾斜角为30°，故选C.2．直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(]－∞，－3∪[)1，＋∞. 答案：(]－∞，－3∪[)1，＋∞考点二 直线的方程(自主练透)复习指导：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式、斜截式、截距式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系．1．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1，2)，B (3，6)，C (5，2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0 B.2x －y －12＝0 C ．2x ＋y －8＝0D.2x －y ＋8＝0解析：选C.由题知M (2，4)，N (3，2)，中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.2．(多选)(链接常用结论2)下列命题正确的有( ) A ．直线斜率是关于直线倾斜角的增函数 B ．方程x ＝ty ＋m 可以表示垂直于x 轴的直线C ．直线过不同的两点A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则方程()x 2－x 1()y －y 1＝()y 2－y 1()x －x 1可以表示平行于x ，y 轴和经过坐标原点的直线D ．直线方程bx ＋ay ＝ab 不能表示平行于x ，y 轴的直线 解析：选BCD.倾斜角0≤α<π，斜率k ＝tan α(α≠π2)，由正切函数的单调性知直线斜率不是关于直线倾斜角的增函数，故A 错误；方程x ＝ty ＋m 中t ＝0时，表示直线x ＝m ，故B 正确；当x 2－x 1＝0时，方程()x 2－x 1()y －y 1＝()y 2－y 1()x －x 1为()y 2－y 1()x －x 1＝0， 当y 2－y 1＝0时，方程()x 2－x 1()y －y 1＝()y 2－y 1()x －x 1为()x 2－x 1()y －y 1＝0， 当x ＝0，y ＝0时，代入方程可得－y 1()x 2－x 1＝－x 1()y 2－y 1成立， 故方程可以表示平行于x ，y 轴和经过坐标原点的直线，故C 正确；当a ＝0，b ≠0时，方程为bx ＝0，当b ＝0，a ≠0时，方程为ay ＝0不能表示平行于x ，y 轴的直线，故D 正确．3．经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为________． 解析：由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝04．经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3，2)的直线方程为________________．解析：联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得x ＝1，y ＝1，所以直线过点(1，1)，因为直线的方向向量v ＝(－3，2)， 所以直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0. 答案：2x ＋3y －5＝0巧设直线方程的方法(1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况； (2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；(3)当题目涉及直线在x 轴、y 轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在x 轴、y 轴上的截距为0的情况；(4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程．[注意] (1)当已知直线经过点(a ，0)，且斜率不为0时，可将直线方程设为x ＝my ＋a ；(2)当已知直线经过点(0，a )，且斜率存在时，可将直线方程设为y ＝kx ＋a ； (3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为y ＝kx .考点三 直线方程的综合应用(思维发散)复习指导：求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式或函数单调性求解最值．(一题多解)已知直线l 过点M (2，1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．【解】 方法一：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0，1－2k )，S △AOB ＝12(1－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋（－4k ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二：设直线l ：x a ＋y b ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2，1)，所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab ，故ab ≥8，故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.1．在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解：由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b＝3＋a b ＋2ba≥3＋22， 当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2. 2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解：方法一：由本例方法一知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0，1－2k )(k ＜0)． 所以|MA |·|MB |＝1k2＋1·4＋4k 2＝21＋k 2|k |＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－k ）＋1（－k ）≥4. 当且仅当－k ＝－1k，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二：由本例方法二知A (a ，0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0，2a ＋1b＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．|跟踪训练|已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0， 令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.所以无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2，1)． (2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧－1＋2kk ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)由题意可知k ≠0，再由直线l 的方程， 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k )． 依题意得⎩⎨⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0. 因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， 当k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12时等号成立，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.[A 基础达标]1．(2022·北京市昌平区期中)已知点A ()2，－3，B ()－3，－2，直线l ：mx ＋y －m －1＝0与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤－4或m ≥34B.m ≤－34或m ≥4C ．－4≤m ≤34D.－34≤m ≤4解析：选B.直线l ：mx ＋y －m －1＝0过定点P ()1，1， 由mx ＋y －m －1＝0可得y ＝－m ()x －1＋1， 作出图象如图所示：k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34， 若直线l 与线段AB 相交，则－m ≥34或－m ≤－4，解得m ≤－34或m ≥4，所以实数m 的取值范围是m ≤－34或m ≥4.2．若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B.2－52或0 C.2±52D.2＋52或0 解析：选A.由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a 3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a＝1± 2.3．(2022·江西省抚州检测)已知k ＋b ＝0，k ≠0，则直线y ＝kx ＋b 的位置可能是( )解析：选B.因为直线方程为y ＝kx ＋b ，且k ≠0，k ＋b ＝0，即b ＝－k ，所以y ＝kx －k ＝k (x －1)，令y ＝0，得x ＝1，所以直线与x 轴的交点坐标为(1，0)．只有选项B 中的图象符合要求．4．