高三数学周测试卷答案
江苏省楚水实验学校2015届高三数学周测试卷四 (12.6) Word版含答案
B
E
C
（第 13 题）
1 |x | 的最小值为____▲___. 2 | x | y 1
4 ． 5
二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、 （本小题满分 14 分） 在△ABC 中，A,B,C 分别为 a,b,c 边所对的角，且cosA= B+C （Ⅰ）求sin2 +cos2A的值； 2 （Ⅱ）若 a =2，求△ABC 的面积 S 的最大值．
（Ⅰ ）求圆 A 的方程； （Ⅱ）当|MN|＝2 19时，求直线 l 的方程； （ Ⅲ ） BQ · BP 是 否 为 定 值 ？ 如 果 是 ， 求 出 其 定 值 ； 如 果 不 是 ， 请 说 明 理
→
→
由．
19、 （本小题满分 16 分）已知函数 f ( x) (a 1) x 2 2ax 2 ln x ． （Ⅰ）求证： a 0 时， f ( x) 1 恒成立； （Ⅱ）当 a [2,1] 时，求 f ( x) 的单调区间．
（Ⅰ）请设置一个变量 x ，写出该蝶形区域的面积 S 关于 x 的函数表达式； （Ⅱ） x 为多少时，
18、 （本小题满分 15 分）如图所示，已知以点 A(－1,2)为圆心的圆与直线 l1：x＋2y＋7＝0 相 切．过点 B(－2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两点，Q 是 MN 的中点，直线 l 与 l1 相交 于点 P.
x
2
2
2 图像上的点，直线 x y b 是该函数图像在 P 点处 x
A D
13、△ABC 的面积为 1，点 D 在 AC 上，DE∥AB，连结 BD， 设△DCE、△ABD、△BDE 中面积最大者的值为 y，则 y 的 最小值为 ▲ ． 14、已知 x y 1, y 0, x 0 ，则
高三数学测试题(附答案)
一.选择题 :1. 已知集合 ( )(A) (B) (C) (D)2 .函数的定义域是 ( )( A ) ( B )( C ) ( D )3 、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) ( A ) ( B ) ( C ) ( D )4 . 已知是周期为 2 的奇函数，当时，设则( )( A ) ( B )( C ) ( D )5 . 已知函数，若 , 则的取值范围是( )( A) (B) 或(C) (D) 或6 . 若是的图象的一条对称轴,则可以是( )( A ) 4 ( B ) 8 ( C ) 2 ( D )17 .已知是上的减函数，则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)8. 给定函数 :① ,② ,③ ,④,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )( A ) ①②( B ) ②③( C ) ③④( D ) ①④9. 设若是与的等比中项,则的最小值为( )( A ) 8 ( B ) 4 ( C ) 1 ( D )10.在进行一项物理实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( )( A ) 34 ( B ) 48 ( C ) 96 ( D )14411. 已知命题 : 存在 ; 命题, 则下列命题为真命题的是 ( )( A ) ( B )( C ) ( D )12.若 : , 是偶函数,则是的( )( A ) 充分必要条件 ( B ) 充分不必要条件( C ) 必要不充分条件 ( D ) 既不充分也必要条件二.填空题13. 已知 , 若 , 则实数的取值范围是( ) ;14. 已知是上的奇函数 , 则 =( ) ;15. 已知双曲线的右焦点F,与抛物线的焦点重合,过双曲线的右焦点F作其渐近线的垂线,垂足为M,则点M的纵坐标为( ) ;16. 已知在上是单调减函数 ; 关于的方程的两根均大于 3, 若 , 都为真命题 , 则实数的取值范围是( ) ;三 . 解答题17. 在△ ABC 中， a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边，且 4sin 2 － cos 2 A ＝ .(1) 求∠ A 的度数；(2)若 a ＝， b ＋ c ＝ 3 ，求 b 、 c 的值 .解 (1) ∵ B ＋ C ＝π－ A ，即＝－，由 4sin 2 － cos 2 A ＝，得 4cos 2 －cos 2 A ＝，即 2(1 ＋ cos A ) － (2cos 2 A － 1) ＝，整理得4cos 2 A － 4cos A ＋ 1 ＝ 0 ，即 (2cos A － 1) 2 ＝ 0. ∴ cos A ＝，又 0°< A <180°，∴ A ＝ 60°.(2) 由 A ＝ 60°，根据余弦定理 cos A ＝，即＝，∴ b 2 ＋ c 2 － bc ＝ 3 ，①又 b ＋ c ＝ 3 ，②∴ b 2 ＋ c 2 ＋ 2 bc ＝ 9. ③①－③整理得： bc ＝ 2. ④解②④联立方程组得或18. 设数列{a n }的前n项和为S n ，且满足S n =2-a n ，n=1，2，3，… .(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足b 1 =1，且b n+1 =b n +a n ，求数列{b n }的通项公式；(Ⅲ)设c n =n(3-b n )，求数列{c n }的前n项和T n .解： ( Ⅰ ) ∵ n=1 时， a 1 +S 1 =a 1 +a 1 =2 , ∴ a 1 =1∵ S n =2-a n 即 a n +S n =2 , ∴ a n+1 +S n+1 =2两式相减： a n+1 -a n +S n+1 -S n =0即 a n+1 -a n +a n+1 =0 , 2a n+1 =a n∵ a n ≠0 ∴ (n ∈ N *)所以，数列 {a n } 为首项 a 1 =1 ，公比为的等比数列 . a n = (n ∈ N *)( Ⅱ ) ∵ b n+1 =b n +a n (n=1 ， 2 ， 3 ，…)∴ b n+1 -b n =( ) n-1得 b 2 -b 1 =1b 3 -b 2 =b 4 -b 3 =( ) 2……b n -b n-1 =( ) n-2 (n=2 ， 3 ，… )将这 n-1 个等式累加，得b n -b 1 =1+又∵ b 1 =1 ，∴ b n =3-2( ) n-1 (n=1 ， 2 ， 3 ，…)( Ⅲ ) ∵ c n =n(3-b n )=2n( ) n-1∴ T n =2[( ) 0 +2( )+3( ) 2 + … +(n-1)( ) n-2 +n( ) n-1 ] ①而 T n =2[( )+2( ) 2 +3( ) 3 + … +(n-1)] ②① - ②得：T n = =8-(8+4n) (n=1 ，2 ， 3 ，…)19. 如图，在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中， AA 1 C 1 C 是边长为4 的正方形 .平面 AB C ⊥平面 AA 1 C 1 C ， AB=3 ， BC=5.（Ⅰ）求证： AA 1 ⊥平面 ABC ；（Ⅱ）求二面角 A 1 -BC 1 -B 1 的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段 BC 1 存在点 D ，使得 AD ⊥ A 1 B ，并求的值 .解 : (1) ∵为正方形 ,,又面⊥面 ,又面∩面 =∴ AA 1 ⊥平面 ABC .(2 ) ∵AC=4,AB=3,BC=5,∴ ,∴∠CAB= ,即AB⊥AC,又由(1) ∴ AA 1 ⊥平面 ABC . 知 ,所以建立空间直角坐标系 A-xyz , 则 (0,0,4), (4,0,4), (0,3,4),B(0,3,0)设面 C 与面 B 的法向量分别为 ,,由 , 得 , 令 , 则,同理 , ,,由图知 , 所求二面角为锐二面角 , 所以二面角 A 1 -BC 1 -B 1 的余弦值为 .(3) 证明 : 设 , , 则 ,, ,因为三点共线 , 所以设 , 即,所以 , (1)由得 (2)由 (1)(2)求得 , 即,故在线段 BC 1 存在点 D ，使得 AD ⊥ A 1 B ，且 = .20. 已知函数过曲线上的点的切线方程为 y=3 x +1 。
高中高三数学上学期周测试卷 理(1.22,含解析)-人教版高三全册数学试题
某某省某某高中2015届高三上学期周测数学试卷（理科）（1.22）一．本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的．1．设复数z1=1﹣i，z2=+i，其中i为虚数单位，则的虚部为( )A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意结合复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵z1=1﹣i，z2=+i，∴=．∴的虚部为．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于( )A．﹣2 B．2 C．1 D．4考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：利用S n=2a n﹣2，n分别取1，2，则可求a2的值．解答：解：n=1时，S1=2a1﹣2，∴a1=2，n=2时，S2=2a2﹣2，∴a2=a1+2=4．故选D．点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题．3．“m＞0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义集合对数函数的性质分别判断其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：若“m＞0”，则函数f（x）=m+log2x＞0，（x≥1），故函数f（x）不存在零点，是充分条件，若函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点，则m＞0，是必要条件，故选：C．点评：本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为( )A．B．2 C．D．1考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当P与A（1，0）重合时，P到直线3x﹣4y﹣13=0的距离最小为d=．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，则双曲线的离心率是( )A．B．C．4D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件求出双曲线方程中k的值，然后求解离心率即可．解答：解：双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，可得双曲线的渐近线的斜率为：，即，解得k=，双曲线kx2﹣y2=1为：y2=1，得a=2，b=1，c=，∴双曲线的离心率为：．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．6．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A．B．C．2D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．解答：解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题．7．已知函数f（x）=sin（x+），其中x∈，若f（x）的值域是，则实数a的取值X围是( ) A．（0，] B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求得x+的取值X围，由x+∈时f（x）的值域是，可知≤a+≤，可解得实数a的取值X围．解答：解：∵x∈，∴x+∈，∵x+∈时f（x）的值域是，∴由函数的图象和性质可知≤a+≤，可解得a∈．故选：D．点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，由函数的图象和性质得到不等式≤a+≤是解题的关键，属于基本知识的考查．8．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为( ) A．B．C．1 D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，再根据基本不等式，求得|AB|2的取值X围，代入化简即可得到答案．解答：解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，因为ab≤，则（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣=（a+b）2，即|AB|2≥（a+b）2，所以≥=3，则，即所求的最小值是，故选：D．点评：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f （x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值X围为( )A．（2﹣2，2﹣4）B．（+2，+）C．（2+2，2+4）D．（4，8）考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，再利用两个临界状态的研究，得到k的取值X围．解答：解：∵当0≤x≤1时，f（x）=x2，∴f（1）=1．∵当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），∴f（x+1）=f（x）+1，∴当x∈，n∈N*时，f（x+1）=f（x﹣1）+2=f（x﹣2）+3=…=f（x﹣n）+n+1=（x﹣n）2+n+1，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数图象经过原点，且关于原点对称．∵直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，∴当x＞0时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，∴由x＞0时f（x）的图象可知：直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，∴直线y=kx与函数y=f（x）的图象位置情况介于上述两种情况之间．∵当x∈时，由得：x2﹣（k+2）x+2=0，令△=0，得：k=．由得：x2﹣（k+4）x+6=0，令△=0，得：k=2．∴k的取值X围为（）．点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、函数图象与性质及其应用，本题有一定的综合性，属于中档题．10．设函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，则( )A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式判断单调性，运用f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，得出a＜1，b＞1，再运用单调性得出g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，即可选择答案．解答：解：∵函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，∴f（x）与g（x）在各自的定义域上为增函数，∵f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，∴若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，∴a＜1，b＞1，∵g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，故选：A点评：本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可．11．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值X 围为( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b﹣1）2，0≤b≤1，求出X围．解答：解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为：y=3﹣x，设M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）•（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9=2（b2﹣2b+3），0≤b≤2，∴b=1时有最小值4；当b=0，或b=2时有最大值6，∴的取值X围为故选：D点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．12．设函数f1（x）=x，f2（x）=log2015x，a i=（i=1，2，3，…，2015），记I k=|f k（a2）﹣f k（a1）|+|f k（a3）﹣f k（a2）|+…+|f k（a2015）﹣f k（a2014）|，k=1，2，则( ) A．I1＜I2B．I1=I2C．I2＜I1D．无法确定考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于f1（a i+1）﹣f1（a i）==．可得I1=×2014．由于f i+1（a i+1）﹣f i（a i）==．即可得出I2==log20152015．解答：解：∵f1（a i+1）﹣f1（a i）==．∴I1=|f1（a2）﹣f1（a1）|+|f1（a3）﹣f1（a2）|+…+|f1（a2015）﹣f1（a2014）|=×2014=．∵f2（a i+1）﹣f2（a i）==．∴I2=|f2（a2）﹣f2（a1）|+|f2（a3）﹣f2（a2）|+…+|f2（a2015）﹣f2（a2014）|==log20152015=1，∴I1＜I2．故选：A．点评：本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于基础题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中横线上．13．已知等比数列{a n}，前n项和为S n，，则S6=．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，由于，即a1+a1q=，a1q3+a1q4=6，两式相除，可得，q=2，a1=．则S6==．故答案为：点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f （x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 (82)考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，再利用倒序相加，即可得到结论解答：解：∵f（x）=x3+sinx+2，∴f'（x）=3x2+cosx，f''（x）=6x﹣sinx，∴f''（0）=0，而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+2+﹣x3﹣sinx+2=4，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，∴…=20×4+f（0）=82．故答案为：82．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，是解题的关键．15．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．