21.2.2公式法解一元二次方程第二课时
21.2.2 公式法第2课 根的判别式-九年级数学上册课件(人教版)
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
21.2.2用公式法求解一元二次方程(教案)
举例2：对于判别式的计算，学生可能会忘记在计算过程中先计算b^2，再减去4ac，或者在计算过程中符号出错。
2.教学难点
-公式法的推导过程理解：学生对公式法的推导过程可能感到难以理解，特别是对根号下的判别式的物理意义。
-判别式的计算与应用：学生在计算判别式时可能会出现错误，以及在根据判别式的值判断解的情况时可能会混淆。
-公式法的适用范围：学生可能不清楚何时应该使用公式法求解一元二次方程，以及何时该方法不适用。
21.2.2用公式法求解一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第21章第2节“用公式法求解一元二次方程”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.公式法求解一元二次方程的基本概念：介绍一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0，以及求解该方程的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，但我也观察到一些小组在讨论时可能会偏离主题。这提醒我在引导讨论时，要更加明确主题，确保讨论的方向和深度。同时，我也发现有些学生在操作实验时，对公式的运用还不够熟练，这说明我们在操作练习上还需要加强。
在学生小组讨论时，我尽量以引导者的身份参与，鼓励学生们发表自己的观点，这有助于培养他们的独立思考能力。但我也发现，部分学生在分享成果时表达不够清晰，这提醒我在今后的教学中，要注重培养学生的表达和交流能力。
五、教学反思
今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的公式法求解表现出很大的兴趣，但也存在一些理解和操作上的难点。在导入新课的时候，通过日常生活中的问题引导学生思考，他们很快就进入了学习状态。但在理论介绍环节，我发现有些学生对标准形式的理解还不够深入，需要通过更多的例子来加强他们的理解。
21.2.2一元二次方程的解法——求根公式法(2)
例1. 解方程:
2
b b 4ac 2 x b 4ac 0 2a
2
(1)x(2)
2 -7x+2x =4
2 (4) 2x -9x+8=0
用公式法解一元二次方程的步骤: (1)化：把一元二次方程化为一般形式; (2)定：确定a、b、c的值; 2 (3)判：求出b -4ac的值,判断根的情况; 2 (4)代：若b -4ac≥0,则把a、b、c及 2 b -4ac代入求根公式,求出x1， 2 x2;若b -4ac＜0,则方程无解.
(4)写：写出x1，x2
2. 用公式法解下列方程:
(1) 3x 1 2 3x
2
(2) 0.2 x 1.2x 0.55 0
2
2 2 1 (3) x x 1 0 3 2
(4) (x-1)(6-x)=6
３. 用公式法解下列方程:
x(x+1)+7(x-1)=2(x+2)
2 2 2
(3)在b -4ac≥0的前提下，将a、b、c的 值代入求根公式求解.
拓展与提高
2 1.x是什么值时,y=x -5x+4
的值分别是0,4?
2.解下列关于x的方程： 2 2 2x -mx-m =0
拓展与提高
求差
3.试比较代数式2x2-x-5与x-7 的值的大小。
2 解：2x -x-5-（x-7）
2 =2x -2x+2
2 =2(x -
2 2 x+0.5 -0.5 )+2
2 =2(x-0.5) -0.5+2
2 =2(x-0.5) +1.5
7 145 7 145 方程的根x1= , x2= . 6 6
人教版九年级数学上册《解一元二次方程》(第2课时)教案
21.2解一元二次方程(2)【教学目标】知识与技能：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程2.了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程3.会利用根的判别式判断一元二次方程根的情况过程与方法：经历探索求根公式的过程，发展学生合情的推理能力情感态度价值观：通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心【教学重难点】教学重点：求根公式的推导和公式法的应用．教学难点：一元二次方程求根公式法的推导．【教学过程】一、复习引入1. 用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=522.用配方法解一元二次方程的步骤．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知【探究】如果一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它的根，请同学独立完成这个问题．解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a）2=2244b ac a - 因为a ≠0，所以4a 2≥0.式子b 2-4ac 的值有以下三种情况：（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1=2b a -+，x 2 （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=2b a-． （3）当b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根．定义：一般地，式子b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）根的判别式.通常用“△”表示，即△=b 2-4ac 归纳：当△>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根；当△=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根；当△<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）无实数根．定义：当△≥0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．总结：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化成一般形式，确定a 、b 、c 的值。
初中数学21.2.2 公式法解一元二次方程教案-第2课时教案
