计算方法课件-第5章-数值微分与数值积分讲解
计算方法 第5章 数值积分与数值微分
第五章 数值积分与数值微分在高等数学中我们学过定积分⎰badx x f )(的计算方法，若找到被积函数)(x f 在],[b a 区间上的一个原函数)(x F ，利用Newton-Leibniz 公式⎰-=baa Fb F dx x f )()()(可以轻易得计算出积分值，但在实际问题中，往往会遇到一些困难。
1) 有些函数虽然能找到原函数, 但表达式过于复杂，例如411)(x x f +=的原函数为 )]12arctan()12[arctan(2211212ln 241)(22-++++-++=x x x x x x x F2) 有些函数找不到初等函数形式的原函数，例如积分⎰⎰-1102,sin dx edx x x x3) 有些情况下，函数值是用表格形式给出的，例如：6.1178.876.651.496.364.275.203.1587654321y x对于以上这些积分问题，解决的方法就是使用数值积分方法。
其实数值积分方法不仅可以解决上述问题，最为重要的优点是对任意被积函数任意积分区间的积分问题都可以采用统一的数值积分公式，非常便于计算机编程实现。
对于微分问题，虽然对每一个初等函数都可以求出其导数，但是不同函数其求导方法依赖于各自不同的求导公式，没有简单、统一的处理方法，而数值微分法却可以对不同的函数使用统一的数值微分公式或数值微分算法。
本章首先介绍一些数值积分公式，最后再简单的介绍数值微分问题。
5.1 数值积分公式1. 数值积分的基本思想我们知道定积分⎰badx x f )(的几何意义就是{})(,0,,x f y y b x a x ====所围成的曲边形面积，而数值积分的基本思想是利用函数)(x f y =在区间],[b a 上某些点处函数值的线性组合来计算其定积分的近似值，把计算定积分这一复杂问题转换为仅仅涉及到函数值的计算问题，而无需考虑函数本身的结构以及函数值的真实来源，这样就很便于计算机编程实现。
计算方法课件-第5章-数值微分与数值积分讲解
h2 R2 ( x0 ) 3
f (1 )—左端
h2 R2 ( x1 ) - 6
f (2 )
—中
R2 ( x2 )
h2 3
f (3 )
—右端
例1：已知列表
X 2.5
2.55 2.60 2.65 2.70
Y 1.58114 1.59687 1.61245 1.62788 1.64317
求f (2.50), f (2.6), f (2.7)的近似值。
h 2!
f ''( ) O(h)
因此，有误差
f ( x0 h)
f ( x0 ) hf
'( x0 )
h2 2!
f
''( ), x0
x0 h
4
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
中心差商
f '( x0 )
f ( x0 h) f ( x0 h) 2h
由Taylor展开
f ( x0
因此，有误差
R( x)
f
'( x0 )
f ( x0 h) h
f ( x0 )
h 2!
f
''( ) O(h)
3
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
向后差商
f '( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
由Taylor展开
R( x)
f '( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
f ( )的近似值，这样导出的求积公式
ab
f
( x)dx
b
2
a
数值方法中的数值微分和数值积分
泰勒展开法：将函数 在某点处展开成泰勒 级数，然后利用级数 的各项系数计算数值 微分
牛顿插值法：利用牛 顿插值多项式计算数 值微分，其思想是通 过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化 率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、 工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例 如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算 中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区 间划分为若干个小 的矩形，用矩形面 积的和近似积分
梯形法：将积分区 间划分为若干个小 的梯形，用梯形面 积的和近似积分
辛普森法：将积分 区间划分为若干个 等分的子区间，用 抛物线面积的和近 似积分
牛顿-莱布尼茨法 ：利用定积分的定 义和牛顿-莱布尼 茨公式，通过求和 的方式计算定积分
预测函数的变化趋 势
优化问题中的梯度 计算
机器学习中的梯度 下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值 常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等 近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小 应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制 步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择 收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性 误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法
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20
（1）插值型求积公式
2.由下列列表函数求L-插值多项式
x0
x1 --- xi-1
xi
xi+1
---
xn
f(x0) f(x1) --- f(xi-1) f(xi) f(xi+1) --- f(xn)
21
称为插值型求积公式，
称为求积节点， 称为求积系数，其和
22
求积系数 通过插值基函数
这称为梯形公式；
a
b
图1 梯形公式
几何意义：用梯形面积 代替f(x)作为曲边的曲边 梯形面积。
25
这称为Simpsion公式。
a
b
图2 Simpson公式
几何意义：用抛物线 作曲边的曲边
梯形面积代替f(x)作 为曲边的曲边梯形面26积。
这称为Cotes公式。
求积公式的误差（余项）
27
28
例 5. 1 分别用梯形公式、Simpson公式计算定积分
时的步长h/2就是合适的步长
6
例：
f(x)=exp(x)
h
f’(1.15) R(x)
h
f’(1.15) R(x)
0.10 0.09 0.08 0.07 0.06
3.1630 -0.0048
3.1622 3.1613 3.1607 3.1600
-0.0040 -0.0031 -0.0025 -0.0018
17
构造数值积分公式的基本思想： 由积分中值定理知，在积分区间
成立
内存在一点ξ，
问题：点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以 准确算出 的值，怎么办？
只要对平均高度 一种数值求积方法.
