最新初中数学相似综合应用综合测试卷

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中考数学相似综合试题及详细答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.（1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长；（2）求证：FQ=BQ【答案】（1）解：∵≌，∴，∵均为半圆切线，∴ .连接 ,则，∴四边形为菱形，∴DQ∥，∵均为半圆切线，∴∥，∴四边形为平行四边形∴，（2）证明：易得∽，∴ = ，∴ .∵是半圆的切线，∴ .过点作于点，则 .在中，，∴，解得：，∴∴【解析】【分析】（1）连接OP,由ΔABD≌ΔBFO可得AD=OB，由切线长定理可得AD=DP，于是易得OP=OA=DA=DP，根据菱形的判定可得四边形DAOP为菱形，则可得DQ∥AB，易得四边形DABQ为平行四边形，根据平行四边形的性质可求解；（2）过Q点作QK⊥AM于点K，由已知易证得ΔABD∽ΔBFO，可得比例式，可得BF与AD的关系，由切线长定理可得AD=DP,QB=QP ，解直角三角形DQK可求得BQ与AD 的关系，则根据FQ=BF−BQ可得FQ与AD的关系，从而结论得证。

2．如图，抛物线y= x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）如图2，若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，求点Q的坐标．【答案】（1）解：把B（6，0），C（0，6）代入y= x2+bx+c，得解得 ,抛物线的解析式是y= x2+2x+6, 顶点D的坐标是（2，8）（2）解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x， x2+2x+6），则FG= ，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6-x，∴当点F在x轴上方时，有，∴x=-1或x=6（舍去），此时F1的坐标为（-1，）,当点F在x轴下方时，有，∴x=-3或x=6（舍去），此时F2的坐标为（-3，）,综上可知F点的坐标为（-1，）或（-3，）（3）解：如图2，不妨M在对称轴的左侧，N在对称轴的左侧，MN和PQ交于点K，由题意得点M，N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ为正方形，且点P在x轴上∴点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上 ,∴KP=KM=k，则Q（2，2k），M坐标为（2-k，k），∵点M在抛物线y= x2+2x+6的图象上，∴k= (2-k)2+2(2-k)+6解得k1= 或k2=∴满足条件的点Q有两个，Q1（2，）或Q2（2，）.【解析】【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法建立关于b、c的方程组，求解就可得出函数解析式，再求出顶点坐标。

九年级数学相似试卷免费【含答案】

九年级数学相似试卷免费【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个比例不是相似图形的相似比？A. 2:1B. 3:2C. 5:4D. 1:32. 若两个三角形的对应边长比为2:3，则它们的面积比为：A. 2:3B. 4:9C. 3:2D. 9:43. 在相似三角形中，下列哪个比例是正确的？A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 对应角相等且对应边成比例D. 所有的角都相等4. 下列哪个图形不是相似图形？A. 两个正方形B. 两个矩形C. 两个圆D. 两个三角形5. 若两个相似三角形的面积分别为36cm²和81cm²，则它们的相似比为：A. 1:3B. 3:1C. 2:3D. 3:2二、判断题（每题1分，共5分）1. 相似图形的对应角相等。

（）2. 相似图形的面积比等于相似比的平方。

（）3. 所有的等边三角形都是相似的。

（）4. 相似图形的周长比等于相似比。

（）5. 两个三角形的对应角相等，则它们一定相似。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 相似图形的对应边成______。

2. 若两个三角形的相似比为2:3，则它们的面积比为______。

3. 相似三角形的______相等。

4. 若两个相似三角形的周长分别为12cm和18cm，则它们的相似比为______。

5. 相似图形的面积比等于______的平方。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述相似图形的定义。

2. 两个三角形相似的条件是什么？3. 相似三角形的性质有哪些？4. 如何计算相似三角形的面积比？5. 相似图形的周长比与相似比有什么关系？五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知两个相似三角形的相似比为3:4，其中一个三角形的面积为54cm²，求另一个三角形的面积。

2. 两个相似图形的周长分别为24cm和36cm，求它们的相似比。

3. 两个相似三角形的面积分别为100cm²和225cm²，求它们的相似比。

中考数学复习《相似》专项综合练习含答案

中考数学复习《相似》专项综合练习含答案一、相似1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得解得∴抛物线解析式为：y= x2−x−1∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1（2）解：存在使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点．设过点C′、O直线解析式为：y=kx∴k=-∴y=- x则P点坐标为（1，- ）（3）解：当△AOC∽△MNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°∴∠CDN=∠CAO由相似，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵MN⊥AC∴M、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，- a-1）由△EDN∽△OAC∴ED=2a∴点D坐标为（0，- a−1）∵N为DM中点∴点M坐标为（2a，a−1）把M代入y= x2−x−1，解得a=4则N点坐标为（4，-3）当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N由（2）N（2，-1）∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标，可求出抛物线的解析式，再求出它的对称轴即可解答。

（2）使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小，取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点，利用待定系数法求出直线C′O的解析式，再求出点P的坐标。

完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案

完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案1.填空题：1) 若$a=8$cm，$b=6$cm，$c=4$cm，则$a$、$b$、$c$的第四比例项$d=\underline{12}$；$a$、$c$的比例中项$x=\underline{5}$。

2) $(2-x):x=x:(1-x)$。

则$x=\underline{1}$。

3) 在比例尺为1：的地图上，距离为3cm的两地实际距离为\underline{30}公里。

4) 圆的周长与其直径的比为\underline{$\pi$}。

5) $\frac{a^5-ab}{b^3}=\frac{a^4}{b^2}$，则$\frac{a}{b}=\underline{a^2}$。

6) 若$a:b:c=1:2:3$，且$a-b+c=6$，则$a=\underline{2}$，$b=\underline{1}$，$c=\underline{3}$。

7) 如图1，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CE}=\underline{\frac{3}{2}}$；若$BD=10$cm，则$AD=\underline{6}$cm；若$\triangle ADE$的周长为16cm，则$\triangle ABC$的周长为\underline{24}cm。

8) 若点$c$是线段$AB$的黄金分割点，且$AC>CB$，则$\frac{AC}{AB}=\underline{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$，$\frac{CB}{AB}=\underline{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$。

2.选择题：1) 根据$ab=cd$，共可写出以$a$为第四比例项的比例式的个数是（）A．$1$，B．$2$，C．$3$，D．$4$。

答案：B。

2) 若线段$a$、$b$、$c$、$d$成比例，则下列各式中一定能成立的是（）A．$abcd=1$，B．$a+b=c+d$，C．$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，D．$a^2+b^2=c^2+d^2$。