XXX中学统一备课用纸二、知识提升例1：已知关于x的一元二次方程()011222=-+++mxmx有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为___________.变式训练：1.已知关于x的一元二次方程()01212=+--xxa有两个不相等的实数根，则a的取值范围为_______________.2.已知关于x的一元二次方程()01212=+--xxa有两个实数根，则a的取值范围为_____.3.已知关于x方程()01212=+--xxa有实数根，则a的取值范围为_______________. 4.若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )三、拓展训练().kkxkxx的取值范围，求）若方程有一根小于（实数根；）求证：方程总有两个（的一元二次方程：已知关于例121202232=+++-挑战自我：已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程04122=-+-mmxx的两个实数根。
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根为负数，求m的取值范围；(2)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；(3)若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？。
《21.2解一元二次方程——21.2.2公式法》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程公式法教学设计一、教学目标1.探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤.2.能够利用公式法解一元二次方程.二、教学重点及难点重点：用公式法解一元二次方程.难点：用公式法解一元二次方程三、教学用具多媒体课件。
四、相关资源《复习配方法解一元二次方程》动画。
五、教学过程【温故知新，提出问题】XE燃解方程s h+2s+c=0此图片是动画绪略图，此处插入交互动画《【数学探完】一元二次方程的儿何解法》，可以通过几何的方法展现一元二次方程的解法。
问题1你能用配方法解卜列方程吗？(1)m+ll=O；(2)9/=12x+14.解：<1)移项，得x2 -7入=一11.配方，得x2-7a-+^|J=-11+r2>7即七2=5 3开方,得x—;=±g.7-757+必所以X]=—-—•^2=—5-(2)移项，得9F-12x=14・,414系数化为1,得『一二工二方.配方,得广一§+仲卜？+停).即厂：<--2=2.开方，得x-|=±>/2,所以“甲®夸问题2用配方法解一元二次方程的步骤?化：把原方程化成r+p.x+q=O的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如F+px=迫.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如/+px+(W)2=-g+(S(x+S=F+(9求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.师生活动：学生独立完成，复习归纳。
(X潞瘢配方法任何一个一元二次方程都可以写成一般形式十取-c-m z=0),能否用配方法俾出能否用配方法街出or2me=O(aMO)的观］一元二次方程M+既13(/0)的二次坎系救u,—次敏卒致b以及常敏项c.<1>移项；将方程中含有耒知数的氐移对方程的左边.巧常数璜玛勤方程的右边.ar2—fez=—cQ)二次项系散化为卜若二次项的系敢不为1.划在方程两边同时序以二次项的系敷.将二次项的系敖化为I.X2+-Z=—-a aU>配方，方程的两边鄙加上一次咬系?I一半的平方鸟方程靛左遮配成一个完全平方式・/十打十(粉2=弋十(粉2flHk整电饵(工+y=静因为a*0.4a2>0,代数式62-iac来决定一元二次方程+hx+c=Oia^O)根的唁况.此图片是动画垸略图，此处插入交互动画《【教学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步曜.设计意图：通过复习，巩固旧知，钠垫新知，设置问题，引出新课.【合作探究，形成知识】问题2—元二次方程的一般形式是什么？你能否也用配方法解出方程的根呢？杯+皈+^=0(醇0)己知a『+M+c=0(再0),请用配方法推导出它的两个根.解：移项，得ar2+fer=-c.K c二次项系数化为1，得《?+-X=——.a a配方,得+-X+(A)2=-£+(A)2…gp(X+=)2=\二"(JI).a la a2a2。
【教育资料】21.2解一元二次方程21.2.2公式法第2课时用公式法解一元二次方程学习专用
第2课时 用公式法解一元二次方程基础题知识点 用公式法解一元二次方程1.用公式法解一元二次方程3x 2－2x ＋3＝0时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确的是(D)A.a ＝3，b ＝2，c ＝3B.a ＝－3，b ＝2，c ＝3C.a ＝3，b ＝2，c ＝－3D.a ＝3，b ＝－2，c ＝32.方程x 2＋x －1＝0的一个根是(D)A.1－ 5B.1－52C.－1＋ 5D.－1＋523.一元二次方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是(A)A.p±p 2－4q 2B.－p±p 2－4q 2C.p±p 2＋4q 2D.－p±p 2＋4q24.一元二次方程a 2－4a －7＝0的解为5.用公式法解下列方程： (1)4x 2－4x ＋1＝0；解：Δ＝(－4)2－4×4＝0， x ＝4±08＝12.∴x 1＝x 2＝12.(2)x 2＋2x ＝0；解：Δ＝22－4×1×0＝4， x ＝－2±42×1，∴x 1＝0，x 2＝－2. (3)2x 2－3x －1＝0；解：Δ＝(－3)2－4×2×(－1)＝17， x ＝3±172×2，∴x 1＝3＋174，x 2＝3－174.(4)(兰州中考)2y 2＋4y ＝y ＋2；解：2y 2＋3y －2＝0，Δ＝32－4×2×(－2)＝25， y ＝－3±252×2，∴y 1＝12，y 2＝－2.(5)x 2＋10＝25x ；解：x 2－25x ＋10＝0，∵Δ＝(－25)2－4×1×10＝－20<0， ∴此方程无实数解. (6)x(x －4)＝2－8x. 解：x 2＋4x －2＝0，Δ＝42－4×1×(－2)＝24， x ＝－4±242×1，∴x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6. 易错点 错用公式6.用公式法解方程：2x 2＋7x ＝4. 解：∵a ＝2，b ＝7，c ＝4， ∴b 2－4ac ＝72－4×2×4＝17. ∴x ＝－7±174，即x 1＝－7＋174，x 2＝－7－174.上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正.