第十三章动荷与交变应力
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d
W
v
a
st
A
A
A
l
Fd
W
（a）
（b）
（c）
水平冲击动荷因数：
kd
v2 g st
Fd kdW
d kd st
d kd st
△st——将冲击物的重量W 作为静载，
水平作用于被冲击构件冲击点处，构件 在冲击点沿水平方向的静变形。
三、冲击韧度 冲击韧度是衡量材料抗冲击能力的力学指标
C N
1
N——交变应力循环次数。 C、——参数，查表。 在应力循环中，不出现拉应力的部位，可不作疲劳计算。
例 图示一焊接箱形钢梁，在跨中受到Fmin=10KN ， Fmax= 100KN 的常幅交变荷载作用，属第4类构件。欲使此梁在服役 期内，能经受N=2×106次交变荷载作用， 试校核其疲劳强度。 F
40 mm
2 2
10
55 mm
10
a
试件
b
k
W A
Nm / m2 ,
J / m2
αK 越大，材料的抗冲击能力越好。
§13-4 交变应力和疲劳破坏
交变应力—构件内随时间作周期性交替变化的应力。
FH
W
最小位移位置
静平衡位置
最大位移位置
应力随时间变化 的曲线——应力谱
O
t
2
F
d
d v 2
强度条件
O
M
; l ; A
§13-3 构件受冲击时的应力和变形
当运动着的物体作用到静止的物体上时，在相互接触的极短 时间内，运动物体的速度急剧下降为零；从而使静止的物体受到 很大的作用力，这种现象——冲击。 W
冲击中的运动物体——冲击物。 静止的物体——被冲击构件。
应力循环
min r max
最大应力和最小应力的平均值 ——平均应力 m。 应力变化的幅度
max
o
min
t
——应力幅 a。
应力谱
例：图示圆轴直径为d，轴不旋转，载荷F大小不变，仅其作用点 的位置沿跨中截面的圆周作连续移动（F方向始终指向圆心）。 试求跨中截面A点的max ，min ，循环特征r和应力幅a。
强度条件：
a
W
d max kd st max
a kd 1 g
动荷因数
W a g
二、匀速转动的构件
一匀速转动的飞轮， 材料密度为，轮缘横截 面积为A，试分析轮缘上 的动应力。
D
FNd
AD 2 2
4
2
y qd
Av
x FNd
FNd
其中：v为圆环中线上各点的线速度。
max min 57.05MPa
例 图示一焊接箱形钢梁，在跨中受到Fmin=10KN ， Fmax= 100KN 的常幅交变荷载作用，属第4类构件。欲使此梁在服役 期内，能经受N=2×106次交变荷载作用， 试校核其疲劳强度。 F
8.15 8.15
2
o
求
（a）
C EA — —被冲击构件的刚度系 数。 l
2
冲前
d 2st d 2st h 0
2h d 1 1 st kd st st
Fd kdW
d kd st
2h kd 1 1 st
——竖向冲击动荷因数
查表 C＝2.181012 ， 3
18
190 10 10
C / N
1
103 .0MPa
18 a
y （b）
z 175
显然 ，满足疲劳强度要求。
支座上，另一梁支于刚度系数k=105N/m的弹性支座上。已知l=3m, h=0.05m, P=1kN, I=3.410-5 m4, Wz=3.09 10-4m3 , E= 200 Gpa。 试求二者的最大冲击应力。
P P
A
h
h B
C
l/2
l/2
A
l/2
C
l/2
B
解：
st
Pl 2.43MPa 4Wz
对称循环特征下的 疲劳极限 σ-1 是衡量材 料疲劳强度的一个基本 指标。
max
疲劳试验装置
（ 1） 弯
O
N1
N0
N
§13-6 钢结构构件的疲劳计算
当N 105，对常幅疲劳： [ ]
焊接部位： max min
非焊接部位： max 0.7 min
F
3
d
i
1
y
a
l
a
4
（a）
（c）
Fa
应力循环
max
O
M图
（b）
t
min
（d）