数学九年级上册相似试卷【含答案】

数学九年级上册相似试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若两个三角形的对应角相等，则它们是相似的，这句话是否正确？A. 正确B. 错误2. 在ΔABC和ΔDEF中，若AB/DE = BC/EF = AC/DF，则这两个三角形是否相似？A. 相似B. 不相似3. 两个相似三角形的面积比是9:1，它们的边长比是：A. 3:1B. 1:3C. 9:1D. 1:94. 若ΔABC ∽ ΔA'B'C'，则以下哪个比例是错误的？A. AB/A'B' = BC/B'C'B. AB/A'B' = AC/A'C'C. AB/A'B' = (BCAC)/(B'C'A'C')D. AB/A'B' = (BC+AC)/(B'C'+A'C')5. 在ΔABC中，AB = 6cm, BC = 8cm, ∠B = 90°，若ΔDEF ∽ ΔABC，且EF = 4cm，则DE的长度是：A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm二、判断题（每题1分，共5分）6. 相似三角形的对应边长之比相等。

（）7. 相似三角形的面积比等于对应边长比的平方。

（）8. 若两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形一定相似。

（）9. 在ΔABC中，若AB = AC，则ΔABC是等腰三角形。

（）10. 两个全等三角形的面积比一定是1:1。

（）三、填空题（每题1分，共5分）11. 在ΔABC和ΔDEF中，若AB/DE = BC/EF = AC/DF = 2/3，则ΔABC与ΔDEF______。

12. 若ΔABC ∽ ΔA'B'C'，且AB = 6cm, A'B' = 9cm，则BC与B'C'的长度之比是______。

人教中考数学专题《相似》综合检测试卷及详细答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上．求：（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？（2）若设AK=x，S EFGH=y，试写出y与x的函数解析式．（3）x为何值时，S EFGH达到最大值．【答案】（1）解：设边长为xcm，∵矩形为正方形，∴EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质可以得出： = 、 = ，由题意知EH=x，AD=24，BC=16，EF=x，即 = ， = ，∵BE+AE=AB，∴ + = + =1，解得x= ，∴AK= ，∴当时，矩形EFGH为正方形（2）解：设AK=x，EH=24-x，∵EHGF为矩形，∴ = ，即EF= x，∴S EFGH=y= x•（24-x）=- x2+16x（0＜x＜24）（3）解：y=- x2+16x配方得：y= （x-12）2+96，∴当x=12时，S EFGH有最大值96【解析】【分析】（1）设出边长为xcm，由正方形的性质得出，EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。

（2）设AK=x，则EH=16-x，根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，用含x的代数式表示出EF的长，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式。

（3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的面积取最大值时的x的值。

2．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE=EF=FD.连结BE、BF。

使它们分别与AO相交于点G、H（1）求EG ：BG的值（2）求证：AG=OG（3）设AG =a ,GH =b，HO =c，求a : b : c的值【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO= AC，AD=BC，AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴ = = ．∵AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，∴GC=3AG，GB=3EG，∴EG：BG=1：3（2）解：∵GC=3AG（已证），∴AC=4AG，∴AO= AC=2AG，∴GO=AO﹣AG=AG（3）解：∵AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，AF=2AE．∵AD∥BC，∴△AFH∽△CBH，∴ = = = ，∴ = ，即AH= AC．∵AC=4AG，∴a=AG= AC，b=AH﹣AG= AC﹣ AC= AC，c=AO﹣AH= AC﹣ AC= AC，∴a：b：c= ：： =5：3：2【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AO=AC，AD=BC，AD∥BC，从而可证得△AEG∽△CBG，得出对应边成比例，由AE=EF=FD可得BC=3AE，就可证得GB=3EG，即可求出EG：BG的值。

初三数学相似测试题及答案

初三数学相似测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE = 2:3，那么三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比是多少？A. 4:9B. 2:3C. 1:2D. 1:32. 在直角三角形中，若两直角边长分别为3和4，则斜边长为多少？A. 5B. 6C. 7D. 83. 若一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a/b = b/c，那么这个三角形是：A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 不规则三角形4. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且角A等于角D，角B等于角E，那么角C与角F的关系是什么？A. 相等B. 互补C. 互为余角D. 互为补角5. 如果一个三角形的三边长分别为3, 4, 5，那么这个三角形是：A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 不规则三角形二、填空题（每题2分，共10分）6. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 2DE，那么AC与DF的比例是________。

7. 已知三角形ABC的面积为24平方厘米，若三角形ABC与三角形DEF 相似，且DE = 4AB，则三角形DEF的面积为________平方厘米。

8. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且角A等于角D，角B等于角E，那么角C等于角F，且角C与角F的度数是________。

9. 直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，另一条直角边长为________。

10. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且BC/EF = 1/2，那么三角形ABC的周长与三角形DEF的周长之比是________。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 6cm，DE = 9cm，求AC与EF的比例。

12. 已知三角形ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，求三角形ABC的面积。

13. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且角A等于角D，角B等于角E，求角C与角F的度数。

初三数学相似测试卷

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列图形中，哪两个图形是相似的？A. 正方形和矩形B. 等腰三角形和等边三角形C. 正三角形和等腰梯形D. 正方形和正五边形2. 已知两个相似三角形的对应边长分别为3和4，那么它们的周长比是：A. 3：4B. 4：3C. 9：16D. 16：93. 若两个相似三角形的面积比为9：16，那么它们的相似比是：A. 3：4B. 4：3C. 9：16D. 16：94. 在相似三角形中，如果两个三角形的相似比是2：3，那么它们的周长比是：A. 2：3B. 3：2C. 4：6D. 6：45. 下列哪个结论是正确的？A. 相似三角形的对应角相等B. 相似三角形的对应边成比例C. 相似三角形的面积比等于相似比的平方D. 以上都是6. 若两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是：A. 1：4B. 2：1C. 1：2D. 4：17. 下列哪个图形的面积与边长平方成正比？A. 正方形B. 矩形C. 平行四边形D. 三角形8. 若一个正方形的边长为2，那么它的面积是：A. 4B. 8C. 12D. 169. 若一个矩形的面积为24，长为6，那么它的宽是：A. 4B. 8C. 12D. 2410. 若一个三角形的面积为12，底为4，那么它的高是：A. 3B. 6C. 8D. 12二、填空题（每题3分，共30分）11. 相似三角形的相似比是2：3，那么它们的周长比是______。

12. 若两个相似三角形的面积比为16：9，那么它们的相似比是______。

13. 在相似三角形中，如果两个三角形的相似比是3：4，那么它们的周长比是______。

14. 若一个正方形的边长为5，那么它的面积是______。

15. 若一个矩形的面积为30，长为6，那么它的宽是______。

16. 若一个三角形的面积为18，底为6，那么它的高是______。

17. 若一个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是______。

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形综合测试卷(原卷+答案)

