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重庆中考数学26题专项.doc

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2021重庆中考复习数学第26题专题训练五(含答案解析)(1) (1)

2021重庆中考复习数学第26题专题训练五(含答案解析)(1) (1)

2021重庆中考复习数学第26题专题训练五1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．2020重庆中考复习数学第26题专题训练五参考答案1、（2019秋•天桥区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、（2019秋•淮安期末）[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、（2019春•碑林区校级月考）【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A 为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、（2018春•铁西区期中）（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、（2019秋•武冈市期中）【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、（2018秋•东海县期末）模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、（2019秋•松北区期末）已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、（2017春•合肥期末）已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、（2017春•南岗区校级月考）如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、（2019秋•丹东期末）在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．证明：（1）∵∠DCB＝∠FGB＝∠FGC＝90°，∴CD∥GF，∴∠EDP＝∠GFP，且DP＝PF，∠DPE＝∠FPG，∴△DPE≌△FPG（ASA）∴PE＝PG，DE＝GF，∵BC＝CD，∴EC＝GC，且∠DCG＝90°，PE＝PG，∴CP＝PG；（2）延长GP到E，使PE＝PG，连接DE，CE，CG，∵DP＝PF，∠DPE＝∠FPG，PE＝PG，∴△DPE≌△FPG（SAS）∴PE＝PG，DE＝GF，∠EDP＝∠GFP，∵GF＝GB，∴DE＝BG，∵DC∥BF，。

重庆历届中考数学压轴题汇总及答案

重庆历届中考数学压轴题汇总及答案

重庆历届中考数学压轴题汇总及答案（2020年26题.）如图，在中，，，点是边上一动点，连接，把绕点逆时针旋转90°，得到，连接，.点是的中点，连接. （1）求证：； （2）如图2所示，在点运动的过程中，当时，分别延长，，相交于点，猜想与存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点运动的过程中，在线段上存在一点，使的值最小．当的值取得最小值时，的长为，请直接用含的式子表示的Rt ABC △°90BAC ∠=AB AC =D BC AD AD A AE CE DE F DE CF CF AD =D 2BD CD =CF BA G AG BC D AD P PA PB PC ++PA PB PC ++AP m m CE（2019年26题.）（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x --＝与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．（1）连结BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN BD ⊥，交抛物线于点N （点N 在对称轴的右侧），过点N 作NH x ⊥轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点，当MN 取得最大值时，求13HF FP PC ++的最小值；（2）在（1）中，当MN 取得最大值，13HF FP PC ++取得最小值时，把点P 向上平移个单位得到点Q ，连结AQ ，把AOQ △绕点O 顺时针旋转一定的角度α0360α︒︒＜＜，得到A OQ ''△，其中边A Q ''交坐标轴于点G ．在旋转过程中，是否存在一点G ，使得''Q Q OG ∠＝∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q '的坐标；若不存在，请说明理由．(2018年26题)(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线24y x x =-+上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为(1,1). （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当PBE △的面积最大时，求12PH HF FO ++的最小值； （3）在（2）中，12PH HF FO ++取得最小值时，将CFH △绕点C 顺时针旋转60后得到CF H ''△，过点F '作CF '的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使以点D ，Q ，R ，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标；若不存在，请说明理由.（2016年26题.）(本小题满分12分)3在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,抛物线的顶点为点E .(1)判断ABC △的形状,并说明理由；(2)经过B ,C 两点的直线交抛物线的对称轴于点D ,点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点,当PCD △的面积最大时,点Q 从点P 出发,先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M 处,再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y 轴上的点N 处,最后沿适当的路径运动到点A 处停止.当点Q 的运动路径最短时,求点N 的坐标及点Q 经过的最短路径的长；(3)如图2,平移抛物线,使抛物线的顶点E 在射线AE 上移动,点E 平移后的对应点为点E ',点A 的对应点为点A '.将AOC △绕点O 顺时针旋转至11AOC △的位置,点A ,C 的对应点分别为点1A ,1C ,且点1A 恰好落在AC 上,连接1C A ',1C E '.1A C E ''△是否能为等腰三角形？若能,请求出所有符合条件的点E '的坐标；若不能,请说明理由.（2015年26题） (本小题满分12分)在点B 的左侧),交y 轴于点W ,顶点为C ,抛物线的对称轴与x 轴的交点为D .(1)求直线BC 的解析式；(2)点(,0)E m ,(2,0)F m +为x 轴上两点,其中24m ＜＜.EE ',FF '分别垂直于x 轴,交抛物线于点E ',F ',交BC 于点M ,N .当ME NF ''+的值最大时,在y 轴上找一点R ,使||RF RE ''-的值最大,请求出点R 的坐标及||RF RE ''-的最大值；(3)如图2,已知x 轴上的一点P 9(,0)2,现以P 为顶点,23为边长在x 轴上方作等边三角形QPG ,使QP x ⊥轴,现将QPG △沿PA 方向以每秒1个单位长度的速度平移,当点P 到达点A 时停止.记平移后的QPG △为Q P G '''△,设Q P G '''△与ADC △的重叠部分面积为s .当点Q '到x 轴的距离与点Q '到直线AW 的距离相等时,求s 的值.（2020年）26.【答案】（1）2CF AD =，证明如下：90BAC DAE ︒∠=∠=∵，BAD CAE ∠=∠∴，AB AC =∵，AD AE =，∴在ABD △和ACE △中BAD CAE AB ACAD AE =∠⎧⎪=⎨⎪=⎩， ABD ACE ≅∴△△，45ABD ACE ︒∠=∠=∴，90DCE ACB ACE ︒∠=∠+∠=∴，在Rt ADE △中，F 为DE 中点（同时AD AE =），45ADE AED ︒∠=∠=，AF DE ⊥∴，即Rt ADF △为等腰直角三角形，AF DF AD ==∴， CF DF =∵，CF AD =∴； （2）由（1）得ABD ACE ≅△△，CE BD =，°45ACE ABD ∠=∠=，454590DCB BCA ACE ︒︒︒∠=∠+∠=+=∴，在Rt DCB △中，()2DE BD CE CD ==，F ∵为DE 中点，12DE EF DE ===∴， 在四边形ADCE 中，有90CAG DCE ︒∠=∠=，180CZG DCE ︒∠+∠=，∴点A ，D ，C ，E 四点共圆， F ∵为DE 中点，F ∴为圆心，则CF AF =，在Rt AGC △中，CF AF =∵，F ∴为CG中点，即2CG CF ==，22AG AC DC ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∴，即BC =；（3）设点P 存在，由费马定理可得120APB BPC CPA ︒∠=∠=∠=，60BPD ︒∠=∴，设PD 为a ，BD =∴，又AD BD =，a m +∴， )1m a =a又BD CE =CE ∴. 【解析】（1）先证BAD CAE ≅△△，可得°45ABD ACE ∠=∠=，可求°90BCE ∠=，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论.具体解题过程参照答案.（2）由（1）得ABD ACE △≌△，CE BD =，°45ACE ABD ∠=∠=，推出°°°454590DCB BCA ACE ∠=∠+∠=+=，然后根据现有条件说明在Rt DCB △中，DE ==，点A ，D ，C ，E 四点共圆，F 为圆心，则CF AF =，在Rt AGC △中，推出AG ==，即可得出答案.具体解题过程参照答案.（3）设点P 存在，由费马定理可得°120APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设PD 为a ，得出BD =，AD BD ==，得出a m +=，解出a ，根据BD CE =即可得出答案.具体解题过程参照答案.【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数（2019年26题）【答案】解：（1）如图1∵抛物线223y x x --＝与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ∴令0y ＝解得：11x ＝-，23x ＝，令0x ＝，解得：3y ＝-， ∴()1,0A -，()3,0B ，()0,3C -∵点D 为抛物线的顶点，且2122b a --=-=，()2413444441ac b a ⨯⨯---==-⨯∴点D 的坐标为()1,4D -∴直线BD 的解析式为：26y x -＝，由题意，可设点2,23N m m m --（），则点26F m m -（，）∴22262343NF m m m m m --+--＝（）-（）＝-∴当22bm a=-=时，NF 取到最大值，此时MN 取到最大值，此时2HF ＝，此时，()2,3N -，()2,2F -，()2,0H在x 轴上找一点K ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，连接CK ，过点F 作CK 的垂线交CK 于点J 点，交y 轴于点P ，∴1sin 3OCK ∠＝，直线KC 的解析式为：3y =--，且点()2,2F -，∴13PJ PC ＝，直线FJ 的解析式为：442y x +=-∴点J ⎝⎭∴13FP PC +的最小值即为FJ 的长，且1||33FJ =+∴min 1||3HF FP PC ++=；（2）由（1）知，点0,P ⎛ ⎝⎭，∵把点P 个单位得到点Q ∴点()0,2Q -∴在Rt AOQ △中，90AOG ︒∠＝，AQ ，取AQ 的中点G ，连接OG ，则12OG GQ AQ ＝＝，此时，AQO GOQ ∠＝∠ 把AOQ △绕点O 顺时针旋转一定的角度()0360αα︒︒＜＜，得到A OQ ''△，其中边A Q ''交坐标轴于点G ①如图2G 点落在y 轴的负半轴，则0,G ⎛ ⎝⎭，过点'Q 作'Q I x ⊥轴交x 轴于点I ，且''GOQ Q ∠＝∠则'''IOQ OA Q OAQ ∠＝∠＝∠，∵sinOQ OAQ AQ ∠＝∴sin '2IQ IQ IOQ OQ ''∠'＝＝＝IO ＝∴在'Rt OIQ △中根据勾股定理可得OI ＝∴点'Q 的坐标为'Q ⎝⎭；②如图3，当G 点落在x 轴的正半轴上时，同理可得'Q ⎝⎭③如图4当G 点落在y 轴的正半轴上时，同理可得'Q ⎛ ⎝⎭ ④如图5当G 点落在x 轴的负半轴上时，同理可得'Q ⎛ ⎝⎭综上所述，所有满足条件的点'Q 的坐标为：⎝⎭，⎝⎭，⎛ ⎝⎭，⎛ ⎝⎭【考点】二次函数图象与坐标轴的交点求法，直角三角形的中线性质．（2018年26题）【答案】（1）2（2（3）点S 的坐标为(5,3)或(1,3-+或(1,3-或(1,8)-. 【解析】解：（1）抛物线的对称轴为422(1)x =-=⨯-.令1x =，得3y =.∴点A 的坐标为(1,3). 由抛物线的对称性可得，点B 的坐标为(3,3)， ∴线段AB 的长为2.（2）过点E 作EN PH ⊥，交PH 的延长线于点N ，PN 交BE 于点M ，如图1所示.点(1,1)E ，点(3,3)B ， ∴直线BE 的解析式为y x =.设点P 的坐标为2(4)(13)t t t t -+，＜＜， 则点M 的坐标为(,)t t . 则2211221()21(4)(31)3.2PBE PBM PEMS S S PM BH PM EN PM BH EN t t t t t =+=+=+=-++-⨯-=-△△△ 当32t =时，PBE △面积取得最大值，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭.H 的坐标为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.3.4PH ∴=过原点O 在y 轴左侧作射线OJ ，使30COJ ∠=，如图2所示，过点H 作HG OJ ⊥，垂足为G ，HG 与y 轴的交点为K ，当点F 与点K 重合时，12FO HF +取得最小值，此时11.22FO HF OK KH KG KH HG +=+=+=3060.GOK OKG CKH ∠=∴∠=∠=，在Rt CHK △中，3602CH CKH =∠=，，30CHK ∴∠=. 3tan302CK CH KH CK ∴=⨯===3OK ∴= 在Rt GOK △中，11322KG OK ⎛==⨯= ⎝⎭HG KG KH ∴=+=+=12PH HF FO ∴++的最小值为34PH HG +==（3）点S 的坐标为(5,3)或(1,3-或(1,3-或(1,8)-.【提示】（1）根据抛物线解析式求出对称轴，并求出点A 的坐标，由对称性得点B 的坐标，从而求出AB 的长；（2）过E 点作PH 的垂线，根据B ，E 两点坐标求出直线BE 的解析式，根据抛物线解析式设点P 的坐标，根据三角形的面积公式求出三角形面积关于P 点横坐标的函数解析式，利用二次函数的性质求得面积的最大值，从而求出点P ，H 的坐标，即可求出PH 的长，然后确定线段和取得最小值的条件，根据条件结合锐角三角函数求出线段的长，从而求出线段和的最小值； （3）根据（2）的结果，结合旋转的性质，根据抛物线的解析式设出点的坐标，表示出线段的长，根据菱形的四边相等，分情况讨论，列出方程，求出待定系数的值，从而求出满足条件的点的坐标.【考点】抛物线的性质、特殊角的三角函数、旋转的性质、菱形的判定和性质.（2016年26题）【答案】(1)△ABC 为直角三角形.理由如下：当y =0时，即21303x -+=，解这个方程，得1x =2x =∴点A (0)，B (0).OA ∴=OB =当x =0时，y =3，∴点C (0，3)，3OC ∴=.在Rt △AOC 中，22222312AC OA OC =+=+=.在Rt △BOC 中，22222336BC OB OC =+=+=.又2248AB ⎡⎤==⎣⎦，1236=48+，222AC BC AB ∴+=.△ABC 为直角三角形.(2)如图1，点B (0)，C (0，3).图1∴直线BC 的解析式为3y =+. 过点P 做PG ∥y 轴交直线BC 于点G .设点P (a ，2133a -+)，则点G (a ，3+)，21(3)(3)3PG a ∴=-+-+21=3a -+.设D 点横坐标为D x ，C 点横坐标为C x .1()2PCDD C Sx x PG =⨯-⨯211()23a =-2=628a --+.0a <<∴当a =PCD 的面积最大，此时点P ，154).如图1，将点P 'P ，连接'AP 交y 轴于点N ，过点N 做NM ⊥抛物线对称轴于点M ，连接PM .点Q 沿P M N A →→→运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM +MN +NA 的长.又点A (0)，∴ 直线'AP 的解析式为52y =+. 当x =0时，52y =，点N (0，52).过'P 作'P H ⊥x 轴于点H ，则有HA =15'4P H =，'AP =.∴点Q 运动的最短路径的长为PM MN AN ++=(3)如图2，在Rt △AOC 中，图2tanOC OAC OA ∠===60OAC ∴∠=︒.1OA OA =，1OAA ∴为等边三角形，1=60AOA ∠︒. 130BOC ∠=︒.又由13OC OC ==，得点1C (2，32).点A (0)，E 4)，AE ∴=.''A E AE ∴==直线AE 的解析式为2y x =+，设点'E (a 2+)，则点A (a -2-).22213'(2)2C E a ∴=++-27=733a -+22213A'(2)2C a =-+--27=4933a -+若1'''C A A E =，则有221'''C A A E =，即22777=4933a a ++.解这个方程，得a =∴点'E ，5) 若1'''A C A E =，则有221'''A C A E =即2749=2833a a -+解这个方程，得1a =，2a =.∴点'E 7+或7.若1'''E A E C =，则有221'''E A E C =，即277=283a +.解这个方程，得12a ，22a (舍去).∴点'E ，3+.综上所述，符合条件的点'E 的坐标为，5)或7或，7或，3+. 【考点】直角三角形的判定，利用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质，等腰三角形的性质（2015年26题）【答案】（1）y =+（2）R ，max '-'4RF RE =（3）S =【解析】（1）y =+ （2）22'(E M =++=+-2'F N =+故：2''E M F N +=+-当3m ==时，''E M F N +最大，此时E F∵'':E F y =+∵(0R ，max '-'4RF RE =（3）由题意，Q 点在CAB ∠的角平分线或外角平分线上 ①当Q 点在CAB ∠的角平分线上时，如图''Q M Q N ==，CW ='RMQ RNC ∆∆∽，故'RQRN =+△CRN ∵△CWO，故CN =∵4DN CD CN =-=故S =∵当Q 点在的外角平分线上时，如图'Q RN WCO △∽△，故'Q R =RM =RCM WCO △∽△，故CM =在''Rt Q MP ∆中，''3AM M ==，故''3CP MP CM =-=-在'Rt CP S ∆中，'P S =故S =综上所述，当点Q '到x 轴的距离与Q '到直线AW的距离相等时，S =S =．【提示】（1）求出抛物线与x 轴的交点坐标和顶点坐标，用待定系数法求解析式即可； （2）先求出E′、F′的坐标表示，然后求出E′M 、F′N ，用二次函数的顶点坐标求出当3m =时，''ME NF +的值最大，得到E′、F′的坐标，再求出E′F′的解析式，当点R 在直线E′F′与y 轴的交点时，||RF RE ''﹣的最大值，从而求出R 点的坐标及||RF RE ''﹣的最大值； （3）分类讨论Q 点在∠CAB 的角平分线或外角平分线上时，运用三角形相似求出相应线段，在求出△Q′P′G′与△ADC 的重叠部分面积为S ． 【考点】二次函数综合题。