解答：解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．16．有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，…，a nn成等差数列．若d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=1．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a1n，a2n，a3n，…，a nn中的第项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到d n是首项d1，公差为d2﹣d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出d m的通项，令p1=2﹣m，p2=m﹣1，得证，求出p1+p2即可．解答：解：由题意知a mn=1+（n﹣1）d m．则a2n﹣a1n=﹣=（n﹣1）（d2﹣d1），同理，a3n﹣a2n=（n﹣1）（d3﹣d2），a4n﹣a3n=（n﹣1）（d4﹣d3），…，a nn﹣a（n﹣1）n=（n﹣1）（d n ﹣d n﹣1）．又因为a1n，a2n，a3n，a nn成等差数列，所以a2n﹣a1n=a3n﹣a2n=…=a nn﹣a（n﹣1）n．故d2﹣d1=d3﹣d2=…=d n﹣d n﹣1，即d n是公差为d2﹣d1的等差数列．所以，d m=d1+（m﹣1）（d2﹣d1）=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．令p1=2﹣m，p2=m﹣1，则d m=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．故答案为：1．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．三．解答题：本大题共5小题，共70分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．解答：解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PD⊥底面ABCD，∠DAB=60°，E为AB的中点．（1）证明：DC⊥平面PDE；（2）若PD=AD，求面DEP与面BCP所成二面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）根据底面为含有60度的菱形，得△DAB为正三角形，从而得到AB⊥DE，结合PD⊥AB 利用线面垂直判定定理，即可证出DC⊥平面PDE；（2）分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面DEP与面BCP 的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解答：证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PD⊥AB连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB=60°∴△DAB为等边三角形…又∵E为AB的中点∴AB⊥DE又∵PD∩DE=D∴AB⊥底面PDE…∵AB∥CD∴CD⊥底面PDE…解：（2）如图，分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系∴…．∴∴…∴∴…点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，熟练掌握线面垂直的判定定理是解答（1）的关键，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．19．已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{a n}是递增数列”对求出的p的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n+1﹣a n|=p n”、不等式的可加性，求出和a2n+1﹣a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．解答：解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，则|a n+1﹣a n|=p n化为：a n+1﹣a n=p n，分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2﹣p=0，解得或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1﹣a n|=，则|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n=当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m﹣1个等式相加可得，==，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…﹣…+=﹣=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，．点评：本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值X围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求出g（x）max，即可求得m的取值X围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞），∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．∴f′（1）=﹣3，又f（1）=1，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=，∵x＞0，∴t′（x）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e， g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=e﹣，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，e﹣）上单调递增，在（e﹣，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣，g（e）=2e2﹣3e，∵g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣＜2e﹣＜2e＜2e（e﹣）=g（e），∴g（e﹣）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分，答题时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．解答：（1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴，又∵，∴，∴，根据切割线定理得，即AF=3（2）证明：过E作EH⊥BC于H，∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，∴△EDH∽△ADF，∴，又由题意知CH=，EB=2，∴EH=1，∴，∴AD=3ED．点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值X围；（2）解不等式f（x）≤3x．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）根据|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|，可得≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，由此求得x的X围．（2）不等式即|2x﹣1|≤3x，可得，由此求得不等式的解集．解答：解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣b+（b﹣c）|=|a﹣c|，故有≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，∴﹣1≤2x﹣1≤1，求得0≤x≤1．（2）不等式f（x）≤3x，即|2x﹣1|≤3x，∴，求得x≥，即不等式的解集为{x|x≥}．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．。
高三数学上学期周练试卷(十)文(含解析)-人教版高三全册数学试题
2014-2015学年某某省某某外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞05．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．98．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值X围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值X围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．313．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣114．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值X围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）二.填空题15．（5分）（2014某某二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++=．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值X围为．17．（5分）（2014某某一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值X围是．18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．其中正确的是．（填上你认为正确结论的序号）三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．20．（12分）（2014某某二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．21．（12分）（2015某某模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．23．（12分）（2014某某校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，某某数m的取值X围．2014-2015学年某某省某某外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）参考答案与试题解析一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i﹣1对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”【分析】利用充要条件的定义，可判断A，B，判断原命题的真假，进而根据命题的否定与原命题真假性相反，可判断C，根据存在性（特称）命题的否定方法，可判断D．【解答】解：若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C 错误；命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；故选：A．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，命题的否定等知识点，是简单逻辑的简单综合应用，难度中档．3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．【分析】由题意可得 S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，由此可得 S6=S9+S3①，S12=3S9﹣3S6+S3②，再由可得 S12=S6③，利用①、②、③化简可得的值．【解答】解：∵S n是等差数列a n的前n项和，∴S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，∴S6﹣2S3=S9﹣2S6+S3，∴S6=S9+S3①．同理可得，S12﹣2S9+S6=S9﹣2S6+S3，即 S12=3S9﹣3S6+S3②．而由可得 S12=S6③．由①、②、③化简可得S3=S9，∴=，故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质的应用，属于中档题．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞0【分析】由锐角三角形ABC，可得1＞cosC＞0，0＜A＜，0＜B＜，，利用正弦函数的单调性可得sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，再利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：由锐角三角形ABC，可得1＞cosC＞0，0＜A＜，0＜B＜，，∴0＜＜B＜，∴sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，∴1＞＞0，∴＞0．故选：B．【点评】本题考查了锐角三角形的性质、锐角三角函数函数的单调性、对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．四个侧面都是直角三角形，其中△PBC的高PB===故其侧面积是S=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD==故选A【点评】本题考查三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是中档题．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．9【分析】由框图知，a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，由此运算规则即可求出（3⊗2）⊗4的值【解答】解：由图a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，故3⊗2==2，（3⊗2）⊗4=2⊗4==故选C．【点评】本题考查选择结构，解题的关键是由框图得出运算规则，由此运算规则求值，此类题型是框图这一部分的主要题型，也是这几年对框图这一部分考查的主要方式．8．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值X围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合将目标函数进行转化，利用直线的斜率结合分式函数的单调性即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的x＞0，y＞0，则u==，设k=，则u==，由图象可知当直线y=kx，经过点A（1，2）时，斜率k最大为k=2，经过点B（3，1）时，斜率k最小为k=，即．∴，，∴，即，即≤z≤，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值X围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）【分析】利用导数求解，由函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，可得f′（x）＞0恒成立，找出a，b，c的关系，再利用基本不等式求最值．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，∴f′（x）≥0在R上恒成立，即3ax2+2bx+c≥0恒成立，即△=4b2﹣12ac≤0 即b2≤3ac，∴==++2≥2+2≥4．故选C．【点评】考查利用导数即基本不等式的解决问题的能力，把问题转化为恒成立问题解决是本题的关键，应好好体会这种问题的转化思路．10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据椭圆的性质结合椭圆离心率，求出a，b满足的条件，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，∴，若方程表示焦点在y轴上且离心率小于，则，由e=＜得c＜a，平方得c2＜a2，即a2﹣b2＜a2，即b2＞a2，则b＞a或b a（舍），即，作出不等式组对应的平面区域如图：则F（2，2），E（4，4），则梯形ADEF的面积S==4，矩形的面积S=4×2=8，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率P=，故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据椭圆的性质求出a，b的条件，求出对应的面积，利用数形结合是解决本题的关键．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】求出M（a）的解析式，根据函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，利用图象法解答．【解答】解：∵函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），∴M（a）=，函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，由图可得：函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|有三个交点，故函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|有3个零点，故选：C【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．3【分析】先利用FM与渐近线垂直，写出直线FM的方程，从而求得点E的坐标，利用已知向量式，求得点M的坐标，最后由点M在渐近线上，代入得a、b、c间的等式，进而变换求出离心率【解答】解：设F（c，0），则c2=a2+b2∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x∴垂线FM的斜率为﹣∴直线FM的方程为y=﹣（x﹣c）令x=0，得点E的坐标（0，）设M（x，y），∵=2，∴（x﹣c，y）=2（﹣x，﹣y）∴x﹣c=﹣2x且y=﹣2y即x=，y=代入y=x得=，即2a2=b2，∴2a2=c2﹣a2，∴=3，∴该双曲线离心率为故选C【点评】本题考查了双曲线的几何性质，求双曲线离心率的方法，向量在解析几何中的应用13．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1【分析】由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P （0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），由得=，求出最小值．【解答】解：由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P（0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），﹣1≤y1＜1∴=（x1，y1﹣1），=（﹣x1，y1﹣1），．