提供一种算法，相应地便可获得
数值计算方法-全套课件
数值计算方法
Numerical Method
数值计算方法
1
第一章 绪 论
课程简介
什么是数值计算方法？ 为什么学习数值计算方法？ 数值计算方法的主要内容
数值计算中的误差
误差的种类及其来源 绝对误差与相对误差 有效数字与误差 舍入误差与截断误差 误差的传播与估计 算法的数值稳定性
t
12
数值计算方法
课堂教学内 容
绪论 (1周) 非线性方程求根 (1周) 求解线性方程组的数值方法 (2周) 插值和曲线拟合 (1周) 数值微分和数值积分 (1周) 常微分方程数值解 (1周)
数值计算方法
19
教学安 排
理论
13：15～15：40
上机（助教负责）
四次 海洋大楼机房 刷校园卡
确定降落伞的最后速度
FU
加速度表示为速度的变化率
dv F dt m
如果净受力为正，物体加速运动； 如果为负，物体减速运动；如果为0， 物体速度不变。
假定向下的力为正，
FD mg
FU cv
c为比例系数，称为阻力系数（drag
coefficient(kg/s)）。参数c说明了下降物
FD
体的特征，如形状或表面的粗糙程度。
4
数值计算方法
非计算机方 法
解析方法
简单问题 实际价值有限
图解法
结果准确？ 三维及以下
手工方法
计算器 速度慢，很容易出现低级错误
5
数值计算方法
工程问题求解的三个 阶段
公式化
简洁表示 的基本定律
公式化
深入分析问题与 基本定律的关系
求解
用详细、通常也是复杂 的方法来求解问题
数值微分 计算方法讲解
（1）称为x0点的向前差商公式， (2) 称为x1点的向后差商公式。
i 0,1
(1) (2)
数值分析
数值分析
例1 设f(x)=lnx，x0=1.8，用2点公式计算f’(x0)。
解：计算f '( x0 )的误差为
hf "( ) h 2 2 2 ,
这里 1.8 1.8 h 或 1.8 h 1.8
k0
lk
(x)
(x x0 ) ( xk x0 )
( x xk1 )( x xk1 ) ( xk xk1 )( xk xk1 )
(x xn ) (xk xn )
称为n+1点求导公式。
数值分析
数值分析
常用的数值微分公式是 n = 1 ,2 的插值型微分公式.
当n=1时,有
f R1 ( xi ) f ( xi ) L'1( xi )
f (n1)
注意到在插值节点处
n1
(
xi
)
d dx
( x ) 0,此时的余项为
(n 1)!
(n1)
(n1)
f f Rn( xi ) f ( xi ) L'n( xi )
(
n
(i
1)!
)
n 1
(
xi
)
(n
(i
1)!