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2·|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．5．(多选)(2022·昌平一中期中考试改编)直线l 过点P (2，－1)且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0 B.2x ＋y －3＝0 C ．x ＋2y ＝0D.x ＋y －1＝0解析：选AC.当直线l 过原点时，直线l 的方程为y ＝－12x ⇒x ＋2y ＝0符合题意． 当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x a ＋y－a＝1，将P 点坐标代入得2a ＋1a ＝1⇒a ＝3，x 3－y3＝1⇒x －y －3＝0.所以直线l 的方程为x ＋2y ＝0或x －y －3＝0.6．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是________．解析：已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，绕点(1，3)逆时针旋转15°后，得到的直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，直线l 的斜率为tan α＝tan 60°＝3，所以直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .答案：y ＝3x7．在平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O ()0，0，A ()2，0，C ()0，1，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围是________．解析：如图，要想使折叠后O 点落在线段BC 上，可取BC 上任意一点D ， 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合， 因为k OD ≥k OB ＝12，所以k ＝－1k OD≥－2，且k <0.又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0， 所以－2≤k ≤0，所以k 的取值范围是[]－2，0. 答案：[－2，0]8．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝________．解析：因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5. 直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1. 答案：5 19．已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围． 解：如图，由题意，知k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1. (2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又直线PB 的倾斜角是45°，直线PA 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.10．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点， 所以BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.因为BC 边的垂直平分线DE 经过BC 的中点(0，2)， 所以所求直线方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.[B 综合应用]11．(多选)下列说法正确的是( )A ．截距相等的直线都可以用方程x a ＋y a＝1表示 B ．方程x ＋my －2＝0(m ∈R )能表示平行于y 轴的直线C ．经过点P (1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y －1＝tan θ(x －1)D ．经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程为(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0解析：选BD.对于A ，若直线过原点，横纵截距都为0，则不能用方程x a ＋y a＝1表示，所以A 不正确；对于B ，当m ＝0时，平行于y 轴的直线方程为x ＝2，所以B 正确；对于C ，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y －1＝tan θ(x －1)表示，所以C 不正确；对于D ，设点P (x ，y )是经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线上的任意一点，则根据P 1P 2→∥P 1P →可得(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0，所以D 正确，故选BD.12．(2022·东北三省三校调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为( )A ．[－1，－12]B.[－1，0] C ．[0，1]D.[12，1] 解析：选A.由题意知，y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则在点P 处的切线的斜率k ＝2x 0＋2. 因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，解得－1≤x 0≤－12.13．(2022·江西九江模拟)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为_______________________________________________________．解析：设C (x 0，y 0)， 则M (5＋x 02，y 0－22)，N (7＋x 02，3＋y 02)．因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5. 因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)，所以M (0，－52)，N (1，0)，所以直线MN 的方程为x1＋y －52＝1，即5x －2y －5＝0.答案：5x －2y －5＝014．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当a ＝________时，四边形的面积最小，最小值为________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋154，故当a ＝12时，四边形的面积最小，最小值为154.答案：12154[C 素养提升]15．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是线段AB 上的点，则P 到AC ，BC 的距离的乘积的最大值为________．解析：以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则A (0，4)，B (3，0)，直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.设P (x ，y )(0≤x ≤3)，所以P 到AC ，BC 的距离的乘积为xy ，因为x 3＋y 4≥2x 3·y 4， 当且仅当x 3＝y 4＝12时取等号，所以xy ≤3，所以xy 的最大值为3. 答案：3 16.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎨⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，（m －0）·（－3n －1）＝（n －0）·（m －1），解得m＝3，所以A(3，3)．又P(1，0)，所以k AB＝k AP＝33－1＝3＋32，所以l AB：y＝3＋32(x－1)，即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.。
高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
基本不等式的向量形式