∴===2﹣，∴当y1=时的最小值是故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值X围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，故a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值X围．【解答】解：若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b是方程x=的两个实数根，即a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，当k时，，解得﹣1＜k≤﹣．当k＞﹣时，，无解．故k的取值X围是（﹣1，﹣]．故选A．【点评】本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．二.填空题15．（5分）（2014某某二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++= ﹣12 ．【分析】把++=两边平方，变形可得++=（），代入数据计算可得．【解答】解：∵++=，∴平方可得（++）2=2，∴+2（++）=0，∴++=（）=（4+8+12）=﹣12故答案为：﹣12【点评】本题考查平面向量数量积的运算，由++=两边平方是解决问题的关键，属中档题．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值X围为（﹣，1）．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值X围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：由z=kx﹣y得y=kx﹣z，要使目标函数z=kx﹣y仅在x=3，y=1时取得最大值，即此时直线y=kx﹣z的截距最小，则阴影部分区域在直线y=kx﹣z的上方，目标函数处在直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0之间，而直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0的斜率分别为﹣，和1，即目标函数的斜率k，满足﹣＜k＜1，故答案为：（﹣，1）．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=kx﹣y仅在点A（3，1）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．17．（5分）（2014某某一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值X围是．【分析】延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，利用等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的定义，证出|OM|=||PF1|﹣|PF2||．再利用圆锥曲线的统一定义，化简得||PF1|﹣|PF2||=|x0|，利用椭圆上点横坐标的X围结合已知数据即可算出|的取值X围．【解答】解：如图，延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，∵PM是∠F1PF2平分线，且=0可得F1M⊥MP，∴|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，∵O为F1F2中点，M为F1N中点∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2||设P点坐标为（x0，y0）∵在椭圆=1中，离心率e==由圆锥曲线的统一定义，得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0，∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0﹣a+ex0|=|2ex0|=|x0|∵P点在椭圆=1上，∴|x0|∈[0，4]，又∵x≠0，y≠0，可得|x0|∈（0，4），∴|OM|∈故答案为：【点评】本题求两点间的距离的取值X围，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．其中正确的是①④．（填上你认为正确结论的序号）【分析】根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，但是定义并没有指出函数最小值的情况．由此定义再结合绝对值的性质和正弦函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．【解答】解：对于①，根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，故①正确．对于②，函数f（x）=x﹣|x﹣2|=的最大值为2，但不存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜2恒成立，故②不符合“平顶型”函数的定义．对于③，函数f（x）=sinx﹣|sinx|=，但是不存在区间[a，b]，对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，所以f（x）不是“平顶型”函数，故③不正确．对于④当t≤时，函数，，当且仅当x∈[0，1]时，函数取得最大值为2，当x∉[0，1]且x∈[0，+∞）时，f（x）=＜2，符合“平顶型”函数的定义，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数的最值及其几何意义、带绝对值的函数和正弦函数的定义域值域等知识点，属于中档题．三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．【分析】（1）根据正弦定理，已知等式中的角转换成边，可得a、b、c的平方关系，再利用余弦定理求得cosC的值，可得角C的大小；（2）根据正弦定理算出c=R，再由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子，结合基本不等式找到边ab的X围，利用正弦定理的面积公式加以计算，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，∴根据正弦定理，得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，可得a2+b2﹣c2=ab∴cosC===，∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为（2）由（1）得c=2Rsin=R由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得2R2=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=（2﹣）ab，当且仅当a=b时等号成立∴ab≤=（）R2∴S△ABC=absinC≤（）R2=R2即△ABC面积的最大值为R2【点评】本题给出三角形的外接圆半径为R，在已知角的关系式情况下，求三角形面积最大值．着重考查了三角形的外接圆、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．20．（12分）（2014某某二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．【分析】（1）利用抽样的性质先求出a，再根据样本总个数得出b+c=500，从而根据分层抽样的特点确定应在C组抽取样本多少个；（2）列举（b，c）的所有可能性，找出满足b≥425，c≥68，情况，利用古典概型概率公式计算即可．【解答】解：（1）∵，∴a=700∵b+c=2000﹣670﹣80﹣700﹣50=500∴应在C组抽取样本个数是个．（2）∵b+c=500，b≥425，c≥68，∴（b，c）的可能性是（425，75），（426，74），（427，73），（428，72），（429，71），（430，70），（431，69），（432，68）若测试通过，则670+700+b≥2000×90%=1800∴b≥430∴（b，c）的可能有（430，70），（431，69），（432，68）∴通过测试的概率为．【点评】本题考查分层抽样的性质，古典概型概率公式的应用，属于中档题．21．（12分）（2015某某模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．【分析】（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，则体积可以求得．（2）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．（3）假设存在这样的点Q，使得AQ⊥BQ．解法一：通过假设的推断、计算可知以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．解法二：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0），使得=λ，解得λ=4，∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【解答】解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，∴S梯形BCED=×（4+1）×4=10∴V=S梯形BCED AC=×10×4=．即该几何体的体积V为．（3分）（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（5分）在△BAF中，∵AB=4，BF=AF==5．∴cos∠ABF==．即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（7分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）∴=（0，﹣4，3），=（﹣4，4，0），∴cos＜，＞=﹣∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（3）解法1：在DE上存在点Q，使得AQ⊥BQ．（8分）取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设．（10分）连接EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中∵∴Rt△ECO∽Rt△OBD∴∠EOC=∠OBD∵∠EOC+∠CEO=90°∴∠EOC+∠DOB=90°∴∠EOB=90°．（11分）∵OE==2，OD==∴OQ===2∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q∴BQ⊥CQ∵AC⊥面BCED，BQ⊂面CEDB∴BQ⊥AC∴BQ⊥面ACQ（13分）∵AQ⊂面ACQ∴BQ⊥AQ．（14分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），则=（﹣4，m，n），=（0，m﹣4，n）=（0，m，n﹣4），=（0，4﹣m，1﹣n）∵AQ⊥BQ∴m（m﹣4）+n2=0①∵点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0）使得=λ∴（0，m，n﹣4）=λ（0，4，m，1﹣n）⇒m=，n=②②代入①得（﹣4）（）2=0⇒λ2﹣8λ+16=0，解得λ=4∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．【分析】（1）由题意设椭圆C1的方程，（a＞b＞0），且，由此能求出椭圆C1的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能推导出抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【解答】解：（1）∵椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．∴椭圆焦点在x轴上，设椭圆C1的方程：，（a＞b＞0），且，解得a=2，b=，∴椭圆C1的方程为．（2）∵直线l与椭圆C1相切于第一象限内，∴直线l的斜率存在且小于零，设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题可知，△=0，∴m2=4k2+3，当即时上式等号成立，此时，直线l为设点D为抛物线C2上任意一点，则点D到直线l的距离为，利用二次函数的性质知，∴抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查当三角形面积最小时满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式的合理运用．23．（12分）（2014某某校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，某某数m的取值X围．【分析】（1）求导数，利用极值的定义，即可求a的值；（2）当0＜a≤2时，判断导数的符号，即可判断f（x）的单调性；（3）问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立．【解答】解：．（1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2﹣a=0，∴a=3．…（3分）（2）当0＜a≤2时，f′（x）=因为0＜a≤2，所以，而x＞0，即，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）（3）当a∈（1，2）时，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a，故问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立记，（1＜a＜2），则，…（10分）令M（a）=﹣alna﹣1+a，则M'（a）=﹣lna＜0所以M（a），所以M（a）＜M（1）=0…（12分）故g'（a）＜0，所以在a∈（1，2）上单调递减，所以即实数m的取值X围为（﹣∞，﹣log2e]．…（14分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．。
新高三数学测试题及答案
新高三数学测试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，则f(3)的值为：A. -1B. 1C. 9D. 11答案：B2. 已知等差数列{a_n}中，a_1 = 2，公差d = 3，求a_5的值。
A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A3. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)答案：A4. 函数y = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-1, 1]B. [-√2, √2]C. [0, 2]D. [1, 2]答案：B5. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B =：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}答案：B6. 已知向量a = (3, 4)，b = (-4, 3)，则向量a与向量b的夹角θ满足：A. cosθ = 1/7B. cosθ = -1/7C. cosθ = 7/√50D. cosθ = -7/√50答案：A7. 函数y = x^3 - 3x^2 + 4x的导数y'为：A. 3x^2 - 6x + 4B. x^2 - 3x + 4C. 3x^2 - 6x + 1D. x^2 - 3x + 2答案：A8. 已知复数z = 2 + 3i，求|z|的值。
A. √13B. √19C. √7D. √17答案：A9. 已知双曲线方程为x^2/9 - y^2/16 = 1，求其渐近线方程。
A. y = ±(4/3)xB. y = ±(3/4)xC. y = ±(16/9)xD. y = ±(9/16)x答案：A10. 已知等比数列{b_n}中，b_1 = 2，公比q = 2，求b_4的值。
A. 16B. 32C. 64D. 128答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = _______。
高三数学一轮复习周测试卷
1高三数学一轮复习 周测试卷一：选择题1．命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是（ ）A ．对任意x R ∈，都有21x <B ．不存在x R ∈，使得21x <C ．存在0x R ∈，使得201x ≥D ．存在0x R ∈，使得201x <2.设{}62|≤≤=x x A ，{}32|+≤≤=a x a x B ，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A 、[]3,1 B 、),3[+∞ C 、),1[+∞ D 、()3,1 3．已知函数()21f x +的定义域为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()f x 的定义域为（ ）A ． 31,24⎛⎫-⎪⎝⎭ B ． 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ． ()3,2-D ． ()3,3-4.函数()22x f x x =-在区间[]1,4-内的零点个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）A ．(sin )(co s )f f αβ>B ．(co s )(co s )f f αβ<C ．(co s )(co s )f f αβ>D ．(sin )(co s )f f αβ<6.如图，当直线:l y x t =+从虚线位置开始，沿图中箭头方向平行匀速移动时，正方形A B C O 位于直线l 下方（图中阴影部分）的面积记为S ，则S t 与的函数图象大致是（ ）7.若函数)(log)(3ax xx f a-=)1,0(≠>a a 在区间21(-，0)内单调递增，则a 取值范围是 ( )A.[41，1) B.[43，1) C.49(，)+∞D.(1，49)8.设定义在区间(),b b -上的函数()1lg12a x f x x+=-是奇函数(),,2a b R a ∈≠-且，则ba 的取值范围是（ ）2A．( B．(0, C．( D．(0,9．函数()3f x m x =-+有零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．0,2⎡⎢⎣⎦ C ．0,4⎡⎢⎣⎦ D ．0,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 10.设A 是自然数集的一个非空子集，对于k A ∈,如果2k A ∉，且A ,那么k 是A 的一个“酷元”，给定{}2lg (36)S x N y x =∈=-，设集合M 由集合S 中的两个元素构成，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个二：填空题11．已知函数()322f x x a x b x a =+++在1x =处取得极值10，则a b +取值的集合为 12.若函数3()12f x x x =-在(1,1)k k -+上不是．．单调函数，则实数k 的取值范围 为 ．13.已知函数()f x 对于任意x R ∈都有()()2f x f x =-，()1y f x =-的图象关于()1,0对称，且当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，则()2013f =＿＿. 14.已知函数21(1),0()2,0n x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩ , 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的 取值范围是15．若关于x 的方程43210x a x a x a x ++++=有实根，则实数a 的取值范围 三：解答题16.设p:实数x 满足22430x a x a -+<, ,命题:q 实数x 满足.|x-3|<1(Ⅰ)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(Ⅱ)若其中0a >且p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.17.已知数列{}n a 中，)(3,1*11N n a a a a n n n ∈+==+求数列{}n a 的通项公式n a ；318．已知函数()2in c o s c o s f x x x x ωωω=-，其中ω为使()f x 能在23x π=时取得最大值的最小正整数． （1）求ω的值；（2）设A B C 的三边长a 、b 、c 满足2b ac =，且边b 所对的角θ的取值集合为A ，当x A ∈时，求()f x 的值域．19．工厂生产某种产品，次品率P 与日产量x （万件）间的关系()()10623x c xP xc ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（c 为常数，且06c <<），已知每生产一件合格产品盈利3元，每出现一件次品亏损1.5元，（1）将日盈利额y （万元）表示为日产量x （万件）的函数； 18.为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注： 100⨯次品数次品率=%产品总数）20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -+=相切，直线:4l xm y =+与椭圆C 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求O A O B⋅的取值范围；421．已知函数()()()()()1212ln ,x f x a x x g x x e -=---=（a 为常数，e 为自然对数的底）（1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值； （3）若对任意的(]00,x e ∈，在(]0,e 上存在两个不同的()1,2i x i =使得()()0i f x g x =成立，求a的取值范围．。