第四章综合测试卷相似三角形班级学号得分姓名一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)1.己知 ab =25,则a +b b的值为( )A 25B 35C 75D 232.如图,已知△ABC∽△DEF,AB:DE=1:2,则下列等式一定成立的是( )A.BC DF=12 B.∠A 的度数∠D 的度数=12C.△ABC的面积△def 的面积= 12 D. △ABC 的周长△def 的周长= 123.如图,在直角坐标系中,△OAB 的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O 为位似中心,在第三象限内作与△OAB 的位似比 13的位似图形△OCD,则点C 坐标为( )A. (-1,-1)B.(−43,−1)C.(−1,−43) D. (-2,-1)4. 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出 △ABP 与△ECP 相似的是( )A.∠APB=∠EPCB. ∠APE=90°C. 点 P 是BC 的中点D. BP: BC=2:35.如图,在△ABC 中,点D 在BC 边上,连结AD,点E 在AC 边上,过点E 作EF∥BC,交 AD 于点F,过点E 作EG∥AB,交BC 于点G,则下列式子一定正确的是( ) A.AE EC=EF CDB.EF CD=EG ABC.AFFD=BG GCD.CG BC=AF AD6. 如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE(DE=BC=0.5m ，A ，B ，C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点 G 处，测得CG=15m ，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得 EG=3m ，小明身高EF=1.6m,则凉亭的高度AB 约为( )A. 8.5mB. 9mC. 9.5mD. 10m7. 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似( )A. ①处B. ②处C. ③处D. ④处8. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步，分别以点A ，D 为圆心，以大 12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M ，N第二步,连结MN 分别交AB,AC 于点E,F;第三步,连结DE,DF.若BD=6,AF=4,CD=3,则BE 的长是( )A. 2B. 4C. 6D. 89. 如图,在△ABC 中,点 D 为BC 边上的一点,且AD=AB=2,AD⊥AB,过点 D 作DE⊥AD,DE 交AC 于点E,若DE=1,则△ABC 的面积为( )A. 2B. 4C.25D. 810. 在四边形 ABCD 中,∠B=90°,AC=4,AB∥CD,DH 垂直平分 AC,点 H 为垂足.设AB=x ，AD=y ，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为( )二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11. 如图所示，点 E 是平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交 CD 于点F ，连结BF.写出图中任意一对相似三角形： .12. 已知 a6=b5=c4,且a+b-2c=6,则a 的值为 .13. 如图,在平行四边形ABCD 中,AB=10,AD=6,点E 是AD 的中点,在AB 上取一点F,使△CBF∽△CDE,则 BF 的长是 .14. 如图，在一块斜边长为30cm 的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC=1：3，则这块木板截取正方形 CDEF 后，剩余部分的面积为 .15.如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为16. 如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2).如果点C 在x 轴上，且点 C 与点O 及点A 不重合，当点 C 的坐标为时，使得由点B ，O ，C 构成的三角形与△AOB 相似(至少找出两个符合条件的点).三、解答题(本大题有8小题，共66分)17.(6分)如图,在△ABC中，DE‖BC,EF‖AB,求证：△ADEO△EFC.18. (6分)如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少?19.(6分)如图,点 P 是⊙O的直径AB 延长线上一点,且AB=4,点 M为A AB上一个动点(不与A，B重合)，射线 PM与⊙O交于点 N(不与M重合).(1)当M在什么位置时，△MAB的面积最大? 并求出这个最大值；(2)求证:△PAN∽△PMB.20. (8 分)如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长.21. (8分)如图,在△ABC中,点 D,E分别在边AB,AC上,且∠ABE=∠ACD,BE,CD交于点G,连结DE.(1)求证:△AEDO△ABC;(2)如果BE平分∠ABC,求证:DE=CE.22.(10分)如图,在 △ABC 中,点D,E,F 分别在AB,BC,AC 边上, DE‖AC,EF‖AB.(1)求证: △BDEO △EFC.(2)设AF FC=12,①若. BC =12,，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20,求△ABC 的面积.23.(10分)在矩形ABCD 中,AE⊥BD 于点E,点 P 是边AD 上一点.(1)若BP 平分∠ABD,交 AE 于点G,PF⊥BD 于点F,如图①,证明四边形 AGFP 是菱形;(2)如图②,若PE⊥EC,求证:AE·AB=DE·AP;(3)在(2)的条件下,若AB=1,BC=2,求AP 的长.24.(12分)如图,已知 △ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB,BC 匀速运动,其中点 P 运动的速度是 1cm/s,点 Q 运动的速度是2cm/s,当点 Q 到达点C 时，P ，Q 两点都停止运动.设运动时间为t(s)，解答下列问题：(1) 当 t =2时，判断 △BPQ 的形状，并说明理由；(2)设 △BPQ 的面积为 S (cm²),求S 与t 的函数表达式；(3)如图,作 QR//BA 交AC 于点R,连结PR,当t 为何值时,△APR∽△PRQ?第四章综合测试卷相似三角形1. C2. D3. B4. C5. C6. A7. B8. D9. B 10. D 11. △ADF∽△ECF(答案不唯一)12. 12 13. 1.8 14. 100cm² 15.24516. (-1,0)或(1,0)或(-4,0)(答案不唯一)17. 证明:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵EF∥AB,∴△EFC∽△ABC,∴△ADE∽△EFC.18. 解：设这个正方形零件的边长为 xmm ，则△AEF 的边EF 上的高AK=(80-x) mm.∵四边形EF-HG是正方形,∴EF∥GH,即 EF∥BC.∴△AEF CABC.∴EF BC=AK AD,即 x 120=80−x 80⋅∴x =48.∴这个正方形零件的边长是48mm.19. (1)解:当点 M 在 AB 的中点处时，△MAB 的面积最大，此时( OM⟂AB,∵OM =12AB =12×4=2,∴S ABM =12AB ⋅OM =12×4×2=4. (2)证明:∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P,∴△PAN∽△PMB.20. 解: ∵BD 为∠ABC 的平分线,∴∠ABD =∠CBD,∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠D=∠CBD,∴BC=CD.∵BC=4,∴CD=4.∵AB∥ CD,∴ABECDE,∴AB CD=AE CE,∴84=AE CE,∴AE=2CE,∵AC=6=AE+CE,∴AE=4.21. 证明:(1)∵∠ABE=∠ACD,且∠A 是公共角, ∴ABEACD.∴AE AD=AB AC,即AEAB =ADAC ,又∵∠A 是公共角,∴△AED∽△ABC. (2)∵∠ABE=∠ACD,∠BGD=∠CGE,∴△BGD∽ CGE.:DG EG=BG CG,即DG BG=EG CG.又∵∠DGE=∠BGC,∴△DGE∽△BGC.∴∠GBC=∠GDE,∵BE 平分∠ABC,∴∠GBC=∠ABE,∵∠ABE=∠ACD,∴∠GDE=∠ACD.∴DE=CE.22. (1)证明:∵DE∥AC,∴∠BED=∠C.∵EF∥AB,∴∠B=∠FEC,∴△BDE∽△EFC.(2)解:①∵EF//AB,∴BE EC=AF FC=12.∵BC = 12,∴BE12−BE =12,∴BE =4.②∵EF∥AB,∴△EFC∽△BAC,∴S△BC= (EC BC)2⋅∴BE EC=12,∴EC BC=23.又∵△EFC 的面积是20, ∴20SABC=(23)2,∴SABC=45,即△ABC 的面积是45.23. (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠BAD=90°,∵AE⊥BD,∴∠AED=90°,∴∠BAE+∠EAD=90°,∠EAD+∠ADE=90°,∴∠BAE=∠ADE,∵BP 平分∠ABD,∴∠ABG=∠PBD.∵∠AGP=∠BAG+∠ABG,∠APB =∠ADE+∠PBD,∠ABG=∠PBD,∴∠AGP=∠APG,∴AP=AG,∵PA⊥AB,PF⊥BD,BP 平分∠ABD,∴PA=PF,∴PF=AG,∵AE⊥BD,PF⊥BD,∴PF∥AG,∴四边形AGFP 是平行四边形,∵PA=PF,∴四边形AGFP 是菱形.(2)证明:∵AE⊥BD,PE⊥EC,∴∠AED=∠PEC=90°,∴∠AEP=∠DEC,∵∠EAD+∠ADE=90°,∠ADE+∠CDE=90°,∴∠EAP=∠EDC,∴△AEP∽△DEC,∴DE·AP.(3)解:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD=BC=2,∠BAD=90°,∴BD=√AB²+AD² =5,∵AE ⊥BD,∴S ABD =12⋅BD ⋅AE = 12⋅AB ⋅AD,∴AE =255,∴DE =AD 2−AE 2=455,∵AE ⋅AB =DE ⋅AP,∴ AP =255×1455=12.24. 解:(1)△BPQ 是等边三角形.当t=2时,AP=21 =2( cm),BQ=2×2=4( cm),∴BP=AB-AP=6-2=4( cm),∴BQ=BP,又∵∠B = 60°,∴△BPQ 是等边三角形.(2)如图,过点 Q 作QE⊥AB,垂足为 E,由 QB=2tcm,∠B=60°,∠BEQ=90°,得 QE =3tcm,由AP= tcm,得 PB =(6−t )cm,∴S =12BP ⋅QE = 12×(6−t )×3t =−32t 2+33t.(3)∵QR‖BA,∴∠QRC=∠A=60°,∠RQC=∠B=60°,∴△QRC是等边三角形,∴QR=RC=QC=(6-2t)cm⋅:BE=12BQ=12×2t=t(cm),∴EP=AB−AP−BE=6−t−t=6−2t(cm),∵EP‖QR,EP=QR,∴四边形 EPRQ是平行四边形,∴PR=EQ3tcm.又∵∠PEQ=90°,∴∠APR∠PRQ=90°,∴△APR∽△PRQ,∴∠QPR=∠A=60∘,QRPR=6−2t3t=3,解得t=65.∴当t=65时,△APR∽△PRQ.。

