函数的切线方程新课标历届高考题专题训练及谜底

合集下载

第3讲导数中八大切线问题题型总结(解析版)

第3讲导数中八大切线问题题型总结【考点预测】 1.在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩．2.过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．【题型目录】题型一：导数与切线斜率的关系题型二：在点P 处切线（此类题目点P 即为切点）题型三：过点P 的切线（此类题目点P 不一定为切点，需要设切点为()00,y x ）题型四：已知切线求参数问题题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）题型六：公切线问题题型七：切线平行、垂直、重合问题题型八：与切线相关的最值问题【典例例题】题型一：导数与切线斜率的关系【例1】（2022·全国·高三专题练习（文））函数()y f x =的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(2)(3)(2)(3)f f f f ''<<-<C ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【解析】【分析】根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解. 【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得()2f '表示切线1l 斜率10k >，()3f '表示切线3l 斜率30k >，又由平均变化率的定义，可得(3)(2)(3)(2)32f f f f -=--，表示割线2l 的斜率2k ，结合图象，可得3210k k k <<<，即()()()()03322f f f f <<-<''. 故选：C.【例2】函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列大小关系正确的是（）A ．()()()()244222f f f f '<-<'B ．()()()()224224f f f f '<-<'C ．()()()()242242f f f f '<'<-D ．()()()()422422f f f f -<'<'【答案】B 【解析】【分析】由导数的几何意义判断由图象可知()f x 在(0,)+∞上单调递增，12AB k k k <<，故(4)(2)(2)(4)42f f f f -'<<'-，即()()()()224224f f f f '<-<'故选：B 【题型专练】1.（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）（多选题）已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是（）A ．()()32f f ''，记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，根据两点坐标求出直线AB 的斜率，结合图形即可得出()()()323f f f '->. 【详解】由函数的图象可知函数()f x 是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在2x =处的切线斜率1k 大于在3x =处的切线斜率2k ，所以()()23f f ''>；记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，则直线AB 的斜率()()()()323232f f k f f -==--，由函数图象，可知120k k k >>>，即()()()()23230f f f f ''>->>. 故选：AB2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）函数()y f x =的图象如图所示，f x 是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（）A ．()()()()235325f f f f ''<-<B ．()()()()232553f f f f ''<<-C ．()()()()532325f f f f ''-<<D ．()()()()232553f f f f ''<<-【答案】A【分析】由()y f x =图象的变化趋势，结合导函数的定义有(5)(3)(3)(5)53f f f f -''<<-，即可得答案.【详解】由图知：(5)(3)(3)(5)53f f f f -''<<-，即2(3)(5)(3)2(5)f f f f ''<-<.故选：A题型二：在点P 处切线（此类题目点P 即为切点）【例1】【2019年新课标3卷理科】已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则 A ．,1a e b ==- B ．,1a e b == C ．1,1a e b -== D ．1,1a e b -==-【答案】D 【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【详解】详解：ln 1,x y ae x '=++ 1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．【例2】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且32()23(1)f x x ax f x '=-+-，则函数()f x 的图象在点(2,(2))f --处的切线的斜率为（）A ．21-B ．27-C ．24-D ．25-【答案】A 【解析】【分析】求导数得出(1)f '，结合奇函数定义得函数解析式，然后计算(2)f '-即可．【详解】()f x 是奇函数，3232()23(1)()23(1)f x x ax f x f x x ax f x ''-=++=-=-+恒成立，所以0a =，3()2(1)f x x f x '=--，2()6(1)f x x f ''=--，所以(1)6(1)f f ''=--，(1)3f '=-，即2()63f x x '=-+， 2(2)6(2)321f '-=-⨯-+=-．故选：A ．【例3】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线ln(25)y x x =+在2x =-处的切线方程为（） A ．4x －y +8＝0 B ．4x +y +8＝0 C ．3x －y +6＝0 D ．3x +y +6＝0【答案】B 【解析】将2x =-代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可. 【详解】解：因为ln(25)y x x =+，所以()()2ln 25ln 2525x y x x x x ''=+=++⎡⎤⎣⎦+，所以24x y =-=-'．又当2x =-时，ln10y x ==，故切点坐标为(2,0)-，所以切线方程为480x y ++=．故选：B.【例4】过函数21()2xf x e x =-图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（）A ．30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,,24πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】求得2()1x f x e '=-，根据指数函数的性质，得到211x e ->-，即切线的斜率1k >-，进而得到tan 1θ>-，即可求解. 【详解】由题意，函数21()2xf x e x =-，可得2()1x f x e '=-，因为20x e >，所以211x e ->-，即切线的斜率1k >-，设切线的倾斜角为θ，则tan 1θ>- 又因为0θπ≤<，所以02πθ≤<或34πθπ<<，即切线的倾斜角的范围为30,,24πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故选：B.【例5】（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（） A ．1- B ．23-C ．12D ．1【答案】A 【解析】依据题意列出关于a b k 、、的方程组，即可求得k 的值【详解】由切点()1,b 在曲线上，得23ab +=①；由切点()1,b 在切线上，得60k b -+=②；对曲线求导得()242ay x -'=+，∴2143x ay k ='-==，即49a k -=③，联立①②③236049a b k b a k+⎧=⎪⎪-+=⎨⎪-=⎪⎩，解之得1351a b k =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故选：A.【例6】（2022·江西·丰城九中高二期末（理））已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<>-=0,0,322x x g x x x f x f 图像关于原点对称，则()f x 在1x =-处的切线方程为（） A ．320x y -+= B ．320x y --= C ．340x y ++= D ．340x y +-=【答案】A【分析】令2x =先求出(2)f 的值，再利用函数关于原点对称可求出()g x ,再利用导函数的几何意义即可求出()f x 在1x =-处的切线方程. 【详解】由题意知：2(2)(2)22(2)63f f f =⨯-⇒=. 所以22,0()(),0x x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩; 令0x <，则0x ->. 所以2()2x x f x -=+.又函数()f x 图像关于原点对称，即()()f x f x -=-. 所以当0x <时，2()2f x x x =--. 所以当0x <时，)4(1x f x '=--.(14)13f '-=-=,(1)211f -=-+=-;所以()f x 在1x =-处的切线方程为：13(1)320y x x y +=+⇒-+=. 故选：A. 【题型专练】1．【2018年新课标1卷理科】设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( )A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D 【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=，化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 2.【2021年甲卷理科】曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【答案】520x y -+= 【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当1x =-时，3y =-，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．3．【2019年新课标1卷理科】曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．【答案】30x y -=. 【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x x y x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．4．【2018年新课标2卷理科】曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．【答案】2y x = 【解析】【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】 2222101y k y x x =∴==∴=+'+ 【点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.5．【2018年新课标3卷理科】曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ________．【答案】3- 【解析】【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可．【详解】解：()y 1x xae ax e =++'则()f 012a =+=-' 所以3a =- 故答案为-3. 【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题题型三：过点P 的切线（此类题目点P 不一定为切点，需要设切点为()00,y x ）【例1】【2022年新高考2卷】曲线y =ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】 y =1ex y =−1ex【解析】【分析】分x >0和x <0两种情况，当x >0时设切点为(x 0,lnx 0)，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x 0，即可求出切线方程，当x <0时同理可得；【详解】解：因为y =ln |x |，当x >0时y =lnx ，设切点为(x 0,lnx 0)，由y ′=1x ，所以y ′|x=x 0=1x 0，所以切线方程为y −lnx 0=1x 0(x −x 0)，又切线过坐标原点，所以−lnx 0=1x 0(−x 0)，解得x 0=e ，所以切线方程为y −1=1e(x −e )，即y =1ex ；当x <0时y =ln (−x )，设切点为(x 1,ln (−x 1))，由y ′=1x ，所以y ′|x=x 1=1x 1，所以切线方程为y −ln (−x 1)=1x 1(x −x 1)，又切线过坐标原点，所以−ln (−x 1)=1x 1(−x 1)，解得x 1=−e ，所以切线方程为y −1=1−e(x+e )，即y =−1ex ；故答案为：y =1ex ；y =−1ex【例2】（2022·四川·广安二中二模（文））函数()2e xf x x =过点()0,0的切线方程为（）A ．0y =B ．e 0x y +=C ．0y =或e 0x y +=D ．0y =或e 0x y +=【答案】C 【解析】【分析】设切点2(,e )m m m ，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过()0,0代入求参数m ，即可得切线方程. 【详解】由题设2()(2)e x f x x x '=+，若切点为2(,e )m m m ，则2()(2)e m f m m m '=+，所以切线方程为22(2))e e (m m y m m m x m +-=-，又切线过()0,0，则22(2e )e m m m m m +=，可得0m =或1m =-，当0m =时，切线为0y =；当1m =-时，切线为e 1(1)y x --=+，整理得e 0x y +=. 故选：C【例3】（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若过点1(,0)2的直线与函数()e x f x x =的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（） A ．e 1+ B ．12-C ．1D ．12【答案】D 【解析】【分析】由已知，设出切点，写出切线方程，然后把点1(,0)2代入方程，解出切点坐标即可完成求解.【详解】因为函数()e x f x x =，所以()(1)e xf x x =+'，设切点为000(,e )x x x ，则切线方程为：00000e (+1)e ()x xy x x x x -=-，将点1(,0)2代入得000001e (+1)e ()2x x x x x -=-，即0001(+1)()2x x x -=-，解得012x =-或01x =，所以切点横坐标之和为11122-+=故选：D.【例4】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）直线12y x b =-与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为（）A ．2B ．-2C ．-1D ．1【答案】D【分析】求出112y x '=-+，设切点()00,x y ，由()012'=y x 求出()00,x y ，代入12y x b =-可得答案.【详解】112y x'=-+，设切点()00,x y ，由()0011122y x x '=-+=，所以0011,2x y ==-，代入12y x b =-，得1b =．故选：D.【题型专练】1.（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线2ln 3y x x =+过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线方程是（）A ．210x y ++=B ．210x y -+=C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=【答案】B 【解析】【分析】设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程. 【详解】由题意可得点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭不在曲线2ln 3y x x =+上，设切点为()00,x y ，因为2ln 2y x '=+，所以所求切线的斜率0000022ln 21212y y k x x x =+==++，所以000002ln 2ln 1y x x x x =+++.因为点()00,x y 是切点，所以0002ln 3y x x =+，所以0000002ln 2ln 12ln 3x x x x x x +++=+，即002ln 20x x +-=. 设()2ln 2f x x x =+-，明显()f x 在()0,∞+上单调递增，且()10f =，所以002ln 20x x +-=有唯一解01x =，则所求切线的斜率2k =，故所求切线方程为12212y x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.故选：B.2.（2022·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线ln y x =的切线，则切点的纵坐标为（） A ．e B ．1CD ．1e【答案】B 【解析】【分析】设出切点()()000,ln 0P x x x >，利用导数得到切线的斜率，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，解出即可. 【详解】解：设切点()()000,ln 0P x x x >，由ln y x =，得1y x'=，所以001x x y x ='=，∴曲线在点P 处的切线l 方程为()0001ln y x x x x -=-，又l 过（0，0），∴()0001ln x x x -=-，解得0x e =， ∴切点(),1P e ，纵坐标为1．故选：B ．3.过点(0，-1)作曲线()ln f x x x =的切线，则切线方程为 A ．x +y +1=0 B ．x -y -1=0 C ．x +2y +2=0 D ．2x -y -1=0【答案】B 【解析】设切点为00(,)x y ，再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解. 【详解】 ()'f x =ln x +1，设切点为00(,)x y ，∴000ln y x x =, ∴001y x +=ln x 0+1， ∴x 0ln x 0+1=x 0ln x 0+x 0，∴x 0=1，∴y 0=0，所以k =0()f x '=1，∴切线方程为y =x -1，即x -y -1=0，故选：B . 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.已知2()f x x =，则过点P (-1，0)且与曲线()y f x =相切的直线方程为（） A ．0y =B ．440x y ++=C ．0y =或440x y ++=D ．0y =或440x y -+=【答案】C 【解析】设切点为()00,x y 则切线方程为()20002y x x x x -=-，将点()1,0P -代入解0x ，即可求切线方程. 【详解】设切点为()00,x y ，则200y x =，切线斜率为()002k f x x '==所以切线方程为()20002y x x x x -=-，因为过点()1,0P - 则()200021x x x -=--解得00x =或02x =-，所以切线方程为0y =或440x y ++= 故选：C题型四：已知切线求参数问题【例1】．（2022·湖南·模拟预测）已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（）A ．)⎡⎣ B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(,-∞【答案】D 【解析】【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a 的范围即可. 【详解】因为)2ln y x x a x =++，所以12y x a x'=+，因为曲线在M 处的切线的倾斜角ππ,32θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以πtan3y ≥'=0x >恒成立，即12x a x+≥对任意0x >恒成立，即12a x x≤+，又12x x +≥12x x =，即x =a ≤所以a 的取值范围是(,-∞．故选：D ．【例2】（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）若直线1ln 2y kx =+-是曲线ln 2y x =+的切线，则k =________．【答案】2【分析】设切点()111,P x y ，根据导数的几何意义列式求解即可. 【详解】对函数ln 2y x =+求导得1y x'=，设直线1ln 2y kx =+-与曲线ln 2y x =+相切于点()111,P x y ，则11ln 2y x =+，由点()111,P x y 在切线上得()()1111ln 2y x x x x -+=-，即111ln 1y x x x =++，所以1111ln 1ln 2k x x ⎧=⎪⎨⎪+=-⎩，解得112x =，2k =．故答案为：2【例3】（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文））已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,e a 处的切线方程为2y x b =+，则b =_____ 【答案】1-【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出1e a -=，再由切点坐标，即可求出结果.【详解】因为e ln x y a x x =+的导数为e ln 1x y a x '=++，又函数e ln x y a x x =+在点()1,e a 处的切线方程为2y x b =+，可得e 012a ++=，解得1e a -=，又切点为()1,1，可得12b =+，即1b =-. 故答案为：1-.【例4】（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数()()()()220f x x x ax b a =-+≠在点()(),a f a 处的切线方程为()y f a =，则b =（） A ．1-或1 B．C ．2-或2 D．【答案】D 【解析】【分析】由函数为奇函数可得2b a =，根据切线的斜率为0建立方程求出a 即可得解. 【详解】由()()()()220f x x x ax b a =-+≠可得32()(2)2f x ax b a x bx =+--，因为()()f x f x -=-，所以20b a -=，解得2b a =.所以()424y f a a a ==-，故切线斜率()0k f a '==，又2()(34)f x a x '=-，所以2()(34)0f a a a '=-=，解得a =a =，所以b =故选：D【题型专练】1．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）已知曲线()()e x f x x a =+在点(1,(1))f --处的切线与直线210x y +-=垂直，则实数a 的值为_________．【答案】e 2【分析】由已知可得切线斜率，根据导数的几何意义列方程求解即可．【详解】因为()(1)e x f x x a '=++，所以切线的斜率为()1'1k f ae -=-=，而切线与直线210x y +-=垂直，所以12)1ae -⋅-=-（，解得e2a =，故答案为：e2．2.（2022·云南昆明·模拟预测（文））若函数()ln f x x =的图象在4x =处的切线方程为y x b =+，则（）A ．3a =，2ln 4b =+B ．3a =，2ln 4b =-+C ．32a =，1ln 4b =-+ D ．32a =，1ln 4b =+ 【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义可求出结果. 【详解】()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x x'=，由题意可得(4)1(4)4f f b =⎧⎨=+'⎩，即114ln 44a b+==+⎩，解得32ln 4a b =⎧⎨=+⎩，故选：A3.（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l 的斜率为2，l 与曲线1C ：()1ln y x x =+和圆2C ：2260x y x n +-+=均相切，则n =（）A ．－4B ．－1C ．1D ．4【答案】D 【解析】【分析】设曲线1C 的切点，利用曲线的几何意义可得切点坐标，进而求得切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径即可求得n 值. 【详解】设直线l ：20x y m -+=与曲线1C 相切，切点为()()000,1ln x x x +，因为()1ln y x x =+的导数为2ln y x '=+，由02ln 2x +=，解得01x =，所以切点为()1,1，代入20x y m -+=得1m =-，所以切线方程为210x y --=.将2260xy x n +-+=化为标准方程为()()22399x y n n -+=-<，因为l 与圆2C =4n =.故选：D题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）【例1】（2022·河南洛阳·三模（文））若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条【答案】C 【解析】【分析】设切点为()300,x x ，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点P 在切线上，即可代入切线方程，解得0x ，即可得解；【详解】解：设切点为()300,x x ，由3y x =，所以23y x '=，所以020|3x x y x ='=，所以切线方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-，因为切线过点()1,0P ，所以3200032x x =-，解得00x =或032x =，所以过点()1,0P 作曲线3y x =的切线可以作2条，故选：C【例2】（2022·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（） A ．ln a b < B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <【答案】D 【解析】【分析】设切点坐标为00(,)x y ，由切点坐标求出切线方程，代入坐标(,)a b ，关于0x 的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得. 【详解】设切点坐标为00(,)x y ，由于1y x'=，因此切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，又切线过点(,)a b ，则000ln a x b x x --=，001ln a b x x +=+，设()ln a f x x x =+，函数定义域是(0,)+∞，则直线1y b =+与曲线()ln af x x x =+有两个不同的交点，221()a x af x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域内单调递增，不合题意；当0a >时，0x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 1f x f a a ==+，结合图像知1ln 1b a +>+，即ln b a >. 故选：D.【例3】【2021年新高考1卷】若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b <<【答案】D 【解析】【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t -=-，即()1t ty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t tb ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点. 故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.【例4】（2022·河南洛阳·三模（理））若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是（） A ．(),1-∞ B ．()0,∞+ C ．()0,1 D ．{}0,1【答案】C 【解析】【分析】由已知，设出切点，然后写出切线方程，把点P 带入切线方程中，然后对式子进行整理，分别设出两个函数，y t =与23()32g x x x =-，借助导数研究函数()g x 的单调性和极值，然后作图，看两个函数图象的交点情况即可完成求解. 【详解】由已知，曲线3y x =，即令3()f x x =，则()23f x x '=，设切点为300(,)x x ，切线方程的斜率为()2003f x x '=，所以切线方程为：00320(3)y x x x x -=-，将点()1,P t 代入方程得：320003(1)t x x x -=-，整理得230032t x x =-，设函数23()32g x x x =-，过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，可知两个函数图像y t =与23()32g x x x =-有三个不同的交点，又因为()266g x x x =-'，由()0g x '=，可得0x =或1x =，所以函数()g x 在(,0)-∞，(1,)+∞上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以函数()g x 的极大值为(1)321g =-=，函数()g x 的极小值为(0)000g =-=，如图所示，当()0,1t ∈时，两个函数图像有三个不同的交点. 故选：C.【例5】（2022·河北·高三阶段练习）若过点(1,)P m 可以作三条直线与曲线:e xxC y =相切，则m 的取值范围为（）A ．23,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．213,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】本题为过点P 的切线，切点为000,e x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，可得切线方程()000001e e x x x x y x x --=-，代入点P 坐标整理为02001e x x x m -+=，即y m =与21()e xx x f x -+=有三个交点．【详解】由e x x y =，则1e x x y -'=，设切点为000,e x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则切线斜率001e x x k -=则在点000,e x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程为()000001e e x x x x y x x --=-，代入点P 坐标得()0000011e ex x x x m x --=- 整理为02001e x x x m -+=，即这个方程有三个不等式实根，令21()e x x x f x -+=，则 232()e x x x f x '-+-=，令()0f x '>则12x <<函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，故得(1)(2)f m f <<，即213,e e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D ．【例6】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）过直线1y x =-上一点P 可以作曲线()ln f x x x =-的两条切线，则点P 横坐标t 的取值范围为（）A ．01t <， 1()1f x x '=-，()000111x f x x x -'=-=，则过点P 的切线方程为()000001ln x y x x x x x --+=-，整理得0001ln 1x y x x x -=-+，由点P 在切线上，则00011ln 1x t t x x --=-+，即0002ln t x x x =-，因为过直线1y x =-上一点P 可以作曲线()ln f x x x =-两条切线，所以关于0x 的方程0002ln t x x x =-有两个不等的实数根，即函数y t =与函数()2ln g x x x x =-的图象有两个交点， ()2ln 11ln g x x x '=--=-，()()00e,0e g x x g x x >⇒<<⇒''，则函数()g x 在()0e ，上单调递增，在()e,∞+上单调递减，且(e)e g =，0x →时，()0g x →；x →+∞时，()g x →-∞，则函数y t =与函数()ln 2g x x x x =-+的图象如下图所示：由图可知，0e t <<，【题型专练】1.（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点()1,P m -可以作三条直线与曲线C ：e x y x =相切，则m 的取值范围是（） A ．23,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．211,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出导函数,利用导数的几何意义列出方程，即可求解. 【详解】设切点为()00,x y ,过点P 的切线方程为()()000001e e xxy x x x x =+-+,代入点P 坐标，化简为()02001e x m x x =---，即这个方程有三个不等根即可.令()()21e x f x x x =---,求导得：()()()12e xf x x x '=--+.令()0f x '>，解得：21x -<<-，所以()f x 在()2,1--上递增；令()0f x '<，解得：2x <-或1x >-，所以()f x 在(),2-∞-和()1,-+∞上递增.要使方程()02001e x m x x =---有三个不等根即可.只需()()21f m f -<<-,即231e ex -<<-. 故选：D2.（2022·广东深圳·二模）已知0a >，若过点(,)a b 可以作曲线3y x =的三条切线，则（） A ．0b D ．()30b b a -=【答案】B 【解析】【分析】设切点为()300,x x ，切线方程为()y k x a b =-+，求出函数的导函数，即可得到()23003k x k x a b x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得3200230x ax b -+=，令()3223g x x ax b =-+，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，依题意()g x 有三个零点，即可得到不等式组，从而得解；【详解】解：设切点为()300,x x ，切线方程为()y k x a b =-+，由3y x =，所以23y x '=，所以020|3x x y x ='=，则()23003k x k x a b x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，所以3200230x ax b -+=，令()3223g x x ax b =-+，则()()2666x ax g x x x a '=-=-，因为0a >，所以当0x <或x a >时()0g x '>，当0x a <<时()0g x '<，所以()g x 在(),0∞-和(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，所以当0x =时()g x 取得极大值，当x a =时()g x 取得极小值，即()()0g x g b ==极大值，()()3g x g a b a ==-极小值，依题意()3223g x x ax b =-+有三个零点，所以()()00g x g b ==>极大值且()()30g x g a b a ==-<极小值，即30b a <<；故选：B3.（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）若过点()(),0a b a >可以作曲线e x y x =的三条切线，则（） A ．0e b a b << B ．e 0a a b -<<C ．20e 4a b <<+D ．()24e 0a b -+<<【答案】D【分析】设切点为()000,e xx x ，利用导数的几何意义及条件可得关于0x 的方程()0200e x xax a b --=-有三个不同的解，构造函数()()2e x f x x ax a =--，利用导数研究函数的性质利用数形结合即得. 【详解】由题可得()1e xy x '=+，设切点()00,ex x x ，则()00000e 1e x x x b x x a-+=-，整理得()0200e x x ax a b --=-，由题意知关于0x 的方程()0200e x x ax a b --=-有三个不同的解，设()()2e x f x x ax a =--，()()()2e xx x f x a '=+-，由0f x ，得2x =-或x a =，又0a >，所以当2x <-时，0fx，()f x 单调递增，当2x a -<<时，0fx，()f x 单调递减，当x a >时0f x，()f x 单调递增，当x →-∞时()0f x →，当x →+∞时，()f x →+∞，且()242eaf +-=，()e 0a f a a =-<，函数()f x 的大致图像如图所示，因为()f x 的图像与直线y b =-有三个交点，所以240ea b +<-<，即()24e 0a b -+<<. 故选：D.【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：∴利用最值或极值研究；∴利用数形结合思想研究；∴构造辅助函数研究.4．（2022·山东枣庄·高二期末）已知函数()()1e xf x x =+，过点M （1，t ）可作3条与曲线()y f x =相切的直线，则实数t 的取值范围是（）A ．24,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．242,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．36,2e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．36,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】设切点为(,(1)e )a a a +，利用导数的几何意义求出切线的斜率()k f a '=，利用点斜式写出切线方程，将点M 的坐标代入切线方程，可得关于a 的方程有三个不同的解，利用参变分离可得2(3)e a t a =-，令2()(3)e x g x x =-，利用导数求出()g x 的单调性和极值，则根据()y g x =与y t =有三个不同的交点，即可求出实数t 的取值范围【详解】设切点为(,(1)e )a a a +，由()()1e x f x x =+，得()()()e 1e 2e x x xf x x x '=++=+，所以切线的斜率为()()2e ak f a a '==+，所以切线方程为(1)e (2)e ()a a y a a x a -+=+-，因为点M （1，t ）在切线上，所以(1)e (2)e (1)a a t a a a -+=+-，化简整理得2(3)e a t a =-，令2()(3)e x g x x =-，则2()(32)e (1)(3)e x x g x x x x x '=--=--+，所以当3x <-或1x >时，()0g x '<，当31x -<<时，()0g x '>，所以()g x 在(,3)-∞-和(1,)+∞上递减，在(3,1)-上递增，所以()g x 的极小值为336(3)(39)e eg --=-=-，极大值为(1)2e g =，当3x <-时，()0g x <，所以()g x 的图象如图所示，因为过点M （1，t ）可作3条与曲线()y f x =相切的直线，所以()y g x =的图象与直线y t =有三个不同的交点，所以由图象可得360e t -<<，故选：D5.（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（）A ．25e e m -<< B ．250e m -<< C ．10em -<<D ．e m <【答案】B 【解析】【分析】求导分析()e xf x x =的图象可得3n =，再设切点坐标为()00,x y ，由题可得()02001e x m x x =-++⋅有三根，再构造函数()()2e 1x g x x x =-++⋅求导分析图象单调性与最值即可【详解】由()e x f x x =，()()1e xf x x '=+，故当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减，且()0f x <；当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增，结合图象易得，过点()()1,P m m ∈R 至多有3条直线与函数()xf x xe =的图像相切，故3n =.此时，设切点坐标为()00,x y ，则切线斜率()001e xk x =+⋅，所以切线方程为()()00000e e 1x x y x x x x -=+⋅-，将()1,P m 代入得()0201e x m x x =-++⋅，存在三条切线即函数()21e x m x x =-++⋅有三个不同的根，又()()()1e 2xg x x x '=--+⋅，易得在()2,1-上，()0g x '>，()g x 单调递增；在(),2-∞-和()1,+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，画出图象可得当()20g m -<<，即250e m -<<时符合题意故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定根的个数与参数取值范围的问题，属于难题题型六：公切线问题【例1】（2023届贵州省遵义市新高考协作体高三上学期入学质量监测数学（理）试题）若直线y kx b =+是曲线1e x y +=的切线，也是e 2x y =+的切线，则k =（） A ．ln 2 B ．ln 2- C ．2 D ．2-【答案】C【分析】设直线y kx b =+与e 2x y =+和1e x y +=的切点分别为()11,2e x x +，()212,e x x +，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到k 的值.【详解】设直线y kx b =+与e 2x y =+和1e x y +=的切点分别为()11,2e x x +，()212,e x x +，则切线方程分别为，()()1112e e x x y x x +--=，()22112e e x x y x x ++--=，化简得，11112e e e x x x y x x -=++ 2221112e e +e x x x y x x +++-=依题意上述两直线与y kx b =+是同一条直线，所以，12112211112e e e 2e e +e x x x x x x x x +++⎧=⎨+-=-⎩，解得1ln 2x =，所以1ln 22e e x k ===．故选：C ．【例2】（2022·全国·高三专题练习）若函数()ln f x x =与函数2()(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（） A ．1ln ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．()2,ln +∞【答案】B 【解析】【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成a 关于一个变量1x 的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解. 【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，， ()1f x x'=，切线的斜率为11x ，则切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，即111ln 1y x x x =+-设公切线与函数2()g x x x a =++切于点22222()(),0B x x x a x ++<，()21g x x '=+，切线的斜率为221x +，则切线方程为22222()(21)()y x x a x x x -++=+-，即222(21)y x x x a =+-+所以有21212121ln 1x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩ 因为1>0x ，所以2210x +>，可得2102x -<<，21210x <+<，即1101x <<，由21121x x =+可得：211122x x -=，所以22112111211111ln ln 1ln 111224a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-=，令11t x =，则()0,1t ∈，()22111311ln ln 4424a t t t t t =---=---，设()()2113ln 01424h t t t t t =---<<，则22192111()0222242h t t t t tt t t =--==⎛⎫-- ⎪-⎝⎭'<-，所以()h t 在()0,1上为减函数，则()()11311424h t h >=--=-，所以1a >-，所以实数a 的取值范围是()1,-+∞，故选：B ．【点睛】方法点睛：求曲线过点(),A a b 的切线的方程的一般步骤是：（1）设切点P 00(,())x f x（2）求出()y f x =在0x x =处的导数()0f x '，即()y f x =在点P 00(,())x f x 处的切线斜率；（3）构建关系()000()f x bf x x a-'=-解得0x ；（4）由点斜式求得切线方程0()()y b f x x a '-=⋅-.【例3】（2022·河北石家庄·高二期末）若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值可能是（） A ．1.2 B ．4 C ．5.6 D ．2e【答案】ABD【分析】分别设切点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，由导数的几何意义分别写出切线方程，由题意切线方程相同，从而可得出()2224ln 1a x x =--，设()2244ln g x x x x =-由导数求出其值域即可.【详解】由21y x =-，则2y x '=，由ln 1y a x =-，则a y x'=设切线与曲线21y x =-相切于点()11,A x y ，则斜率为12x ，所以切线方程为()()211112y x x x x --=-，即21121y x x x =-- ∴设切线与曲线ln 1y a x =-相切于点()22,B x y ，则斜率为：2ax ，则切线方程为()()222ln 1ay a x x x x --=-，即22ln 1a y x a x a x=+--，∴ 根据题意方程∴，∴表示同一条直线，则122212ln a x x a x a x⎧=⎪⎨⎪-=-⎩所以()2224ln 1a x x =--，令()2244ln g x x x x =-（0x >），则()()412ln g x x x '=-，所以()g x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，()max 2g x ge ==，由题意(]0,2e a ∈.故答案为：ABD【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知曲线()1:=e x C f x a +和曲线()()22:ln(),C g x x b a a b =++∈R ，若存在斜率为1的直线与1C ，2C 同时相切，则b 的取值范围是（） A ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得b 与a 的关系式，再。