江苏省镇江中学周末高三数学测试卷
数学周末测试卷（文科）11.5 （附答案）一、填空题： 1．函数5||4)(--=x x x f 的定义域为_____________11．[)()+∞⋃,55,42.已知全集U =R ，集合A ={x x |＜3}，B ={x x 3log |＞0}，则A C U B =____; {x |x ≤1}3．已知a ，b ，c ∈R，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”的否命题是________________;若a +b+c≠3，则222a b c ++<34.曲线x x x f ln )(=在点1=x 处的切线方程为_________; 1-=x y5．要得到函数)53sin(2π-=x y 的图象，只需将函数x y 3sin 2=的图象向______________;右平移15π个单位 6.已知a 、b 是实数，则“a>1，且b>1”是“a+b>2，且1>ab ”的____条件;充分而不必要条件 7．若20,AB BC AB ABC ⋅+=∆ 则是___________;直角三角形8． 已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)4(,2)1()4(,2)(x x f x x f x , 则(5)f = _____12________.9．已知31)4sin(=-πα，则)4cos(απ+的值等于_____;31-10.已知单位向量21,e e 的夹角为60 ，则=-212e e11.若方程()20f x -=在(,0)-∞内有解，则()y f x =的图象是______; D12．数列{}n a 中，前n 项和23n S n =--，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为n a ={)1(4)2(21=-≥-=n n n n a13．13.已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：________.14.对任意实数,x y ，定义运算x y ax by cxy *=++，其中,,a b c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。
23届高三周测卷必考 数学 Y(LGK)学生用卷1-10
23届高三周测卷必考数学 Y(LGK)学生用卷1-10一、选择题1.已知an+1=an-3，则数列{an}是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列解析：∵an+1-an=-30，由递减数列的定义知B选项正确.故选B.答案：B2.设an=1n+1+1n+2+1n+3++12n+1(nN)，则()A.an+1anB.an+1=anC.an+1解析：an+1-an=(1n+2+1n+3++12n+1+12n+2+12n+3)-(1n+1+1n+2++12n+1)=12n+3-12n+1=-12n+32n+2.∵nN，an+1-an0.故选C.答案：C3.1,0,1,0，的通项公式为()A.2n-1B.1+-1n2C.1--1n2D.n+-1n2解析：解法1：代入验证法.解法2：各项可变形为1+12，1-12，1+12，1-12，，偶数项为1-12，奇数项为1+12.故选C.答案：C4.已知数列{an}满足a1=0，an+1=an-33an+1(nN)，则a20等于()A.0B.-3C.3D.32解析：由a2=-3，a3=3，a4=0，a5=-3，可知此数列的最小正周期为3，a20=a36+2=a2=-3，故选B.答案：B5.已知数列{an}的通项an=n2n2+1，则0.98()A.是这个数列的项，且n=6B.不是这个数列的项C.是这个数列的项，且n=7D.是这个数列的项，且n=7解析：由n2n2+1=0.98，得0.98n2+0.98=n2，n2=49.n=7(n=-7舍去)，故选C.答案：C6.若数列{an}的通项公式为an=7(34)2n-2-3(34)n-1，则数列{an}的()A.最大项为a5，最小项为a6B.最大项为a6，最小项为a7C.最大项为a1，最小项为a6D.最大项为a7，最小项为a6解析：令t=(34)n-1，nN+，则t(0,1]，且(34)2n-2=[(34)n-1]2=t2.从而an=7t2-3t=7(t-314)2-928.函数f(t)=7t2-3t在(0，314]上是减函数，在[314，1]上是增函数，所以a1是最大项，故选C.答案：C7.若数列{an}的前n项和Sn=32an-3，那么这个数列的通项公式为()A.an=23n-1B.an=32nC.an=3n+3D.an=23n解析：①-②得anan-1=3.∵a1=S1=32a1-3，a1=6，an=23n.故选D.答案：D8.数列{an}中，an=(-1)n+1(4n-3)，其前n项和为Sn，则S22-S11等于()A.-85B.85C.-65D.65解析：S22=1-5+9-13+17-21+-85=-44，S11=1-5+9-13++33-37+41=21，S22-S11=-65.或S22-S11=a12+a13++a22=a12+(a13+a14)+(a15+a16)++(a21+a22)=-65.故选C.答案：C9.在数列{an}中，已知a1=1，a2=5，an+2=an+1-an，则a2007等于()A.-4B.-5C.4D.5解析：依次算出前几项为1,5,4，-1，-5，-4,1,5,4，，发现周期为6，则a2007=a3=4.故选C.答案：C10.数列{an}中，an=(23)n-1[(23)n-1-1]，则下列叙述正确的是()A.最大项为a1，最小项为a3B.最大项为a1，最小项不存在C.最大项不存在，最小项为a3D.最大项为a1，最小项为a4解析：令t=(23)n-1，则t=1，23，(23)2，且t(0,1]时，an=t(t-1)，an=t(t-1)=(t-12)2-14.故最大项为a1=0.当n=3时，t=(23)n-1=49，a3=-2081;当n=4时，t=(23)n-1=827，a4=-152729;又a3答案：A二、填空题11.已知数列{an}的通项公式an=则它的前8项依次为________.解析：将n=1,2,3，，8依次代入通项公式求出即可.答案：1,3，13，7，15，11，17，1512.已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+29n+3，则{an}中的最大项是第________项.解析：an=-2(n-294)2+8658.当n=7时，an最大.答案：713.若数列{an}的前n项和公式为Sn=log3(n+1)，则a5等于________.解析：a5=S5-S4=log3(5+1)-log3(4+1)=log365.答案：log36514.给出下列公式：①an=sinn②an=0，n为偶数，-1n，n为奇数;③an=(-1)n+1.1+-1n+12;④an=12(-1)n+1[1-(-1)n].其中是数列1,0，-1,0,1,0，-1,0，的通项公式的有________.(将所有正确公式的序号全填上)解析：用列举法可得.答案：①三、解答题15.求出数列1,1,2,2,3,3，的一个通项公式.解析：此数列化为1+12，2+02，3+12，4+02，5+12，6+02，，由分子的规律知，前项组成正自然数数列，后项组成数列1,0,1,0,1,0，.an=n+1--1n22，即an=14[2n+1-(-1)n](nN).也可用分段式表示为16.已知数列{an}的通项公式an=(-1)n12n+1，求a3，a10，a2n-1.解析：分别用3、10、2n-1去替换通项公式中的n，得a3=(-1)3123+1=-17，a10=(-1)101210+1=121，a2n-1=(-1)2n-1122n-1+1=-14n-1.17.在数列{an}中，已知a1=3，a7=15，且{an}的通项公式是关于项数n的一次函数.(1)求此数列的通项公式;(2)将此数列中的偶数项全部取出并按原来的先后顺序组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的通项公式.解析：(1)依题意可设通项公式为an=pn+q，得p+q=3，7p+q=15.解得p=2，q=1.{an}的通项公式为an=2n+1.(2)依题意bn=a2n=2(2n)+1=4n+1，{bn}的通项公式为bn=4n+1.18.已知an=9nn+110n(nN)，试问数列中有没有最大项?如果有，求出最大项，如果没有，说明理由.解析：∵an+1-an=(910)(n+1)(n+2)-(910)n(n+1)=(910)n+18-n9，当n7时，an+1-an当n=8时，an+1-an=0;当n9时，an+1-an0.a1故数列{an}存在最大项，最大项为a8=a9=99108.。
高三数学测试试卷(含答案)
高三数学测试试卷（含答案）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1. 已知集合{}1,2A=，{}(1)()0,Bx xx aaR=--=∈.若A B=，则a的值为（）A.2B.1C.1-D.2-2. 已知角α的终边经过点(3,4)P，则sinα=（）A.35 B.34 C.45 D.433. 函数2()log(1)f x x=-的定义域为（）A.(,1)-∞- B.(,1)-∞ C.(0,1) D.(1,)+∞4. 下列图象中，不可能成为函数()y f x=图象的是（）5.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为2y x=+，则一点O到直线l的距离是 A.12 B.22 D.26.tan20tan251tan20tan25+=-⋅o oo o（）A.331- D.17. 如图，某简单组合体由半个球和一个圆台组成，则该几何体的侧视图为（）【 8. 已知圆221:1C x y +=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ） A.内含 B.外离 C.相交 D.相切 9. 对任意的正实数a 及,m n Q ∈，下列运算正确的是（ ） A.()m nm na a+= B.()nm nm a a = C.()m n m n a a -= D.()m n mna a =10. 已知空间向量(2,1,5)a =-r ，(4,2,)b x =-r ()x R ∈.若a r ⊥b r，则x =（ ）A.10-B.2-C.2D.1011. 在平面直角坐标系xOy 中，设a R ∈.若不等式组1010y a x y x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≤≥，所表示平面区域的边界为三角形，则a 的取值范围为（ ）A.(1,)+∞B.(0,1)C.(,0)-∞D.(,1)(1,)-∞+∞U12. 已知数列{}*()n a n N ∈满足12,1,n n n a a a +⎧=⎨+⎩n n 为奇数为偶数，设n S 是数列{}n a 的前n 项和. 若520S =-，则1a 的值为（ ）A.239-B.2031-C.6-D.2-13. 在空间中，设,,a b c 为三条不同的直线，α为一平面.现有： 命题:p 若a α⊄，b α⊂，且a ∥b ，则a ∥α命题:q 若a α⊂，b α⊂，且c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥α.则下列判断正确的是（ ） A.p ，q 都是真命题 B.p ，q 都是假命题 C.p 是真命题，q 是假命题 D.p 是假命题，q 是真命题14. 设*n N ∈，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件15. 在△ABC 中，已知∠A ＝30°，AB ＝3，BC ＝2，则△ABC 的形状是（ ） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 【答案】：A16. 如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，P 是棱BC 上的动点.记直线A 1P 与平面ABC 所成的角为1θ，与直线BC 所成的角为2θ，则12,θθ的大小关系是（ ） A.12θθ= B.12θθ> C.12θθ< D.不能确定17. 已知平面向量,a b r r 满足3a =r ，12()b e e R λλ=+∈r u r u u r ，其中12,e e u r u u r 为不共线的单位向量.若对符合上述条件的任意向量,a b r r 恒有a b -r r ≥3，则12,e e u r u u r 夹角的最小值为（ ）A. 6πB. 3πC. 23πD. 56π【答案】：B18. 设函数2()(,)f x ax b a b R x =--∈.若对任意的正实数a 和实数b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x ≥m ，则实数m 的取值范围是（ ）A.(,0]-∞B.1(,]2-∞ C.(,1]-∞ D.(,2]-∞ 非选择题二、填空题（本题有四小题，每空3分，共15分）19. 已知函数()2sin()32f x x π=++，x R ∈，则()f x 的最小正周期是 ，而最小值为_____.20. 设函数()2()xf x a a R =+∈.若函数()f x 的图象过点(3,18)，则a 的值为_______.21. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>.若存在圆心在双曲线的一条渐近线上的圆，与另一条渐近线及x 轴均相切，则双曲线的离心率为 . 22. 将棱长为1的正方体ABCD EFGH -任意平移至11111111A B C D E FG H -，连接GH 1，CB 1.设M ，N 分别为GH 1，CB 1的中点，则MN 的长为 .三、解答题（本大题共3小题，共31分）23.（本题10分）如图，将数列{}*2()n n N ∈依次从左到右，从上到下排成三角形数阵，其中第n 行有n 个数. （Ⅰ）求第5行的第2个数； （Ⅱ）问数32在第几行第几个；（Ⅲ）记第i 行的第j 个数为,i j a （如3,2a表示第3行第2个数，即3,210a =）， 求1,12,23,34,45,56,6111111a a a a a a +++++的值.24. (本题10分)已知椭圆2214x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B.（Ⅰ）求△PAB 面积的最大值；（Ⅱ）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内 部，求斜率k 的取值范围.25.（本题11分）已知函数11()f x x a x b =---（,a b 为实常数且a b <）.（Ⅰ）当1a =，3b =时，（i ）设()(2)g x f x =+，判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由； （ii ）求证：函数()f x 在[2,3)上是增函数.一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1. 已知集合{}1,2A=，{}(1)()0,B x xx aa R=--=∈.若A B=，则a的值为（） A.2 B.1 C.1- D.2-【答案】A【解析】因为A B=，所以B∈2，可得2=a2. 已知角α的终边经过点(3,4)P，则sinα=（）A.35 B.34 C.45 D.43【答案】C【解析】：由三角函数定义可知54434sin22=+==ryα3. 函数2()log(1)f x x=-的定义域为（）A.(,1)-∞- B.(,1)-∞ C.(0,1) D.(1,)+∞【答案】D【解析】：由01>-x，可得1>x4. 下列图象中，不可能成为函数()y f x=图象的是（）【答案】：A【解析】：A选项中，当0=x时，有两个y与之对应，与定义矛盾5.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为2y x=+，则一点O到直线l的距离是 A.12 B.22 D.2【答案】：C【解析】：直线l的方程为02=+-yx，则点O到直线l的距离2)1(1222=-++-=d6. tan 20tan 251tan 20tan 25+=-⋅o oo o（ ）A.3B.3 C.1- D.1【答案】：D【解析】：tan 20tan 251tan 20tan 25+=-⋅o oo o145tan =o 7. 如图，某简单组合体由半个球和一个圆台组成，则该几何体的侧视图为（ ）【答案】：B【解析】：由三视图的概念易知答案选B 8. 已知圆221:1C x y +=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ） A.内含 B.外离 C.相交 D.相切 【答案】：B【解析】：两圆的圆心距21222145)04()03(r r C C +=>=-+-=，所以两圆外离9. 对任意的正实数a 及,m n Q ∈，下列运算正确的是（ ）A.()m n m n a a +=B.()nm n ma a = C.()m n m n a a -= D.()m n mn a a =【答案】：D【解析】：由指数运算性质，易知答案选D10. 已知空间向量(2,1,5)a =-r ，(4,2,)b x =-r ()x R ∈.若a r ⊥b r，则x =（ ）A.10-B.2-C.2D.10 【答案】：C【解析】：a r ⊥b r ，所以052)1()4(2=+⨯-+-⨯=⋅x b a ，解得2=x11. 在平面直角坐标系xOy 中，设a R ∈.若不等式组1010y a x y x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≤≥，所表示平面区域的边界为三角形，则a 的取值范围为（ ）A.(1,)+∞B.(0,1)C.(,0)-∞D.(,1)(1,)-∞+∞U 【答案】：A【解析】：化简01≤+-y x ，得到1+≥x y ，即表示直线1+=x y 的上面部分；化简01≥-+y x ，得到x y -≥1，即表示直线x y -=1的上面部分。