)
n k0
( xi
xk
)
ki
因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值
n
f ( xi ) L'n( xi ) f ( xk )l 'k ( xi ) i 0,1, ..., n
f
'( xi )h
1 2
f
数值分析中的数值微分与数值积分
数值分析中的数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析领域中两个重要的概念。
它们在计算机科学、工程学和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理以及一些常用的方法和技巧。
一、数值微分数值微分是通过数值方法来计算函数的导数。
导数是描述函数变化率的工具，它在物理学、经济学和生物学等领域中具有重要的作用。
1. 前向差分法（Forward Difference）前向差分法是一种简单而常用的计算导数的方法。
它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，h为步长，为了提高精度，需要选择足够小的步长。
2. 后向差分法（Backward Difference）后向差分法与前向差分法类似，不同之处在于它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h))/h同样地，步长h需要选择足够小。
3. 中心差分法（Central Difference）中心差分法是一种更加准确的数值微分方法，它利用函数在某一点上的前后两个点的值来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法而言，具有更高的精度。
二、数值积分数值积分是通过数值方法来计算函数的积分。
积分在物理学、经济学和统计学等领域中起着重要的作用，它可以用来计算面积、体积以及概率等。
1. 矩形法（Rectangle Method）矩形法是一种简单的数值积分方法，它利用多个矩形来逼近曲线下的面积。
具体来说，将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为高度，从而构造出多个矩形。
最后，将各个矩形的面积相加，即可得到近似的积分值。
2. 梯形法（Trapezoidal Method）梯形法是一种更加准确的数值积分方法，它利用多个梯形来逼近曲线下的面积。
数值分析(20)数值微分
k0
lk
(x)
(x x0 ) ( xk x0 )
( x xk1 )( x xk1 ) ( xk xk1 )( xk xk1 )
(x xn ) (xk xn )
称为n+1点求导公式。
数值分析
数值分析
常用的数值微分公式是 n = 1 ,2 的插值型微分公式.
当n=4时,可得到5点公式：
中点求导公式：
f ( x0 )
f ( x0 2h) 8 f ( x0 h) 8 f ( x0 h) 12h
f ( x0 2h)
h4
f (5) (
)
30
(6),
x0 2h x0 2h,
h0
数值分析
数值分析
端点求导公式：
(4)
设
f ( x0 h) f ( x0 h) e( x0 h)
f ( x0 h) f ( x0 h) e( x0 h)
则(4)式为
f ( x0 )
f ( x0
h)
f ( x0
h)
e( x0
h) e( x0
h)
2h
2h
h2 6
(2)对f ( x)在点xi以h为增量作Taylor展开有
f ( xi
h)
f (xi )
f
'( xi )h
1 2
f
''( xi )h2
1 3!
f（3）( xi )h3
O(h4 )
f ( xi
h)
f (xi )
f
1 '( xi )h 2
数值积分与数值微分
数值积分与数值微分数值积分和数值微分是数值计算中重要的概念和方法，它们在科学、工程和统计等领域有广泛的应用。
本文将介绍数值积分和数值微分的基本概念、原理和方法，并对其在实际问题中的应用进行讨论。
一、数值积分数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。
定积分是函数在给定区间内的面积，表示为∫f(x)dx。
在实际计算中，由于很多函数的原函数求解十分困难或不可求得，因此需要借助数值积分方法来进行求解。
1.1 矩形法矩形法是最基本的数值积分方法之一。
它将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取一点，然后用这些小区间上的函数值的平均值来近似积分值。
具体而言，对于等分为n个小区间的积分，矩形法可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx * (f(x0) + f(x1) + ... + f(xn-1))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。
矩形法的计算简单，但精度较低。
1.2 梯形法梯形法是另一种常用的数值积分方法，它通过用梯形面积来逼近积分值。
类似于矩形法，梯形法将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取两个点，然后用这些小区间上的梯形面积之和来逼近积分值。
具体而言，梯形法可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx/2 * (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。
梯形法相对于矩形法有更高的精度，但计算复杂度也相应提高。
1.3 辛普森法则辛普森法则是一种更加精确的数值积分方法，它利用三次多项式来逼近积分值。
辛普森法则将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取三个点，然后通过构造一个三次多项式，利用多项式的积分近似面积来逼近积分值。
具体而言，辛普森法则可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx/3 * (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 2f(xn-2) +4f(xn-1) + f(xn))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。
第五章数值积分方法优秀课件
将其用于积分的近似计算，取ξ=b, 得
---积分右矩形公式
复合右矩形公式 如在区间[a,b]内插入节点xj=a+jh(j=0,1,···,n), h=(b-a)/n 得到复合右矩形求积公式：
利用拉格朗日中值定理 f(x)f(a)f'(x)x (a)(x[a,b])
T(f)baf(a)f(b)
2
Tn
n1
Ik
k 0
n1 k 0
h 2
f
(xk
)
f (xk1)
Tn(f)h 2f(a)2k n 1差减小→控制
复合梯形公式(节点加密)
x 1/2
x 3/2
x k 1/2
x n1/2
…
…
x0
x1
x2 xk
2
5.1 插值型求积公式
梯形公式误差
广义积分中值定理 若f在[a, b]上连续，g在[a, b]上可积，且g(x)在[a, b]
上不变号，存在x, x∈[a, b]，使
bf(x)g(x)dxf(x)
b
g(x)dx
利用这一定理
a
a
梯形与曲边梯形面积的对比：
正负决定
5.1 插值型求积公式 三点二次拉格朗日插值积分--辛卜生公式 y=f(x) L2(x)
xk+1 xn-1
xn
Tnkn10Ikkn10h2f(xk)f(xk1) Tn
n1 k 0
Ik
n1 k 0
h 2
f
(xk )
f
(xk1)
Tn(f)h 2f(a)2kn 1 1f(xk)f(b)
I k k f(x) L1(x)axbbf(xa)L b1x(x)aafx(b)bbf(a)h 4 bxaaf(b) h 4 f x fk x k fx k 1 2 /2 f x h 4 k 1 f/2 x k 1 /2 f f x k x 1 k 1
数值微分 计算方法
最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商.