基本不等式的向量形式[思维扩展]波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”．这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位．我们知道，a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)以及a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)是两个应用广泛的基本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？由(a －b )2＝|a －b |2≥0不难得到a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．但将a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)简单地类比为a ＋b2≥a ·b 就不行了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．注意到a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ＋)，而不等式⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥a ·b 左右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a ＋b )2＝(a －b )2＋4a ·b ＝|a －b |2＋4a ·b ≥4a ·b可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．这样，我们就得到如下两个结论：定理1 设a ，b 是两个向量，则a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．定理2 设a ，b 是两个向量，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥a ·b ，当且仅当a ＝b时等号成立．例1 若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 答案 －98解析 方法一 由定理1得 32≥|2a －b |2＝(2a －b )2 ＝(－2a )2＋b 2－4a ·b≥2·(－2a ·b )－4a ·b ＝－8a ·b ，所以a ·b ≥－98，当且仅当b ＝－2a 时等号成立，故a ·b 的最小值是－98.方法二 由定理2得2a ·(－b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －b 22＝|2a －b |24≤94， 则a ·b ≥－98，当且仅当b ＝－2a 时等号成立．故a ·b 的最小值是－98.说明 本题可推广至一般形式：若平面向量a ，b 满足：|λa ＋b |≤m (m >0)，则当λ>0时，a ·b 的最大值为m 24λ；当λ<0时，a ·b 的最小值为m 24λ.例2 已知a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的最小值为________．分析 此题有一定难度．普通学生难以想到．事实上，利用定理1此题极易作答，过程如下．答案 12解析 引入正参数λ，由(a ＋b )·(a －2b )＝0得a 2－a ·b －2b 2＝0，又|a |＝1，则1－2b 2＝a ·b ，1－2b 2＝a ·b ≤12⎝⎛⎭⎪⎫λa 2＋1λb 2＝12(λ＋1λb 2)， 当且仅当λa 2＝1λb 2，即b 2＝λ2时等号成立．所以1－2λ2＝a ·b ≤12⎝⎛⎭⎪⎫λa 2＋1λb 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ·λ2，解得λ＝|b |≥12，故|b |的最小值为12.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，求|c |的最大值． 解 由(a －c )·(b －c )＝0得c 2＝c ·(a ＋b )， 由定理1及已知条件得 c 2＝c ·(a ＋b )≤12[c 2＋(a ＋b )2]＝12(c 2＋a 2＋b 2)＝12(c 2＋2)， 解得|c |2≤2，故|c|的最大值是 2.拓展1 已知a ，b 是平面内夹角为θ的两个单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是1cosθ2.拓展2 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的向量，且|a |＝m ，|b |＝n ，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是m 2＋n 2. 例4 平面上三点A ，B ，C 满足AB →·BC →>0，求AC →2＋1AB →·BC→的最小值．解 由定理2得0<AB →·BC →≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋BC →22＝14AC →2， 则 AC →2＋1AB →·BC →≥AC →2＋4AC →2＝|AC →|2＋4|AC →|2≥2·|AC →|·2|AC →|＝4，故当且仅当AB →＝BC →，且|AC →|＝2时，AC →2＋1AB →·BC →取得最小值4.例5 设a ，b 满足a 2＋a ·b ＋b 2＝3，求a 2－a ·b ＋b 2的取值范围． 解 由定理1得a ·b ≤a 2＋b 22，所以a ·b ≤3－a ·b2，解得a ·b ≤1.又由定理1得(－a )·b ≤－a 2＋b 22，所以a ·b ≥－a 2＋b 22＝－3－a ·b 2，解得a ·b ≥－3.所以－3≤a ·b ≤1.因为a2－a·b＋b2＝(3－a·b)－a·b＝3－2a·b，所以1≤a2－a·b ＋b2≤9.以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效．不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获得它们的思维过程．类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙却值得我们长久的思考．。
高中数学基本不等式知识点及练习题
高中数学基本不等式知识点及练习题1.基本不等式：对于任意正实数a和b，有ab≤(a+b)/2.2.几个重要的不等式：1) 平方差公式：对于任意实数a和b，有(a-b)^2≥0，即a^2+b^2≥2ab.2) 两个同号数的平方和大于它们的积：对于任意正实数a 和b，有a^2+b^2≥2ab.3) 两个异号数的平方和小于它们的积：对于任意实数a和b，如果ab<0，则a^2+b^2<2ab.4) 平均值不等式：对于任意正实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab).3.算术平均数与几何平均数：对于任意正实数a和b，它们的算术平均数为(a+b)/2，几何平均数为√(ab)。
基本不等式可以叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题：1) 如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2p.2) 如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值是p^2/4.一个技巧：在运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a^2+b^2≥2ab逆用就是ab≤(a^2+b^2)/(a+b)^2；还要注意“添、拆项”等技巧和公式等号成立的条件等.两个变形：1) a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥ab（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.2) a^2+b^2≥2ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）.三个注意：1) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视。
要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.2) 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.3) 连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.应用一：求最值：例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.解题技巧：技巧一：凑项.例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.技巧二：凑系数.例1.当x^2+7x+10/(x+1)的值域.技巧三：分离.例3.求y＝x(8-2x)的最大值，当y＜4时。
高考数学总复习 62 基本不等式课件 新人教A版
解题技巧 1．证明不等式常用的方法： 比较法(作差法和作商法)、综合法、分析法、反证法、 放缩法、换元法(三角代换法)、单调性法、判别式法、几 何法(利用几何意义)． 2．条件最值是基本不等式的一个重要应用．应用基 本不等式求最值时，①通过对所给式进行巧妙分拆、变 形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键．② 必须指出等号成立的条件．
3．“恒成立”问题的解法 不等式的“恒成立”问题是不等式综合应用中一类 常见的题型，蕴涵着转化、数形结合、分类讨论、函数 与方程等丰富的数学思想方法，处理不等式恒成立问题 的基本思路是转化为求函数的最值或函数值域的问题．
利用基本不等式比较大小 [例 1] (文)(2010·江苏南京)已知 b>a>0，且 a＋b＝1，
解析：(1)2x＋3y≥2 x6y，∴2 x6y≤2，∴xy≥6.(等 号在 x＝2，y＝3 时成立)
故 xy 的最小值为 6. (2)由 2x＋8y－xy＝0 得 y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝x2－x8. u＝x＋y＝x＋x2－x8＝x＋2x－x－168＋16
＝(x－8)＋x1－68＋10≥2 x－8·x1－68＋10＝18. 等号在 x－8＝x1－68即 x＝12，y＝6 时成立． ∴x＋y 的最小值为 18.
故 f(x)在[16,25]上是减函数．
于 是 y ＝ f(x)≥f(25) ＝ 400× 25＋92050 ＋ 32000 ＝ 56000＝56400(元)．
即当 x＝25m，40x0＝16m 时，污水池总造价最低． 答：当污水处理池两邻边长分别为 25m 和 16m 时， 总造价最低，为 56400 元．
(2)y ＝ f(x) ＝ 400 x＋90x0 ＋ 32000≥800 x·9x00 ＋ 32000＝24000＋32000＝56000，当且仅当 x＝9x00(x>0)， 即 x＝30 时取等号，但由(1)知 x≤25，即 x＝30 不在[16,25] 上，因此 y 的最小值不能是 56000.
