2004图论复习题答案

图论复习题答案

一、判断题，对打，错打

1．无向完全图是正则图。

()

2．零图是平凡图。()

3．连通图的补图是连通图.()

4．非连通图的补图是非连通图。()

5．若连通无向简单图G中无圈，则每条边都是割边。()

6．若无向简单图G是（n，m）图，并且m=n-1，则G是树。()

7．任何树都至少有2片树叶。()

8．任何无向图G都至少有一个生成树。()

9．非平凡树是二分图。()

10．所有树叶的级均相同的二元树是完全二元树。()

11．任何一个位置二元树的树叶都对应唯一一个前缀码。()

12．

K是欧拉图也是哈密顿图。()

3,3

13．二分图的对偶图是欧拉图。()

14．平面图的对偶图是连通图。()

页脚内容1

15．设G*是平面图G的对偶图，则G*的面数等于G的顶点数。()

二、填空题

1．无向完全图K6有15条边。

2．有三个顶点的所有互不同构的简单无向图有4个。

3．设树T中有2个3度顶点和3个4度顶点，其余的顶点都是树叶，则T中有10片树叶。

4．若连通无向图G是（n，m）图，T是G的生成树，则基本割集有n-1个，基本圈有m-n+1个。

5．设连通无向图G有k个奇顶点，要使G变成欧拉图，在G中至少要加k/2条边。

6．连通无向图G是（n，m）图，若G是平面图，则G有m-n+2个面。

三、解答题

1．有向图D如图1所示，利用D的邻接矩阵及其幂运算

求解下列问题：

（1）D中长度等于3的通路和回路各有多少条。

（2）求D的可达性矩阵。

（3）求D的强分图。

解：（1）

a

b

c d

e

图1

页脚内容2

页脚内容3

M=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000101000000001

010*******M 2=⎥⎥

⎥

⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡010*******

000101000001000

M 3=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000

01000010000001010000M 4=⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡00010

01000

100000100000010

由M 3可知，D 中长度等于3的通路有5条，长度等于3的回路有3条。

（2）

I+M+M 2+M 3+M 4=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡100000100000100

0001000001

+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡000101000000001

010*******

+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡010000001000010

1000001000

+⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡100000100001000

0001010000

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00010

01000100000100000010

=⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡21020

1301011111

020*******

D 的可达性矩阵为

R=B （I+M+M 2+M 3+M 4）=⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡110101*********

1101011011

b

c d e 图1

页脚内容4

（3）R T =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111111111001001111100101R×R T =⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡1101011010

001001101000001

由矩阵R×R T 可知，该有向图的强分图有：{a}，{b ，d ，e}，{c}

2． 画出有1个4次顶点，2个2次顶点，4个1次顶点的所有非

同构的树。

3． 用Kruskal 算法求图2所示带权图的最小生成树，并计算它的权。

C （T ）=25 4．

试画出带权为1,2,3,4,5,7,的最优二元树,并计算它的权。

m （T ）=（1+2）4+33+（7+4+5）2=53

5．

出席某次国际学术报告会的六个成员

654321,,,,,P P P P P P 被分在一组。他们的情况是：

1P 会讲汉语、法语和日语； 2P 会讲德语、日语和俄语；

3P 会讲英语和法语；

4P 会讲汉语和西班牙语；

5P 会讲英语和德语；

12943685710

1236

22754139

页脚内容5

6P 会讲俄语和西班牙语。

怎样把他们安排在一张圆桌旁坐下，使得每个人都能和他两旁的人交谈？

解构造无向图>=

},,,,,{654321P P P P P P V =，}|),{(会讲同一种语言与j i j i P P P P E =，

则得无向图如图所示。

由该图得一条哈密顿回路：1352641PP P P P P P ，即为满足要求的安排。 四、证明题

1．

设T 是完全二元树，T 中有m 条弧和t 片树叶，证明：

m=2(t

1)。

证明：设完全二元树T 有n 个顶点。因为它有t 片树叶，所以除树叶以外的顶点有t n -个。由于完全二元树中，根和分支点的引出次数为2，每片树叶的引出次数为0，故所有顶点的引出次数之和为)(2t n -，它等于边数m 。又因为1-=n m ，故有1)(2-=-n t n ，解得12-=t n 。因此

)1(2221-=-=-=t t n m 。