解：不正确.错误原因：没有将方程化成一般形式，造成常数项c 的符号错误. 正解：移项，得2x 2＋7x －4＝0， ∵a ＝2，b ＝7，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝72－4×2×(－4)＝81. ∴x ＝－7±812×2＝－7±94.即x 1＝－4，x 2＝12.中档题7.方程2x 2＋43x ＋62＝0的根是(D)A.x 1＝2，x 2＝ 3B.x 1＝6，x 2＝ 2C.x 1＝22，x 2＝ 2D.x 1＝x 2＝－ 6 8.若(x ＋y)(1－x －y)＋6＝0，则x ＋y 的值是(C)A.2B.3C.－2或3D.2或－39.(攀枝花中考)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为(C)A.－1或4B.－1或－4C.1或－4D.1或410.(许昌长葛月考)若实数m ，n 满足(m 2＋n 2)(m 2＋n 2－2)－8＝0，则m 2＋n 2＝4.11.(商丘拓城县月考)若代数式4x 2－2x －5与2x 2＋1的值互为相反数，则x 的值是1或－23.12.用公式法解下列方程：(1)3x(x －3)＝2(x －1)(x ＋1)； 解：原方程可化为x 2－9x ＋2＝0. x ＝9±732.∴x 1＝9＋732，x 2＝9－732.(2)(x ＋2)2＝2x ＋4.解：原方程可化为x 2＋2x ＝0. x ＝－2±42＝－1±1.∴x 1＝0，x 2＝－2.13.一元二次方程x 2＋2x －54＝0的某个根，也是一元二次方程x 2－(k ＋2)x ＋94＝0的根，求k的值.解：解x 2＋2x －54＝0，得x 1＝12，x 2＝－52.把x ＝12代入x 2－(k ＋2)x ＋94＝0，得(12)2－12(k ＋2)＋94＝0，解得k ＝3；把x ＝－52代入x 2－(k ＋2)x ＋94＝0，得(－52)2＋52(k ＋2)＋94＝0，解得k ＝－275. ∴k 的值为3或－275.综合题(1)将你发现的结论一般化，并写出来； (2)在实数范围内分解因式： ①x 2－5x ＋1； ②3x 2－7x ＋4.解：(1)发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根为x 1、x 2，则ax 2＋bx ＋c ＝a(x －x 1)(x －x 2).(2)①解方程x 2－5x ＋1＝0，得 x 1＝5＋212，x 2＝5－212.∴x 2－5x ＋1＝(x －5＋212)(x －5－212).②解方程3x 2－7x ＋4＝0，得 x 1＝43，x 2＝1.∴3x 2－7x ＋4＝3(x －43)(x －1)＝(3x －4)(x －1).。
人教版数学九年级上册21.2.2公式法解方程教案
最后，我深感教学反思的重要性。通过反思，我可以更好地理解学生的需求，调整教学方法，让数学课堂变得更加生动有趣，也更具实效性。我会继续努力，让每一位学生都能在数学的学习中找到乐趣和成就感。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式的记忆与理解和判别式Δ的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如使用抛物线模型来演示求根公式的应用。
本章节的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过一元二次方程求根公式的推导与应用，让学生理解数学知识之间的内在联系，提高逻辑推理与论证能力。
2.强化运算能力：引导学生运用求根公式解决实际问题，熟练掌握公式运算过程，提高数学运算速度和准确性。
3.增强数学建模能力：让学生在实际问题中运用一元二次方程求解，培养将现实问题抽象为数学模型的能力。
在案例分析环节，我尝试将实际问题引入课堂，让学生们看到数学知识在现实生活中的应用。从学生的反应来看，这种方法似乎能够激发他们的兴趣，但我也观察到，将问题转化为数学模型对他们来说并不容易。我考虑在接下来的课程中，增加一些关于如何建立数学模型的指导，帮助学生更好地理解这个过程。
实践活动和小组讨论的部分，学生们表现得相当积极。他们通过小组合作，不仅加深了对一元二次方程的理解，还学会了如何与他人合作解决问题。不过，我也注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，我需要适时地引导他们回到主题上来。
21.2.2公式法解一元二次方程(两课时)
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数 值代入公式计算; 5.定根:写出原方 程的根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 = b 4ac 的值，
2
特别注意:当
=
b 4ac 0
2
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根 b x1 x2 2a
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
b 而x取任何实数都不可能使 ( x ) 2a
因此方程无实数根
4ac b (3) b 4ac 0, 这时 0 4a
9 ∴m＞ 8 9 2 （2）若方程有两个相等的实数根，则b -4ac=0即8m+9=0 ∴m= 8
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0 （3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴当m＞
9 方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根 8
2
0
，
一般地，式子b 4 ac 叫做方程
2
根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即
ax bx c 0
2
△＝ b 4ac
2
心动
2
不如行动
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
当 b 4ac 0时, 它的根是 :
21.2.2公式法(第二课时)
例题4 如果关于x的方程k²x²-（2k+1）x+1=0有两个实数根， 求k的取值范围？ 解： ∵方程有两个实数根 ∴ △=（2k+1）2-4k²=4k+1 ≥0 k²≠0
{
∴kห้องสมุดไป่ตู้-
且k≠0
【点评】
一元二次方程有两个实数根，参数的取值范 围满足两个条件，①二次项系数不为0，②Δ ≥0
例题5 已知于x的方程x²（1）求k的取值范围 （2）|-k-2|+
b b 2 4 ac 可写成 x ，这个式子叫做一元二次方程 2a
ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式.