高考数学复习专题 基本不等式
高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。
2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。
2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。
4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。
2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。
3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。
4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。
5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。
6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。
7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。
二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。
2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。
高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高考数学-基本不等式(知识点归纳) 高中数学基本不等式的巧用一、基本不等式1.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$a+b\geq 2ab$，$ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}$（当且仅当$a=b$时取“=”）2.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$（当且仅当$a=b$时取“=”）3.若$x>1$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$时取“=”）；若$x<1$，则$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=-1$时取“=”）；若$x\neq 0$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$或$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=1$或$x=-1$时取“=”）4.若$a,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）；若$ab\neq 0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$或$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq -2$（当且仅当$a=b$时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。
2）求最值的条件“一正，二定，三取等”。
3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用。
应用一：求最值例1：求下列函数的值域1.$y=3x+\frac{11}{2}$2.$y=x+\frac{1}{2x}$解：（1）$y=3x+\frac{11}{2}\geq 6$，所以值域为$[6,+\infty)$。
2）当$x>0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\geq 2$；当$x<0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\leq -2$；当$x=0$时，$y$无定义。
新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解5---基本不等式及其应用(解析版)
新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解专题2.2 基本不等式及其应用【考纲解读与核心素养】1. 掌握基本不等式ab b a ≥+2(a ，b ＞0)及其应用. 2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.【知识清单】1．重要不等式当a 、b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时，等号成立．2．基本不等式当a >0，b >0时有ab b a ≥+2，当且仅当a=b 时，等号成立． 3．基本不等式与最值已知x 、y 都是正数．(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值．(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值．4.常用推论（1）22ab 2a b +≤（,R a b ∈）（2）2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ （3）20,0)112a b a b a b +≤≤>>+ 【典例剖析】高频考点一 ：利用基本不等式证明不等式例1. 已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥【答案】见解析【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）0c a +≥> （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥.【方法技巧】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【变式探究】1.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝， ∴11+=1+=2+a b b a a a+.同理，11+=2+a b b . ∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当b a a b=，即1a=b=2时取“＝”． ∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 2.求证:47(3)3a a a +≥>- 【答案】见解析【解析】证明:443333a a a a +=+-+--由基本不等式和3a >得4433333a a a a +=+-+≥--=237= 当且仅当433a a =--即5a =时取等号. 高频考点二：利用基本不等式求最值例2. （2019年高考天津卷文）设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.【答案】92 【解析】(1)(21)2212525x y xy y x xy xy xy xy xy++++++===+. 因为0,0,24x y x y >>+=， 所以2422x y x y +=≥⋅，即22,02xy xy ≤<≤，当且仅当22x y ==时取等号成立.又因为192255=22xy +≥+⨯， 所以(1)(21)x y xy ++的最小值为92. 例3．（浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考）若实数、满足，且，则的最小值是__________，的最大值为__________．【答案】2【解析】实数、满足，且，则，则，当且仅当，即时取等号，故的最小值是2，，当且仅当，即时取等号 故的最大值为，故答案为：2，．【规律方法】利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 注意：形如(0)a y x a x=+>的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【变式探究】1.（陕西省2019年高三第三次教学质量检测）若正数,m n 满足12=+n m ，则11m n +的最小值为（ ） A ．223+ B ．32+ C ．222+ D ．3 【答案】A【解析】由题意，因为12=+n m ，则111122()(2)332322n m n m m n m n m n m n m n+=+⋅+=++≥+⋅=+， 当且仅当2n m m n =，即2n m =时等号成立， 所以11m n+的最小值为223+，故选A. 2.设当________时，取到最小值．【答案】【解析】 因为，所以，当且仅当时取等号， 故当时，取得最小值是，故答案是.【总结提升】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．高频考点三：基本不等式的实际应用例4. （2017·江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 .【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.【规律方法】1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！【变式探究】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为（ ）A.6B.2C.4D.22【答案】C【解析】设EH x =，EF y =，由条件可知EBH ∆和EFA ∆为等直角三角形，所以2EB x =，22AE y =．AB EB AE =+222x y +≥2222x y ⋅＝2xy ，即2xy 4xy ≤，所以绿地面积最大值为4，故选C ．高频考点四：基本不等式的综合运用例5. （2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））已知函数2()(1)1f x m x mx m =+-+-（m R ∈）．（1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围；（2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[11]D -⊆，，求m 的取值范围． 【答案】（1）3m ≥；（2）1|11x x m ⎧⎫≤≤-⎨⎬+⎩⎭.；（3）3m ≥. 【解析】（1）①当10m +=即1m =-时，()2f x x =-，不合题意； ②当10m +≠即1m ≠-时，()()210{4110m m m m +>∆=-+-≤，即21{340m m >--≥，∴1{33m m m >-≤-≥，∴m ≥ （2）()f x m ≥即()2110m x mx +--≥即()()1110m x x ⎡⎤++-≥⎣⎦①当10m +=即1m =-时，解集为{|1}x x ≥②当10m +>即1m >-时，()1101x x m ⎛⎫+-≥ ⎪+⎝⎭∵1011m -<<+，∴解集为1{|1}1x x x m ≤-≥+或 ③当10m +<即21m -<<-时，()1101x x m ⎛⎫+-≤ ⎪+⎝⎭ ∵21m -<<-，所以110m -<+<，所以111m ->+ ∴解集为1{|1}1x x m ≤≤-+ （3）不等式()0f x ≥的解集为D ，[]1,1D -⊆，即对任意的[]1,1x ∈-，不等式()2110m x mx m +-+-≥恒成立，即()2211m x x x -+≥-+恒成立，因为210x x -+>恒成立，所以22212111x x m x x x x -+-≥=-+-+-+恒成立， 设2,x t -=则[]1,3t ∈，2x t =-， 所以()()2222131332213x t t x x t t t t t t-===-+-+---++-，因为3t t+≥，当且仅当t =时取等号，所以22313x x x -≤=-+，当且仅当2x =所以当2x =22max11x x x ⎛⎫-+= ⎪-+⎝⎭所以233 m例6．设函数（Ⅰ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当取最大值时，设，且，求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】（Ⅰ）因为函数的对称轴为，且开口向上，所以在上单调递减，所以，∴.（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得，即，所以.所以.∵，则当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为.【总结提升】基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．【变式探究】1．(2019·北京海淀模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1) D．(－22－1,22－1)【答案】B【解析】由f(x)＞0得32x－(k＋1)3x＋2＞0，解得k＋1＜3x＋23x.而3x＋23x≥22(当且仅当3x＝23x，即x＝log32时，等号成立)，∴k＋1＜22，即k＜22－1.2.（天津市河北区2019届高三二模）已知首项与公比相等的等比数列中，若，n*∈N，满足，则的最小值为__________．【答案】1【解析】设等比数列公比为，则首项由得：，则：，，，,m n*∈N，.则（当且仅当，即时取等号）.故填.。