函数的切线问题专题强化训练及答案

两个交点，则实数 a 的取值范围是（）
A．
1

1 e
,1

1 e

C．
1

1 e
,

B．

1

1 e
,
1

1

1 e

D．

1

1 e
,
1

1

1 e
,

【例 19 】已知函数 f x x 2017 x 2016 x 1 x 1 x 2016 x 2017 ，在不等式
ae 1 ae
类推：
f g
x,h x过m,0 x,t x过0,m
的切线斜率分别为
em1 1
em1
（根据平移记忆）和
aeam 1
1
aem1
（不要求记忆）
考点 1 切线及斜率问题
【例 1】曲线 y xex1 在点 1，1 处切线的斜率等于（）
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
8．如右图，直线 y ax 2 与曲线 y f x 交于 A、B 两点，其中 A 是切点，记 h x f x , g x f x ax ，
取值范围是
．
【例 5】若 P 是函数 f x x 1ln x 1 图象上的动点，点 A1, 1 ，则直线 AP 斜率的取值范围为（）
257
学习数学领悟数学秒杀数学
第五章导数
A． 1,
B． 0,1
C． e1, e
D． , e1

高考数学导数切线专题

类型一：在型切线方程1．(2017·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．2．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．3：2016考全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．4．曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.5．(2018·山师附中质检)已知直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为( )A ．3B ．1C ．－3D ．－16．(2018·福州质检)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．47．(2018·赣中南五校联考)已知函数f n (x )＝x n ＋1，n ∈N 的图象与直线x ＝1交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 019x 1＋log 2 019x 2＋…＋log 2 019x 2 018的值为( )A ．－1B ．1－log 2 0192 018C ．－log 2 0192 018D ．18．(2018·兰州模拟)已知函数f (x )，g (x )满足f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(x )＝1，则函数y ＝f (x )＋2g (x )的图象在x ＝5处的切线方程为________．9．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.则f (x )的解析式为________．类型二：过型切线方程1. 已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝02 若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________．3.函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，2) C ．(2，＋∞) D ．(0，＋∞)类型三：公切线问题1 (2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.2．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2 3．(2018·南昌模拟)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－24．(2018·潍坊模拟)若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是________．类型一：在型切线方程1．(2017·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________．解析：∵y ＝x 2＋1x ，∴y ′＝2x －1x 2，∴y ′|x ＝1＝2－1＝1，∴所求切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝02．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：由题意可知f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，因为f (1)＝a ，所以切点坐标为(1，a )，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，即y ＝(a －1)x ＋1.令x ＝0，得y ＝1，即直线l 在y 轴上的截距为1. 答案：13：2016考全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：令x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝ln x －3x (x ＞0)，则f ′(x )＝1x－3(x ＞0)，∴f ′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，则y ＝－2x －1. 答案：y ＝－2x －14．曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.解析：∵y ＝a ln x ，∴y ′＝ax，∴在x ＝1处的切线的斜率k ＝a ，而f (1)＝a ln 1＝0，故切点为(1,0)，∴切线方程为y ＝a (x －1)．令y ＝0，得x ＝1；令x ＝0，得y ＝－a . ∴三角形面积S ＝12×a ×1＝4，∴a ＝8.答案：85．(2018·山师附中质检)已知直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为( )A ．3B ．1C ．－3D ．－1解析：选D.法一：因为点P (1,4)在曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 上，所以a ＋2＝4，解得a ＝2，故y ′＝2ax ＋1x ＝4x ＋1x，所以y ′|x ＝1＝5＝k ，将点P (1,4)代入y ＝5x ＋b ，得b ＝－1.故选D.法二：由题意得y ′＝2ax ＋1x ，所以在点P (1,4)处的切线方程为y －4＝(2a ＋1)(x －1)，即y ＝(2a ＋1)x －2a ＋3，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＝k ，－2a ＋3＝b ，a ＋2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，k ＝5，b ＝－1.6．(2018·福州质检)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.依题意得f (3)＝k ×3＋2＝1，k ＝－13，则f ′(3)＝k ＝－13，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0，故选B.7．(2018·赣中南五校联考)已知函数f n (x )＝x n ＋1，n ∈N 的图象与直线x ＝1交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 019x 1＋log 2 019x 2＋…＋log 2 019x 2 018的值为( )A ．－1B ．1－log 2 0192 018C ．－log 2 0192 018D ．1解析：选A.由题意可得点P 的坐标为(1,1)，f ′n (x )＝(n ＋1)·x n ，所以f n (x )图象在点P 处的切线的斜率为n ＋1，故可得切线的方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，所以切线与x 轴交点的横坐标为x n ＝nn ＋1，则log 2 019x 1＋log 2 019x 2＋…＋log 2 019x 2 018＝log 2 019(x 1x 2…x 2 018)＝log 2019⎝⎛⎭⎫12×23×34×…×2 0182 019＝log 2 01912 019＝－1，故选A.8．(2018·兰州模拟)已知函数f (x )，g (x )满足f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，则函数y ＝f (x )＋2g (x )的图象在x ＝5处的切线方程为________．解析：由y ＝f (x )＋2g (x )＝h (x )知y ′＝h ′(x )＝f ′(x )g (x )－(f (x )＋2)g ′(x )g 2(x )得h ′(5)＝f ′(5)g (5)－(f (5)＋2)g ′(5)g 2(5)＝3×4－(5＋2)×142＝516.又h (5)＝f (5)＋2g (5)＝5＋24＝74，所以切线方程为y －74＝516(x －5)，即5x －16y ＋3＝0. 答案：5x －16y ＋3＝09．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.则f (x )的解析式为________．解析：方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .答案：f (x )＝x －3x类型二：过型切线方程1. 已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B. 答案：B2 若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________．解析：设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e. 答案：－e3.函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，2) C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：直线2x －y ＝0的斜率为2，且f ′(x )＝1x ＋a (x ＞0)，令1x ＋a ＝2得a ＝2－1x .因为x＞0，则1x＞0，所以a ＜2.故选B.答案：B类型三：公切线问题1 (2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln(x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln(x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k －1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k .即A ⎝⎛⎭⎫1k ，－ln k ＋2， B ⎝⎛⎭⎫1k －1，－ln k ， ∵A 、B 在直线y ＝kx ＋b 上，∴⎩⎨⎧2－ln k ＝k ·1k＋b ，－ln k ＝k ·⎝⎛⎭⎫1k －1＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2. 答案：1－ln 22．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0， m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.3．(2018·南昌模拟)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D.∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0， ∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 2＋mx 0＋72，m ＜0解得m ＝－2.4．(2018·潍坊模拟)若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是________．解析：易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． ①当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.②当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.答案：1或164。