中考数学相似综合练习题及详细答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在△ABC中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC= ，求tanC的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC= ，，直接写出tan∠CEB的值．【答案】（1）解：∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB=∠BNC=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∴∠BAM=∠CBN，∵∠AMB=∠NBC，∴△ABM∽△BCN（2）解：如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N.∵∠BAP+∠1=∠CPM+∠1=90°，∴∠BAP=∠CPM=∠C，∴MP=MC∵tan∠PAC=，设MN=2m,PN=m,根据勾股定理得，PM=,∴tanC=（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC= = ，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB=90°，∴CH∥AG∥DE，∴ =同（1）的方法得，△ABG∽△BCH∴，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，∵AB=AE，AG⊥BE，∴EG=BG=4m，∴GH=BG+BH=4m+3n，∴，∴n=2m，∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC= =【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠AMB=∠BNC=90°，根据同角的余角相等得出∠BAM=∠CBN，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出：△ABM∽△BCN；（2）过点P作PF⊥AP交AC于F，在Rt△AFP中根据正切函数的定义，由tan∠PAC=,同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，故,设AB= a，PQ=2a，BP= b，FQ=2b（a＞0，b＞0），然后判断出△ABP∽△CQF，得从而表示出CQ，进根据线段的和差表示出BC，再判断出△ABP∽△CBA，得出再得出BC，从而列出方程，表示出BC,AB，在Rt△ABC中，根据正切函数的定义得出tanC的值；（3）在Rt△ABC中，利用正弦函数的定义得出：sin∠BAC=,过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，根据平行线分线段成比例定理得出，同（1）的方法得，△ABG∽△BCH ，故，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，根据等腰三角形的三线合一得出EG=BG=4m，故GH=BG+BH=4m+3n，根据比例式列出方程，求解得出n与m的关系，进而得出EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中根据正切函数的定义得出tan∠BEC的值。

中考数学专题《相似》综合检测试卷含答案

中考数学专题《相似》综合检测试卷含答案一、相似1．（1）问题发现：如图1，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为________；（2）深入探究：如图2，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN= ，试求EF的长．【答案】（1）NC∥AB（2）解：∠ABC=∠ACN，理由如下：∵ =1且∠ABC=∠AMN，∴△ABC～△AMN∴，∵AB=BC，∴∠BAC= （180°﹣∠ABC），∵AM=MN∴∠MAN= （180°﹣∠AMN），∵∠ABC=∠AMN，∴∠BAC=∠MAN，∴∠BAM=∠CAN，∴△ABM～△ACN，∴∠ABC=∠ACN（3）解：如图3，连接AB，AN，∵四边形ADBC，AMEF为正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC即∠BAM=∠CAN，∵，∴，∴△ABM～△ACN∴，∴ =cos45°= ，∴，∴BM=2，∴CM=BC﹣BM=8，在Rt△AMC，AM= ，∴EF=AM=2 ．【解析】【解答】解：（1）NC∥AB，理由如下：∵△ABC与△MN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，在△ABM与△ACN中，，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠B=∠ACN=60°，∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，∴CN∥AB；【分析】（1）由题意用边角边易得△ABM≌△ACN，则可得∠B=∠ACN=60°，所以∠BCN+∠B=∠BCA+∠ACN+∠B=180°，根据平行线的判定即可求解；（2）由题意易得△ABC～△AMN，可得比例式，由三角形内角和定理易得∠BAM=∠CAN，根据相似三角形的判定可得△ABM～△ACN，由相似三角形的性质即可求解；（3）要求EF的值，只须求得CM的值，然后解直角三角形AMC即可求解。

人教中考数学相似综合题含答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为，sinA= ，求BH的长．【答案】（1）证明：如图，∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线（2）证明：连接AC，如图2所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH•EA（3）解：连接BE，如图3所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半径为，sin∠BAE= ，∴AB=5，BE=AB•sin∠BAE=5× =3，∴EA= =4，∵，∴BE=CE=3，∵CE2=EH•EA，∴EH= ，∴在Rt△BEH中，BH= .【解析】【分析】（1）要证BD是⊙O的切线，只需证∠OBD=90°，因为∠OBC+∠BOD=90°，所以只须证∠ODB=∠OBC即可。

由圆周角定理和已知条件易得∠ODB=∠ABC，则∠OBC+∠BOD=90°=∠ODB+∠BOD，由三角形内角和定理即可得∠OBD=90°；（2）连接AC，要证CE2=EH•EA；只需证△CEH∽△AEC，已有公共角∠AEC，再根据圆周角定理可得∠CAE=∠ECB，即可证△CEH∽△AEC，可得比例式求解；（3）连接BE，解直角三角形AEB和直角三角形BEH即可求解。