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解4 基本不等式
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解§1.4 基本不等式 考试要求 1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b 2等号成立的条件是相同的．(×) (2)y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.( √ )(4)函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值为4.( × ) 教材改编题1．若正实数a ，b 满足a ＋4b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2答案 A解析 因为正实数a ，b 满足a ＋4b ＝ab ，所以ab ＝a ＋4b ≥24ab ＝4ab ，所以ab ≥16，当且仅当a ＝4b ，即a ＝8，b ＝2时等号成立．2．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________．答案 1解析 因为x ≥0，所以x ＋1>0，1x ＋1>0，利用基本不等式得y ＝x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2(x ＋1)·1x ＋1－1＝1， 当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立． 所以函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为1. 3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，等号成立， ∴y max ＝25，即矩形场地的最大面积是25 m 2.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1(1)已知x >2，则函数y ＝x ＋12(x －2)的最小值是( ) A ．22B ．22＋2C ．2 D.2＋2答案 D解析 由题意可知，x －2>0，∴y ＝(x －2)＋12(x －2)＋2≥2(x －2)·12(x －2)＋2＝2＋2，当且仅当x ＝2＋22时，等号成立，∴函数y ＝x ＋12(x －2)(x >2)的最小值为2＋2.(2)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________． 答案 92解析 ∵0<x <32，∴3－2x >0，y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32的最大值为92.命题点2 常数代换法例2已知x >0，y >0，且4x ＋2y －xy ＝0，则2x ＋y 的最小值为() A ．16 B ．8＋4 2C ．12D ．6＋4 2答案 A解析 由题意可知2x ＋4y ＝1，∴2x ＋y ＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋4y ＝8x y ＋2y x ＋8≥28x y ·2y x ＋8＝16， 当且仅当8x y ＝2y x ，即x ＝4，y ＝8时，等号成立，则2x ＋y 的最小值为16.命题点3 消元法例3(2023·烟台模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 6解析 方法一 (换元消元法)由已知得9－(x ＋3y )＝xy ＝13·x ·3y ≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号．即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.方法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y， 所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23(1＋y )·121＋y－6 ＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝121＋y，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.延伸探究本例条件不变，求xy的最大值．解9－xy＝x＋3y≥23xy，∴9－xy≥23xy，令xy＝t，∴t>0，∴9－t2≥23t，即t2＋23t－9≤0，解得0<t≤3，∴xy≤3，∴xy≤3，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1(1)(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法错误的是()A．ab有最小值1 4B．8a＋8b有最大值8 2C.1a＋1b有最小值4D ．a 2＋b 2有最小值22答案 AD解析 由1＝a ＋b ≥2ab ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 得ab ≤14，故ab 有最大值14，故A 错误；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋214＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 则a ＋b ≤2，则8a ＋8b 有最大值82，故B 正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 故1a ＋1b 有最小值4，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 所以a 2＋b 2有最小值12，故D 错误．(2)已知x >1，则y ＝x －1x 2＋3的最大值为________． 答案 16解析 令t ＝x －1，∴x ＝t ＋1，∵x >1，∴t >0，∴y ＝t (t ＋1)2＋3＝t t 2＋2t ＋4＝1t ＋4t ＋2≤124＋2＝16， 当且仅当t ＝4t ，t ＝2，即x ＝3时，等号成立，∴当x ＝3时，y max ＝16.题型二 基本不等式的常见变形应用例4(1)若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．b >a ＋b 2>a >abB ．b >ab >a ＋b 2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b 2>ab答案 C解析 ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b 2>ab . ∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b 2>ab >a .(2) (2023·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D 解析 由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12(a 2＋b 2)， ∵CF ≥OF ，∴12(a 2＋b 2)≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．思维升华 基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. (2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．跟踪训练2(2022·漳州质检)已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是( )A.2a ＋bB.1a ＋1bC.2abD.2a 2＋b 2答案 B解析 ∵a ，b 为互不相等的正实数，∴1a ＋1b >2ab， 2a ＋b <22ab ＝1ab <2ab， 2a 2＋b 2<22ab ＝1ab <2ab ， ∴最大的是1a ＋1b .题型三 基本不等式的实际应用例5中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？ 解 (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，供货单价为50＋105＝52(元)，总利润为5×(100－52)＝240(万元)．(2)设售价为x 元，则销售量为(15－0.1x )万套，供货单价为⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋1015－0.1x 元，单套利润为x －50－1015－0.1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －50－100150－x 元，因为15－0.1x >0，所以0<x <150. 所以单套利润为 y ＝x －50－100150－x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(150－x )＋100150－x ＋100≤100－2(150－x )·100150－x＝80，当且仅当150－x ＝10，即x ＝140时取等号，所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元．思维升华 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．跟踪训练3某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD ，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm 2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为__________ cm 时，用纸量最少(即矩形ABCD 的面积最小)．