矩阵论PPT

则称 A 为正规矩阵.
酉矩阵, 正交阵; Hermite阵, 实对称阵; 反Hermite
阵, 实反对称阵; 对角阵等都是正规矩阵.
定理 1.23: 设 A C nn , 则 A 酉相似于对角阵的充要 条件是 A 为正规矩阵. • 有关正规阵的4个性质: 推论1: Hermite矩阵的特征值均为实数, 反Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数.

nn
的特
征值为 1 , 2 ,, n .
§1. 2 相似对角化 • 矩阵(方阵)相似的定义. • 矩阵相似的性质(6条). • 矩阵可对角化的条件. 定理1.8: 设 A C nn , 则 A 可对角化的充要条件是
A 有 n 个线性无关的特征向量.
推论1: 若 A C nn 的特征值两两相异,则 A 可对角化.
对任意 x C n , 规定
x b Ax a
则 x 是 C n上的向量范数. b
• 向量范数的等价性
定义: 设 a和 b是 C n 上的两种向量范数. 如果存在
正数 和 , 使对任意 x C n 都有
§1. 4 Caylay-Hamilton定理
定理 1.13 (Cayley-Hamilton): 设 A C nn ,
detI A, 则 A 0.
定理1.13说明: 设 A C
nn
, 则 A 的任意次幂都
可转化为 A 的 n 1 次多项式计算.
• 正定矩阵的推广----- Hermite正定矩阵 定义: 设 A C nn 是Hermite矩阵, 如果对于任意
0 x C 都有
n
x H Ax 0
( x H Ax 0)
则称 A是Hermite正定矩阵(半正定矩阵). 定理1.24: 设 A C nn 是Hermite矩阵, 则下列条件 等价:
(1) A 是Hermite正定矩阵;
(2) A 的特征值全为正实数;
nn (3) 存在矩阵 P Cn , 使得 A P H P.
推论: Hermite正定矩阵的行列式大于零. 定理 1.25: 设 A C nn 是Hermite矩阵, 则下列条件
等价:
(1) A 是Hermite半正定矩阵;
1 p
1 p
x
A
x Ax , (其中A 为Hermite正定阵.)
H
可以证明: 以上定义的5种算式都符合向量范数 的定义. 以向量的 p 范数为例, 用下面的引理进行证 明. 引理: 对任意 k ,k C k 1, 2, , n, 有Holder不等式
n n p q k k k k , k 1 k 1 k 1 n 1 p 1 q
推论:
f A 0
f 0
定理1.3: 矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无
关.
定理1.4: 设 A aij nn 的特征值为 1 , 2 ,, n , 则: (1) tr A 1 2 n (2) det A 12 n (3) AT 的特征值为 1 , 2 ,, n , 而 A H a ji
(3)
x y 2 x 2 y 2
单位向量; 向量的单位化; 正交向量; 向量组的
Schmidt 正交化方法; 正交基; 标准正交基.
定理 1.20: 两两正交的非零向量组一定线性无关.
定义: 设 A C nn, 若 A 满足
1 H 或 A A A A I
H
则称 A 为酉矩阵.
第一章：矩阵的相似变换
§1. 1 特征值与特征向量
• 有关定义回顾: 特征值; 特征向量; 特征矩阵; 特征多项式.
• 矩阵的特征值与特征向量的性质.
定理1.1: 设 i 是 A C nn 的 ri 重特征值, 对应 i
有 s i 个线性无关的特征向量, 则: 1 si r i
简言之: 矩阵特征值的几何重数小于或等于其代
1) 特征向量法
设 AC
nn
, 如果 i 是 A 的单特征值, 则对应一
阶Jordan块 J i i ; 如果i 是 A 的 ri ri 1 重特征
值, 则对应 i 有几个线性无关的特征向量, 就有几个 以 i 为对角元素的Jordan块, 这些Jordan块的阶数 之和等于 ri . 由 A 的所有特征值对应的Jordan块构成 的Jordan矩阵即为 A 的Jordan标准形. 2) 初等变换法 3) 行列式因子法
(2) 对任何 C , x x .
(3) 对任意 x, y C n ,都有 x y x y .
则称 x 为 C n 上向量 x 的范数.
• 向量范数的基本性质
定理 2.1: 对任意 x, y C n , 有
(1) x x ;
(2)
x y x y
推论2: 实对称矩阵的特征值均为实数, 实反对称矩
阵的特征值为零或纯虚数.
推论3: 设 A C nn是正规矩阵, 是 A 的特征值, x
是对应 的特征向量, 则 是 A H 的特征值, A H 的
对应 的特征向量仍为 x .
推论4: 正规矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此
正交.
定义: 设 A C nn , f 是多项式. 如果有 f A O, 则
称 f 为 A 的零化多项式. 在 A 的所有零化多项式
中, 次数最低的首一多项式称为 A 的最小多项式. 记 为 mA . 定理 1.14: 设 A C nn , 则 A 的最小多项式 m A 整除
(研究生课程)
高 等 工 程 数 学
教师: 李晓东
• 课程主要内容：
矩阵论：矩阵的相似变换；向量范数与矩阵范数 的理论及应用；矩阵分析及应用；矩阵的各种分 解方法等。 泛函分析：距离空间；赋范空间与Banach空间； 内积空间与Hilbert空间等。
• 主要参考书目：
1．徐仲等著，《矩阵论简明教程》，科学出 版 社，2007。 2．姚泽清等著，《应用泛函分析》，科学出版 社，2008。
• 几种常见的向量范数 设 x 1, 2 ,, n T C n , 规定 (1) 向量的2范数: x 2
x, x
x x
H