中考重庆数学试题卷及答案

中考重庆数学试题卷及答案

中考重庆数学试题卷及答案重庆市中考数学试题卷一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 已知一个长方体的长、宽、高分别为10cm、8cm和6cm，其体积是多少立方厘米？A. 240B. 480C. 360D. 6003. 下列哪个表达式的结果为偶数？A. 21 + 17B. 23 + 19C. 22 + 18D. 24 + 164. 如果一个数除以3的余数是2，那么这个数除以5的结果是什么？A. 无余数B. 余数1C. 余数2D. 余数35. 下列哪个选项的因数个数最多？A. 12B. 9C. 15D. 206. 一个数的60%加上它的40%等于这个数的多少？A. 100%B. 90%C. 80%D. 110%7. 一个班级有40名学生，其中2/5是男生，那么这个班级有多少名女生？A. 16B. 24C. 32D. 368. 一个数的1/4加上它的3/4等于这个数的多少？A. 1/2B. 1C. 3/4D. 4/49. 下列哪个选项的数值是最小的？A. πB. √2C. 2.71828D. 110. 如果一个数的1/3与它的2/3相等，那么这个数是多少？A. 0B. 1C. 2D. 311. 一个正方形的面积是64平方厘米，它的周长是多少厘米？A. 16B. 32C. 48D. 6412. 下列哪个选项的数值最接近于1000？A. 999B. 1000C. 1001D. 1002二、填空题（每题4分，共24分）13. 一个数的1.5倍是45，那么这个数是_________。

14. 一本书的价格是35元，打8折后的价格是_________元。

15. 一个长方体的体积是120立方厘米，长是10厘米，宽是6厘米，那么它的高是_________厘米。

16. 一个数的75%是30，那么这个数的50%是_________。

17. 一个班级有50名学生，其中3/4是优秀学生，那么这个班级有多少名非优秀学生？_________名。

重庆中考数学25题二次函数专项训练：平行四边形的存在性

重庆中考数学25题二次函数专项训练：平行四边形的存在性

第二讲 平行四边形的存在性例1、（2022•重庆A ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++=221与直线AB 交于点A （0，4-），B （4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求PC+PD 的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中PC+PD 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点E ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．练习1、（2022•重庆B ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++-=243与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B （0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ⊥x 轴于点Q ，交AB 于点M ，求PM+56AM 的最大值及此时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，点P′与点P 关于抛物线c bx x y ++-=243的对称轴对称．将抛物线c bx x y ++-=243向右平移，使新抛物线的对称轴l 经过点A ．点C 在新抛物线上，点D 在l 上，直接写出所有使得以点A 、P′、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形的点D 的坐标，并把求其中一个点D 的坐标的过程写出来．练习2、如图1，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交于A （4-，0），B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 为直线AC 上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，求PD+PH 的最大值及此时点P 的坐标；（3）把抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 向右平移23个单位，再向上平移165个单位得新抛物线，在新抛物线对称轴上找一点M ，在新抛物线上找一点N ，直接写出所有使得以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．练习3、（选讲）在平面直角坐标系中，抛物线)0(32≠++=a bx ax y 与x 轴的交点为A(1-，0)，B(3，0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接AC ，BC ，P 是第一象限内抛物线上一动点，过点P 作PT ⊥x 轴交BC 于点T ，过点P 作PR//AC 与BC 交于点R ．求△PRT 的周长的最大值以及此时点P 的坐标；（3）如图2，将抛物线沿CA 方向平移，使得新抛物线'y 刚好经过点A ，设M 为新抛物线上一点，N 为原抛物线对称轴上一点，当点B ，C ，M ，N 组成的四边形为平行四边形时，直接写出点N 的纵坐标．自我巩固1、（2021•重庆B ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(42≠-+=a bx ax y 与x 轴交于点A （1-，0），B （4，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接PA ，PD ，求⊥PAD 面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线)0(42≠-+=a bx ax y 沿射线AD 平移24个单位，得到新的抛物线1y ，点E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．。

最新重庆中考数学第26题专题训练

最新重庆中考数学第26题专题训练

N MPCBA 1.如图，抛物线y=﹣x 2﹣2x+3 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求A 、B 、C 的坐标；（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ．过抛物线上一点F 作y轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若FG=2DQ ，求点F 的坐标．2.如图，已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，连接BC 。

（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）若点P 为线段BC 上的一点（不与B 、C 重合），PM ∥y 轴，且PM 交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，当△BCM 的面积最大时，求△BPN 的周长；（3）在（2）的条件下，当BCM 的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q ，使得△CNQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。

3．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）。

（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点。

①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值。

4.如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为A ，且与y 轴交于点C （0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．5.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线233334y x x=-++交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D。

重庆2012数学中考题的24、25、26题

重庆2012数学中考题的24、25、26题

24．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．五、解答题：（本大题2个小题，第25小题10分，第26小题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上．25．（2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）26．（2012•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC 交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．24．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．25．解答：解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：y1=，将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000，故y1=（1≤x≤6，且x取整数）；根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入得：，解得：，故y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）；（2）当1≤x≤6，且x取整数时：W=y1•x1+（12000﹣y1）•x2=•x+（12000﹣）•（x﹣x2），=﹣1000x2+10000x﹣3000，∵a=﹣1000＜0，x=﹣=5，1≤x≤6，∴当x=5时，W最大=22000（元），当7≤x≤12时，且x取整数时，W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000），=﹣x2+1900，∵a=﹣＜0，x=﹣=0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，∴当x=7时，W最大=18975.5（元），∵22000＞18975.5，∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000，设t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0，解得：t=，∵≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去），∴a≈57，答：a的值是57．26．解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：x=2，即BE=2；（2）存在满足条件的t，理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC，∴，即，∴ME=2﹣t，在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=，（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），∴t=﹣3+；（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解，综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=，∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，∵ME=2﹣t，∴FM=t，当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2，②当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4﹣t）=3﹣t，∴FK=2﹣EK=t﹣1，∵NL=AD=，∴FL=t﹣，∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=，∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，∴t=，∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1，∴当2＜t≤时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+2t ﹣，④如图⑥，当＜t≤4时，∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣t+．综上所述：当0≤t≤时，S=t2，当＜t≤2时，S=﹣t2+t﹣；当2＜t≤时，S=﹣t2+2t﹣，当＜t≤4时，S=﹣t+．。