导数19 大题(切线)1-2022年全国一卷新高考数学题型细分汇编

导数——大题——切线：1.（2022年江苏徐州J53）已知0a >，函数()x f x ax xe =-．（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程：（II ）证明()f x 存在唯一的极值点（①）（III ）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．（切线，易；第二问，未；）2.（2022年江苏常州J59）已知函数()()ln xxe f x a x x =+-，a R ∈．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（②）（2）讨论函数()f x 的零点个数．（切线，易；第二问，未；）3.（2022年福建福州联考J01）已知函数()ln(1)ln x f x ae x b =-+-(1)若()f x 在0x =处的切线方程为1y =，（i ）求a ，b 的值；（ii ）讨论()f x 的单调性.（③）(2)若b a =，证明：()f x 有唯一的极小值点.（切线，中下；单调性，中下；第二问，未；）4.（2022年福建福州J05）设函数()1ex f x x a -=+，曲线()y f x =在1x =-处的切线与y 轴交于点210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（1）求a ；（④）（2）若当[)2,x ∈-+∞时，()()1f x b x ≥-，记符合条件的b 的最大整数值､最小整数值分别为M ，m ，求M m +.注：e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数.（切线，中下；第二问，未；）1.（2022年福建三明一中J39）已知函数()()ln()x f x e x a x a x =-+++，a R ∈．（1）当1a =时，求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程；（⑤）（2）若函数()f x 在定义域上为单调增函数．①求a 最大整数值；②证明：23341ln 2(ln (ln )(ln231n n en e +++++<-L ．（切线，易；第二问，未；）2.（2022年湖南长沙一中J02）已知函数()()()e xf x x b a =+-．（0b >）在()()1,1f --处的切线l方程为()e 1e e l 0x y -++-=．（1）求a ，b ，并证明函数()y f x =的图象总在切线l 的上方（除切点外）；（⑥）（2）若方程()f x m =有两个实数根1x ，2x ．且12x x <．证明：()2112e 11em x x --≤+-．（切线，中下；第二问，未；）1.（2022年高考乙卷J04）已知函数()()ln 1exf x x ax -=++（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（⑦）（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．（切线，易；第二问，未；）1.（2022年湖北华师附中J61）已知函数()e ln ()x f x x a x a R =-∈在1x =处的切线方程为2e 1)+y x b =-（.（1）求实数,a b 的值；（⑧）（2）（i ）证明：函数()y f x =有且仅有一个极小值点0x x =，且01(,1)2x ∈；（ii ）证明：03141()1515f x <<.（切线，中下；第二问，未；）参考数据：ln 20.693≈e 1.648≈，0.55e 1.734≈，11303e 0.69-≈.2.（2022年河北演练一J39）已知函数()ln f x x bx a =++，其中,a b ∈R .（⑨）（1）若1a =，曲线()y f x =在2x =处的切线与直线210x y ++=平行，求()f x 的极值；（2）当1,1b a =≤-时，证明：2()ex f x x-≥.（切线，中下，单调性，极值，中下；第二问，未；）3.（2022年河北联考J42）设函数2()e mx f x x mx t =+-+在(0,(0))f 处的切线经过点(1,1).(1)求t 的值，并且讨论函数()f x 的单调区间；（⑩）(2)当1m =时，,()0x ∈+∞时，不等式(2)(2)4[()()]f x f x b f x f x -->--恒成立，求b 的取值范围.（切线，中下，单调性，中下；第二问，未；）1.（2022年湖北襄阳五中J24）已知函数()e 2xf x ax b =-+在0x =处的切线经过点()1,2.（1）若函数()f x 至多有一个零点，求实数a 的取值范围；（⑪）（2）若函数()f x 有两个不同的零点()1212,x x x x <，且25x >，求证：12211x x a ax >-.（23e 2.7,e 7.4,e 20.1≈≈≈）（切线，中下；零点分析，中档，未；第二问，未；）1.（2022年湖南三湘名校J45）已知函数()x f x e =（其中e 是自然对数的底数）.过点(,1)(0)P m m >作曲线()y f x =的两条切线，切点坐标分别为()()()121212,e ,,e x x x x x x <.(1)若21x =，求m 的值；（⑫）(2)证明：12x x +随着m 的增大而增大.（切线，易；第二问，未；）2.（2022年湖北武汉J01）定义在π,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的函数()()sin f x x k x =-.（⑬）（1）当π6k =时，求曲线()y f x =在点π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；（2）将()f x 的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列{}n x ，若()()120f x f x +=，求k 的值.（切线，中下；第二问，未；）3.（2022年湖北四校联考J17）已知函数()()e ln (0),ln x f x a x b x g x x x x=+->=+．（⑭）（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2e 3y x =+-，求,a b ；（2）在（1）的条件下，若()()f m g n =，比较m 与n 的大小并证明．（切线，中下；第二问，未；）①【答案】（I ）(1),(0)y a x a =->；（II ）证明见解析；（III ）[),e -+∞【解析】【分析】（I ）求出()f x 在0x =处的导数，即切线斜率，求出()0f ，即可求出切线方程；（II ）令()0f x '=，可得(1)x a x e =+，则可化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点，利用导数求出()g x 的变化情况，数形结合即可求解；（III ）令()2()1,(1)xh x x x e x =-->-，题目等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，利用导数即可求出()h x 的最小值.【详解】（I ）()(1)x f x a x e =-+'，则(0)1f a '=-，又(0)0f =，则切线方程为(1),(0)y a x a =->；（II ）令()(1)0x f x a x e =-+='，则(1)x a x e =+，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e '=+，当(,2)x ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(2,)x ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，当x →-∞时，()0g x <，()10g -=，当x →+∞时，()0g x >，画出()g x 大致图像如下：所以当0a >时，y a =与()y g x =仅有一个交点，令()g m a =，则1m >-，且()()0f m a g m '=-=，当(,)x m ∈-∞时，()a g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增，当(),x m ∈+∞时，()a g x <，则()0f x '<，()f x 单调递减，x m =为()f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；（III ）由（II ）知max ()()f x f m =，此时)1(1,m a m e m +>-=，所以()2max {()}()1(1),mf x a f m a m m e m -=-=-->-，令()2()1,(1)xh x x x e x =-->-，若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，()2()2(1)(2)x x h x x x e x x e =+-=+'-，1x >-，当(1,1)x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以min ()(1)h x h e ==-，故b e ≥-，所以实数b 的取值范围[),e -+∞.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥.②【答案】（1）11y e=-；（2）答案不唯一，见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数()'f x ，得切线斜率(1)f '，从而可得切线方程；（2）定义域是(0,)+∞，在0a ≤时直接由函数()f x 的解析式确定无零点（需用导数证明ln 0x x -<），在1a >时，由导函数()'f x ，得单调性，确定函数的最大值为(1)f ，根据(1)f 的正负分类讨论．在(1)0f >时，通过证明()0f a <和1(0f a<，得零点个数．【详解】（1）当1a =时，()ln x x e f x x x =+-，()111f e=-，()111xe xf x x -'=+-，()10f '=，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为11y e=-．（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()1111111e e e x x x x x x a f x a a x x x x ---⎛⎫⎛⎫'=+-=+⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．①当0a =时，()0e xxf x =>，()f x 无零点．②当0a >时，10e x ax+>，令()0f x '>，得01x <<，令()0f x '<，得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有最大值()11ef a =-．当10ea -<，即1e >a 时，()f x 无零点．当10e a -=，即1a e=时，()f x 只有一个零点．当10a e ->，即10a e<<时，()10f >，()()ln a a e f a a a a =+-，令()ln 1g x x x =-+，则()111xg x x x-'=-=，则()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10g x g ==，所以()ln 10g x x x =-+≤，因此当10a e <<时，ln 1a a -<-，()()1ln 1a a a a a f a a a a a a e e e ⎛⎫=+-<-=- ⎪⎝⎭．因为0a >，所以1ae >，于是()110af a a e ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭．又()f x 在()0,1上单调递增，()10f >，且1a <，所以()f x 在()0,1上有唯一零点．1111111ln ln 1a aa a f a a a a a e a e ⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当10a e<<时，1e a >，令()2e x h x x =-，其中x e >，则()2xh x e x '=-，令()2xx e x ϕ=-，x e >，则()20xx e ϕ'=->，所以()h x '在(),e +∞上单调递增，()20eh x e e '>->，所以()h x 在(),e +∞上单调递增，()20eh x e e >->，故当x e >时，2x e x >．因为1e a >，所以211ae a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即11aa e a <，所以111ln 1ln 1aa f a a a a a a e ⎛⎫=--<-- ⎪⎝⎭．由ln 10x x -+≤，得11ln10a a -+<，即1ln 10a a--+<，得ln 10a a a --<，于是10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭．又()10f >，11a>，()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()f x 在()1,+∞上有唯一零点．故10ea <<时，()f x 有两个零点．③当0a <时，由ln 10x x -+≤，得ln 10x x -≤-<，则()ln 0a x x ->，又当0x >时，0e xx>，所以()0f x >，()f x 无零点．综上可知，0a ≤或1a e >时，()f x 无零点；1a e =时，()f x 只有一个零点；10a e<<时，()f x 有两个零点．【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点个数．解题关键是求出函数的导数()'f x ，由()'f x 确定单调性和最值，本题在最大值(1)f 0>的情况下，通过证明()f a 0<和10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合零点存在定理得出零点个数．难度较大，对学生的要求较高，属于困难题．③【答案】(1)（i ）11a b =⎧⎨=⎩，（ii ）答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）（i ）求出导数，由题可得(0)0(0)1f f =⎧⎨='⎩即可求出；（ii ）根据导数的正负即可求出.（2）求出导数，构造函数()(1)1x g x ae x =+-，利用零点存在定理可判断函数的变化情况，得出单调性即可判断.(1)（i ）()11xf x ae x =-+'，由已知得，(0)0(0)1f f =⎧⎨='⎩，故10ln 1a a b -=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩；（ii ）1()(1)1xf x e x x '=->-+，显然()'f x 在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f '=，所以10x -<<时，()0f x '<；0x >时，()0f x '>，因此()f x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．(2)()ln(1)ln xf x ae x a =-+-，则1(1)1()11x xae x f x ae x x '+-=-=++，令()(1)1x g x ae x =+-，0a >，1x ≥-，显然()g x 在[1,)-+∞上单调递增，又(1)0g -<，10g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以存在11,t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()0g t =，当1x t -<<时，()0<g x ；x t >时，()0>g x ，所以1x t -<<时，()0f x '<；x t >时，()0f x '>，即()f x 在(1,)t -上单调递减；在(,)t ∞+上单调递增，因此f (x )有唯一极小值点t ．④【答案】（1）e（2）8【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求出()f x 在1x =-处的切线方程，根据切线与y 轴交于点210,e e ⎛⎫-⎪⎝⎭，即可求得a ；（2）法一：由（1）知()1e e xf x x -=+，则不等式可化为()1e 1e 0x x b x ---+≥，构造函数()()1e1e x g x x b x -=--+，利用导数并讨论导数的正负，从而求得存在()02,x ∈-+∞，()()()01000min e 1e 0x g x g x x b x -==--+≥，分离参数，表示出()0101e x b x -=+，构造新函数，结合导数求得32e e3e 3b --≤≤，进而求得答案；法二：讨论x 的取值范围，从而分离出参数b ，在1x >，21x -£<的情况下，分别构造函数，利用导数判断单调性求的最值，最后确定32e e3e 3b --≤≤，由此可得答案；法三：令2x =-，由()()1f x b x ≥-可解得32e e13b --≥>-，从而取0m =，证明证当0b =时，不等式1e e 0x x -+≥在2x ≥-时恒成立，令2x =，由()()1f x b x ≥-，解得3e b ≤，故取8M =，再证当8b =时，不等式()1e 81e 0x x x ---+≥在2x ≥-时恒成立，由此求得答案.【小问1详解】依题意得：()()11e x f x x -'=+，所以()10f '-=.又因为()211e f a -=-+，所以()f x 在1x =-处的切线方程为21ey a =-+，因为曲线()y f x =在1x =-处的切线与y 轴交于点210,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2211e e e a -+=-，解得e a =.【小问2详解】解法一:由（1）知()1e e xf x x -=+，则不等式可化为()1e 1e 0x x b x ---+≥，设()()1e1e x g x x b x -=--+，则()()11e x g x x b -='+-，设()()x g x ϕ'=，则()()12e x x x ϕ-=+'，因为[)2,x ∈-+∞，所以()0x ϕ'≥，所以()x ϕ在[)2,-+∞单调递增，即()g x '在[)2,-+∞单调递增，所以()()3min 2e g x g b -=-=-'-'，①若3e b -≤-，则()()20g x g '-'≥≥，所以()g x 在[)2,-+∞单调递增，所以()()3min 22e3e 0g x g b -=-=-++≥，解得32e e 3b --≥，所以332e e e 3b ---≤≤-；②若3e b ->-，则()()min 20g x g =-'<'，因为()g x '在[)2,-+∞单调递增，当3e 0b --<≤时，()100eg b ='->，则存在()2,0x ∈-使得()0g x '=，当0b >时，取{}max 0,ln 1n b =+，则()0g n >，所以存在()12,x n ∈-，使得()10g x '=，综上，当3e b ->-时，存在()02,x ∈-+∞，使得()00g x '=，即()0101e 0x x b -+-=，故当02x x -<<时，()0g x '<，则()g x 在()02,x -单调递减，当0x x >时，()0g x '>，则()g x 在()0,x +∞单调递增，所以()()()01000min e1e 0x g x g x x b x -==--+≥,（*）由()0101e 0x x b -+-=，得()0101e x b x -=+，代入（*）得()()()000111200000e 1e 1e 1e e 0x x x x x x x x ----+-+=-+++≥，设()()211e e x F x x x -=---+，则()()()()2112e 21e x x F x x x x x --=-+---'=+，因为2x ≥-，所以由()0F x '=得1x =，当21x -<<时，()0F x '>，所以()F x 在()2,1-上单调递增，当1x >时，()0F x '<，所以()F x 在()1,+∞单调递减，又因为()32e e 0F -=-+<，()11e 0F =+>，()20F =，所以当2x >时，()0F x <，所以满足()012001ee 0x x x --+++≥的0x 的取值范围是022x -<≤，又因为()0101ex b x -=+，设()()11e x H x x -=+，则()()12e 0x H x x -+'=≥，所以()H x 在()2,-+∞单调递增，所以3e 3e b --<≤，综上所述32e e 3e 3b --≤≤，又因为32e e 103---<<，83e 9<<所以0m =，8M =，所以8M m +=.解法二：由（1）知：()1e e x f x x -=+，则()1e 1e 0x x b x ---+≥，①当1x =时，左边等于1e 0+≥恒成立，此时b ∈R ；②当1x >时，原不等式可化为1e e 1x x b x -+≤-对任意()1,x ∈+∞恒成立.设()1e e 1x x h x x -+=-，则()()()2121e e1x x x h x x --'--=设()()211e e x k x x x -=---，则()()()()2112e 21e x x k x x x x x --=+-'=+-.因为1x >，所以()0k x '>，所以()k x 在()1,+∞上单调递增.又因为()()220h k '==，所以2x =是()h x '在()1,+∞上的唯一零点，所以当12x <<时，()0h x '<，()h x 在()1,2上单调递减，当2x >时，()0h x '>，()h x 在()2,+∞上单调递增，所以()()min 23e h x h ==，所以3e b ≤.③当21x -£<时，原不等式可化为1e e 1x x b x -+≥-，此时对于②中函数()k x 的导函数，()()()()2112e 21e x x k x x x x x --=+-'=+-，可知当21x -£<时，()0k x '<，所以()k x 在21x -£<单调递减，且()325ee 0k --=-<，所以当21x -£<时，()()20k x k <-<，所以当21x -£<时，()0h x '<，所以()h x 在[)2,1-上单调递减，所以()3max 2e e (2)3h x h --=-=，所以32e e 3b --≥，综上所述32e e 3e 3b --≤≤，又因为32e e 103---<<，83e 9<<所以0m =，8M =，所以8M m +=.解法三：令2x =-，由()()1f x b x ≥-得()32e 3e b --≥--，解得32e e 13b --≥>-，取0m =，下证当0b =时，不等式1e e 0x x -+≥在2x ≥-时恒成立，设()1e e x g x x -=+，则()()11e x g x x -=+'，由()0g x '=可得1x =-，当21x -<<-时，()0g x '<，所以()g x 单调递减，当1x >-时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，所以()()2min 11e 0e g x g =-=-+≥，所以0m =符合题意；令2x =，由()()1f x b x ≥-得2e 20b -+≥，解得3e b ≤，取8M =，下证当8b =时，不等式()1e81e 0x x x ---+≥在2x ≥-时恒成立，设()1e e x h x x -=+，则()()11e x h x x -=+'，令()0h x '=，则1x =-，所以当21x -<<-时，()0h x '<，则()h x 在()2,1-上单调递减，当1x >-时，()0h x '>，则()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()211e 0e h x h ≥-=->，所以当21x -≤≤时，()1e81e 0x x x ---+≥恒成立.当1x >时，10x ->，所以()()813e 1x x -<-，所以()()11e 81e e 3e 1e x x x x x x ----+>--+，设()()1e 3e 1e x k x x x -=--+，则()()11e 3e x k x x -'=+-，设()()x k x ϕ'=，则()()12e 0x x x ϕ-+'=≥，所以()k x '在()1,+∞单调递增，且()20k '=，所以当12x <<时，()0k x '<，则()k x 在()1,2单调递减，当2x >时，()0k x '>，则()k x 在()2,+∞单调递增，所以()()min 20k x k ==，所以()0k x ≥，所以()1e 81e 0x x x ---+≥，综上当8M =时，不等式()1e81e 0x x x ---+≥在2x ≥-时恒成立，所以8M m +=.【点睛】本小题主要考查函数的单调性､导数､导数的几何意义及其应用､不等式等基础知识，考查推理论证能力､运算求解能力､创新意识等，考查分类与整合思想､数形结合思想､一般与特殊思想，涉及的核心素养有直观想象､数学抽象､数学运算､逻辑推理等，体现综合性与创新性.⑤【答案】（1）10x y -+=（2）①2②见解析【解析】【详解】试题分析：（1）将1a =代入到函数()f x ，再对()f x 求导，分别求出()0f 和()'0f ，即可求出切线方程；（2）①若函数()f x 在定义域上为单调增函数，则()'0f x ≥恒成立，则先证明1x e x ≥+，构造新函数，求出单调性，再同理可证ln 1x x ≤-，即可求出a 的最大整数值；②由①得()ln 2x e x ≥+，令1t x t -+=，可得11ln tt t e t -++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，累加后利用等比数列求和公式及放缩法即可得证.试题解析：（1）当1a =时，()()()1ln 1xf x e x x x =-+++∴()01f =，又()()'ln 1xf x e x =-+，∴()'01f =，则所求切线方程为1y x -=，即10x y -+=．（2）由题意知，()()'ln xf x e x a =-+，若函数()f x 在定义域上为单调增函数，则()'0f x ≥恒成立．①先证明1x e x ≥+．设()1x g x e x =--，则()'1xg x e =-，则函数()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，∴()()00g x g ≥=，即1x e x ≥+．同理可证ln 1x x ≤-∴()ln 21x x +≤+，∴()1ln 2xe x x ≥+≥+．当2a ≤时，()'0f x >恒成立．当3a ≥时，()'01ln 0f a =-<，即()()'ln 0xf x e x a =-+≥不恒成立．综上所述，a 的最大整数值为2．②由①知，()ln 2x e x ≥+，令1t x t-+=，∴111ln 2ln t t t t e t t -+-++⎛⎫⎛⎫≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴11ln t t t e t -++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．由此可知，当1t =时，0ln2e >．当2t =时，213ln 2e -⎛⎫> ⎪⎝⎭，当3t =时，324ln 3e -⎛⎫> ⎪⎝⎭，，当t n =时，11ln nn n e n -++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．累加得0121n e e e e ---+++++> 23341ln2ln ln ln 23n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．又0121n e e e e ---+++++= 11111111n e e e e e⎛⎫- ⎪⎝⎭<=---，∴2334ln2ln ln 23⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 1nn e n e +⎛⎫++< ⎪-⎝⎭ ．点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和及放缩法.⑥【答案】（1）1,1a b ==；证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()10f -=，()111ef -=-+'，即可解得a 、b ，从而得到()()()1e 1x f x x =+-，设()f x 在()1,0-处的切线l 方程为()y h x =，令()()()F x f x h x =-，利用导数说明函数的单调性，即可得证；（2）由（1）知()()11f x h x ≥，设()h x m =的根为1x '，则1e 11em x '=-+-，即可得到11x x '≤，在设()y f x =在()0,0处的切线方程为()y t x =，令()()()T x f x t x =-，利用导数说明函数的单调性，即可得到()()22f x t x ≥．设()t x m =的根为2x '，则2x m '=，再说明22x x '≥，即可得证；【小问1详解】解：将1x =-代入切线方程()e 1e e l 0x y -++-=，有0y =，所以()10f -=，所以()()1110e f b a ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，又()()1e x f x x b a +'=+-，所以()111e e b f a -=-=-+'，若1ea =，则2e 0b =-<，与0b >予盾，故1a =，1b =．∴()()()1e 1x f x x =+-，()00f =，()10f -=，设()f x 在()1,0-处的切线l 方程为()()111e y h x x ⎛⎫==-+⎪⎝⎭，令()()()F x f x h x =-，即()()()()11e 111e x F x x x ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，所以()()12e e x F x x =+-'，当2x -≤时，()()112e 0e ex F x x =+-≤-<'，当2x >-时，设()()()12e ex G x F x x =+-'=，()()3e 0x G x x =+>'，故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，又()10F '-=，所以当()2,1x ∈--时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>，综合得函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增，故()()10F x F ≥-=，即函数()y f x =的图象总在切线l 的上方（除切点外）．【小问2详解】解：由（1）知()()11f x h x ≥，设()h x m =的根为1x '，则1e 11em x '=-+-，又函数()h x 单调递减，故()()()111f x h h x x =≥'，故11x x '≤，设()y f x =在()0,0处的切线方程为()y t x =，因为()00f =，()()2e 1xf x x '=+-，所以()01f '=，所以()t x x =．令()()()()()1e 1x T x f x t x x x =-=+--，()()2e 2xT x x =+-'，当2x -≤时，()()2e 220xT x x =+-≤-<'，当2x >-时，设()()()2e 2x H x T x x ==+-'，则()()3e 0xH x x =+>'，故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增，又()00T '=，所以当()2,0x ∈-时，()0T x '<，当()0,x ∈+∞时，()0T x '>，综合得函数()T x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00T x T ≥=，即()()22f x t x ≥．设()t x m =的根为2x '，则2x m '=，又函数()t x 单调递增，故()()()222f x t t x x =≥'，故22x x '≥，又11x x '≤，所以()221112e e 111e 1em m x x x x m -⎛⎫''-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．⑦【答案】（1）2y x=（2）(,1)-∞-【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0ex x f x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21ex x f x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x=【小问2详解】()ln(1)e xaxf x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x x a x a x f x x x '+--=+=++设()2()e 1x g x a x =+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a - ,当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+ ,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=当,()x f x →+∞→+∞所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a x∈-=+-设()()e 2x h x g x ax '==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减有1,()x f x →-→-∞而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-【点睛】方法点睛：本题的关键是对a 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.⑧【答案】（1）2,2ea b ==-（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用导数的意义列方程组()()()'1211f e f e ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，即可解得；（2）（i ）求出导函数2()(1)e x f x x x '=+-.利用导数和零点存在对立即可证明；（ii ）求出0000001()e 2ln 2(ln )1x f x x x x x =-=-+，令11()2(ln )(1)12x x x x ϕ=-<<+，利用导数判断出()y x ϕ=在(,1)2上单调递减，即可证明122741()(2(ln 2)2(2331015x ϕϕ<=+<+=；要证031()15f x >，即证0320312ln 15x x x x+>.令()x F x x =1(1)2x <<，利用导数证明出1()( 2.332F x F >≈；令32312ln 115()(1)2x G x x x+=<<，利用导数证明出1130max()(e ) 2.312G x G -=≈，得到()()G x F x <，即可证明.【小问1详解】定义域为(0,)+∞，'((e )1)xa f x x x=+-由题意知()()()()'1221121f e a e f e b e ⎧=-=-⎪⎨=-+=⎪⎩，解得2,2e a b ==-.【小问2详解】（i ）由（1）知()e 2ln x f x x x =-，2()(1)e xf x x x'=+-令()()h x f x '=，则22()(2)e 0xh x x x'=++>，从而()y h x =即()y f x '=单调递增又13e 8(1)2e 20,()022f f -''=->=<，故存在唯一的01(,1)2x ∈使得0()0f x '=x 0(0,)x 0x 0(,)x +∞()'f x -0+()f x极小值从而()y f x =有且仅有一个极小值点0x x =，且01(,1)2x ∈（ii ）00002()(1)e 0x f x x x '=+-=，()y f x =的极小值000000()e 2ln 2(ln )1x f x x x x x =-=-+令11()2(ln )(1)12x x x x ϕ=-<<+，则222'()0(1)x x x ϕ=--<+，从而()y x ϕ=在1(,1)2上单调递减，122741()(2(ln 2)2(2331015x ϕϕ<=+<+=，故041()15f x <下证031()15f x >0320312ln e15x x x x+>一方面令e ()xF x x =1(1)2x <<，则32e (21)()02x x F x x -'=>，则()F x 在1(,1)2上单调递增，从而1()()2e 2.332F x F >=≈另一方面，令32312ln 115()(1)2x G x x x +=<<，52113ln 10'()x G x x --=令()0'=G x 有1130e x -=x 11301(,e )2-1130e-1130(e,1)-()G x '+0-()G x极大值从而110.5530max 44()(e)e 1.734 2.31233G x G -==≈⨯≈从而()()G x F x <32312ln e15xx xx+>成立，故031()15f x >.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围；（4）利用导数证明不等式.⑨【答案】（1）极大值为(1)0f =，无极小值.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得1b =-，进而得'11()10xf x x x-=-==，再列表求解即可；（2）根据题意，只需证明2e ln e e xx x x a ≥+，由于函数e ,0x y x x >=在()0,∞+上单调递增，e 0x y x =>，故转化为证明2ln e t t a ≥+，再令()2ln ,0et t g t a t -->=，再求函数最值即可证明.【小问1详解】解：1a =，()ln 1f x x bx =++，'1()f x b x=+，因为曲线()y f x =在2x =处的切线与直线210x y ++=平行，所以，'11(2)22f b =+=-，解得1b =-，所以，()ln 1f x x x =-+，'11()10xf x x x-=-==，解得1x =，所以，x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表，x ()0,11()1,+∞'()f x ++()f x 单调递增极大值单调递减所以，当1x =时，()f x 有极大值(1)0f =，无极小值.【小问2详解】解：当1,1b a =≤-，()ln f x x x a =++，因为222()e ee ln ln e ex x x x f x x x x x a x a x --≥⇔≥++⇔≥+，所以只需证明2e ln e exx x x a ≥+成立即可.令e ,0x y x x >=，则()'1e 0,0xy x x =+>>，所以，函数e ,0x y x x >=在()0,∞+上单调递增，即e 0x y x =>.令e ,0xx t t =>，则22e ln e ln e ex x x tx a t a ≥+⇔≥+，令()2ln ,0e t t g t a t -->=，则()2'2211e e e t t t t g --==，所以，当()20,et ∈时，()'0g t <，()g t 单调递减，当()2e ,t ∈+∞时，()'0g t >，()g t 单调递增，所以，()()22e1ln e1a a g g t ≥=--=--，因为1a ≤-，所以10a --≥，即()0g t ≥，所以2ln ett a ≥+成立，所以2()ex f x x-≥成立，证毕.⑩【答案】(1)0=t ；()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞.(2)b 的取值范围为(,2]-∞.【分析】（1）、先求出切线方程，根据切线经过点(1,1)即可求出t 的值；求出()f x '，分0m ≥，0m <两种情况讨论函数的单调区间即可;（2）、将原不等式转化为函数值在,()0x ∈+∞时恒大于零问题，分类讨论即可得到b 的取值范围.(1)2()e mx f x x mx t =+-+ ，()e 2mxf x m x m '∴=+-，(0)0f '∴=，又()01f t =+ ，∴切线方程为1y t =+，又切线经过点(1,1)，11t ∴+=，0t ∴=，故2()e mx f x x mx =+-，()()1e 2e 2mx mx f x m x m m x '=-=+-+.①、若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx -≤，()0f x '<；当,()0x ∈+∞时，e 10mx -≥，()0f x '>.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.②、若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx ->，()0f x '<；当,()0x ∈+∞时，e 10mx -<，()0f x '>.所以()f x 在(,0)-∞上单调区间递减，在(0,)+∞上单调区间递增.综上所述：()f x 的单调递减为(,0)-∞，单调递增(0,)+∞.(2)当1m =时，2()e x f x x x =+-,22(2)(2)e 4e x x x f x f x -∴----=,()()e e 2x x x f x f x -----=,(2)(2)4[()()]f x f x b f x f x -->-- ,()22e e 4e e 42x x x x x b x --∴----≥,()22e e 4e e (84)0x x x x b b x --∴---+-≥在,()0x ∈+∞上恒成立.设()22()e e 4e e (84)x x x xg x b b x --=---+-，,()0x ∈+∞()()()()22()2e e 2e e 422e e 2e e 22x x x xx x x x g x b b b ----⎡⎤'∴=+-++-=+-+-+⎣⎦，且e e2xx-+>.①、当2b ≤时，e e 20,e e 220x x x x b --+->+-+>,()0g x '∴≥，当且仅当0x =时等号成立，所以()g x 在,()0x ∈+∞上单调递增，而()00g =，所以对0x >时，()0>g x .符合题意②、当2b >时，若x 满足2e e 22x x b -<+<-，即(20ln 12x b b b <<--时，()0g x '<，而(0)0g =，因此(20ln 12x b b b <<-+-时，()0<g x ,不符合题意.综上:b 的取值范围为(,2]-∞.⑪【答案】（1）2e 2a ≤（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据切线过点()1,2可得2b a =，参变分离后研究()e 1xg x x =-的单调性，得到极值，数形结合得到答案；（2）在第一问基础上，得到22e a >，对不等式变形，结合放缩，转化为只需证22212e 20(4)t t t +->>，二次求导后得到证明.【小问1详解】()e 2x f x a =-'，∴()012f a '=-，∴0x =处的切线方程为()121y a x b =-++，切线过点()1,2，所以2b a =，∴()e 22x f x ax a =-+.∵()()1e 0,f f x =≠∴的零点不为1，∴e 21xa x =-在()(),11,-∞+∞ 上至多一个解.设1t x =-，则1e 2()t a g t t+==在()(),00,∞-+∞U 上至多一个解.1122111()()e e t t t g t t t t++-'=-=，令()0g t '>得：1t >，令()0g t '<得：01t <<或0t <，∴()g t 在(),0∞-和(]0,1上单调递减，[)1,+∞上单调递增，当0t <时，()0g t <恒成立，当0t >时，()g t 在1t =处取得极小值，且2(1)e g =，画出函数图象如图所示：所以22(1)e a g ≤=时，()f x 至多有一个零点，∴2e 2a ≤【小问2详解】由（1）知，要想有两个不同零点，则22e a >且12(0,1),(1,)t t ∈+∈∞，即()()121,2,2,x x ∈∈+∞，故要证12211x x a ax >-，只需证121ax x >-，由（1）知()()11110,1,1,2t x x =-∈∴∈，故只需证221x t a -=<，∵21222e (14)2t t x t a +==->.只需证：21222e (4)2t t t t +><，即22212e 20(4)t t t +->>，令()()()121e 24,e 4t t h t t t h t t ++=->'=-，15()e 4e 40t h t +''=->->，∴()h t '在()4,+∞上递增，∴()5416)e 0(h t h '>'=->，∴()h t 在()4,+∞上递增，∴()()54e 320h t h >=->，∴2122e 2t t +>，∴12211x x a ax >-【点睛】导函数研究函数零点问题，参变分离是一种重要方法，把零点问题转化为函数交点问题，通过构造函数，研究构造函数的单调性，极值和最值，数形结合得到答案.⑫【答案】(1)1em =(2)证明见解析【分析】(1)由导数的几何意义求切线方程，由点P 在切线上列方程求m 的值；(2)由导数的几何意义可得1x ，2x 是方程11e x m x =+-的两根，设21(0)x x t t -=>由此可得()1222e 1e e tx x tt +-=，证明t 随着m 的增大而增大，12e x x +随着t 的增大而增大，由此证明12x x +随着m 的增大而增大.(1)因为21x =，所以切点为(1,)e ，又()e x f x '=，则(1)e f '=，所以切线方程为e(1)e e y x x =-+=，因为切线过点(,1)P m ，所以1e m =，解得1em =；(2)设切点为()00,e x x ，因为()()000 e x f x f x '==，则切线方程为()000e e x x y x x =-+，因为切线过点(,1)P m ，所以()0001e e xxm x =-+，整理得0011(0)e x m x m =+->，所以1x ，2x 是方程11e xm x =+-的两根，设1()1e xg x x =+-，则1()1e x g x '=-，令()0g x '=，解得0x =，当0x <时，()0g x '<，()g x 在(,0)-∞上单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以120x x <<，设1()g x m =的两根为()1212,0x x x x ''''<<，其中10m m >>，则由()g x 单调性可知，11220x x x x ''<<<<，所以2121x x x x ''->-，设21(0)x x t t -=>，即t 随着m 的增大而增大，因为12121111e e x x m x x =+-=+-，所以111111e e x x t x x t ++=++，整理得1e 1e e t x tt -=，所以21e 1e et x x tt +-==，所以()1222e 1e (0)e t x x t t t +-=>，设()22e 1()(0)et t h t t t -=>，则()()()()()2222322e e 1e 2e e 1e 1(2)e 2()e e t t t t t tttt t t t t t h t t t '⎡⎤-⋅-+⋅---++⎣⎦==，设()(2)e 2t t t t ϕ=-++，则()(1)e 1t t t ϕ'=-+，()(1)e 1t m t t =-+，则'()e 0t m t t =>所以()t ϕ'单调递增，所以()(0)0t ϕϕ''>=，所以()t ϕ单调递增，所以()(0)0t ϕϕ>=，即()0,()h t h t '>单调递增，所以12e x x +随着t 的增大而增大，又t 随着m 的增大而增大，所以12x x +随着m 的增大而增大.【点睛】本题解决的关键在于根据函数方程的思想确定1x ，2x 是方程11e xm x =+-的两根和构造函数证明12e x x +随着21x x -的增大而增大.⑬【答案】（1）2π144（2）π2【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义及点斜式，再结合三角形的面积公式即可求解；（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角函数相等的角的关系即可求解.【小问1详解】当π6k =时，()()ππsin ,sin cos 66f x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎝⎭'⎭，故ππ1sin 662f ⎛⎫== ⎪'⎝⎭.曲线()y f x =在点π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为π162k f ⎛⎫== ⎪⎝⎭'，曲线()y f x =在点π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为1π26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令π0,12x y ==-.所以切线与y 轴的交点π0,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.此时所求三角形的面积为21πππ2126144⨯-⨯=.【小问2详解】()()sin cos f x x x k x=+-'当ππ22x -<<时，()()cos tan f x x x x k =⋅+-'.由函数tan y x x =+在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，且值域为R ，故存在唯一0ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得00tan x x k +=.此时当0π2x x -<<时，()()0,f x f x '<单调递减；当0π2x x <<时，()()0,f x f x '>单调递增，因此10x x =.同理，存在唯一'0π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得''00tan x x k +=.此时当'0π2x x <<时，()()0,f x f x '>单调递增；当'03π2x x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，因此'20x x =.由()()211111111sin 10,tan ,cos cos cos x f x x k x f x x x x =-=-=-=-'.同理：()222222sin 1cos cos cos x f x x x x =-=-.由()()120f x f x +=，整理得：()12121cos cos 10cos cos x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭.又12ππ3π222x x -<<<<，故12cos cos 1x x ≠，则有()122cos cos cos πx x x =-=-由2πππ22x -<-<，故12πx x =-或()12πx x =--.又1122tan tan k x x x x =+=+，当12πx x =-时，不满足，舍去.所以()12πx x =--，即12πx x +=，则1122tan tan π22x x x x k +++==.综上所述，π2k =.【点睛】解决此题的关键，第一问根据导数的几何意义及三角形的面积公式即可；第二问利用导数法求函数的极值的步骤，但此时无法解决导数函数的零点，只能通过函数零点存在性定理得出，再结合已知条件及零点范围及三角函数相等角的关系即可.⑭【答案】（1）2,1a b ==（2）m n ≤，证明见解析【解析】【分析】（１）求导得()'f x ，再求(1)f '的值即得切线的斜率，求出切点，利用点斜式求出切线方程，对比系数即可得答案;(2)先证明e 1x x ≥+，再令()()()h x f x g x =-，利用前面的结论说明()0h x ≥，最后根据()g x 的单调性证明即可.【小问1详解】解：()()()()2e 1(0),1e ,1x x af x x f b f a x x-=+>'=-='，所以()y f x =在1x =处的切线方程为e y ax b a =+--，比较系数可得2,1a b ==.【小问2详解】m n ≤.证明：设()=e 1xx x ϕ--，则()=e -1xx ϕ'，令()>0x ϕ'，则0x >；令()0ϕ'<x ，则0x <则0x =是()ϕx 的极小值点同时也是最小值点，故()()00x ϕϕ≥=即e 1x x ≥+（当且仅当0x =时等号成立）.令()()()h x f x g x =-，则()()ln e ln 1e ln 10xx x h x x x x x x-=+--=---≥，当且仅当ln 0=x x -=“”取“”，所以()(),f x g x ≥则有()(),f m g m ≥而()(),()()f m g n g m g n =∴≤，又()11,()g x g x x'=+∴ 单调递增，所以m n ≤.。

