817.同余-奥数精讲与测试8年级

例1．求证：⑴8︱(551999＋17)；⑵ 8︱(32n ＋7)；⑶ 17︱(191000−1)。

例2．求使2n −1为7的倍数的所有正整数n 。

例3．把1、2、3、…、127、128这128个数任意排列为a l 、a 2、…、a 128，计算出、、…、，再将这64个数任意排12a a -34a a -127128a a -列为b 1、b 2、…、b 64，计算出、、…、。如此继12b b -34b b -6364b b -续下去，最后得到一个数x ，问x 是奇数还是偶数？

例4．m 、n 是正整数，证明：3m +3n +1不可能是完全平方数。

例5．任意平方数除以4，余数为0或1(这是平方数的重要特征)。

例6．任意平方数除以8余数为0，1，4(这是平方数的又一重要特征）。

A卷

一、填空题

01.a除以5余1，b除以5余4。如果3a＞b，那么3a−b除以5的余数是__________。

02. 71427和19的乘积被7除，余数是__________。

03. 1+22+33+44+55+66+77+88+99≡__________ (mod3)。

04. 一个数除以3余2，除以4余1，这个数除以12的余数是__________。05. 今天是星期一，过21995是星期__________。

06. 10100被7除的余数是__________。

07. 1至5 000之间同时被3、5、7除都余2的数有__________个。

08. 1至1 000之间同时被2、3、7除都余1的数有__________个。

09.用除以7，余数是__________。

19943

3333

个

10. 1993年的元旦是星期五，那么1996年五月一日是星期__________。

二、解答题

11.甲、乙两数都只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75。已知甲数有12个约数，乙数有10个约数，那么甲、乙两数的最小公倍数是多少？

12. 试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除。

B 卷

一、填空题01. 整数被6除的余数是__________。10001

1111

个02. (1989)1990的末二位数是__________。

03. 在所有的五位数中，各位数字之和等于43，并且能被11整除的数是__________。

04. 777777的末位数是__________。

05.令n 是一个奇数，则n 2除以8的余数是__________。

06. 21000除以13的余数是__________。

07.设a 、b 都是正整数，且a 被7除余数是2，b 被7除余数是5，则a 2＋4b 被7除余数是__________。

08.如果m 是大于1的整数，69、90、125对于m 同余，那么m 的值是

__________。

09. 19901990化为7进制数后的个位数字是__________。

10. 被7除的余数是__________。

27

3747

二、解答题

11. 证明方程5m 2−6mn +7n 2=1987无整数解。

12．如图，一枚棋子放在五角棋盘的0位上，现依顺时针方向按下列规律移动：第一次移动一格，第2次移动二格，…，第n次移动n格，求证：无论棋子连续移动多少次，在第2、第4格上总没有停棋

可能。

C卷

一、填空题

01. 对a、b、c三个任意给定整数，若(a−b)(b−c)(c−a)是n的倍数，则n 的最大值为__________。

02.对a、b、c三个任意给定的整数，若(a2−b2)(b2−c2)(c2−a2)是n的倍数，则n的最大值为__________。03. n=1993×1991×1989×…×5×3×1，则n的末3位数字是__________。

04.把由1开始的正整数依次写下去，直至写到189位为止，即1234567891011121314⋯，那么这个数用9除，余数是__________。

05.已知M=19962000+19972001，如果今天是星期六，M天后是星期__________。

06 . 化为7进制数后的个位数字是__________。

1993

1992

1991

07.已知15x≡1(mod44)，则x≡__________(mod44)。

08.两筐苹果分给甲、乙两班，若甲班每人要分到13个，则还缺7个；若乙班每人都要分到10个，则还缺5个．若两筐苹果的数目相同，且每筐的苹果数大于100不超过200，则甲班有__________

人。

09.若N=是一个能被17整除的四位数，则x=__________。

278x 10. n 是一个1996位的整数，且是9的倍数，n 的各位数码之和为p ，p 的各位数码的和为q ，q 的各位数码之和为r ，则r 的值为__________。

二、解答题

11.求证：任意11个整数中，一定有6个数的和被6整除。

12.任给7个不同的整数，证明：其中必有两个数，其和或差是10的倍数。

13. 在黑板上有1、2、⋯、1987这些数，作这样的变换：将黑板上的数擦

去一些，并添加上被擦去的数的和被7除所得的余数．经若干次后，黑板上只有两数，一个是987，求另一个数。

14.当44444444写成十进制时，它的各数字之和是A 。设B 为A 的各位数字之和，求B 的各位数字之和。