2004图论复习题答案

图论复习题答案
一、判断题，对打，错打
1．无向完全图是正则图。

()
2．零图是平凡图。

()
3．连通图的补图是连通图.()
4．非连通图的补图是非连通图。

()
5．若连通无向简单图G中无圈，则每条边都是割边。

()
6．若无向简单图G是（n，m）图，并且m=n-1，则G是树。

()
7．任何树都至少有2片树叶。

()
8．任何无向图G都至少有一个生成树。

()
9．非平凡树是二分图。

()
10．所有树叶的级均相同的二元树是完全二元树。

()
11．任何一个位置二元树的树叶都对应唯一一个前缀码。

()
12．
K是欧拉图也是哈密顿图。

()
3,3
13．二分图的对偶图是欧拉图。

()
14．平面图的对偶图是连通图。

()
页脚内容1
15．设G*是平面图G的对偶图，则G*的面数等于G的顶点数。

()
二、填空题
1．无向完全图K6有15条边。

2．有三个顶点的所有互不同构的简单无向图有4个。

3．设树T中有2个3度顶点和3个4度顶点，其余的顶点都是树叶，则T中有10片树叶。

4．若连通无向图G是（n，m）图，T是G的生成树，则基本割集有n-1个，基本圈有m-n+1个。

5．设连通无向图G有k个奇顶点，要使G变成欧拉图，在G中至少要加k/2条边。

6．连通无向图G是（n，m）图，若G是平面图，则G有m-n+2个面。

三、解答题
1．有向图D如图1所示，利用D的邻接矩阵及其幂运算
求解下列问题：
（1）D中长度等于3的通路和回路各有多少条。

（2）求D的可达性矩阵。

（3）求D的强分图。

解：（1）
a
b
c d
e
图1
页脚内容2
页脚内容3
M=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000101000000001
010*******M 2=⎥⎥
⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡010*******
000101000001000
M 3=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000
01000010000001010000M 4=⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡00010
01000
100000100000010
由M 3可知，D 中长度等于3的通路有5条，长度等于3的回路有3条。

（2）
I+M+M 2+M 3+M 4=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡100000100000100
0001000001
+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡000101000000001
010*******
+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡010000001000010
1000001000
+⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡100000100001000
0001010000
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00010
01000100000100000010
=⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡21020
1301011111
020*******
D 的可达性矩阵为
R=B （I+M+M 2+M 3+M 4）=⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡110101*********
1101011011
b
c d e 图1
页脚内容4
（3）R T =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111111111001001111100101R×R T =⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡1101011010
001001101000001
由矩阵R×R T 可知，该有向图的强分图有：{a}，{b ，d ，e}，{c}
2． 画出有1个4次顶点，2个2次顶点，4个1次顶点的所有非
同构的树。

3． 用Kruskal 算法求图2所示带权图的最小生成树，并计算它的权。

C （T ）=25 4．
试画出带权为1,2,3,4,5,7,的最优二元树,并计算它的权。

m （T ）=（1+2）4+33+（7+4+5）2=53
5．
出席某次国际学术报告会的六个成员
654321,,,,,P P P P P P 被分在一组。

他们的情况是：
1P 会讲汉语、法语和日语； 2P 会讲德语、日语和俄语；
3P 会讲英语和法语；
4P 会讲汉语和西班牙语；
5P 会讲英语和德语；
12943685710
1236
22754139
页脚内容5
6P 会讲俄语和西班牙语。

怎样把他们安排在一张圆桌旁坐下，使得每个人都能和他两旁的人交谈？
解构造无向图>=<E V G ,，其中
},,,,,{654321P P P P P P V =，}|),{(会讲同一种语言与j i j i P P P P E =，
则得无向图如图所示。

由该图得一条哈密顿回路：1352641PP P P P P P ，即为满足要求的安排。

四、证明题
1．
设T 是完全二元树，T 中有m 条弧和t 片树叶，证明：
m=2(t
1)。

证明：设完全二元树T 有n 个顶点。

因为它有t 片树叶，所以除树叶以外的顶点有t n -个。

由于完全二元树中，根和分支点的引出次数为2，每片树叶的引出次数为0，故所有顶点的引出次数之和为)(2t n -，它等于边数m 。

又因为1-=n m ，故有1)(2-=-n t n ，解得12-=t n 。

因此
)1(2221-=-=-=t t n m 。