由于材料的不均匀性，或有杂质等缺陷，构件在受载后，这 些部位将产生应力集中；在交变应力反复作用下，这些部位产生 细微裂纹，并不断扩展形成宏观裂纹，导致构件的有效截面逐渐 减小，当截面削弱到一定程度时，构件沿此截面突然断裂。 疲劳源
F
l/2 l/2
8Fl min 3 d 8Fl a 3 d
t
F
z
A y
Fl r cost A 4 Iz
解答： max
8Fl 3 d
r 1
当σmax 减小到某一限值时，虽经“无限多次” 应力循环，材料仍不发生疲劳破坏，这个应力限 值——材料的持久极限（疲劳极限）σr 。
一、竖向冲击
2h kd 1 1 st
W
——竖向冲击动荷因数 v d
h
st
是将冲击物重量W 以静载方
式作用在被冲构件的冲击点处，在构件冲击点 处沿冲击方向所产生的静变形。
l
EA
Fd kdW
d kd st
d kd st
关于kd的讨论：
2h kd 1 1 st
火 车 轮 轴 的 疲 劳 断 口 颗粒状区域
一般金属材料的 疲劳断口，都有明显 的光滑区域和颗粒状 区域。
光滑区域
传动轴的疲劳失效
弹簧的疲劳失效
疲劳 源
§13-5 交变应力的特征和疲劳极限
应力每重复变化一次——一个应力循环。
应力重复的次数——循环次数N。
材料发生疲劳破坏所经历的循环次数——疲劳寿命。 应力循环中最小应力与最大应力之比 ——交变应力的循环特征 r。
h
v=0
冲后
v
l
冲前
假设：
（1）冲击物为刚体，且不反弹；
（2）忽略被冲击构件的质量； （3）冲击过程中被冲击构件的材料仍服从虎克定律。
EA
（4）不考察冲击过程中次要的能量耗散（如声能、热能等）。
一、竖向冲击
T V V
Wh W d 1 Fd d 2
W
h 冲后
v d l
EA
W EA d Fd d C d st l
§13-1 概
动荷载——指随时间作显著 变化的荷载或着作加速运动 构件的惯性力。 交变应力——构件内随时间作 周期性交替变化的应力。
述
F
d
F
a
l
a
Fa
M图
疲劳破坏——构件长期在交变应力作用下，即使 最大工作应力远低于材料的屈服极限，却往往会 发生骤然断裂。这种破坏就叫疲劳破坏。
构件作匀加速直线平动和匀速转动时的应力
构件受冲击时的应力和变形
交变应力和疲劳破坏
§13-2 构件作匀加速直线平动 和匀速转动时的应力
一、构件作匀加速直线平动时的应力
一桥式起重机，以匀加速度a起吊重为W的物体。若钢索横 截面积为A，密度为，试分析钢索横截面上的动应力。 x
l 2
l 2
x
FNd q + qd
a
W
d kd st
1、当h = 0 时， kd = 2。表明构件的动应力和动变形都是静荷 载作用下的两倍。这种荷载——突加荷载。 2、当h △st 时，动荷因数近似为kd = 3、当冲击物体自由下落、h=v2/2g ，
v2 kd 1 1 g st
2h st
例：同样的两根钢梁，受重为P的重物冲击，其中一梁支于刚性
8.15 8.15
解：由σmax，σmin→ ，查表得C，
β→ [ ]，再校核强度。
（a）
1o 求。
18
190 10 10
I z 72.81 10 m
6
4
z 175
18 a
y （b）
min Mmin ymax I z 6.34MPa
max Mmax ymax I z 63.39MPa 当Fmax 100kN：
Hale Waihona Puke Baidu
例：图示结构中两杆件均为Q235钢，AB杆横截面为边长100mm 的正方形， BC杆横截面为直径为20mm的圆截面，杆长均为
1m。重物重为FW。 a. 当重物由高度h处自由下落冲击梁B处，试求kd （不考虑BC的 稳定性问题）； FW b. 使BC杆轴力达到临界力时的高度h。 h B A
C
二、水平冲击
Pl3 P st 5.08 103 m 48EI 2k
Pl3 st 8.27 105 m 48EI
kd 1 1
2h kd 1 1 35.8 st
2h 5.55 st