2020年新高考数学复习一条特殊的线--函数的切线专题解析

2020年新高考数学复习一条特殊的线--函数的切线专题解析基础知识回顾:（一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。

这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。

（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。

例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。

（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。

对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。

例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点()()00,B x x f x x +∆+∆，则割线AB 斜率为：()()()()()000000ABf x x f x f x x f x k x x x x +∆-+∆-==+∆-∆当B 无限接近A 时，即x ∆接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为：()()000lim x f x x f x k x∆→+∆-=∆,即切线斜率，由导数定义可知：()()()'0000limx f x x f x k f x x∆→+∆-==∆。

新高考数学一轮复习练习-切线方程(基础)(解析版)

4.1 切线方程（基础）一、单选题1．（2021·全国高三其他模拟（文））的图象关于轴对称，则的图象在处的切线方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】的图象关于轴对称，则，所以，，，所以，，所以的图象在处的切线方程为.故选：A.2．（2021·四川内江市·高三零模（理））曲线在处的切线如图所示，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设曲线在处的切线方程为，则，解得，所以，曲线在处的切线方程为，所以，，，因此，.故选：C.3．（2021·陕西高三其他模拟（理））直线是曲线的一条切线，则实数k 的值为（）A ．B ．C ．1D ．【答案】A()()32cos 21f x x a x ax =++++y ()f x 0x =2y =420x y +-=420x y -+=20x y -=()f x y ()()()3220f x f x a x --=+=2a =-()2cos 21f x x x =-+()sin 4f x x x '=--()02f =()00f '=()f x 0x =2y =()y f x =1x =()()11f f '-=022-1-()y f x =1x =y kx b =+220b k b =⎧⎨-+=⎩12k b =⎧⎨=⎩()y f x =1x =2y x =+()11f '=()1123f =+=()()11132f f '-=-=-1y kx =-1ln y x =+e 2e 1e -【解析】设切点为，由，得，则，则曲线在切点处的切线方程为，由已知可得，切线过定点，代入切线方程可得：，解得，则.故选：A .4．（2021·全国高三）若过函数图象上一点的切线与直线平行，则该切线方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，求导函数可得，∵切线与直线平行，∴，∴，∴切点P 坐标为，∴过点P 且与直线平行的切线方程为，即．5．（2021·山西）已知，设函数的图象在点处的切线为l ，则l 过定点（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由，，，故过处的切线方程为：，故l 过定点故选：A 6．（2021·河南洛阳市）设曲线在点处的切线与直线平行，则等于（）A ．B ．C ．D ．()00,1ln x x +1ln y x =+1y x'=001x x y x ='=()00011ln y x x x x --=-()0,1-02ln 1x --=-01x e=01k e x ==()ln 2f x x x =-21y x =+210x y --=22ln 210x y --+=22ln 210x y ---=22ln 210x y +--=12y x'=-21y x =+122x -=14x =11,2ln 242⎛⎫-- ⎪⎝⎭21y x =+112ln 2224y x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭22ln 210x y ---=a R ∈()ln 1f x ax x =-+(1,(1))f (0,2)(1,0)(1,1)a +(,1)e ()1()ln 1'f x ax x f x a x=-+⇒=-()'11f a =-()11f a =+(1,(1))f ()()()11+112y a x a a x =--+=-+(0,2)2xy x =-()3,310ax y ++=a 12212-2-【答案】B【解析】对函数求导得，由已知条件可得，所以，.故选：B.7．（2021·四川自贡市）已知点是曲线C ：y ＝+1上的点，曲线C 在点P 处的切线平行于直线6x ﹣3y ﹣7＝0，则实数a 的值为（）A ．﹣1B ．2C ．﹣1或2D ．1或﹣2【答案】A 【解析】∵y ＝+1，∴，∵曲线C 在点P 处的切线平行于直线6x ﹣3y ﹣7＝0，结合题意得：，解得：a ＝2或，当时，，切点坐标为，代入，所以不合题意，舍去，当时，，切点坐标为，代入，故选：A ．8．（2021·宾县第一中学校）曲线在点处的切线方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】，，则，因此，所求切线方程为，故选：A.9．（2021·全国高三）函数在处的切线斜率为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C2x y x =-()()222222x x y x x --'==---32x a y ='-==-2a =(),P a b 321132x x -321132x x -2y x x '=-2|2x a y a a ='=-=1a =-2a =32115223213b +⨯-==⨯2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭55623703⨯-⨯-=1a =-()()32111113216b =⨯-+-=⨯-11,6⎛⎫- ⎪⎝⎭()1613706⨯--⨯-≠321y x x =-+(1,0)1y x =-1y x =-+22y x =-22y x =-+()321f x x x =-+Q ()232f x x '∴=-()11f '=1y x =-()x xf x e=()()1,1f 1-11e【解析】，，，积切线斜率为0.故选：C.10．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数的图象在点处的切线方程是，那么（）A ．2B ．1C ．D ．【答案】D【解析】因为，所以，因此切线方程的斜率，所以有，得，又切点在切线上，可得切点坐标为，将切点代入中，有，得，所以.故选：D.二、填空题11．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是___________.【答案】【解析】由题知，当时，，即则，，又则在点的切线方程为：，即故答案为：12．（2021·全国高三其他模拟）已知直线y ＝2x 与函数f （x ）＝﹣2lnx +xe x +m 的图象相切，则m ＝_________.【答案】【解析】因为，所以设切点为，所以切线的斜率为 ()xx f x e=()1x xf x e -'∴=()10f '∴=()2xf x ae x =+()()1,1M f ()22y e x b =++ab =1-2-()2xf x ae x =+()2x f x ae x '=+(1)2k f ae '==+222ae e +=+2a =(1,22)e b ++()f x (1)2122f e e b =+=++1b =-2ab =-()f x 0x <()1xf x e -=+()y f x =()()1,1f 10ex y ++=0x >()1()xf x e f x -=+=-()1xf x e =--()xf x e '=-()1f e '=-()11f e =--()()1,1f (1)(1)y e e x ---=--10ex y ++=10ex y ++=2ln 4-+()2ln xf x x xe m =-++()()21x f x x e x-'=++()00000,2ln ,0xx x x e m x -++>()()000021x k f x x e x -'==++又因为切线方程为y ＝2x ，因此，由，得，因为，所以，又，所以，得.故答案为：.13．（2021·定远县育才学校高三其他模拟（文））已知函数，过点作曲线的切线，则函数的切线方程为_______________________．【答案】【解析】，设切点坐标为，则，，所以切线方程为，且该直线过点，所以，得，得，所以切线方程为.故答案为：14．（2021·福建厦门市·厦门双十中学高三其他模拟）若直线是曲线的切线，则实数________．【答案】【解析】由直线方程知：恒过定点；令，则，设直线与曲线相切于点，则，又，，解得：，.故答案为：.15．（2021·全国高三其他模拟（理））函数的图象在处切线的斜率为__________.()00000002ln 2212x x x x e m x x e x ⎧-++=⎪-⎨++=⎪⎩()000212x x e x -++=()000210x x e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭010x +≠02x ex =00ln 2ln x x =-()000022ln 2ln 2ln x x m x x -+⋅+=-2ln 4m =-+2ln 4-+()2xf x e x =+()1,2()y f x =22(20)+--=e x y e ()2xf x e '=+00(,)x y ()002xf x e '=+()0002=+xf x e x 0000(2)(2)()-+=+-xxy e x e x x ()1,200002(2)(2)(1)-+=+-xxe x e x 00(2)0-=x e x 02x =22()20e x y e +--＝22(20)+--=e x y e :l y kx =2ln y x =k =2el ()0,0()2ln f x x =()2f x x'=l ()2ln f x x =(),2ln m m ()2k f m m'==2ln 02ln 0m m k m m -==-22ln m m m ∴=m e =2k e∴=2e y 4x ＝【答案】【解析】求导得，当时，故答案为：16．（2021·全国高三其他模拟）函数的图象在点处的切线方程为______．【答案】【解析】因为，所以，又，所以切线斜率为，切点坐标为故切线方程为，即．故答案为：17．（2021·全国高三）已知函数在点处的切线方程为，则t =___________.【答案】【解析】，，，，即，又为切点，，解得.故答案为：.18．（2021·陕西高三其他模拟（理））曲线在处的切线方程为___________.【答案】【解析】，则，，所以，即切线的斜率，所以切线方程为，即故答案为：19．（2021·河北饶阳中学）曲线在点处的切线与直线垂直，则该切线的方程为__________.【答案】【解析】由题意得，则，132-3214y x -'-＝4x =3211(4)4432y -'-⨯=-＝132-()22xf x x e -=()()1,1f 0ex y -=()2222x xf x xe x e --'=-()1f e '=()1f e =e (1,)e ()1y e e x -=-0ex y -=0ex y -=2()2ln f x x x x =-(1,2)0x my t ++=13-2()2ln f x x x x =-()4ln 1f x x x '∴=--()13f '∴=13m ∴-=13m =-(1,2)11203t ⎛⎫∴+-⨯+= ⎪⎝⎭13t =-13-3221y x x=-+1x =870x y --=()3221y f x x x ==-+()212111f =-+=()2226f x x x +'=()221681f +'==8k =()181y x -=-870x y --=870x y --=()31()e x f x x mx -=-(1(1))f ，410x y --=410x y +-=()321()3e x f x x x mx m ---'=+(1)42f m '=-所以切线的斜率.直线的斜率.因为两直线相互垂直，所以，解得，则.所以，则，故该切线的方程为，即.故答案为：20．（2021·广东佛山市）已知函数，则所有的切线中斜率最小的切线方程为_________.【答案】【解析】由，，则，时等号成立，则函数所有切线中斜率最小为3，且过点，则切线方程为故答案为：21．（2021·山东济南市）曲线在x ＝0处的切线方程是_________．【答案】y ＝﹣x +1【解析】的导数为，可得曲线在x ＝0处的切线的斜率为k ＝﹣1，又切点为（0，1），所以切线的方程为y ＝﹣x +1．故答案为：y ＝﹣x +1．22．（2021·全国）函数在处的切线与坐标轴围成的图形面积为___________.【答案】【解析】切点，，切线：，即，142k m =-410x y --=214k =121(42)14k k m =-=-4m =1(1)4k f '==-()31()4e x f x x x -=-(1)3f =-34(1)y x +=--410x y +-=410x y +-=21()ln 2f x x x x =++()f x 332y x =-1()1f x x x'=++0x >1()113f x x x '=++≥+=1x =()f x 3(1,)2332y x =-332y x =-21xx y e+=21x x y e +=221x x x y e --'=21xx y e +=()x f x e x =+(0,(0))f 14(0,1)()e 1,2x f x k =+='12y x -=21y x =+与轴交点，与轴交点，故，故答案为：.23．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为___________.【答案】【解析】，则，故，故.故答案为：.24．（2021·安徽六安市·六安一中高三其他模拟（文））曲线在处的切线在轴上的截距为___________.【答案】【解析】，当时，，即切线斜率为2，又当时，，所以切线方程为，即，令得，即切线在轴上的截距为.25．（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（文））曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_______．【答案】【解析】由，设切线斜率为，切点横坐标为，则，得，所以故答案为：26．（2021·重庆高三其他模拟）曲线在点处的切线恰好经y (0,1)x 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭1111224S =⨯⨯=14()sin 2f x x =x π=αcos 2α35-()sin 2f x x = ()2cos 2f x x '=()tan 2f απ'==22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα--=-===-++35-1ln y x x=-1x =y 3-211y x x'=+ 1x =2y '=1x =1y =-()()121y x --=-23y x =-0x =3y =-y 3-ln y x x =(0,3)-1ln 3+1ln y x '=+k t 1ln ln 3t kt t kt +=⎧⎨=-⎩ln (1ln )3t t t t =+-3,1ln 3t k ==+1ln 3+()2ln 2f x x x x x =+-+()()0,x f x ()00x >过坐标原点，则___________.【【答案】1【解析】，则则切线方程为，代入原点可得：，即，解得（负根舍去）故答案为：127．（2021·赤峰二中高三三模（理））函数的图象在点处的切线方程是，则__________.【答案】-2【解析】由题意，，又，∴.故答案为：.28．（2021·新沂市第一中学）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则a 的值为___________【答案】【解析】由已知可得在函数的图象上，所以，即，解得，所以，故.则函数的图象在点处的切线的斜率，因为切线与直线垂直，所以，即.故答案为：.29．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））已知，则曲线在点处的切线方程是___________.【答案】【解析】，，则，，点处的切线方程为，即，故答案为：.0x =()ln 2f x x x '=+()000ln 2k f x x x '==+()()()20000000ln 2ln 2y x x x x x x x x -+-+=+-220000000ln 2ln 2x x x x x x x --+-=--20020x x +-=01x =()y f x =()()2,2M f 28y x =-()()22f f ='()22f '=()22284f =⨯-=-()()24222f f -==-'2-2()ln f x a x bx =+(1,1)P 10x y -+=3-(1,1)P ()f x (1)1f =2ln 111a b +⨯=1b =2()ln f x a x x =+()2af x x x'=+()f x (1,1)P (1)2k f a '==+10x y -+=21a +=-3a =-3-()1xf x e =--()y f x =()()1,1f 10ex y ++=()1x f x e =--()xf x e '=-()11f e =--()1f e '=-()()1,1f ()()11y e e x ---=--10ex y ++=10ex y ++=30．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（文））已知函数，则在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】，所以.又，所以在点处的切线方程为.故答案为：()2ln 1f x x x x =++()f x ()()1,1f 2y x=()2ln 1f x x x x '=++()1112f '=+=()12f =()f x ()()1,1f ()2122y x x =-+=2y x=。