重庆中考数学25题

重庆中考数学25题

25题二次函数专题【求三角形面积最大】1.（2012•眉山）已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．2.（2012•广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2012•十堰）抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．4.（2012•乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，-n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2-2x-3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．【构成图形】（线段和最短，面积等，直角三角形，平行四边形，菱形）1.（2012•梧州）如图，抛物线y=-x2+12x-30的顶点为A，对称轴AB与x轴交于点B．在x上方的抛物线上有C、D两点，它们关于AB对称，并且C点在对称轴的左侧，CB⊥DB．（1）求出此抛物线的对称轴和顶点A的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找出点Q，使它到A、C两点的距离相等，并求出点Q的坐标；（3）延长DB交抛物线于点E，在抛物线上是否存在点P，使得△DEP的面积等于△DEC的面积？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2012•宜宾）如图，抛物线y=x2-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2012•扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标； （3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4. (2012•株洲）如图，一次函数y=-12x+2分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点， 抛物线y=-x2+bx+c 过A 、B两点． （1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x 轴的直线x=t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．5.（2012•西宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，已知A （0，4）、C （5，0）．作∠AOC 的角平分线交AB 于点D ，连接DC ，过D 作DE ⊥DC 交OA 于点E ． （1）求点D 的坐标； （2）求证：△ADE≌△BCD；（3）抛物线经过A 、C 两点，连接AC ．探索：若点P 是x 轴下方抛物线上一动点，求点P作平行于y 轴的直线交AC 于点M ．是否存在点P ，使线段MP 长度有最大值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请你说明理由．6.（2012•烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．【全等，相似】1. (2012•威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为点F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形．（1）求该抛物线的表达式；（2）求点P的坐标；（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2012•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，-3）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．3.（2012•天水）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4. （2012•苏州）如图，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为______，点C的坐标为______ （用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【超级无敌综合题】1.（2012•恩施州）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．2.（2012•阜新）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．。

中考数学真题《规律探究题》专项测试卷(附答案)

中考数学真题《规律探究题》专项测试卷(附答案)

中考数学真题《规律探究题》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（26题）一 、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案用了9根木棍 第①个图案用了14根木棍 第①个图案用了19根木棍 第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（ ）A ．39B ．44C ．49D ．542．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案中有2个圆圈 第①个图案中有5个圆圈 第①个图案中有8个圆圈 第①个图案中有11个圆圈 … 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（ ）A ．14B ．20C ．23D ．263．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：23452345,a a a a a 第n 个单项式是（ ）A nB 11n n a --C n naD 1n na -4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中 每个网格小正方形的边长均为1个单位长度 以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去 所作正方形的顶点均在格点上 其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,05．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，， 若12a =，则2023a 的值是（ ） A ．12-B ．13C ．3-D ．26．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形 曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（ ）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004C ．2022D ．20238．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（ ）A ．199B ．200C ．201D ．2029．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a =以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-二 填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差 且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数 可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 第23个智慧优数是 ．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳 氢元素组成的有机化合物 在生产生活中可作为燃料 润滑剂等原料 也可用于动 植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷 乙烷 丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示 如十一烷 十二烷……）等 甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示 按照此规律 十二烷的化学式为 ．12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是 ．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯 分别对应着编号为1-100的100个开关 灯分为“亮”和“不亮”两种状态 每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态 所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人 第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次 第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次 第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程 可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏．14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案 其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形 第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为 （用含n 的式子表示）．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案 它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片 第2个图案中有6个白色圆片 第3个图案中有8个白色圆片 第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律 第n 个图案中有 个白色圆片（用含n 的代数式表示）16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置 并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍 得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍 得到22A OB △ …．依次类推 得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为点2023A 的坐标为 ．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =．19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点 它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始 把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 就会发现其中的规律．请写出第n 个数对： ．21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上 延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上 以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是 ．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数 探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现 完成填空：第①行数的第10个数为 取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．25．（2023·四川广安·统考中考真题）在平面直角坐标系中 点1234A A A A 、、、在x 轴的正半轴上 点123B B B 、、在直线()0y x =≥上 若点1A 的坐标为()2,0 且112223334A B A A B A A B A △、△、△均为等边三角形．则点2023B 的纵坐标为 ．26．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上 顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴 且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线 垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴 交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线 垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴 交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是 ．参考答案一 单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案用了9根木棍 第①个图案用了14根木棍 第①个图案用了19根木棍 第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（ ）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律 由此即可得到答案． 【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍 第①个图案用了45214+⨯=根木棍 第①个图案用了45319+⨯=根木棍 第①个图案用了45424+⨯=根木棍 ……第①个图案用的木棍根数是45844+⨯=根 故选：B ．【点睛】此题考查了图形类规律的探究正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案其中第①个图案中有2个圆圈第①个图案中有5个圆圈第①个图案中有8个圆圈第①个图案中有11个圆圈… 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律即可求解.=⨯-【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈2311=⨯-第①个图案中有5个圆圈5321=⨯-第①个图案中有8个圆圈8331=⨯-第①个图案中有11个圆圈11341…⨯-=所以第①个图案中圆圈的个数为37120故选：B.n-是解题的【点睛】本题考查了图形类规律探究根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31关键.3．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a第n个单项式是（）B1n-C n D1n-A【答案】C字母为a指数为1开始的自然数据此即可求解．【分析】根据单项式的规律可得【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a第n n故选：C．【点睛】本题考查了单项式规律题找到单项式的变化规律是解题的关键．4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去 所作正方形的顶点均在格点上 其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,0【答案】A【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环 从而可得出点坐标的规律()323n A n n --，．【详解】解：①()121A -， ()412A -， ()703A ， ()1014A ，①()323n A n n --，①1003342=⨯-，则34n =①()1003134A ， 故选：A ．【点睛】本题考查了点的规律变化 解答本题的关键是仔细观察图象 得到点的变化规律． 5．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，， 若12a =，则2023a 的值是（ ） A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =- 413a = 52a =…… 由此可得规律求解．【详解】解：①12a =①212312a +==-- 3131132a -==-+ 411121312a -==+51132113a +==- ……. 由此可得规律为按2 3- 12- 13四个数字一循环①20234505.....3÷= ①2023312a a ==- 故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律 解题的关键是得到数字的一般规律．6．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形 曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（ ）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π【答案】A【分析】曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的 半径每次比前一段弧半径12+ 得到1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+ 得出半径 再计算弧长即可．【详解】解：由图可知 曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的 半径每次比前一段弧半径12+∴112AD AA ==111BA BB == 1132CB CC == 112DC DD ==12122AD AA ==+2221BA BB ==+ 22322CB CC ==+ 2222DC DD ==+ ⋯⋯1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+故20232023A B 的半径为()202320231420231140452BA BB ==⨯⨯-+=∴20232023A B 的弧长90404540451802ππ=⨯=． 故选A【点睛】此题主要考查了弧长的计算 弧长的计算公式：180n rl π= 找到每段弧的半径变化规律是解题关键． 7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004 C ．2022 D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致 故202023在第20列 即20b = 向前递推到第1列时 分数为201912023192042-=+ 故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =． ①2042202022.a b -=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点 解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．8．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（ ）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果． 【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ 122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ …2100200(100)1100101f ⨯==+ 1212100()11001011100f ⨯==+1(100)()2100f f += 11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+ 201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算 熟练掌握运算法则 找到数字变化规律是解本题的关键． 9．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n --- 再利用规律解题即可． 【详解】解：第1圈有1个点 即1(0,0)A 这时10a = 第2圈有8个点 即2A 到()91,1A 第3圈有16个点 即10A 到()252,2A 依次类推 第n 圈 ()211,1n A n n ---由规律可知：2023A 是在第23圈上 且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+= 故A 选项不正确 2024A 是在第23圈上 且()202421,22A 即2024212243a =+= 故B 选项正确第n 圈 ()211,1n A n n --- 所以2122n a n -=- 故C D 选项不正确 故选B ．【点睛】本题考查图形与规律 利用所给的图形找到规律是解题的关键．二 填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差 且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数 可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 第23个智慧优数是 ． 【答案】 15 45【分析】根据新定义 列举出前几个智慧优数 找到规律 进而即可求解．【详解】解：依题意 当3m = 1n =，则第1个一个智慧优数为22318-= 当4m = 2n =，则第2个智慧优数为224214-= 当4m = 1n =，则第3个智慧优数为224115-= 当5m = 3n =，则第5个智慧优数为225316-= 当5m = 2n =，则第6个智慧优数为225221-= 当5m = 1n =，则第7个智慧优数为225324-= ……6m =时有4个智慧优数 同理7m =时有5个 8m =时有6个12345621+++++=第22个智慧优数 当9m =时 7n = 第22个智慧优数为2297814932-=-= 第23个智慧优数为9,6m n ==时 2296813645-=-= 故答案为：15 45．【点睛】本题考查了新定义 平方差公式的应用 找到规律是解题的关键．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳 氢元素组成的有机化合物 在生产生活中可作为燃料 润滑剂等原料 也可用于动 植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷 乙烷 丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示 如十一烷 十二烷……）等 甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示 按照此规律 十二烷的化学式为 ．【答案】1226C H【分析】根据碳原子的个数 氢原子的个数 找到规律 即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H ……碳原子的个数为序数 氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个十二烷的化学式为1226C H 故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题 找到规律是解题的关键． 12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是 ．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数 等式的右边为这个数乘以这个数减1 即可求解． 【详解】解：①21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …①第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律 找到规律是解题的关键．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯 分别对应着编号为1-100的100个开关 灯分为“亮”和“不亮”两种状态 每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态 所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人 第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次 第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次 第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程 可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏． 【答案】10【分析】灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮” 确定1-100中 各个数因数的个数 完全平方数的因数为奇数个 从而求解．【详解】所有灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮”因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数 1-100中 完全平方数为1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 有10个数 故有10盏灯被按奇数次 为“亮”的状态 故答案为：10．【点睛】本题考查因数分解 完全平方数 理解因数的意义 完全平方数的概念是解题的关键． 14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案 其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形 第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为 （用含n 的式子表示）．【答案】66n +/66n +【分析】当1n =时 有()2114+=个三角形 当2n =时 有()2216+=个三角形 当3n =时 有()2318+=个三角形 第n 个图案有()2122n n +=+个三角形 每个三角形用三根计算即可．【详解】解：当1n =时 有()2114+=个三角形 当2n =时 有()2216+=个三角形 当3n =时 有()2318+=个三角形 第n 个图案有()2122n n +=+个三角形 每个三角形用三根故第n 个图案需要火柴棍的根数为66n +． 故答案为：66n +．【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题 熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案 它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片 第2个图案中有6个白色圆片 第3个图案中有8个白色圆片 第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律 第n 个图案中有 个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯ ⋯ 可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯⋯①第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片． 故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律 通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素 然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=- 进而即可求解． 【详解】解：依题意 ()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-， ①123n a a a a ++++=()21432122n n n n n n +-==-=- 故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律 找到规律是解题的关键．17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置 并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍 得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍 得到22A OB △ …．依次类推 得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为 点2023A 的坐标为 ．【答案】 20232 ()202220222,2【分析】根据旋转角度为60︒ 可知每旋转6次后点A 又回到x 轴的正半轴上 故点2023A 在第四象限 且202320232OA = 即可求解．【详解】解：①AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0 ①1OA =①每次旋转角度为60︒ ①6次旋转360︒第一次旋转后 1A 在第四象限 12OA =第二次旋转后 2A 在第三象限 222OA =第三次旋转后 3A 在x 轴负半轴 332OA =第四次旋转后 4A 在第二象限 442OA =第五次旋转后 5A 在第一象限 552OA =第六次旋转后 6A 在x 轴正半轴 662OA =……如此循环 每旋转6次 点A 的对应点又回到x 轴正半轴①202363371÷=点2023A 在第四象限 且202320232OA =如图，过点2023A 作2023A H x ⊥轴于H在2023Rt OHA 中 202360HOA ∠=︒①202320232022202320231cos 2cos60222OH OA HOA =⋅∠=⨯︒=⨯=202320222023202320233sin 232A H OA HOA =⋅∠= ①点2023A 的坐标为()202220222,32．故答案为：20232 ()202220222,32．【点睛】本题考查图形的旋转 解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质 根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =． 【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子 抽象出相应的数字规律 进行作答即可． 【详解】解：①21312⨯+= 22413⨯+=23514⨯+=……①()()2211n n n ++=+①()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律． 19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点 它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．【答案】2023253【分析】求出1234,,,P P P P …的纵坐标 从而可计算出1234,,,S S S S …的高 进而求出1234,,,S S S S … 从而得出123n S S S S +++⋯+的值．【详解】当1x =时 1P 的纵坐标为8 当2x =时 2P 的纵坐标为4 当3x =时 3P 的纵坐标为83当4x =时 4P 的纵坐标为2当5x =时 5P 的纵坐标为85…则11(84)84S =⨯-=- 2881(4)433S =⨯-=-3881(2)233S =⨯-=-481(2)2558S =⨯-=- (881)n S n n =-+ 1238888888844228335111n n S S S S n n n n +++⋯+=-+-+-+-++-=-=+++ ①12320238202320242532023S S S S ⨯+++⋯+==． 故答案为：2023253． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用 解题的关键是求出881n S n n =-+． 20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始 把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 就会发现其中的规律．请写出第n 个数对： ．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++ 第n 个数对的第二个位：()211n ++ 即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3 7 13 21 31 … 即：121⨯+ 231⨯+ 341⨯+ 451⨯+ 561⨯+ … 则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++ 每个数对的第二个数分别为5 10 17 26 37 … 即：221+ 231+ 241+ 251+ 261+… 则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++①第n 个数对为：()221,22n n n n ++++ 故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律 找出数字之间的排列规律 利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．【答案】()2023,1-【分析】将四分之一圆弧对应的A 点坐标看作顺时针旋转90︒ 再根据A 1A 2A 3A 4A 的坐标找到规律即可．【详解】①A 点坐标为()1,1 且1A 为A 点绕B 点顺时针旋转90︒所得 ①1A 点坐标为()2,0又①2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转90︒所得 ①2A 点坐标为()0.2-又①3A 为2A 点绕C 点顺时针旋转90︒所得 ①3A 点坐标为()3,1-又①4A 为3A 点绕A 点顺时针旋转90︒所得 ①4A 点坐标为()1,5由此可得出规律：n A 为绕B O C A 四点作为圆心依次循环顺时针旋转90︒ 且半径为1 2 3 n每次增加1． ①202355053÷=故2023A 为以点C 为圆心 半径为2022的2022A 顺时针旋转90︒所得 故2023A 点坐标为()2023,1-． 故答案为：()2023,1-．【点睛】本题考查了点坐标规律探索 通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上 延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上 以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是 ．【答案】20221⎛ ⎝⎭【分析】分别求出点点1B 的横坐标是1 点2B 的横坐标是1 点3B 2413⎛+= ⎝⎭找到规律 得到答案见即可．【详解】解：当0y = 0= 解得1x = ①点()11,0A ,①111A B C O 是正方形 ①11111OA A B OC === ①点()11,1B ①点1B 的横坐标是1当1y =时 1 解得1x =+①点21A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭①2221A B C C 是正方形①2212211A B C C A C ===①点212B ⎛ ⎝⎭即点2B 的横坐标是1当2y =时 2= 解得)223x =①点34,23A ⎝⎭①3332A B C C 是正方形①33233243A B C C A C ===①点3B 2413⎛= ⎝⎭……以此类推，则点2023B 的横坐标是202231⎛ ⎝⎭故答案为：202231⎛ ⎝⎭【点睛】此题是点的坐标规律题 考查了二次函数的图象和性质 正方形的性质等知识 数形结合是是解题的关键．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数 探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现 完成填空：第①行数的第10个数为 取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．【答案】 1024 202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n - 第二行数的规律为(2)1n n -++ 代入数据即可. 【详解】第一行数的规律为(2)n - ①第①行数的第10个数为10(2)1024-= 第二行数的规律为(2)1n n -++①第①行数的第2023个数为2023(2)- 第①行数的第2023个数为2023(2)2024-+ ①202422024-+故答案为：1024 202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化 找其中的规律 是今年考试中常见的题型. 24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．。