数学周周测试卷高三
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各式中，不是基本初等函数的是（）A. y = x^2B. y = log2xC. y = sinxD. y = 1/x2. 函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(1, 2)，则a、b、c的值分别为（）A. a = 1, b = -2, c = 2B. a = 1, b = 2, c = -2C. a = -1, b = -2, c = 2D. a = -1, b = 2, c = -23. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则数列的前10项之和S10为（）A. 285B. 286C. 287D. 2884. 若向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a和向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/55. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，d = 2，则S10为（）A. 90B. 100C. 110D. 1206. 函数y = e^x在区间(0, +∞)上的单调性为（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增7. 已知复数z = 2 + 3i，其共轭复数为（）A. 2 - 3iB. -2 + 3iC. -2 - 3iD. 2 + 3i8. 若不等式x^2 - 5x + 6 < 0的解集为{x | 2 < x < 3}，则不等式x^2 - 5x + 6 > 0的解集为（）A. {x | x < 2 或 x > 3}B. {x | x > 2 或 x < 3}C. {x | x < 2 且 x > 3}D. {x | x > 2 且 x < 3}9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 - 1C. 3x^2 + 3D. 3x^2 + 110. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则角C的度数为（）A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°二、填空题（每题5分，共50分）11. 函数y = (x - 1)^2 + 2的对称轴为__________。
江苏省楚水实验学校2015届高三数学周测试卷二(10.11) Word版含答案
楚水实验学校2015届高三数学周测试卷二（10.11）一、填空题 (本大题共14小题，共70分．请将答案填写在答题纸相应的位置)1．已知集合{},0M a =，{}2230,N x x x x =-<∈Z ，若MN ≠∅，则a = ▲ ．2．12coslog 12sinlog 22ππ+的值为 ▲ .3．设02πθ<<，()sin2,cos a θθ=，()cos ,1b θ=，若a ∥b ，则tan θ= ▲ .4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为12，则项数n 为 ▲ ．5．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3，则2a ＋b ＝ ▲ ．6．函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个 单位后，得到的图像解析式为 ▲ ．7．由命题“存在x ∈R ，使x 2+2x +m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是（a ，+∞），则实数a 的值是 ▲ ．8．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，则数列{b n }的前n 项和的最小值为 ▲ .9．已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为 ▲ ． 10． “十一”期间，我市各家重点公园举行了免费游园活动，板桥竹石园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分竹石园内的人数是 ▲ ．11．已知0πy x <<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -= ▲12. 函数f (x 2x t +-在区间x ∈ [﹣1，2]上最大值为4，则实数13. 的弧的中点为M ，动点D C ,分别在线段OB OA ,上.若2OA =，120AOB ︒∠=，则⋅的取值范围是__ ▲ _．14．已知数列{}n a 满足：n n n a a a a +==+211,1，用[x]表示不超过x 的最大整数，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋯++++111111201421a a a 的值等于 ▲ ．二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸．．．指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15. （本小题满分14分）已知平面向量a ＝(1，2sin θ)，b ＝(5cos θ，3)．（1）若a ∥b ，求sin2θ的值； （2）若a ⊥b ，求tan(θ＋π4)的值．16.（本小题满分14分）如图，在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 长为3，且cos 8B =，1cos 4ADC ∠=-． （Ⅰ）求sin BAD ∠的值； （Ⅱ）求AC 边的长．17．（本小题满分14分）已知{a n }是等差数列，其前n 项的和为S n ， {b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）记c n ＝a n b n ，n ∈N*，求数列{c n }的前n 项和．ADBC第16题18．（本小题满分16分）如图，市自来水公司要在昭阳路两侧排水管，昭阳路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在我校南北校区门前矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通．已知AB =60m ，BC =80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设为锐角）αα(=∠BFE ．（Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式；（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．19（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为S n ，已知11a =，且11()(1)n n n n S a S a λ+++=+对一切*n ∈N 都成立．（1）若λ = 1，求数列{}n a 的通项公式；l 2l 1（2）求λ的值，使数列{}n a 是等差数列．20．（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （1）求函数f (x )的单调区间；（2）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值； （3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．楚水实验学校2015届高三数学周测试卷二（10.11）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．_____________ 2．_____________ 3．_____________ 4．_____________ 5．_____________ 6．_____________ 7．_____________ 8．_____________班级________________ 姓名____________________ 考试号__________________---------------------------------------密---------------------------------------封----------------------------线---------------------------------9．_____________ 10．____________ 11．_____________12．____________ 13．____________ 14．____________二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15161720楚水实验学校2015届高三数学周测试卷二答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．1 2．-2 3．124．168 5．—36．)62sin(π-=x y 7．1 8．-225 9．910． 4039 11．π312．2或13．[2,3] 14．2二、解答题15.（1）因为a ∥b ，所以1×3－2sin θ×5cos θ＝0， …………………3分即5sin2θ－3＝0，所以sin2θ＝35． …………………6分（2）因为a ⊥b ，所以1×5cos θ＋2sin θ×3＝0． …………………8分所以tan θ＝－56． …………………10分所以tan(θ＋π4)＝tan θ＋tanπ41－tan θtanπ4＝111． …………………14分16．(本题满分14分)解:（Ⅰ）因为cos B =，所以sin B =…………2分 又1cos 4ADC ∠=-,所以sin 4ADC ∠= …………… 4分所以sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠1()4=-=………………………7分 （Ⅱ）在ABD ∆中,由正弦定理,得sin sin AD BDB BAD =∠,= 解得2BD = ……………10分故2DC =,从而在ADC ∆中,由余弦定理,得2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=22132232()164+-⨯⨯⨯-=,所以4AC = ……………………14分 17、【解】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d ．………………………… 3分由条件a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30，得方程组⎩⎨⎧2＋3d ＋2q 3＝21，8＋6d ＋2q 3＝30，解得⎩⎨⎧d ＝1，q ＝2．所以a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，n ∈N*． …………………… 7分 （2）由题意知，c n ＝(n ＋1)×2n ．记T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ．则T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n ×2n－1＋(n ＋1)×2n ，2 T n ＝ 2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ＋ (n ＋1)2n ＋1， 所以－T n ＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n ＋1)×2n ＋1， ………………… 11分即T n ＝n ·2n ＋1，n ∈N*． ………………… 14分18．（本小题满分16分）19.l 2l 120，解：（1）f ′(x )＝3x 2－2tx ＝x (3x －2t )＞0，因为t ＞0，所以当x ＞2t 3或x ＜0时，f ′(x )＞0，所以(－∞，0)和(2t 3，＋∞)为函数f (x )的单调增区间； 当0＜x ＜2t 3时，f ′(x )＜0，所以(0，2t 3)为函数f (x )的单调减区间． ………………4分（2）因为k ＝3x 02－2tx 0≥－12恒成立，所以2t ≤3x 0＋12x 0恒成立， …………………6分 因为x 0∈（0，1]，所以3x 0＋12x 0≥23x 0×12x 0＝6， 即3x 0＋12x 0≥6，当且仅当x 0＝66时取等号． 所以2t ≤6，即t 的最大值为62． …………………8分 （3）由（1）可得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2t 3处取得极小值－4t 327． 因为平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点， 所以直线l 的方程为y ＝－4t 327． …………………10分 令f (x )＝－4t 327，所以x 2(x －t )＝－4t 327，解得x ＝2t 3或x ＝－t 3． 所以C （2t 3，－4t 327），D （－t 3，－4t 327）． …………………12分 因为A （0，0），B （t ，0）．易知四边形ABCD 为平行四边形．AD ＝(－t 3)2＋(－4t 327)2，且AD ＝AB ＝t ， 所以(－t 3)2＋(－4t 327)2＝t ，解得：t ＝3482． …………………16分。
江苏省南京重点中学2022-2023学年高三下学期4月8日周测数学试题及参考答案
2022—2023学年度第二学期高三周测试数 学 试 卷注意事项： 2023.04.08 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数11iz =-（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.函数()1sin 2f x x x =-的图象可能是 A ．B ．C ．D ．3.已知函数()sin sin 2f x x x =+在()0,a 上有4个零点，则实数a 的最大值为( ) A ．4π3B ．2πC ．8π3D ．3π4.已知函数()2ln ,021,0x x f x x x x ⎧>=⎨+-≤⎩，若方程()1f x ax =-有且仅有三个实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．01a <<B ．02a <<C ．1a >D ．2a >5.2a =-是直线230ax y a ++=和5(3)70x a y a +-+-=平行的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.如图，已知等腰梯形ABCD 中，24,5,AB DC AD BC E ====是DC 的中点，P 是线段BC上的动点，则的最小值是（ ）A. 45-B. 0C. 95-D. 17.已知圆柱的高和底面半径均为4，AB 为上底面圆周的直径，点P 是上底面圆周上的一点且，AP BP =，PC 是圆柱的一条母线，则点P 到平面ABC 的距离为（ ） A ．4B ．23C ．3D ．228.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，点B 为双曲线虚轴的上端点，A为双曲线的左顶点，若2ABF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．152+ 二、多选题9.已知实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=，则下列说法正确的是（ ） A ．yx 的最大值为43B ．yx的最小值为0 C ．22x y +的最大值为51+D ．x y ＋的最大值为32+10.将函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上所有的点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为πB ．()g x 图像的一个对称中心为7,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()g x 的单调递减区间为()5,36k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z D ．()g x 的图像与函数sin 26y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图像重合 11.下列说法错误的是（ ）A ．“1a =-”是“直线30x ay -+=与直线10ax y -+=互相垂直”的充分必要条件B ．直线cos 30x y α-+=的倾斜角θ的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．若圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=有且只有一个公共点，则34a =D ．若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则实数b 的取值范围是122,3⎡⎤-⎣⎦12.已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 为非奇非偶函数 C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭三、填空题 13.已知均为单位向量，且夹角为3π，若向量c 满足，则||c 的最大值为_________．14.命题“x ∃∈R ，()()224210a x a x -++-≥”为假命题，则实数a 的取值范围为______.15.设02πθ<<，且333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++，则实数m 的取值范围是___________.16.已知我国某省二、三、四线城市数量之比为1:3:6．2022年3月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为0.8万元/平方米，方差为11．其中三、四线城市的房产均价分别为1万元/平方米，0.5万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10,8，则二线城市房产均价为_________万元/平方米，二线城市房价的方差为________ 四、解答题17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．已知222cos ()2sin sin 12A B A B --= （1）求角C 的大小； （2）若1c =，求ABC S ∆的最大值．