2．如图，已知：在Rt△ABC中，斜边AB=10，sinA= ，点P为边AB上一动点（不与A，B重合），PQ平分∠CPB交边BC于点Q，QM⊥AB于M，QN⊥CP于N．（1）当AP=CP时，求QP；（2）若四边形PMQN为菱形，求CQ；（3）探究：AP为何值时，四边形PMQN与△BPQ的面积相等？【答案】（1）解：∵AB=10，sinA= ，∴BC=8，则AC= =6，∵PA=PC．∴∠PAC=∠PCA，∵PQ平分∠CPB，∴∠BPC=2∠BPQ=2∠A，∴∠BPQ=∠A，∴PQ∥AC，∴PQ⊥BC，又PQ平分∠CPB，∴∠PCQ=∠PBQ，∴PB=PC，∴P是AB的中点，∴PQ= AC=3（2）解：∵四边形PMQN为菱形，∴MQ∥PC，∴∠APC=90°，∴ ×AB×CP= ×AC×BC，则PC=4.8，由勾股定理得，PB=6.4，∵MQ∥PC，∴ = = = ，即 = ，解得，CQ=（3）解：∵PQ平分∠CPB，QM⊥AB，QN⊥CP，∴QM=QN，PM=PN，∴S△PMQ=S△PNQ，∵四边形PMQN与△BPQ的面积相等，∴PB=2PM，∴QM是线段PB的垂直平分线，∴∠B=∠BPQ，∴∠B=∠CPQ，∴△CPQ∽△CBP，∴ = = ，∴ = ，∴CP=4× =4× =5，∴CQ= ，∴BQ=8﹣ = ，∴BM= × = ，∴AP=AB﹣PB=AB﹣2BM=【解析】【分析】（１）当AP=CP时，由锐角三角函数可知AC=6，BC=8，因为PQ平分∠CPB，所以PQ//AC，可知PB=PC，所以点P是AB的中点，所以PQ是△ABC的中位线，PQ =3;(2)当四边形PMQN为菱形时，因为∠APC=，所以四边形PMQN为正方形，可得PC=4.8，PB=3.6，因为MQ//PC，所以，可得;(3)当QM垂直平分PB 时，四边形PMQN的面积与△BPQ的面积相等，此时△CPQ∽△CBP，对应边成比例，可得，所以，因为AP=AB-2BM，所以AP=.3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a＜0）从左到右依次交x轴于A、B两点，交y轴于点C．（1）求点A、C的坐标；（2）如图1，点D在第一象限抛物线上，AD交y轴于点E，当DE=3AE，OB=4CE时，求a 的值；（3）如图2，在（2）的条件下，点P在C、D之间的抛物线上，连接PC、PD，点Q在点B、D之间的抛物线上，QF∥PC，交x轴于点F，连接CF、CB，当PC=PD，∠CFQ=2∠ABC，求BQ的长．【答案】（1）解：当x=0时，y=3，∴C（0，3）．当y=0时，ax2+（a+3）x+3=0，（ax+3）（x+1）=0，解得x1=- ，x2=-1．∵a＜0，∴- ＞0，∴A（-1，0）（2）解：如图1，过点D作DM⊥AB于M．∵OE∥DM，∴，∴OM=3，∴D点纵坐标为12a+12．∵tan∠EAO= =3a+3，∴OE=3a+3，∴CE=OC-OE=3-（3a+3）=-3a．∵OB=4CE，∴- =-12a，∵a＜0，∴a=-（3）解：如图2，过点D作DT⊥y轴于点T，过点P作PG⊥y轴于点G，连接TP．∵a=- ，∴抛物线的解析式为y=- x2+ x+3，D（3，6），DT=3，OT=6，CT=3=DT，又∵PC=PD，PT=PT，∴△TCP≌△TDP，∴∠CTP=∠DTP=45°，TG=PG．设P（t，- t2+ t+3），∴OG=- t2+ t+3，PG=t，∴TG=OT-OG=6-（- t2+ t+3）= t2- t+3，∴ t2- t+3=t，解得t=1或6，∵点P在C、D之间，∴t=1．过点F作FK∥y轴交BC于点K，过点Q作QN⊥x轴于点N，则∠KFC=∠OCF，∠KFB=∠CON=90°．∵FQ∥PC，∴∠PCF+∠CFQ=180°，∠PCF+∠PCG+∠OCF=180°，∴∠CFQ=∠PCG+∠OCF，∴∠CFK+∠KFQ=∠PCG+∠OCF，∴∠KFQ=∠PCG．∵P（1，5），∴PG=1，CG=OG-OC=5-3=2，∴tan∠PCG= ，∵tan∠ABC= ，∴∠PCG=∠ABC，∴∠KFQ=∠ABC．∵∠CFQ=2∠ABC，∴∠CFQ=2∠KFQ，∴∠KFQ=∠KFC=∠OCF=∠ABC，∴tan∠OCF= ，∴OF= ．设FN=m，则QN=2m，Q（m+ ，2m），∵Q在抛物线上，∴- （m+ ）2+ ×（m+ ）+3=2m，解得m= 或m=- （舍去），∴Q（4，5），∵B（6，0），∴BQ= ．【解析】【分析】（1）令x=0，求出y的值，得到C点坐标；令y=0，求出x的值，根据a＜0得出A点坐标；（2）如图1，过点D作DM⊥AB于M．根据平行线分线段成比例定理求出OM=3，得到D点纵坐标为12a+12．再求出OE=3a+3，那么CE=OC-OE=-3a．根据OB=4CE，得出- =-12a，解方程求出a=- ；（3）如图2，过点D作DT⊥y轴于点T，过点P作PG⊥y轴于点G，连接TP．利用SSS证明△TCP≌△TDP，得出∠CTP=∠DTP=45°，那么TG=PG．设P（t，- t2+ t+3），列出方程 t2- t+3=t，解方程求得t=1或6，根据点P在C、D之间，得到t=1．过点F作FK∥y轴交BC于点K，过点Q作QN⊥x轴于点N，根据平行线的性质以及已知条件得出∠KFQ=∠PCG，进而证明∠KFQ=∠KFC=∠OCF=∠ABC，由tan∠OCF= =tan∠ABC= ，求出OF= ．设FN=m，则QN=2m，Q（m+ ，2m），根据Q在抛物线上列出方程- （m+ ）2+ ×（m+ ）+3=2m，解方程求出满足条件的m的值，得到Q点坐标，然后根据两点间的距离公式求出BQ．4．如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连结AB.点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止.当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于D，作DE⊥AC于E.F为射线CB上一点，且∠CEF=∠ABC.设点P的运动时间为x（秒）.（1）用含有x的代数式表示CE的长；（2）求点F与点B重合时x的值；（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）.求y与x之间的函数关系式；（4）当x为某个值时，沿PD将以D、E、F、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形.请直接写出所有符合上述条件的x值. 【答案】（1）解：∵∠C=90°，PD⊥BC，∴DP∥AC，∴△DBP∽△ABC，四边形PDEC为矩形，CE=PD..∴ .∴CE=6x；（2）解：∵∠CEF=∠ABC，∠C为公共角，∴△CEF∽△CBA，∴ .∴ .当点F与点B重合时，CF=CB，9x=20.解得 .（3）解：当点F与点P重合时，BP+CF=CB，4x+9x=20，解得 .当时，=-51x2+120x.当＜x≤ 时，= （20-4x）2.（或）（4）解：①如图③，当PD=PF时，6x=20-13x，解得：x= ；△B′DE为拼成的三角形；②如图④当点F与点P重合时，4x+9x=20，解得：x= ；△BDC为拼成的三角形；③如图⑤，当DE=PB，20-4x=4x，解得：x= ，△DPF为拼成的三角形.【解析】【分析】（1）首先证明△ABC∽△DBP∽△FEC，即可得出比例式进而得出表示CE的长；（2）根据当点F与点B重合时，FC=BC，即可得出答案；（3）首先证明Rt△DOE∽Rt△CEF，得出，即可得出y与x之间的函数关系式；（4）根据三角形边长相等得出答案.5．