重庆数学中考试题及答案

重庆数学中考试题及答案

重庆数学中考试题及答案****一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是正数？A. -2B. 0C. 3D. -0.5**答案：C**2. 以下哪个选项是二次方程的解？A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 + 4x + 4 = 0C. x^2 - 4x - 4 = 0D. x^2 + 4x - 4 = 0**答案：A**3. 以下哪个函数是一次函数？A. y = 2x + 3B. y = x^2 + 2C. y = 3x^3 - 2D. y = 1/x**答案：A**4. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线**答案：A**5. 以下哪个选项是等腰三角形？A. 三边长分别为3, 4, 5B. 三边长分别为2, 2, 3C. 三边长分别为1, 1, 2D. 三边长分别为4, 5, 6**答案：B**6. 下列哪个选项是锐角三角形？A. 三角形内角分别为30°, 60°, 90°B. 三角形内角分别为45°, 45°, 90°C. 三角形内角分别为60°, 60°, 60°D. 三角形内角分别为50°, 70°, 60° **答案：D**7. 以下哪个选项是不等式？A. 2x + 3 = 5B. 3x - 2 > 4C. 5y - 7 = 0D. 4z + 6 ≤ 10**答案：B**8. 以下哪个选项是反比例函数？A. y = 2xB. y = 1/xC. y = x^2D. y = 3x + 2**答案：B**9. 以下哪个选项是相似三角形？A. 三角形ABC和三角形DEF，AB/DE = AC/DF = BC/EFB. 三角形ABC和三角形DEF，AB/DE ≠ AC/DF = BC/EFC. 三角形ABC和三角形DEF，AB/DE = AC/DF ≠ BC/EFD. 三角形ABC和三角形DEF，AB/DE ≠ AC/DF ≠ BC/EF **答案：A**10. 以下哪个选项是圆的标准方程？A. (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1B. x^2 + y^2 = 4C. (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 9D. x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0**答案：B**二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数的相反数是-5，这个数是 _______。

23年重庆中考数学a卷26题解析

23年重庆中考数学a卷26题解析

23年重庆中考数学a卷26题解析【提纲】1.题目概述2018年重庆中考数学A卷第26题是一道几何题，主要考察了学生的三角形全等判定和几何计算能力。

题目如下：已知三角形ABC和DEF分别为等边三角形，边长为2，点G为△ABC的重心，点H为△DEF的重心，现将△ABC和△DEF拼接在一起，组成一个八边形AGBHCDEF。

请问：八边形AGBHCDEF的面积是多少？2.解题思路首先，我们需要明确题目所给出的信息，包括两个等边三角形ABC和DEF 的边长为2，以及点G和点H分别是两个三角形的重心。

接下来，我们需要找到八边形AGBHCDEF的面积与三角形ABC和DEF的面积之间的关系。

3.解题步骤（1）根据重心的性质，可以得到GH // BC，且GH = 2/3 * BC = 2/3 * 2 = 4/3。

（2）由于△GHF ∽ △ABC，可以得到比例关系：GH / AB = FH / BC = 1 / 2。

进而求得FH = BC / 2 = 1。

（3）同理，由于△EHG ∽ △ABC，可以得到EG / AB = GH / BC = 1 / 2。

求得EG = AB / 2 = 1。

（4）计算八边形AGBHCDEF的面积。

八边形可以分割成四个小三角形，分别为△AGB、△ACH、△BHC和△DEF。

每个小三角形的面积可以通过海伦公式计算，然后将四个小三角形的面积相加即可得到八边形的面积。

4.解题要点（1）掌握三角形重心的性质，如重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。

（2）熟练运用相似三角形的判定和性质，如相似三角形的边长比例相等，对应角度相等。

（3）熟悉海伦公式，用于计算三角形的面积。

5.类似题型练习建议针对这类题目，建议同学们多加练习，熟练掌握三角形全等判定、相似三角形判定和几何计算方法。

在解题过程中，注意观察图形的特征，善于发现规律，灵活运用所学知识。

专题26 全等三角形的应用(基础)-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学(解析版)

专题26 全等三角形的应用(基础)-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学(解析版)