高考数学必考点专项第6练函数与方程(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)

高考数学必考点专项第6练函数与方程习题精选一、单选题1. 函数2()=2+log ||x f x x 的零点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 32. 已知函数若()g x 存在2个零点，则a的取值范围是( )A. [1,)-+∞B. [0,)+∞C. [1,0)-D. [1,)+∞3. 若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则( ) A. b e a <B. a e b <C. 0b a e <<D. 0a b e <<4. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足，当时，，则函数在区间上所有零点个数为( )A. 0B. 2C. 4D. 65. 已知函数2()()x f x e ax x R =-∈有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.B.C.D.6. 设a ，b R ∈，函数若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( )[6,6]-A. 1a <-，0b <B. 1a <-，0b >C. 1a >-，0b <D. 1a >-，0b > 7. 已知函数的零点为，函数()f x 的最小值为0y ，且则函数的零点个数是( )A. 3B. 4C. 3或4D. 2或38. 已知函数，若函数()()g x x f x a =⋅-的零点个数恰为2个，则( )A.2837a <<或1a =- B. 7382a <<C.7382a <<或1a =- D. 7382a <<或54a =-9. 已知函数2,0()ln ,0kx x f x x x +⎧=⎨->⎩，则下列关于[()]2y f f x =-的零点个数判别正确的是( )A. 当0k =时，有无数个零点B. 当0k <时，有3个零点C. 当0k >时，有3个零点D. 无论k 取何值，都有4个零点二、多选题10. 若关于x 的方程23--=02x x k 在(1,1)-上有实根，则( )A. k 的最大值为52B. k 的最小值为916-C. 95[-,)162k ∈D. 95(,]162k ∈-11. 已知函数，().g x kx =若方程()()f x g x =有实根，则实数k的取值可以是( )012[,),y x x ∈A.12B. 1-C. 1D. (2,+)∞上的任意一个数12. 已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，21,01()1,121x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪-⎩，下列说法中正确的是( )A. 当121122x x -<<<时，恒有12()()f x f x >B. 若当(0,]x m ∈时，()f x 的最小值为34，则m 的取值范围为17[,]26C. 不存在实数k ，使函数()()F x f x kx =-有5个不相等的零点D. 若关于x 的方程3[()][()]04f x f x a --=所有实数根之和为0，则34a =-13. 已知函数，若方程()0f x a -=有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围可以是( )A.B.C.D.14. 已知函数，则方程22()2()10f x f x a -+-=的根的个数可能为( )A. 2B. 6C. 5D. 4三、填空题15. 用二分法求函数()=34x f x x --的一个零点，其参考数据如下：(2,)+∞根据此数据，可得方程34=0x --的一个近似解(精确度0.01)为__________.16. 方程103x e x =-的解(,1),x k k k Z ∈+∈，则k =__________. 17. 已知()|lg |2f x x kx =--，给出下列四个结论：(1)若0k =，则()f x 有两个零点； (2)0k ∃<，使得()f x 有一个零点；(3)0k ∃<，使得()f x 有三个零点；(4)0k ∃>，使得()f x 有三个零点；以上正确结论的序号是__________. 四、解答题18. 已知二次函数2()2(,).f x x bx c b c R =++∈(1)若函数()y f x =的零点为1-和1，求实数b ，c 的值；(2)若()f x 满足(1)0f =，且关于x 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间(3,2)--，(0,1)内，求实数b 的取值范围．19. 已知函数2()22(0)f x ax ax b a=-++>在区间[2,0]-上有最小值1，最大值9.(1)求a b+的值；(2)设()()f xg xx=，若不等式在区间[2,4]上恒成立，求实数k的取值范围；(3)设，若函数()F x有三个零点，求实数λ的取值范围.答案和解析1.【答案】C .【解答】解：函数2()2log ||xf x x =+的零点个数，即为函数2xy =-的图象和函数2log ||y x =的图象的交点个数，作出函数的图象如下：数形结合可得，函数2xy =-的图象和函数2log ||y x =的图象的交点个数为2. 故选.C2.【答案】A解：函数()()g x f x x a =++存在2个零点，即关于x 的方程()f x x a =--有2个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线y x a =--有2个交点. 作出直线y x a =--与函数()f x 的图象，如图所示，由图可知，1a -，解得1a -，故选.A3.【答案】D解：函数xy e =是增函数，0xy e '=>恒成立，函数的图象如图，0y >，即取得坐标在x 轴上方，如果(,)a b 在x 轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点(,)a b 在x 轴或下方时，只有一条切线．如果(,)a b 在曲线上，只有一条切线；(,)a b 在曲线上侧，没有切线；由图象可知(,)a b 在图象的下方，并且在x 轴上方时，有两条切线，可知0.a b e <<故选：.D4.【答案】D解：由，得，故，故函数是周期为4的周期函数.又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以，所以，故1x =是函数()f x 的对称轴.当时，，由此画出()f x 的大致图象如下图所示，令()()10g x xf x =-=，注意到(0)0g ≠，故上述方程可化为，画出1y x=的图象，由图可知与1y x=图象都关于点(0,0)对称，它们两个函数图象的6个交点A 与F ，B 与E ，C 与D ，所以函数在区间[6,6]-上所有零点个数为6.故选.D5.【答案】C解：0x =时，(0)10f =≠，令2()0xf x e ax =-=，得2xe a x=，令2()x e g x x =，则问题转化为y a =与2()xe g x x=有三个交点，3(2)()xx e g x x -'=，令()0g x '=，解得2x =，()f x∴当0x <或2x >时，()0g x '>，()g x 在(,0)-∞，(2,)+∞单调递增，当02x <<时，()0g x '<，()g x 在(0,2)单调递减，()g x 在2x =处取极小值，2(2)4e g =，作出()g x 的图象如下：要使直线y a =与曲线2()x e g x x =有三个交点，则24e a >，故实数a 的取值范围是2e (,).4+∞故选.C6.【答案】C解：当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，3211()(1)32y f x ax b x a x ax ax b =--=-++-- 3211(1)32x a x b =-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0,)+∞上递增，()y f x ax b=--最多一个零点，不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1,),x a ∈++∞函数递增，令0y '<得[0,1),x a ∈+函数递减，函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点，所以函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0,)+∞上有2个零点，如右图：01ba∴<-且，解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+，31(1)06a b ∴-+<<，11a -<<，故选：.C7.【答案】D解：如图所示，函数2()(0)f x ax bx c a =++>的零点为1x ，212()x x x <，令2()0f x ax bx c =++=， 240.b ac ∴∆=->由2(())()()0f f x af x bf x c =++=，0∆>，1()f x x ∴=或2().f x x =函数()f x 的最小值为0y ，且012[,),y x x ∈画出直线2y x =，1.y x =则直线2.y x =与()y f x =必有两个交点，此时2().f x x =有2个实数根，即函数(())y f f x =有两个零点．直线1y x =与()y f x =可能有一个交点或无交点，此时1()f x x =有一个实数根2b x a=-或无实数根．综上可知：函数(())y f f x =的零点有2个或3个．故选.D8.【答案】D解：如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意;当0x ≠时，令()0g x =，得()a f x x =， ()g x 零点个数为2个，则函数()f x 与a y x =有两个交点. 易知0a =不符合题意.若0a >，则满足，可得73;82a << 若0a <，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，故，此时无解；或，解得54a =- 综上，a 的取值范围内为7382a <<或5.4a =- 故选.D9.【答案】A解：设()f x t =，对于A ，当0k =时，函数()f x 对应的图象如下图：当0t 时，由()2f t =得22=此时方程恒成立了，即[()]2y f f x =-有无数个零点，故A 正确，D 错误．对于B ，当0k <时，对应的图象如下图：当0t >时，由()2f t =，此时ln 2t -=，得2(0,1)t e -=∈，当0t 时，由()2f t =得0t =，由2()(0,1)t f x e -==∈，此时x 有一个解，由()0t f x ==，此时x 有一个解，综上[()]2y f f x =-的零点个数为2个，故B 错误， C .当0k >时，对应的图象如下图：当0t >时，由()2f t =，此时ln 2t -=，得2(0,1)t e -=∈，当0t 时，由()2f t =得0t =，由2()(0,1)t f x e -==∈，此时x 有2个解，由()0t f x ==，此时x 有2个解，综上[()]2y f f x =-的零点个数为4个，故C 错误，故选.A10.【答案】BC 解：22339()2416k x x x =-=--，(1,1)x ∈-，函数239()416y x =--的图象开口向上，对称轴为34x =，当34x =时，min 916y =-，当1x =-时，max 52y =， (1,1)x ∈-，95[,).162k ∴∈- 故选.BC11.【答案】ACD解：由题意，可得函数()f x 的图象和函数()g x 的图象有交点，如图所示：(2,1)A ，12OA k =， ∴函数()f x 的图象和函数()g x 的图象有交点，数形结合可得12k或1k <-，故选.ACD12.【答案】BC解：根据定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，21,01()1,121x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪-⎩，如图所示：对于A ：当121122x x -<<<时，根据函数的图象12()()f x f x >不一定成立，故A 错误；对于B ：当(0,]x m ∈时，要使()f x 的最小值为34，令13214x =-，解得76x =，故m 的取值范围为17[,]26，故B 正确；对于C ：令()f x kx =，故21x x kx -+=，整理得2(1)10x k x -++=，由于2(1)40k =+->，解得1k >，或3(k <-舍)若0k <，则当(0,1]x ∈时，0()()0y kx f x F x =<<⇒>，故3k <-舍去.又当1k >时，设1x 是方程()0F x =的较大根11x =>= 故1k >也不合题意.考虑y kx =与21y x x =-+有一个交点与121y x =-也有一个交点的情况，因为y kx =与21y x x =-+有一个交点，故22(1)4230k k k ∆=+-=+-=，解得1k =或3(k =-舍)又当(0,)x ∈+∞时，y x =与121y x =-只有一个交点(1,1)，与y x =和21y x x =-+的交点重合综上所述不存在实数k ，使得()F x 有5个不相等的零点， C 正确;对于D ：3()04f x -=，解得112x =，276x =，所以1253x x +=，令53x =-，则553()()337f f -=-=- 由于当23133[1,0),()()4247x f x x ∈-=---<-<-故37a =-也满足题意，D 不正确。

新高考数学一轮复习练习-切线方程(提升)(解析版)