18.已知()|1||21|f x ax x =++-.（1）当1a =时，求不等式()21f x x <+的解集；（2）证明：当()0,1a ∈，()0,x ∈+∞时，()1f x >恒成立.19.已知等差数列{}n a 满足12a =，248,,a a a 成等比数列，且公差0d >，数列{}n a 的前n 项和为n S . (1)求n S ；(2)若数列{}n b 满足12b =，且()()()11223123(1)26n n n b b b b n b b n ++++++++=-⋅+，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n ∈N ，都有n n T S λ≥，求λ的取值范围.20.如图1，在平行四边形ABCD 中，2AB =，3AD =，30BAD ∠=，以对角线BD 为折痕把ABD △折起，使点A 到达图2所示点P 的位置，且7PC =. (1)求证：PD BC ⊥；(2)若点E 在线段PC 上，且二面角E BD C --的大小为45，求三棱锥E BCD -的体积.21.已知椭圆2222:1x y E a b +=（a ＞b＞0）的离心率22e =，四个顶点组成的菱形面积为82，O为坐标原点． (1)求椭圆E 的方程；(2)过228:3O x y +=上任意点P 做O 的切线l 与椭圆E 交于点M ，N ，求证为定值．参考答案1-5 AACBA 6-8 CDD 9 ABD 10. ABC 11.AC 12. BC13. 14. 625a a ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭ 15.14⎫⎪⎣⎭ 16. 2 29.917.解：（1）因为22cos ()2sin sin 12A B A B --=所以1cos()2sin sin 1A B A B +--=-，即1(cos cos sin sin )2sin sin 1A B A B A B ++-=，整理得：1cos()12A B ++=-，即cos()2A B +=-，即cos()cos C C π-=-=，所以cos C =，因为(0,)C π∈，故4C π=． （2）由（1）可知，4C π=，由余弦定理和基本不等式可得，22222c a b ab =+-， 即1(22)ab -，即12222ab =-，当且仅当a b== 所以121sin 244ABC S abC ∆+==， 即()ABC max S ∆=18.1a =时,()|1||21|21f x x x x x <⇔++-<+111221x x x x ≤-⎧⇔⎨--+-<+⎩或11211221x x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-<+⎩或1212121x x x x ⎧≥⎪⎨⎪++-<+⎩ 1132x ⇔<<或111123x x ≤<⇔<<所以,原不等式的解集为1|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（2）由题意得：1(2)2,02()1211(2),2a x x f x ax x a x x ⎧-+<≤⎪⎪=++-=⎨⎪+>⎪⎩()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数,在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数.min 1()122af x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,min ()()112a f x f x ≥=+>成立19.答案：(1)(1)n S n n =+. (2)1λ≤.解析：(1)因为数列{}n a 为等差数列，12a =，248,,a a a 成等比数列， 所以2(2)(27)(23)d d d ++=+， 因为0d >，所以2d =， 所以(1)22(1)2n n n S n n n -=+⨯=+. (2)因为()()()11223123(1)26n n n b b b b n b b n ++++++++=-⋅+， 所以()()()122312(1)3(2)26n n n b b b b n b b n -+++++-+=-⋅+，两式相减得()132n n n n b b n ++=⋅，所以132n n n b b ++=⋅. 所以()()11122(1)20n n n n n b b b ++-=--==--=，所以2n n b =，所以()12122212n n n T +-==--.因为对任意的*n ∈N ，都有n n T S λ≥， 所以122(1)n n n λ+-≥+，所以122(1)n n n λ+-≥+.令()1*22()(1)n f n n n n +-=∈+N ， 则2112222(2)24(1)()(1)(2)(1)(1)(2)n n n n f n f n n n n n n n n +++---⋅++-=-=+++++，所以当2n ≥时，122()(1)n f n n n +-=+递增，而(1)(2)1f f ==，所以min ()1f n =， 所以1λ≤. 20（1）证明：在ABD △中，由余弦定理可得2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠ 34322312=+-⨯⨯⨯=， 所以，222AD BD AB +=，AD BD ∴⊥，又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以，BC BD ⊥，在PCD 中，7PC =，3PD =，2CD =，222PD CD PC ∴+=，则PD CD ⊥， 因为PD BD ⊥，BD CD D ⋂=，PD ∴⊥平面BCD ， BC ⊂平面BCD ，PD BC ∴⊥.（2）解：因为BC BD ⊥，PD ⊥平面BCD ，以点B 为坐标原点，、、的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B 、()3,0,0C 、()0,1,0D 、()0,1,3P ，设，其中01λ≤≤，，设平面BDE 的法向量为，，则，取1x λ=-，可得，易知平面BCD 的一个法向量为，由已知可得，因为01λ≤≤，解得12λ=，所以，E 为PC 的中点，因此，111111133223624E BCD P BCD BCD V V S PD --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=△.21.（1）由题意得282ab =，22c e a ==，222a b c =+ 可得22a =，b ＝2， 所以椭圆的标准方程为22184x y +=．（2）当切线l 的斜率不存在时，其方程为263x =±， 当263x =时，将263x =代入椭圆方程22184x y +=得263y =±， ∴2626,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2626,33N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，26,03P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ∴ 当263x =-时，同理可得， 当切线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ， 因为l 与O 相切，所以22631k m =+，所以22388m k =+ 由22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222124280k x kmx m +++-=，∴122412km x x k +=-+，21222812m x x k -=+ ()()()2224412280km k m ∆=-+->，∴ 22840k m -+>，∴ 2m >或2m <- ∴()()2212121k x x km x x m =++++()2222222228438810121212m km m k k km m k k k ---⎛⎫=++-+== ⎪+++⎝⎭∴综上，PM PN 为定值83-．。
高三数学周测试卷
1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 3/5C. -πD. 0.333...2. 已知函数f(x) = x² - 2x + 1，那么f(2)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，那么3a+5b+c的值为（）A. 15B. 18C. 21D. 244. 已知直线l：2x-3y+1=0，点P(1,2)，那么点P到直线l的距离是（）A. √5B. 1C. 2D. √25. 若复数z满足|z+1|=2，那么复数z的取值范围是（）A. z∈(-3,-1]∪[-1,1]B. z∈(-3,-1)∪(-1,1)C. z∈(-3,-1)∪[1,3]D. z∈(-3,-1]∪[1,3]6. 下列函数中，单调递减的是（）A. y = x²B. y = 2xC. y = √xD. y = 3x - 17. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1=2，a3=32，那么q的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 168. 若log₂x + log₄x = 3，那么x的值为（）A. 8B. 16C. 32D. 649. 已知三角形的三边长分别为3、4、5，那么这个三角形的面积是（）A. 6B. 8C. 10D. 1210. 若函数f(x) = ax² + bx + c在x=1时取得最小值，那么a、b、c之间的关系是（）A. a > 0，b² - 4ac < 0B. a > 0，b² - 4ac = 0C. a < 0，b² - 4ac >0 D. a < 0，b² - 4ac = 011. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，那么数列的第10项是______。
12. 已知函数f(x) = (x-1)/(x+1)，那么f(-1)的值为______。
高三每周一测试卷数学答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 3C. -5D. 0.25答案：A2. 函数f(x) = 2x - 1在定义域内的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10等于（）A. 19B. 21C. 23D. 25答案：B4. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 对于任意实数x，都有x^3 ≥ 0C. 对于任意实数x，都有x^4 ≥ 0D. 对于任意实数x，都有x^5 ≥ 0答案：A5. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(2)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A6. 在△ABC中，a=3，b=4，c=5，则cosA的值为（）A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/5答案：A7. 下列各对数式中，正确的是（）A. log2(8) = 3B. log2(16) = 2C. log2(4) = 3D. log2(2) = 1答案：A8. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. 4D. 9答案：B9. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √25D. √36答案：C10. 已知函数f(x) = |x - 1|，则f(0)的值为（）A. 1B. 0C. -1D. 2答案：B二、填空题（每题5分，共50分）11. 若等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则第n项an = ________。
答案：an = 3n - 112. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4在x=2时取得最大值，最大值为 ________。
答案：最大值为013. 已知等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则第5项a5 = ________。
答案：a5 = 3214. 在△ABC中，a=5，b=6，c=7，则sinA的值为 ________。
高中高三数学上学期周测试卷 文(1.28,含解析)-人教版高三全册数学试题
2014-2015学年某某省某某高中高三（上）周测数学试卷（文科）（1.28）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（）A．∃x≤0，x3≤0 B．∀x＞0，x3≤0 C．∃x＞0，x3≤0 D．∀x＜0，x3≤0 2．已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值X围是（）A．[2，+∞）B．D．（﹣∞，0]3．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．34．已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=（）A．100 B．200 C．360 D．4005．（5分）为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．2，4，6，8，10C．1，2，3，4，5 D．7，17，27，37，476．（5分）（2015某某一模）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．7．如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m 的最大值是（）A．0 B．1 C．3 D．48．已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的最大值为（）A．17 B．18 C．20 D．219．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣3）=f（5）=1，f'（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，5）C．（0，5）D．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）10．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B．C．D．211．（5分）（2015某某二模）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=（）A．0 B．2014 C．4028 D．403112．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值X围为（）A．[3，6] B．[4，6] C．D．[2，4]二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，若a4=，a6=6，则a10=．14．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是．15．（5分）（2015某某二模）已知体积为的正三棱锥V﹣ABC的外接球的球心为O，满足，则该三棱锥外接球的体积为．16．（5分）（2015某某模拟）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是．三、解答题：本大题共6道题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015某某一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．（12分）（2014秋禅城区校级期中）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数 2 1 0 ﹣160岁至79岁的人数120 133 32 1580岁及以上的人数9 18 14 9其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老龄人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．19．（12分）（2016凉山州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．20．（12分）（2015某某一模）已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．21．（12分）（2014秋涪城区校级月考）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数），a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）恰有一个零点，证明：a a=e a﹣1；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，某某数a的取值集合．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（2016某某一模）如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015某某一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t 为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015某某一模）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，某某数m的取值X围．2014-2015学年某某省某某高中高三（上）周测数学试卷（文科）（1.28）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（）A．∃x≤0，x3≤0 B．∀x＞0，x3≤0 C．∃x＞0，x3≤0 D．∀x＜0，x3≤0 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是∃x＞0，x3≤0．故选：C．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2．已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值X围是（）A．[2，+∞）B．D．（﹣∞，0]【分析】解出集合M，根据子集的概念即可求得实数a的取值X围．【解答】解：M={x|x＜2}；∵M⊆N；∴a≥2；∴a的取值X围是[2，+∞）．故选A．【点评】考查子集的概念，描述法表示集合，可借助数轴求解．3．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0求得m的值．【解答】解：∵为纯虚数，∴m+3=0，即m=﹣3．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=（）A．100 B．200 C．360 D．400【分析】根据抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离，从而求出b，进而求ab 的值．【解答】解：根据抛物线是定义，准线方程为：y=﹣5，|PF|=b+5=25，∴b=20，又点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，∴a2=20×20，∴a=±20，∴|ab|=400，故选D．