例题分析 例1 不解方程，判别下列各方程的根的情况
（1）x²+x+1=0
解：∵a=1，b=1，c=1 ∴Δ =b²-4ac
=1²-4×1×1
=-3＜0 ∴原方程无实数解
（2）x²-3x+2=0 解：∵a=1，b=-3，c=2 ∴b²-4ac=（-3）²-4×1×2 =1＞0 ∴原方程有两个不相等实数根
（1）当Δ =b²-4ac＞0时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不 相等的实数根； （2）当Δ =b²-4ac=0时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个相等 的实数根；
（3）当Δ =b²-4ac＜0时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）没有实数根；
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式 当Δ ≥0时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实数根
x+
=0,有两个实数根，求m的
7.已知一元二次方程方程(ab-2b)x²+2(b-a)x+2a-ab=0 有两个相等实根，求 的值.
2122 一元二次方程的解法(二)公式法(解析版)
21.2.2一元二次方程的解法（二）公式法夯实双基，稳中求进公式法解一元二次方程知识点管理 归类探究 1 1.一元二次方程的求根公式一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac =->时，242b b ac x a-±-=.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：24b ac =-．①当240b ac =->时，原方程有两个不等的实数根242b b acx a-±-=；②当240b ac =-=时，原方程有两个相等的实数根； ③240b ac =-<当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的步骤：①变形：把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求△：求出24b ac -的值；④定根：240b ac -≥若，则利用公式242b b acx a-±-=求出原方程的解；若240b ac -<，则原方程无实根.题型一：一元二次方程的求根公式【例题1】（2021·全国九年级）关于x 的一元二次方程220(0,40)ax bx c a b ac ++=≠->的根是（ ）A B C D 【答案】D【详解】当20,40a b ac ≠->时，一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式为x .故选D.变式训练【变式1-1】（2020·福建省福州延安中学九年级月考）x =是下列哪个一元二次方程的根（ ）A ．23210x x +-=B ．22410x x +-=C ．2x 2x 30--+=D ．23210x x --= 【答案】D【分析】根据一元二次方程的求根公式解答即可．【详解】解：对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，方程的根为：2b x a-=．因为x =3a =，2b =-，1c =-，所以对应的一元二次方程是：23210x x --=．故选：D ．【变式1-2】（2019·全国八年级课时练习）解下列方程，最适合用公式法求解的是( ) A ．2(26)10x =＋－ B ．2(14)x =＋ C ．2121x ＝ D ．2350x x =－－【答案】D【分析】解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法，根据每种方法的特点逐个判断即可．【详解】解：A 、用因式分解法好，故本选项错误； B 、用直接开平方法好，故本选项错误；C 、变形后用直接开平方法好，故本选项错误；D 、用公式法好，故本选项正确．故选D ．【变式1-3】（2019·全国九年级课时练习）用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ）A ．x 1、2B ．x 1、2C ．x 1、2D ．x 1、2【答案】D【详解】∵3x 2+4=12x ， ∵3x 2-12x+4=0， ∵a=3，b=-12，c=4，∵x =，故选D.题型二：公式法解一元二次方程【例题2】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级二模）解方程：()86x x +=-．【答案】14x =-24x =-【分析】将方程化为一般式，再利用公式法进行求解即可． 【详解】解：原方程可化为：2860x x ++=， ∵1,8,6a b c ===， ∵2841640∆=-⨯⨯=，∵4x ==-，∵14x =-24x =-【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 变式训练【变式2-1】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级其他模拟）解方程：2x 2＝3x －1 【答案】x 1＝1，x 2＝12【分析】将二次方程整理为二次方程的一般式，根据二次方程根的判别式可知该方程有两个不相等的实数根，代入求根公式计算即可．【详解】解：原式整理为：2x 2－3x ＋1＝0 ∵∵＝b 2－4ac ＝10>， ∵方程有两个不相等的实数根，∵x =， 故1314x +＝或2314x -=得x 1＝1；x 2＝12． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，可以根据根的判别式判断根的情况，熟知公式法解一元二次方程的方法是解题关键．【变式2-2】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级三模）解方程：()2121x x +=- 【答案】方程没有实数根【分析】首先去括号合并同类项，化为一般式，根据0<可知，方程没有实数根． 【详解】解：去括号化简得：2+20x ，224041280b ac =-=-⨯⨯=-<，∵方程没有实数根．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【变式2-3】（2020·永善县墨翰中学九年级月考）解方程．2820x x --= 【详解】（1）∵1a =，8b =-，2c =- ∵2(8)4(2)720∆=--⨯-=> ∵方程有两个不相等的实数根．