专题26 全等三角形的应用（基础）1．如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A 、B 间的距离：现在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD ＝AC ；连接BC 并延长到E ，使CE ＝CB ；连接DE 并测量出它的长度． （1）求证：DE ＝AB ；（2）如果DE 的长度是8m ，则AB 的长度是多少？【分析】（1）利用SAS 直接得出△CDE ≌△CAB ，进而得出答案； （2）利用（1）中所求得出AB 的长即可． 【解答】（1）证明：在△CDE 和△CAB 中， {CD =CA∠DCE =∠BCA CE =CB， ∴△CDE ≌△CAB （SAS ）， ∴DE ＝AB ；（2）解：∵DE ＝AB ，DE ＝8m ， ∴AB ＝8m ．答：AB 的长度是8m ．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，得出△CDE ≌△CAB 是解题关键．2．公路上，A ，B 两站相距25千米，C 、D 为两所学校，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，如图，已知DA ＝15千米，现在要在公路AB 上建一报亭H ，使得C 、D 两所学校到H 的距离相等，且∠DHC ＝90°，问：H 应建在距离A 站多远处？学校C 到公路的距离是多少千米？【分析】根据同角的余角相等求出∠D ＝∠CHB ，再利用“角角边”证明△ADH 和△BHC 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD ＝BH ，AH ＝BC ，再根据AH ＝AB ﹣BH 计算即可得解． 【解答】解：∵∠DHC ＝90°， ∴∠AHD +∠CHB ＝90°， ∵DA ⊥AB ，∴∠D +∠AHD ＝90°， ∴∠D ＝∠CHB ，在△ADH 和△BHC 中，{∠D =∠CHB∠A =∠B =90°DH =CH ，∴△ADH ≌△BHC （AAS ）， ∴AD ＝BH ＝15千米，AH ＝BC ， ∵A ，B 两站相距25千米， ∴AB ＝25千米，∴AH ＝AB ﹣BH ＝25﹣15＝10千米， ∴学校C 到公路的距离是10千米．答：H 应建在距离A 站10千米处，学校C 到公路的距离是10千米．【点评】本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法求出两三角形全等是解题的关键．3．如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B ．连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ．连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB ．连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离．为什么？【分析】利用“边角边”证明△ABC 和△DEC 全等，再根据全等三角形对应边相等解答． 【解答】解：量出DE 的长就等于AB 的长，理由如下： 在△ABC 和△DEC 中，{BC =CE∠ACB =∠DCE CA =CD ，∴△ABC ≌△DEC （SAS ）， ∴AB ＝DE ．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．4．如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D ，E 两地，DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，D ，E 与路段AB 的距离相等吗？为什么？【分析】首先根据题意可知AC ＝CB ，DC ＝EC ，再根据HL 定理证明Rt △ACD ≌Rt △BCE ，可得到AD ＝BE ．【解答】解：D ，E 与路段AB 的距离相等，理由：∵点C 是路段AB 的中点， ∴AC ＝CB ，∵两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走， ∴DC ＝EC ，∵DA ⊥AB ，EB ⊥AB ， ∴∠A ＝∠B ＝90°， 在Rt △ACD 和Rt △BCE 中 ∵{AC =CB CD =CE， ∴Rt △ACD ≌Rt △BCE （HL ）， ∴AD ＝BE ．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决此题的关键是证明Rt △ACD ≌Rt △BCE ． 5．如图所示，有两个长度相同的滑梯BC 和EF ，CA ⊥BF ，ED ⊥BF ，垂足分别为A ，D ，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等．问：两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？【分析】由图可得，△ABC 与△DEF 均是直角三角形，由已知可根据HL 判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解．【解答】解：∠ABC +∠DFE ＝90°，理由如下：由题意可得：△ABC 与△DEF 均是直角三角形，且BC ＝EF ，AC ＝DF ． 在Rt △ABC 和Rt △DEF 中， {BC =EF AC =DF， ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）， ∴∠ABC ＝∠DEF ， ∵∠DEF +∠DFE ＝90°， ∴∠ABC +∠DFE ＝90°．【点评】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键．6．某广场是一个四边形区域ABCD ，现测得：AB ＝60m ，BC ＝80m ，且∠ABC ＝30°，∠DAC ＝60°，试求水池两旁B ，D 两点之间的距离．【分析】以AB 为边在△ABC 外侧作等边△ABE ，连接CE ，求出△EAC ≌△DAB 可得：BD ＝CE ，证明△EBC 是直角三角形，利用勾股定理求出CE 的长度，即可解答． 【解答】解：以AB 为边在△ABC 外侧作等边△ABE ，连接CE ． ∵∠EAB ＝∠DAC ＝60°， ∴∠EAB +∠BAC ＝∠DAC +∠BAC ， ∴∠EAC ＝∠DAB ， 在△EAC 和△DAB 中， {AE =AB∠EAC =∠DAB AC =AD， ∴△EAC ≌△DAB （SAS ）， ∴BD ＝CE ，∴∠EBC ＝60°+30°＝90°， ∴△EBC 是直角三角形， ∵EB ＝60m BC ＝80m ，∴CE =√BE 2+BC 2=√602+802=100（m ）． ∴水池两旁B 、D 两点之间的距离为100m ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟记性质与判定方法是解题的关键，难点在于（灵活运用）作出辅助线构造成等边三角形和直角三角形．7．如图，两只蚂蚁分别位于一个正方形相邻的两个顶点A ，B 上，它们分别沿AE ，BF 的路线向BC 和CD 爬行，如果AE 和BF 相互垂直，那么它们爬行的距离相等吗？【分析】根据题意得出△ABE ≌△BCF （SAS ），可得AE ＝BF ，进而得出答案． 【解答】解：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°， ∵∠CBF +∠ABO ＝90°， ∴∠EAB +∠ABO ＝90°， ∴∠CBF ＝∠EAB ， 在△BFC 和△AEB 中 {∠BFC =∠AEB∠C =∠ABE AB =BC∴△BFC ≌△AEB （AAS ）， ∴AE ＝BF ．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意得出∠CBF ＝∠EAB 是解题关键．8．如图，平面上的四边形ABCD 是一只“风筝”的骨架，其中AB ＝AD ，CB ＝CD ，某同学观察了这只“风筝”的骨架后，认为四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 垂直，垂足为E ，并且BE ＝ED ，你同意这位同学的判断吗？请说明理由．【分析】根据中垂线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的中垂线上来判定． 【解答】解：正确；理由如下： ∵AB ＝AD ，∴点A 在BD 的垂直平分线上． ∵CB ＝CD ，∴点C 在BD 的垂直平分线上．∴AC 为BD 的垂直平分线，BE ＝DE ，AC ⊥BD ．【点评】本题利用了中垂线的判定定理求解，关键是根据到线段两个端点距离相等的点在线段的中垂线上分析．9．有一张纸片的形状如图所示，其中已知∠1＝∠2，纸片中的△ABC 和△ADC 是全等的，小红说：“只要给我一个量角器，我就能验证：这两个三角形是全等．”小明不相信，你知道小红是怎样做的吗？如果知道，请写出小红的验证过程．【分析】直接利用全等三角形的判定方法（AAS ），进而得出答案．【解答】解：只要量出∠B 与∠D 的度数，若两角度数相等，则△ABC 和△ADC 全等． 理由：在△ABC 和△ADC 中，∵{∠B =∠D∠1=∠2AC =AC，∴△ABC ≌△ADC （AAS ）．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．10．小红在课外活动时，不小心把老师用的三角形教具弄坏了一个角，如图①所示，她想用一块同样材料的薄板把它补上，想出以下办法：（1）先量出∠AED ，∠BDE 的度数，量出DE 的长；（2）在同样的材料上取D 1E 1＝DE ，用量角器∠ME 1D 1＝180°﹣∠AED ″，∠ND 1E 1＝180°﹣∠BDE ，如图②所示，两射线E 1M ，D 1N 交于点C 1，剪下△C 1D 1E 1，将其与原三角形黏合就能把三角形教具修好，你认为这两种方法可行吗？道理是什么？【分析】利用全等三角形的判定定理ASA 证得△C 1D 1E 1≌△CDE 即可． 【解答】解：这个方法可行，理由如下：∵∠ME 1D 1＝180°﹣∠AED ，∠ND 1E 1＝180°﹣∠BDE ， ∴∠ME 1D 1＝∠CED ，∠ND 1E 1＝∠CDE ， ∴在△C 1D 1E 1与△CDE 中，{∠ME 1D 1=∠CEDD 1E 1=DE ∠ND 1E 1=∠CDE ，∴△C 1D 1E 1≌△CDE （ASA ）， ∴该方法可行．【点评】本题考查了全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．11．如图，把一个长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，测得AM ＝8m ，BM ＝6m ，梯子沿墙下滑到CD 位置，测得∠ABM ＝∠DCM ，求梯子下滑的高度．【分析】由全等三角形的判定定理AAS 得到△ABM ≌△DCM ，则其对应边相等：BM ＝CM ，AM ＝DM ，故AC ＝DM ﹣BM ＝2m ．【解答】解：∵在△ABM 与△DCM 中，{∠AMB =∠DMC∠ABM =∠DCM AB =DC ，∴△ABM ≌△DCM （AAS ）， ∴BM ＝CM ＝6m ，AM ＝DM ＝8m ， ∴AC ＝AM ﹣CM ＝2m ． 即梯子下滑的高度是2m ．【点评】本题考查了全等三角形的应用．解题时，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．12．如图所示，四边形ABCD 是一条河堤坝的横截面，AE ＝BF ，且AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，AD ＝BC ，∠C 与∠D 是否相等？为什么？【分析】首先利用HL 定理证明Rt △ADE ≌Rt △BCF ，再根据全等三角形的性质可得∠C ＝∠D ． 【解答】解：∠C ＝∠D ， ∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ， ∴∠AED ＝∠BFC ＝90°， 在Rt △ADE 和Rt △BCF 中， {AD =BC AE =BF， ∴Rt △ADE ≌Rt △BCF （HL ）， ∴∠C ＝∠D ．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法．13．如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴B 到地面的距离BD ＝2.5m ．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A 时，测得点A 到BD 的距离AC ＝1.5m ．点A 到地面的距离AE ＝1.5m ，当他从A 处摆动后的坐板记为A ′． （1）若A ′B ⊥AB 时，求A '到BD 的距离；（2）若A ′距地面最近时，求A '到地面的距离（结果精确到0.01，√13=3.606）．【分析】（1）作A 'F ⊥BD ，垂足为F ，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）如图2，作A 'F ⊥BD ，垂足为F ． ∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠A 'FB ＝90°； 在Rt △A 'FB 中，∠1+∠3＝90°； 又∵A 'B ⊥AB ， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3； 在△ACB 和△BF A '中， {∠ACB =∠A ′FB∠2=∠3AB =A′B，∴△ACB ≌△BF A '（AAS ）； ∴A 'F ＝BC∵AC ∥DE 且CD ⊥AC ，AE ⊥DE ， ∴CD ＝AE ＝1.5；∴BC ＝BD ﹣CD ＝2.5﹣1.5＝1（m ）， ∴A 'F ＝1（m ），即A '到BD 的距离是1m ． （2）由（1）知：△ACB ≌△BF A ' ∴BF ＝AC ＝1.5m ， 作A 'H ⊥DE ，垂足为H ． ∵A 'F ∥DE ， ∴A 'H ＝FD ，∴A 'H ＝BD ﹣BF ＝2.5﹣1.5＝1（m ），即A '到地面的距离是2.5−√1．52−12≈2.5﹣1.8＝0.7m ．【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△ADC ≌△CEB ； （2）求两堵木墙之间的距离．【分析】（1）根据题意可得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，进而得到∠ADC ＝∠CEB ＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE ＝∠DAC ，再证明△ADC ≌△CEB 即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答．【解答】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠DAC在△ADC 和△CEB 中{∠ADC =∠CEB∠DAC =∠BCE AC =BC，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）解：由题意得：AD ＝2×3＝6cm ，BE ＝7×2＝14cm ， ∵△ADC ≌△CEB ，∴EC ＝AD ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ， ∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ）， 答：两堵木墙之间的距离为20cm ．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．15．某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB 和CD 的长度相等，O 是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD 设计为35cm ，由以上信息能求出CB 的长度吗？如果能，请求出CB 的长度；如果不能，请说明理由．【分析】根据中点定义求出OA ＝OB ，OC ＝OD ，然后利用“边角边”证明△AOD 和△BOC 全等，根据全等三角形对应边相等即可证明． 【解答】解：∵O 是AB 、CD 的中点， ∴OA ＝OB ，OC ＝OD ， 在△AOD 和△BOC 中， {OA =OB∠AOD =∠BOC OC =OD， ∴△AOD ≌△BOC （SAS ）， ∴CB ＝AD ， ∵AD ＝35cm ， ∴CB ＝35cm ，答：CB 的长度为35cm ．【点评】本题考查了全等三角形的应用，证明得到三角形全等是解题的关键．16．如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打出，墙壁厚是35cm ，B 点与O 点的铅直距离AB 长是20cm ，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．【分析】利用“角边角”证明Rt △OAB 和Rt △OCD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB ＝DC ，从而得解．【解答】解：∵OC ＝35cm ，墙壁厚OA ＝35cm ， ∴OC ＝OA ， ∵墙体是垂直的，∴∠OAB ＝90°且CD ⊥OC ， ∴∠OAB ＝∠OCD ＝90°，在Rt △OAB 和Rt △OCD 中，{∠OAB =∠OCD =90°OC =OA∠AOB =∠COD ，∴Rt △OAB ≌Rt △OCD （ASA ）， ∴DC ＝AB ， ∵DC ＝20cm ， ∴AB ＝20cm ，∴钻头正好从B 点处打出．【点评】本题考查了全等三角形的应用，读懂题目信息确定出全等三角形是解题的关键． 17．课间，小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图AD ⊥DE ，BE ⊥DE ． （1）求证：△ADC ≌△CEB ；（2）若三角板的一条直角边AC ＝25cm ，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小（每块砖的厚度相等）．【分析】（1）根据题意可得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，进而得到∠ADC ＝∠CEB ＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE ＝∠DAC ，再证明△ADC ≌△CEB 即可． （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【解答】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠DAC ，在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC =∠CEB∠DAC =∠BCE AC =BC ，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）解：∵一块墙砖的厚度为a ，∴AD ＝4a ，BE ＝3a ，由（1）得：△ADC ≌△CEB ，∴DC ＝BE ＝3a ，AD ＝CE ＝4a ，∴AC =√AD 2+CD 2=5a ＝25，∴a ＝5，答：砌墙砖块的厚度a 为5cm ．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．18．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X 型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA ＝OD ，OB ＝OC ，只需测得AB ＝a ，EF ＝b ，就可以知道圆形容器的壁厚了．（1）请你利用所学习的数学知识说明AB ＝CD ；（2）求出圆形容器的壁厚．（用含有a ，b 的代数式表示）【分析】（1）连接AB ，只要证明△AOB ≌△DOC ，可得AB ＝CD ，即可解决问题；（2）利用（1）中所求即可得出圆形容器的壁厚．【解答】解：（1）连接AB ．在△AOB 和△DOC 中，{OA =OD ∠AOB =∠DOC BO =OC，∴△AOB ≌△DOC （SAS ），∴AB ＝CD ；（2）∵EF ＝b ，AB ＝CD ＝a ，∴圆形容器的壁厚是12（b ﹣a ）．【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．属于中考常考题型．19．某风景区改建中，需测量湖两岸游船码头A 、B 间的距离，于是工作人员在岸边A 、B 的垂线AF 上取两点E、D，使ED＝AE．再过D点作出AF的垂线OD，并在OD上找一点C，使B、E、C在同一直线上，这时测得CD长就是AB的距离．请说明理由．【分析】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑AAS证明三角形全等，从而推出线段相等．【解答】证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD∴∠A＝∠CDE＝90°又∵ED＝AE，∠AEB＝∠CED∴△ABE≌△CED（AAS）所以AB＝CD．【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．20．如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯BC的高AC与右边滑梯EF水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？【分析】已知Rt△ABC和Rt△DEF中，BC＝EF，AC＝DF，利用“HL”可判断两三角形全等，根据确定找对应角相等，根据直角三角形两锐角的互余关系，确定ABC与∠DFE的大小关系．【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，{BC=EF AC=DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）∴∠ABC＝∠DEF又∵∠DEF+∠DFE＝90°∴∠ABC+∠DFE＝90°即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余．【点评】本题考查了全等三角形的应用；确定两角的大小关系，通常可证明这两角所在的三角形全等，根据对应角相等进行判定．。