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动，△ABC是边长为2的等边三角形，E 是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明；（2）当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求AE 的长；（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系，并说明理由；（4）如图2，当△ECD的面积S1＝时，求AE的长．【答案】（1）解：现点E沿边AC从点A向点C运动过程中，始终有△ABE≅△CBF.由图1知，△ABC与△EBF都是等边三角形，∴AB=CB，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°，∴∠CBF=∠ABE=60°-∠CBE，∴△ABE≅△CBF.（2）解：由（1）知点E在运动过程中始终有△ABE≅△CBF，因四边形BECF的面积等于三角形BCF的面积与三角形BCE的面积之和，∴四边形BECF的面积等于△ABC的面积，因△ABC的边长为2，则，∴四边形BECF的面积为，又四边形ABFC的面积是，∴，在三角形ABE中，因∠A=60°，∴边AB上的高为AEsin60°,∴，则AE= .（3）解： .由图2知，△ABC与△EBF都是等边三角形，∴AB=CB，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°，又∠CBF=∠ABE=60°+∠CBE，∴△ABE≅△CBF，∴，∴，则，则（4）解：由（3）知，即，由得，∵△ABE≅△CBF，∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，又∠BAE=∠ABC=60°，得∠ABC=∠BCF，∴CF∥AB，则△BDF的边CF上的高与△ABC的高相等，即为，则DF= ，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+ ，∴CD=x- ，在△ABE中，由CD∥AB得，，即，化简得，∴x=1或x=− （舍），即CE=1，∴AE=3.【解析】【分析】（1）不难发现△ABE≅△CBF，由等边三角形的性质得到相应的条件，根据“SAS”判定三角形全等；（2）由（1）可得△ABE≅△CBF，则，则四边形ABFC= = ，由四边形ABFC的面积为和等边三角形ABC的边长为2，可求得△ABE的面积，由底AB×AEsin60°，构造方程可解出AE.（3）当E在AC的延长线上时，△ABE≅△CBF依然成立，则，即由等量关系即可得答案.（4）由（3）可求出△FBD的面积，由△ABE≅△CBF，则AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°=∠ABC，则CF//AB,则对于△BDF的边CF上的高等于△ABC的高，则可求出DF的长度；由AE=CF，可设CE=x，且CD//AB可得，代入相关值解出x即可. 6．如图：在中，BC=2,AB=AC，点D为AC上的动点，且 .（1）求AB的长度；（2）求AD·AE的值；（3）过A点作AH⊥BD，求证：BH=CD+DH. 【答案】（1）解：作AM⊥BC，∵AB=AC,BC=2，AM⊥BC，∴BM=CM= BC=1,在Rt△AMB中，∵cosB= ,BM=1,∴AB=BM÷cosB=1÷ = .（2）解：连接CD，∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠ADC+∠ABC=180°,又∵∠ACE+∠ACB=180°,∴∠ADC=∠ACE，∵∠CAE=∠CAD，∴△EAC∽△CAD，∴ ,∴AD·AE=AC2=AB2=（）2=10.（3）证明：在BD上取一点N，使得BN=CD,在△ABN和△ACD中∵∴△ABN≌△ACD（SAS），∴AN=AD，∵AH⊥BD，AN=AD，∴NH=DH,又∵BN=CD,NH=DH,∴BH=BN+NH=CD+DH.【解析】【分析】（1）作AM⊥BC，由等腰三角形三线合一的性质得BM=CM= BC=1,在Rt△AMB中，根据余弦定义得cosB= ,由此求出AB.（2）连接CD，根据等腰三角形性质等边对等角得∠ACB=∠ABC，再由圆内接四边形性质和等角的补角相等得∠ADC=∠ACE；由相似三角形的判定得△EAC∽△CAD，根据相似三角形的性质得；从而得AD·AE=AC2=AB2.（3）在BD上取一点N，使得BN=CD,根据SAS得△ABN≌△ACD，再由全等三角形的性质得AN=AD，根据等腰三角形三线合一的性质得NH=DH,从而得BH=BN+NH=CD+DH.7．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；理由；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）【答案】（1）解：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠FBD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，∵∠EBD=∠AFD，BD=DF，∠BDF=∠ADF，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE（2）解：DE= AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴，在Rt△BDG中，=tan30°= ，∴DE= AD（3）解：AD=DE•tanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴，在Rt△BDG中，=tanα，则=tanα，∴AD=DE•tanα．【解析】【分析】（1）如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，根据同角的余角相等得出∠BDE=∠ADF，根据等腰直角三角形的性质得出∠C=45°，∠BFD=45°，BD=DF，进而根据平行线的性质邻补角的定义得出∠EBD=180°﹣∠C=135°，∠AFD=135°，从而利用ASA判断出△BDE≌△FDA，根据全等三角形的对应边相等得出AD=DE；（2）DE= AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，根据等角的余角相等得出∠BDE=∠ADG，根据三角形的内角和得出∠C=60°，∠BGD=60°，根据二直线平行同旁内角互补得出∠EBD=120°，根据邻补角的定义得出∠AGD=120°，故∠EBD=∠AGD，根据两个角对应相等的两个三角形相似得出△BDE∽△GDA，利用相似三角形对应边成比例得出AD∶DE=DG∶BD,根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值得出DG∶BD=tan30°= ,从而得出答案；（3）AD=DE•tanα；理由：如图2过点D作DG⊥BC，交AB于点G，根据等角的余角相等得出∠BDE=∠ADG，根据三角形的内角和得出根据二直线平行同旁内角互补得出∠EBD=90°+α，三角形的外角定理得出∠AGD=90°+α，故∠EBD=∠AGD，根据两个角对应相等的两个三角形相似得出△BDE∽△GDA，利用相似三角形对应边成比例得出AD∶DE=DG∶BD,根据正切函数的定义DG∶BD=tanα从而得出答案。

