数值积分法在系统仿真中的应用

4阶龙格-库塔法式使用较多的一种方法，其公式如下
y n 1 y n h ( k1 2 k 2 2 k 3 k 4 ) 6
k1 f ( y n , t n )
k2 f ( yn h h k1 , t n ) 2 2
（3-11）
k3 f ( yn
h h k2 , tn ) 2 2
k 4 f ( yn hk3 , t n h)
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
亚当斯法(显式)
在解决积分问题时，采用亚当斯-贝喜霍斯显示多步法，简称亚当斯法。 根据牛顿后插公式
Pi , j (t ) fn
(t t n )( t t n 1 ) (t t n 1 k ) k （3-25） (t tn) fn fn k h h k!
i 0 i 1
m
m
（3-2）
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
几种常用的积分法
欧拉法
欧拉法的几何意义 改进的欧拉法
龙格-库塔法 亚当斯法(显式) 亚当斯法(隐式)
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
欧拉法
欧拉法虽然计算精度较低，实际中很少采用，
f (t )
误差
但器推倒简单，能说明旧够数值解法一般计算公 式的基本思想。
p yn 1 yn h f ( yn , t n ) （3-8） p p h y y [ f ( y , t ) f ( y n n n 1 , t n 1 )] n 1 n 2
0
t0
t1
t
第一式称为预估公式， 第二式称为校正公式。
图3.3 梯形近似及其误差
本章小结……………………………………………….
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
3.1 连续系统仿真中常用的数值积分法
1. 数值积分法
如果已知某一系统的一阶向量微分方程为
f ( y, t ), y(t0 ) y0 y
对式子(3.1),数值积分可写成统一的公式
（3-1）
yn1 ai yni h i f ni
t0
t1 t 2
t
称为欧拉折线法。 条折线，
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图3.2 欧拉折线
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
改进的欧拉法
在推导时用图中的阴影面积来近似
f (t )
式(3.3)时，由于梯形公式中隐含有待求 量，通常可用欧拉法启动初值，算出近 似值，然后带如微分方程，最后利用梯 形公式求出修正。为提高精度，简化计 算，只迭代一次。这样可得改进的欧拉 公式：
当k 3时， (3 28)式的系数vi 为
1 1 v2 s(s 1)ds 5 2! 0 12
（3-29）
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
故可得三阶亚当斯公式
y(tn1 ) y(tn ) hfn 1 hf n 5 h2 f n 2 12
i 1
（3-10）
式中
k1 f ( y n , t n )
k i f ( y n h ij k j , t n i h)
j 1 i 1
(i 2, 3, r )
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
而
i ij
j 1
i 1
ai , ij , wi为待定系数, r为使用k的个数(即阶数)。在给定r值后，通 过把式(3.10)展开成h的幂级数，然后和台劳 展开式的系数进行对比 ， 以确定 ij , wi的值。
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
龙格-库塔法
将式(3.3)在tn点展开 泰勒级数
h2 (t n ) (t n ) o(h 3 ) y (t n h) y (t n ) hy y 2
龙格-库塔（RK）法的一般形式为
r
（3-9）
yn1 yn h wi ki
f n f n f n 1 2 f n ( f n 2 f n 1 ) f n 2 k f n k 1 f n k 1 f n 1 0 fn fn
（3-26）
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
第三章 数值积分法在系统仿真中的应 用
3.1 连续系统仿真中常用的数值积分法……………. 3.2 刚性系统的特点及算法…………………………. 3.3 实时仿真法………………………………………. 3.4 分布参数系统的数字仿真……………………….
3.5 面向微分方程的仿真程序设计………………….
亚当斯多步法的计算公式是
y(tn1 ) y(tn ) h vi i f n
i 0
k 1
（3-27）
其中
v0 1
1 1 v1 s ( s 1) ( s i 1)ds i 1 it 0
（3-28）
y(tn1 ) y(tn ) h f n ds y(tn ) hfn
对式(3.1)两端由to到t1进行积分 , 得到
y(t1 ) y0 f ( y, t )dt
t1
0
t0
t1
t0
（3-3）
t
图3.1 矩形近似及其误差
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
欧拉法的几何意义
欧拉法的几何意义 十分清楚。
y
y0
y1
y2
图3.2通过 ( t 0 , y 0 )点作为积分曲线的切线 ，其 斜率为f ( y 0 , t 0 )，此切线与 t1处平行于y轴直 线的交点即为 y1，再过 ( t1 , y1 )点作积分曲线 的切线, 它与过t 2平行于y轴直线的交点为 y 2。 这样过 ( t 0 , y 0 )， ( t1 , y1 )， ( t 2 , y 2 )， ，得到一
0
（k=1时可得欧拉公式）
1
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
当k=2时，得到亚当斯多步法的计算公式，(3-28)式各系数为
v0 1
v1 f n ds 1 0 2
1
将v0 , v1代入(3 27)式得
y(tn1 ) y(tn ) 1 h(3 f n f n1 ) 2