4.1 切线方程（提升）一、单选题1．（2021·全国高三）已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则的值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】，，，，在点处的切线方程为：；设与相切于点，则，解得：，又，，解得：.故选：C.2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则（）A ．B ．C ．e 2D ．【答案】C【解析】，，所以切点.，，切线，即.设的切点为，，，所以.将代入切线得：，的切点为，()xf x e =()()0,0P f ()()ln g x ax =a 3e 2e 2e33e ()xf x e = ()xf x e '∴=()01f =()01f ∴'=()f x ∴()()0,0P f 1y x =+1y x =+()g x ()()00,ln x ax ()0011g x x '==01x =()00ln 110ax x -=-ln 11a ∴-=2a e =()xf x e =(1,(1))P f ()lng x a x=a =3e 2e 33e ()xf x e =()1f e =()1,e ()x f x e '=()1k f e '==()1y e e x -=-y ex =()lng x a x =()00,x y ()a g x x '=()00a k g x e x '===0a x e=0a x e =y ex =0y a =()g x ,a a e ⎛⎫⎪⎝⎭将代入得：，解得.故选：C3．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）过引抛物线的切线，切点分别为A ，.若的斜率等于2，则（）A ．B ．C ．1D ．2【答案】C【解析】抛物线，即，则由切线斜率，设切点，则，又，所以切线方程为，即，同理切线方程为，两切线均过点，故，即，所以点均满足方程，即均在直线上，即直线的方程为，所以斜率为，故.故选：C.4．（2021·辽宁沈阳市）函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为（）(为自然对数的底)A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为关于轴对称的函数为，又函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，即方程有解，,a a e ⎛⎫⎪⎝⎭()ln g x a x =ln a a a e =2a e =()2,2M p -()220x py p =>B AB p =1412()220x py p =>211,2y x y x p p '==1k y x p'==()()1122,,,A x y B x y 1211,MA MB k x k x p p==2211222,2x py x py ==MA ()1111y y x x x p -=-111y x x y p=-MB 221y x x y p=-()2,2M p -1122122122p x y p p x y p ⎧-=⋅-⎪⎪⎨⎪-=⋅-⎪⎩11222222y x p p y x p p ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()()1122,,,A x y B x y 22y x p p =+()()1122,,,A x y B x y 22y x p p=+AB 22y x p p =+22p=1p =()x f x ae =()1g x x =--x a e 0a <1a <1a ≤1a >()1g x x =--x ()1h x x =+()x f x ae =()1g x x =--x ()x f x ae =()1h x x =+1x ae x =+0a =时符合题意；时转化为有解，即与的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，若，则函数与的图象必有交点，满足题意；若，设，相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即时，与的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点，综上可得，实数的取值范围为.故选：C.5．（2021·重庆高三三模）已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】，，设斜率为的切线在，上的切点横坐标分别为，，由题知，∴，，两点处的切线方程分别为和，0a ≠1(1)x e x a =+x y e =1(1)y x a =+1(1)y x a=+(1,0)-1a0a <x y e =1(1)y x a=+0a >x y e =1(1)y x a =+(),mm e 111m m e m a e a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩1a =11a =11a ≥01a <≤x y e =1(1)y x a=+()x f x ae =()1h x x =+()x f x ae =()1g x x =--x a 1a ≤()1:=e xC f x a +()()22:ln(),C g x x b aa b =++∈R 1C 2C 9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭[)0,+∞(],1-∞9,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦()e xf x '=()1g x x b'=+11C 2C 1x 2x 1211x e x b==+10x =21x b =-()1y a x -+=()21y a x b -=--故，即.故选：D .6．（2021·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：211a a b +=-+221992244b a a a ⎛⎫=+-- ⎪+⎝=≤-⎭(),a b e x y =e b a <e a b <0e b a <<0e ab <<x y e =(),tP t exy e=e x y '=x y e =P ()t ty e ex t -=-()1t t y e x t e =+-(),a b ()1tty e x t e =+-()()11tttb ae t e a t e =+-=+-()()1tf t a t e =+-()()tf t a t e '=-t a <()0f t '>()f t t a >()0f t '<()f t ()()max af t f a e ==y b =()y f t =()max ab f t e <=1t a <+()0f t >1t a >+()0f t <()f t由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.7．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））曲线在处的切线方程为（）A ．B．0a b e <<y b =()y f t =x y e =(),a b x 0a b e <<2cos sin y x x =+(,2)π-20x y π-+-=20x y π--+=C ．D ．【答案】D【解析】当时,所以在点处的切线方程,由点斜式可得化简可得故选:D8．（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】，，，，，又为与公共点，，，解得：，.故选：D.9．（2021·全国高三其他模拟）已知函数，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】，令y =kx -1，y =kx -1表示过定点(0,-1)，斜率为k 的动直线，当时，当时，；当，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，在同一坐标系内作出函数图象与直线y =kx -1，如图所示，20x y π++-=20x y π+-+='2sin cos y x x =-+x π=2sin cos 1k ππ=-+=-(),2π-()21y x π+=-⨯-20x y π+-+=()xf x ae b =+()cos2xg x c π=+()0,2M b c a +-0π2-3()xf x ae '= ()sin22xg x ππ'=-()0f a '∴=()00g '=0a ∴=()0,2M ()f x ()g x ()02f b ∴==()012g c =+=1c =2103b c a ∴+-=+-=()2ln 3,04,0x x x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩x ()10f x kx -+=k ()2,2-()0,2()1,0-()1,-+∞()10()1f x kx f x kx -+=⇔=-0x >()ln 2f x x '=-2(0,)x e ∈()0f x '<2(,),()0x e f x '∈+∞>()f x 2(0,)e 2(,)e +∞0x ≤2()(2)4f x x =+-()f x (,2)-∞-(2,0)-()y f x =关于的方程有四个不同的实根，等价于函数的图象与直线y =kx -1有四个不同的交点，当时，的图象在点处切线斜率为，该切线过点时，满足，解得，所以的图象过点的切线斜-2，当时，，的图象在点处的切线斜率为，该切线过点时，，因为，解得，所以的图象过点的切线斜率为2，由函数图象知，当动直线y =kx -1在直线与所夹不含y 轴的对顶角区域内转动(不含边界直线)时，函数的图象与直线y =kx -1有四个不同的交点，此时的取值范围是.故选：A10．（2021·全国高三专题练习（理））若经过点P (2,8)作曲线的切线，则切线方程为（）A ．B ．C ．或D ．或【答案】D【解析】①易知P 点在曲线上，当P 点为切点时，.②当P 点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为.x ()10f x kx -+=()y f x =0x >()ln 3f x x x x =-00(,())x f x 0ln 2x -(0,1)-0x 000()1ln 2f x x x +=-01x =()ln 3f x x x x =-(0,1)-0x ≤()24f x x =+'2()4f x x x =+2(,4)t t t +24t +(0,1)-24124t t t t++=+0t ≤1t =-2()4f x x x =+(0,1)-21y x =-21y x =--()y f x =k (2,2)-3y x =12160x y --=320x y -+=12160x y -+=320x y --=12160x y --=320x y -+=3y x =23,12,12160y x k x y --'===00(,)A x y 203k x =∵A 在曲线上，∴，∴，∴，∴，解得或 (舍去)，∴，k =3，此时切线方程为y +1=3(x +1)，即.故经过点P 的曲线的切线有两条，方程为或.故选：D11．（2021·峨山彝族自治县第一中学）已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（）A ．0B ．C ．3D ．或3【答案】D【解析】因为，所以，则，所以所以函数在处的切线方程为，由得，由，解得或，故选：D12．（2021·天津高三一模）已知定义在R 上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图，数形结合，观察直线与曲线的位置关系.当，故在处的切线方程为.当，同理可得在处的切线方程为.300y x =32000832x x x -=-3200340x x -+=()()200120x x +-=01x =-02x =01y =-320x y -+=12160x y --=320x y -+=()ln f x x x =()()2g x x ax a =+∈R ()1,0A l ()f x ()g x a =1-1-()ln f x x x =()1ln f x x '=+()11ln11f '=+=1k =()f x ()1,0A 1y x =-21y x y x ax=-⎧⎨=+⎩()2110x a x +-+=()2140a ∆=--=3a =1a =-2ln ,1(),1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩()()k x f x ax =+{}1,0(1,)e ⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭{}11,0(1,)e ⎛⎫--⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭111,{0},e e⎛⎫⎛⎫--⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1(,1){0},1e ⎛⎫-∞-⋃⋃ ⎪⎝⎭y ax =-()y f x =2(,0],(),()21,(0)1x f x x x f x x f ''∈-∞=-=-=-(0,0)1y x =-2[0,1],()x f x x x ∈=-+(0,0)2y x =当，设切点为，其中，则过该点的切线方程为，代入，得，故过的切线方程为.可得当时，有两个交点，即函数恰有两个零点.此时故选：B二、多选题13．（2021·辽宁高三）已知过点A （a ，0）作曲线的切线有且仅有两条，则实数a 的值可以是（）A ．－2B ．4C ．0D ．6【答案】AD【解析】设切点为，则，所以切线方程为：，切线过点A （a ，0），代入得：，即方程有两个解，则有或．故选：AD.14．（2021·山东济南市·高三一模）已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（）A ．B ．在处取得极大值1(1,),()ln ,()x f x x f x x'∈+∞==(,ln )t t 1t >1ln ()y t x t t-=-(0,0)t e =(,1)e 31y x e=1(,1){0},1a e ⎛⎫-∈-∞-⋃⋃ ⎪⎝⎭()y k x =11,{0}(1,)a e ⎛⎫∈--⋃⋃∞ ⎪⎝⎭:x xC y e=000,e x x x ⎛⎫⎪⎝⎭0001e x x x x y =-'=()000001e e x x x x y x x --=-()000001e ex x x x a x --=-2000x ax a -+=2404a a a ∆=->⇒>0a <()31f x x ax =-+2x =93a =()f x 1x =-C ．当时，D ．的图象关于点中心对称【答案】ABD【解析】A ：，由题意，得，正确；B ：，由得：或，易知在，上，为增函数，在上，为减函数，所以在处取得极大值，正确；C ：由B 知：，，，故在上的值域为，错误；D ：令且为奇函数，则，而图象关于中心对称，所以关于中心对称，正确；故选：ABD.15．（2021·全国高三专题练习）已知函数，，则下列说法正确的有（）A ．是奇函数B ．是周期函数C ．曲线在点处的切线方程为D ．在区间上，单调递增【答案】AC【解析】A ：，又函数的定义域是R ，所以函数是奇函数，所以选项A 正确；B ：不存在非零常数，使得，故不是周期函数，所以选项B 错误；C ：，，，故在点，处的切线方程为：，即，所以选项C 正确；D ：，，时，，，故，故在，单调递减，所以选项D 错误.故选：AC16．（2021·江苏高三专题练习）若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（）(]2,1∈-x ()(]1,3f x ∈-()f x ()0,1()23f x x a '=-()2129f a ='-=3a =()()()311f x x x -'=+()0f x ¢=1x =-1(,1)-∞-(1,)+∞()0f x ¢>()f x ()1,1-()0f x ¢<()f x ()f x 1x =-()21f -=-()13f -=()11f =-(]2,1-[]1,3-()3g x x x =-()()1f x g x =+()g x ()0,0()f x ()0,1()cos f x x x =⋅x ∈R ()(),f ππ0x y +=,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭()cos()cos ()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-()f x T ()()f x T f x +=()f x ()cos (sin )cos sin f x x x x x x x '=+-=-()1f π'=-()f ππ=-()f x (π())f π()y x ππ+=--0x y +=()cos sin f x x x x '=-(2x π∈)π1cos 0x -<<sin 0x x >()0f x '<()f x (2π)π12y x b =+()f x ()f xA ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】直线的斜率为，由的导数为，即切线的斜率小于0，故A 不正确；由的导数为，而，解得，故B 正确；由的导数为，而有解，故C 正确；由的导数为，而，解得，故D 正确，故选：BCD17．（2021·河北高三其他模拟）若直线与曲线满足下列两个条件：①直线在点处与曲线相切；②曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.则下列结论正确的是（）A ．直线在点处“切过”曲线B ．直线在点处“切过”曲线C ．直线在点处“切过”曲线D ．直线在点处“切过”曲线【答案】ACD【解析】A 项,因为,当时,,所以是曲线在点处的切线.当时,；当时,,所以曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确；B 项,,当时,,在处的切线为.令,则,当时,；当时,,所以.故,1()f x x =4()f x x =()sin f x x =()xf x e =12y x b =+12k =1()f x x ='21()f x x=-4()f x x ='3()4f x x =3142x =12x =()sin f x x ='()cos f x x =1cos 2x =()x f x e ='()x f x e =12x e =ln 2x =-l C l ()00,P x y C C P l l P C :0l y =(0,0)P 3:C y x =:1l y x =-(1,0)P :ln C y x=:l y x =(0,0)P :sin C y x=:l y x =(0,0)P :tan C y x=23y x '=0x =0y '=:0l y =3:C y x =(0,0)P 0x <0y <0x >0y >C P l 1y x'=1x =1y '=(1,0)P :1l y x =-()1ln h x x x =--11()1(0)x h x x x x -'=-=>1x >()0h x '>01x <<()0h x '<min ()(1)0h x h ==1ln x x -…即当时,曲线全部位于直线的下侧（除切点外）,结论错误；C 项,,当时,,在处的切线为,由正弦函数图像可知,曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确；D 项,,当时,,在处的切线为,由正切函数图像可知,曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确.故选：ACD .18．（2021·全国高三专题练习）函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（）A ．2B ．C ．0D ．1【答案】ABC【解析】∵只有一个零点，∴函数与函数有一个交点，作函数函数与函数的图象如下，结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点；当时，，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得.综合得：或.0x >C l cos y x '=0x =1y '=(0,0)P :l y x =C P l 21cos y x'=0x =1y '=(0,0)P :l y x =C P l ()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()()g x f x x a =-+a 2-()()g x f x x a =-+()y f x =y x a =-()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩y x a =-0a ≤()y f x =y x a =-0a >ln(1)y x =-11y x '=-111x =-2x =2x =ln(1)y x =-2a =0a ≤2a =故选：ABC.19．（2021·沙坪坝区·重庆一中高三其他模拟）设函数，若曲线在点处的切线与该曲线恰有一个公共点，则选项中满足条件的有（）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】A 选项：切点，切线的斜率为切线方程为：设，其中又，故在内必有一个零点，则与切线有两个交点，故A 错；B 选项：切点，切线的斜率为切线方程为：设，其中在单调减，在单调增，所以恒成立，则单调增只有一个零点，则与切线有1交点，故B 正确；C 选项：切点，切线的斜率为切线方程为：设，其中又，在单调减，在单调增，所以恒成立，则只有一个零点，则与切线有1交点，故C 确；2()86x x f x e e x =-+()y f x =()()00,P x f x P 0x ln 2-ln 2ln 4ln 515,6ln 2l 24n P ⎛⎫-- ⎝-⎪⎭()2ln 2ln 2528l 2n 26f e e --'=-+=-15715ln 2224y x =--()()1g x f x y =-()20ln g -=()7130ln 2024g =-<()25715186ln 20224g e e =-+-++>()g x ()0,1()f x (),6ln ln 1222P -()2ln 2ln 228ln 622f ee '=-+=-226ln 212y x =-+-()()2g xf x y =-()ln 20g =()()()22862,42x x x x g x e e g x e e '''=-++=-()g x '(),ln 2-∞()ln 2,+∞()()ln 20g x g ''≥=()g x ()f x (),6ln ln 1446P -()2ln 4ln 428ln 664f ee '=-+=3616y x =-()()3g xf x y =-()0ln 4g =()()22824x x x x g x e e e e '=-=-()ln 40g '=()g x (),ln 4-∞()ln 4,+∞()()ln 40g x g ≥=()g x ()f xD 选项：切点，切线的斜率为切线方程为：设，其中，，在小于0，在大于0，所以恒成立，则只有一个零点，则与切线有1交点，故D 正确.故选：BCD20．（2021·全国高三专题练习）已知，下列说法正确的是（）A ．在处的切线方程为B ．单调递增区间为C ．的极大值为D ．方程有两个不同的解【答案】AC【解析】因为，所以函数的定义域为所以，，，∴的图象在点处的切线方程为，即，故A 正确；在上，，单调递增，在上，，单调递减，故B 错误，的极大值也是最大值为，故C 正确；方程的解的个数，即为的解的个数，即为函数与图象交点的个数，作出函数与图象如图所示：(),6ln ln 1555P -()2ln5ln528ln 1656f ee '=-+=4161510ln 5y x =--()()4g xf x y =-()0ln 5g =()228616x x g x e e '=-+-()ln 50g '=()g x '(),ln 5-∞()ln 5,+∞()()ln 50g x g ≥=()g x ()f x ()ln x f x x =()f x 1x =1y x =-(),e -∞()f x 1e ()1f x =-()ln x f x x =()0,∞+()21ln x f x x-'=()11f '=()10f =()f x ()1,0()()011y f x '-=-()111y x x =⋅-=-()0,e ()0f x '>()f x ()e,+∞()0f x '<()f x ()f x ()ln e 1e e e f ==()ln 1x f x x==-ln x x =-ln y x =y x =-ln y x =y x =-由图象可知方程只有一个解，故D 错误.故选：AC .三、填空题21．（2021·湖北襄阳市·襄阳四中高三其他模拟）设点P 在曲线上，点Q 在曲线上，则|PQ |的最小值为_____.【解析】令、分别向上平移一个单位可得、，而与关于对称，∴当两条曲线在P 、Q 处的切线均与平行时，P 、Q 关于对称，|PQ |有最小，对应曲线平移到、后，P 、Q 关于对称即可，∴令，则，∴有，则，即，∴到的距离，∴.()1f x =-221x y e +=+1y =+2(1)()x f x e +=()lng x =221x y e +=+1y =+()f x ()g x y x =1y x =+1y x =+()f x ()g x y x =10t x =+>2()()t f x m t e ==2()21t m t e '==ln 22t =-ln 21(22m -=ln 21(,22P -P y x =d ==||2PQ d ==22．（2021·全国高三其他模拟（文））曲线在点处的切线经过坐标原点，则___________.【答案】【解析】由，则，所以，所以，化简整理可得.故答案为：23．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数在处的切线方程为，则___.【答案】【解析】由，得，，，又切线方程为：，即，故，解得，故，，即，故答案为：.24．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则的值为___________.()1f x x b x =++()(),a f a ab =2-()1f x x b x =++()211f x x '=-()211f a a '=-()()()22011110f a f a b f a a a a a a-'=-===++-2ab =-2-()()2,xf x ae x b a b R =-+∈1x =()210e x y --+=()ln 2f '=0()2x f x ae x b =-+()2x f x ae '=-()12f ae '∴=-()12f ae b =-+()210e x y --+=()21y e x =-+22221ae e ae b e -=-⎧⎨-+=-+⎩1a b ==()21x f x e x =-+()2xf x e '=-()ln 2ln 220f e '=-=0()()2ln f x x x m x =+-11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20x y +=m【答案】【解析】的导数为，可得在点，处的切线的斜率为，又切线与直线平行，可得，解得，故故答案为：．25．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））若两曲线y＝x2+1与y＝a ln x+1存在公切线，则正实数a的取值范围是_________．【答案】（0，2e]【解析】设公切线与曲线y＝x2+1和y＝a ln x+1的交点分别为（x1，x12+1），（x2，a ln x2+1），其中x2＞0，对于y＝x2+1，y′＝2x，所以与曲线y＝x2+1相切的切线方程为：y﹣（x12+1）＝2x1（x﹣x1），即y＝2x1x﹣x12+1，对于y＝a ln x+1，y′＝，所以与曲线y＝a ln x+1相切的切线方程为y﹣（a ln x2+1）＝（x﹣x2），即y＝x﹣a+1+a ln x2，所以，即有﹣＝a ln x2﹣a，由a＞0，可得a＝4x2﹣4x2ln x，记f(x)＝4x2﹣4x2ln x（x＞0），f′(x)＝8x﹣4x﹣8x ln x＝4x（1﹣2ln x），当x时，f′(x)＞0，即f(x)在（0）上单调递增，当x时，f′(x)＜0，即f(x)+∞）上单调递减，所以f(x)max＝f2e，又x→0时，f(x)→0，x→+∞时，f(x)→﹣∞，所以0＜a≤2e．74()()2lnf x x x m x=+-()22mf x xx'=+-1(21())2f1(322f m'=-20x y+=1322m-=-74m=74ax2ax2ax122122111axxx a nx a⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩2224ax故答案为：（0，2e ]．26．（2021·辽宁高三其他模拟）已知，则曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】由得，可得曲线在点处的切线的斜率为，切点为，则切线的方程为，即.故答案为：.27．（2021·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．28．（2021·四川高三月考（文））若曲线在处的切线与直线平行，则实数___________.【答案】-1【解析】因为，所以，在，因为函数在处的切线与直线平行，所以.故答案为：.29．（2021·安徽黄山市·高三一模（理））已知函数，过点作曲线的切线l ，则直线l 与曲线及y 轴围成的图形的面积为________________.【答案】【解析】由，过点作曲线的切线l ，设切点为()2ln f x x x x =+()y f x =()()1,1f 32y x =-()2ln f x x x x =+()1ln 2f x x x '=++()y f x =()(1,)1f ()13f '=(1,1)()131y x -=-32y x =-32y x =-212x y x -=+()1,3--520x y -+=1x =-3y =-()()()()222221522x x y x x +--==++'1|5x y =-='520x y -+=520x y -+=()cos f x x x =x π=10ax y -+=a =()cos f x x x =()cos sin f x x x x '=-()cos sin 1f ππππ'=-⋅=-x π=10ax y -+=()1a f π'==-1-()x f x e =(1,0)()y f x =()y f x =2e 1-()x f x e '=(1,0)()y f x =()00,x x e则，所以切线的方程为由切线过点，则，解得：所以切线的方程为直线l 与曲线及y 轴围成的图形的面积为故答案为：30．（2021·湖南高三月考）若过点的任意一条直线都不与曲线相切，则的取值范围是________．【答案】【解析】设点为曲线上任意一点，因为，则曲线在点处的切线的方程为.据题意，切线不经过点，则关于的方程，即无实根，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：0x k e =l ()000-=-x x y ee x x (1,0)()0001x x e e x -=-02x =l 22y e x e =-()y f x =()()2222222021102x x e e x e dx e e x e x e ⎛⎫⎛⎫--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰2e 1-(),0A a ():1xC y x e =-a ()3,1-()()000,1x B x x e -C ()1xx x y e x e xe =+-='C B l ()()000001x x y x e x e x x --=-l A 0x ()()000001x x x ex e a x --=-()200110x a x -++=()2Δ140a =+-<31a -<<a ()3,1-()3,1-。

切线的判定练习题

切线的判定练习题切线的判定练习题切线是数学中的一个重要概念，它在几何学、微积分和物理学中都有广泛的应用。

切线的判定是切线问题中的基本内容，掌握切线的判定方法对于解决相关问题至关重要。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和掌握切线的判定。

题目一：给定函数y = x^2 + 2x + 1，判断点P(1, 4)是否在曲线y = x^2 + 2x + 1上，并求出曲线在点P处的切线方程。

解析：首先，我们将点P的坐标代入函数y = x^2 + 2x + 1中，得到y = 1^2 + 2 × 1 + 1 = 4。

由此可知，点P在曲线y = x^2 + 2x + 1上。

接下来，我们需要求出曲线在点P处的切线方程。

切线的斜率可以通过求函数在该点的导数来得到。

对函数y = x^2 + 2x + 1求导得到y' = 2x + 2。

将x = 1代入导数表达式中，得到斜率k = 2 × 1 + 2 = 4。

切线方程的一般形式为y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)为切点的坐标。

代入点P 的坐标和斜率k，得到切线方程为y - 4 = 4(x - 1)。

题目二：已知函数y = 3x^3 - 4x^2 + 2x + 1，求曲线y = 3x^3 - 4x^2 + 2x + 1在点Q(2, 19)处的切线方程。

解析：与题目一类似，首先将点Q的坐标代入函数y = 3x^3 - 4x^2 + 2x + 1中，得到y = 3 × 2^3 - 4 × 2^2 + 2 × 2 + 1 = 19。

因此，点Q在曲线y =3x^3 - 4x^2 + 2x + 1上。

接下来，我们需要求出曲线在点Q处的切线方程。

对函数y = 3x^3 - 4x^2 + 2x + 1求导得到y' = 9x^2 - 8x + 2。

将x = 2代入导数表达式中，得到斜率k =9 × 2^2 - 8 × 2 + 2 = 14。

2021新高考数学专项训练题---导函数之求切线方程(含解析)