∵4x ===±∵14x =+24x =-判别式与方程的根的关系题型三：判别式求根的个数【例题3】（2021·江苏苏州市·苏州草桥中学九年级一模）定义运算：21m n mn mn =-+☆．例如：232323217=⨯-⨯+=☆，则方程40x =☆的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根【答案】B【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：4∵x =4x 2-4x +1=0， ∵∵=16-4×4×1=0， ∵有两个相等的实数根， 故选：B ．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型． 变式训练【变式3-1】（2021·河南二模）关于x 的一元二次方程()2220x p x p -++=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个实数根D ．无实数根【答案】C2 1.一元二次方程根的判别式（1）∵＞0∵方程有两个不相等的实数根； （2）∵＝0∵方程有两个相等的实数根； （3）∵＜0∵方程没有实数根．2. 根据一元二次方程方程根的情况可以确定△的取值范围.3. 通过配方法对△进行变形可以得到含参方程的解的情况特别说明：（1）一元二次方程根的情况与判别式∵的关系是可以双向互相推导的.（2）考查一元二次方程根的情况的时候，注意讨论参数的取值，要注意题目中是否是关于未知数的一元二次方程，因此一定不要忘记讨论二次项系数为0时的情况．【分析】先计算根的判别式得到∵＝[﹣（p+2）]2﹣4×2p＝（p﹣2）2，再利用非负数的性质得到∵≥0，然后可判断方程根的情况．【详解】解：∵＝[﹣（p+2）]2﹣4×2p＝（p﹣2）2，∵（p﹣2）2≥0，即∵≥0，∵方程有两个实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与∵＝b2﹣4ac有如下关系：当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∵＝0时，方程有两个相等的实数根；当∵＜0时，方程无实数根．x x-=-的根的情况，正确的是（）【变式3-2】（2021·河南九年级二模）关于x的方程()53A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到方程根的情况．x x-=-，即x2-5x+3=0【详解】解：∵()53∵Δ=(-5)2−4×1×3=25-12=13>0，∵原方程有两个不相等的实数根；故选择：A【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式．【变式3-3】（2021·河南焦作市·九年级二模）已知关于x的一元二次方程2-+=，其中b，c在x bx c20数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【答案】A【分析】由数轴可知：0b >，0c <，然后计算根的判别式的值即可得出答案． 【详解】由数轴可知：0b >，0c <； ∵280b c ∆=->； ∵有两个不相等的实数根 故选：A【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的方法、某点在数轴上的位置确定其正负是解题的关键，属于基础知识题． 题型四：根据根的个数求参数的取值范围【例题4】（2021·南京二模）若一元二次方程20x x a -+=有实数根，则a 的取值范围是____________． 【答案】14a ≤【分析】根据判别式大于等于0即可求解． 【详解】解：一元二次方程20x x a -+=有实数根 ∵2(1)40a ∆=--≥，解得14a ≤ 故答案为14a ≤． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 变式训练【变式4-1】（2021·山东济南市·八年级期末）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个实数根，则k 的取值范围是________． 【答案】1k ≤【分析】根据一元二次方程判别式的性质，列一元一次不等式并求解，即可得到答案． 【详解】∵关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个实数根 ∵()2240k ∆=--≥ ∵1k ≤故答案为：1k ≤．【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．【变式4-2】（2021·济南期末）关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．1a ≤且0a ≠ D ．1a <且0a ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式可得440a -≥，然后求解即可． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有实数根， ∵24440b ac a ∆=-=-≥，且0a ≠， 解得：1a ≤且0a ≠； 故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【变式4-3】（2020·四川巴中市·中考真题）关于x 的一元二次方程x 2+（2a ﹣3）x +a 2+1＝0有两个实数根，则a 的最大整数解是（ ） A ．1 B ．1- C ．2- D ．0【答案】D【分析】根据一元二次方程根的情况，用一元二次方程的判别式代入对应系数得到不等式计算即可. 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22(23)10x a x a +-++=有两个实数根，∵()22(23)410a a ∆=--+≥，解得512a ≤， 则a 的最大整数值是0．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是能够熟练地掌握和运用一元二次方程根的判别式.题型五：根的判别式综合应用【例题5】（2020·全国九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +2）x +（3m +6）＝0． （1）试讨论该方程的根的情况并说明理由；（2）无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根．【答案】（1）关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +2）x +（3m +6）＝0有实数根；（2）无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3【分析】（1）求出判别式的值即可判断．