5.5 哈密顿正则方程

s
L H p q
1
规则：
)乘以原函数(L)对该变量的 把要消去的变量(q )后，再减去原函数。 偏导( p L q
4
5.5.2 正则方程
正则方程的推导
L dH ( p dq q dp ) dL H p q
即一维弹簧振子的 运动微分方程
11
5.5 哈密顿正则方程
例题 2
例 2 用哈密顿正则方程建立质点在有心力势场 V ( r ) 中的运动微分方程. r 解：采用球坐标 (r, , ) 描述 位矢 r rer
d e r sin e er r 质点的速度 v (rer ) r dt 1 2 2 2 2 2 2 r r sin ) 拉氏函数 L T V m( r 2 r p L r r mr 广 pr r m 义 L p 2 p m r (1) 2 动 mr p 量 p L m r2 sin 2 m r2 sin 2
2 m( r r ) 2 r
(12)
即径向运动微分方程
17
5.5 哈密顿正则方程
18
p q 0 p 常数
即相应的广义动量守恒。
注：这里的能量积分与循环积分，与从拉氏函数得到的 能量积分和循环积分，结果是一样的。
9
5.5 哈密顿正则方程
例题 1
例1 试用哈密顿正则方程建立图示一维弹簧振子的 运动微分方程。 解：以平衡位置(即 弹簧原长位置)为原 点，建立一维x轴。
1 1
s s
(1)
L L L , t ) dL L L(q, q dq dt q dq q 1 t
s
L dq p dq ) ( p dt t 1
s
(2)
(2)代入(1)可得
L dp p dq ) dt dH (q t 1
s
(3)
5
5.5.2 正则方程
s
正则方程的推导
L dp p dq ) dt dH (q t 1
(3)
另一方面
H H H H H ( p, q, t ) dH p dp q dq t dt 1
(4) (5)
(7) (8)
(6)
(9)
13
5.5 哈密顿正则方程
例题 2
分析：一、动量矩守恒
C(常数) 由(6)(9)可得 p mr2 sin2
(10)
另一方面计算可得 J z (r mv) e z mr2 sin 2
可见(10)代表沿z方向的动量矩守恒。 但是z轴的方向是任意选择的，故沿任何方向都 有动量矩守恒，从而系统动量矩守恒，即
r pr m p m r2
分析：三、简化正则方程
2 p H p2 r 3 3 2 2 (4) p r m r m r sin r 2 p H cos p (5) 2 3 m r sin H (6) p 0 0, p 0
12
5.5 哈密顿正则方程
例题 2
哈密顿量
正则方程
1 2 2 2 2 2 2 ) r r sin H T V m( r 2 r 2 2 p 1 p 2 p (1)代入(2)可得 H r 2 2 r 2m r r sin
O
这意味着质点将始终保持在z轴和初位 矢r0所确定的平面内运动。 z轴就是平面极坐标的极轴。
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5.5 哈密顿正则方程
例题 2
H pr r pr m p H 2 p m r p H 2 2 p m r sin
1 2 动能 T mx 2
平衡位置
m
O
光滑水平面
x
弹簧劲度系数为k
1 2 势能 V kx 2
拉氏函数
1 2 1 2 kx L T V mx 2 2
L 广义动量 p x mx x
px x m
10
5.5 哈密顿正则方程
例题 1
哈密顿函数
Lx H px x p
(7) (8) (9)
p2 r 3 2 p mr r p 0
(4')
(7')
(8')
16
(5')
5.5 哈密顿正则方程
例题 2
分析：四、最终的运动微分方程 由(5')(8')可得
h(常数) p mr
2
(11)
即在垂直于运动平面方向上的动量矩守恒。 对(11)求导即得到横向运动微分方程。 由(4')(7')(11)可得
x
正则方程
m
2
px 1 px 1 2 px m kx m 2 m 2
p 1 2 kx 2m 2
2 x
H px x px m H p x kx x
(1) (2)
(1)(2)联立可得
k x 0 x m
相空间的一点，代表系统可能存在的一个状态， 称为相点。 随时间变化，相点在相空间移动，划出一条曲 线，代表系统状态的演化路径。
7
5.5.3 能量积分与循环积分
能量积分
s H dH H H H H ( p, q, t ) p q dt 1 p q t
5.5 哈密顿正则方程
5.5.1 勒让德变换
哈密顿函数的定义式
1, q 2 ,...,q s ; t ) 拉氏函数 L L(q1, q2 ,...,qs ; q
(1) (2) (3)
广义动量
L 1, q 2 ,...,q s ; t ) p p (q1, q2 ,...,qs ; q q
J C (常矢量)
14
5.5 哈密顿正则方程
例题 2
分析：二、平面运动 现在选择一个特殊的z轴方向：使初速度v0躺在z 轴和初位矢r0所确定的平面内。
z
v0
r0
er
e
C(常数) p mr2 sin 2
(10)
则根据(10)式，可得初始时刻，以 及后面任意时刻，都有
0, C 0, p 0
正则方程
H H H H p q q p 1
s
H t
dH H dt t
H t
若H不显含t, 则H守恒。
8
5.5.3 能量积分与循环积分
循环积分 若H不显含某个广义坐标 q ，则根据正则方程 可得： H
2
5.5.1 勒让德变换
哈密顿函数的物理含义
L 常数 若L不显含t, 则 H p q
1
s
对于稳定约束系统，H即系统总能量
H T V
对于不稳定约束系统，H是广义能量
H T2 T0 V
3
5.5.1 勒让德变换
勒让德变换的规则
, t ) 到 H ( p, q, t ) 的变换称为勒让德变换。 以上从 L(q, q
s
(4)
(3)(4)比较可得哈密顿正则方程
H q p H p q
以及
,
H L t t
1, 2,...,s
若L不显含t, 则H也 不显含t.
6
5.5.2 正则方程
相空间 s个广义坐标，和s个广义动量，统称为正则变量， 它们作为相互独立的变量，张开一个2s维空间， 称为相空间。
q ( p1, p2 ,..., ps ; q1, q2 ,...,qs ; t ) 由(2)解得 q
定义另外一个函数，称为哈密顿函数
H H ( p1, p2 ,..., ps ; q1, q2 ,...,qs ; t )
L p q
1
s
要 其中的 q 用(3)代换。
H pr r pr m p H 2 p m r p H 2 2 p m r sin
(2) (3)
2 p H p2 r 3 3 2 2 p r m r m r sin r 2 p H cos p 2 3 m r sin H p 0