数学竞赛( 一元与二元函数极限与连续)讲稿

=
lim
t→0
1 t2
⎜⎛ ⎝
sin t
t
−
1⎟⎞ ⎠
=
lim
t→0
sin t − t3
t
=
lim
t→0
cos t − 3t 2
1
=
lim
t→0
−
sin t 6t
=
−
1
,
6
1
1
故lni→m∞⎜⎜⎝⎛
xn+1 xn
⎟⎟⎠⎞
xn2
=
lni→m∞⎜⎜⎝⎛
sin xn xn
⎠⎞⎟⎟
xn2
−1
= e 6.
例 7．设函数 f ( x) = ln x + 1 . x
n4
⎡ 10 ⎢⎣ n 3
−
10 k =1
(n
1 + k)3
⎤ ⎥⎦ .
∑ 解：原式=
lim n4
n→∞
10 k =1
⎜⎜⎝⎛
1 n3
−
1 (n + k)3
⎟⎟⎠⎞
∑ =
lim
n→∞
n4
10 k =1
⎜⎜⎝⎛
3kn2 + 3k 2n + n3(n + k)3
k
3
⎟⎟⎠⎞
10
= ∑ 3k = 165. k =1
−
an
=
1 n+
1
−
ln(n
+
1)
+
ln
n
= 1 − ln(1 + 1 ) < 0
n+1
n
所以数列{an }单调减少.又
an
=
1+
1 2
+L+
1 n
−
ln
n
>
ln(1
+
1) 1
+
ln(1
+
1) 2
+
L
+
ln(1
+
1) n
−
ln
n
= ln 2 − ln1 + ln 3 − ln 2 + L+ ln(n + 1) − ln n − ln n = ln(n + 1) − ln n > 0 所以数列{an }有下界,故数列{an }收敛.
= a+2⋅π = −π
b−1 2 2
从而得a + 2 = 1 − b,
又 lim ax + 2 | x | arctan x x→−∞ bx− | x |
=
lim
x → −∞
ax − 2x bx + x
arctan
x
=
a b
− +
2 1
⋅
⎜⎛ ⎝
−
π
2
⎟⎞ ⎠
=
−
π
2
,
1
从而得a − 2 = b + 1,故解得a = 1, b = −2.
a
a
例 8．（1）证明方程 x n + nx = 1(其中n > 1为正
整数)在区间(0,+∞)内有且仅有一个实根an ;
（2）计算lim(1 n→∞
+
a
n
)n
.
证明 （1）记 f ( x) = x n + nx − 1,
由
f
1 ()
=
(1)n
>
0,
f
(0)
=
−1
<
0,由连续函数
nn
的零点定理知,方程 x n + nx = 1存在实数实根
xn
⋅
4 xn
− 3 = 1,
∴ xn+1 ≥ xn ,则{ xn }单调增加.
根据准则
1,lim n→∞
xn
=
a 存在,
把 xn+1
=
x
2 n
−
3xn
+ 4两边取极限,得
a = a 2 − 3a + 4,(a − 2)2 = 0,a = 2,
∴
lim
n→∞
xn
= 2.
例 6．设数列{ xn }满足
解：∵ x1 = 2 ,∴ 1 < x1 < 2,若1 < xn < 2,则
xn+1
=
x
2 n
− 3xn
+4
=
(xn
−
3)2 2
+
7
,
4
显然0 < xn+1 < 2,
用数学归纳法可知n ≥ 1时,0 < xn < 2,
∴ { xn }有界.
9
又当n > 1时,
xn+1 xn
=
xn
+
4 xn
−3≥
2
解：因为0 < 1!+2!+L+ (n − 1)! n!
<
(n
−
2)(n −
2)!+(n
− 1)!
<
2(n
− 1)!
=
2
,
n!
n! n
则lim 1!+2!+ L + n! = 1.
n→∞
n!
例 5 ． 设 x1 =
2
,
xn+1
=
x
2 n
−
3xn
+ 4 ,证明
lim
n→∞
x
n
存在,并求其值.（单调有界准则）
x)
解： 因为 lim x 2016 + 2 x 2015 + 2014 x = 0,
x → +∞
2013 x + x 2012
而2011arctan x + 2010 sin x 有界,
故 原式=0.
（4）lim(1 +
x arctan
2016 ln(1+ x )
x ) . x sin x
x→0
2017
n→∞ k=1 n3 + k 2
=
1
.
3
(2006 年江苏省竞赛题).
7
例
3．求
lim
x→0
x
]表示不超过
x
的最大整
数.(1995 年南京大学竞赛题).
解：当 x
>
0时,
1 x
−
1
<
⎡1⎤ ⎢⎣ x ⎥⎦
≤
1 ,则 x
1
−
x
<
x
⎡ ⎢⎣
1 x
⎤ ⎥⎦
≤
1,
从而 lim x→0+
解：lim(1 +
x arctan
2016 ln(1+ x )
x ) x sin x
x→0
2017
2016ln(1+ x ) ln(1+ x arctan x )
= lim e xsin x
2017
x→0
2016 lim
x⋅x
x
2016
= e = e x→0 x2 2017
2017 .
2
∑ （5）lim n→∞
(2008 年江苏省竞赛题)
（2）设lim(3 1 − x3 − ax − b) = 0,求 a,b 的值. x→∞
(答案: a = −1, b = 0)
（3） lim x → +∞
x 2016
+ 2 ln2015 2018x +
x + 2014x x 2017
(2013 arctan
x
+
2012
sin
x
⎡ ⎢⎣
1 x
⎤ ⎥⎦
=
1,
当x
<
0时, 1 x
−1<
⎡1⎤ ⎢⎣ x ⎥⎦
≤
1 ,则 x
1
<
x ⎢⎣⎡
1 x
⎤ ⎥⎦
≤
1−
x,
从而 lim x→0−
x ⎢⎣⎡
1 x
⎤ ⎥⎦
=
1,故lim x→0
x
⎡ ⎣⎢
1 x
⎤ ⎥⎦
=
1.
8
例
4．求lim
1!+2!+
L
+
n!
.
n→∞
n!
(2009 年南京工业大学竞赛题).
+
1) 2 k2
− −
(k + 1) k +1
+
1
= lim
2
n2
+
n
+
1
=
2
.
n→∞ n(n + 1) 3
3
n+1+ n
（9）
lim
n→∞
⎡ ⎢⎣
n(
n+1−
n
)
+
1⎤ 2⎥⎦
n+1−
n
.
解： n( n + 1 − n) + 1 2
=1+ n− n+1 →1 2( n + 1 + n)
−1
原式= e 2.
0 < x1 < π , xn+1 = sin xn (n = 1,2,L).