（2）由无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，又m （x 2-4x+3）-2x+6=0，推出x 2-4x+3=0，且-2x+6=0即可解决问题．【详解】解：（1）对于关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m+2）x+（3m+6）＝0，∵∵＝[﹣（4m+2）]2﹣4m （3m+6）＝16m 2+16m+4﹣12m 2﹣24m ＝4m 2﹣8m+4＝4（m ﹣1）2≥0， ∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m+2）x+（3m+6）＝0有实数根． （2）∵无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根， 又∵m （x 2﹣4x+3）﹣2x+6＝0， ∵x 2﹣4x+3＝0，且﹣2x+6＝0 解得x ＝3，∵无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 变式训练【变式5-1】（2020·全国九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k +-+-=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k 值代入方程，并求出此时方程的解． 【答案】（1）详见解析；（2）120,1x x ==-【分析】（1）先求出∵的值，再根据∵的意义即可得到结论； （2）任意取一个k 值代入，然后根据一元二次方程的解法解答即可. 【详解】解：（1）2(1)4(k 2)k ∆=---269k k =-+ ()230k =-≥∵0∆≥，∵方程总有两个实数根. （2）当2k =∵20x x +=解得120,1x x ==-【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，正确理解公式是解答本题的关键. 【变式5-2】（2016·甘肃白银市·中考真题）已知关于x 的方程x 2+mx+m -2=0. (1)若此方程的一个根为1,求m 的值；(2)求证：不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根. 【答案】（1）12；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∵=b 2﹣4ac ：当∵＞0，方程有两个不相等的实数根；当∵=0，方程有两个相等的实数根；当∵＜0，方程没有实数根． （1）直接把x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0求出m 的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可． 解：（1）根据题意，将x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0， 得：1+m+m ﹣2=0， 解得：m=12； （2）∵∵=m 2﹣4×1×（m ﹣2）=m 2﹣4m+8=（m ﹣2）2+4＞0，∵不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【变式5-3】（2015·四川南充市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程（x ﹣1）（x ﹣4）=p 2，p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由） 【答案】（1）见解析；（2）P=0、2、－2. 【详解】解：（1）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0， ∵∵=（﹣5）2﹣4×（4﹣p 2）=4p 2+9＞0，∵不论p 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0，∵ ∵方程有整数解，为整数即可，∵p 可取0，2，﹣2时，方程有整数解．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式∵的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．【真题1】（2011·广东深圳市·中考真题）如果关于x 的方程2x 2x m 0-+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝______．【答案】1【详解】本题需先根据已知条件列出关于m 的等式，即可求出m 的值．解答：解：∵x 的方程x 2-2x+m=0（m 为常数）有两个相等实数根∵∵=b 2-4ac=（-2）2-4×1?m=04-4m=0m=1故答案为1【真题2】（2021·山东泰安市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．14k >- B ．14k < C ．14k >-且0k ≠ D ．14k <0k ≠ 【答案】C【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k ≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“∵>0”，解这两个不等式即可得到k 的取值范围．【详解】解：由题可得：()()2021420k k k k ≠⎧⎪⎨⎡⎤---->⎪⎣⎦⎩, 解得：14k >-且0k ≠； 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．链接中考【真题3】（2021·辽宁营口市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x m +-+=有两个实数根，则实数m 的取值范围是_________．【答案】2m ≤【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求解．【详解】解：∵一元二次方程2210x x m +-+=有两个实数根，∵()4410m ∆=--+≥，解得2m ≤，故答案为：2m ≤．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【真题3】（2021·四川雅安市·中考真题）若直角三角形的两边长分别是方程27120x x -+=的两根，则该直角三角形的面积是（ ）A ．6B ．12C ．12或2D ．6或2 【答案】D【分析】根据题意，先将方程27120x x -+=的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．