完整word版,人教版初中数学相似的应用和性质综合练习

考点一：计算线段的长或线段之间的比针对练习1 :针对练习2、已知在平行四边形 ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点, 求AP : PQ : QC 的值.例题2已知：如图，△ ABC 中，AB = AC , BD 丄AC 于D . 求证：BC 2 =2CD • AC相似与直线型班级 ___ 姓名 _________* .VH $例题1、已知：女口图，在△ ABC 中，/ ACB =90求AD 的长.,CD 丄 AB 于 D , AC =6 , DB =5 ,如图，在等腰三角形 (1)求证:AB BDABC 中，AB=AC ，底边上的高5 ； 3AD=10cm ，腰AC 上的高BE=12cm(2)求ABC 的周长.DM 、DN 交于AC 于P 、Q 两点.针对练习1:如图所示.△ ABC中，AD是/ BAC的平分线.求证：AB : AC=BD : DC.针对练习2 :如图，△ ABC中, AD丄BC于D, BE丄AC于E, DF丄AB于，交BE于G, FD、AC的延长线交于点H, 求证：DF2FG FH考点二：证明线段平行例题3 •如图，AD为ABC的角平分线，长线交于点P，求证：CF//APBE垂直于AD的延长线于E，CF AD于F，BF，EC的延I )ADE1.求 S BCE 和 S AEF针对练习：如图，梯形 ABCD 中，AB//CD , M 为AB 的中点，分别连结 AC , BD , MD , MC ，且AC 与MD 交于E , DB 与MC 交于F ，求证：EF//CD考点三：求相似三角形的周长例题4两相似三角形的对应边的比为 4 : 5，周长和为360cm ，这两个三角形的周长分别是多少?针对练习:如图，D E 分别是 AC, AB 上的点，/ ADE ^Z B, AG 丄BC 于点 G AF 丄DE 于点F.若AA 3, AB= 5 , ⑺△ ADE-与^ ABC 的周长之比;考点四：计算多边形的面积例题 5•如图，已知：在 ABC 与 CAD 中，DA//BC , CD 交AB 于 E ，且 AE: EB 1:2 , EF //BC 交 AC求：( 1)AGA F针对练习•如图，已知，在梯形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，若AOB的面积为b2，其中a 0，b 0.求：梯形ABCD的面积S例题6•已知等腰直角三角形的面积为36cm2,它的内接矩形的一边在斜边上，且矩形的两边之比为5 : 2, 求矩形的面积针对练习：AD是ABC的高，E是BC的中点，EF BC交AC于F，若BD 15，DC 27，AC 45，求AF .考点五：相似三角形的实际应用例7：某市经济开发区建有B，C，D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB CD 900米，AD BC 1700米，AE 1500米•自来水公司已经修好一条自来水主管道AN, BC两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC 500米•若修建自来水主管道到各工厂的自来水管道的费用由各厂负担，每米造价800元.(1) 要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出;(2) 求出各厂所修建自来水管道的最低造价各是多少元?I)针对训练:如图，在水平的桌面上两个“ E”，当点R, F2, O在一直线上时，在点0处用①号“ E”测得的视力与用② 号“E”测得的视力相同.（1）图中d, b2, h,丨2满足怎样的关系式？（2）若b i 3.2cm , b2 2cm，①号“ E”的测试距离h 8m，要使测得的视力相同,则②号“ E”的测试距离12应为多少?巩固作业1. 若厶ABC DEF, △ ABC 的面积为81cm2A DEF 的面积为36cm2,且AB=12cm,则DE= _________ cm2. 等腰三角形ABC和DEF相似，其相似比为3: 4,则它们底边上对应高线的比为（）A、3: 4 B 、4: 3 C、1: 2 D 、2: 13. 如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米.若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（）A、0.36 米2B、0.81 米2C、2 米2D、3.24 米24.如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F，得△ DEF.若厶ABC的边长为a.（"△ DEF与厶ABC相似吗？如果相似，相似比是多少?（2）分别求出这两个三角形的面积.（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？5. 如图，在△ ABC中，BA=BC=20cm AC=30cm,点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x.(1)当x为何值时，PQ// BC?(2)当注1，求注的值；S ABC 3S ABC(3)在(2)的条件下，求△ BPQ的面积.6. 在厶ABC 中，AE : EB=1 : 2, EF / BC, AD // BC 交CE 的延长线于D,求S A AEF : S A BCE和S A AEF : S A ADE的值•BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，(1) 若这个矩形是正方形，那么边长是多少？(2) 若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少?7.如图，△ ABC是一块锐角三角形余料，边BC= 120mm,高AD=80mm ,要把它加工成矩形零件，使一边在线AD 于F.试求D 匚的值.FA8. (1)如图①，在 Rt A ABC 中，/ ABC=90 ° , BD 丄 AC 于点 D. 求证：AB 2 AD ? AC ;(2)如图②，在 Rt A ABC 中，/ ABC=90°,点 D 为BC 边上的点，BE 丄AD 于点E ,延长 BE 交AC 于点AF1，求的值;FC⑶在Rt A ABC 中，/ ABC=90°,点D 为直线BC 上的动点(点D 不与B 、C 重合)，直线BE 丄A D 于点E ,交AB BCBD DC 直线AC 于点F.若ABBCBD DCAFn'请探究并直接写出兀的所有可能的值9•如图所示：等边△ ABC 中, ⑴请你探究：AC CD AB DB 线段 AC i AD 为其内角角平分线，过 D 点的直线B i C i 丄AC 于C i 交AB 的延长线于B i .C iD AB iDB i 错误沬找到引用源。

中考数学《相似的综合》专项训练含详细答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6。

P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N设AP=x.（1）在△ABC中，AB＝ ________；（2）当x＝________时，矩形PMCN的周长是14；（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明。