k 1
n
2 k
(2) 向量的1范数:
x 1 k
k 1

n
(3) 向量的 范数: x
max k
k
n (4) 向量的 p 范数: x k p p k 1 (5) 向量的加权范数或椭圆范数:
i Ji 1
i
1 i r r i i
的矩阵称为 ri 阶Jordan块. 由若干个Jordan块构成
的分块对角阵 J diagJ1 , J 2 ,, J s 称为Jordan矩阵.
定理1.9(Jordan): 设 A C nn , 则 A 一定与一个 Jordan矩阵 J 相似. 且这个Jordan矩阵 J 除Jordan 块的排列顺序外由 A 唯一决定. 将方阵 A C nn 相似变换为Jordan标准形的方法:
推论2: 设 1 , 2 ,, s是 n 阶方阵 A 的所有互不相 同的特征值, 其重数分别为 r1 , r2 ,, rs . 若每个 i 都 有 ri 个线性无关的特征向量 i 1, 2, , s , 则 A 可 对角化.
§1. 3 Jordan标准形介绍
定义: 形如
定理 1.27: 设 A C nn 是Hermite矩阵, 则 A 是Her-


mite正定矩阵的充要条件是 A 的各阶顺序主子式均
为正.
第二章：范数理论
§2.1 向量范数
定义: 若对任意 x C n 都有一个实数 x 与之对应,
且满足
(1) 当 x 0 时, x 0. 当 x 0 时, x 0.
数重数.
定理1.2: 设 A C nn , A 的 n 个特征值为1 , 2 ,, n , 对应的特征向量为 x1 , x2 ,, xn ,又设 f 为一多项式,
则 f A 的特征值为 f 1 , f 2 ,, f n , 对应的特征
向量仍为 x1 , x2 ,, xn .
定理 1.21: 设 A, B C nn . (1) 若 A 是酉矩阵, 则 A 1 也是酉矩阵. (2) 若 A, B 是酉矩阵, 则 AB也是酉矩阵. (3) 若 A 是酉矩阵, 则 det A 1
(4) A 是酉矩阵的充要条件是: 它的 n 个列向量是两
两正交的单位向量.
§1. 6 酉相似下的标准形
x, y x, y
(3) x y, z x, z y, z , x, y z x, y x, z
(4) x, x 0, 且仅当 x 0 时才有 x, x 0.
(5) x, y y, x x, x y, y (Cauchy-Schwarz不等式)
T n
T
令
x, y y H x k k
k 1
n
称 x, y 为向量 x 与 y 的内积.
• 内积的性质 定理 1.18: 设 x, y, z C , C , 则
n
(1) x, y y, x (2) x, y x, y ,
A 的任一零化多项式, 且最小多项式是唯一的.
定理 1.16: 相似矩阵具有相同的特征值,相同的特征
多项式和相同的最小多项式.
定理1.17: 设 A C nn , 1 , 2 ,, t 是 A 的所有互不 相同的特征值, 则
mA 1
最高阶数.
m1
2
m2
t
mt
其中 mi 是 A 的Jordan标准形 J 中含i 的Jordan块的
§1. 5 向量的内积
<<线性代数>>课程中对 n 维向量的内积是在实
数域中定义的, <<矩阵论>>对 n 维向量的内积将在
复数域中定义.
定义: 设 x 1, 2 ,, n C , y 1,2 ,,n C n .
1 1 其中 p 1, q 1, 且 1. p q
定理 2.3: 设 x 1, 2 ,, n C n , 则
T
lim x
p
p
x

• 从已知的某种向量范数导出另一种向量范数的方
法.
mn 定理 2.4: 设 A Cn , a 是 C m上的一种向量范数.
定理 1.22 (Schur): 设 A C nn , 则 A 可酉相似于上
三角矩阵 T , 即存在 n 阶酉矩阵 U , 使得
U 1 AU U H AU T
问题: 什么样的矩阵才能酉相似于对角阵?
答案: 正规矩阵
定义: 设 A C nn , 若 A 满足 AH A AAH ,
利用内积可以定义向量的长度和正交:
定义: 设 x 1, 2 ,, n C n , 令
T
x
2

x, x k
k 1
n
2来自百度文库
称 x 2为向量 x的长度或2范数.
n
定理 1.19: 设 x, y C , C, 则 (1) 当 x 0时, x 2 0 ; 当 x 0 时, x 2 0 (2) x x 2 2
(2) A 的特征值全为非负实数;
(3) 存在矩阵 P C nn , 使得 A P H P.
定理 1.26: 设 A C mn , 则 (1) A A 和 AA 的特征值全为非负实数;
H
H
(2) A H A和 AA H 的非零特征值相同;
(3) rank AH A rank( AAH ) rankA