2021新高考数学专项训练题---导函数之求切线方程一、单选题（共7题；共14分）1.（2021·玉溪模拟）曲线在点处的切线的斜率为，则（）A. 2B. -3C. -7D. -102.（2021·凉山州模拟）抛物线：在点处的切线方程为，则的焦点坐标为（）A. B. C. D.3.（2020·新课标Ⅲ·理）若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（）A. y=2x+1B. y=2x+C. y= x+1D. y= x+4.（2020·新课标Ⅰ·理）函数的图像在点处的切线方程为（）A. B. C. D.5.（2020·合肥模拟）已知为奇函数，当时，（是自然对数的底数），则曲线在处的切线方程是（）A. B. C. D.6.（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线y=ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）A. a=e，b=-1B. a=e，b=1C. a=e-1，b=1D. a=e-1，b=-17.（2020·广东模拟）现有下列四条曲线：①曲线；②曲线；③曲线；④曲线.直线与其相切的共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条二、填空题（共5题；共6分）8.（2021·韶关模拟）若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为________．9.（2021·天河模拟）已知函数，且，则________，曲线在处的切线方程为________.10.（2020·龙岩模拟）函数在点处的切线方程为________.11.（2020·德州模拟）已知为奇函数，当时则曲线在处的切线方程是________.12.（2020·新课标Ⅰ·文）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.三、解答题（共12题；共125分）13.（2021·江西一模）已知函数，其中.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）记函数的导函数是，若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围；（3）设函数，是函数的导函数，若函数存在两个极值点，，且，求实数的取值范围.14.（2021·内江一模）已知函数，､，若在处与直线相切.（1）求，的值；（2）求在上的极值.15.（2020·盐城模拟）设函数，（1）当时，求函数图象在处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若不等式对恒成立，求整数的最大值.16.（2020·济宁模拟）已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；（2）求函数的极值点；（3）设，若当时，不等式恒成立，求的最小值.17.（2020·江苏模拟）已知函数（是自然对数的底数，）.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上有两个极值点，且恒成立，求满足条件的的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.18.（2020·宜春模拟）已知函数，，且与的图象有一条斜率为1的公切线（e为自然对数的底数）.（1）求；（2）设函数，证明：当时，有且仅有2个零点.19.（2020·平邑模拟）已知函数．（1）若，曲线在点处的切线与直线平行，求a的值；（2）若，且函数的值域为，求a的最小值．20.（2020·郑州模拟）已知函数，（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数在上的单调性．21.（2020·新课标Ⅲ·理）设函数，曲线在点( ，f( ))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．22.（2020·新高考Ⅰ）已知函数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．23.（2020·天津）已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．24.（2020·北京）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：因为，所以所以，解得故答案为：D【分析】首先对函数的解析式求导，再把x=0代入到导函数的解析式计算出斜率，即可得到关于a的方程，求解出结果即可求出a的值。

专题11：用导数求切线高考真题赏析(解析版)

专题11:用导数求切线高考真题赏析(解析版）一、单选题1．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 2．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（） A ．y =2x +1 B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，试卷第2页，总8页由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 3．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D 【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=，化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.4．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】DD试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算．解：，∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=3．故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．5．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 6．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=【答案】C 【分析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解.试卷第4页，总8页当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．二、填空题7．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．【答案】2y x = 【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】2222101y k y x x =∴==∴=+'+ 【点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 8．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________．【答案】3- 【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可．【详解】解：()y 1xxae ax e =++'则()f 012a =+=-'所以3a =- 故答案为-3. 【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题． 9．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x ）在点x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y 0＝f ′（x 0）（x−x 0）．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同． 10．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．【答案】8 【解析】试卷第6页，总8页试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．11．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．【答案】30x y -=. 【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x xy x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．12．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. ）【答案】2y x = 【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.13．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】1y x =+ 【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=，所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．14．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()ex f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是_________. 【答案】2y x = 【解析】试卷第8页，总8页试题分析：当0x >时，0x -<，则1()e x f x x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()e x f x f x x -=-=+，所以1()e 1x f x -='+，则(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．15．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a = .【答案】1 【解析】试题分析：()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)(21)1a a =+-⇒=.考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)a =+ •(21)1a -⇒=.。

专题01 利用导函数研究函数的切线问题(原卷版)-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

专题01利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.......................................................1二、典型题型.......................................................3题型一：在型求切线方程..........................................3题型二：过型求切线方程..........................................3题型三：已知切线斜率求参数......................................3题型四：确定过一点可以做切线条数................................4题型五：已知切线条数求参数......................................4题型六：距离问题转化为相切问题..................................5题型七：公切线问题..............................................5三、专项训练. (6)一、必备秘籍1、切线的斜率：函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.2、曲线的切线问题（基础题）（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x .第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。

历年高考数学真题精选13 利用导数研究曲线的切线方程

历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十三曲线的切线方程（学生版）一．选择题（共11小题）1．（2019•新课标Ⅱ）曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为( ) A ．10x y π---=B ．2210x y π---=C ．2210x y π+-+=D ．10x y π+-+=2．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线x y ae xlnx =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则()A ．a e =，1b =-B ．a e =，1b =C ．1a e -=，1b =D ．1a e -=，1b =-3．（2018•全国）若函数2()1f x ax =+图象上点(1，f （1）)处的切线平行于直线21y x =+，则(a = ) A ．1-B ．0C ．14D ．14．（2018•新课标Ⅰ）设函数32()(1)f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( ) A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =5．（2016•山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( ) A ．sin y x =B ．y lnx =C ．x y e =D ．3y x =6．（2016•四川）设直线1l ，2l 分别是函数,01(),1lnx x f x lnx x -<<⎧=⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB ∆的面积的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞7．（2012•辽宁）已知P ，Q 为抛物线22x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，2-，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( ) A ．1B ．3C ．4-D ．8-8．（2011•湖南）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(4M π，0)处的切线的斜率为( )A ．12-B ．12C ．D 9．（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线12y x -=在点12(,)a a -处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则(a = ) A ．64B ．32C ．16D ．810．（2009•陕西）设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则12n x x x ⋯的值为( )A ．1nB ．11n + C ．1n n + D ．111．（2005•湖北）在函数38y x x =-的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．0二．填空题（共12小题）12．（2019•新课标Ⅰ）曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为． 13．（2018•新课标Ⅱ）曲线2y lnx =在点(1,0)处的切线方程为．14．（2018•新课标Ⅲ）曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a = ． 15．（2017•新课标Ⅰ）曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为． 16．（2017•全国）若曲线1(1)1y x x x =+>-的切线l 与直线34y x =平行，则l 的方程为． 17．（2017•天津）已知a R ∈，设函数()f x ax lnx =-的图象在点(1，f （1）)处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为．18．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是．19．（2016•新课标Ⅲ）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()3f x ln x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是．20．（2016•新课标Ⅲ）已知()f x 为偶函数，当0x 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十三曲线的切线方程（教师版）一．选择题（共11小题）1．（2019•新课标Ⅱ）曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为( ) A ．10x y π---= B ．2210x y π---= C ．2210x y π+-+= D ．10x y π+-+=【答案】C【解析】由2sin cos y x x =+，得2cos sin y x x '=-，|2cos sin 2x y πππ=∴'=-=-，∴曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为12()y x π+=--，即2210x y π+-+=．2．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线x y ae xlnx =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则()A ．a e =，1b =-B ．a e =，1b =C ．1a e -=，1b =D ．1a e -=，1b =-【答案】D【解析】x y ae xlnx =+的导数为1x y ae lnx '=++，由在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，可得102ae ++=，解得1a e -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-，故选：D ．3．（2018•全国）若函数2()1f x ax =+图象上点(1，f （1）)处的切线平行于直线21y x =+，则(a = ) A ．1- B ．0 C ．14D ．1【答案】D【解析】函数2()1f x ax =+的导数为()2f x ax '=，可得点(1，f （1）)处的切线斜率为2a ，由点(1，f （1）)处的切线平行于直线21y x =+，可得22a =，解得1a =，故选：D ．4．（2018•新课标Ⅰ）设函数32()(1)f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( ) A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D【解析】函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，()()f x f x -=-，323232(1)((1))(1)x a x ax x a x ax x a x ax -+--=-+-+=----．所以：22(1)(1)a x a x -=--可得1a =，所以函数3()f x x x =+，可得2()31f x x '=+，曲线()y f x =在点(0,0)处的切线的斜率为1，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为：y x =．5．（2016•山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( ) A ．sin y x = B ．y lnx =C ．x y e =D ．3y x =【答案】A【解析】函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数()y f x =的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1-，当sin y x =时，cos y x '=，满足条件；当y lnx =时，10y x'=>恒成立，不满足条件；当x y e =时，0x y e '=>恒成立，不满足条件；当3y x =时，230y x '=>恒成立，不满足条件.6．（2016•四川）设直线1l ，2l 分别是函数,01(),1lnx x f x lnx x -<<⎧=⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB ∆的面积的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,)+∞ D ．(1,)+∞【答案】A【解析】设11(P x ，1)y ，22(P x ，212)(01)y x x <<<，当01x <<时，1()f x x '=-，当1x >时，1()f x x '=，1l ∴的斜率111k x =-，2l 的斜率221k x =，1l 与2l 垂直，且210x x >>，∴1212111k k x x =-=-，即121x x =．直线11111:()l y x x lnx x =---，22221:()l y x x lnx x =-+．取0x =分别得到1(0,1)A lnx -，2(0,1)B lnx -+，121212|||1(1)||2()||2|2AB lnx lnx lnx lnx lnx x =---+=-+=-=．联立两直线方程可得交点P 的横坐标为12122x x x x x =+， ∴1212121121122||||2122PAB P x x S AB x x x x x x x ∆==⨯⨯==+++．函数1y x x=+在(0,1)上为减函数，且101x <<， ∴111112x x +>+=，则1111012x x <<+，∴112011x x <<+． PAB ∴∆的面积的取值范围是(0,1)．7．（2012•辽宁）已知P ，Q 为抛物线22x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，2-，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( ) A ．1 B ．3 C ．4- D ．8-【答案】C【解析】P ，Q 为抛物线22x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，2-， (4,8)P ∴，(2,2)Q -，22x y =，212y x ∴=，y x ∴'=，∴切线方程AP ，AQ 的斜率4AP K =，2AQ K =-， ∴切线方程AP 为84(4)y x -=-，即48y x =-，切线方程AQ 的为22(2)y x -=-+，即22y x =--，令4822y x y x =-⎧⎨=--⎩，∴14x y =⎧⎨=-⎩，∴点A 的纵坐标为4-．故选C ．8．（2011•湖南）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(4M π，0)处的切线的斜率为()A ．12-B ．12C ．D 【答案】B 【解析】sin 1sin cos 2x y x x =-+2cos (sin cos )(cos sin )sin (sin cos )x x x x x x y x x +--'∴=+21(sin cos )x x =+211||4(sin cos )42x xy x x ππ'====+ 故选B ．9．（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线12y x -=在点12(,)a a -处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则(a = ) A ．64 B ．32 C ．16 D ．8【答案】A【解析】3212y x -'=-，3212k a -∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -==，解得64a =．故选A ．10．（2009•陕西）设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则12n x x x ⋯的值为( )A ．1nB ．11n + C ．1n n + D ．1【答案】B【解析】对1*()n y x n N +=∈求导得(1)n y n x '=+，令1x =得在点(1,1)处的切线的斜率1k n =+，在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)(1)n n y k x n x -=-=+-，不妨设0y =，1n n x n =+ 则1231231123411n n n x x x x n n n -⋯=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=++，故选B ． 11．（2005•湖北）在函数38y x x =-的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是( ) A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】切线倾斜角小于4π，∴斜率01k <．设切点为0(x ，3008)x x -，则200|38x x k y x =='=-，200381x ∴-<，20833x <．又0x Z ∈，0x ∴不存在．故选D ．二．填空题（共12小题）12．（2019•新课标Ⅰ）曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为．【答案】3y x = 【解析】23()x y x x e =+，23(31)x y e x x '∴=++，∴当0x =时，3y '=，23()x y x x e ∴=+在点(0,0)处的切线斜率3k =，∴切线方程为：3y x =． 13．（2018•新课标Ⅱ）曲线2y lnx =在点(1,0)处的切线方程为．【答案】22y x =- 【解析】2y lnx =，2y x∴'=，当1x =时，2y '= ∴曲线2y lnx =在点(1,0)处的切线方程为22y x =-．14．（2018•新课标Ⅲ）曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a = ．【答案】3-【解析】曲线(1)x y ax e =+，可得(1)x x y ae ax e '=++，曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，可得：12a +=-，解得3a =-． 15．（2017•新课标Ⅰ）曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为．【答案】10x y -+= 【解析】曲线21y x x =+，可得212y x x'=-，切线的斜率为：211k =-=．切线方程为：21y x -=-，即：10x y -+=． 16．（2017•全国）若曲线1(1)1y x x x =+>-的切线l 与直线34y x =平行，则l 的方程为．【答案】3450x y -+=【解析】设切点为(,)m n ，可得11m n m +=-，1(1)1y x x x =+>-的导数为211(1)y x '=--，由切线l 与直线34y x =平行，可得2131(1)4m -=-，解得3m =，即有切点为7(3,)2，可得切线的方程为73(3)24y x -=-，即为3450x y -+=． 17．（2017•天津）已知a R ∈，设函数()f x ax lnx =-的图象在点(1，f （1）)处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为．【答案】1【解析】函数()f x ax lnx =-，可得1()f x a x'=-，切线的斜率为：k f ='（1）1a =-，切点坐标(1,)a ，切线方程l 为：(1)(1)y a a x -=--， l 在y 轴上的截距为：(1)(1)1a a +--=．18．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是．【答案】4【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0(x ，004)x x +，由20411x -=-，解得000)x x =>． ∴曲线4(0)y x x x =+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4=．19．（2016•新课标Ⅲ）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()3f x ln x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是．【答案】210x y ++=【解析】()f x 为偶函数，可得()()f x f x -=，当0x <时，()()3f x ln x x =-+，即有0x >时，()3f x lnx x =-，1()3f x x'=-，可得f （1）133ln =-=-，f '（1）132=-=-，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程为(3)2(1)y x --=--，即为210x y ++=．故答案为：210x y ++=．20．（2016•新课标Ⅲ）已知()f x 为偶函数，当0x 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是．【答案】2y x =【解析】已知()f x 为偶函数，当0x 时，1()x f x e x --=-，设0x >，则0x -<，1()()x f x f x e x -∴=-=+，则1()1x f x e -'=+，f '（1）012e =+=．∴曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是22(1)y x -=-．即2y x =．。

完整版)导数求切线方程专题训练

完整版)导数求切线方程专题训练导数求切线方程的练题一、典型例题1.已知曲线方程和切点坐标，求切线方程例如，求曲线y=4x^3在点P(16,8)处的切线方程。

2.已知曲线方程和切点斜率，求切线方程例如，已知y=x，求与直线y=-2x-4垂直的切线方程。

3.已知曲线方程和曲线外一点，求切线方程例如，过原点做曲线y=ex的切线，求切线斜率和切线方程。

4.已知曲线方程和曲线上一点，求过该点的切线方程例如，求曲线y=3x-x^3过点A(2,-2)的切线方程。

二、当堂检测1.求过曲线y=-x^3+x上过点(1,0)的切线方程。

2.求经过原点且与曲线y=(x+9)/(x+5)相切的曲线方程。

3.求过曲线y=(1/3)x^2+x上一点(2,3)的切线方程。

4.若直线e^(2x)+y-e^(2-1)=0与曲线y=(1-a)e^x相切，求a 的值。

5.曲线y=x^3-3x^2+1在点(1,-1)处的切线方程为（）。

6.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x^2的切线方程是（）。

7.求过曲线y=x^3-2x上的点(1,-1)的切线方程。

8.求过点(2,0)且与曲线y=x^2相切的直线方程。

9.已知函数f(x)=ax+1(a>0)，g(x)=x+bx。

Ⅰ）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；Ⅱ）当a=3，b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。

2013北京市高考文】已知函数f(x)=x+xsinx+cosx。

Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值。

Ⅱ）若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点，求b的取值范围。

2023年高考数学一轮复习提升专练(新高考地区用)4-1 切线方程(精讲)(解析版)

