等差数列的性质课件
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思考？已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p、q
为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？
【方法总结】
1.等差数列的几个重要性质.
(1) an am (m n)d , n N
法2：设此数列的公差为d,根据题意得：
aa12+aa4 5aa783393 3d 6 d 2 a3 a6 a9 (a2 d) (a5 d) (a8 d) (a2 a5 a8) 3d 33 3 (2) 27
Q a1 a4 a7 39, a2 a5 a8 33 a4 13, a5 11
即aa11
+3d 13 ,
4d 11
解得a1
19,
d
2
an 19 2(n 1) 2n 21a3 a6 a9 15 9 3 27
同理，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，
∵m＋n＝p＋q， ∴am＋an＝ap＋aq.
5、在等差数列an中，若m n p q,则am an ap aq
即下标和相等，对应项之和相等
推论：在等差数列an中，若m n 2r,则am an 2ar
【课内探究】展示:
【课内探究】
例2、（1）已知三个数成等差数列，它们的和为15，积为80，求这三个数。 （2）已知四个数成等差数列，它们的和为34，中间两个数的积为70，
求这四个数
解：由题意可设这三个数分别为a d, a, a d，则
（ a （ a
d d
)a )a(a
(a d)
d) 80
2.2 应用举例（二）
【读一读学习要求，目标更明确】 1．能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质． 2．能运用等差数列的性质解决有关问题． 【看一看学法指导，学习更灵活】 1．灵活运用等差数列的性质，可以减少计算量，因此要熟练
掌握等差数列的有关性质． 2．掌握等差数列与一次函数之间的关系，就能站在较高的角
例1、在等差数列{an}中，a1 a4 a7 39, a2 a5 a8 33,求a3 a6 a9的值。
变式：在等差数列{an}中，a1 a4 a7 15, a2a4a6 45,求它的通项公式。
例2、（1）已知三个数成等差数列，它们的和为15，积为80， 求这三个数。
度整体把握等差数列的内涵和本质．
【课前导学】 1.等差数列的通项：an a1 (n 1)d , n N
2.等差中项的定义：
如果在 a 与 b 中间插入一个数A，使 a ，A，b
成等差数列，那么A叫做 a 与 b 的等差中项.
3．用定义法证明数列是等差数列就是证明：
an an1 d, n 2, n N (d是常数) 或an an1 an+1 an即an1 +an+1 2an
【课前导学】合作探讨:
已知数列：1，3，5，7，9，11，13，15，……
a1 a5 a2 a4 ? a2 a5 a3 a4 ? 猜想若m n p q,则am an ap aq
证明 (1)∵am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d.
∴am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d.
【课前导学】想一想:
4、已知等差数列an中， am是, d常数，试求出
am an
a1 (m 1)d a1 (n 1)d
an
am
(n
m)d
an am (n m)d
a的n 值.
公式推广：an am (m n)d , n N d an am nm
【课内探究】
变式：在等差数列{an}中，a1 a4 a7 15, a2a4a6 45,求它的通项公式。
解：Q {an}为等差数列a1 a7 2a4
Q a1 a4 a7 15,a4 5 设此等差数列的公差为d,则：
a2 a4 2d 5 2d, a6 a4 2d 5 2d, Q a2a4a6 45 5(5 2d )(5 2d ) 45即d 2 4 d 2 an a4 (n wk.baidu.com4)d 5 2(n 4) 2n 3或-2n 13
（2）已知四个数成等差数列，它们的和为34，中间两 个数的积为70，求这四个数
【课内探究】
例1、在等差数列{an}中，a1 a4 a7 39, a2 a5 a8 33,求a3 a6 a9的值。
法1：Q {an}为等差数列a1 a7 2a4 , a2 a8 2a5
15即5a(55
d
)(5
d
)
8
a 5, d 3这三个数为2、5、8或8、5、2
（2）由题意可设这四个数分别为a 3d, a d, a d，a 3d则
（ a 3d) (a d) (a d) (a 3d) 34 （ a d)(a d) 70
a 17 , d 3
2
2
这四个数为4、7、10、13或13、10、7、4
例3
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
0
● （1）数列an=3n-5的图像 （2）函数y=3x-5的图像
●
学科网
●
● 1234
5 6 7 8 9 10
●
【课内探究】
问题探究 等差数列与一次函数的联系
2.2（二）
等差数列 解析式
an＝kn＋b(n∈N*)
一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)
定义域为 N*，图象是一系 定义域为 R，图象 不同点
列孤立的点(在直线上) 是一条直线
等差数列通项公式与函数的解析式都是关于 相同点
自变量的一次整式
所以当 d＞0 时，{an}是 递增 数列；当 d＜0 时，{an}为 递减 数列；当 d＝0 时，{an}为 常 数列．
为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？
【方法总结】
1.等差数列的几个重要性质.