中考数学26题汇编练习及答案

中考数学26题汇编练习及答案

x 的请回答：（1） 当k ＝1时，使得原等式成立的x 的个数为 _______； （2） 当0＜k ＜1时，使得原等式成立的x 的个数为_______； （3） 当k ＞1时，使得原等式成立的x 的个数为 _______． 参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x 的不等式只有一个整数解，求的取值范围．26．（1）小明遇到下面一道题：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90º，∠ACB =30º，BE ⊥AC 于点E ，且．如果AB =1，求CD 边的长．小明在解题过程中发现，图1中，△CDE 与△ 相似，CD 的长度等于，线段CD 与线段 的长度相等；他进一步思考：如果（是锐角），其他条件不变，那么CD 的长度可以表示为CD = ；（用含的式子表示） （2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题：)240 ()x a a x+-<＞0a =CDE ACB ∠∠ACB α∠=αα在Rt △OMN 中，∠MON =90º，OM ＜ON ，OQ ⊥MN 于点Q ，直线l 经过点M ，且l ∥ON ．请在直线l 上找出点P 的位置，使得．请写出你的画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画出一个即可，保留画图痕迹，不要求证明）26 .阅读材料如图1，若点P 是⊙O 外的一点，线段PO 交⊙O 于点A,则PA 长是点P 与⊙O 上各点之间的最短距离.图1 图2 证明：延长PO 交⊙O 于点B ，显然PB>PA .如图2，在⊙O 上任取一点C （与点A ，B 不重合），连结PC ，OC .∴PA 长是点P 与⊙O 上各点之间的最短距离.NPQ ONM ∠=∠,,,,PO PC OC PO PA OA OA OC PA PC <+=+=∴<且由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差.请用上述真命题解决下列问题．(1)如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，以BC 为直径的半圆交AB 于D ，P 是上的一个动点，连接AP ，则AP长的最小值是 ．图3(2)如图4，在边长为2的菱形中，∠=60°，是边的中点，点是边上一动点，将△沿所在的直线翻折得到△，连接,①求线段A ’M 的长度; ②求线段长的最小值.26．问题背景：在△ABC 中，AB ，BC ，AC 三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC 的高，借用网格就能计算出它的面积．ABCD A M AD N AB AMN MN MN A 'C A 'C A '53217图4图1 图2 （1）请你直接写出△ABC 的面积________； 26．阅读下面材料：小玲遇到这样一个问题：如图1，在等腰三角形中，，，，于点，求的长．图图3小玲发现：分别以，为对称轴，分别作出△，△的轴对称图形，点的对称点分别为，，延长，交于点，得到正方形，根据勾股定理和正方形的性质就能求出的长．（如图2）请回答：的长为，的长为； 参考小玲思考问题的方法，解决问题：如图3，在平面直角坐标系中，点，，点是△的外角的角平分线和的交点，求点的坐标．CBAABC AC AB =︒=∠45BAC 22=BC BC AD ⊥D AD AB AC ABD ACD D E F EB FC G AEGF AD BG AD xOy ()0,3A ()4,0B P OAB AP BP P xyPBA O G EFDDABBACC图1 图226．阅读下面材料：小凯遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC =4，BD =6，∠AOB =30°，求四边形ABCD 的面积．小凯发现，分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足分别为点E 、F ，设AO 为m ，通过计算△ABD 与△BCD 的面积和使问题得到解决（如图2）．请回答：（1）△ABD 的面积为 （用含m 的式子表示）． （2）求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于 点O ，AC =a ，BD =b ，∠AOB =（0°＜＜90°），则四边形ABCD 的面积为 （用含a 、b 、的式子表示）．26.【阅读学习】 刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tan α=，求sin2α的值．小娟是这样解决的：如图1，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =α，所以∠ACB =90°，tan α= = ．易得∠BOC =2α．设BC =x ，则AC =3x ，则AB ．作CD ⊥AB 于D ，求出CD = （用含x 的式子表示），可求得sin2α== ． 【问题解决】已知，如图2，点M 、N 、P 为圆O 上的三点，且∠P =β，tan β =，求sin2β的值.ααα13BCAC1310CDOC12图1图2图326． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 各边都平行于坐标轴，且A （-2，2），C（3，-2）．对矩形ABCD 及其内部的点进行如下操作：把每个点的横坐标乘以a ，纵坐标乘以b ，将得到的点再向右平移k （）个单位，得到矩形及其内部的点（分别与ABCD 对应）．E （2，1）经过上述操作后的对应点记为． （1）若a =2，b =-3，k =2，则点D 的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）若（1，4），（6，-4），求点的坐标．26．阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图1，在□ABCD 中，点E 是边BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G . 如果，求的值． 他的做法是：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，那么可以得到△BAF ∽△HEF ． 请回答：（1）AB 和EH 之间的数量关系是 ，CG 和EH 之间的数量关系是 ，的值为 ． （2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图2，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．如图1图20k >''''A B C D ''''A B C D 'E 'D 'A 'C 'E 3AF EF =CDCGCDCG果，，求的值．图1 图226.在平面内，将一个图形以任意点为旋转中心，逆时针．．．旋转一个角度，得到图形，再以为中心将图形放大或缩小得到图形，使图形与图形对应线段的比为，并且图形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；我们把这种图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做旋转角，叫做相似比. 如图1中的线段便是由线段经过得到的.（1）如图2，将△ABC 经过☆ 后得到△，则横线上“☆”应填下列四个点、、、中的点 .（2）如图3，△ADE 是△ABC 经过得到的，， 则这个图形变换可以表示为.2AB CD =23BC BE =AFEFHG F ECDBAFECB A D G O θ'G O 'G ''G ''G G k G P ''P 'OP ()O θ,k O θk''OA OA ()302︒O ,()901,︒'''A B C ()00O ，()01D ，()0E ，-1()12C ，()A θ,k 90︒=EAB ∠12cos EAC =∠(),A 图2y x-111B'A'C'ED B ACO图3E DABC图130°A'A''OA26．如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若AB =6，，求DG 的长．小米的发现，过点E 作交BG 于点H （如图2），经过推理和计算能够使问题得到解决．则DG = .如图3，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是射线DM 上的一点，连接BE 和AC 相交于点F ，若，，求的值（用含3AF EF =EH AB ∥BC aAD =CD bCE =BFEF,a b 图1GF E BCAD图2HGF E BCAD图3M A D26．如图①，P 为△ABC 内一点，连接PA 、PB 、PC ，在△PAB 、△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．（1）如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点．（2）如图③，在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．①利用尺规作出△ABC 的自相似点P （不写出作法，保留作图痕迹）；②如果△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，请直接写出该三角形三个内角的度数．BBC ADPE①②ACBC③A答案26. (本小题满分5分)解：（1）当k＝1时，使1 ；…………………………………….（2）当0＜k＜1时，2 ；…………………………………………（3）当k＞1时，使1 ．…..解决问题：将不等式240 (x a ax+-<研究函数与函数的图象的交点. ∵函数的图象经过点A (1,4)，B (2,2)， 函数的图象经过点C (1,1)，D (2,4)， 若函数经过点A (1,4)，则， ……………………………………………………4分结合图象可知，当时，关于x 的不等式只有一个整数解．也就是当时，关于x 的不等式只有一个整数解. ……………………5分26.解：（1）CAD ，BC . …………………………………………………………… 3分.……………………………………………………………………………4分 （2）方法1：如图8，以点N 为圆心，ON 为半径作圆，交直线l 于点，，则点，为符合题意的点.……………………………………………… 5分 方法2：如图9，过点N 画NO 的垂线，画NQ 的垂直平分线，直线与交于点R ，以点R 为圆心，RN 为半径作圆，交直线l 于点，，则点，为符合题意的点. ……………………………………… 5分2(0)y x a a =+>4y x=4y x=2y x =2(0)y x a a =+>3a =03a <<24(0)x a a x+<>03a <<240 ()x a a x+-<＞01tan α1P 2P 1P 2P 1m 2m 1m 2m 1P 2P 1P 2P 1.2分②由①知，点A ’在以点M 为圆心，1为半径的圆上……4分 连接CM 交圆M 于点A ’，过点M 向CD 的延长线作垂线，垂足为点H.26. 解：（1）△ABC 的面积是4.5；…….2分（2）如右图: …….4分△MNP 的面积是7. …….5分26．解：的长为，的长为；…………………2分如图，过点分别作轴于点，轴于点，于点…………………3分∵和是△的外角的角平分线 ∴， ∴∴四边形是正方形，，…………4分∴ ∵， ∴',=1.3AMN A MN A M AM ∴=沿MN 所在的直线翻折得到’分2222t 123sin .2t 35722'715R MHD DH DM COS HDM MH DM HDM R CHM MH CH A C =⋅∠==⋅∠=⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴=-在中，，在中，CM=，分BG 2AD 22+P x PC ⊥C y PD ⊥D AB PE ⊥E AP BP OAB CAP EAP ∠=∠EBP DBP ∠=∠PD PE PC ==OCPD AE AC =BE BD =DO PD CP OC ===()0,3A ()4,0B 5=AB MPNxyECD PBA O∴∴,∴∴……………………5分26. 解：（1）；……………………………………………………………………………1分（2）由题意可知∠AEO =90°．∵ AO = m ，∠AOB =30°， ∴AE =．∴S △ABD =． 同理，CF =．∴S △BCD =．…………………………………………………2分 ∴S 四边形ABCD = S △ABD ＋S △BCD ．…………………………………………………3分 解决问题：．………………………………………………………………5分 26．解：． ……………………………………………………………………… 1分Sin2α==． ……………………………………………………………………… 2分 如图，连接，并延长交⊙O 于,连接MQ ，MO ，作于． 在⊙O 中，∠NMQ =90°． ∵ ∠Q=∠P =β，ＯＭ＝ＯＮ，∴ ∠MON=2∠Q=2β． ………………………………………… 3分∵ tan β=， ∴ 设MN =k ，则MQ =2k ，∴ NQ =．12=++=+BO AB OA OD OC 6==OD OC 6==PD CP ()6,6P 32m 12m m AE BD 2321=⋅1(4)2m m CF BD 23621-=⋅6=αsin 21⋅ab 10103xCD =CD OC53NO Q NO MH ⊥H 21k MQ MN 522=+H βP MO∴ OM=NQ=． ∵ ， ∴ ．∴MH=． ………………………………………………………………………………… 4分 在中，sin2β=sin ∠MON =． …………………………………… 5分 26． 解： （1）D （3，2），（8，-6），..................................................................................2分 （2）依题可列：则a =1，k =3，2b =4，b =2，.........................................................4分（a ，b ，k 求出一个给1分）∵点E （2，1）， ∴．.....................................................................................................5分26．（本小题满分5分）解：（1）AB =3EH ，CG =2EH ，.………………………………………………3分 （2）如图，过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H .∴ EH ∥AB ∥CD ． ∵ EH ∥CD ，21k 25MH NQ MQ MN S NMQ ⋅=⋅=∆2121MH k k k ⋅=⋅52k 552MHORt ∆5425552==kkOM MH 'D 21,3 6.a k a k -+=⎧⎨+=⎩'E （5，2）32HF E CB AD∴， ∴ CD =EH ． 又∵，∴ AB =2CD =EH ． ∵ EH ∥AB ，∴ △ABF ∽△EHF ． ∴．……………………………………5分 26.（1） ………………………………………………………………………………2分 （2）………………………………………………………5分26．答案：DG =2； (2)如图（画图正确，正确标出点E 、F ） (3)过E 作EG ∥AD ，延长CA 交于点G ∴△CAD ∽△CGE ．∴． ∵，∴． ∴．……………………………………………………4 ∵AD ∥BC ， ∴BC ∥EG ． ∴△GEF ∽△CBF ．23CD BC EH BE ==232AB CD =434433AF AB EH EH EF EH ===E 60,k︒AD CDGE CE=CD bCE =ADb GE=AD bEG =∴． ∵， ∴．∴ (5)26.解：⑴在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的中线，∴， ∴CD =BD ．∴∠BCE ＝∠ABC ．……………………………….(1分) ∵BE ⊥CD ， ∴∠BEC ＝90°，∴∠BEC ＝∠ACB ．……………………………….(2分) ∴△BCE ∽△ABC ．∴E 是△ABC 的自相似点．………………………….(3分)⑵①作图略．（方法不唯一）……………………….(5分)②连接PB 、PC ．∵P 为△ABC 的内心， ∴，． ∵P 为△ABC 的自相似点， ∴△BCP ∽△ABC ．∴∠PBC ＝∠A ，∠BCP ＝∠ABC =2∠PBC =2∠A ， ∠ACB ＝2∠BCP =4∠A ． ∵∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°． ∴∠A +2∠A +4∠A ＝180°．BC BFEG EF=BC aAD =BC abEG =BFab EF=12CD AB =12PBC ABC ∠=∠12PCB ACB ∠=∠∴． ∴该三角形三个内角的度数分别为、、．…………….(6分)1807A ∠=180736077207。