【点评】本题主要考查抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．5．（5分）为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．2，4，6，8，10C．1，2，3，4，5 D．7，17，27，37，47【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔进行判断即可．【解答】解：要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，则样本间隔为50÷5=10，则只有7，17，27，37，47满足条件．，故选：D．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔是解决本题的关键．比较基础．6．（5分）（2015某某一模）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．【分析】由三视图的作法规则，长对正，宽相等，对四个选项进行比对，找出错误选项．【解答】解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项A中的视图满足三视图的作法规则；B中的视图满足三视图的作法规则；C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D中的视图满足三视图的作法规则；故选C【点评】本题考查三视图的作法，解题的关键是掌握住三视图的作法规则即长对正，宽相等，高平齐，利用这些规则即可选出正确选项．7．如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m 的最大值是（）A．0 B．1 C．3 D．4【分析】由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：h（x）=的值，数形结合求出h（x）的最小值，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：h（x）=的值，在同一坐标系，画出f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4的图象如下图所示：由图可知：当x=﹣1时，h（x）取最小值3，又∵h（x）≥m恒成立，∴m的最大值是3，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，分段函数的应用，函数恒成立，难度中档．8．已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的最大值为（）A．17 B．18 C．20 D．21【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：设z=x2+y2，则z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，则OC的距离最大，由，解得，即C（3，3），则z=x2+y2=9+9=18，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合数形结合是解决本题的关键．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣3）=f（5）=1，f'（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，5）C．（0，5）D．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）【分析】由图象可以判断出f（x）的单调性情况，由f（﹣3）与f（5）的取值，即可得出答案．【解答】解：由f′（x）的图象可得，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，又由题意可得，f（﹣3）=f（5）=1，∴f（x）＜1的解集是（﹣3，5），故选：B．【点评】本题考查导函数图象与函数单调性的关系，考查学生灵活转化题目条件的能力，属于中档题．10．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B．C．D．2【分析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2πx+φ）的周期T==2，则BC==1，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知： =2， =∴=2=2||2=2×12=2．故选：D．【点评】本题主要考查向量的数量积运算，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．11．（5分）（2015某某二模）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=（）A．0 B．2014 C．4028 D．4031【分析】函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f （x1）+f（x2）=2，再利用倒序相加，即可得到结论【解答】解：∵f（x）=x3+sinx+1，∴f′（x）=3x2﹣cosx，f''（x）=6x+sinx又∵f''（0）=0而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+1+﹣x3﹣sinx+1=2，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，∴f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=2×2015+f（0）=4030+1=4031．故选：D．【点评】本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f （x1）+f（x2）=2，是解题的关键．12．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值X围为（）A．[3，6] B．[4，6] C．D．[2，4]【分析】通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b ﹣1）2+4，0≤b≤2，求出X围即可．【解答】解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为： =1，则y=3﹣x，设N（a，3﹣a），M（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9，=2（b2﹣2b+3）=2（b﹣1）2+4，0≤b≤2，∴当b=0或b=2时有最大值6；当b=1时有最小值4．∴的取值X围为[4，6]故选B．【点评】熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积的坐标运算是解题的关键．二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，若a4=，a6=6，则a10= 96 ．【分析】由已知求出等比数列的公比的平方，再代入等比数列的通项公式求得a10．【解答】解：在等比数列{a n}中，∵a4=，a6=6，∴，∴．故答案为：96．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．14．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是50 ．【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故答案为：50【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．15．（5分）（2015某某二模）已知体积为的正三棱锥V﹣ABC的外接球的球心为O，满足，则该三棱锥外接球的体积为．【分析】由题意球的三角形ABC的位置，以及形状，利用球的体积，求出球的半径，求出棱锥的底面边长，利用棱锥的体积求出该三棱锥外接球的体积即可．【解答】解：正三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O满足，说明三角形ABC在球O的大圆上，并且为正三角形，设球的半径为：R，棱锥的底面正三角形ABC的高为：底面三角形ABC的边长为： R正三棱锥的体积为：××（R）2×R=解得R3=4，则该三棱锥外接球的体积为=．故答案为：．【点评】本题考查球的内接体问题，球的体积，棱锥的体积，考查空间想象能力，转化思想，计算能力，是中档题．16．（5分）（2015某某模拟）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．【分析】根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．【解答】解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；对于③，当x＜0时，由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；对于④，由上面的分析知，当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④【点评】本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共6道题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015某某一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出角A的度数，将2bsinA=a利用正弦定理化简求出sinB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）由A=B，利用等角对等边得到AC=BC，设AC=BC=x，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC与BC的长，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（Ⅰ）由a2﹣b2﹣c2+bc=0得：a2﹣b2﹣c2=﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理得：cosA==，∵A为三角形内角，∴A=，由2bsinA=a，利用正弦定理化简得：2sinBsinA=sinA，即sinB=，则B=；（Ⅱ）由A=B，得到AC=BC=x，可得C=，由余弦定理得AM2=x2+﹣2x（﹣）=14，解得：x=2，则S△ABC=ACBCsinC=×2×2×=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）（2014秋禅城区校级期中）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数 2 1 0 ﹣160岁至79岁的人数120 133 32 1580岁及以上的人数9 18 14 9其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老龄人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．【分析】（Ⅰ）求出该小区80岁以下的老龄人数，即可求解老龄人生活能够自理的概率．（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．写出5人中抽取3人的基本事件总数，被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的个数，即可求解健康指数不大于0的概率．【解答】解：（Ⅰ）解：该社区80岁以下的老龄人共有120+133+32+15=300人，…（1分）其中生活能够自理的人有120+133+32=285人，…（2分）记“随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理”为事件A，则P（A）==．…（4分）（Ⅱ）根据表中数据可知，社区健康指数大于0的老龄人共有280人，不大于0的老龄人共有70人，…（5分）所以，按照分层抽样，被抽取的5位老龄人中，有位为健康指数大于0的，依次记为：a，b，c，d，有一位健康指数不大于0的，记为e．…（7分）从这5人中抽取3人的基本事件有：（a，b，c）（a，b，d）（a，b，e）（a，c，d）（a，c，e）（a，d，e）（b，c，d）（b，c，e）（b，d，e）（c，d，e）共10种，…（9分）其中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的事件有：（a，b，e）（a，c，e）（a，d，e）（b，c，e）（b，d，e）（c，d，e）共6种，…（10分）记“被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0”为事件B，则P（B）=…（12分）【点评】本题考查分层抽样，古典概型概率公式的应用，基本知识的考查．19．（12分）（2016凉山州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．【分析】（1）连结AC交BQ于N，连结MN，只要证明MN∥PA，利用线面平行的判定定理可证；（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离．【解答】解：（1）连结AC交BQ于N，连结MN，因为∠ADC=90°，Q为AD的中点，所以N 为AC的中点．…（2分）当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（5分）（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以V P﹣BMQ=V A﹣BMQ=V M﹣ABQ，取CD的中点K，连结MK，所以MK∥PD，，…（7分）又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，，…（10分）所以V P﹣BMQ=V A﹣BMQ=V M﹣ABQ=.，…（11分）则点P到平面BMQ的距离d=…（12分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离．20．（12分）（2015某某一模）已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．【分析】（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2014秋涪城区校级月考）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数），a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）恰有一个零点，证明：a a=e a﹣1；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，某某数a的取值集合．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，判断函数的单调性，利用函数的最小值证明a a=e a﹣1；（Ⅱ）利用（Ⅰ）函数的最小值，结合f（x）≥0对任意x∈R恒成立，构造函数，求出新函数的最小值利用恒成立，某某数a的取值集合．【解答】（Ⅰ）证明：由f（x）=e x﹣ax﹣1，得f'（x）=e x﹣a．…（1分）由f'（x）＞0，即e x﹣a＞0，解得x＞lna，同理由f'（x）＜0解得x＜lna，∴f（x）在（﹣∞，lna）上是减函数，在（lna，+∞）上是增函数，于是f（x）在x=lna取得最小值．又∵函数f（x）恰有一个零点，则f（x）min=f（lna）=0，…（4分）即e lna﹣alna﹣1=0．…（5分）化简得：a﹣alna﹣1=0，即alna=a﹣1，于是lna a=a﹣1，∴a a=e a﹣1．…（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（x）在x=lna取得最小值f（lna），由题意得f（lna）≥0，即a﹣alna﹣1≥0，…（8分）令h（a）=a﹣alna﹣1，则h'（a）=﹣lna，由h'（a）＞0可得0＜a＜1，由h'（a）＜0可得a＞1．∴h（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，即h（a）max=h（1）=0，∴当0＜a＜1或a＞1时，h（a）＜0，∴要使得f（x）≥0对任意x∈R恒成立，a=1．∴a的取值集合为{1}…（13分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查逻辑推理能力，构造新函数是解题本题的关键．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（2016某某一模）如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．【分析】（Ⅰ）由已知PG=PD，得到∠PDG=∠PGD，由切割弦定理得到∠PDA=∠DBA，进一步得到∠EGA=∠DBA，从而∠PFA=∠BDA．最后可得∠BDA=90°，说明AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC，DC．由AB是直径得到∠BDA=∠ACB=90°，然后由Rt△BDA≌Rt△ACB，得到∠DAB=∠CBA．再由∠DCB=∠DAB可推得DC∥AB．进一步得到ED为直径，则ED长可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA，又∵∠EGA=∠PGD，∴∠EGA=∠DBA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，从而∠PFA=∠BDA．又AF⊥EP，∴∠PFA=90°，则∠BDA=90°，故AB为圆的直径．（Ⅱ）解：连接BC，DC．由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°．在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB=∠CBA．又∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，故DC∥AB．∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角，∴ED为直径，又由（1）知AB为圆的直径，∴DE=AB=5．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的切割线定理的应用，是中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015某某一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t 为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．【点评】本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015某某一模）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，某某数m的取值X围．【分析】（Ⅰ）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f（x）在x=﹣1处取得最大值m﹣2，故有m﹣2≥2，由此求得m的X围．【解答】解：（Ⅰ）当m=5时，，由f（x）＞2可得①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣1，解②求得﹣1≤x＜0，解③求得x∈∅，易得不等式即4﹣3x＞2 解集为．（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1取得最小值2，因为在x=﹣1处取得最大值m﹣2，所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，求得m≥4．．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解；还考查了函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。