(1) an am (m n)d , n N
法2：设此数列的公差为d,根据题意得：
aa12+aa4 5aa783393 3d 6 d 2 a3 a6 a9 (a2 d) (a5 d) (a8 d) (a2 a5 a8) 3d 33 3 (2) 27
Q a1 a4 a7 39, a2 a5 a8 33 a4 13, a5 11
即aa11
+3d 13 ,
4d 11
解得a1
19,
d
2
an 19 2(n 1) 2n 21a3 a6 a9 15 9 3 27
同理，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，
∵m＋n＝p＋q， ∴am＋an＝ap＋aq.
5、在等差数列an中，若m n p q,则am an ap aq
即下标和相等，对应项之和相等
推论：在等差数列an中，若m n 2r,则am an 2ar
【课内探究】展示:
【课内探究】
例2、（1）已知三个数成等差数列，它们的和为15，积为80，求这三个数。 （2）已知四个数成等差数列，它们的和为34，中间两个数的积为70，
求这四个数
解：由题意可设这三个数分别为a d, a, a d，则
（ a （ a
d d
)a )a(a
(a d)
d) 80
2.2 应用举例（二）
【读一读学习要求，目标更明确】 1．能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质． 2．能运用等差数列的性质解决有关问题． 【看一看学法指导，学习更灵活】 1．灵活运用等差数列的性质，可以减少计算量，因此要熟练
掌握等差数列的有关性质． 2．掌握等差数列与一次函数之间的关系，就能站在较高的角
例1、在等差数列{an}中，a1 a4 a7 39, a2 a5 a8 33,求a3 a6 a9的值。
变式：在等差数列{an}中，a1 a4 a7 15, a2a4a6 45,求它的通项公式。
例2、（1）已知三个数成等差数列，它们的和为15，积为80， 求这三个数。
度整体把握等差数列的内涵和本质．
【课前导学】 1.等差数列的通项：an a1 (n 1)d , n N
2.等差中项的定义：
如果在 a 与 b 中间插入一个数A，使 a ，A，b
成等差数列，那么A叫做 a 与 b 的等差中项.
3．用定义法证明数列是等差数列就是证明：
an an1 d, n 2, n N (d是常数) 或an an1 an+1 an即an1 +an+1 2an
【课前导学】合作探讨:
已知数列：1，3，5，7，9，11，13，15，……
a1 a5 a2 a4 ? a2 a5 a3 a4 ? 猜想若m n p q,则am an ap aq
证明 (1)∵am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d.
∴am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d.
【课前导学】想一想:
4、已知等差数列an中， am是, d常数，试求出
am an
a1 (m 1)d a1 (n 1)d
an
am
(n
m)d
an am (n m)d
a的n 值.
公式推广：an am (m n)d , n N d an am nm
【课内探究】
变式：在等差数列{an}中，a1 a4 a7 15, a2a4a6 45,求它的通项公式。
解：Q {an}为等差数列a1 a7 2a4
Q a1 a4 a7 15,a4 5 设此等差数列的公差为d,则：
a2 a4 2d 5 2d, a6 a4 2d 5 2d, Q a2a4a6 45 5(5 2d )(5 2d ) 45即d 2 4 d 2 an a4 (n wk.baidu.com4)d 5 2(n 4) 2n 3或-2n 13
（2）已知四个数成等差数列，它们的和为34，中间两 个数的积为70，求这四个数
【课内探究】
例1、在等差数列{an}中，a1 a4 a7 39, a2 a5 a8 33,求a3 a6 a9的值。
法1：Q {an}为等差数列a1 a7 2a4 , a2 a8 2a5
15即5a(55
d
)(5
d
)
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a 5, d 3这三个数为2、5、8或8、5、2
（2）由题意可设这四个数分别为a 3d, a d, a d，a 3d则
（ a 3d) (a d) (a d) (a 3d) 34 （ a d)(a d) 70
a 17 , d 3
2
2
这四个数为4、7、10、13或13、10、7、4
例3
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
0
● （1）数列an=3n-5的图像 （2）函数y=3x-5的图像
●
学科网
●
● 1234
5 6 7 8 9 10
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【课内探究】
问题探究 等差数列与一次函数的联系
2.2（二）
等差数列 解析式
an＝kn＋b(n∈N*)
一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)
定义域为 N*，图象是一系 定义域为 R，图象 不同点
列孤立的点(在直线上) 是一条直线
等差数列通项公式与函数的解析式都是关于 相同点
自变量的一次整式
所以当 d＞0 时，{an}是 递增 数列；当 d＜0 时，{an}为 递减 数列；当 d＝0 时，{an}为 常 数列．