【详解】解方程27120x x -+=得13x =，24x =当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为134=62⨯⨯；当4为斜边，3=13=22；则该直角三角形的面积是6或2， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．【真题5】（2021·山东菏泽市·中考真题）关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．14k >且1k ≠B ．14k ≥且1k ≠C ．14k >D ．14k ≥ 【答案】D【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求k 的取值范围即可．【详解】解：当方程为一元二次方程时，∵关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，∵()()22121410k k ∆=+-⨯⨯≥-，且 1k ≠， 解得，14k ≥且1k ≠， 当方程为一元一次方程时，k =1，方程有实根 综上，14k ≥故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中0a ≠，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．【拓展1】（2021·东莞外国语学校九年级一模）已知：关于x 的方程2x (k 2)x 2k 0-++=，（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，两个边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求∵ABC 的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）∵ABC 的周长为5．【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；（2）分a 为底边和a 为腰两种情况，当a 为底边时，b=c ，可得方程的判别式∵=0，可求出k 值，解方程可求出b 、c 的值；当a 为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k 值，解方程可求出b 、c 的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．【详解】（1）∵判别式∵=[-(k+2)]²-4×2k=k²-4k+4=(k -2)²≥0，∵无论k 取任何实数值，方程总有实数根．满分冲刺（2）当a=1为底边时，则b=c，∵∵=(k-2)²=0，解得：k=2，∵方程为x2-4x+4=0，解得：x1=x2=2，即b=c=2，∵1、2、2可以构成三角形，∵∵ABC的周长为：1+2+2=5．当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，∵1-（k+2）+2k=0，解得：k=1，∵方程为x2-3x+2=0，解得：x1=1，x2=2，∵1+1=2，∵1、1、2不能构成三角形，综上所述：∵ABC的周长为5．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系．一元二次方程根的情况与判别式∵的关系：当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∵=0时，方程有两个相等的实数根；当∵＜0，方程没有实数根；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握根与判别式的关系是解题关键．。
《解一元二次方程》第二课时 练习
21.2.2解一元二次方程一．选择题1．下列方程适合用求根公式法解的是（）A．（x﹣3）2=2 B．325x2﹣326x+1=0C．x2﹣100x+2500=0 D．2x2+3x﹣1=02．用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（）A．x1、2=B．x1、2=C．x1、2=D．x1、2=3．关于方程x2﹣2=0的理解错误的是（）A．这个方程是一元二次方程B．方程的解是C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D．这个方程可以用公式法求解4．用公式法解方程x2﹣2=﹣3x时，a，b，c的值依次是（）A．0，﹣2，﹣3 B．1，3，﹣2C．1，﹣3，﹣2 D．1，﹣2，﹣35．若一元二次方程x2+x-1=0的较大根是m，则（）A．m＞2 B．m＜-1C．1＜m＜2 D．0＜m＜1二．填空题6．若a2+ab﹣b2=0且ab≠0，则的值为．7．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x= ．8．方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为．9．利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为，确定的值，当时，把a，b，c的值代入公式，x1，x2= 求得方程的解．三．解答题10．解下列方程（1）x2﹣49=0（2）1﹣x=x2（用公式法）（3）2y2=3y+1（用配方法）11.若x2与x-1互为相反数，求x的值．12.解方程与求值（1）3x2-x+1=0 （公式法）（2）已知m是方程x2+x-1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m-1）的值．参考答案与试题解析一．选择题二．填空题6．．7．．8．x=．9．一般式方程；a，b，c；△＞0；．三．解答题10．【解答】解：（1）方程变形得：x2=49，解得：x1=7，x2=﹣7；（2）方程整理得：x2+x﹣1=0，这里a=1，b=1，c=﹣1，∵△=1+4=5，∴x=；（3）方程变形得：y2﹣y=，配方得：y2﹣y+=，即（y﹣）2=，开方得：y﹣=±，则y1=，y2=．11. 【解答】解：根据题意得，x2+x-1=0，∴△=1-4×1×（-1）=5＞0，则x=12.【解答】解：（1）∵a=3，b=-，c=1，∴△=12-4×3×1=0，。
21.2.2_一元二次方程的解法_公式法(2)
要点、考点
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根. (4)当Δ≥0时，方程有两个实数根 2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面 的知识主要用来求字母取值范围等问题.