【答案】（1）10（2）5（3）解：∵PM⊥AC，PN⊥BC，∴∠AMP=∠PNB=∠C=90º.∴AC∥PN，∠A=∠NPB.∴△AMP∽△PNB∽△ABC.当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB此时S△AMP=S△PNB= ×4×3=6而S矩形PMCN=PM·MC=3×4=12.所以不存在x的值，能使△AMP的面积、△PNB的面积与矩形PMCN面积同时相等.【解析】【解答】（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，（ 2 ）∵PM⊥AC PN⊥BC∴MP∥BC，AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），∴，∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x，∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（ x+8- x）=14，解得x=5；【分析】在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6根据勾股定理，可求出AB的长；AP=x，可以得到矩形PMCN的周长的表达式，构造方程，解方程得到x值.可以证明△AMP∽△PNB∽△ABC，只有当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB，此时S△AMP=S△PNB，分别求出当P为AB中点时△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积比较即可.2．已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：________．（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．【答案】（1）PA=PB（2）解：把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，，∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，∴PD=PE，∴PC=PE；∵PD=PE，∴∠CDE=∠PEB，∵直线m∥n，∴∠CDE=∠PCA，∴∠PCA=∠PEB，又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，∴l∥CE，∴AC=BE，在△PAC和△PBE中，∴△PAC∽△PBE，∴PA=PB（3）解：如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，，∵直线m∥n，∴，∴AP=PF，∵∠APB=90°，∴BP⊥AF，又∵AP=PF，∴BF=AB；在△AEF和△BPF中，∴△AEF∽△BPF，∴，∴AF•BP=AE•BF，∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，∴2PA•PB=2k．AB，∴PA•PB=k•AB．【解析】【解答】解：（1）∵l⊥n，∴BC⊥BD，∴三角形CBD是直角三角形，又∵点P 为线段CD的中点，∴PA=PB．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半；（2）把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半得出PD=PE=PC，根据等边对等角得出∠CDE=∠PEB，根据二直线平行，内错角相等得出∠CDE=∠PCA，故∠PCA=∠PEB，根据夹在两平行线间的平行线相等得出AC=BE，然后利用SAS判断出△PAC∽△PBE，根据全等三角形的对应边相等得出PA=PB；（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，根据平行线分线段成比例定理得出AP=PF，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BF=AB；然后判断出△AEF∽△BPF，根据相似三角形的对应边成比例即可得出AF•BP=AE•BF，根据等量代换得出2PA•PB=2k．AB，即PA•PB=k•AB．3．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴ AD∥BC，在中，∵别是的中点，∴EF∥AD，∴ EF∥BC，∴∴（2）解：如图1，过点Q作于，∴QM∥BE，∴∴∴（舍）或秒（3）解：当点Q在DF上时，如图2，∴∴ .当点Q在BF上时，，如图3，∴∴时，如图4，∴∴时，如图5，∴∴综上所述，t=1或3或或秒时，△PQF是等腰三角形【解析】【分析】（1）根据题中的已知条件可得△BEF和△DCB中的两角对应相等，从而可证△BEF∽△DCB；（2）过点Q作QM⊥EF 于M ，先根据相似三角形的预备定理可证△QMF ∽△BEF；再由△QM F ∽△BEF可用含t的代数式表示出QM的长；最后代入三角形的面积公式即可求出t的值。

初中数学相似测试卷

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各组图形中，一定相似的是（）A. 两个等腰三角形B. 两个直角三角形C. 两个等边三角形D. 两个等腰梯形2. 已知三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么这两个三角形（）A. 相似B. 不相似C. 不一定相似D. 无法确定3. 下列哪个比例是正确的相似比例（）A. 2:4=3:6B. 3:5=4:7C. 5:10=2:4D. 6:8=3:44. 在相似三角形中，对应边的比例是（）A. 一定大于1B. 一定小于1C. 一定等于1D. 不确定5. 若一个正方形的边长为4cm，那么它的面积是（）A. 16cm²B. 8cm²C. 4cm²D. 2cm²6. 下列哪个图形一定是相似图形（）A. 两个圆B. 两个长方形C. 两个正三角形D. 两个平行四边形7. 若两个相似三角形的面积比是4:9，那么它们对应边的比例是（）A. 2:3B. 3:2C. 1:2D. 2:18. 在相似三角形中，如果两个相似三角形的周长比是2:3，那么它们的高比是（）A. 2:3B. 3:2C. 1:2D. 2:19. 下列哪个结论是正确的（）A. 所有等腰三角形都相似B. 所有直角三角形都相似C. 所有等边三角形都相似D. 所有等腰梯形都相似10. 两个相似三角形的周长分别是10cm和15cm，那么它们的面积比是（）A. 1:2B. 2:1C. 1:4D. 4:1二、填空题（每题5分，共25分）11. 若两个相似三角形的周长分别是12cm和18cm，那么它们对应边的比例是______。

12. 在相似三角形中，如果两个相似三角形的周长比是3:4，那么它们的面积比是______。

13. 若一个正方形的边长为6cm，那么它的对角线长度是______cm。

14. 两个相似三角形的面积比是9:16，那么它们对应边的比例是______。

中考数学相似综合题含答案

中考数学相似综合题含答案一、相似1．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC∵AB=BC，∴△ABD≌CBD∴∠ABD=∠CBD在⊙O中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD所对的弦∴AD=DE；（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴，∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，∴CD= ；（3）解：延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，AD= ，AB=10，∴BD=3 ，∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，∴，∴∠BEP=∠EDB，∴△BPE∽△BED，∴，∴BP= ，∴DP=BD-BP= ，∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，∵S△BCD= × ×3 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，∴S△BDE=12，∴S△DPE= ．【解析】【分析】（1）根据已知条件AB是⊙O的直径得出∠ADB=90°，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可得出结论。

（2）根据圆内接四边形的性质证得∠CED=∠CAB，再根据相似三角形的判定证出△CED∽△CAB，得出对应边成比例，建立关于CD的方程，即可求出CD的长。

（3）延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，再证明△BPE∽△BED，根据相似三角形的性质得对应边成比例求出BP的长，然后根据等高的三角形的面积之比等于对边之比，再由三角形面积公式即可求解。

2．如图，抛物线y=﹣ +bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y=px+q，把A（3，0），B（0，2）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣ x+2；把A（3，0），B（0，2）代入y=﹣ +bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2（2）解：∵M（m，0），MN⊥x轴，∴N（m，﹣ m2+ m+2），P（m，﹣ m+2），∴NP=﹣ m2+4m，PM=﹣ m+2，而NP=PM，∴﹣ m2+4m=﹣ m+2，解得m1=3（舍去），m2= ，∴N点坐标为（，）（3）解：∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣ m+2），∴AB= = ，BP= = m，而NP=﹣ m2+4m，∵MN∥OB，∴∠BPN=∠ABO，当 = 时，△BPN∽△OBA，则△BPN∽△MPA，即 m：2=（﹣ m2+4m）：，整理得8m2﹣11m=0，解得m1=0（舍去），m2= ，此时M点的坐标为（，0）；当 = 时，△BPN∽△ABO，则△BPN∽△APM，即 m： =（﹣ m2+4m）：2，整理得2m2﹣5m=0，解得m1=0（舍去），m2= ，此时M点的坐标为（，0）；综上所述，点M的坐标为（，0）或（，0）【解析】【分析】（1）因为抛物线和直线AB都过点A（3,0）、B（0,2），所以用待定系数法求两个解析式即可；（2）由题意知点P是MN的中点，所以PM=PN；而MN OA交抛物线与点N，交直线AB于点P，所以M、P、N的横坐标相同且都是m,纵坐标分别可用（1）中相应的解析式表示，即P（m,）,N（m,）,PM与PN的长分别为相应两点的纵坐标的绝对值，代入PM=PN即可的关于m的方程，解方程即可求解；（3）因为以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，而△APM是直角三角形，所以分两种情况：当∠PBN=时，则可得△PBN∽△PMA，即得相应的比例式，可求得m的值；当∠PNB=时，则可得△PNB∽△PMA，即得相应的比例式，可求得m的值。