答案 12 5解析 设直角梯形的高为x cm ，∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm 2， 且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm ，∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝1 440x＋8，故S矩形ABCD ＝AD·DC＝(x＋4)⎝⎛⎭⎪⎫1 440x＋8＝8x＋5 760x＋1 472≥28x·5 760x＋1 472＝1925＋1 472，当且仅当8x＝5 760 x，即x＝125时，等号成立．∴当直角梯形的高为12 5 cm时，用纸量最少．课时精练1．下列函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋2 xB．y＝x2＋3 x2＋2C．y＝e x＋e－xD．y＝sin x＋1sin x⎝⎛⎭⎪⎫0<x<π2答案 C解析当x<0时，y＝x＋2x<0，故A错误；y＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2≥2，当且仅当x2＋2＝1x2＋2，即x2＝－1时取等号，又x 2≠－1，故B 错误； y ＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2， 当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时取等号，故C 正确； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin x ∈(0,1)，y ＝sin x ＋1sin x ≥2， 当且仅当sin x ＝1sin x ， 即sin x ＝1时取等号， 因为sin x ∈(0,1)，故D 错误．2．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则lg a ＋lg b 的最大值为( ) A ．0 B.13 C.12 D ．1答案 A解析 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝2， ∴lg a ＋lg b ＝lg ab ≤lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝0， 当且仅当a ＝b ＝1时，取等号． ∴lg a ＋lg b 的最大值为0.3．(2021·新高考全国Ⅰ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A ．13 B ．12 C ．9 D ．6 答案 C解析 由椭圆C ：x 29＋y 24＝1，得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立． 所以|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.4．(2023·太原模拟)已知a ，b 为正实数，a ＋b ＝3，则1a ＋1＋1b ＋2的最小值为( ) A.23 B.56 C.12 D ．4 答案 A解析 因为a ＋b ＝3，所以1a ＋1＋1b ＋2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋2(a ＋1＋b ＋2)＝16⎝⎛⎭⎪⎫b ＋2a ＋1＋a ＋1b ＋2＋2≥16⎝⎛⎭⎪⎫2b ＋2a ＋1·a ＋1b ＋2＋2＝23， 当且仅当b ＋2a ＋1＝a ＋1b ＋2，即a ＝2，b ＝1时，等号成立．所以1a ＋1＋1b ＋2的最小值为23.5．(多选)(2022·衡阳模拟)设a ＝log 23，b ＝log 243，则下列关系正确的是( ) A ．ab >a ＋b 2B ．ab <a ＋b 2 C.a ＋b 2>b a D ．ab >b a 答案 BCD解析 易知a >0，b >0，a ＋b 2＝1，a ≠b ，ab <(a ＋b )24＝1，ab >ba ⇔a >1，显然成立． 所以a ＋b 2>ab >b a .6．(多选)(2023·黄冈模拟)若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A ．0<1ab ≤14B.1a ＋1b ≥1 C ．log 2a ＋log 2b <2 D.1a 2＋b 2≤18答案 BD解析 因为a >0，b >0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立， 则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4或⎝ ⎛⎭⎪⎫422≤a 2＋b22，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，则1ab ≥14，a 2＋b 2≥8，1a 2＋b 2≤18， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立， 则log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 24＝2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故A ，C 不恒成立，D 恒成立； 对于B 选项，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥4×14＝1， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故B 恒成立． 7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．答案 0解析 因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1)，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立． 所以y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为0.8．(2023·娄底质检)已知a ，b 为正实数，且2a ＋b ＝1，则2a ＋a2b 的最小值为________． 答案 6解析 由已知条件得，2a ＋a 2b ＝4a ＋2b a ＋a 2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋4≥22b a ·a2b ＋4＝6，当且仅当2b a ＝a 2b ，即a ＝25，b ＝15时，取等号． 所以2a ＋a2b 的最小值为6.9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)已知0<x <2，求函数y ＝x 4－x 2的最大值． 解 (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， 所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时，取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52. (2)因为0<x <2， 所以4－x 2>0，则y ＝x 4－x 2＝x 2·(4－x 2)≤x 2＋(4－x 2)2＝2，当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时，取等号， 所以y ＝x 4－x 2的最大值为2.10．某企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x (千部)手机，需另投入成本R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋100x ，0<x <40，701x ＋10 000x －9 450，x ≥40，通过市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．(1)求出今年的利润W (x )(万元)关于年产量x (千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)； (2)今年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 解 (1)当0<x <40时，W (x )＝700x －(10x 2＋100x )－300＝－10x 2＋600x －300， 当x ≥40时，W (x )＝700x －⎝ ⎛⎭⎪⎫701x ＋10 000x －9 450－300＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ＋9 150，∴W (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋600x －300，0<x <40，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ＋9 150，x ≥40.(2)若0<x <40，W (x )＝－10(x －30)2＋8 700， 当x ＝30时，W (x )max ＝8 700(万元)．若x ≥40，W (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ＋9 150≤9 150－210 000＝8 950，当且仅当x ＝10 000x 时，即x ＝100时，取等号．∴W (x )max ＝8 950(万元)．∴今年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8 950万元．11. (2023·湘潭模拟)已知α，β为锐角，且tan α－tan β＋2tan αtan 2β＝0，则tan α的最大值为( )A.24B.23C.22 D. 2 答案 A解析 因为β为锐角，所以tan β>0， 由题意可得tan α＝tan β1＋2tan 2β＝12tan β＋1tan β≤122＝24， 当且仅当tan β＝22时取等号， 故tan α的最大值为24.12．(2022·天津模拟)若a >0，b >0，则(a ＋b )2＋1ab 的最小值为________． 答案 4解析 若a >0，b >0，则(a ＋b )2＋1ab ≥(2ab )2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥4， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，4ab ＝1ab ，即a ＝b ＝22时取等号， 故所求的最小值为4.13.《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的无字证明为()A.a＋b2≤ab(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)C.ab≥21a＋1b(a>0，b>0)D.a2＋b22≥a＋b2(a>0，b>0)答案 C解析根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，又OD＝12AB＝12(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝CD2OD＝aba＋b2，由于OD≥CD，所以a＋b2≥ab(a>0，b>0)．由于CD≥DE，所以ab≥2aba＋b＝21a＋1b(a>0，b>0)．14．(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则() A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1答案 BC解析 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )， 由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x ＋y )2－1＝3xy ≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， 解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确； 由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x 2＋y 2)－1＝xy ≤x 2＋y 22，解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确； 因为x 2＋y 2－xy ＝1可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＋34y 2＝1，设x －y 2＝cos θ，32y ＝sin θ，所以x ＝cos θ＋33sin θ，y ＝233sin θ，因此x 2＋y 2＝cos 2θ＋53sin 2θ＋233sin θcos θ＝1＋33sin 2θ－13cos 2θ＋13 ＝43＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2，所以D 错误．。
