计算方法课件-第5章-数值微分与数值积分讲解

f ( x0 ) 4 f ( x1 ) 2h
f ( x2 )
(5.1.8)
得:
f
(
x1
)
L2
(
x1
)
y2 y0 x2 x0
f ( x2 ) f ( x0 ) 2h
(5.1.9)
f
(
x2
)
L2
(
x2
)
f ( x0 ) 4 f ( x1 ) 3 f ( x2 ) 2h
(5.1.10)
这称为三点公式，其中（5.1.9）又称为中点公式。
f ( x0 h) f ( x0 h) 2h
h2 12
[
f
'''(1
)
f '''(2 )]
h2 6
f '''( ) O(h2 )
5
由误差表达式，h越小，误差越小，但同时舍入误差增大， 所以，有个最佳步长
我们可以用事后误差估计的方法来确定
设D(h),D(h/2)分别为步长为h,h/2的差商公式。则
11
h2 R2 ( x0 ) 3
f (1 )—左端
h2 R2 ( x1 ) - 6
f (2 )
—中
R2 ( x2 )
h2 3
f (3 )
—右端
例1：已知列表
X 2.5
2.55 2.60 2.65 2.70
Y 1.58114 1.59687 1.61245 1.62788 1.64317
lim
h0
2h
自然，而又简单的方法就是， 取极限的近似值，即差商.
2
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
向前差商
f '( x0 )
f ( x0 h) h
f ( x0 )
由Taylor展开
f ( x0 h)
f ( x0 ) hf
'( x0 )
h2 2!
f
''( ), x0
x0 h
f '(x) D(h / 2) D(h) D(h / 2)
6
例：
f(x)=exp(x)
h
f’(1.15) R(x)
h
f’(1.15) R(x)
0.10 0.09 0.08 0.07 0.06
3.1630 -0.0048
3.1622 3.1613 3.1607 3.1600
-0.0040 -0.0031 -0.0025 -0.0018
因此，有误差
R( x)
f
'( x0 )
f ( x0 h) h
f ( x0 )
h 2!
f
''( ) O(h)
3
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
向后差商
f '( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
由Taylor展开
R( x)
f '( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
f (k ) ( x) Ln(k ) ( x)
误差
Rn ( x)
f (
(n1) ( )
n 1)!
n
(
x
)
f ( x) Ln ( x)
Rn(k ) ( x)
dk dxk
f (n1) ( )
(n 1)!
n
(
x)
注意：为了便于估计误差，限定只能对节点上的导数值采用插值
多项式的相应导数进行近似。
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
这称为两点公式。
9
截断误差:
R1( x0 )
f
(
2!
0
) [(
x
x0
)( x
x1 )]
|x x0
f
( 0
2!
)
[x
x1
x
x0 ] |x x0
h 2
f
( 0 )—左端
R1( x1 )
f
( 1
2!
) [(
x
x0
)(
x
ห้องสมุดไป่ตู้
x1 )]
|x x1
f
(1 )
2!
8
5.1 数值微分
5.1.2 插值型求导公式
1、两点公式
给定两点上的函数值 f ( x0 ), f ( x1 ),
Q
L1(
x)
x x0
x1 x1
f
( x0 )
x x0 x1 x0
f ( x1 )
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
f
(
x0
)
f
(
x1
)
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
h)
f ( x0 ) hf
'( x0 )
h2 2!
f
''( x0 )
h3 3!
f
'''(1 ), x0
1
x0
h
f ( x0 h)
f ( x0 ) hf
'( x0 )
h2 2!
f
h3 ''( x0 ) 3!
f
'''(2 ), x0 h 2
x0
因此，有误差
R( x)
f
'( x0 )
h 2!
f ''( ) O(h)
因此，有误差
f ( x0 h)
f ( x0 ) hf
'( x0 )
h2 2!
f
''( ), x0
x0 h
4
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
中心差商
f '( x0 )
f ( x0 h) f ( x0 h) 2h
由Taylor展开
f ( x0
x0 x0
x x1 x2 x1
y2
x x1 x x0 x1 x0
x2 x2
y0
x x0 x x1 x0 x1
x2 x2
y1
x x0 x x2 x0 x2
x1 x1
y2
f
( x0 )
L2 ( x0 )
3
第五章 数值微分与数值积分
• 5.1 数值微分 • 5.2 数值积分
1
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
微积分中，关于导数的定义如下：
f '( x) lim f ( x h) f ( x) lim f ( x) f ( x h)
h0
h
h0
h
f ( x h) f ( x h)
[x
x1
x
x0 ] |x x1
h 2
f
(1 )—右端
10
2、三点公式
若给定三点上的函数值 yi f ( xi ), xi x0 ih, i 0,1, 2, 则由
L2
x
x
x0
x1 x1
x x2 x0 x2
y0
x x1
x0 x0
x x2 x1 x2
y1
x x2
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
3.1590 -0.0008 3.1588 -0.0006 3.1583 -0.0001 3.1575 -0.0007 3.1550 -0.0032
7
5.1 数值微分
5.1.2 插值型求导公式
插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。 因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数。
D(h) D( h)
2
时的步长h/2就是合适的步长
f '(x) D(h) O(h) f '(x) D(h / 2) O(h / 2)
f '(x) D(h) O(h) 2 f '(x) D(h / 2) O(h / 2)
f '(x) D(h) 2 f '(x) 2D(h / 2)