根 据 导 数 定 义, 在 点xi处
f '(xi )
lim
h0
f ( xi
h) h
f ( xi )
lim f ( xi ) f ( xi h)
h0
h
lim
f ( xi
h) 2
f ( xi
h) 2
h0
h
当h充分小时, 可用差商来逼近导数
数值分析
误差 0.00339 0.00089 0.00039 0.00011 0.00011 0.00021 0.00106
数值分析
数值分析
三. 运用样条插值函数求数值微分
用三转角方程和三弯矩方程可以分别求出在节 点处函数f(x)的一阶导数和二阶导数的近似值.
fi' mi
(i 0,1,L ,n)
fi" Mi
h 2(1.8 h)2 0.0173010 0.0015605 0.0001545
数值分析
数值分析
当n=2时,有
f
( xi )
2 k0
f
( xk )l'k
(xi )
1 6
f
(3) (i
2
) (xi
k0
xk )
ki
f
(
x0
)
(
2xi x0
x1
x1 )(x0
x2 x2
)
f
(
x1
)
(
2xi x1 x0
a b
若取数值微分公式
f (x) L' (x) n
误差为:
f f (n1)
(n1)
Rn( x)
计算方法 第五章 数值积分与微分1
其中
b
A
k 0
b a
n
f ( xk )
Ak lk ( x )dx
a b a
n1 ( x )dx 1 ( xk ) ( x xk ) n
余项 Rn [ f ]
f ( ) n1 ( x )dx ( n 1)!
首先，遇到的是一类被积函数 f ( x) 没有初等 函数有限形式的原函数，如:
椭圆周长: L 4
1
2 0
1 a sin d；
2 x2
正态分布函数: e
0
dx
其次，被积函数 f ( x) 由表格形式给出，没有解析形式，也无 法使用 Newton- Leibniz 公式；
b
a
f ( x)dx lim
x 0
f ( )x
i 0 i
n
i
(1)分割 (2)近似 (3)求和
a x0 x1 ... xn i b si f ( )xi
n n
xi xi xi 1
S n si f ( i )xi
i 0 i 0
f (a kh)
当n为奇数时至少具有n次代数精度；当n为偶数时至少 具有n+1次代数精度。
证明： 由定理5.2知：插值型求积公式至少有n次代数精度
f ( x ) x （n为偶数）时，余项等于零。 ( n 1) b f b n ( ) 余项 Rn [ f ] ( x xk )dx a (n 1)! n1 ( x )dx a k 0 xk a kh 作变换 x a th
第三，常常 f ( x) 本身形式并不复杂，而原函数 F ( x)推 导十分冗长，且表达式复杂，给计算结果带来十分不便。
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f ( x0 h) f ( x0 h) 2h
h2 12
[
f
'''(1
)
f '''(2 )]
h2 6
f '''( ) O(h2 )
5
由误差表达式，h越小，误差越小，但同时舍入误差增大， 所以，有个最佳步长
我们可以用事后误差估计的方法来确定
设D(h),D(h/2)分别为步长为h,h/2的差商公式。则
f '(x) D(h / 2) D(h) D(h / 2)
6
例：
f(x)=exp(x)Fra bibliotekhf’(1.15) R(x)
h
f’(1.15) R(x)
0.10 0.09 0.08 0.07 0.06
3.1630 -0.0048
3.1622 3.1613 3.1607 3.1600
-0.0040 -0.0031 -0.0025 -0.0018
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
3.1590 -0.0008 3.1588 -0.0006 3.1583 -0.0001 3.1575 -0.0007 3.1550 -0.0032
7
5.1 数值微分
5.1.2 插值型求导公式
插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。 因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数。
[x
x1
x
x0 ] |x x1
h 2
f
(1 )—右端
10
2、三点公式
若给定三点上的函数值 yi f ( xi ), xi x0 ih, i 0,1, 2, 则由
L2
x
x
x0
x1 x1
x x2 x0 x2
y0
x x1
x0 x0
x x2 x1 x2
y1
x x2
第五章 数值微分与数值积分
• 5.1 数值微分 • 5.2 数值积分
1
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
微积分中，关于导数的定义如下：
f '( x) lim f ( x h) f ( x) lim f ( x) f ( x h)
h0
h
h0
h
f ( x h) f ( x h)
因此，有误差
R( x)
f
'( x0 )
f ( x0 h) h
f ( x0 )
h 2!