d kd st 13.5MPa
d kd st 87MPa
W
v
a
st
A
A
A
l
Fd
W
（a）
（b）
（c）
水平冲击动荷因数：
kd
v2 g st
Fd kdW
d kd st
d kd st
△st——将冲击物的重量W 作为静载，
水平作用于被冲击构件冲击点处，构件 在冲击点沿水平方向的静变形。
三、冲击韧度 冲击韧度是衡量材料抗冲击能力的力学指标
C N
1
N——交变应力循环次数。 C、——参数，查表。 在应力循环中，不出现拉应力的部位，可不作疲劳计算。
例 图示一焊接箱形钢梁，在跨中受到Fmin=10KN ， Fmax= 100KN 的常幅交变荷载作用，属第4类构件。欲使此梁在服役 期内，能经受N=2×106次交变荷载作用， 试校核其疲劳强度。 F
40 mm
2 2
10
55 mm
10
a
试件
b
k
W A
Nm / m2 ,
J / m2
αK 越大，材料的抗冲击能力越好。
§13-4 交变应力和疲劳破坏
交变应力—构件内随时间作周期性交替变化的应力。
FH
W
最小位移位置
静平衡位置
最大位移位置
应力随时间变化 的曲线——应力谱
O
t
2
F
d
d v 2
强度条件
O
M
; l ; A
§13-3 构件受冲击时的应力和变形
当运动着的物体作用到静止的物体上时，在相互接触的极短 时间内，运动物体的速度急剧下降为零；从而使静止的物体受到 很大的作用力，这种现象——冲击。 W
冲击中的运动物体——冲击物。 静止的物体——被冲击构件。
应力循环
min r max
最大应力和最小应力的平均值 ——平均应力 m。 应力变化的幅度
max
o
min
t
——应力幅 a。
应力谱
例：图示圆轴直径为d，轴不旋转，载荷F大小不变，仅其作用点 的位置沿跨中截面的圆周作连续移动（F方向始终指向圆心）。 试求跨中截面A点的max ，min ，循环特征r和应力幅a。
强度条件：
a
W
d max kd st max
a kd 1 g
动荷因数
W a g
二、匀速转动的构件
一匀速转动的飞轮， 材料密度为，轮缘横截 面积为A，试分析轮缘上 的动应力。
D
FNd
AD 2 2
4
2
y qd
Av
x FNd
FNd
其中：v为圆环中线上各点的线速度。
max min 57.05MPa
例 图示一焊接箱形钢梁，在跨中受到Fmin=10KN ， Fmax= 100KN 的常幅交变荷载作用，属第4类构件。欲使此梁在服役 期内，能经受N=2×106次交变荷载作用， 试校核其疲劳强度。 F
8.15 8.15
2
o
求
（a）
C EA — —被冲击构件的刚度系 数。 l
2
冲前
d 2st d 2st h 0
2h d 1 1 st kd st st
Fd kdW
d kd st
2h kd 1 1 st
——竖向冲击动荷因数
查表 C＝2.181012 ， 3
18
190 10 10
C / N
1
103 .0MPa
18 a
y （b）
z 175
显然 ，满足疲劳强度要求。
支座上，另一梁支于刚度系数k=105N/m的弹性支座上。已知l=3m, h=0.05m, P=1kN, I=3.410-5 m4, Wz=3.09 10-4m3 , E= 200 Gpa。 试求二者的最大冲击应力。
P P
A
h
h B
C
l/2
l/2
A
l/2
C
l/2
B
解：
st
Pl 2.43MPa 4Wz
对称循环特征下的 疲劳极限 σ-1 是衡量材 料疲劳强度的一个基本 指标。
max
疲劳试验装置
（ 1） 弯
O
N1
N0
N
§13-6 钢结构构件的疲劳计算
当N 105，对常幅疲劳： [ ]
焊接部位： max min
非焊接部位： max 0.7 min
F
3
d
i
1
y
a
l
a
4
（a）
（c）
Fa
应力循环
max
O
M图
（b）
t
min
（d）