4.1 切线方程（精讲）（提升版）思维导图考点呈现考点一斜率和倾斜角【例1-1】（2022·江苏淮安）已知函数()cos2(0,πf x x x =∈，）在0x x =处的切线斜率为85，则00co sin s x x -=（） A ．35 B ．35C ．355-D ．355【答案】D【解析】由题意得()2sin 2(0,πf x x x '=-∈，），则082sin 25x -=，04sin 25x =- 0205()49cos 1si )n (5x x -=--=，而0(0,π)x ∈，故00sin 0,cos 0x x ><，0035cos 5sin x x -=，故选：D【例1-2】（2022·重庆一中）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5【答案】A【解析】当0x >时，()()21f x x f ''=-，()()121f f ''∴=-，解得：()11f '=， ∴当0x >时，()22f x x x =-+；当0x <时，0x ->，()22f x x x ∴-=++，又()f x 为偶函数，()()22f x f x x x ∴=-=++，即0x <时，()22f x x x =++，则()21f x x '=+，()2413f '∴-=-+=-.故选：A. 【一隅三反】例题剖析1．（2022·辽宁）已知曲线()3cos1f x x =-在点()()1,1f 处的切线与直线:30l ax y --=垂直，则实数a 的值为______．【答案】13-【解析】由题得()23f x x '=，所以()13f '=，所以曲线()3cos1f x x =-在点()()1,1f 处的切线斜率为3，又曲线在点()()1,1f 处的切线与直线:30l ax y --=垂直，所以31a ⋅=-，解得13a =-．故答案为：13-.2．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（）A ．310B ．±310 C ．35D ．±35【答案】C【解析】因为()2ln 1sin y x x =++所以2cos 1y x x '=++ 当0x =时，3y ，此时tan 3α=，∴2222sin cos 2tan 63sin 22sin cos sin cos tan 1915ααααααααα⋅=⋅====+++．故选：C.3．（2022·湖南）已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（）A ．)⎡⎣B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞【答案】D【解析】因为)2ln y x x a x =++，所以12y x a x'=+，因为曲线在M 处的切线的倾斜角ππ,32θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以πtan 3y ≥'=0x >恒成立，即12x a x +≥0x >恒成立，即12a x x≤+，又12x x +≥12x x =，即x =a ≤a 的取值范围是(-∞．故选：D ．考点二 “在型”的切线方程【例2-1】（2022·广西）曲线31y x =+在点()1,a -处的切线方程为（）A ．33y x =+ B ．31y xC ．31y x =--D ．33y x =--【答案】A【解析】∴()31y f x x ==+∴()23f x x '=，所以()13f '-=，又当1x =-时，31110a x =+=-+=，所以31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为：()31y x =+，即33y x =+. 故选：A.【例2-2】（2022·广西·贵港市）已知曲线e ln x y ax x =+在点()1,e a 处的切线方程为3y x b =+，则（） A ．e a =，2b =- B ．e a =，2b = C ．1e a -=，2b =- D ．1e a -=，2b =【答案】C【解析】1e e x x y a ax x =++'，1|e e 12e 13x k y a a a ='==++=+=，∴1e a =，∴1e 1ea -==．将()1,1代入3y x b=+得31b +=，∴2b =-．故选：C ．【一隅三反】1．（2022·河南）已知函数()()423f x x m =++的图象经过坐标原点，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程是（） A ．872y x =- B ．476y x =- C ．872y x =+ D ．476y x =+【答案】A【解析】因为函数()()423f x x m =++的图象经过坐标原点，所以()0810f m =+=，所以81m =-，所以()()42381f x x =+-所以()180f -=-．因为()()3823f x x '=+，所以()18f '-=．所以所求切线方程为()8081y x +=+，即872y x =-．故选：A.2．（2022·安徽）已知()f x 为奇函数，且当0x >时()211e xf x x -=+，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（） A ．240x y ++= B ．240x y -+= C ．220x y -+=D ．220x y ++=【答案】A 【解析】当0x <时，()()211ex f x f x x --=--=-+，则()21212ex f x x--'=-，所以122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭'，又132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故切线方程为1322y x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，即240x y ++=.故选：A3．（2022·安徽·巢湖市）曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（） A ．1- B ．23-C ．12D ．1【答案】A【解析】由切点()1,b 在曲线上，得23ab +=∴；由切点()1,b 在切线上，得60k b -+=∴；对曲线求导得()242a y x -'=+，∴2143x a y k ='-==，即49a k -=∴，联立∴∴∴236049a b k b a k+⎧=⎪⎪-+=⎨⎪-=⎪⎩，解之得1351a b k =⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 故选：A.4．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）已知函数()1ln f x x x=-，直线y mx n =+是曲线()y f x =的一条切线，则2m n +的取值范围是（） A ．[)3,∞-+ B ．2e 3,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)2ln 24,--+∞D ．5ln 2,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】设切点为()(),P t f t ，()211x f x x =+'，()211k f t t t='=+ 曲线()y f x =在切点()(),P t f t 处的切线方程为()()()y f t f t x t -='-，整理得2112ln 1y x t t t t ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭，所以21322ln 2m n t t t +=+--．令()2132ln 2(0)g x x x x x =+-->，则()23232x x g x x +-'=．当102x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当12x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．故()min 12ln 242g x g ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，则2m n +的取值范围是[)2ln 24,--+∞．故选：C.考点三 “过型”的切线方程【例3】（2022·河南洛阳）已知函数()3221f x x x x =-++，则曲线()y f x =过坐标原点的切线方程为（） A ．y x = B ．2y x =C ．3y x =D ．4y x =【答案】C【解析】设切点为()32,21t t t t -++，()2322f x x x '=-+，则切线斜率为()2322f t t t '=-+，所以，所求切线方程为()()()32221322y t t t t t x t --++=-+-，将原点坐标代入所求切线方程可得32210t t --=，即()()21210t t t -++=，解得1t =，因此，所求切线方程为3y x =.故选：C. 【一隅三反】1．（2022·广东·新会陈经纶中学）（多选）已知曲线3()21f x x =+.则曲线过点P （1，3）的切线方程为.（） A ．630x y --= B ．3230x y -+= C ．690x y +-= D ．3290x y +-=【答案】AB【解析】设切点为()300,21P x x +，则()26f x x '=，所以()2006f x x '=，所以切线方程为()32000216y x x x x --=-，因为切线过点（1，3），所以()3200032161x x x --=-，即32002310x x -+=，即()()2001210x x-+=，解得01x =或012x =-，所以切线方程为630x y --=或3230x y -+=，故选：AB 2（2022·北京·汇文中学）228y x =+过点()12P ，的切线方程是__________. 【答案】1210y x =-或46y x =-+【解析】由题，设切点为()200,28x x +，'4y x =，所以，切线方程为：()()2000284y x x x x -+=-因为点()12P ，在切线上，所以，()()200022841x x x -+=-，即200230x x --=，解得01x =-或03x =. 所以，当01x =-时，切线方程为：46y x =-+；当03x =时，切线方程为：1210y x =-；综上，所求切线方程为：1210y x =-或46y x =-+故答案为: 1210y x =-或46y x =-+3．（2022·四川·广安二中）函数()2e xf x x =过点()0,0的切线方程为【答案】0y =或e 0x y +=【解析】由题设2()(2)e x f x x x '=+，若切点为2(,e )m m m ，则2()(2)e m f m m m '=+，所以切线方程为22(2))e e (m m y m m m x m +-=-，又切线过()0,0，则22(2e )e m m m m m +=，可得0m =或1m =-，当0m =时，切线为0y =；当1m =-时，切线为e 1(1)y x --=+，整理得e 0x y +=.故选：C考点四切线或切点数量问题【例4-1】（2022·河南洛阳）若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条【答案】C【解析】设切点为()300,x x ，由3y x =，所以23y x '=，所以020|3x x y x ='=，所以切线方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-，因为切线过点()1,0P ，所以3200032x x =-，解得00x =或032x =，所以过点()1,0P 作曲线3y x =的切线可以作2条，故选：C 【例4-2】（2022·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（） A ．ln a b < B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <【答案】D【解析】设切点坐标为00(,)x y ，由于1y x '=，因此切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，又切线过点(,)a b ，则000ln a x b x x --=，001ln a b x x +=+，设()ln a f x x x =+，函数定义域是(0,)+∞，则直线1y b =+与曲线()ln af x x x=+有两个不同的交点，221()a x a f x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域内单调递增，不合题意；当0a >时，0x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 1f x f a a ==+，结合图像知1ln 1b a +>+，即ln b a >.故选：D.【一隅三反】1．（2022·河南洛阳）若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条【答案】C【解析】设切点为()300,x x ，由3y x =，所以23y x '=，所以020|3x x y x ='=，所以切线方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-，因为切线过点()1,0P ，所以3200032x x =-，解得00x =或032x =，所以过点()1,0P 作曲线3y x =的切线可以作2条，故选：C 2．（2022·湖北·宜城市第一中学）若过点(),a b 可以作曲线()10y x x x=->的两条切线，则（） A ．0b a >> B ．10a b a a-<<< C ．10a b a a<-<< D ．1a b a a>>-且0a > 【答案】D 【解析】作出()10y x x x=->的图象，由图可知，若过点(),a b 可以作曲线()10y x x x=->的两条切线，点(),a b 应在曲线外，设切点为()()000,0>x y x ，所以0001y x x =-，21-'=+y x ，所以切线斜率为0002000111---=+==--x b y b x k x x ax a，整理得()20020--+=a b x x a ，即方程在00x >上有两个不同的解，所以()()4402020a ab a b a ⎧-->⎪-⎪->⎨-⎪⎪>⎩，100⎧-<⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩a ba ab a ，所以1a b a a>>-且0a >.故选：D ．3．（2022·河南洛阳）若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是（） A ．(),1-∞ B ．()0,∞+ C ．()0,1 D ．{}0,1【答案】C【解析】由已知，曲线3y x =，即令3()f x x =，则()23f x x '=，设切点为300(,)x x ，切线方程的斜率为()2003f x x '=，所以切线方程为：00320(3)y x x x x -=-，将点()1,P t 代入方程得：320003(1)t x x x -=-，整理得230032t x x =-，设函数23()32g x x x =-，过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，可知两个函数图像y t =与23()32g x x x =-有三个不同的交点，又因为()266g x x x =-'，由()0g x '=，可得0x =或1x =，所以函数()g x 在(,0)-∞，(1,)+∞上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以函数()g x 的极大值为(1)321g =-=，函数()g x 的极小值为(0)000g =-=，如图所示，当()0,1t ∈时，两个函数图像有三个不同的交点.故选：C.4．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．【答案】()(),40,∞∞--⋃+【解析】∴()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e xk x a =++, 切线方程为：()()()00000e 1e x xy x a x a x x -+=++-,∴切线过原点，∴()()()00000e 1e x x x a x a x -+=++-,整理得：200x ax a +-=, ∴切线有两条，∴240a a =+>,解得4a <-或0a >,∴a 的取值范围是()(),40,∞∞--⋃+,故答案为：()(),40,∞∞--⋃+考点五公切线【例5-1】（2022·安徽省舒城中学）已知直线l 是曲线e 1x y =-与ln 1y x =+的公共切线，则l 的方程为_____. 【答案】e 1y x =-或y x =【解析】设l 与曲线e 1x y =-相切于点(),e 1aP a -，与曲线ln 1y x =+相切于点(,ln Q b b +1），则1ln e 2e a ab b b a-+==-，整理得()()1e 10a a --=，解得1a =或0a =，当1a =时，l 的方程为e 1y x =-；当0a =时，l 的方程为y x =.故答案为：e 1y x =-或y x =.【例5-2】（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为（） A ．(]0,2eB ．(]0,eC ．[)2,e +∞D ．(],2e e 【答案】A【解析】设()()21122121122,1,,ln 1,2,,2,a a A x x B x a x y x y k x k x x ''--====切线：()()211112y x x x x --=-，即21121y x x x =--切线：()()222ln 1a y a x x x x --=-，即22ln 1a y x a a x x =-+-，()122222122,41ln 1ln 1a x x a x x x a a x ⎧=⎪∴∴=-⎨⎪--=-+-⎩ 令()()()()22141ln ,81ln 4f x x x f x x x x x ⎛⎫=-=-+- ⎝'⎪⎭()88ln 448ln 412ln 0,x x x x x x x x x x =--=-=-==()f x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，所以(]max ()2,0,2.f x fe a e ==∴∈故选：A ．【一隅三反】1．（2022·全国·模拟预测）若直线l 与曲线2y x 和2249x y +=都相切，则l 的斜率为______．【答案】±【解析】设2yx 的切点为()2,m m ，()2f x x '=，故()2f m m '=，则切线方程为：()22y mm x m -=-，即220mx y m --=圆心到圆的距离为2323=，解得：22m =或29-（舍去）所以m =l的斜率为2m =±±2．（2022·河北保定·二模）（多选）若直线3y x m =+是曲线()30y x x =>与曲线()260y x nx x =-+->的公切线，则（） A ．2m =- B ．1m =- C ．6n = D ．7n =【答案】AD【解析】设直线3y x m =+与曲线()30y x x =>相切于点()3,a a ，与曲线()260y x nx x =-+->相切于点(),3b b m +，对于函数()30y x x =>，23y x '=，则()2330a a =>，解得1a =，所以313m =+，即2m =-.对于函数()260y x nx x =-+->，2'=-+y x n ，则()230b n b -+=>，又2632b nb b -+-=-，所以()232632b b b b -++-=-，又0b >，所以2b =，7n =.故选：AD 3．（2022·安徽·合肥一六八中学）若直线y kx m =+是曲线ln(1)y x =-的切线，也是曲线3e x y -=的切线，则k =__________. 【答案】1或1e【解析】设y kx m =+与3e x y -=和ln(1)y x =-的切点分别为()()()13122,e ,ln 1x x x x --、；由导数的几何意义可得1321e 1x k x -==-，即()()1133212221e 1e ,ln 111x x x y x x y x x x x --=⋅+-=+----， ∴()()1132321221e 11e 11x x x x x ln x x --⎧=⎪-⎪⎨⎪-=--⎪-⎩，∴()()()122212112222311111321111x ln x x x x ln x x x x x x x ⎧-=--⎪⎨-⋅=--=--=--⎪----⎩∴112221x x x -=-- 当22x =时，1k =，当12x=时，1ek =∴1k =或1e .故答案为：1或1e .考点六切线与其他知识的运用【例6-1】（2022·湖北·黄冈中学）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则14a b+的最小值为（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．13【答案】B【解析】设切点为00(,)x y ，ln()y x b =+的导数为1y x b'=+，由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，令0011,1x b x b ==-+，则0ln(1)0y b b =-+= ，故切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=，a 、b为正实数，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当13a =，23b =时，14a b +取得最小值9，故选：B【例6-2】（2022·广东·深圳市光明区高级中学）已知函数()()2ln f x x x ax x a =-+∈R ，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线l 恒过定点_____________.【答案】1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】函数()()2ln f x x x ax x a =-+∈R 的定义域为()0,∞+，由()2ln f x x x ax x =-+，得()ln 22f x x ax '=+-，则()122f a '=-．又()11f a =-，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线l 的方程为()()()1211y a a x --=--，即()1212y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由1020x y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩可得120x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线l 恒过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为：1,02⎛⎫⎪⎝⎭．【一隅三反】1．（2022·河北衡水）已知函数2ln ()2xf x x x=-在1x =处的切线为l ，第一象限内的点(,)P a b 在切线l 上，则1111a b +++的最小值为（） A．24+ B．34+ C．45+ D．34+ 【答案】C 【解析】函数2ln ()2x f x x x=-，'21ln ()4xf x x x -∴=- ，'(1)3f ∴=- ，(1)2f =-，由点斜式直线方程得：切线l 的方程为23(1)y x +=--，31x y += ，由于点P 在直线l 上，则31a b +=且,0a b >，即3(1)(1)5a b +++=，则[]11111113(1)3(1)(1)411511511b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=⨯++++=⨯++ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦145⎡⨯+=⎢⎣，当且仅当11)b a +=+，即a b ==2．（2022·安徽）对于三次函数()f x ，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线与曲线()y xf x =在点(1,2)处点的切线重合，则(2)f '=（）A ．34-B ．14-C ．4-D ．14【答案】B【解析】设32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，322(0)0,(),()32f d f x ax bx cx f x ax bx c ==∴=++∴'=++20(0)210f c -∴'===-，设()()g x xf x =，则(1)(1)22g f a b ==++=，即0a b +=……∴又()()(),(1)(1)(1)2,(1)0g x f x xf x g f f f '=+'∴'=+'=∴'=，即3220a b ++=……∴由∴∴可得2,2,2a b c =-==，(2)14f ∴'=-.故选：B.3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中）若曲线e x y =过点(2,0)-的切线恒在函数212()e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象的上方，则实数a 的取值范围是__________．【答案】2(,e )∞--【解析】设曲线xy e =过点(2,0)-的切线的切点为00(,)x y ，则切线的斜率00000e e (2)2x x y k x x -===--+，所以01x =-，1e k =，切线方程为1(2)e y x =+，所以2112(2)e 31e e e x x a x x ⎛⎫+>-+-+- ⎪⎝⎭恒成立，所以231e x x x a ++<恒成立，令231()e xx x g x ++=，则(1)(2)()e x x x g x --+'= 因为当2x <-，()0g x '<，2x >-，()0g x '>，所以2x =-为()g x 的极小值点，又因为x →+∞时，()0g x +→，2(2)e 0g -=-< 所以2min ()(2)e g x g =-=-，所以2e a <-.故答案为：2(,e )∞--.考点七切线方程的运用【例7-1】（2022·全国·高三专题练习）设点P 在曲线y x =上，点Q 在曲线()ln 2y x =上，则PQ 的最小值为（）A ．1ln 22- B)1ln 2- C ．1ln 22+ D．()1ln 22+ 【答案】B【解析】()ln 2y x =，1y x'=，令11x =，解得1x =，所以()1,ln 2Q ，故PQ 的最小值为Q 到y x =的距离，)d 1ln 2==-．故选：B ．【例7-2】（2022·山东烟台·三模）已知函数()2ln ,021,0x x f x x x x ⎧>=⎨+-≤⎩，若方程()1f x ax =-有且仅有三个实数解，则实数a 的取值范围为（） A ．01a <D ．2a >【答案】B【解析】作出函数()f x 的图象如图：依题意方程()1f x ax =-有且仅有三个实数解，即()y f x =与1y ax =-有且仅有三个交点，因为1y ax =-必过()0,1-，且()01f =-，若0a ≤时，方程()1f x ax =-不可能有三个实数解，则必有0a >，当直线1y ax =-与ln y x =在1x >时相切时，设切点坐标为()00,x y ，则1()f x x '=，即001()f x x '=，则切线方程为0001()y y x x x -=-，即0000111ln 1y x y x x x x =⋅+-=⋅+-，切线方程为1y ax =-，1a x ∴=且0ln 11x -=-，则01x =，所以1a =，即当0a >时1y ax =-与()y f x =在()0,∞+上有且仅有一个交点，要使方程()1f x ax =-有且仅有三个的实数解，则当0x ≤时()221f x x x =+-与1y ax =-有两个交点，设直线1y ax =-与()221f x x x =+-切于点()0,1-，此时()22f x x '=+，则()02f '=，即2a =，所以02a <<，故选：B 【一隅三反】1．（2022·江苏徐州）过平面内一点P 作曲线|ln |y x =的两条互相垂直的切线12,l l ，切点分别为12,P P （12,P P 不重合），设直线12,l l 分别与y 轴交于点A ，B ，则ABP △面积的取值范围为（） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()0,1C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(0,2]【答案】B【解析】设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -当01x <<时，1111(),f x k x x '-=-=故切线为：()1111ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x =-+-当1x >时，1()f x x'=，221k x =，故切线为：()2221ln y x x x x -=-，即2211ln y x x x =-+ 两切线垂直，则1211x x -=-，则121=x x 所以，()()12120,1ln ,0,ln 1,1ln ln 12A x B x AB x x --=--+= 111111ln 1ln y x x x y x x x ⎧=-+-⎪⎨⎪=--⎩，解得1121x x x =+∴11111222(0,1)112ABPS x x x x =⋅⋅=∈++.故选：B ． 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()e ln xf x x a x x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是______．【答案】e a >【解析】()()()ln e ln e ln x x xf x x a x x a x x +=-+=-+，令ln t x x =+，t ∈R ，显然该函数单调递增，即e 0t at -=有两个根，即e t at =有两个根，如下图，作出函数t y e =的图像及其过原点的切线y et =，可知当e a >时有两个交点即e t at =有两个根．故答案为：e a >.3．（2022·云南曲靖·二模）设()'f x 是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()'f x 的导函数，若对任意R ()0,()0x f x f x '''∈><，恒成立，则下列选项正确的是（） A ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-，()0f x ''<恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，且()'f x 在R 上单调递减，即()f x 的图象增长得越来越慢，从图象上来看函数是上凸递增的，所以0(3)(2)f f ''<<，又(3)(2)(3)(2)32f f f f --=-，表示点()()2,2A f 与点()()3,3B f 的连线的斜率，由图可知()()32AB f k f ''<<即0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<，故选：A4．（2022·江西·新余市）若点A 在曲线ln 1y x =-上运动，点B 在直线2y x =+上运动，,A B 两点距离的最小值为_______【答案】【解析】设与直线2y x =+平行且与曲线ln 1y x =-相切于点()00,ln 1P x x -时，此时,A B 两点距离的最小值为点P 到直线2y x =+的距离，因为ln 1y x =-，所以1y x'=，011x ∴=即得01x =，()1,1P ∴-，所以点P 到直线2y x =+=所以,A B两点距离的最小值为。

第15题用导数研究曲线的切线一直是高考热点(原卷版)(新高考全国Ⅰ卷)-高考数学真题逐题揭秘

第15题用导数研究曲线的切线一直是高考热点一、原题呈现【原题】若曲线()e xy x a =+有两条过坐标原点的切线,则a 的取值范围是______．【答案】()(),40,-∞-⋃+∞【解析】∵()e x y x a =+,∵(1)e xy x a '=++,设切点为()00,x y ,则()000e xy x a =+,切线斜率()001e xk x a =++,切线方程为：()()()00000e 1exx y x a x a x x -+=++-, ∵切线过原点,∵()()()00000e 1exx x a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条,∵240a a ∆=+>,解得4a 或0a >,∵a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞【就题论题】确定曲线的切线条数是导数几何意义的一个重要应用，也是高考考查的热点，该类问题即可以以客观题形式考查，也可以以解答题形式考查，确定满足条件的曲线的条数，一般利用等价转化思想求解：设切点()00,x y 0−−−−−−→整理出关于x 的方程确定关于0x 的实根个数→方程实根个数就是切点个数，也是切线条数。

二、考题揭秘【命题意图】本题考查导数的几何意义,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等【考情分析】导数的几何意义是高考热点,基本每年必考,考查方式主要有：求曲线在某点处的切线方程,求曲线过某点的切线方程,确定曲线的条数,求公切线,根据曲线满足条件求参数范围. 【得分秘籍】1.导数的几何意义是研究曲线的切线的基石,函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率．也就是说,曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是()0f x '.求以曲线上的点(x 0,f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：∵求出函数f (x )的导数f ′(x )；∵求切线的斜率f ′(x 0)；∵写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0),并化简．2.求曲线过某点的切线方程,一般是先设出切点()(),t f t ,写出过切点的切线方程,把已知点代入,求出切点坐标,把问题转化为求在切点处的切线方程.3.研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.4.求曲线切线的条数一般是设出切点()(),t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程。

高考数学复习考点题型专题讲解5 导数切线方程

【详解】
y = 2a ln x 的导数为 y′ = 2a ，由于直线 y = 2x + b 是曲线 y = 2a ln x 的切线，设切点为 (m, n) ，
x 则 2a = 2 ，
m
∴ m = a ，又 2m + b = 2a ln m ，∴ b = 2a ln a − 2a （ a > 0 ）， b′ = 2 (ln a +1) − 2 = 2 ln a ，
7 / 39
【答案】0
【分析】由题意 f (e) = 2e, f ' (e) = 3 ，列方程组可求 a, b ，即求 a +b.
( 【详解】∵在点 e, f (e)) 处的切线方程为 y = 3x − e ，∴ f (e) = 2e ，代入 f ( x) = ax ln x − bx 得
a − b = 2 ①.
当 k ≠ 0 ，切点为 (2kπ , 4kπ +1)(k ∈ Z ) ，不满足题意，
综上可得，切点为 (0,1) .故答案为： (0,1) .
【题型三】求切线基础：无切点求参
【典例分析】
已知曲线 y = x3在点(a,b)处的切线与直线 x + 3y +1 = 0 垂直，则a 的取值是（）
A．-1
【详解】因为
f
′(
x)
=
2(
x
+ 1) (
cos x −
x +1)2
2 sin
x
，所以
k
=
f
′(0)
=
2
，
则所求切线的方程为 y = 2x .故答案为： 2x − y = 0 .
【变式演练】
1.曲线 f (x) = (x +1)ex + x 在点(0,1) 处的切线方程为______. 【答案】3x − y +1 = 0