f
''( ) O(h)
3
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
向后差商
f '( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
由Taylor展开
R( x)
f '( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
这称为两点公式。
9
截断误差:
R1( x0 )
f
(
2!
0
) [(
x
x0
)( x
x1 )]
|x x0
f
( 0
2!
)
[x
x1
x
x0 ] |x x0
h 2
f
( 0 )—左端
R1( x1 )
f
( 1
2!
) [(
x
x0
)(
x
x1 )]
|x x1
f
(1 )
2!
x0 x0
x x1 x2 x1
y2
x x1 x x0 x1 x0
x2 x2
y0
x x0 x x1 x0 x1
x2 x2
y1
x x0 x x2 x0 x2
x1 x1
y2
f
( x0 )
L2 ( x0 )
3
f ( x0 ) 4 f ( x1 ) 2h
f ( x2 )
(5.1.8)
得:
f
(
x1
)
L2
(
x1
)
y2 y0 x2 x0
f ( x2 ) f ( x0 ) 2h
(5.1.9)
f
(
x2
)
L2
(
x2
)
f ( x0 ) 4 f ( x1 ) 3 f ( x2 ) 2h
(5.1.10)
这称为三点公式，其中（5.1.9）又称为中点公式。
h 2!
f ''( ) O(h)
因此，有误差
f ( x0 h)
f ( x0 ) hf
'( x0 )
h2 2!
f
''( ), x0
x0 h
4
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
中心差商
f '( x0 )
f ( x0 h) f ( x0 h) 2h
由Taylor展开
f ( x0
lim
h0
2h
自然，而又简单的方法就是， 取极限的近似值，即差商.
2
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
向前差商
f '( x0 )
f ( x0 h) h
f ( x0 )
由Taylor展开
f ( x0 h)
f ( x0 ) hf
'( x0 )
h2 2!
f
''( ), x0
x0 h
h)
f ( x0 ) hf
'( x0 )
h2 2!
f
''( x0 )
h3 3!
f
'''(1 ), x0
1
x0
h
f ( x0 h)
f ( x0 ) hf
'( x0 )
h2 2!
f
h3 ''( x0 ) 3!
f
'''(2 ), x0 h 2
x0
因此，有误差
R( x)
f
'( x0 )
11
h2 R2 ( x0 ) 3
f (1 )—左端
h2 R2 ( x1 ) - 6
f (2 )
—中
R2 ( x2 )
h2 3
f (3 )
—右端
例1：已知列表
X 2.5
2.55 2.60 2.65 2.70
Y 1.58114 1.59687 1.61245 1.62788 1.64317
f (k ) ( x) Ln(k ) ( x)
误差
Rn ( x)
f (
(n1) ( )
n 1)!
n
(
x
)
f ( x) Ln ( x)
Rn(k ) ( x)
dk dxk
f (n1) ( )
(n 1)!
n
(
x)
注意：为了便于估计误差，限定只能对节点上的导数值采用插值
多项式的相应导数进行近似。
8
5.1 数值微分
5.1.2 插值型求导公式
1、两点公式
给定两点上的函数值 f ( x0 ), f ( x1 ),
Q
L1(
x)
x x0
x1 x1
f
( x0 )
x x0 x1 x0
f ( x1 )
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
f
(
x0
)
f
(
x1
)
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
D(h) D( h)
2
时的步长h/2就是合适的步长
f '(x) D(h) O(h) f '(x) D(h / 2) O(h / 2)
f '(x) D(h) O(h) 2 f '(x) D(h / 2) O(h / 2)
f '(x) D(h) 2 f '(x) 2D(h / 2)