重庆中考数学24题专题

重庆中考数学24题专题

重庆中考几何一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：过点H作HI⊥EG于I，∵G为CH的中点，∴HG=GC，∵EF⊥DC，HI⊥EF，∴∠HIG=∠GFC=90°，∠FGC=∠HGI，∴△GIH≌△GFC，∵△EBH≌△EIH（AAS），∴FC=HI=BH=1，∴AD=4-1=3．2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．（1）求证：CF=CG；（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．解答：（1）证明：连接AC，∵DC ∥AB ，AB=BC ，∴∠1=∠CAB ，∠CAB=∠2， ∴∠1=∠2；∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC ， ∴△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ；∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4， ∴△FDC ≌△GEC ，∴CF=CG ．（2）解：由（1）知，CE=CD=2， ∴BE=4CE=8，∴AB=BC=CE+BE=10，∴在Rt △ABE 中，AE= AB 2-BE 2 =6， ∴在Rt △ACE 中，AC= AE 2+CE 2 =102 由（1）知，△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ，AD=AE ，∴C 、A 分别是DE 垂直平分线上的点， ∴DE ⊥AC ，DE=2EH ；（8分） 在Rt △AEC 中，S △AEC =21 AE •CE=21AC •EH ， ∴EH=AC CEAE ⋅ =10226⨯ =5103∴DE=2EH=2×5103=5106 4、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ；求证：（1）△BCQ ≌△CDP ； （2）OP=OQ ．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ， ∴∠2+∠3=90°，又∵DP ⊥CQ ， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3，在△BCQ 和△CDP 中，∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ． ∴△BCQ ≌△CDP ． （2）连接OB ． 由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC ， 而点O 是AC 中点， ∴BO=21AC=CO ，∠4=21∠ABC=45°=∠PCO ， 在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO∴△BOQ ≌△COP ， ∴OQ=OP ．5、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF.⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值. 解：（1）证明：连结CE ， 在△BAE 与△FCB 中，∵ BA=FC ，∠A=∠BCF ，， AE=BC ， ∴△BAE ≌△FCB ；（2）延长BC 交EF 于点G ，作AH ⊥BG 于H ，作AM ⊥BG ，∵△BAE ≌△FCB ，∴∠AEB=∠FBG ，BE=BF ，∴△BEF 为等腰三角形，又∵AE ∥BC ， ∴∠AEB=∠EBG ，∴∠EBG=∠FBG ，∴BG ⊥EF ，∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°， ∴四边形AMGE 为矩形，∴AM=EG ， 在Rt △ABM 中，AM=AB •sin60°=6×23=33 ，∴EG=AM=33， BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，∴tan ∠EBC=531533==BG EG 6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交BC 于点F（1）求证：BF=AD+CF ；ABDECF（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．（1）证明：如图（1），延长AD交FE的延长线于N∵∠NDE=∠FCE=90°∠DEN=∠FEC DE=EC∴△NDE≌△FCE ∴DN=CF ∵AB∥FN，AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形∴BF=AD+DN=AD+FC（2）解：∵AB∥EF，∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，又∵∠2+∠BEF=∠3，∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，∴EF=BF，又∵BC+AD=7+1∴BF+CF+AD=8而由（1）知CF+AD=BF∴BF+BF=8∴2BF=8，∴BF=4，∴BF=EF=47、已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD 的面积．（1）证明：连接BF∵ABCD为矩形∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC∴△ABE为直角三角形∵F是AE的中点∴AF=BF=BE∴∠FAB=∠FBA∴∠DAF=∠CBF∵AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF ,∴△DAF≌△CBF∴∠ADF=∠BCF∴∠FDC=∠FCD∴∠FGH=∠FHG ∴FG=FH ；（2）解：∵AC=CE ∠E=60° ∴△ACE 为等边三角形 ∴CE=AE=8 ∵AB ⊥BC ∴BC=BE=CE 21=4 ∴根据勾股定理AB=34 ∴梯形AECD 的面积=21×(AD+CE)×CD=21×(4+8)×34=3248、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D作DE ∥AB ，交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ． （1）求证：BC=CD ；（2）将△BCE 绕点C ，顺时针旋转90°得到△DCG ，连接EG ．求证：CD 垂直平分EG ； （3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点． 证明：（1）延长DE 交BC 于F ，∵AD ∥BC ，AB ∥DF ，∴AD=BF ，∠ABC=∠DFC ． 在Rt △DCF 中，∵tan ∠DFC=tan ∠ABC=2， ∴CFCD=2， 即CD=2CF ，∵CD=2AD=2BF ， ∴BF=CF ， ∴BC=BF+CF=21CD+21CD=CD ． 即BC=CD ．（2）∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE=∠DCE ， 由（1）知BC=CD ， ∵CE=CE ，∴△BCE ≌△DCE ， ∴BE=DE ，由图形旋转的性质知CE=CG ，BE=DG ， ∴DE=DG ，∴C ，D 都在EG 的垂直平分线上， ∴CD 垂直平分EG ． （3）连接BD ， 由（2）知BE=DE ， ∴∠1=∠2． ∵AB ∥DE ，∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．∵AD ∥BC ，∴∠4=∠DBC ．由（1）知BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∴∠4=∠BDP ． 又∵BD=BD ，∴△BAD ≌△BPD(ASA)∴DP=AD ． ∵AD=21CD ，∴DP=21CD ．∴P 是CD 的中点． 9．(2011南岸二诊)如图，已知点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ⊥DP ，交AB 于点E ，交CD 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接DF ．（1）若23=DF ，求DP 的长； （2）求证：CF AE =.10．如图，正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交CE 于N ． （1）线段AD 与NE 相等吗？请说明理由； （2）探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．11、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=10cm ，AC 交BD 于G ，且∠AGD=60°，E 、F 分别为CG 、AB 的中点．（1）求证：△AGD 为正三角形； （2）求EF 的长度．G 24题图PFEDCBA解答：（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．12、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）13．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且DE⊥AD于D，∠EBC=∠CDE,∠ECB=45°．⑴求证：AB=BE ；⑵延长BE ，交CD 于F ．若CE =2，tan ∠CD E =31，求BF 的长． 13．⑴证明：延长DE ，交BC 于G ．∵DE ⊥AD 于D ，∴∠ADE =90°又AD ∥BC ， ∴∠DGC =∠BGE =∠ADE =90°， 而∠ECB =45°, ∴△EGC 是等腰直角三角形， ∴EG=CG在△BEG 和△DCG 中，EBG CDG EGB CGD EG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEG ≌△DCG (AAS ) ∴BE=CD=AB ⑵连结BD ．∵∠EBC=∠CDE ∴∠EBC +∠BCD =∠CDE +∠BCD =90°，即∠BFC =90° ∵CE=2，∴EG=CG=1又tan ∠CDE =31，∴13CG DG =，∴DG =3 ∵△BEG ≌△DCG ，∴BG=DG=3∴2210BE BG EG =+=∴CD=BE=10法一：∵1122BCDSBC DG CD BF ==，11431022BF ⨯⨯=⨯∴6105BF = 法二：经探索得，△BEG ∽△BFC ，∴BE BCBG BF=，∴1043BF = ∴6105BF = 14．如图，直角梯形ABCD 中，,90,45,AD BC ADC ABC AB ∠=∠=∥的垂直平分线EG 交BC 于F ，交DC 的延长线于.G求证：(1)CG CF =；(2).BC DG =AB CDEF证明：(1) ,AB EF ⊥ 45B ∠=904545EFB ∴∠=-=45CFG ∴∠=//,90AD BC ADC ∠=90FCG ∴∠=45,FCG ∴∠= CG CF =∴(2)连接AF ， EF 是AB 的中垂线,AF BF FE AB ∴=⊥45=∠=∠∴BFE AFE90=∠∴AFB DCB AFB ∠=∠∴BC AD CD AF //,// ∴,AF DC BF DC ∴=∴=由(1)知CG CF = ,CG DC CF BF +=+∴即：DG BC =二、有关“截长补短”题型1、在ABCD 中，对角线,BD BC G BD ⊥为延长线上一点且ABG ∆为等边三角形，BAD ∠、CBD ∠的平分线相交于点E ，连接AE BD F 交于，连接GE 。

中考数学第26题专项训练

中考数学第26题专项训练

1．如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。

P 为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。

过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。

（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。

第1题图2.关于x的二次函数y＝-x2＋(k2-4)x＋2k-2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方．(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；(2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直x轴于点B，再过点A作x 轴的平行线交抛物线于点D，过D点作DC垂直x轴于点C, 得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．3.如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B, 且18a + c = 0.(1)求抛物线的解析式.(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.①移动开始后第t秒时, 设△PBQ的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.第3题图4．已知二次函数y=x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.（1）求这个二次函数的关系式；（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.（3）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？5．如图示已知点M 的坐标为（4，0），以M 为圆心，以2为半径的圆交x 轴于A 、B ，抛物线c bx x y ++=261过A 、B 两点且与y 轴交于点C ． （1）求点C 的坐标并画出抛物线的大致图象 （2）已知点Q （8，m ），P 为抛物线对称轴上一动点， 求出P 点坐标使得PQ +PB 值最小，并求出最小值． （3）过C 点作⊙M 的切线CE ，求直线OE 的解析式．6.如图，在ABC ∆中，∠A 90=°，10=BC , ABC ∆的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设x DE =以DE 为折线将△ADE 翻折，所得的DE A'∆与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y. （1）．用x 表示∆ADE 的面积;（2）．求出0﹤x ≤5时y 与x 的函数关系式； （3）．求出5﹤x ﹤10时y 与x 的函数关系式； （4）．当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？第5题图CBA7.如图，直线334y x=+和x轴y轴分别交与点B、A，点C是OA的中点，过点C向左方作射线CM⊥y轴，点D是线段OB上一动点，不和B重合，DP⊥CM于点P，DE⊥AB于点E，连接PE。

2021年重庆市中考二轮复习数学第26题几何证明专练专题(三)

2021年重庆市中考二轮复习数学第26题几何证明专练专题(三)