高考数学一轮复习知识点与练习基本不等式
2a b(4) ≥(a ，b ∈R )．2 4a ＋b1．基本不等式 ab≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab(a ，b ∈R )．b a (2) ＋ ≥2(a ，b 同号)．(3)ab≤a b22 (a ，b ∈R )．a 2＋b 2a b 22 2以上不等式等号成立的条件均为 a ＝b.3．算术平均数与几何平均数a ＋b设 a>0 ，b>0，则 a ，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ab ，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知 x>0，y>0，则(1)如果积 xy 是定值 p ，那么当且仅当 x ＝y 时，x ＋y 有最小值 2 p.(简记：积定和最小)p 2(2)如果和 x ＋y 是定值 p ，那么当且仅当 x ＝y 时，xy 有最大值 .(简记：和定积最大)【思考辨析】xcosx 2y x2 2 2x －2 44x －5 x －1判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)1(1)函数 y ＝x ＋ 的最小值是 2.()4 π(2)函数 f(x)＝cosx ＋，x ∈(0， )的最小值等于 4.()x y(3)“x>0 且 y>0”是“ ＋ ≥2”的充要条件．()1(4)若 a>0，则a 3＋a 2的最小值为 2 a.()a ＋b(5)不等式 a 2＋b 2≥2ab 与≥ ab 有相同的成立条件．()1．(教材改编)设 x>0，y>0，且 x ＋y ＝18，则 xy 的最大值为________．x 2＋y 2 2．若实数 x ，y 满足 x>y>0，且 log x ＋log y ＝1，则x －y的最小值为________．1 3．若函数 f(x)＝x ＋ (x>2)在 x ＝a 处取最小值，则 a ＝________.4．(教材改编)若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.5．(教材改编)已知 x ，y ∈R ＋，且 x ＋4y ＝1，则 xy 的最大值为________．题型一 利用基本不等式求最值命题点 1 配凑法求最值5 1 例 1(1)已知 x< ，则 f(x)＝4x －2＋ 的最大值为________．x2＋2 (2)函数 y ＝ (x>1)的最小值为________．x －1(3)函数 y ＝的最大值为________．x ＋3＋ x －1思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成2|a| b－(1)已知 x ，y ∈(0，＋∞)，2x 3＝( )y ，若 ＋ (m >0)的最小值为 3，则 m ＝________.例 3(1)已知直线 ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c>0)经过圆 x 2＋y 2－2y －5＝0 的圆心，则 ＋ 的最小值是(2)已知 a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是 1，且 m ＝b ＋ ，n ＝a ＋ ，则 m ＋n 的最小值是________．a b a ＋3b立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．命题点 2 常数代换或消元法求最值例 2 (1)若正数 x ，y 满足 x ＋3y ＝5xy ，则 3x ＋4y 的最小值是________．1 |a | (2)(高考改编题)设 a ＋b ＝2，b>0，则＋ 取最小值时，a 的值为________． 思维升华 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．1 1 m2 x y(2)已知 x>0，y>0，x ＋3y ＋xy ＝9，则 x ＋3y 的最小值为________．题型二 基本不等式与学科知识的综合命题点 1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题4 1b c________．1 1a b命题点 2 求参数的值或取值范围3 1 m例 4 已知 a>0，b>0，若不等式 ＋ ≥ 恒成立，则 m 的最大值为________．思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足 a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项 a m ，a n 使得 a m a n ＝1 44a 1，则m ＋n 的最小值为________．x ＋1 3603x x yx 2＋ax ＋11(2)已知函数 f(x)＝ (a ∈R )，若对于任意 x ∈N *，f(x)≥3 恒成立，则 a 的取值范围是______．题型三 不等式的实际应用例 5 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50≤x≤100(单位：千米/x 2时)．假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油(2＋ )升，司机的工资是每小时 14 元．(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C (x)，当年110 000产量不足 80 千件时，C (x)＝ x 2＋10x(万元)．当年产量不小于 80 千件时，C (x)＝51x ＋ －1 450(万元)．每件商品售价为 0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？9．忽视最值取得的条件致误1 2典例(1)已知 x>0，y>0，且 ＋ ＝1，则 x ＋y 的最小值是________．x2222x 4sinx③x2＋1≥2|x|(x∈R)；④1>1(x∈R)．b aa b3(2)函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________．温馨提醒(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[方法与技巧]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：a＋b a2＋b2a＋b ab≤()≤，ab≤≤a2＋b22(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．m3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性．[失误与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．A组专项基础训练(时间：30分钟)1．下列不等式一定成立的是________．11①lg(x2＋)>lgx(x>0)；②sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)；x2＋1a b2．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2成立”的__________条件．143．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是________．4．(2014·庆改编)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是________．8．若正数a，b满足＋＝1，则1＋99．若当x>－3时，不等式a≤x＋2x x y南12．设x，y均为正实数，且32＋x2＋y＝1，则xy的最小值为________．重5．已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________．6．规定记号“”表示一种运算，即a b＝ab＋a＋b(a、b为正实数)．若1k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝k xx的最小值为________．7．已知x>0，y>0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为________．11a b a－1b－1的最小值是________．x＋3恒成立，则a的取值范围是________．10．若关于x的方程9x＋(4＋a)3＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________．11．(2015·通二模)已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；11(2)求＋的最小值．B组专项能力提升(时间：20分钟)3＋15．设 a>0，b>0，若 3是 3a 与 3b 的等比中项，则 ＋ 的最小值为________．tm 2＋113．已知 m >0 ，a 1>a 2>0 ，则使得 m ≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的 x 的取值范围是___________．14．已知 x ，y ∈R 且满足 x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则 z ＝x 2＋4y 2 的取值范围为________．1 1a b16．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计)，第 t 天(1≤t≤30，t ∈N *)的旅游人数 f(t)(万1人)近似地满足 f(t)＝4＋ ，而人均消费 g(t)(元)近似地满足 g(t)＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益 W (t)(万元)与时间 t(1≤t≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．。
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由(a－b)2＝|a－b|2≥0 不难得到 a2＋b2≥2a·b，当且仅当 a＝b 时等号成立．
a＋b
a＋b
但将 2 ≥ ab(a，b∈R＋)简单地类比为 2 ≥ a·b就不行了，由于该不等式左边
为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．
a＋b 注意到 2 ≥
ab(a，b∈R＋)⇔a＋2 b2≥ab(a，b∈R＋)，而不等式a＋2 b2≥a·b 左
9 故 a·b 的最小值是－8.