由于材料的不均匀性，或有杂质等缺陷，构件在受载后，这 些部位将产生应力集中；在交变应力反复作用下，这些部位产生 细微裂纹，并不断扩展形成宏观裂纹，导致构件的有效截面逐渐 减小，当截面削弱到一定程度时，构件沿此截面突然断裂。 疲劳源
F
l/2 l/2
8Fl min 3 d 8Fl a 3 d
t
F
z
A y
Fl r cost A 4 Iz
解答： max
8Fl 3 d
r 1
当σmax 减小到某一限值时，虽经“无限多次” 应力循环，材料仍不发生疲劳破坏，这个应力限 值——材料的持久极限（疲劳极限）σr 。
一、竖向冲击
2h kd 1 1 st
W
——竖向冲击动荷因数 v d
h
st
是将冲击物重量W 以静载方
式作用在被冲构件的冲击点处，在构件冲击点 处沿冲击方向所产生的静变形。
l
EA
Fd kdW
d kd st
d kd st
关于kd的讨论：
2h kd 1 1 st
火 车 轮 轴 的 疲 劳 断 口 颗粒状区域
一般金属材料的 疲劳断口，都有明显 的光滑区域和颗粒状 区域。
光滑区域
传动轴的疲劳失效
弹簧的疲劳失效
疲劳 源
§13-5 交变应力的特征和疲劳极限
应力每重复变化一次——一个应力循环。
应力重复的次数——循环次数N。
材料发生疲劳破坏所经历的循环次数——疲劳寿命。 应力循环中最小应力与最大应力之比 ——交变应力的循环特征 r。
h
v=0
冲后
v
l
冲前
假设：
（1）冲击物为刚体，且不反弹；
（2）忽略被冲击构件的质量； （3）冲击过程中被冲击构件的材料仍服从虎克定律。
EA
（4）不考察冲击过程中次要的能量耗散（如声能、热能等）。
一、竖向冲击
T V V
Wh W d 1 Fd d 2
W
h 冲后
v d l
EA
W EA d Fd d C d st l
§13-1 概
动荷载——指随时间作显著 变化的荷载或着作加速运动 构件的惯性力。 交变应力——构件内随时间作 周期性交替变化的应力。
述
F
d
F
a
l
a
Fa
M图
疲劳破坏——构件长期在交变应力作用下，即使 最大工作应力远低于材料的屈服极限，却往往会 发生骤然断裂。这种破坏就叫疲劳破坏。
构件作匀加速直线平动和匀速转动时的应力
构件受冲击时的应力和变形
交变应力和疲劳破坏
§13-2 构件作匀加速直线平动 和匀速转动时的应力
一、构件作匀加速直线平动时的应力
一桥式起重机，以匀加速度a起吊重为W的物体。若钢索横 截面积为A，密度为，试分析钢索横截面上的动应力。 x
l 2
l 2
x
FNd q + qd
a
W
d kd st
1、当h = 0 时， kd = 2。表明构件的动应力和动变形都是静荷 载作用下的两倍。这种荷载——突加荷载。 2、当h △st 时，动荷因数近似为kd = 3、当冲击物体自由下落、h=v2/2g ，
v2 kd 1 1 g st
2h st
例：同样的两根钢梁，受重为P的重物冲击，其中一梁支于刚性
8.15 8.15
解：由σmax，σmin→ ，查表得C，
β→ [ ]，再校核强度。
（a）
1o 求。
18
190 10 10
I z 72.81 10 m
6
4
z 175
18 a
y （b）
min Mmin ymax I z 6.34MPa
max Mmax ymax I z 63.39MPa 当Fmax 100kN：
Hale Waihona Puke Baidu
例：图示结构中两杆件均为Q235钢，AB杆横截面为边长100mm 的正方形， BC杆横截面为直径为20mm的圆截面，杆长均为
1m。重物重为FW。 a. 当重物由高度h处自由下落冲击梁B处，试求kd （不考虑BC的 稳定性问题）； FW b. 使BC杆轴力达到临界力时的高度h。 h B A
C
二、水平冲击
Pl3 P st 5.08 103 m 48EI 2k
Pl3 st 8.27 105 m 48EI
kd 1 1
2h kd 1 1 35.8 st
2h 5.55 st
d kd st 13.5MPa
d kd st 87MPa