2021年重庆市中考二轮复习数学第26题几何证明专练专题（三）1.已知在平行四边形ABCD 中,过点D 作DE ⊥BC 于点E,且AD=DE,连接AC 交DE 于点F,作DG⊥AC 于点G(1)如图1,若DF EF =21,AF=13,求DG 的长 (2)如图2,作EM⊥AC 于点M,连接DM,求证:AM-EM=2DG,2.如图,∆ABC 是等边三角形,AC 上有点,分别以BD 为边作等边∆BDE 和等 腰∆BDF,边BC 、DE 交于点H,点F 在BA 延长线上且DB=DF,连接CE,求 证(1) ∆ABD=∆CBE:(2)BC= AF+CE.3.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,M为对角线BD延长线上一点,连接AM 和CM,E为CM上一点,且满足CB=CE,连接BE,交CD于点F.(1)若∠AMB=30°,且DM=3,求BE的长:(2)证明:AM=CF+DM.4.如图,在矩形ABCD中,点E为AD上一点,连接BE、CE,∠ABE=45°(1)如图1,若BE=32,BC=4,求EC的长.(2)如图2,点P是EC的中点,连接BP并延长交CD于F,H为AD上一点,接HF,且∠DHF=∠CBF,求证:BP=PF+FH.5.(1)如图1,四边形EFGH中,FE=EH,∠EF G+∠EHG=180°,点A,B分1∠FEH,别在边FG,GH上,且∠AEB=2(1)求证:AB=AF+BH(2)如图2,四边形EFGH中,FE=EH,点M在边E上连接FM,EN平分∠FEH交FM于点N,∠ENM=a,∠FGH=180°-2a,连接GN,HN①找出图中与NH相等的线段,并加以证明;②求∠NGH的度数(用含a的式子表示).6.如图,在平行四边形ABCD中,点E在对角线BD上,AB=AE,AF⊥BD于点F, ∠ADB=45°(1)若BC=122,AB=13,求BF的长(2)延长AF交BC于点G,延长AD到点H.使得DH=BG,连接EH,求证:AE=EH.7.如图,在菱形ABCD中,∠B=120o,E、F分别是边BC、CD上的点,且满足CE=CF.连接EF.(1)若CE=1,AB=3,求AF的长;(2)取AF的中点G,连接EG、DG,求证:EG⊥DG.8.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相较于点O,以AD为边向外作等边∆MDE,连接CE,交BD于F(1)如图1,若AE=6,求DF的长;(2)如图2,点M为AB的延长线上一点,连接CM,连接FM且FM平分∠AMC.求证:CM=3MF-AM.9.如图,在平行四边形ABCD中,∠B=45°,过点C作CE⊥AD于点,连结AC,过点D作DF⊥AC于点F,交CE于点G,连结EF.(1)若DG=8,求对角线AC的长.(2)求证:AF+FG=2EF.10.如图, 平行四边形ABCD中,DF平分∠ADC交AC于点H,G为DH的中点(1)如图①,若M为AD的中点,AB⊥AC，AC=9,CF=8,CG=25,求GM.(2)如图②,M为线段AB上一点,连接MF,满足∠MCD=∠BCG,∠MFB=∠BAC,求证:MC=2CG.11.如图,平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点M为BC上一点,连接AM,且AB=AM,点E为BM中点,AF⊥AB,连接EF,延长FO交AB于点N.(1)若BM=4,MC=3,AC=38,求AM的长度;(2)若∠ACB=∠AFE=45°,求证AN+AF=2 EF.12.平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连接DE交对角线AC于点F，点G为DE一点，AH⊥DE于H，BC＝2AG且∠ACE＝∠GAC，点M为AD的中点，连接MF；若∠DFC＝75°．（1）求∠MFD的度数；（2）求证：GF+GH＝AH．13.在平行四边形ABCD中，AD=BD，E为AB的中点，F为CD上一点，连接EF交BD于G．（1）如图1，若DF=DG=2，AB=8，求EF的长；（2）如图2，∠ADB=90°，点P为平行四边形ABCD外部一点，且AP=AD，连接BP、DP、EP，DP交EF于点Q，若BP⊥DP，EF⊥EP，求证：DQ=PQ．14.如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AC=BC.(1)如图1,过点B作BE⊥AC于点E,若AC=8,BE=5时,求OE的长度;(2)如图2,若∠BDC=45°,过点C作CF⊥CD交BD于点F,过点B作BG⊥BC且BG=BC,连接AG、DG,求证:AG=2OF.15.如图1,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,连接CE,(1)若BE=42,CE=17,求AD的长;(2)如图2,点F是BC上一点,且EF=EC.过点C作CG⊥EF于点G,交BE于点H,求证:BH=2DEBH的值,(3)如图3,在(2)的条件下,连接DG,当BE=BC时,请直接写出DG。

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中考26题第二小问专项讲解第一大类:线段最大值一、基本题型：_ _丄2 3 9例1：如图，抛物线J = _7X +T X + 2与兀轴交于A.B两点，与y轴交于C点, P为抛物线上BC±方的一点。

1、过点P作y轴的平行线交BC于M,求PM的最大值。

2、过点P作X轴的平行线交BC于M,求PM的最大值。

二、变式题型1：过点P作y轴的平行线交BC于M,作PN丄BC于N。

3、求PN的最大值，PM+PN的最大值。

4、求APMN周长的最大值。

5、求APMN面积的最大值。

三、变式题型2：P为抛物线上E C上方的一点。

D为E C延长线上的一点且C D = B C 6、求APBC面积的最大值。

7、求APDC面积的最大值。

例2：如图，抛物线与y = -yx2+|x + 2兀轴交于4, B两点，与y轴交于C点,P为抛物线的顶点。

1、M是BC上的一点，求PM + AM最小时M点的坐标。

2、D为点C关于x轴的对称点，M是BC±的一点，求DM+PM最小时M点的坐标。

3、M是BC上的一点，N是AC上的一点，求° OMN周长的最小值及M点的坐标。

4、M. N为直线B C±的动点，N在下方且MN = V5 ,最小值。

5、M. N为直线BC上的动点，N在下方且MN = V5 , D在抛物线上且在D与C对称。

求四边形PMND周长的最小值。

6、M为对称轴上的一点，MN丄y轴于N, D在抛物线上且在D与C对称。

求DM + MN + N A的最小值。

7、M为对称轴上的一点，MN丄y轴于N, D在抛物线上且在D与C对称。

求DM + MN + N B的最小值。

8、M为对称轴上的一点，N为y轴上一点，D在抛物线上且在D与C对称。

求OM + MN + N D第二大类: 线段和的最小值9、M为EC上的一点，求PM + 討的最小值。

求PM + MN + AN 的10、D在抛物线上且在D与C对称，在BC±找一点N, M是x轴上的一点。

求D M+M N的最小值。

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(2)如图1,若P是抛物线上位于M、B两点之间的一个动点,连接AM、MP、PB, 求四边形PMAB的面积最大值及此时P点的坐标。

(3)如图2,将直线厶绕B点逆时针方向旋转一定角度后沿轴向下平移5个单位得枫仏与y轴交于点C©=)，P为抛物线上-动点，过P点作x轴的垂线対于点D,若点D'是点D 关于直线PC的对称点，是否存在点P,使点D'恰好落在y轴上？若存在，请直接写出相应点P的坐标，若不存在，清说明理由。

图2图126、已知，如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y = --X 2+-X + 4与X 轴交于点A 、B , 与y 轴交于点C,直线AD 经过点A,交y 轴于点D,交抛物线于点E,且点E 的横坐 标为5,连接AC o(1) 求直线AD 的解析式；(2) 如图2,点F 为第一象限内抛物线上的动点，过点F 作FG//y 轴交直线4D 于点G , 过点F 作FH//AC 交道线AD 于点H,当AF/ZG 周长最大时，求点F 的坐标。

此时，点 7为)，轴上一动点，连接7A7F,当|7X-最大时求点丁的坐标；(3) 如图3,点F 仍为第一象限内抛物线上的动点，如(2)中条件得△FHG,边FH 交 兀轴于点M,点N 为线段FG 上一动点，将AFMN 沿着MN 翻折得到APMN,当APMN 与4FGH 重叠部分图形为直角三角形，且PM =PG 时，求线段FN 的长。

26、如图所示，已知二次函数y = dF+bx + c(aHO)的图像与x 轴交于A, B 两点，与y 轴交于点C,其中A(-2, 0), B(0, 4),对称轴为直线x=l,顶点为E(1) 求抛物线顶点的坐标；(2) 若点P(0, n)为y 轴上一个动点，当PA + — PC 最小时，此时抛物线上是否存在一 点Q 使得ZQBA = ZPBA ，若存在这样的点，求出其坐标，若不存在说明理由;(3) 如图2,平移抛物线，使抛物线的顶点E 在射线AE 上移动，点E 平移后的对应点为 点E',点A 的对应点为点2 ,将AAOC 绕点0顺时针旋转至△人0C ：的位置，点A, C 的对应点分别为点Ai, G,且点Ai 恰好落在AC 上，连接GA' , CiE z , AA Z GE"是否图2 图3 图IR o26-如图「在平面直角坐标系中’抛物线尸丁宀孑一石与％轴交于A、B、两点(点八在点B的左侧)，与y轴交于点C。

(1)判断VABC形状，并说明理由。

(2)在抛物线第四象限上有一点，它关于x轴的对称点记为点P,点M是直线BC上的一动点，当VPBC的面积最大时，求PM+书MC的最小值;(3)如图2,点K为抛物线的顶点，点D在抛物线对称轴上且纵坐标为、疗，对称轴右侧的抛物线上有一动点E,过点E作EH//CK,交对称轴于点H,延长HE至点F,使得EF=亠,在平面内找一点Q,使得以点F、IK D、Q为顶点的四边形是轴对称图形,3且过点Q的对角线所在的直线是对称轴，请问是否存在这样的点Q,若存在请直接写出点E的横坐标，若不存在，请说明理由。

A26、已知：如图1,直线y = -x-\分别交兀轴、y轴于昇、ZT两点，抛物线尸-詁2十加+ c 经过点4,且过点3(5,0),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点，连接BC。

(1)求抛物线的解析式及顶点Q的坐标；(2)如图2,若在直线BC上方的抛物线上有一点F,当ABCF的面积最大时，有一线段MN =近(点M在点N的左侧)在直线AE±移动，首尾顺次连接点只航N、B 构成四边形FMNB,请求出四边形FMWB的周长最小时点M的横坐标；(3)如图3,连接AD、BD,把ZDAB沿兀轴平移到ZD'A'B',在平移过程中把ZD'A'B' 绕川旋转，使ZDA®的一边始终经过点D,另一边交直线BD于点是否存在这样1q26.如图，抛物线y = -±x^+L x + 5与兀轴交于点力、点〃，与y轴交于点〃，在y轴负2 2半轴有一点2 4吏得上EBO = ZDBO ,第一象限抛物线上有一点G与点〃关于对称轴对称。

(1)求直线应'解析式？(2)在线段必；初上各有一动点财、N,当AM + MN最小时，过点対作y轴平行线，与抛物线交于点只求点尸的坐标？(3)分别连接Bl)、0C,一动点0从点0出发，以每秒1个单位向终点〃运动，过点Q 作QHLx轴，与直线％交于点〃，延＜0〃至点F,使F宙QH,以炉为斜边，在0、右侧作等腰直角三角形0% 同时另一动点&从点3出发，以每秒2个单位向终点0运动，过点、G作GTA.X 轴，与直线肋交于点人延长M至点7，使IfiGT,以0/为斜边，在67 左侧作等腰直角三角形皿己知一个动点停止运动，另一动点也随之停止运动，请问当点0运动多少秒时，两个等腰直角三角形分别有一边恰好落在同一直线上？26.如图1,己知抛物线y = _亘+ d与兀轴交于久〃两点(点〃在点〃的3 3左侧)，与y轴交于点C,点〃是点Q关于抛物线对称轴的对称点，连接Q・过点〃作DH丄；I 轴于点〃，过点/作AE丄4C交加的延长线于点圧(1)求点〃的坐标；(2)如图2,已知线段胚与y轴交于点尸，点P为线段加上的一动点，点於为直线〃上方抛物线上的一动点，当ACPF的周长最小时，求点P的坐标和AMPF面积的最大值；(3)在(2)问的条件下，将得到的NCFP沿直线犹'平移得到ACFP',将'CFP 沿CP翻折得到4C'P'F”,记在平移过程中，直线FP与兀轴交于点则是否存在这样的点&使得△FT7/为等腰三角形，若存在，求出％的值；若不存在，说明理由.图1图2备用图。

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