高三函数复习试题及答案(周测)
高三数学第二次周测试卷一、 选择题（每题7分，共70分）1.函数2()lg(31)f x x =+的定义域是A .1(,)3-+∞B . 1(,1)3-C . 11(,)33-D . 1(,)3-∞- 解：由13101301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故选B . 2、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A .3 ,y x x R =-∈B . sin ,y x x R =∈C . ,y x x R =∈D . x 1() ,2y x R =∈ 解：B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数，是减函数;故选A .3.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =x eD.()ln(1)f x x =+ 答案 A 、解析 依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减，故由选项可得A 正确。
4.已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()l g f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b <<解：已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()l g f x x =设644()()()555a f f f ==-=-，311()()()222b f f f ==-=-，51()()22c f f ==＜0，∴c a b <<，选D .5.设函数=-⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=))5)25(((,)2(12)21(3)1(12)(f f f x x x x x x f 则 （ ）A ．3B ．4C ．7D ．9 答案 C6设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 (D)3答案：A7下列命题中，真命题是(A)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是偶函数(B)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是奇函数(C)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数(D)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是奇函数【答案】A8.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是 （A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23） 【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)∴得f(|2x －1|)＜f(13),再根据f(x)的单调性 得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜23【答案】A 9设0abc >,二次函３数2()f x ax bx c =++的图像可能是【解析】当0a >时，b 、c 同号，（C ）（D ）两图中0c <，故0,02b b a<->，选项（D ）符合【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a >或0a <两种情况分类考虑.另外还要注意c 值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.10、对a ，b ∈R ，记max {a ，b }＝⎩⎨⎧≥b a b b a a ＜,,，函数f (x )＝max {|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是(A )0 (B )12 (C ) 32(D )3 解：当x <－1时，|x ＋1|＝－x －1，|x －2|＝2－x ，因为(－x －1)－(2－x )＝－3<0，所以2－x >－x －1；当－1≤x <12时，|x ＋1|＝x ＋1，|x －2|＝2－x ，因为(x ＋1)－(2－x )＝2x －1<0，x ＋1<2－x ；当12≤x <2时，x ＋1≥2－x ；当x ≥2时，|x ＋1|＝x ＋1，|x －2|＝x －2，显然x ＋1>x －2； 故2((,1)12([1,))2()11([,2))21([2,))x x x x f x x x x x -∈-∞-⎧⎪⎪-∈-⎪=⎨⎪+∈⎪⎪+∈+∞⎩据此求得最小值为32。
高三数学测试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 3/4D. -√32. 若函数f(x) = 2x - 1在x=3时的导数是2，则f'(2)的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知函数y = x^2 - 4x + 4，则该函数的对称轴方程为（）A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -24. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，c=8，则△ABC 的面积S为（）A. 10B. 15C. 20D. 255. 下列不等式中，正确的是（）A. x > 1 > 0B. x^2 > xC. log2(x+1) > log2(x-1)D. 2^x > 3^x6. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 2，d = 3，则a10 =（）A. 28B. 29C. 30D. 317. 若复数z = 3 + 4i在复平面上的对应点为P，则|OP|的值为（）A. 5B. 7C. 8D. 108. 下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^49. 已知函数y = log2(3x - 1)，则该函数的定义域为（）A. x > 1/3B. x ≤ 1/3C. x < 1/3D. x > 010. 若向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为（）A. -7B. -5C. 1D. 3二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得极小值，则a、b、c应满足的关系是______。
12. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an =______。
13. 已知复数z = 1 + i，则z的模|z| =______。
高三数学周测试卷
高三数学（理）周测试卷（二）班级_________ 姓名_____________ 得分_________一、选择题1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )A ．角度和它的余弦值B ．正方形的边长和面积C ．正n 边形的边数和内角和D ．人的年龄和身高2. 设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ） A.(，π43) B. (，π45) C. (3，π45) D. (3，π43) 3．对两个变量进行独立性检验的主要作用是( )A ．判断模型的拟合效果B ．对两个变量进行相关分析C ．给出两个变量有关系的可靠程度D ．估计预报变量的平均值4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换''23x x y y⎧=⎨=⎩后为( )A ．y ＝cos xB ．y ＝3cos 12xC ．y ＝2cos 13xD ．y ＝12cos 3x5．设有一个线性回归方程为y ＝2－，则变量x 每增加一个单位时( )A ．y 平均增加个单位B ．y 平均增加2个单位C ．y 平均减少个单位D ．y 平均减少2个单位6．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A ．y ＝－10x ＋200B ．y ＝10x ＋200C ．y ＝－10x －200D ．y ＝10x －200 7．将直线x ＋y ＝1变换为直线2x ＋3y ＝6的一个伸缩变换为( )A ．''32x x y y ⎧=⎨=⎩ B ．''23x x y y ⎧=⎨=⎩C ．''1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ D ．''1213x x y y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩8．利用独立性检验来考察两个变量A 和B 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“A 与B 有关系”的可信程度．如果2K >，那么就有把握认为“A 与B 有关系”的百分比为( )9．两个变量A，B的2×2列联表如下所示：计算K的值约为( )A． B． C． D．10．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：)A．y＝2x－2 B．y＝1 2x（） C．y＝log2x D．y＝12(x2－1)11．对变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，则下列说法中不正确的是( )A．由样本数据得到的回归直线y＝bx＋a必过样本中心(x，y)B．样本相关系数绝对值越接近于1，两变量线性相关性越强C．样本相关系数越接近于0，两变量线性相关性越强D．若变量y与x之间的相关系数为r＝－ 2，则变量y与x之间具有线性相关关系12．以下是福建某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：则两个变量间的线性回归方程为( )A ．y ＝－1B ．y ＝ 2x ＋ 6C ．y ＝2x ＋ 6D ．y ＝ 2x ＋ 6 二、填空题13.在极坐标系中，若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|= . 14．△ABC 中，若BC 的长度为4，中线AD 的长为3，则A 点的轨迹是________． 15．已知x 、y 的值如下表：从散点图分析，y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ＝＋a ，则a ^＝________. 16．有两个变量x 和y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本列联表如下：则变量x 和y 三、解答题17．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处．求城市B 处于危险区内的时间．18．打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据：心脏病有关系？19．(某企业的某种产品产量与单位成本数据如下表：(1)(2)指出产量每增加1千件时，单位成本下降多少；(3)产量为6千件时，单位成本是多少？单位成本为70元时，产量应为多少？20．甲乙两个班级进行数学考试，按照“大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀”统计成绩后，得到如下的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为7.(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？(其中2K ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d )。
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3i 2、复数 i （i为虚数单位）等于（
A）
A． 1 3i
B． 1 3i
C．1 3i
D．1 3i
3、已知 cos( ) 3 ，且| | ，则 tan （ D ）
2
2
2
A． 3 3
B． 3 3
C． 3
4、曲线 y 1 x3 2 在点（ (1, 5) 处切线的倾斜角为（
3
3
A. 6
B．在区间 (1 ,1),(1, e) 内均无零点 e
C．在区间 (1 ,1) 内有零点，在区间 (1, e) 内无零点 D．在区间 (1 ,1) 内无零点，在区间 (1, e) 内有零点
e
e
10、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数。给出下列函数：
① f (x) sin x cosx ；② f (x) 2(sin x cos x) ；③ f (x) sin x ；④ f (x) 2 sin x 2 。
B. 4
C. 3 4
B）
D. 5 6
D． 3
5、设向量 a (2, 0) , b (1,1) ,则下列结论中正确的是( D )
A． | a || b |
B． a b 1 2
C． a // b
D． (a b) b
6、不等式 ax2 x c 0 的解集为{x | 2 x 1}，则函数 y ax2 x c 的图象大致为（ C ）
A
B
C
D
7、下列各命题中正确的命题是 （ A ）
①命题“ p 或 q ”为真命题，则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题；
② 命题“ x0 R, x02 1 3x0 ”的否定是“ x R, x2 1 3x ” ；
③“函数 f ( x) cos2 ax sin2 ax 最小正周期为 ”是“ a 1 ”的必要不充分条件； ④“平面向量 a
与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ a b 0 ” ．
A．②③
B．①②③
C．①②④
D．③④
8、 下列命题中正确的个数是( B ) ①若直线 a 不在 α 内，则 a∥α； ②若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α；
③若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与 α 内的任意一条直线都平行；
17．（本小题共 12 分）
解：（1）设事件 A 表示“李先生所购买的 3 种产品中，恰好只含一种基金” …………1 分
P( A)
C31 C42 C73
18 …………3 35
分
答：李先生所购买的 3 种产品中恰好只含一种基金的概率为 18 …………4 分 35
（2） 0,1, 2,3 …………5 分
其中“互为生成”函数的是( D )
A．①②
B．②③ C．③④
D．①④
二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。
11. 已 知 函 数
的一部分图象如图1 所示，则 函 数 解 析式 为
___
y=____sin（2x+Π∕6）_____
12、如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000 颗黄豆，数得落在正 方形区域内（含边界）的黄豆数为 375 颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形
华师中山附中高三数学周测试卷答案
本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、选择题（每小题 5 分，合计 50 分）
1、设集合 M x x2 9 , N x 1 x 4 ，则 M N 等于( B )
A. x 3 x 1 B.x 3 x 4 C. x 1 x 3 D. x 3 x 4
有关数据见下表(单位：人)
社团
相关人数 抽取人数
模拟联合国
24aBiblioteka 街舞183
动漫
b
4
话剧
12
c
(1)求 a，b，c 的值；
(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选 2 人担任指导小组组长，求这 2 人分别来自这两个
社团的概率.
解: 解：(1)由表可知抽取比例为16，故 a＝4，b＝24，c＝2. ……………………4 分
④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
⑤若 l 与平面 α 平行，则 l 与 α 内任何一条直线都没有公共点；
⑥平行于同一平面的两直线可以相交．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9、设函数 f (x) 1 x ln x(x 0) ，则 y f (x) （ D
）
3
A．在区间 (1 ,1),(1, e) 内均有零点 e
(2)设“动漫”4 人分别为：A1，A2，A3，A4；“话剧”2 人分别为：B1，B2.则从中任选
P(
0)
C43 C73
4, 35
P( 1) C31 C42 18 ,
C73
35
P(
2)
C32 C41 C73
12 , 35
P(
3)
C33 C73
1 , …………9 35
分
…………12 分
（文科做，本小题满分 12 分）为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的
方法从“模拟联合国”， “街舞”， “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，
的面积为 8∕3 平方米.（用分数作答）
13、如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，
则杯子高 h= 8cm
．
（二）选做题（考生只能从中选做一题）
2 cos 关于直线
14、曲线
4 对称的曲线的极坐标方程为__p=2sinθ____________．
（1）求 f x 的最小正周期和最大值；
（2）若
为锐角，且
f
8
2 ，求 tan 2 的值. 3
17、（理科做，本小题满分 12 分）今有 4 种股票和 3 种基金，李先生欲购买其中的任意 3 种产品.
（1）求李先生所购买的 3 种产品中恰好只含一种基金的概率； （2）记购买的 3 种产品中，包含基金的种数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
15、（几何证明选讲选做题）如图, AB为⊙O的直径,AC切⊙O于点A,且
AC 2 2cm ,过C的割线CMN交AB的延长线于点D,CM=MN=ND．则AD的长等于
___2_ 7 ___ cm ．
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16、（本小题共 12 分）已知函数 f x 2sin xcos x cos 2x ( x R).