Байду номын сангаас
4m 4m 4m 8
2 2
m 2且m 1
课时训练
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况 是 ( D ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( A ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根 3.下列一元二次方程中，有实数根的是 ( C ) A.x2-x+1=0 C.x2+x-1=0 B.x2-2x+3=0 D.x2+4=0
4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论 正确的是 ( D ) A.当k=1/2时，方程两根互为相反数 B.当k=0时，方程的根是x=-1 C.当k=±1时，方程两根互为倒数 D.当k≤1/4时，方程有实数根 5. 若关于 x 的一元二次方程 mx2-2x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是 ( D) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0
当m-1≠0时，
方程有两个相等的实数根； 方程有两个不相等的实数根；
(3) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？ 解：△=(2m+1)2-4m2
21、2、2解一元二次方程——公式法(第2课时)同步练习 21-22学年人教版数学九年级上学期
初中数学人教版九年级上册——21.2.2解一元二次方程——公式法（第2课时）一、单选题1.当时，关于x的一元二次方程的根的情况为（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定2.方程的根是（）A. B. C. D.3.关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，那么m的取值范围是（）B. m≥ 且m≠2C. m≤ 且m≠﹣2D. m≥A. m≤ 144.用公式解方程3x﹣1﹣2x2=0的过程中，a、b、c的值分别是（）A. a=3 b=﹣1 c=﹣2B. a=﹣2 b=﹣1 c=3C. a=﹣2 b=3 c=﹣1D. a=﹣1 b=3 c=﹣25.用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（）A. B. xC. D.6.以x=为根的一元二次方程可能是（）A. x2+bx+c=0B. x2+bx﹣c=0C. x2﹣bx+c=0D. x2﹣bx﹣c=07.对于两个不相等的实数a,b，我们规定符号max{a,b}表示a,b中较大的数，如max{2,4}=4,按这个规定，方程的解为( )A. 1-√2B. 2-√2C.D. 1+√2或-18.定义：如果一元二次方程满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）．A. a=cB. a=bC. b=cD. a=b=c二、填空题9.用公式法解一元二次方程，得y＝，请你写出该方程________．10.若x2+3xy﹣2y2=0，那么x y=________11.小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：小明的解法从第________ 步开始出现错误；这一步的运算依据应是________12.用公式法解方程2x2-7x+1=0，其中b2-4ac=________，x1=________，x2=________．三、计算题13.解方程：（x﹣3）（x﹣2）﹣4＝0.14.解方程：15.解下列方程：（1）（2）2x2+3x+3=0四、解答题16.小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下：∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）∴（第三步）∴x1=5+√212，（第四步）（1）小明解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是________．（2）写出此题正确的解答过程．17.关于x的一元二次方程的一个根是0，求n的值．18.已知关于x的方程kx2+（k+3）x+2＝0，求证：不论k取任何非零实数，该方程都有两个不相等的实数根.19.已知关于x的方程x2+px+q=0根的判别式的值为0，且x=1是方程的一个根，求p和q的值．20.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程一个根吗？若是，求出它的另一个根；若不是，请说明理由.答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】A二、填空题9.【答案】10.【答案】11.【答案】四；平方根的定义．12.【答案】41；；．三、计算题13.【答案】解：方程化为x2﹣5x+2＝0∵a＝1，b＝﹣5，c＝2，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝17＞0，则x＝，，x2＝故x1＝5+√17214.【答案】解：．15.【答案】（1）解：∵a=1，b=3，，，（2）解：∵a=2，b=3，c=3，∴．∴原方程无实数根．四、解答题16.【答案】（1）一；原方程没有化简为一般形式（2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．∴∴x1=5+√292，．17.【答案】解：将x＝0代入所给的方程中得：，∴，∴，∴，∴，又∵当时，所给方程不是一元二次方程，∴．18.【答案】解：由题意可知：k≠0，∴△＝（k+3）2﹣8k＝k2+6k+9﹣8k＝k2﹣2k+9＝k2﹣2k+1+8＝（k﹣1）2+8＞0，所以该方程有两个不相等的实数根.19.【答案】解：由已知得：，解得：．20.【答案】（1）∵关于x的一元二次方程x2+2kx+k2-k=0有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac=（2k）2-4（k2-k）=4k＞0，∴k＞0，∴实数k的取值范围是k＞0．（2）把x=0代入方程得：k2-k=0，解得：k=0，k=1，∵k＞0，∴k=1，即0是方程的一个根，把k=1代入方程得：x2+2x=0，解得：x=0，x=-2，即方程的另一个根为x=-2．。
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C. k<1
D. k<1 且k≠0
思考：
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当
a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为
互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解？
小
结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤：
１.先写出a，b，c
(4) x2 x 4 5 8x
拓展延伸
1、关于x的一元二次方程 x 2 x m 0 有两个实根，则m的取值范围是—— .
2
注意：一元二次方程有实根，说明方程 可能有两个不等实根或两个相等实根的 两种情况。
2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两 个不等的实根，则k的取值范围是 （ ） A.k>-1 B. k>-1 且k≠ 0
（2）当 b 2 4ac 0 时，有两个相等的实数根。 b x1 x 2 ; 2a （3）当 b 2 4ac 0时，没有实数根。
师生互动 巩固新知
2
用公式法解下列方程：
3 x
1 3x 6 x 2 0 2 2 4x 6x 0
2
4x 8 4x 11
回顾与复习 一、解一元二次方程:
(1)2x 4x 1 0
2
(2)2 x 2 2 2 x 1 0
（3）x 17 8x
2
一元二次方程的根的情况
ax bx c 0 （a 0） 2 （1）当b 4ac 0 时，有两个不相等的实数根。
2
b b2 4ac b b2 4ac x1 , ３.最后代入公式
当 当
b 2 4ac 0 b 2 4ac 0
时，有两个实数根 时，方程无实数 解