方法二 由定理 2 得 2a·(－b)≤2a－2 b2＝|2a－4 b|2≤94，
9 则 a·b≥－8，当且仅当 b＝－2a 时等号成立．
9 故 a·b 的最小值是－8.
说明 本题可推广至一般形式：若平面向量 a，b 满足：|λa＋b|≤m(m>0)，则当 λ>0 时，
右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a＋b)2＝(a－b)2＋4a·b＝|a－b|2＋
4a·b≥4a·b 可得a＋2 b2≥a·b，当且仅当 a＝b 时等号成立．
这样，我们就得到如下两个结论： 定理 1 设 a，b 是两个向量，则 a2＋b2≥2a·b，当且仅当 a＝b 时等号成立． 定理 2 设 a，b 是两个向量，则a＋2 b2≥a·b，当且仅当 a＝b 时等号成立．
高考数学复习考知识解析与专题练习
基本不等式的向量形式
[思维扩展]
波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”．这句话言简意赅地阐明了类比在数
学发现中的地位． 我们知道，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)以及a＋2 b≥ ab(a，b∈R＋)是两个应用广泛的基
本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？
解 由定理 2 得 0<A→B·B→C≤A→B＋2 B→C2＝14A→C2，
则
A→C2＋ 1 ≥A→C2＋ 4
A→B·B→C
A→C2
＝|A→C|2＋
4
≥2·|A→C|·
2 ＝4，
|A→C|2
|A→C|
故当且仅当A→B＝B→C，且|A→C|＝ 2时，A→C2＋ 1 取得最小值 4. A→B·B→C
例 5 设 a，b 满足 a2＋a·b＋b2＝3，求 a2－a·b＋b2 的取值范围．
1 则|c|的最大值是 θ.
cos 2 拓展 2 已知 a，b 是平面内两个互相垂直的向量，且|a|＝m，|b|＝n，若向量 c 满足(a －c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是 m2＋n2. 例 4 平面上三点 A，B，C 满足A→B·B→C>0，求A→C2＋ 1 的最小值．
A→B·B→C
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例 1 若平面向量 a，b 满足|2a－b|≤3，则 a·b 的最小值是________． 9
答案 －8
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解析 方法一 由定理 1 得 32≥|2a－b|2＝(2a－b)2＝(－2a)2＋b2－4a·b
≥2·(－2a·b)－4a·b＝－8a·b， 9
所以 a·b≥－8，当且仅当 b＝－2a 时等号成立，
m2
m2
a·b 的最大值为4λ；当 λ<0 时，a·b 的最小值为4λ.
例 2 已知 a，b 满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的最小值为________．
分析 此题有一定难度．普通学生难以想到．事实上，利用定理 1 此题极易作答，过
程如下．
1 答案 2 解析 引入正参数 λ， 由(a＋b)·(a－2b)＝0 得 a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，则 1－2b2＝a·b， 1－2b2＝a·b≤12λa2＋1λb2 ＝12λ＋1λb2，
以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理 1、定理 2 的魅力，它们微小平凡，
对破解难题却极其有效．不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价
值的则是获得它们的思维过程．类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙
却值得我们长久的思考．
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当且仅当 λa2＝1λb2，即 b2＝λ2 时等号成立． 所以 1－2λ2＝a·b≤12λa2＋1λb2 ＝12λ＋1λ·λ2，
1 解得 λ＝|b|≥2，
1 故|b|的最小值为2. 例 3 已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(a－c)·(b－c)＝0， 求|c|的最大值． 解 由(a－c)·(b－c)＝0 得 c2＝c·(a＋b)， 由定理 1 及已知条件得 c2＝c·(a＋b)≤12[c2＋(a＋b)2] ＝12(c2＋a2＋b2)＝12(c2＋2)， 解得|c|2≤2，故|c|的最大值是 2. 拓展 1 已知 a，b 是平面内夹角为 θ 的两个单位向量，若向量 c 满足(a－c)·(b－c)＝0，
a2＋b2 解 由定理 1 得 a·b≤ 2 ，
3－a·b 所以 a·b≤ 2 ，
解得 a·b≤1. (－a)2＋b2
又由定理 1 得(－a)·b≤ 2 ， a2＋b2 3－a·b
所以 a·b≥－ 2 ＝－ 2 ，解得 a·b≥－3.
所以－3≤a·b≤1. 因为 a2－a·b＋b2＝(3－a·b)－a·b＝3－2a·b， 所以 1≤a2－a·b＋b2≤9.